APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA Profa. Dra. Lousanne Cavalcanti Barros Resende Possui Graduação em Matemática pela Universidade Federal de Viçosa (1997), Mestrado em Administração pelo CEPEAD/FACE/UFMG (2003), Doutorado em Administração pelo CEPEAD/FACE/UFMG (2014) e Pós Doutora em Finanças e Sustentabilidade na UNIVALI, Santa Catarina. Foi Diretora Financeira e Administrativa do Sicoob Nossacoop. Na área acadêmica atua como Coordenadora do Curso de Administração da FNH e como professora, lecionando, neste semestre, as disciplinas: Matemática e Matemática Financeira para os cursos de Administração e Ciências Contábeis. Tem experiência na área de Administração, com ênfase em Administração Financeira, atuando principalmente na área de Análise de Crédito. Belo Horizonte, MG 1º. Semestre de 2016

2 APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA Profa. Dra. Lousanne Cavalcanti Barros Resende 1. INTRODUÇÃO IMPORTANTE A disciplina Matemática Financeira tem como objetivo apresentar as ferramentas básicas utilizadas, também com o uso da HP 12 C, e auxiliar na tomada de decisão em projetos financeiros. Como consequência efetuaremos cálculos financeiros de forma analítica e instrumentalizada, identificando, interpretando e manipulando algebricamente as variáveis matemáticas das equações fundamentais da matemática financeira. Ao longo do semestre estudaremos capitalização simples e composta; taxas equivalentes para ambas capitalizações; desconto comercial; séries de pagamentos com termos vencidos e antecipados, com termos iguais e diferentes e finalizaremos com sistemas de amortização. Esta apostila é utilizada exclusivamente para fins didáticos na Graduação da Faculdade Novos Horizontes. Não deve ser considerada como base para consulta bibliográfica, mas como material orientativo. É proibida a reprodução total ou parcial, de qualquer forma ou por qualquer meio. A violação dos direitos de autor (Lei nº 9.610/98) é crime estabelecido pelo artigo 184 do Código Penal. Nesta disciplina, diferentemente das disciplinas da área de humanas, o aluno só aprende resolvendo exercícios. Por mais que você preste atenção nas aulas, é resolvendo, quebrando a cabeça, que o processo se torna mais agradável. Então: Bons Estudos!!!! 1

3 2. VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Uma das dificuldades encontradas pelos estudantes está em analisar o fluxo de caixa ao longo do tempo, considerando um valor hoje e outro no futuro. Para muitos, nessa situação, o procedimento se resume em somar todos os valores. Todavia, no contexto econômico, esses valores não podem ser somados, devido ao que chamamos de: valor do dinheiro no tempo. A ideia por trás dessa frase refere-se ao fato de que um real hoje vale mais do que um real em uma data futura. Isso ocorre devido: 1º.) à inflação; 2º.) a possibilidade de investí-lo, podendo receber mais ou menos no futuro; 3º.) a incerteza (se receberá seu dinheiro ou desconhecimento do valor exato no futuro). Para analisar a relação entre dinheiro agora e dinheiro mais tarde você deve conhecer bem as principais variáveis desse contexto, como Capital, Montante, Taxa, Período e Juros. O Capital representa qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época, enquanto que Montante corresponde ao somatório de um capital inicial aplicado e os juros gerados (GUERRA, 2001). Na figura abaixo percebemos que essas variáveis possuem, também, outras denominações. Já a Taxa de Juros é uma variável expressa em porcentagem (%). Matematicamente, pode-se encontrá-la dividindo os juros recebidos (ou pagos) no fim de um período de tempo pelo capital inicial empregado. 2

4 Por fim temos os Juros que representa uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital, por determinado tempo, a uma taxa combinada (GUERRA, 2001). É expresso em valor moeda (R$); 2.2. Noções básicas da HP 12C Neste tópico, apresento algumas teclas mais utilizadas em nossas aulas. Caso você precise de mais informação busque o manual da HP 12C, disponível na Biblioteca da sua faculdade, ou procure na internet, através do google. a) Ligar e desligar a calculadora [ON]; b) Fixar o n de casas decimais a serem apresentadas no visor [f] [n ]. No nosso caso, vamos trabalhar sempre com duas casas decimais, portanto [f] [2]; c) Apagar o que aparece no visor [CLX] d) Apagar o conteúdo de todos os registros [f] [REG] e) Apagar o conteúdo das memórias financeiras [f] [FIN] 3

5 f) Para fazer um cálculo simples (somar, subtrair, dividir ou multiplicar), vamos seguir a sequência: [n ] [Enter] [n ] [operação] Exemplo: Para calcular o valor de 3+2, vamos teclar a seguinte sequência [3] [Enter] [2] [+] Teclas Visor Observação [f] [REG] 0,00 Limpa os registradores [3] [Enter] 3,00 Registra o número [2] [+] 5,00 Registra a soma g) Substituir o ponto pela vírgula [ON] [.] (teclar ao mesmo tempo) h) O símbolo [%] permite o cálculo da porcentagem de um determinado número. Exemplo: Calcular 7% de R$37.490,00 Teclas Visor Observação [f] [REG] 0,00 Limpa os registradores [37490] [Enter] ,00 Registra o número [7] [%] 2.624,30 Registra a porcentagem i) calcular o inverso e um número [ 1 x ] Exemplo: Calcular o resultado de 1 10 Teclas Visor Observação [f] [REG] 0,00 Limpa os registradores [1] [Enter] 1,00 Registra o número [10] [ 1 x 0,01 Registra a resultado Observe que a tecla [ 1 x ] é um atalho para a divisão de Assim, caso queira você pode substituir essa tecla pela divisão: Teclas Visor Observação [f] [REG] 0,00 Limpa os registradores [1] [Enter] 1,00 Registra o número [10] [ ] 0,01 Registra a resultado j) gravar um número na memória [STO] [n ] resgatar o número gravado [RCL] [n anterior digitado] 4 Exemplo: Gravar e recuperar o número 12. Teclas Visor Observação [f] [REG] 0,00 Limpa os registradores [12] [STO] [1] 12,00 Grava o número [RCL] [1] 12,00 Recupera o resultado

