PRÁTICAS ALTERNATIVAS DE ENSINO EM CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, ALGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

Transcrição

1 PRÁTICAS ALTERNATIVAS DE ENSINO EM CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, ALGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA André Meneghetti, Bárbara Denicol do Amaral Rodrigues, Cinthya Maria Schneider, Daiane Silva de Freitas, Denise Maria Varella Martinez, Eneilson Campos Fontes, Fabíola Aiub Sperotto, Rodrigo Soares, Wilian Correa Marques 30 de janeiro de 011 1

2 Este relatório é o resultado de um projeto de duração de três meses, com vigência entre 01 de Novembro e 31 de Dezembro de 010, no qual foram desenvolvidas oficinas com a participação de Professores do Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF e alunos dos cursos de graduação da Universidade Federal do Rio Grande - FURG. A equipe de trabalho é composta pelos seguintes professores do IMEF: Prof. Msc. André Meneghetti Prof. Dr a. Bárbara Denicol do Amaral Rodriguez Prof. Dr a. Cinthya Maria Schneider Prof. Dr a. Daiane Silva de Freitas Prof. Dr a. Denise Maria Varella Martinez Prof. Msc. Eneilson Campos Fontes Prof. Dr a Fabíola Aiub Sperotto Prof. Msc. Rodrigo Soares Prof. Dr. Wilian Correa Marques E pelos seguintes alunos de graduação da FURG: Camila Perraro Sehn Diego Souza de Lima Eduardo de Sa Bueno Nobrega Fabrício da Silva Cotta de Mello Nathalia Nunes Bassi Este projeto foi coordenado pelo Prof. Dr. Wilian Correa Marques e contou com apoio financeiro da Pró- Reitoria de Assuntos Estudantis (PRAE), e o apoio estrutural da FURG.

3 Resumo As práticas alternativas de ensino são ferramentas fundamentais na melhoria do ensino de Cálculo Diferencial e Integral e Álgebra Linear e Geometria Analítica, oferecidas pelo Instituto de Matemática Estatística e Física para os cursos de graduação da Universidade Federal do Rio Grande - FURG. Como estratégia pedagógica busca-se uma modernização do material didático existente e uma nova dinâmica no fazer pedagógico, através da utilização de recursos computacionais modernos, do uso dos laboratórios de informática para graduação e do entrosamento de professores e estudantes com o ensino básico de graduação, buscando um salto de qualidade na formação dos futuros profissionais ligados às Ciências Exatas e da Terra e Engenharias. 3

4 Sumário 1 Descrição da Proposta 8 Objetivo geral da proposta 8.1 Objetivos específicos Justificativa 9 4 Metodologia Pré-cálculo Aplicações do Cálculo Diferencial e Integral e de Álgebra Linear e Geometria Analítica Aplicações do Cálculo Numérico Programação e visualização Resultados 13 6 Pré cálculo Equação do 1 o grau: Variável ou incógnita de uma equação do 1 o grau: Resolução de uma equação do 1 o grau: Equações literais do 1 o grau: Resolução de uma equação literal do 1 o grau: Equação do 1 o grau sem solução: Equação do 1 o grau com infinitas soluções: Equação do o grau: Resolução de equações incompletas do o grau: Equações literais incompletas do o grau: Trinômio quadrado perfeito: A resolução de equações completas do o grau: O discriminante da equação do o grau: Relação entre os coeficientes e as raízes de uma equação do o grau: Formação da equação do o grau a partir de suas raízes: Equações Irracionais: Exercícios Funções: Gráfico cartesiano: Notação das funções:

5 6.4.3 Domínio e Imagem: Função Constante: Função Identidade: Função Linear: Função Afim: Imagem: Coeficientes da função afim: Zero da função afim: Sinal da função afim: Função Quadrática: Concavidade: Zeros da função quadrática: Máximo e mínimo: Imagem: Sinal da função quadrática: Polinômios Definição de Polinômio Raiz (ou zero) de um Polinômio Igualdade de Polinômios Operações com Polinômios Divisão de Polinômios Divisão de um Polinômio por um Binômio da forma ax+b Teorema do Resto Teorema de D Alembert Divisão de um Polinômio pelo Produto (x-a)(x-b) O dispositivo Briot-Ruffini Decomposição de um polinômio em fatores Função Exponencial Definição de função exponencial Gráfico Equações Exponenciais Inequações Exponenciais Aplicações da função exponencial Função Logarítmica Definição de logaritmo de um número

6 6.1. Definição Condições de existência de logaritmos Consequências da definição de logaritmo Propriedades dos logaritmos Mudança de base Função Logarítmica Definição Gráfico da função logarítmica Equações Logarítmicas Função Modular Função Modular Gráfico da função modular Equações modulares Inequações modulares Aplicações de Cálculo Diferencial e Integral Modelando um furacão Modelo de Fluxo Vórtice Modelo de Fluxo Poço Pressão e Força de Fluidos Trabalho Funções Hiperbólicas e Cabos Pendentes Desintegração Radioativa Aplicação da Álgebra Linear Pré-Requisitos Matrizes Igualdade de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com Matrizes Matriz Equivalente Matriz escalonada Matriz Reduzida Escalonada por Linhas Matriz inversa Método para Determinação da Matriz Inversa Sistemas de Equações Lineares

7 Equações Lineares Sistemas Lineares Matrizes Aumentadas Eliminação Gaussiana Aplicações dop cálculo Numérico Solução da Equação Diferencial de Grandes Deflexões de uma Viga Apresentação do Problema Métodos Usados na Solução Euler Aperfeiçoado Previsor-Corretor Formulação Numérica Fluxograma do Algoritmo que Soluciona o Problema Análise dos Resultados Interpolação Bidimensional em uma Tabela de Temperaturas Equivalentes à Presença de Vento Apresentação do Problema Métodos Usados na Solução Formulação Numérica Fluxograma do Algoritmo que Soluciona o Problema Análise dos Resultados Uso da Regra de Simpson na Computação de Eficiência Luminosa Apresentação do Problema Métodos Usados na Solução Método de Simpson Fluxograma do Algoritmo que Soluciona o Problema Formulação Numérica Análise dos Resultados Bibliografia 155 7

