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1 02 Álgebra de Boole elementos físicos e funções lógicas v0.2

2 Conteúdo Leis Teoremas Corolários Dualidade Conjunto binário Elementos físicos e funções lógicas 05 November 2014 Sistemas Digitais 2

3 Definição A álgebra de Boole é um conjunto de elementos B = {a, b, } e dois operadores binários definidos entre eles: Intersecção (E, AND também simbolizado por.) União (OU, OR também simbolizado por +) Estes operadores são definidos como (Postulados):. 05 November 2014 Sistemas Digitais 3

4 Definição 05 November 2014 Sistemas Digitais 4

5 Comutatividade 05 November 2014 Sistemas Digitais 5

6 Associatividade 05 November 2014 Sistemas Digitais 6

7 Distributividade 05 November 2014 Sistemas Digitais 7

8 Elemento neutro da operação + (z) 05 November 2014 Sistemas Digitais 8

9 O elemento neutro da operação + (z) é único 05 November 2014 Sistemas Digitais 9

10 Elemento neutro da operação. (e) 05 November 2014 Sistemas Digitais 10

11 O elemento neutro da operação. (e) é único 05 November 2014 Sistemas Digitais 11

12 _ Inversor (not a ou a) 05 November 2014 Sistemas Digitais 12

13 Um elemento negado (not a ou a) é único _ 05 November 2014 Sistemas Digitais 13

14 Resultados dos postulados (corolários) I 05 November 2014 Sistemas Digitais 14

15 Resultados dos postulados (corolários) II Elemento absorvente da (+) Elemento absorvente de (.) 05 November 2014 Sistemas Digitais 15

16 Resultados dos postulados (corolários) III 05 November 2014 Sistemas Digitais 16

17 Resultados dos postulados (corolários) IV 05 November 2014 Sistemas Digitais 17

18 Resultados dos postulados (corolários) V 05 November 2014 Sistemas Digitais 18

19 Resultados dos postulados (corolários) VI 05 November 2014 Sistemas Digitais 19

20 Resultados dos postulados (corolários) VII 05 November 2014 Sistemas Digitais 20

21 Resultados dos postulados (corolários) VIII Prova-se da mesma forma que R12 05 November 2014 Sistemas Digitais 21

22 Resultados dos postulados (corolários) IX 05 November 2014 Sistemas Digitais 22

23 Resultados dos postulados (corolários) X 05 November 2014 Sistemas Digitais 23

24 Dualidade I As regras existem em pares Exemplos: 05 November 2014 Sistemas Digitais 24

25 Dualidade II Cada teorema da álgebra de Boole tem uma forma dual que é válida. As regras de conversão no dual são:. 05 November 2014 Sistemas Digitais 25

26 Dualidade III Cada teorema da álgebra de Boole tem uma forma dual que é válida. As regras de conversão no dual são:. 05 November 2014 Sistemas Digitais 26

27 Conjunto binário I Frequentemente trabalhamos com o conjunto binário: B = { 0, 1 } Para entender melhor alguns resultados podemos usar diagramas de Venn:. 05 November 2014 Sistemas Digitais 27

28 Conjunto binário II Podemos também usar também circuitos elétricos com interruptores, baterias e lâmpadas: O caso mais simples é este: Se o interruptor a estiver aberto (a=0) a lâmpada encontra-se apagada Se o interruptor a estiver fechado (a=1) a lâmpada acende 05 November 2014 Sistemas Digitais 28

29 Conjunto binário III Podemos combinar dois interruptores em série (a.b) AND paralelo (a+b) OR 05 November 2014 Sistemas Digitais 29

30 Conjunto binário IV Desta forma os postulados 4.1 e 4.2 traduzem-se em:. 05 November 2014 Sistemas Digitais 30

31 Contactor Um contactor é um interruptor que pode ser aberto ou fechado dependendo de ser aplicada ou não uma tensão aos seus terminais de controlo Ligados em conjunto permitem implementar as funções lógicas: AND, OR, NOT, etc. e assim qq circuito lógico (digital) Podem ser usados por exemplo para implementar semáforos em cruzamentos (nas aulas práticas vamos ver como o fazer mas com portas lógicas) 05 November 2014 Sistemas Digitais 31