6 k) elevar o número ao outro y x Exemplo: calcular o valor de 5 6. Teclas Visor Observação [f] [REG] 0,00 Limpa os registradores [5] [Enter] 5,00 Registra o número [6] [y x ] ,00 Registra o resultado l) transformar a porcentagem em número decimal Exemplo: encontrar o valor decimal de 25,38%. Teclas Visor Observação [f] [REG] 0,00 Limpa os registradores [25,38] [Enter] 25,38 Registra o número [100] [ ] 0,2538 Registra o resultado Caso vocês precisem transformar um número em porcentagem, basta multiplicá-lo por 100. Exemplo: escrever o número 0,3689 na forma porcentual. Teclas Visor Observação [f] [REG] 0,00 Limpa os registradores [0,3689] [Enter] 0,37 Registra o número [100] [x] 36,89 Registra o resultado Reparem no resultado que aparece no viso da 2ª. linha da tabela acima. O aluno que realizar os cálculos diretamente na calculadora, não precisará se preocupar. Todavia, àquele que resolver copiar cada resultado deve prestar atenção no número de casas, pois 0,37 é o número que aparece com duas casas decimais. A resposta correta a ser utilizada nos cálculos seria 0,

7 3. SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO Já aprendemos que o dinheiro muda de valor ao longo do tempo. Então, R$100,00 aplicados hoje na caderneta de poupança, por exemplo, renderão juros que transformarão os mesmos R$100,00 em um valor maior no futuro. A palavra capitalização indica como os juros são formados. Existem dois sistemas de capitalização: simples (juros simples) e composta (juros compostos) Capitalização Simples No sistema de capitalização simples, a característica da taxa de juros é que a mesma incide somente sobre o valor do capital inicial, independente do prazo apresentado. Para o cálculo dos juros, essa informação fica mais clara utilizando: J = C. i. n (1) sendo que, J = juros (R$); C = capital inicial (R$); i = taxa de juros (%); n = período (tempo) Já sabemos que montante é igual a soma do capital mais os juros do período. Então, matematicamente temos: M = C + J (2) Para identificar a fórmula para esse sistema de capitalização, vamos substituir a equação (1) em (2): M = C + C. i. n Observem que os dois termos apresentam o variável C em comum. Assim, vamos colocar essa variável em evidência, identificando a fórmula final: M = C. (1 + i. n) sendo que, M = montante; C = capital inicial; i = taxa de juros; n = período de tempo 6 O prazo e a taxa devem estar sempre na mesma unidade, ou seja, só é possível multiplicar uma taxa diária, por exemplo, com um prazo em dias. No contexto econômico existem vários tipos de taxas como: efetiva, aparente, real e nominal. A Taxa Efetiva é a taxa de juros em que a

8 unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização (ex: 5% a.m. capitalizados mensalmente). As taxas efetivas são as taxas mais usadas no mercado financeiro. As taxas efetivas se dividem em: Taxa Efetiva Aparente é a taxa de juros real acrescida da inflação. Taxa Efetiva Real é a taxa de juros, isolada da inflação. Corresponde ao ganho real após ter sido expurgado o efeito inflacionário sobre a taxa. Por fim, tem-se a Taxa Nominal que é a taxa de juros na qual a unidade de referência do prazo não coincide com a unidade de prazo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é uma taxa que disfarça a realidade, podendo enganar o consumidor. Em nossos exercícios utilizamos as taxas efetivas e trabalhamos com ano comercial (360 dias) Exemplo 1: Um empréstimo de R$1.000,00 foi contratado por 30 dias à taxa de 0,27% a.d. Calcule os juros e o montante. Resolução: C (capital) 1.000,00 n (período) 30 dias Importante: período e taxa i (taxa) 0,27% = 0,0027 a.d estão na mesma unidade J (juros)? M(montante)? J = C. i. n = 1.000,00. 0, = 81,00 Na resolução dos exercícios vamos trabalhar com 2 casas como resultado final dos cálculos. Para isso, você pode fixar esse número na sua calculadora teclando [f] [2], caso deseje utilizar todas as casas decimais, sem se preocupar com elas. Todavia, se desejar anotar cada resultado encontrado, você precisará copiar todas as casas decimais, caso contrário seu resultado ficará diferente. Para isso, tecle [f] [9]. No exemplo acima, vamos teclar da seguinte forma para encontrar os juros, com duas casas decimais: Teclas Visor [1.000,00] [ENTER] 1.000,00 [0,0027] [x] 2,70 [30] [x] 81,00 7

9 Assim: Para encontrar o montante basta somar os juros com o capital. M = C + J = R$1.000,00 + R$81,00 Teclas Visor [81,00] [ENTER] 81,00 [1.000,00] [+] 1.081,00 Resposta final: Montante = R$1.081,00 Exemplo 2: Qual o valor de um capital que gera, ao final de 5 meses, um valor de R$10.000,00, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês? Resolução: C (capital) n (período) i (taxa) M (montante)? Exemplo 3: Um capital de R$25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de R$7.875,00. Determinar a taxa correspondente. Resolução: C (capital) n (período) i (taxa)? J (juros) 8

10 Exemplo 4: Sabendo-se que os juros de R$6.000,00 foram obtidos com a aplicação de R$7.500,00, à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo. Resolução: C (capital) n (período)? i (taxa) J (juros) Exercícios de Fixação 1. Determinar quanto renderá um capital de R$60.000,00 aplicado à taxa de 2% ao mês, durante sete meses. 2. Um capital de R$40.000,00 foi aplicado em um fundo de investimento por 11 meses, produzindo um rendimento financeiro de R$9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples mensal oferecida por esta operação. 9

11 3. Qual o capital que aplicado à taxa de 15% ao semestre durante quatro semestres rendeu R$2.250,00 de juros? 4. Uma aplicação de R$ ,00 rendendo uma taxa de juros simples de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de R$27.000,00. Calcular o prazo da aplicação. 5. Qual é a taxa simples que transforma R$4.500,00 em um montante de R$8.100,00 em um ano? 6. Um investidor aplicou R$ ,00 em um fundo de investimento que lhe proporcionará um rendimento de 2,4% ao mês, durante três meses. De quanto será o resgate ao final desse prazo? 10

12 7. Uma pessoa aplica R$18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período. 8. Um empreiteiro necessita de R$ ,00 para daqui a quatro meses. Quanto ele deve depositar hoje em um banco que paga juros simples de 6% ao mês para obter aquela quantia no prazo desejado? 9. Um investidor aplicou um principal de R$1.000,00 para receber um montante de R$1.300,00 no prazo de 36 meses. Determinar a rentabilidade trimestral do investidor. 10. Dois capitais, um de R$ ,00 e outro de R$ ,00 foram postos a juros segundo uma mesma taxa diária. O primeiro rendeu, em 50 dias, R$10.000,00 mais do que o segundo em 21 dias. Calcular a taxa de juros ao dia. 11