8 1 Descrição da Proposta Os alunos de Engenharias e Física da Universidade Federal do Rio Grande (FURG) vêm encontrando muitas dificuldades no entendimento dos conteúdos abordados pelas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral e Álgebra Linear e Geometria Analítica. Isto motiva o desenvolvimento de uma proposta de trabalho que visa promover melhorias no desempenho acadêmico dos estudantes que cursam disciplinas dos primeiros semestres dos seus respectivos cursos de graduação, bem como a redução nos índices de reprovação e evasão universitária. Objetivo geral da proposta Incentivar os alunos dos cursos de Engenharias e Física a obter maior aproveitamento das disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral e Álgebra Linear e Geometria Analítica, através de atividades alternativas de ensino..1 Objetivos específicos Elaborar ferramentas para fortalecer os conceitos de matemática básica, os quais são pré-requisitos para o bom desenvolvimento dos estudos nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral e Álgebra Linear e Geometria Analítica; Desenvolver pesquisas e elaborar material didático sobre as aplicações do Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear e Geometria Analítica que sejam voltadas ao estudo da física e engenharias; Estimular as aplicações interdisciplinares de forma a fornecer uma visão global dos assuntos abordados através da utilização concomitante do cálculo e cálculo numérico, assim como da álgebra linear e cálculo numérico; Incentivar os alunos a utilizarem aplicações do cálculo numérico através da utilização de recursos computacionais de programação e visualização gráfica; Estimular os estudantes a utilizar recursos computacionais para a solução de problemas através do desenvolvimento de algoritmos e programas. 8

9 3 Justificativa As disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear e Geometria Analítica e Cálculo Numérico Computacional são ofertadas nos primeiros cinco semestres dos cursos de Engenharias e Ciências Exatas e da Terra, fornecendo subsídios para a resolução de problemas naturais e aplicados. Tendo em vista as dificuldades que os alunos apresentam em trabalhar no contexto abstrato destas disciplinas, existe a necessidade de um acompanhamento extraclasse que vise promover a melhoria do ensino e formação acadêmica destes alunos, bem como motivar o estudo mais aprofundado dos conteúdos, reduzindo assim os índices de reprovação e evasão universitária. Apesar de serem consideradas disciplinas importantes para a formação do estudante e possuírem um caráter fundamental para a aquisição e construção do conhecimento científico, as disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear e Geometria Analítica e Cálculo Numérico introduzem, ainda nos semestres iniciais dos cursos os primeiros conceitos abstratos. O pensamento abstrato constitui uma das primeiras dificuldades de natureza epistemológica, no ensino dessas disciplinas. Além disso, existe um problema no que diz respeito à formação em matemática básica, o que agrava mais ainda negativamente os índices de aprovação. Os indicadores desta problemática estão comprovados pelas taxas de reprovação, repetência e abandono das disciplinas supracitadas. De forma geral, embora estas disciplinas exijam esforços e dedicação dos alunos, estes expressam muitas dificuldades em compreender os conceitos explorados. Neste sentido, o que se pode perceber é que o insucesso dos alunos está fortemente relacionado com a não adequação dos conteúdos que compõe os programas das disciplinas à realidade e às necessidades dos estudantes. A forma como são estruturados a maioria dos livros didáticos, das disciplinas abrangidas por este projeto, adotados nas universidades brasileiras também não favorecem o desenvolvimento e a aprendizagem dos alunos. De modo geral, cada capítulo é iniciado com definições seguidas de teoremas ou propriedades, depois são apresentados alguns exemplos de exercícios que utilizam estas definições e só ao final do capítulo de alguns livros, são apresentadas algumas aplicações relacionadas ao assunto. Deste modo, o aluno, além de já receber os problemas prontos, ao resolvê los já sabe de antemão, a que conceitos o mesmo deve recorrer. Segundo estatísticas obtidas no sistema da FURG, podemos observar os baixos índices de aprovação em alguns cursos de Engenharias e Física no segundo semestre do ano de 009. Os cursos analisados foram: Curso 1 Engenharia de Computação; Curso Engenharia Civil; Curso 3 Engenharia Mecânica; Curso 4 Engenharia de Automação; Curso 5 Engenharia Mecânica Empresarial; Curso 6 Engenharia Civil Empresarial; Curso 7 Física Licenciatura e Bacharelado. Segundo a figura 1 vemos que, a maior parte dos cursos de graduação analisados apresenta percentual de aprovação inferior a 50%. Somente o curso de engenharia civil apresenta índices de aprovação em torno de 50% em ambas as disciplinas. De maneira geral, as disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral I e Álgebra Linear e Geometria Analítica apresentam os menores índices (médios) de aprovação, de 30.95% e 44.15%, respectivamente. Os baixos índices de aprovação nas disciplinas destacadas evidenciam a necessidade do desenvolvimento de estratégias alternativas para o aumento da aprovação, bem como diminuir a evasão dos estudantes, de forma a contribuir para a melhoria dos 9

10 coeficientes de rendimento e sucesso profissional dos profissionais formados pela instituição. CÃLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I CÃLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II ALGEBRA LINEAR E GEOMTERIA ANALÃTICA CURSOS Gráficos de barras do percentual de aprovação nos cursos: (1) Engenharia de Computação; () Engenharia Civil; (3) Engenharia Mecânica; (4) Engenharia de Automação; (5) Engenharia Mecânica Empresarial; (6) Engenharia Civil Empresarial; (7) Física Licenciatura e Bacharelado, para o segundo semestre de

