caderno do PROFESSOR Ica át Em ensino médio at 2a SÉRIE volume m

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1 caderno do PROFESSOR ensino médio 2 a SÉRIE volume matemática

2 Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação FDE Fábio Bonini Simões de Lima EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TÉCNICA CENP Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico) APOIO FDE Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem direitos autorais protegidos todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas S239c São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 2ª- série, volume 4 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli. São Paulo : SEE, ISBN Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.5:51

3 Caras professoras e caros professores, Este exemplar do Caderno do Professor completa o trabalho que fizemos de revisão para o aprimoramento da Proposta Curricular de 5- a a 8- a séries do Ensino Fundamental Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Graças às análises e sugestões de todos os professores pudemos finalmente completar um dos muitos recursos criados para apoiar o trabalho em sala de aula. O conjunto dos Cadernos do Professor constitui a base estrutural das aprendizagens fundamentais a serem desenvolvidas pelos alunos. A riqueza, a complementaridade e a marca de cada um de vocês nessa elaboração foram decisivas para que, a partir desse currículo, seja possível promover as aprendizagens de todos os alunos. Bom trabalho! Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

4 Sumário São Paulo faz escola Uma Proposta Curricular para o Estado 5 Ficha do Caderno 7 Orientação geral sobre os Cadernos 8 Situações de Aprendizagem 11 Situação de Aprendizagem 1 Prismas: uma forma de ocupar o espaço 11 Situação de Aprendizagem 2 Cilindros: uma mudança de base 21 Situação de Aprendizagem 3 O movimento de ascensão: pirâmides e cones 32 Situação de Aprendizagem 4 Esfera: conhecendo a forma do mundo 42 Orientações para Recuperação 54 Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 54 Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 56

5 SãO PAUlO FAz ESCOlA UMA PROPOStA CURRiCUlAR PARA O EStAdO Caros(as) professores(as), Este volume dos Cadernos do Professor completa o conjunto de documentos de apoio ao trabalho de gestão do currículo em sala de aula enviados aos professores em Com esses documentos, a Secretaria espera apoiar seus professores para que a organização dos trabalhos em sala de aula seja mais eficiente. Mesmo reconhecendo a existência de classes heterogêneas e numerosas, com alunos em diferentes estágios de aprendizagem, confiamos na capacidade de nossos professores em lidar com as diferenças e a partir delas estimular o crescimento coletivo e a cooperação entre eles. A estruturação deste volume dos Cadernos procurou mais uma vez favorecer a harmonia entre o que é necessário aprender e a maneira mais adequada, significativa e motivadora de ensinar aos alunos. Reiteramos nossa confiança no trabalho dos professores e mais uma vez ressaltamos o grande significado de sua participação na construção dos conhecimentos dos alunos. Maria Inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola 5

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7 FiChA do CAdERnO Geometria: linguagem, formas, medidas e representações do espaço nome da disciplina: Matemática área: Matemática Etapa da educação básica: Ensino Médio Série: 2 a Volume: 4 temas e conteúdos: Prismas Cilindros Pirâmides e cones Esfera 7

8 ORiEntAçãO GERAl SObRE OS CAdERnOS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem desses materiais, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento do conteúdo. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno, ainda, algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre. 8