13 Equivalência de Taxas na Capitalização Simples Taxas equivalentes são aquelas que aplicadas sobre o mesmo capital, durante o mesmo período, proporcionam o mesmo montante. E, no sistema de capitalização simples, essas taxas são conhecidas por serem proporcionais. Existem duas formas para converter taxas proporcionais: regra de três e fórmula. Na resolução dos exercícios, você pode escolher qual método utilizar Regra de três Vamos considerar que desejamos identificar a taxa anual equivalente à taxa de 1%a. m. Inicialmente, vamos escrever a taxa na forma decimal: 1% = 1 = 0,01. Assim, temos: 100 Taxa que tenho no exercício Taxa que desejamos identificar Taxa 1% a. m. x% a. a. 0,01 1 mês x 1 ano Como vamos ler a taxa 1% = 0,01 taxa a. m. 1 mês x% taxa a. a. 1 ano Como as unidades estão em períodos diferentes, vamos ajustar 1 ano para 12 meses. Assim, 0,01 1 mês x 12 meses Multiplicando cruzado temos: 1. x = 0, x = 0,12 Para escrever esse resultado na forma percentual basta multiplicarmos por 100 (0, = 12%). Dessa forma, 1% e 12% são consideradas taxas proporcionais Fórmula Muitos alunos acabam utilizando a lógica para encontrar uma taxa proporcional. Todavia, esse raciocínio lógico pode ser matematicamente ilustrado por: 12 i a = 12. i m = 2. i s = 4. i t = 6. i b =

14 Exemplo1: Calcular a taxa mensal de juros equivalente a: a) 14,4% ao ano b) 11,4% ao semestre i m = i a 12 = 0, = 1,20% a. m 12 i m = i s 6 = 0, = 1,90% a. m 6 Exemplo 2: Determinar a taxa de juros anual proporcional às seguintes taxas: a) 2,5% ao mês b) 12,5% para 5 meses Exemplo 3: Determinar as taxas trimestral e anual proporcionais à taxa de 0,90% a.m. Exemplo 4: Determinar as taxas efetivas anuais equivalentes às taxas de 2,0% ao trimestre e 4% ao semestre. 13

15 Exercícios de Fixação 1. Um capital de R$28.000,00 aplicados durantes oito meses, rendeu juros de R$11.200,00. Determinar qual a taxa anual desta operação. 2. Durante 155 dias, certo capital gerou um montante de R$64.200,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 4% ao mês, determinar o valor do capital aplicado. 3. Determinar quanto renderá um capital de R$60.000,00 aplicado à taxa de 24% ao ano, durante sete meses. 4. Determinar o capital necessário para produzir um montante de R$ ,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre. 14

16 5. Uma instituição financeira remunera suas aplicações com uma taxa de 1,20% ao mês. Determinar o valor de resgate de uma aplicação de R$10.000,00 para o prazo de 35 dias. 6. Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ ,00, resultante da aplicação de certo capital à taxa de 42% ao ano, durante 13 meses? 7. O montante de um capital de R$6.600,00 ao final de sete meses é determinado adicionando-se R$1.090,32 de juros. Calcular a taxa de juros mensal e anual utilizada. 8. Determinar a taxa bimestral de juros que faz com que um capital triplique de valor após dois anos. 15

17 9. A Empresa Beta S.A. gera uma receita de R$12.500,00 aplicando R$90.000,00 a uma taxa de juros de 2,50% a.m. Considerando que o captador é remunerado a juros simples, para render essa receita quanto tempo o dinheiro deverá ficar aplicado? 10. Uma aplicação de R$ ,00 rendendo uma taxa de juros simples de 2,10% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de R$47.000,00. Calcular o prazo da aplicação. Faça os exercícios sobre Capitalização Simples no Sistema Moodle. Não se esqueça que essa atividade tem um prazo para realização Capitalização Composta No contexto econômico, a capitalização composta é conhecida por utilizar juros sobre juros. Isso significa que a taxa de juros é aplicada ao capital inicial do período anterior, que foi acrescido dos juros acumulados naquele período. Assim, matematicamente, para a capitalização composta utilizaremos a seguinte fórmula: M = C. (1 + i) n

18 sendo que, J = juros; C = capital inicial; i = taxa de juros; n = período de tempo; M = montante. Na HP 12C é possível utilizar algumas teclas que servem de atalho para a fórmula acima. Mas, antes precisamos ativar esse sistema através das teclas [STO] [EEX]. Observe que quando ativada aparecerá a letra C no visor da máquina. Para as outras variáveis, as teclas são: [FV] = future value = valor futuro = Montante; [PV] = present value = valor presente = valor atual = capital inicial; [n] = prazo = período [i] = taxa de juros [CHS] = change signal, muda o sinal (+/-). Exemplo 1: Calcule o montante de uma aplicação de R$1.000,00 durante 3 meses à taxa de 5,5% a.m. Resolução através da fórmula: B C (capital) 1.000,00 n (período) 3 meses i (taxa) 5,5% a.m = 0,055 M(montante)? M = C. (1 + i) n M = 1.000,00. (1 + 0,055) 3 M = 1.000,00. (1,055) 3 Teclas Visor da HP 12C [0,055] [Enter] 0,06 [1] [+] 1,06 [3] [y x ] 1,17 [1.000,00] [x] 1.174,24 Caso deseje utilizar anotar os resultados, lembre-se que você deve copiar todas as casas decimais, como no exemplo abaixo. Teclas Visor da HP 12C [0,055] [Enter] 0, [1] [+] 1, [3] [y x ] 1, [1.000,00] [x] 1.174, [f] [2] 1.174,24 M = 1.000,00. 1, M = 1.147,24 17

19 Resolução através da HP12C Teclas Visor da HP 12C [1.000,00] [CHS] [PV] ,00 [5,5] [i] 5,50 [3] [n] 3,00 [FV] 1.174,24 Reparem que estamos trabalhando com duas casas decimais e que não dividimos a taxa por cem para a tecla atalho. A ordem de entrada das variáveis na HP 12C não interfere no resultado. O importante é teclar, por último, a variável que deseja descobrir. Exemplo 2: Quais os juros produzidos pelo capital de R$2.100,00, colocados a juros compostos de 5,4% a.m., durante 4 meses? Exemplo 3: Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 8,34% ao ano, para ter R$7.580,00 no final de 15 meses? 18

20 Exemplo 4: Um montante de R$630,00 foi obtido após a aplicação de R$570,00 a uma taxa de juros compostos igual a 1,85% a.m. Qual foi a duração da aplicação? Exemplo 5: A qual taxa de juro (ao trimestre) um capital quadruplica de valor, no regime de capitalização composto, ao final de 1 ano e 8 meses? Exercícios de Fixação 1. Calcular o montante de uma aplicação de R$15.000,00 pelo prazo de seis meses a uma taxa de 3% a.m. 2. Determinar o montante no final de dez meses, resultante da aplicação de um capital de R$ ,00 a taxa de 3,75% a.m. 19