11 4 Metodologia O desenvolvimento deste projeto está dividido em diferentes subprojetos de forma a perfazer todos os objetivos detalhados anteriormente. 4.1 Pré-cálculo Tendo em vista as dificuldades encontradas pelos alunos com relação aos conceitos de matemática básica, será elaborado um material didático que abordará conceitos de matemática de ensino fundamental e médio que são pré-requisitos para as disciplinas abrangidas pelo projeto e disciplinas equivalentes que fazem parte da grade curricular dos cursos de Matemática. Este material será disponibilizado via digital e impressa e apresentado aos alunos previamente inscritos pelos bolsistas que estiverem vinculados a esta linha do projeto e pelos professores participantes, de modo que, os alunos que por ventura venham a reprovar nas disciplinas no corrente ano, possam utilizá-lo no futuro e assim obter um rendimento satisfatório em curto prazo. O primeiro mês do projeto terá como principal atividade o planejamento dos meses seguintes através da pesquisa e discussão entre professor e bolsista da metodologia a ser utilizada durante as oficinas. Nos meses que seguem o projeto, as atividades a serem ministradas serão apresentadas na forma de oficinas que serão abertas ao público. 4. Aplicações do Cálculo Diferencial e Integral e de Álgebra Linear e Geometria Analítica As dificuldades dos alunos em visualizar as aplicações do cálculo, da álgebra linear e da geometria analítica, no cotidiano e em sua vida profissional, serão trabalhadas através de atividades extraclasses, onde os bolsistas realizarão pesquisas na internet e livros didáticos buscando aplicações de tópicos importantes das ementas das disciplinas em questão em que os alunos apresentam maiores dificuldades de entendimento. Estes tópicos serão de interesse para o estudo da física, bem como para as aplicações diretas em engenharia. Após a pesquisa, será elaborado um material didático complementar que será disponibilizado aos alunos na forma digital e impressa. As atividades serão ministradas na forma de oficinas que serão abertas ao público. 4.3 Aplicações do Cálculo Numérico A utilização do cálculo numérico aparece como uma ferramenta alternativa para auxiliar os alunos no aprendizado das disciplinas anteriormente mencionadas. As dificuldades dos alunos em aplicar métodos numéricos à resolução de problemas do cálculo serão trabalhadas através de atividades extraclasses com o auxílio de computadores. Para o entendimento e utilização das técnicas de cálculo numérico, os bolsistas inicialmente resolverão problemas clássicos que possuem soluções analíticas. Posteriormente, os mesmos realizarão pesquisas na internet e junto a livros didáticos buscando aplicações de tópicos importantes em que os alunos apresentem maiores dificuldades de entendimento e que não possuam soluções analíticas, mostrando assim a relevância dos métodos numéricos. Ao final do projeto, os bolsistas ministrarão uma oficina que será oferecida para orientar 11

12 inicialmente os alunos de primeiro e segundo ano regularmente matriculados nas disciplinas abrangidas pelo projeto. 4.4 Programação e visualização Tendo em vista as dificuldades que os alunos apresentam em trabalhar com computadores, bem como, com a utilização de programas específicos utilizados na programação e visualização de problemas resolvidos através do emprego de métodos numéricos, existe a necessidade de um acompanhamento extraclasse na forma de um minicurso ou oficinas que serão ministrados pelos bolsistas. Este tipo de atividade pode futuramente ser apresentado na forma de oficinas. 1

13 5 Resultados De forma a cumprir os objetivos descritos na seção 3 através da metodologia proposta na seção 5 foram realizadas pesquisas bibliográficas pelos alunos envolvidos no projeto sob a supervisão dos professores envolvidos com a execução do projeto. Estas pesquisas resultaram na produção de textos e tutoriais desenvolvidos para a utilização nas oficinas e disponibilização ao público. Estes resultados serão apresentados nas seções sub-sequentes de forma a ilustrar o trabalho desenvolvido, assim como, a estratégia alternativa utilizada na aplicação das ferramentas matematicas aos problemas de engenharias e áreas afins. 13

14 6 Pré cálculo 6.1 Equação do 1 o grau: Toda equação que pode ser representada sob a forma: ax + b = 0, (1) onde a e b R e a 0, é chamada de Equação do 1 o grau com uma variável x. Membros de uma equação do 1 o grau: Em uma equação a expressão situada à esquerda da igualdade é chamada 1 o membro da equação, e a expressão situada à direita da igualdade é chamada de o membro da equação. x + 10 }{{} 1 o membro = x 9 }{{} o membro Cada uma das parcelas que compõem um membro de uma equação é chamada de termo da equação. 4x }{{} 1 o termo 9 }{{} o termo = 1 }{{} 3 o termo x }{{} 4 o termo Variável ou incógnita de uma equação do 1 o grau: Os elementos desconhecidos de uma equação são denominados Variáveis ou Incógnitas Exemplo 1 A equação x + 5 = 8 tem uma incógnita: x Exemplo A equação x 3 = y + 1 tem duas incógnitas: x e y Exemplo 3 A equação a 3b + c = 0 tem três incógnitas: a, b e c Cada um dos valores que colocados no lugar da variável ou incógnita transformam a equação em uma sentença verdadeira é chamado de Raiz de uma equação do 1 o grau. Assim, para verificarmos se um dado número é ou não raiz de uma equação basta substituirmos a incógnita por esse número e observarmos se a sentença obtida é ou não verdadeira. 14

15 Exemplo 4 Verificar se 3 é raiz da equação 5a 3 = a a 3 = a + 6 5(3) 3 = (3) = = 1 (verdadeiro). Logo, 3 é a raiz da equação. Exemplo 5 Verificar se é raiz da equação x 3x = x 6: x 3x = x 6 ( ) 3( ) = ( ) = 8 4 = 8 Logo, não é a raiz da equação Resolução de uma equação do 1 o grau: Exemplo 6 Resolver em R a equação 5x 8 = 1 + x: 1. Inicialmente, colocamos em um membro os termos que apresentam variável e no no outro membro da igualdade os termos que não apresentam variável. Observe que, quando se "passa"um termo de um membro para outro, em verdade, a operação que está sendo realizada é a seguinte: 5x 8 = 1 + x 5x x = 1 + x + 8 x. Efetuamos as somas algébricas de cada membro: 5x x = x = 0 3. Dividimos ambos os membros por 4: 1 4 4x = x = 5 4. Verificamos se o número 5 satisfaz a equação: = = = 17 (verdadeiro). 15

16 Portanto, 5 é raiz da equação. Exemplo 7 Resolver em R a equação (x + 5) 3(5 x) = 5: 1. Inicialmente, aplicamos a propriedade distributiva para eliminar os parênteses: (x + 5) 3(5 x) = 5 x x = 5. Com as operações algébricas necessárias, colocamos em um membro os termos que apresentam variável, e no outro membro da igualdade os termos que não apresentam variável: x + 3x = Efetuamos ambos os membros da igualdade: x + 3x = x = Dividindo ambos os membros da equação por 5: x = 10 5 = 5. Verificamos se o número satisfaz a equação: ( + 5) 3(5 ) = 5 (7) 3(3) = = 5 5 = 5 (verdadeiro). Portanto, é raiz da equação. Exemplo 8 Resolver em R a equação (x + 3) 3 + 5(x 1) = 5x 1 6 : 1. Calculamos o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) da equação a fim de deixar todas as frações com o mesmo denominador, para a seguir, cancelá- lo: MMC(,3,6) = 6 ()(x + 3) 6 4(x + 3) (5)(x 1) 6 15(x 1) 6 = 6(5x) 6 = 30x 1 6 1(1) 6 16

