Uma Aplicação do Teorema dos Resíduos

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1 Uma Aplicação do Teorema dos Resíduos Miguel Moreira Escola Superior de Tecnologia de Setúbal DMAT Heitor Pina Instituto Superior Técnico DEM José Vieira Antunes Instituto Tecnológico e Nuclear LDA Resumo O movimento rotativo de um rotor numa região con nada determina o escoamento do uído envolvente e o desenvolvimento de forças de interacção uído-estrutura, cujo conhecimento é essencial na previsão do comportamento dinâmico deste sistema. A determinação explícita das força referidas a partir das equações de Navier-Stokes conduz à necessidade de resolução de integrais de nidos do tipo, G ij k (H;X;Y ) = sin i µ cos j µ (H X cosµ Y sinµ) k dµ; em que H; X; e Y são constantes tais que X + Y H e i;j e k são parâmetros inteiros que podem variar entre zero e quatro. A aplicação de uma forma particular do teorema dos resíduos da análisecomplexa constitui a solução natural do problema anterior, concretizada recorrendo ao auxílio de um manipulador simbólico para fazer face à extensão das manipulações algébricas necessárias. Introdução. Formulação do Problema Consideremos as forças resultantes do escoamento de uído na região anular representada na gura, determinado pela rotação do veio circular interno de raio R. A determinação destas forças (também designadas uído-elásticas) é essencial no estudo do comportamento vibratório dos veios e rotores de equipamentos rotativos em geral. Em Antunes et al. [], por exemplo, pode encontrar-se uma completa discussão teórica e a motivação para o estudo deste assunto. No apêndice B faz-se referência ao signi cado da simbologia utilizada. De referir que a folga h(µ; t); representada na gura indicada, pode ser bem

2 u Y ( θ, t) X( t). R θ Y( t) Ω h( θ, t) X Figura : Geometria do escoamento aproximada recorrendo à seguinte equação, h(µ;t) = H X(t)cos µ Y (t) sinµ; () em que X e Y representam factores associados à excentricidade do sistema (posição do centro do veio interior) e H representa a folga que existiria se a excentricidade instantânea referida fosse nula. Naturalmente e para que o veio interior não entre em contacto com a superfície do estator supõe-se que, X (t) + Y (t) H. As equações de conservação da massa e do momento que permitem modelar (simpli cadamente) o escoamento referido são (ver Antunes et al. []): ½ (hu) R = ; () = ; (3) em que u (µ;t) representa uma velocidade tangencial do uído (valor médio na folga) e (µ;t) as tensões de natureza dissipativa. Estas últimas podem ser descritas recorrendo à formulação semi-empírica (u) = r (u) + s (u) = ½f ( R u) + ½fu = ½f Ru ½f R (4) onde f representa um apropriado coe ciente de fricção. Observe-se que reescrevendo a equação da continuidade () u@h h@µ = deduz-se, u(µ;t) = R h µ ³ Z µ ²X R sinµ dµ Y cosµ + C H X cosµ Y + ; (5)

3 tendo em conta (). De assinalar a presença da constante de integração, C(t), na expressão da velocidade (5),assim obtida.. Determinação das Forças Fluído-elásticas Denotando por F X (t) e F Y (t) as componentes segundo X e Y da força resultante que o uído exerce no rotor, pode mostrar-se que F X (t) = LR F Y (t) = LR p(µ;t)cosµdµ = LR p(µ;t)sinµdµ = @µ cos µdµ; (7) em que R e L representam o raio e o comprimento do rotor. Assim, integrando entre e ¼, as seguintes formas equivalentes da equação (3), ½ ¾ sinµ = h@t ) h@µ + R (u) h sinµ; ½ ¾ ¾ cos µ = h@t ) h@µ + R (u) h cos µ; (9) deduz-se, F X (t) = ½R L R L F Y (t) = ½R L +R (hu) h@t (u) (hu) h@t (u) hu sinµdµ ½RL sinµdµ () h@µ hu cosµdµ + ½RL cos µdµ () h@µ cosµdµ: Tendo em conta a expressão conhecida da velocidade (5), facilmente se veri ca que cada um dos integrais de nidos representados nas equações () e (), pode ser descrito com base em integrais de nidos elementares do tipo, G ij k (H;X;Y ) = sin i µ cos j µ dµ; i;j;k 4: () k (H X cos µ Y sinµ) A título de exemplo apresentamos a representação de um dos integrais