21 3. Uma empresa obtém hoje um empréstimo de R$ ,00 que será liquidado, de uma só vez, ao final de quatro semestres. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual este empréstimo deverá ser quitado. 4. A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro de seu valor? 5. Qual o valor dos juros, no final de um semestre, resultante da aplicação de um capital de R$8.000,00 a taxa de 2% a.m.? 6. A loja Alpha financia a venda de uma mercadoria no valor de R$16.000,00 sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$22.753,61 no final de oito meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja Alpha? 20

22 7. A que taxa um capital de R$43.000,00 pode ser dobrado em 18 meses? 8. Uma pessoa empresta R$80.000,00 hoje para receber R$ ,46 no final de dois anos. Calcular a taxa anual deste empréstimo. 9. Em que prazo um empréstimo de R$30.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$51.310,18 sabendo-se que a taxa contratada é de 5%a.m.? 10. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de 12,486%, determinar o prazo em que um empréstimo de R$20.000,00 será resgatado por R$36.018,23. 21

23 Equivalência de taxas na Capitalização Composta Como já foi dito anteriormente, taxas equivalentes são taxas que aplicadas sobre o mesmo capital, para o mesmo período produzem o mesmo montante. Para converter uma taxa, na capitalização composta, devemos utilizar a seguinte equação: i q = {(1 + i t ) q t 1}. 100 sendo que, i q = taxa que eu quero; i t = taxa que eu tenho; q = período que eu quero; t = período que eu tenho Exemplo 1: Qual a taxa anual equivalente à taxa de 1% ao mês? i q = {(1 + i t ) q t 1}. 100 i q = {(1 + 0,01) 1 ano 1 mês i q = {(1,01) 1 ano 1 mês 1} }. 100 i q = {(1,01) 12 meses 1 mês 1}. 100 i q = {(1,01) 12 1}. 100 i q = {1, }. 100 i q = {0, }. 100 i q = 12,68% a. a. Exemplo 2: Calcular a taxa mensal de juros equivalente a: a) 14,4% ao ano b) 11,4% ao semestre. Exemplo 3: Calcular a taxa equivalente a 34% ao ano para 5 meses. 22

24 Exercícios de Fixação Todos os exercícios deverão ser resolvidos pela fórmula M = C. (1 + i) n e pelas teclas da HP 12C (FV, PV, n, i). Vocês deverão utilizar todas as casas decimais nos cálculos, mas apresentar a resposta com apenas duas. 1. Considerando juros compostos, capitalizar as seguintes taxas: a) 2,3% ao mês para um ano; b) 0,14% ao dia para 23 dias; c) 7,45% ao trimestre para um ano; d) 6,75% ao semestre para um ano. 23

25 2. Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 51,107% ao ano, para ter R$ ,00 ao final de 19 meses? 3. Qual o montante produzido pela aplicação de R$ ,00, à taxa de 175% ao ano, pelo prazo de 213 dias? 4. Qual o valor do capital, que aplicado à taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias, produziu um montante de R$5.000,00? 24

26 5. A aplicação de R$ ,00 proporcionou um resgate de R$ ,56 no final de seis meses. Determinar as taxas mensal e anual dessa operação. 6. A aplicação de R$ ,00 proporcionou um rendimento de R$ ,00 no final de 208 dias. Determinar a taxa diária, mensal e anual de juros. 25

27 7. Qual o valor do resgate total de uma aplicação de R$1.000,00 à taxa anual de 12,68%, durante 200 dias. 8. Em quanto tempo um capital quintuplica de valor, considerando uma taxa de 2% a.m.? 9. Um capital inicial de R$430,00 rendeu R$80,00 de juros compostos após permanecer aplicado por três meses. De quanto foi a taxa de juros mensal da aplicação? 26

28 10. Uma empresa obtém hoje um empréstimo de R$ ,00 que será liquidado, de uma só vez, ao final de quatro meses. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao ano, calcular o valor pelo qual este empréstimo deverá ser quitado. Faça os exercícios sobre Capitalização Composta no Sistema Moodle. Não se esqueça que essa atividade tem um prazo para realização. 27

29 4. DESCONTO DE TÍTULOS Ao contrair uma dívida para pagamento futuro, é comum o devedor oferecer ao credor um documento comprobatório, que é o título de crédito (nota promissória e duplicata). Todos esses títulos possuem uma data de vencimento, mas podem ser pagos antecipadamente. O possuidor do documento ou credor, necessitando de dinheiro antes do vencimento, pode obter o recebimento antecipado, ou apresentar o título a uma instituição financeira que lhe adiantará o dinheiro, sob pagamento de uma vantagem compensatória. Essa operação é denominada desconto. Dessa forma, desconto de títulos corresponde ao adiantamento de recursos aos clientes. Vejam os termos mais utilizados: Valor do Título = Valor de Face = Valor Nominal corresponde ao valor futuro do título, ou seja, ao valor que será pago na data de seu vencimento. Representa o conceito de montante. É o valor que está escrito no título; Desconto É o valor em dinheiro cobrado pelas instituições financeiras para adiantar os recursos; Taxa de Desconto É a taxa (%) cobrada no adiantamento dos recursos; Valor do Resgate = Valor Presente do Título = Valor Líquido Recebido = Valor Atual corresponde ao valor do título subtraído o valor do desconto. Também chamado de Desconto por fora ou Desconto comercial, este tipo de desconto utiliza juros simples. É chamado de desconto por fora porque incide somente sobre o valor nominal do título. As fórmulas do desconto simples são: D = M. i. n M = C D 28 Unindo essas duas fórmulas encontramos que o valor atual de um título pode ser identificado por: C = M. (1 i. n)

30 sendo que, D = valor do desconto; M = valor do título; C = valor líquido do título; i = taxa de desconto Exemplo 1: Qual o valor do desconto bancário simples de um título de R$2.000,00 com vencimento para 3 meses à taxa de 2,5% a.m.? D = M. i. n D = 2.000,00. 0, D = 150,00 Exemplo 2: Determinar o valor do desconto simples de um título de R$1.000,00, com vencimento para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto por fora é de 1,5% ao mês. Exemplo 3: Determinar o valor da taxa mensal de desconto por fora usada numa operação de desconto de 60 dias, de um título com valor de resgate de R$10.000,00 e com valor do principal igual a R$9.750,00. Exemplo 4: Certo título foi descontado, obtendo-se um líquido de R$2.387,50, 30 dias antes do seu vencimento, à taxa de 4,5% a.m. Qual o valor nominal do título? 29