17 4x x 15 = 30x 1. Efetuando as operações algébricas necessárias, colocamos em um membro os termos que apresentam variável e no outro membro da igualdade os termos que não apresentam variável: 4x + 30x 30x = Efetuamos ambos os membros da igualdade: 4x + 30x 30x = x = 4. Dividindo ambos os membros por 4: x = 4 = 1 5. Verificamos se o número 1 satisfaz a equação: ( ) [ 5 ( 1 ) ] 1 = 5 ( ) Aplicando a propriedade distributiva: ( ) (1) (1) + (3) = (1 1) = = MMC(,3,6) = 6 (7) 6 = 3(5) 6 1(1) = = 14 (verdadeiro). 17

18 Portanto, 1 é raiz da equação Equações literais do 1 o grau: Existem equações que possuem outras letras além da variável x. Tais letras representam valores reais. Essas equações recebem o nome de Equações literais do 1 o grau da incógnita x. Exemplo 9 ax + 3a = bx (Note que a solução depende de a e b.) Exemplo 10 px + n = p (Note que a solução depende de a e b.) Exemplo 11 x + 4m = x + 9m (Note que a solução depende de a e b.) Resolução de uma equação literal do 1 o grau: Exemplo 1 Resolver em R a equação literal (a + x) = (a x)(a + x): 1. Inicialmente, resolvemos o produto notável: a + ax + x = a a + ax + 3a 6 + 3x + ax x + x. Efetuando as operações algébricas necessárias, colocamos em um membro os termos que apresentam variável e no outro membro da igualdade os termos que não apresentam variável: ax + x ax 3x ax + x x = a + a a + 3a 6 3. Efetuamos ambos os membros da igualdade: ax + x ax 3x ax + x x = a + a a + 3a 6 x(a + x a 3 a + x) = a 6 x( 1) = a 6 4. Dividindo ambos os membros por 1: x = (a 6) 1 = 6 a 5. Verificamos se o termo (6 a) satisfaz a equação: (a + x) = (a x)(a + x) [a + (6 a)] = (a a)(a + 6 a) 18

19 (a) + (a)(6 a) + (6 a) = 9.4 a + 1a a + (6) (6)(a) + ( a) = 36 a + 1a a + a = = 36 (verdadeiro). Portanto, (6 a) é raiz da equação. Exemplo 13 Resolver em R a equação literal ax + bx + c = a + b + c: 1. Efetuando as operações algébricas necessárias, colocamos em um membro os termos que apresentam variável e no outro membro da igualdade os termos que não apresentam variável: ax + bx = a + b + c c. Efetuamos ambos os membros da igualdade: x(a + b) = a + b 3. Dividindo ambos os membros da equação por (a + b) : x = a + b (a + b) = (a + b) (a + b) = 4. Verificamos se o número satisfaz a equação: ax + bx + c = a + b + c a() + b() + c = a + b + c a + b + c = a + b + c (verdadeiro). Note que é raiz da equação se a b e b a. Exemplo 14 Resolver em R a equação literal 3ax (ax + b) = 6b + x: 1. Efetuando as operações algébricas necessárias, colocamos em um membro os termos que apresentam variável e no outro membro da igualdade os termos que não apresentam variável: 3ax ax x = 6b + b. Efetuamos ambos os membros da igualdade: 3ax ax x = 6b + b ax x = 8b x(a 1) = 8b 19

20 3. Dividindo ambos os membros da equação por (a 1) : x = 8b (a 1), sendo a 1 4. Verificamos se o termo (a 1) satisfaz a equação: 3ax ( (ax + ) b) = [ 6b + x 8b 3a a (a 1) ( 8b (a 1) 4ab (a 1) 16ab 8b b = 6b + (a 1) (a 1) ) ] + b = 6b + 8b (a 1) Portanto, MMC(a 1,1) = (a 1) 4ab 16ab ab + b = 6ab 6b + 8b 6ab + b = 6ab + b 6ab 6ab = b b 0 = 0 (verdadeiro). 8b é raiz da equação. (a 1) Equação do 1 o grau sem solução: Às vezes uma equação não tem solução para um certo universo de números. Nesse caso, dizemos que ela é impossível ou que a solução é vazia. Exemplo 15 Resolva a equação x + (x 1) 3 = 5x 6 : 1. Calculamos o MMC da equação a fim de deixar todas as frações com o mesmo denominador, para a seguir, cancelá-lo: MMC(,3,6) = 6 3(x) 6 + (x 1) 6 = 5x 6 3x + x = 5x. Efetuando as operações algébricas necessárias, colocamos em um membro os termos que apresentam variável e no outro membro da igualdade os termos que não apresentam variável: 3x + x 5x = 0

21 3. Efetuamos ambos os membros da igualdade: 5x 5x = 0x = Não existe nenhum número que multiplicado por 0 resulte em. Portanto, a equação não possue raiz Equação do 1 o grau com infinitas soluções: Há casos em que todos os números do universo considerado são raízes da equação. Nesse caso, dizemos que a equação possui Infinitas soluções. Exemplo 16 Resolva a equação (x 1) 3 = (x ) : 6 1. Calculamos o MMC da equação a fim de deixar todas as frações com o mesmo denominador, para a seguir, cancelá- lo: MMC(3,6) = 6 (x 1) 6 = x 6 x = x. Efetuando as operações algébricas necessárias, colocamos em um membro os termos que apresentam variável e no outro membro da igualdade os termos que não apresentam variável: x x = 3. Efetuamos ambos os membros da igualdade: x x = 0x = 0 Qualquer número x que multiplicarmos por 0 resultará em 0. Portanto, a equação possui infinitas soluções. 6. Equação do o grau: As equações de o grau com uma variável x possuem a seguinte forma: ax + bx + c = 0, () 1