4 de nidos indicados: R ¼ ³ ) ²X ³ ² h@µ sinµdµ = R Y G + X ² Y ² G 3 +R ³ ² X ² Y G + C R µ ³ ²X XG X ³ ²X G + ² R ³ C XG 3 + CX ³ ²X G 3 3 ² Y G ³ ² Y G 3 X X ² Y ² G 3 3 Y G ³ ² Y G ² X Y ² µ ³ ²X R Y G 3 3 Y ³ ³ ²X R C Y G 3 CY G 3 ² 3 Y G : 3 Y G Torna-se assim claro que a obtenção de expressões analíticas que descrevam F X (t) e F Y (t) está dependente do cálculo dos integrais de nidos do tipo () em função dos parâmetros H, X e Y. Re ra-se que o seu cálculo recorrendo às técnicas da análise real dependente da computação prévia das primitivas envolvidas não é uma tarefa fácil, conduzindo frequentemente a expressões muito pesadas. A aplicação do Teorema dos Resíduos O procedimento natural para calcular estes integrais de nidos () consiste na utilização do resultado elementar (consequência do teorema dos resíduos) da análise complexa (proposição ) que seguidamente se expõe. Proposition Seja R(x;y) uma função racional em x e y cujo denominador nãose anulanacircunferênciacentradanaorigeme de raiounitário. Então em que R(cosµ;sinµ)dµ = ¼i X [resíduos de f (z) no interior de D] (3) f (z) = R z + z ; i iz z z e D representa ointerior docírculounitário centrado na origem. Proof. Consultar Marsden [], pg 3, por exemplo. 3 (4) Pode encontrar-se também em Marsden [] a de nição dos conceitos de resíduo, polo e ordem de um polo de utilização necessária. A proposição apresenta um resultado a partir do qual se torna possível a determinação de resíduos associados a polos de ordem arbitrária.

5 Proposition Suponha-se que f tem um polo de ordem k em z. Então em que (z) = (z z ) k f (z). Res(f;z ) = lim z!z (k ) (z) (k )! ; Proof. Consultar Marsden [], pg 7.. Exemplo de Aplicação Ilustremos a aplicação destes resultados no cálculo de G 3 (H;X; Y ) = (H X cos µ Y sinµ) 3dµ; supondo naturalmente que H > e X + Y H.. Comecemos por determinar a função f (z) nos termos da proposição, f(z) = R z + z ; i z z iz em que e = = = z = z = são polos de ordem 3. iz H X z + z z Y i z 3 z i((x iy )z Hz + X + iy ) 3 z i(x iy ) 3 (z z ) 3 (z z ) 3; ³H + p H (X iy ) X Y ³H p H (X iy ) X Y. Repare-se que z é o único polo que se localiza no interior do círculo unitário. Calculemos então o resíduo de f em z com base na proposição. Seja, (z) = z i(x iy ) 3 (z z ) 3;

6 então Res(f;z ) = lim z!z (z) : Concluíndo-se, Res(f;z ) = i 6z 6z 64z z (X iy ) 3 (z z ) 5 : 3. Substituindo em (3) e simpli cando obtemos nalmente o resultado desejado: (H X cos µ Y sinµ) 3dµ = ¼6z + 6z + 64z z (X iy ) 3 (z z ) 5 = ¼ H + X + Y ³ ph X Y 5: (5) 3 Conclusões No apêndice A podem encontrar-se os integrais de nidos do tipo G ij k calculados pela via apresentada. De referir que a metodologia referida se bem que conceptualmente simples exige a realização de computações algébricas extensas e pesadas que só puderam ser facilmente ultrapassadas com o recurso a um manipulador simbólico. Este trabalho reforça a ideia da importância de se considerar na formação do Engenheiro uma sólida preparação matemática (nomeadamente e em particular o conhecimento de alguns resultados elementares da análise complexa) e a familiaridade na utilização das ferramentas computacionais de manipulação simbólica actualmente disponíveis. Referências [] Antunes, J., Axisa, F. and Grunenwald, T., Dynamics of rotors immersed in eccentric annular ow. Part:Theory, Journal of Fluid and Structures (996),, [] Marsden, J. E. and Ho man, M. J., Basic Complex Analysis, Second Edition, Freeman, 97.