31 Exercícios de Fixação 1. Um título de R$ ,00 foi descontado a 25%a.a., dois meses antes de seu vencimento. Determine o valor líquido entregue ao seu portador. 2. Uma grande empresa recorreu a um banco para descontar uma duplicata no valor de R$ ,00 com 31 dias de prazo, a taxa de desconto de 1,685% a.m. Qual o valor que a empresa terá creditado em sua conta? 3. Uma duplicata de R$70.000,00 com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descontada por um banco a taxa de 2,7%a.m. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. 4. Calcular o valor do desconto de um título de R$ ,00, com 115 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3%a.m. 30

32 5. Sabendo-se que o desconto de uma duplicata no valor de R$25.000,00 com 150 dias a vencer, gerou um crédito de R$22.075,06 na conta do cliente, determinar a taxa mensal de desconto. 6. Determinar o valor nominal de um título, com 114 dias para seu vencimento, que descontado a taxa de 48% a.a. proporcionou um valor atual de R$38.784,00. O ano comercial tem 360 dias. 7. Descontando por fora uma promissória de valor nominal R$7.350,00 à taxa simples de 3,6% a.m. mais IOF de 1,6% sobre o nominal, dois meses e dez dias antes do vencimento, qual o valor líquido recebido? 8. Um título descontado comercialmente à taxa simples de 12% a.a. reduz-se, 1 semestre antes do vencimento, à R$2.432,00. Qual o valor nominal desse título? 31

33 9. Um título, ao ser descontado racionalmente três meses antes do vencimento, à taxa simples de 4,75%a.m., teve valor atual igual a R$19.000,00. Qual o valor de face desse título (valor nominal)? 10. Um título de R$ ,00 foi descontado a 12%a.s., três trimestres antes de seu vencimento. Determine o valor líquido entregue ao seu portador. Faça os exercícios sobre Desconto Simples no Sistema Moodle. Não se esqueça que essa atividade tem um prazo para realização. 32

34 5. SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS As séries de pagamentos iguais são uma sucessão de pagamentos iguais, em dinheiro, previsto para determinado período de tempo, com vencimentos sucessivos. As séries de pagamentos iguais se dividem em postecipados e antecipados Séries de Pagamentos Iguais Postecipados Também conhecida como série de pagamentos iguais vencidos, o primeiro pagamento não ocorre no tempo zero, ou seja, não há entrada do primeiro pagamento. As variáveis relacionadas aos pagamentos vencidos (postecipados) são: Valor presente [PV], Valor futuro [FV], prazo [n], taxa de juros [i] e prestação [PMT]. Os problemas envolvendo pagamentos vencidos podem ser resolvidas pela HP12C conforme abaixo: Exemplo 1: Considerando um financiamento de 5 pagamento iguais mensais de R$1.000,00, sem entrada, com taxa de juros mensais de 3%, calcule o valor presente do financiamento. Teclas Visor da HP 12C [5] [n] 5,00 [1000] [CHS] [PMT] ,00 [3] [i] 3,00 [PV] 4.579,71 Valor Presente é R$4.579,71 Exemplo 2: Uma pessoa adquire uma mercadoria para ser paga em 20 prestações mensais e iguais, a taxa de 3,5% a.m. Sabendo-se que a primeira prestação vence no final do quinto mês e a última no final do vigésimo quarto mês, e que o valor financiado foi de R$ ,00, pede-se calcular o valor da prestação. 33

35 1º. passo: Atualizar a dívida até o tempo 4: 2º. passo: Calcular o valor da prestação: [ ] [CHS] [PV] [ ,45] [CHS] [PV] [4] [n] [20] [n] [3,5] [i] [3,5] [i] [FV] ,45 [PMT] ,14 Resposta: Valor da prestação é R$12.111,14 Exemplo 3: Qual o montante, no final de 8 meses, referente a uma aplicação de R$1.000,00 por mês, à taxa de 3% a.m.? Exemplo 4: Quanto deverá ser aplicado, a cada 2 meses, em um Fundo de Renda Fixa, à taxa de 5% a.b., durante 3 anos e meio, para que se obtenha, no final desse prazo, um montante de R$ ,00? 34

36 Exemplo 5: Calcular o valor atual de uma série de 24 prestações iguais, mensais e consecutivas de R$ 3.500,00 cada uma, considerando uma taxa de 5% a.m. Exemplo 6: Um empréstimo de R$30.000,00 é concedido por uma instituição financeira para ser liquidado em 12 prestações iguais, mensais e consecutivas. Sabendo-se que a taxa de juros é 3,5% a.m., calcular o valor da prestação. Exercícios de Fixação 1. Considerando um financiamento de 5 pagamentos iguais e mensais de R$1.000,00, sem entrada, com taxa de juros mensais de 3%, calcule o valor presente deste financiamento. 35

37 2. Calcule a prestação de um financiamento de pagamento postecipados, no qual foram desembolsadas 8 prestações mensais, a taxa de juros correspondente a 4% ao mês e o valor presente do financiamento corresponde a R$10.000, Qual o valor futuro de um financiamento de 10 prestações anuais de R$20.000,00, sem entrada, sabendo-se que a taxa de juros é de 24% a.a.? 4. Determine a taxa de juros bimestral de um financiamento de pagamentos vencidos, considerando 15 prestações bimestrais de R$8.000,00 e montante de R$ , Qual o prazo de um financiamento com prestações mensais de R$500,00, sem entrada, considerando taxa de juros mensais de 2% e valor atual de R$1.500,00? 36

38 6. Calcular o montante ao final de 2 anos, correspondente a aplicação de 24 parcelas iguais e mensais de R$1.000,00 cada uma, sabendo-se que a taxa de juros é de 3,5%a.m. 7. Determinar a que taxa de juros a aplicação de R$5.000,00 por mês gera um montante de R$ ,00 no final de 4 anos e meio, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês. 8. Em quantos pagamentos trimestrais de R$5.700,25 pode-se liquidar um financiamento de R$50.000,00 a taxa de 3,228% a.m.? 9. Uma pessoa aplica R$5.000,00 por mês, durante os 10 primeiros meses consecutivos, a uma taxa de 3,25%a.m. Determine o valor do montante ao final do décimo quinto mês. 37

39 10. Calcule a prestação de um financiamento de pagamento postecipados, no qual foram desembolsadas 8 prestações mensais, a taxa de juros correspondente a 4% ao mês e o valor presente do financiamento corresponde a R$10.000, Séries de Pagamentos com termos diferentes Quando as séries de pagamentos apresentarem, pelo menos, um termo diferente, o procedimento para cálculo do valor presente é diferente. Nesse caso, as funções das teclas disponíveis são: [CF o ] registro do pagamento ou fluxo, no momento zero (fluxo de caixa inicial); [CF j ] registro dos pagamentos ou fluxos; [N j ] utilizada para informar a quantidade de fluxos que se repetem com mesmo valor, na sequência. [f] [NPV] cálculo do valor presente Exemplo 1: Calcular o valor presente dos 4 fluxos mensais: R$10.000,00; R$15.000,00; -R$10.000,00 e R$15.000,00, utilizando uma taxa de 5%a.m. Antes de inserir os dados é preciso respeitar a sequência dos fluxos ao longo do período. Teclas Visor da HP 12C [10000] [g] [CF j ] ,00 [15000] [g] [CF j ] ,00 [10000] [CHS] [g] [CF j ] ,00 [15000] [g] [CF j ] ,00 [5] [i] 5,00 [f] [NPV} ,41 Resposta: valor presente R$26.831,41 38