22 onde a, b, c R e a 0. Exemplo 17 3x 5x + 8 = 0, com a = 3, b = 5 e c = 8. Exemplo 18 x 7x = 0, com a = 1, b = 7 e c = 3 4. Quando os coeficientes b e c de uma equação do o grau forem diferentes de zero, dizemos que a equação está na forma completa. Exemplo 19 x 5x + 6 = 0, com a = +1, b = 5 e c = +6. Exemplo 0 x + 10x 5 = 0, com a =, b = +10 e c = 5. Quando o coeficiente b ou o coeficiente c ou ambos forem iguais a zero, dizemos que a equação está na forma incompleta. Exemplo 1 7x 8 = 0, com a = +7, b = 0 e c = 8. Exemplo 5x + x = 0, com a = +5, b = +1 e c = Resolução de equações incompletas do o grau: Equações do tipo ax + bx = 0: Exemplo 3 Resolver em R a equação x 4x = Colocamos o fator comum x em evidência, obtendo: x(x 4) = 0. Quando o produto de dois números reais é igual a zero, então pelo menos um dos fatores é igual a zero. 3. Portanto, da igualdade x(x 4) = 0, obtemos: x = 4 ou x = 0 Assim, as raízes da equação são 0 e +4. Verificação: Substituíndo os valores encontrados para as raízes na equação x 4x = 0:

23 Para x = 0, temos: = 0 0 = 0 (verdadeiro). Para x = 4, temos: = = 0 (verdadeiro). Exemplo 4 Resolver a equação (x + 5) + 3x = Inicialmente, resolvemos o produto notável (x + 5), obtendo: (4x + 0x + 5) + 3x = 5 4x + 3x + 5 = 5. Subtraindo 5 de ambos os membros da equação, obtemos 4x + 3x = 5 5 4x + 3x = 0 3. Colocamos o fator comum x em evidência, obtendo: x(4x + 3) = 0 4. Quando o produto de dois números reais é igual a zero, então pelo menos um dos fatores é igual a zero. 5. Portanto, da igualdade x(4x + 3) = 0, obtemos: x = 3 4 ou x = 0 Assim, as raízes da equação são 0 e 3 4. Verificação: Substituíndo os valores encontrados para as raízes na equação (x + 5) + 3x = 5: Para x = 0, temos: (.0 + 5) = 5 = 5 = 5 (verdadeiro). Para x = 3 [ ( 4, temos: 3 ) ( + 5] ) = 5 = 5 (verdadeiro). 4 4 Exemplo 5 Resolver a equação 4 x 3x = +, sendo x 0. x 1. Calculamos o MMC da equação: 4 (x)(3x) x = (x) +. x 4 6x x = 4x + 4 x 3

24 . Multiplicamos os dois membros da equação por x, para eliminar os denominadores: x(4 6x ) x = x(4x + 4) x 4 6x = 4x Subtraindo 4x + 4 de ambos os membros da equação: 4 6x (4x + 4) = 4x + 4 (4x + 4) 6x 4x = 0 ( 1)( 6x 4x) = 0( 1) 6x + 4x = 0 4. Quando o produto de dois números reais é igual a zero, então pelo menos um dos fatores é igual a zero. 5. Portanto, da igualdade x(3x + ) = 0, obtemos: x = 3 ou x = 0 No enunciado, temos a condição que x 0, logo o número 0 não é solução dessa equação. Assim, a única raiz dessa equação é 3. Verificação: Substituíndo o valor encontrado para a raiz na equação 4 x 3x = + x : Para x = ( 3, temos: 4 ( ) 3 ) = = 1 (verdadeiro). Equações do tipo ax + c = 0: Exemplo 6 Resolver a equação x 18 = Adicionando 18 a ambos os membros da equação obtemos: x = 18. Dividindo ambos os membros da equação por, obtemos: x = 18 x = 9 3. Portanto, x = + 9 = +3 ou x = 9 = 3 Assim, as raízes da equação são 3 e +3. 4

25 Verificação: Substituíndo o valor encontrado para a raiz na equação x 18 = 0: Para x = +3, temos: (3) 18 =.9 18 = 0 = 0 (verdadeiro). Para x = 3, temos: ( 3) 18 =.9 18 = 0 = 0 (verdadeiro). Exemplo 7 Resolver a equação x + 4 = Subtraindo 4 de ambos os membros da equação, obtemos x = 4 x = 4. Agora dividindo os membros da equação por : x = 4 x = 4 x = 3. Portanto, extraindo a raiz quadrada x = + ou x = Como não é um número real, a equação apresentada não tem solução real. Resumindo: Na resolução de uma equação do tipo ax + c = 0, as raizes obtidas são sempre x = Se Se ( c ) é um número positivo, a equação tem duas raízes; a ( c ) é um número negativo, a equação não tem raiz real. a c c a e x = a, logo: Equações do tipo ax = 0: A equação do tipo ax = 0 admite uma única solução: x = 0. Exemplo 8 Resolver a equação x = Dividindo ambos os membros da equação por, obtemos: x = 0 x = 0 5

26 . Portanto, x = 0 Assim, a raiz da equação é Equações literais incompletas do o grau: Exemplo 9 Resolver a equação 4x mx = 0. Note que as soluções dependem de m. 1. Colocamos o fator comum x em evidência, obtendo: x(4x m) = 0. Quando o produto de dois números reais é igual a zero, então pelo menos um dos fatores é igual a zero. 3. Portanto, da igualdade x(4x m) = 0, obtemos: x = 0 ou x = m 4 Assim, as raízes da equação são 0 e m 4. Exemplo 30 Resolver a equação x 18m = Somamos 18m em ambos os membros da equação e obtemos: x = 18m. Dividimos todos os termos da equação por e obtemos: x = 18m x = 9m 3. Portanto, x = + 9m = +3m ou x = 9m = 3m Assim, as raízes da equação são 3m e +3m. Exemplo 31 Resolver a equação 4(x + k)(x k) = (x k) 8k. 1. Inicialmente, resolvemos os produtos notáveis (x + k)(x k) e (x k), obtendo: 4(x k ) = (x 4kx + 4k ) 8k 4x 4k = x 4kx 4k 4x x + 4kx 4k + 4k = 0 3x + 4kx = 0 6