7 A Integrais Azimutais G = ¼ p H X Y (6) G = : G = : se X = Y = ¼X H p (H X Y ) (X +Y ) p (H X Y ) c.c. (7) se X = Y = ¼Y p H (H p X Y ) ; c.c. () (X +Y ) (H X Y ) G = G = : : se X = Y = p ¼Y X X +Y H + (H X Y )H (X +Y ) p ; c.c. (H X Y ) ¼ H se X = Y = ¼ X (X +Y ) H (X Y )+H(X Y ) p (H X Y ) (X +Y ) p ; c.c (H X Y ) (9) () G = G G = = : ¼ H se X = Y = ; p p ¼ X Y +Y 4 +H X H Y H (H X Y )X +H (H X Y )Y (X +Y ) p ; c.c. (H X Y ) () G = ¼H p (H X Y ) (H X Y ) () G = ¼X p (H X Y ) (H X Y ) (3) G = ¼Y p (H X Y ) (H X Y ) (4)

8 > G = >: ¼ ³ se X = Y = H HY (Y +X )+(H (X Y ) X 4 +Y 4 ) ³ p H (H ¼ X Y ) 3 ; c.c. (X +Y ) ³ p (H X Y ) (5) G = G G (6) G = : se X = Y = ¼XY H( H +3(X +Y ))+(H Y X ) p (H X Y ) ³p (H X Y ) 3(X +Y ) ; c.c. (7) = ¼Y 3p p (H X Y )X 3HX HY +3 (H X Y )H +3H ³p 3 3 () (H X Y ) 3³ G 3 H+ p (H X Y ) = ¼X 3p p (H X Y )Y 3HY HX +3 (H X Y )H +3H ³p 3 3 (9) (H X Y ) 3³ G 3 H+ p (H X Y ) G = G G3 (3) G = G G 3 (3) G 3 = H + X + Y ¼ ³p (H X Y ) 5 (3) G 3 = ¼ H X + Y ³ p(h X Y ) 5 (33) G 3 = G 3 G 3 (34)

9 G 3 = ¼ 3XY ³p (H X Y ) 5 (35) HY 3 = 3¼ ³p (36) (H X Y ) 5 G HX 3 = 3¼ ³p (37) (H X Y ) 5 G G 3 3 = ¼Y G 3 3 = ¼X ³9H 4 +9 p (H X Y )(H 3 X H) 4H Y 5H X Y 4 +4Y X +6X 4 ³p (H X Y ) 5³ p 3 H+ (H X Y ) (3) G 3 = G 3 G3 3 (39) ³9H 4 +9 p (H X Y )(H 3 Y H) 4H X 5H Y X 4 +4Y X +6Y 4 ³p (H X Y ) 5³ p 3 H+ (H X Y ) (4) G 3 = G 3 G 3 3 (4) 3 = 3¼ (H6 5H 4 X +4H X 4 X 6 +3H 4 Y 6H X Y +3X 4 Y 4H Y 4 +4X Y 4 ) ³p 4 (H X Y ) 5³ G 4 H+ p (H X Y ) +3¼ H(H4 H X +X 4 +H Y X Y Y 4 ) (H X Y ) ³ p 4 (4) H+ (H X Y ) G 4 3 = G 3 G 3 + G 4 3 (43) G 3 = G 3 G 4 3 (44) 3 = 3¼XY ³ 3X4 +X Y 7H X Y 4 H Y +4H 4 G 3 +3¼XY p 5 H+ (H X Y ) 4³p (H X Y ) 4H(H X ) ³ p H+ (H X Y ) 4(H X Y ) (45) G 3 3 = G 3 G 3 3 (46)

10 B Simbologia Utilizada C (t) Constante (dependente do tempo) associada à integração da equação da continuidade; f Coe ciente de fricção na parede do rotor/parede do estator; F X (t);f Y (t) Forças uidoelásticas; h(µ; t) Folga local; L Comprimento mergulhado do veio (rotor); p(µ;t) Pressão azimutal; R Raio do veio (rotor) imerso; t Tempo; u(µ;t) Velocidade tangencial local; X(t);Y (t) Posição do veio (rotor); µ Ângulo azimutal; ½ Massa volúmica do uído; (u) Tensão de corte total (como função de u); r (u) Tensão de corte na parede do rotor (como função de u); s (u) Tensão de corte na parede do estator (como função de u); Velocidade angular do rotor; ¹ Viscosidade dinâmica do uído em escoamento;