32 Elementos físicos e funções lógicas Podemos implementar as funções lógicas AND OR NOT Com circuitos eletrónicos baseados em resistências, díodos e transístores Os díodos e transístores funcionam como interruptores dependendo da sua polarização Mas primeiro precisamos de entender o conceito de divisor de tensão 05 November 2014 Sistemas Digitais 32

33 Divisor de tensão I Num divisor de tensão, a tensão medida (que caí) em cada resistência é proporcional aos valores das resistências. A tensão que caí em R1 é dada por: Logo a tensão entre a saída e a terra é dada por: Ou por: Vr2 = V Vr1 = =. 05 November 2014 Sistemas Digitais 33

34 Divisor de tensão II Supondo que R2 é uma resistência variável entre baixa resistência e muito alta resistência. Podemos implementar com um interruptor. Resistência muito alta (ou infinita) é um circuito aberto: R1 900 x V = R1 + x 5 = 0 Logo a tensão entre a saída e a terra é dada por: Vr2 = V Vr1 = 5 0 = 05 November 2014 Sistemas Digitais 34

35 Divisor de tensão III Supondo que R2 é uma resistência variável entre baixa resistência e muito alta resistência. Podemos implementar com um interruptor. Resistência muito baixa(ou 0) é um curto circuito: R1 900 x V = R x 5 = 5 Logo a tensão entre a saída e a terra é dada por: Vr2 = V Vr1 = 5 5 = 05 November 2014 Sistemas Digitais 35

36 Divisor de tensão III Supondo que R2 é uma resistência variável entre baixa resistência e muito alta resistência. Podemos implementar com um interruptor. Resistência muito baixa(ou 0) é um curto circuito: Então R1 900 x V = R x 5 = 5 com um interruptor podemos variar a tensão na saída entre 0 (baixo ou Low ou Logo 0 lógico) a tensão entre a saída e a terra é dada por: e a tensão de alimentação, (alto ou high ou Vr2 1 lógico) = V Vr1 = 5 5 = 05 November 2014 Sistemas Digitais 36

37 Díodo I Um díodo é um elemento que apenas deixa passar corrente num sentido. Se a voltagem alta (+) for aplicada ao ânodo e a baixa (-) ao cátodo, ie polarizado diretamente, funciona como se a resistência fosse 0. Se polarizado inversamente a resistência é infinita não havendo passagem de corrente 05 November 2014 Sistemas Digitais 37

38 Díodo II Assim dependendo da polarização funciona como um interruptor Nota: O díodo não é um condutor perfeito, caindo 0,7 volts, mas para a análise podia-se considerar como perfeito, caindo nele 0 volts. 05 November 2014 Sistemas Digitais 38

39 Transistor Um transístor: dois díodos ligados pelo ânodo (ou cátodo ) pode funcionar como um interruptor controlado por um sinal na base. Se na base for aplicada um tensão alta existe condução entre o coletor e o emissor Se for uma tensão baixa não existe condução (circuito aberto) 05 November 2014 Sistemas Digitais 39

40 Inversor (NOT) Se a voltagem na entrada a for H o transístor conduz com baixa resistência, caindo a tensão na resistência sendo a saída NOT a = L c = Rtransistor x V = 0 x 5 ~ Rtransistor+Rres H = V = L = (L). (H) 05 November 2014 Sistemas Digitais 40

41 Inversor (NOT) Se a voltagem na entrada a for L o transístor não conduz, tem resistência infinita, sendo a saída NOT a = H Vr = Rres Rtransistor+Rres x V = x 5 ~ Vtransistor = Vsaída(NOT a) = V Vr = 5 0 = H = V = L = (H). (L) 05 November 2014 Sistemas Digitais 41