40 Exemplo 2: Um empréstimo é realizado à taxa de juros de 2,5% ao mês. As amortizações terão início no quinto mês após a contratação, sendo feitas em 24 prestações mensais de R$5.000,00 e mais duas prestações anuais de R$10.000,00 (incidindo nas 12º e 24º prestações mensais). Qual é o valor presente deste financiamento? Exemplo 3: Uma empresa tomou empréstimo de um banco. A amortização iniciará no mês seguinte, sendo feita mediante o pagamento de seis parcelas mensais: as três primeiras de R$ ,00 e as três últimas de R$ ,00. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 1,3% ao mês, calcule o valor presente líquido deste empréstimo. 39

41 Exemplo 4: Um agente de mercado realizou três orçamentos para a compra de microcomputadores: Orçamento I Orçamento II Orçamento III Prazo Pagamento Prazo Pagamento Prazo Pagamento 0 R$5.000,00 30 dias R$7.000,00 60 dias R$7.500,00 30 dias R$5.000,00 60 dias R$4.000,00 90 dias R$8.200,00 60 dias R$5.000,00 90 dias R$3.000, Qual das alternativas é a mais atraente, considerando que seu capital está rendendo em torno de 1,17% ao mês? Exercícios de Fixação 1. Calcular o valor presente de uma série de 5 pagamentos mensais, consecutivos, de R$1.700,00, R$3.000,00, R$1.250,00, R$2.300,00 e R$3.550,00, respectivamente, a uma taxa de 1,32%a.m. 40

42 2. Um empréstimo foi liquidado em 3 pagamentos anuais e sucessivos de R$12.000,00, R$15.000,00 e R$18.000,00, respectivamente. A taxa de juros cobrada pela Instituição Financeira é de 25%a.a. Qual o montante pago ao final do terceiro ano? 3. Uma pessoa aplicou numa instituição financeira a juros compostos de 1,38% a.m. Os resgates foram de: R$1.900,00 em 2 meses; R$4.600,00 em 5 meses; R$9.700,00 em 6 meses. Calcular o valor total da aplicação. 4. Um empréstimo foi liquidado em quatro prestações anuais e sucessivas de R$25.000,00, R$35.000,00, R$40.000,00 e R$50.000,00. A taxa de juros cobrada pela instituição financeira foi de 27%a.a. Qual o valor do empréstimo? 41

43 5. Um empréstimo foi liquidado em 7 prestações mensais sendo as 3 primeiras no valor de R$1.500,00, as 2 seguintes no valor de R$2.000,00, a sexta no valor de R$3.000,00 e a sétima no valor de R$3.500,00. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pela instituição financeira é de 6,5%a.m., calcular o valor do empréstimo. 6. Um consumidor adquire uma geladeira pelo sistema de crediário, para pagamento em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, no valor de R$124,75. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pela loja é de 5,8%a.m e que a primeira prestação será paga ao final do quarto mês (3 meses de carência), calcular o valor financiado pelo consumidor. 42

44 7. O investimento inicial de certa indústria está estimado em R$ ,00 e estão previstos os fluxos a seguir, à taxa de 12% a.a. Pretende-se ao final de 8 anos vender o negócio por R$ ,00. Calcular o valor presente, sabendo que os fluxos de receita são: -R$12.000,00 (no primeiro ano); R$40.000,00 (no quarto e quinto anos); R$60.000,00 (no sexto ano) e R$5.000,00 (no sétimo ano). 8. Considere o seguinte fluxo de caixa: Mês Valor (R$) ,00 1 0, ,00 3 0, , , ,00 Em relação a esse fluxo de caixa, determine o valor presente considerando uma taxa de 1,2% a.m.; 43

45 9. Um apartamento foi colocado à venda por R$60.000,00 à vista, ou em 3 anos de prazo, com - R$25.000,0 de entrada; - 12 prestações mensais de R$1.200,00, no primeiro ano; - 12 prestações mensais de R$2.000,00, no segundo ano; e - 12 prestações mensais de R$2.500,00, no último ano. Qual seria a sua decisão, comprar a vista ou a prazo, considerando uma taxa de 3,5%a.am? 44

46 10. Qual o valor de uma dívida hoje, considerando que você pagará 4 prestações mensais, sendo a primeira, no valor de R$1.500,00, que vence daqui a um mês; a segunda de R$2.200,00, que vencerá em 2 meses; a terceira de R$3.000,00, que vencerá daqui a 3 meses e a última, de R$3.500,00, vencerá daqui a 4 meses? A taxa cobrada para o financiamento é de 6% am. 45

47 5.3. Séries de Pagamentos Iguais Antecipados Nas séries de pagamentos iguais antecipados, o primeiro pagamento ocorre no tempo zero, ou seja, há entrada. As variáveis relacionadas com os pagamentos antecipados são as mesmas dos pagamentos postecipados. Para se trabalhar com pagamentos antecipados, deve-se preparar a HP12C, teclando [g] [BEG], então aparecerá no visor a palavra BEGIN, o que significa que a máquina estará trabalhando com pagamentos antecipados, ou seja, com entrada. Para desativar o BEGIN basta teclar [g] [END], então desaparecerá a palavra BEGIN do visor e a máquina voltará a trabalhar com termos postecipados. Exemplo 1: Considerando um financiamento de 4 pagamentos iguais mensais de R$1.500,00, com entrada, e taxa de juros mensais de 3%, calcule o valor presente do financiamento. Teclas Visor da HP 12C [g] [7] Begin [4] [n] 4,00 [1500] [CHS] [PMT] ,00 [3] [i] 3,00 [PV] 5.742,92 Valor presente é R$5.742,92 Exemplo 2: Qual o montante ao final de 20 meses, resultante da aplicação de 14 parcelas iguais e consecutivas de R$1.800,00 cada uma, sabendo-se que a taxa contratada é de 3,5%a.m. e que a primeira aplicação é feita hoje? 1º) Calcular o FV no tempo 14 2º) Atualizar do tempo 14 ao [g] [BEG] [32.932,23] [CHS] [PV] [1.800] [CHS] [PMT] [6] [n] [14] [n] [3,5] [i] [3,5] [i] [FV] ,11 [FV] = ,23 Montante é R$40.482,11