9 Matemática 2 a série Volume 4 Conteúdos básicos do bimestre Andamos, brincamos, pensamos e vivemos no espaço. Olhamos para todos os lados e observamos diferentes formatos espaciais. Embalagens, monumentos, brinquedos e dados de jogos de tabuleiro são alguns exemplos disso. No 4 o bimestre da 2 a série, o foco da aprendizagem é a geometria espacial métrica. Nela, algumas das formas mais comuns presentes na natureza e na produção humana são estudadas. Para isso, é necessário que sejam relembradas as propriedades fundamentais das figuras planas, afinal são elas que compõem as bases, as faces e as seções das figuras espaciais. Embora a linguagem geométrica perpasse por vários conteúdos do Ensino Médio, neste bimestre ela ganha evidência e tratamento especial. Sabemos que uma das dificuldades que os alunos enfrentam no estudo da geometria espacial é a representação e a interpretação de figuras tridimensionais desenhadas no plano. Neste sentido, propomos, no início de cada Situação de Aprendizagem, atividades de manipulação e exploração dos sólidos geométricos. Algumas relações métricas são construídas em meio à solução de problemas que julgamos exemplares. O professor pode combinar esses exercícios com aqueles que já fazem parte de sua experiência no ensino desse tema. Reconhecemos que o prisma e alguns de seus fatos fundamentais já são conhecidos pelos alunos, pois já foi tema de estudos no Ensino Fundamental. O que pretendemos é consolidar esse conhecimento e elaborar um raciocínio que seja aplicado e ampliado à medida que avançamos no estudo dos outros sólidos, como o cilindro, a pirâmide e o cone. Nas Situações de Aprendizagem, buscamos situações-problema que, de forma crescente, combinassem vários conceitos matemáticos, sendo, em alguns casos, apresentados projetos e propostas interdisciplinares. Para a organização do trabalho neste bimestre, propomos a seguinte estrutura: f Situação de Aprendizagem 1 Prismas: uma forma de ocupar o espaço. São apresentados a conceituação de prisma, suas relações métricas e o cálculo de seu volume. Aqui iniciaremos a abordagem das figuras espaciais. Serão desenvolvidas as duas primeiras unidades. Caso perceba que os alunos apresentam um conhecimento apropriado sobre o tema, o professor pode abreviar o tempo previsto. f Situação de Aprendizagem 2 Cilindros: uma mudança de base. Equivale à terceira unidade, em que exploramos o formato e as relações no cilindro. Aqui, embora exploremos uma analogia em relação ao prisma, apresentamos o conceito de sólido de revolução, que, depois, é aplicado no cone e na esfera. Nas atividades, tratamos do contexto que permite explorar outros conhecimentos matemáticos, como a construção de gráficos de função linear e trigonométrica. Propomos algumas possibilidades de realização de um trabalho interdisciplinar. f Situação de Aprendizagem 3 O movimento de ascensão: pirâmides e cones. São desenvolvidas a quarta e a quinta unidade. Primeiro, estudamos as pirâmides. Aparece uma nova qualidade em um sólido: ele 9

10 afunila. Dessa forma, agrupamos o estudo das pirâmides e dos cones. Com as pirâmides, as relações métricas tornam-se mais complexas, exigindo uma boa visualização da situação-problema. Em seguida, o sólido estudado é o cone. Aqui, ganha significado o estudo de setores circulares que podem ser determinados com a aplicação da proporcionalidade. f Situação de Aprendizagem 4 Esfera: conhecendo a forma do nosso mundo. Para finalizar o bimestre, estudamos as esferas, com as três últimas unidades. Apresentamos algumas situações motivadoras, como o trabalho com fusos horários e com as coordenadas geográficas, que pode ser uma oportunidade de trabalho interdisciplinar com a Geografia. Quadro geral de conteúdos do 4 o bimestre da 2 a série do Ensino Médio Unidade 1 Noções e fatos fundamentais dos prismas relações métricas, diagonais e planificação. Unidade 2 Superfície e volume de prismas Princípio de Cavalieri. Unidade 3 Cilindro: identificação e conceituação. Sólidos de revolução. Volume do cilindro. Unidade 4 Pirâmides: o movimento de elevação conceituação e relações métricas. Unidade 5 Cones: setores circulares preenchendo o espaço superfície e volume. Unidade 6 Estudo da esfera. Unidade 7 A Terra como objeto de estudo. Fusos horários, coordenadas geográficas: latitude e longitude. Unidade 8 Volume e superfície de uma esfera. 10