42 O díodo revisitado Um díodo é um elemento que apenas deixa passar corrente num sentido. Se a voltagem alta (+ ou H) for aplicada ao ânodo e a baixa (- ou L) ao cátodo, ie polarizado diretamente, funciona como se a resistência fosse 0. H L L H Se polarizado inversamente a resistência é infinita não havendo passagem de corrente 05 November 2014 Sistemas Digitais 42

43 Porta OU (OR gate) a = L = b = L = c = (não há corrente) (não há corrente) H = V = L = 05 November 2014 Sistemas Digitais 43

44 Porta OU (OR gate) a = L = b = H = c = Rres RdiodoB+Rres (não há corrente) (Díodo polarizado diretamente) x V = x 5 ~ 05 November 2014 Sistemas Digitais 44

45 Porta OU (OR gate) a = H = b = L = c = Rres RdiodoA+Rres (Díodo polarizado diretamente) (não há corrente) x V = x 5 ~ 05 November 2014 Sistemas Digitais 45

46 Porta OU (OR gate) a = H = b = H = (Díodo polarizado diretamente) (Díodo polarizado diretamente) c = Rres RdiodoA B+Rres x V = x 5 ~ 05 November 2014 Sistemas Digitais 46

47 Porta E (AND gate) a = L = b = L = (Díodo polarizado diretamente) (Díodo polarizado diretamente) c = RdiodoA B x V = 0 x 5 ~ RdiodoA B+Rres November 2014 Sistemas Digitais 47

48 Porta E (AND gate) a = L = b = L = (Díodo polarizado diretamente) (Díodo polarizado diretamente) c = RdiodoA B x V = 0 x 5 ~ RdiodoA B+Rres November 2014 Sistemas Digitais 48

49 Porta E (AND gate) a = L = b = H = (Díodo polarizado diretamente) (Díodo polarizado inversamente) c = RdiodoA x V = 0 x 5 ~ RdiodoA+Rres November 2014 Sistemas Digitais 49

50 Porta E (AND gate) a = H = b = L = (Díodo polarizado inversamente) (Díodo polarizado diretamente) c = RdiodoB x V = 0 x 5 ~ RdiodoB+Rres November 2014 Sistemas Digitais 50

51 Porta E (AND gate) a = H = b = H = (Díodo polarizado inversamente) (Díodo polarizado inversamente) c = RdiodoA B RdiodoA B+Rres x V = x 5 Indetermin 05 November 2014 Sistemas Digitais 51

52 Porta E (AND gate) Podemos ver a tensão que cai na resistência e subtrair à da entrada: Rres 1000 Vr = x V = x 5 = RdiodoA B+Rres C = Vdiodos = V Vr = 5 0 = 05 November 2014 Sistemas Digitais 52

53 Divisor de tensão II (revisto) Supondo que R2 é uma resistência variável entre baixa resistência e muito alta resistência. Podemos implementar com um interruptor. Resistência muito alta (ou infinita) é um circuito aberto: R1 900 x V = R1 + x 5 = 0 Logo a tensão entre a saída e a terra é dada por: Vr2 = V Vr1 = 5 0 = 05 November 2014 Sistemas Digitais 53

54 a + (not a) = a + a = 1 Se ligarmos a e not a às entradas de uma porta OR temos a saída: NOT OR Isto mostra o postulado já apresentado: a + a = 1 05 November 2014 Sistemas Digitais 54

55 a. (not a) = a. a = 0 Se ligarmos a e not a às entradas de uma porta AND temos a saída: NOT AND Isto mostra também outro postulado já apresentado: a. a = 0 05 November 2014 Sistemas Digitais 55

56 Funções de duas entradas ou variáveis Com duas entradas podemos ter 16 funções: T0 = circuito aberto. 05 November 2014 Sistemas Digitais 56

57 Funções de duas entradas ou variáveis Com duas entradas podemos ter 16 funções: T15 = circuito fechado. 05 November 2014 Sistemas Digitais 57

58 Funções de duas entradas ou variáveis As funções mais usadas são: AND, NAND, OR, NOR, EXCLUSIVE OR. 05 November 2014 Sistemas Digitais 58

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