27 . Colocamos o fator comum x em evidência, obtendo: x(3x + 4k) = 0 3. Quando o produto de dois números reais é igual a zero, então pelo menos um dos fatores é igual a zero. 4. Portanto, da igualdade x(3x + 4k) = 0, obtemos: x = 4k 3 ou x = 0 Assim, as raízes da equação são 4k 3 e Trinômio quadrado perfeito: O trinômio quadrado perfeito é um produto notável. Então: (x + 5) = x + 10x + 5 }{{} Trinômio quadrado perfeito O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo (x ), mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo (x5), mais o quadrado do segundo termo (5 ). Exemplo 3 Que termo devemos acrescentar ao binômio x +1x para que ele se torne um quadrado perfeito? 1. O termo x já é um quadrado perfeito.. O termo 1x representa o produto x, onde o termo representa a raiz quadrada do número procurado. 3. Logo, = 6. Portanto, o número que procuramos é 6 = 36 que forma o trinômio quadrado perfeito x + 1x A resolução de equações completas do o grau: Usando o trinômio quadrado perfeito Considere a equação: x + 8x 0 = 0 Somando 0 a ambos os membros da equação, obtemos que x + 8x = 0 7

28 Podemos transformar o lado esquerdo da igualdade em um quadrado perfeito. Para isso, vamos encontrar o 3 o termo. Observe que 8x = x4. Portanto, acrescentamos 4, ou seja, 16 aos dois membros da equação, para que a igualdade não se altere: x + 8x +16 = x + 8x + 16 = 36 Fatorando o 1 o membro, encontramos: (x + 4) = 36 Extraindo a raiz quadrada dos dois membros: (x + 4) = 36 x + 4 = ±6 Resolvemos as equações: x + 4 = 6 x = 6 4 x = x + 4 = 6 x = 6 4 x = 10 Verificamos se os resultados obtidos satisfazem às equações: Para x =, temos: x + 8x 0 = = = = 0 0 = 0 Para x = 10, temos: x + 8x 0 = 0 ( 10) + 8( 10) 0 = = = 0 0 = 0 8

29 Logo, x = e x = 10 representam as soluções da equação. Usando a Fórmula de Bháskara As equações do o grau na forma completa não podem ser resolvidas através das mesmas regras usadas para resolver as equações incompletas. No entanto, existe uma fórmula resolutiva para as equações do o grau, denominada Fórmula de Bháskara. Considere a equação ax + bx + c = 0. Nesse Caso, as raízes reais da equação completa do o grau são dadas por: x = b b 4ac a (3) x = b + b 4ac a (4) Exemplo 33 Resolver a equação x 10x + 1 = 0. Temos a =, b = 10, c = +1. Então: x = ( 10) ± ( 10) x = 10 ± x = 10 ± 4 4 x = 10 ± 4 Logo, x = 10 4 = 8 4 = ou x = = 1 4 = 3 Portanto, x = e x = 3. 9

30 6..5 O discriminante da equação do o grau: Na Fórmula de Bháskara, x = b ± b 4ac, o radicando é chamado discriminante e é indicado pela letra a grega (delta). = b 4ac (5) Portanto, a Fórnula de Bháskara também pode ser escrita assim: x = b ± a (6) Algumas características das raízes de uma equação são fornecidas pelo sinal do discriminante. Assim: Se > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes. Se = 0, a equação tem duas raízes reais iguais. Se < 0, a equação não tem raiz real. Exemplo 34 Calcular o discriminante da equação x 1 x raízes = x, sendo x 0 e x 1. Determine suas x Calculamos o MMC da equação: MMC(6,x,x + 1) = 6x(x + 1) 6(x 1)(x + 1) 6x(x + 1) + 5x(x + 1) 6x(x + 1) = x(6x) 6x(x + 1) 6(x 1 ) + 5x + 5x = 1x 6x 6 + 5x + 5x 1x = 0 x + 5x 6 = 0. Multiplicamos os dois membros da equação por ( 1), obtemos: x 5x + 6 = 0, que é uma equação do o grau completa. 3. Assim, a = +1, b = 5 e c = +6: = b 4ac = ( 5)

31 ( 1)( 6x 4x) = 0( 1) = 1 > 0 Portanto, já sabemos que a equação admite duas raízes reais diferentes. A saber: x = b ± a x = ( 5) ± 1.1 x = 5 ± 1 x = 5 1 = 4 = ou x = = 6 = 3 Logo, x = e x = 3 são raízes da equação. Exemplo 35 Calcular o discriminante e resolver a equação x 4x + 4 = 0. Temos a = +1, b = 4 e c = +4. Cálculo de : = b 4ac = ( 4) = = 0 Portanto, a equação admite duas raízes reais e iguais: Cálculo das raízes da equação: x = b ± a x = ( 4) ± 0.1 x = 4 ± 0 x = 4 0 = 4 = ou x = = 4 = Logo, x = x = são raízes da equação. Exemplo 36 Calcular o discriminante e resolver a equação x + x + 5 = 0. 31

32 Temos a = +1, b = +1 e c = +5. Cálculo de : = b 4ac = (1) = 1 0 = 19 Portanto, a equação apresentada não possui raiz real: x = b ± a x = 1 ± 19.1 x = 1 ± não é um número real. Da mesma forma, resolvemos Equações literais completas do o grau: Exemplo 37 Resolver a equação 6x 5mx + m = 0. Temos a = +6, b = 5m e c = +m. Cálculo de : = b 4ac = ( 5m) 4.6.m = 5m 4m = m Portanto, a equação apresenta duas raízes reais diferentes: x = b ± a x = ( 5m) ± m.6 x = 5m ± m 1 x = 5m m 1 = 4m 1 = m 3 ou x = 5m + m = 6m 1 1 = m Logo, x = m 3 e x = m são raízes da equação. 3

33 6..6 Relação entre os coeficientes e as raízes de uma equação do o grau: Considere a equação ax + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes, com a 0. Sendo x e x raízes dessa equação, podemos estabelecer as seguintes relações: 1 o relação: x + x = b a (7) Sabemos que x = b ±. a Portanto, x = b + a e x = b a Somando x e x, obtemos: x + x = b + a o relação: + b a = b + b a = b a = b a x x = c a (8) Multiplicando as raízes x e x, obtemos: x x = ( b + )( b ) = ( b )( b + ) = a a (a)(a) = ( b) ( ) 4a = b 4a = = b (b 4ac) 4a = b b + 4ac 4a = 4ac 4a = c a Exemplo 38 Obter a soma e o produto das raízes da equação x + 3x 10 = 0: x + x = b a = (3) 1 = 3 x x = c a = 10 1 = 10 33