11 Matemática 2 a série Volume 4 SitUAçõES de APREndizAGEM SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 PRISMAS: UMA FORMA DE OCUPAR O ESPAÇO tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: prismas; identificação, noções e fatos essenciais; relações métricas, áreas e volume. Competências e habilidades: reconhecer e nomear um prisma; relacionar elementos geométricos e algébricos; visualizar figuras espaciais no plano; síntezar e generalizar fatos obtidos de forma concreta. Estratégias: manipulação de sólidos geométricos; identificação dos seus elementos essenciais e suas relações métricas; leitura e interpretação de enunciados e dados; representação plana e planificação de prismas; resolução de situações-problema; trabalhos em grupo. Recursos: uso de materiais concretos, como embalagens e sólidos construídos a partir de sua planificação. Roteiro para a aplicação da Situação de Aprendizagem 1 O trabalho com a geometria métrica, neste Caderno, começa com o estudo sobre prismas. O conceito de prisma e alguns fatos a ele relacionados já devem ser de conhecimento dos alunos. Caso isso não ocorra, esta Situação de Aprendizagem é oportuna e precisa ser desenvolvida com um tempo maior. Assim, devem-se trabalhar a identificação da forma de um prisma, a representação no plano, o reconhecimento de seus elementos (vértices, faces e arestas) e a construção de sua planificação. O objetivo desta Situação de Aprendizagem é consolidar esses conhecimentos, sistematizá-los e torná-los referência para a construção dos outros sólidos que serão estudados, como o cilindro, a pirâmide, o cone e a esfera. O prisma é um sólido geométrico muito presente no nosso dia a dia. A maioria das embalagens e dos objetos que utilizamos possui essa forma. Propomos que o professor apresente aos alunos uma série desses objetos (caixa de fósforos, embalagens de pizza, caixas de sapatos e de perfumes, entre outras) e que discuta alguns fatos como: f as bases dos prismas são polígonos de mesma forma e tamanho e suas faces laterais são paralelogramos; f o nome do prisma é dado pela forma de sua base, podendo ser triangular, quadrangular, hexagonal, etc; 11

12 f se a aresta lateral for perpendicular às bases, o prisma é reto; caso contrário, é oblíquo; f o paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos; f se todas as faces do paralelepípedo são retângulos, ele é chamado de paralelepípedo retângulo; f um prisma reto cuja base é um polígono 6 cm 120º 12 cm regular chama-se prisma regular; 6 cm Figura A f se o prisma tiver todas as faces quadradas, ele é um cubo, também chamado de hexaedro regular (do grego hexa seis e hedros apoiar-se, faces). A seguir, propomos algumas atividades que podem ser combinadas àquelas que o professor costuma utilizar ao abordar este tema. O objetivo, na proposição destas situações-problema, é explorar o cálculo de áreas e relações métricas nos prismas em contextos que exijam análises e tomada de decisões. É importante que o professor fique atento às dificuldades dos alunos quanto à visualização e à representação plana dos prismas. Sugere-se que, diante delas, o professor proponha o uso de malhas quadriculadas para as representações. Atividade 1 Para o empacotamento de presentes, uma loja dispõe de dois tipos de embalagem de papelão: uma no formato de um paralelepípedo oblíquo (Figura A), outra no de um paralelepípedo reto-retângulo (Figura B). Considerando os valores indicados nas figuras a seguir, calcule qual das duas formas geométricas exigirá menos papelão para ser confeccionada. 12 cm 6 cm 6 cm Figura B Ao observar os dados da atividade, uma primeira impressão pode sugerir que a área total seja a mesma, pois o paralelepípedo oblíquo poderia ser obtido pela inclinação do paralelepípedo reto. Contudo, na prática, isso não se verifica, pois a face frontal e a de fundo da Figura B (quadrados), uma vez fechada a caixa, não permitem tal movimento por fixarem o ângulo reto. Após essa discussão, pode-se destacar que os dois prismas possuem bases iguais e duas faces laterais iguais, sendo suas diferenças dadas pelas faces frontal e de fundo (losango 12