48 Exemplo 3: Uma dona de casa compra uma TV em 24 prestações de R$630,64, sendo que a primeira prestação é dada como entrada. Sabendo-se que a taxa de mercado é de 4% a.m., qual o valor da TV à vista? Exemplo 4: Determinar o montante ao final do 5º mês de uma série de 5 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$1.000,00 à taxa de 1% a.m., de forma antecipada. Exemplo 5: Um empréstimo de R$4.000,00 é concedido por uma instituição financeira para ser liquidado em 12 prestações iguais, mensais, consecutivas e antecipadas. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2,7% a.m. determine o valor da prestação. 47

49 Exercícios de Fixação 1. Considerando um financiamento de 4 pagamentos iguais mensais de R$1.500,00, com entrada, e taxa de juros mensais de 3%, calcule o valor presente do financiamento. 2. Calcule a prestação de um financiamento de pagamentos antecipados, no qual foram desembolsadas 10 prestações mensais, sabendo-se que a taxa de juros corresponde a 2% ao mês e o valor presente do financiamento é R$15.000,00. 48

50 3. Qual o valor futuro de um financiamento de 12 prestações anuais de R$12.000,00, com entrada, sabendo-se que a taxa de juros é de 12%a.a.? 4. Determine a taxa de juros trimestral de um financiamento de pagamentos antecipados, considerando 10 prestações trimestrais de R$8.000,00 e montante de R$ , Qual o prazo de um financiamento com prestações mensais de R$300,00, com entrada, considerando taxa de juros mensais de 3.5% e valor atual de R$1.500,00. 49

51 6. Um carro no valor de R$50.000,00 é financiado por uma concessionária, para pagamento em 13 parcelas mensais iguais de R$5.328,31, sendo a primeira no ato da compra. Calcular a taxa de juros praticada. 7. Calcular o preço à vista de um eletrodoméstico, adquirido em 3 prestações iguais, mensais e sucessivas, no valor de R$120,00. A primeira prestação será paga na data da compra e a taxa de juros da loja é de 4,25%a.m. 8. Calcular o montante de 15 depósito mensais, iguais e sucessivos, no valor de R$850,00, à taxa de 1,31% a.m., sendo o primeiro depósito realizado hoje. 50

52 9. O preço à vista de uma televisão é de R$1.350,00 ou está sendo negociada em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, sendo, a primeira, paga hoje. Sabendo-se que a loja opera com uma taxa de juros de 3% a.m., qual o valor da prestação mensal? 10. A aplicação de 18 parcelas mensais, iguais e sucessivas, gerou um montante de R$5.400,00. Sabendo-se que a taxa de juros da operação foi de 1,7% a.m. e que a primeira parcela é aplicada hoje. Calcular o valor de cada aplicação. Faça os exercícios sobre Série de pagamentos no Sistema Moodle. Não se esqueça que essa atividade tem um prazo para realização. 51

53 6. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Amortizar significa saldar uma dívida aos poucos. As formas de pagamento dos empréstimos e financiamentos são chamadas de sistemas de amortização. Os sistemas de amortização são os mais variados, alguns prevendo pagamento único, outros possibilitando parcelamentos. Alguns deles são mais comuns, possuindo inclusive denominação própria. Os sistemas de amortização mais conhecidos são SAC e PRICE. 6.1 Sistema de Amortização Constante (SAC) Por este sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações que incluem, cada uma, uma parcela constante de amortização e os juros sobre o saldo devedor. Uma tabela de amortização possui o seguinte formato, conforme a seguir. Exemplo: Um empréstimo de R$9.000,00 foi pago em 3 parcelas à taxa de 5%a.m. Monte um plano de amortização constante (SAC). Tempo Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , ,00 450, , , ,00 300, , ,00 150, ,00 Total ,00 900, ,00 Passo a passo: 1. Calcule o valor da amortização e preencha toda a coluna da amortização dos tempos em diante. Como a amortização é fixa, o mesmo valor deve ser colocado em toda a coluna: Saldo devedor inicial Amortização = número de prestações = 9.000,00 = 3.000, Calcule os juros do tempo 1: Juros = %. saldo devedor período anterior Tempo 1: 5% ,00 = 450,0 3. Calcule a prestação do tempo 1: Prestação = Amortização + Juros Prestação = 3.000, ,00 = 3.450,00 4. Calcule o saldo devedor do tempo 1: Saldo devedor = Saldo devedor anterior Amortização Saldo devedor = 9.000, ,00 = 6.000,00 52 A seguir repita os passos de 2 a 4 para cada período de tempo. Preencha a tabela, linha a linha. O saldo devedor do último período de tempo deverá ser zero. A soma dos totais das colunas de amortização e juros deverá ser igual ao total da coluna prestações.

54 Exercícios de Fixação 1. Montar um plano de amortização constante para um empréstimo de R$10.000,00 a ser quitado em 4 parcelas mensais à taxa de 10%a.m. Tempo Saldo devedor Amortização Juros Prestação 2. Elaborar o plano de pagamento correspondente a um empréstimo de R$ ,00 a uma taxa de 1%a.m., a ser liquidado em prestações semestrais consecutivas durante dois anos. Tempo Saldo devedor Amortização Juros Prestação 3. Uma dívida de R$ ,00 vai ser amortizada através da tabela SAC em 5 prestações semestrais de 20% ao semestre. Calcule o valor da cota de amortização e faça a planilha do financiamento. Tempo Saldo devedor Amortização Juros Prestação 53

55 4. Um empréstimo de R$ ,00 será devolvido em 7 prestações mensais, vencendo a primeira prestação a 30 dias da data de recebimento do financiamento. Pede-se construir a planilha do empréstimo pelo sistema de amortização constante SAC, considerando uma taxa de 5%a.m. Tempo Saldo devedor Amortização Juros Prestação 6.2 Sistema de Amortização constante (PRICE) Nesse sistema os pagamentos são postecipados, iguais e consecutivos, ou seja, as prestações são fixas durante todo o período. A tabela pode ser preenchida através de cálculos simples, seguindo os seguintes passos: 1. Calcule o valor da prestação e preencha toda a coluna da prestação dos tempos 1 em diante. Como as prestações são fixas, o mesmo valor deve ser colocado em toda a coluna. [Valor do empréstimo] [CHS] [PV] [Taxa de juros] [i] [Número de prestações] [n] [PMT] = Valor das Prestações No sistema PRICE podemos utilizar a seguinte sequência de teclas para cada tempo (período): [1] [F] [AMORT] calcula os juros [X><Y] calcula a amortização [RCL] [PV] atualiza o saldo devedor 54 Através dessa sequência de teclas, você vai preencher o quadro iniciando da prestação. A seguir repita os passos de 2 a 4 para cada período de tempo. Preencha a tabela, linha a linha, da direita para a esquerda. O saldo devedor do último período de tempo deverá ser zero ou bem próximo de zero.