34 Exemplo 39 Obter a soma e o produto das raízes da equação kx 4kx + k = 0, sendo k 0: x + x = b a = ( 4k) k x x = c a = k k = 1 = 4 Exemplo 40 Determine a soma e o produto das raízes da equação: x 7x + (m 1) = 0, sendo m 0. ()(x ) + ()( 7x) + (m 1) = ()(0) 4x 14x + (m 1) = 0 x + x = b a = ( 14) 4 x x = c a = (m 1) 4 = 14 4 = Formação da equação do o grau a partir de suas raízes: Considere a equação ax + bx + c = 0 e x e x as suas raízes. Podemos escrever: x + x = b a, ou seja, b a = (x + x ) x x = c a, isto é, c a = x x Dividindo a equação ax + bx + c = 0 por a, obtemos: ax a + bx a + c a = 0 x + bx a + c a = 0 Portanto, x (x + x )x + x x = 0 Fazendo x + x = S e x x = P, escrevemos: x Sx + P = 0 (9) 34

35 Exemplo 41 Escrever a equação do o grau cujas raízes são x = 1 e x = 5. Temos: S= x + x = = 6 P= x x = 1.5 = 5 Sendo x Sx + P = 0, a equação procurada é x 6x + 5 = 0. Exemplo 4 Formar a equação do o grau cujas raízes são x = 1 3 e x = 1. Temos: S= x + x = = 5 6 ( P= x x = 1 )( 1 ) = Sendo x Sx + P = 0, a equação procurada é x + 5x = 0 ou 6x + 5x + 1 = 0. Exemplo 43 Determinar dois números reais cuja soma é 17 4 e o produto é Substituindo os valores acima na equação x Sx + P, temos: x + 17x = 0 8x + 34x + 35 = 0 Através da Fórmula de Bháskara, obtemos: x = b ± b 4ac a x = 34 ± x = 34 ± x = 34 ± 6 16 Portanto, x = = = 5 e x = = =

36 Os números procurados são 5 e Equações Irracionais: Equações Irracionais são equações que contêm incógnita ou variável no radicando. Para resolvê-las, procedemos da seguinte maneira: 1. Isolamos um dos radicais em um dos membros da equação.. Elevamos os dois membros da equação a um expoente adequado. Enquanto houver radicais na equação, repetimos esses procedimentos. Uma vez eliminados todos os radicais da equação, procedemos assim: 3. Resolvemos a equação obtida. 4. Verificamos quais das raízes encontradas satisfazem a equação inicial. Exemplo 44 Resolver em R a equação x 5 4 = 3: 1. Isolamos o radical em um os membros da equação: x 5 = x 5 = 1. Elevamos ambos os membros da equação ao quadrado: ( x 5) = (1) x 5 = 1 x = x = 6 x = 6 x = 3 Verificação: (3) 5 4 = = = = 3 3 = 3 (verdadeiro). Portanto, x = 3 é raiz da equação irracional. 36

37 Exemplo 45 Resolver em R a equação x 1 = x + 5: 1. Elevamos ambos os membros da equação ao quadrado: (x 1) = ( x + 5). Efetuamos os dois lados da igualdade: x x + 1 = x + 5 x x + 1 x 5 = 0 x 3x 4 = 0 3. Calculamos o valor do discriminante : = ( 3) 4.1( 4) = = 5 4. Encontramos os valores da variável x através da Fórmula de Bháskara: x = b ± b 4ac a x = ( 3) ± 5 (1) x = = 4 x = 3 5 = 1 Verificação: Quando x = 1: x 1 = x = = 4 = (falso). Quando x = 4: x 1 = x =

38 3 = 9 3 = 3 (verdadeiro). Portanto, somente x = 4 é raiz da equação irracional. Exemplo 46 Resolver em R a equação x + 1 = : 1. Elevamos ao cubo os dois membros da equação: ( x + 1) 3 = () x + 1 = 8. Isolamos o radical no 1 o membro: x + 1 = 8 3 x + 1 = 5 3. Elevamos ao quadrado os dois membros dessa equação, obtendo: ( x + 1) = (5) x + 1 = 5 x = 5 1 x = 4 Verificação: x + 1 = = = = (verdadeiro). Portanto, x = 4 é raiz da equação irracional. Exemplo 47 Resolver em R a equação x + 9 = 3 + x 6: 1. Elevamos ambos os membros da equação ao quadrado: ( x + 9) = (3 + x 6) x + 9 = (3) + (3)( x 6) + ( x 6) x + 9 = x 6 + x 6. Isolamos o radical no 1 o membro: 6 x 6 = x x x 6 = 6 38

39 3. Elevamos ambos os membros da equação ao quadrado: (6 x 6) = (6) 36(x 6) = 36 36x 16 = 36 36x = x = 5 x = 5 36 x = 7 Verificação: x + 9 = 3 + x = = = = 4 (verdadeiro). Portanto, x = 7 é raiz da equação irracional Exercícios Exercício 1 Resolva em R as equações: (a) 10y 5(1 + y) = 3(y ) 0 (b) (c) (d) (e) (x 5) 10 (x + ) 3 (x + 1) x (1 x) 5 (x 3) 5 = = 4 5x = 9x 1 = 1 6 3x 3 (3 x) 4 Exercício Resolva em R as equações: (a) 8ax 5(ax + b) = 6b + 3x (b) x b n = b x n (c) (k 3)x + 4(k 5) + 4k = 0 39

40 Exercício 3 Resolva em R as equações: (a) 4x + 1x = 0 (b) (x 6) 3 (c) x + 3 x (d) (e) = x (3 + x) x = 1, sendo x 0. 1 x 1 1 = 1, sendo x 1 e x 1. x + 1 4(x 1)(x 3) x 3 = 6 Exercício 4 Resolva as equações literais: (a) 3(x + mx) = 0 (b) x 9 4k = 0 (c) 3x 4k 3k, sendo k 0. (d) (x m) + (x + m) = 10m (e) ( x m )( x m ) = 0 3 Exercício 5 Sem resolver as equações, determine a soma e o produto de suas raízes: (a) 4x + 8x 3 = 0 (b) 3x 5 + 5x = 0 (c) kx + 7kx 8k = 0, sendo k 0. (d) x 4x = 0 (e) 5x 8x + 4 = 0 Exercício 6 Para que valores reais de m: (a) a equação x 3x + m = 0 admite duas raízes reais diferentes? (b) a equação x 3x + m = 0 admite uma única raiz real? 40