13 Matemática 2 a série Volume 4 e quadrado). Dessa forma, a decisão sobre o menor consumo de papelão pode recair somente sobre o cálculo da área do quadrado e do losango. Caso os alunos saibam que entre os paralelogramos de mesmo perímetro, o quadrado é o que determina a maior área, a solução fica possível sem a realização de cálculos. Agora apresentamos a resolução do problema efetuando todos os cálculos: Segundo os dados do problema, o formato do paralelepípedo oblíquo representa uma economia de, aproximadamente, 3% em relação ao paralelepípedo reto. Vale ainda observar que nessa atividade não apareceu a discussão sobre a capacidade de cada caixa. Esse tema será abordado mais à frente, quando tratarmos de volume de prismas. Atividade 2 120º 6 cm 60º H Uma caixa de lápis tem o formato de um paralelepípedo reto-retângulo com 3 cm de comprimento, 4 cm de profundidade e 12 cm de altura. Qual a medida do maior lápis que você pode guardar nessa caixa sem que a ponta fique para fora da borda? A figura a seguir ilustra a situação e as possíveis triangulações. Figura A Para a área do losango, vamos interpretá-lo como um paralelogramo. A altura correspondente à base será: sen 60 = H_ 6 H = 3 3 5,2 cm. 12 D Como o prisma oblíquo é formado por dois losangos de base 6 cm e altura 5,2 cm e quatro retângulos de dimensões 12 cm por 6 cm: A total = , = 62, , logo, A total 350,4 cm 2. Figura B O prisma é formado por quatro retângulos de 6 cm por 12 cm e 2 quadrados de lado 6 cm. A total = = , logo A total = 360 cm 2. 3 d 4 Observamos que o cálculo do tamanho do lápis está associado ao cálculo das diagonais da base e do prisma. Em ambos, aplicaremos o teorema de Pitágoras. Diagonal da base: d 2 = = 25 d = 5. Diagonal do prisma: D 2 = = 169 D = 13, portanto, o maior lápis deve ter 13 cm de comprimento. 13

14 O professor também pode discutir com os alunos uma solução prática para este problema: sobre o tampo de uma mesa, posicione a caixa, registrando, com lápis, a superfície da base e a posição do vértice A. Faça uma translação da caixa, deslocando-a em uma medida igual à aresta da base, como mostra a figura abaixo, e, com o auxílio de uma régua, meça a distância AE. E D C A B E C A B h b a d Diante dessa expressão, o professor pode ainda levar a turma a investigar o que aconteceria se o formato da caixa de lápis fosse um cubo. Neste caso, teríamos: a = b = h d 2 = a 2 + a 2 = d = a 2. _ D = 2a 2 + a 2 = 3a 2 D = a 3. Atividade 3 D Com base na atividade anterior, investigue a mesma situação para um porta-lápis nos seguintes formatos: a) prisma regular triangular de aresta da base 12 cm e altura 16 cm. No caso do prisma regular triangular, o lápis terá o tamanho da diagonal da face lateral. É interessante observar que esse prisma não tem diagonal. Se julgar oportuno, generalize a situação-problema proposta e desenvolva, com a turma, as expressões gerais que relacionam a diagonal de um prisma reto-retangular com suas dimensões. Para isso, basta considerar uma caixa de dimensões da base a e b e altura h e proceder como propomos a seguir: d 2 = a 2 + b 2. Diagonal do prisma: D 2 = d 2 + h 2 D 2 = a 2 + b 2 + h 2 D = a 2 + b 2 + h 2 L 2 = , L 2 = 400, logo L = 20. O maior lápis terá 20 cm. 14

15 Matemática 2 a série Volume 4 b) prisma regular hexagonal, com aresta de base 6 cm e altura 8 cm. O prisma regular hexagonal é particularmente interessante porque possui duas medidas de diagonais, cada uma relativa às medidas das diagonais da base. L 1 L 2 Cálculo de L 1 (diagonal menor): O lápis L 1 é a hipotenusa do triângulo retângulo que tem como catetos a diagonal menor da base e a aresta lateral. A diagonal menor da base equivale a duas alturas de um triângulo equilátero de lado igual ao do hexágono regular. Portanto, d = 6 3 cm, uma vez que a altura de um triângulo equilátero pode ser calculada por: d = l Portanto, L 1 = (6 3 ) L 1 = 172 L 1 13,11 cm. Cálculo de L 2 (diagonal maior): O lápis L 2 é a hipotenusa do triângulo retângulo que tem como catetos a diagonal maior da base e a aresta lateral. A diago nal maior da base equivale ao dobro da medida do lado do hexágono regular. Portanto, D = Portanto, L 2 = , logo L 2 14,42 cm. O maior lápis terá, então, aproximadamente, 14,42 cm. Geralmente, a planificação de prismas está associada a problemas que envolvem cálculos de superfícies totais. A atividade proposta a seguir exige a planificação como meio de chegar à solução do problema, visualizando o menor itinerário feito pela formiga. Atividade 4 A luminária de uma lanchonete tem a forma de um cubo. Contudo, ela só possui faces laterais. As bases foram subtraídas para iluminar melhor o ambiente. Uma mosca e uma formiga estão sobre um mesmo vértice do cubo, como indicado na figura pelas letras M (mosca) e F (formiga). No vértice oposto da outra base, está uma gota de mel, que interessa a ambos os insetos. A mosca tem a vantagem de ter asas e poder voar. A formiga só pode andar pela superfície e pelas arestas da luminária. M F Gota de mel Indique qual o menor percurso que cada inseto deve fazer para alcançar a gota de mel. Admitindo que a aresta da base da luminária meça 3 dm, qual é o tamanho do percurso feito por cada inseto? 15