56 Caso sobre no saldo devedor do último período algum resíduo pequeno, este deve-se aos arredondamentos feitos durante os cálculos. Exemplo: Um empréstimo de R$ ,00 deve ser liquidado em 4 prestações mensais, iguais e consecutivas, sendo que a primeira vence um mês após a data do contrato. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada nessa operação é de 10% a.m., calcular o valor das prestações, e construir uma planilha de amortização através da tabela PRICE. Tempo Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , ,24 4-0, , , ,24 Total , , ,96 Para fechar a tabela, ou seja, o saldo devedor no tempo 4 seja igual a zero, vamos reduzir esse valor dos juros do último período, e depois encontrar o novo valor da Amortização, através da fórmula (prestação juros = amortização). Assim, a nossa nova tabela será: Tempo Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , ,24 4 0, , , ,24 Total , ,96 378,564,96 Exercícios de Fixação 1. Montar um plano de amortização de uma dívida de R$ ,00 em 4 prestações anuais, a uma taxa de 50% a.a. de acordo com a tabela PRICE. Tempo Saldo devedor Amortização Juros Prestação 55

57 2. Elabore um plano de pagamentos com base na tabela PRICE, correspondente a um empréstimo de R$15.000,00 a uma taxa de 19% a.a., a ser liquidado em 3 prestações semestrais. Tempo Saldo devedor Amortização Juros Prestação 3. Um carro de R$40.000,00 foi financiado através da tabela PRICE, em 3 parcelas mensais, com taxa de juros de 1%a.m., elabore um plano de financiamento. Tempo Saldo devedor Amortização Juros Prestação 6.3 Sistema de Amortização constante (PRICE) O SACRE é baseado no SAC e o no PRICE, sendo que a prestação é igual à média aritmética calculada entre as prestações desses dois sistemas, nas mesmas condições de juros e prazos. Como aproximadamente até a metade do período do financiamento as amortizações são maiores que as do Sistema PRICE, a queda do saldo devedor é mais acentuada e são menores as chances de ter resíduo ao final do contrato, como pode suceder no Sistema PRICE. Uma das desvantagens do SACRE é que suas prestações iniciais são ligeiramente mais altas que as do PRICE. Contudo, após a metade do período, o mutuário sentirá uma queda substancial no comprometimento de sua renda com pagamento das prestações. (SAMANEZ, 2002, pág. 218). 56

58 Exercícios de Fixação 1. Montar um plano de amortização de uma dívida de R$ ,00 em 4 prestações anuais, a uma taxa de 50% a.a. de acordo com a tabela SACRE. Tempo Saldo devedor Amortização Juros Prestação 2. Elabore um plano de pagamentos com base na tabela SACRE, correspondente a um empréstimo de R$15.000,00 a uma taxa de 19% a.a., a ser liquidado em 3 prestações semestrais. Tempo Saldo devedor Amortização Juros Prestação Faça os exercícios sobre Sistemas de Amortização no Sistema Moodle. Não se esqueça que essa atividade tem um prazo para realização. 57

59 Capitalização Simples Gabarito dos Exercícios de Fixação 1. R$8.400,00 6. R$ , ,20% a.m. 7. R$20.160,00 3. R$3.750,00 8. R$ , meses 9. 2,50% a.t 5. 80% a.a ,28% a.d. Equivalência de taxas na Capitalização Simples 1. 60%a.a 6. R$31.271,48 2. R$53.204, ,36%a.m e 28,32%a.a. 3. R$8.400, ,67%a.b. 4. R$ , ,56 meses 5. R$10.140, ,39 meses Capitalização Composta 1. R$17.910, ,50%a.m. 2. R$ , ,93%a.m. 3. R$ , ,82%a.a. 4. 4,16%a.m meses 5. R$1.009, trimestres Equivalência de taxas na Capitalização Composta 1. a) 31,37%a.a.; b) 3,27% p/23d; c) 33,3%a.a.; d) 13,96%a.a.; 2. R$ ,96 7. R$1.068,57 3. R$ , meses ou 81,27 meses 4. R$3.584, ,85%a.m. 5. 7,30%a.m.; 132,91%a.a. 10. R$ , ,24%a.d.; 7,46%a.m.; 137,12%a.a ou 137,02% a.a. Desconto Simples R$ ,33 6. R$45.735,85 2. R$98.258,83 7. R$499,80 3. R$64.330,00 8. R$2.587,23 4. R$11.500,00 9. R$22.157, ,34%a.m. 10. R$82.000,00

60 Série de Pagamentos iguais e postecipados 1. R$4.579,71 6. R$36.666,53 2. R$1.485, ,60%a.m. 3. R$ , trimestres 4. 1,66% a.b. 9. R$57.983, meses 10. Série de Pagamentos diferentes 1. R$11.309,14 6. R$521,25 2. R$55.500,00 7. R$26.316,28 3. R$15.078,20 8. R$53,70 4. R$80.132,76 9. R$59.966,38, a prazo 5. R$11.295, R$8.664,27 Série de Pagamentos iguais e antecipados 1. R$5.742, %a.m. 2. R$1.637,15 7. R$345,52 3. R$ ,31 8. R$14.171, ,18%a.t. 9. R$41, meses 10. R$254,63 59

61 7. REFERÊNCIAS ASSAF Neto, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 10 a Ed. São Paulo: Atlas, GUERRA, Fernando. Matemática Financeira através da HP 12C. 2ª. Ed. Florianópolis: UFSC, FORTUNA, Eduardo. Mercado Financeiro Produtos e Serviços. 14 a ed. Rio de Janeiro: Quality Mark, HAZZAN, Samuel & POMPEO, José Nicolau. Matemática Financeira. 5 a ed. São Paulo: Saraiva, MERCHEDE, Alberto. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, MOTTA, Regis da Rocha. Análise de Investimento: tomada de decisão em projetos industriais São Paulo: Atlas, RAMOS, Marco Aurélio. Apostila de Matemática Financeira. Belo Horizonte, SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira Aplicações à Análise de Investimentos. 3 a ed. São Paulo: Prentice Hall, SOBRINHO, José Dutra Vieira. Manual de Aplicações Financeiras HP 12 C. 2 a ed. São Paulo: Atlas, SOBRINHO, José Dutra Vieira. Matemática Financeira. 7 a ed. São Paulo: Atlas, TOSI, Armando José. Matemática Financeira com Utilização da HP-12C Ed. Compacta 2ªReimpressão SP: Atlas,