41 (c) a equação 5x + 4x + m = 0 não admite raízes reais? (d) a soma das raízes da equação x + (m 3)x + = 0 é igual a 3? (e) o produto das raízes da equação x 7x + Exercício 7 Resolva em R as equações irracionais: (m 1) = 0 é igual a 3? (a) 5x 10 = 3x + (b) 3 x x = (c) 5x + 1 = 3. (d) 5 + x + 1 = 3 (e) x = x Funções: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo x A existe um só y B tal que (x,y) f. Para termos uma função ou aplicação, devemos satisfazer algumas condições, tais como: 1. É necessário que todo elemento x A participe de pelo menos um par (x,y) f, isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida de flecha.. É necessário que cada elemento x A participe de apenas um único par (x,y) f, isto é, cada elemento de A deve servir como ponto de partida de uma única flecha. Uma relação f não é aplicação (ou função) se não satisfazer uma das condições acima, isto é: 1. Se existir um elemento de A do qual não parta flecha alguma ou A f não é função B 1. Se existir um elemento de A do qual partam duas ou mais flechas. 41

42 A f não é função B Gráfico cartesiano: Podemos verificar pela representação cartesiana da relação f de A em B se f é ou não função: basta verificarmos se a reta paralela ao eixo y conduzida pelo ponto (x,0), em que x A, encontra sempre o gráfico de f em um só ponto. Exemplo 48 A relação f de A em R A= {x R 1 x 3}, é função, pois toda reta vertical conduzida pelos pontos de abscissa x A encontra sempre o gráfico de f num só ponto. y 1 3 x Exemplo 49 A relação f de A em R A= {x R x }, não é função, pois há retas verticais que encontram o gráfico de f em dois pontos. y x 4

43 Exemplo 50 A relação f de A em R A= {x R 0 x 4}, não é função de A em R, pois há reta vertical conduzida pelo ponto (1,0) não encontra o gráfico de f. Observemos que f é função de B em R em que: y B= {x R x 4} x 6.4. Notação das funções: Toda função é um conjunto de pares ordenados. Par ordenado: Para cada elemento a e cada elemento b, admitiremos a existência de um terceiro elemento (a,b), de modo que: (a,b) = (c,d) a = c e b = d (10) Geralmente, existe uma sentença aberta y = f (x) que expressa a lei mediante a qual, dado x A, determina-se y B tal que (x,y) f, então: f = {(x,y) x A, y B e y = f (x)} (11) Isso significa que, dados os conjuntos A e B, a função f tem a lei de correspondência y = f (x). Para indicarmos uma função f, definda em A com imagens em B segundo a lei de correspondência y = f (x), usamos: f : A B ou A f B (1) tal que y= f(x). 43

44 Exemplo 51 f : A B, tal que y = x É uma função que associa a cada x de A um y de B tal que y = x. Exemplo 5 f : R R, tal que y = x É uma função que leva a cada x de R um y de R tal que y = x. Exemplo 53 f : R + R, tal que y = x É uma função que faz corresponder a cada x R + um y R tal que y = x. Imagem de um elemento: Se (a,b) f, o elemento b é chamado imagem de a pela aplicação f ou valor de f no elemento a, e indicamos: f (a) = b (13) que se lê f de a é igual a b. Exemplo 54 Seja a função: f : R R x x + 1 a) a imagem de 0 pela aplicação f é 1. Isto é: f (0) = (0) + 1 = 1 b) a imagem de pela aplicação f é 3. Isto é: f ( ) = ( ) + 1 = 3 c) a imagem de 1 pela aplicação f é,4. Isto é: f ( ) ( ) 1 1 = + 1 = f ( ) = ( ) + 1 = (0,7) + 1 =,4 R 0 1 0,7 x R 1 3,4 x

45 6.4.3 Domínio e Imagem: Domínio: Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos x A para os quais existe y B tal que (x,y) f. Como, pela defnição de função, todo elemento de A tem essa propriedade, temos nas funções: Domínio é o conjunto de partida isto é, D = A (14) Imagem: Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y B para os quais existe x A tal que (x,y) f ; portanto: Imagem é subconjunto do contradomínio isto é, Im B (15) Im B. A B domínio contradomínio Notemos, que, feita representação cartesiana da função f, temos: Domínio: (D) é o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f. Imagem: (Im) é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f. 45

46 y 4 y 4 1 x 1 3 x y 1 x y x Domínio das funções numéricas: As funções que apresentam maior interesse na Matemática são as funções numéricas, isto é, aquelas em que o domínio A e o contradomínio B são subconjuntos de R. As funções numéricas são também chamadas funções reais de variável real. Observemos que uma função f fica completamente definida quando são dados o seu domínio D, o seu contradomínio e a lei de correspondência y = f (x). Quando nos referimos à função f e damos apenas a sentença aberta y = f (x) que a define, subentendemos que D é o conjunto dos números reais x cujas imagens pela aplicação f são números reais, isto é, D é formado por todos os números reias x para os quais é possível calcular f (x). x D f (x) R (16) Exemplo 55 Determine o domínio da função y = x: Notando que x R para todo x R, temos: D = R. Exemplo 56 Determine o domínio da função y = x : Notando que x R para todo x R, temos: D = R. Exemplo 57 Determine o domínio da função y = 1 x : Notando que 1 R se, e somente se, x é real e diferente de zero; temos, então: x D = R. 46

47 Exercício 8 Estabeleça se cada um dos esquemas das relações abaixo define ou não uma função de A = { 1,0,1,} em B = {, 1,0,1,,3}. Justifique. a) b) c) d) Exercício 9 Qual é a notação das seguintes funções de R em R? (a) f associa cada número real ao seu oposto. (b) g associa cada número real ao seu cubo. 47

48 (c) h associa cada número real ao seu quadrado menos 1. (d) k associa cada número real ao número. Exercício 10 Seja f a função de R em R definida por f (x) = x 3x + 4. Calcule: (a) f () (b) f ( 1) ( ) 1 (c) f (d) f (1 ) Exercício 11 Nos gráficos cartesianos das funções abaixo representadas, determine o conjunto imagem. a) y x b) y x c) y x 48

49 d) y x 6.5 Função Constante: Uma aplicação f de R em R recebe o nome de função constante quando a cada elemento x R associa sempre o mesmo elemento c R. f (x) = c (17) O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo dos x passando pelo ponto (0,c). A imagem é o conjunto Im = {c}. y (0, c) x Exemplo 58 Construir os gráficos das aplicações de R em R definida por: a) y = 3 y (0, 3) x b) y = 1 49