16 A mosca, voando, percorre a diagonal do cubo. Assim, seu caminho medirá: Mosca _ M = M = 3 3 5,19 dm No caso da formiga, temos de estudar algumas possibilidades. Uma delas é imaginar que ela percorre uma diagonal da face e depois uma aresta do cubo. Esquematicamente, temos: Formiga Nesse itinerário, a formiga percorre: F = F 7,24 dm Contudo, planificando-se a figura, encontramos outra situação, melhor que a primeira: F 3 cm d mel 6 cm Calculando-se o comprimento d teremos: Formiga d 2 = d 2 = 45 d = 3 5 6,71 dm Portanto, a formiga chegou depois. O menor caminho para ela chegar ao pingo de mel é passando pelo ponto médio de uma aresta. O volume do prisma e o Princípio de Cavalieri O desenvolvimento das embalagens de produtos tornou-se um tema relevante nos dias de hoje, particularmente quando o assunto é preservação do meio ambiente. Além do tipo de material com que são fabricadas, elas devem ser bem dimensionadas, isto é, devem ter a melhor relação entre o volume interno e a quantidade de material utilizado. Além disso, na escolha do seu formato, deve-se considerar que, quando embaladas coletivamente, o espaço vazio entre elas seja o menor possível. Na natureza, encontramos uma situação similar: a construção dos alvéolos das abelhas. Observando-se a forma prismática dos alvéolos, percebe-se que eles respeitam uma exigência: a de permitir que, com uma mesma quantidade de cera, se construa um recipiente com maior volume para acondicionar o mel. O fato de as paredes dos alvéolos serem comuns, permitindo que não haja espaços vazios entre elas, remete-nos ao problema da pavimentação do plano, solucionado quando usamos triângulos regulares, quadrados e hexágonos regulares. Como a nossa situação é espacial, podemos imaginar a pavimentação do espaço com poliedros, particularmente com os prismas regulares retos de base triangular, quadrangular e hexagonal. O mote para a entrada na discussão sobre o volume dos prismas é saber qual deles 16

17 Matemática 2 a série Volume 4 comporta o maior volume, supondo que tenham a mesma área lateral. Com isso, conclui-se que a quantidade de cubinhos no paralelepípedo reto é igual ao produto da área da base (A base ), que corresponde à quantidade de cubos apoiados na base, pela altura (H), que corresponde à quantidade de camadas de cubos que preenchem completamente o sólido. Dessa forma, temos que o volume do paralelepípedo é: V = A base. H Essa investigação exige que se aborde o cálculo do volume dos prismas. É isso que propomos agora. De maneira geral, a abordagem inicial sobre volume de prismas é aquela em que se toma um paralelepípedo reto e se determina quantos cubinhos de aresta de uma unidade de comprimento cabem no sólido. Cálculo do volume do prisma pela decomposição e contagem de cubinhos Embora a generalização para o cálculo do volume de qualquer prisma possa ser uma passagem simples para os alunos, observamos a importância de, neste momento, apresentarmos e aplicarmos o Princípio de Cavalieri. O objetivo é a caracterização dos prismas como uma sobreposição de placas idênticas, o que será também explorado nos cilindros e na comparação entre o volume de diferentes sólidos. Para iniciar a discussão, o professor pode comentar com os alunos que na Geometria é mais simples calcular o comprimento de uma linha reta do que obter o comprimento de uma curva. Da mesma forma, é mais fácil calcular a área de um polígono convexo do que obter a área de uma região não poligonal, ou calcular o volume de um paralelepípedo do que de um sólido geométrico com outro formato. A busca de métodos gene ralizados para se calcular volumes levou matemáticos, como o geômetra italiano Francesco Bonaventura Cavalieri ( ), a imaginarem os sólidos como se fossem formados por camadas infinitamente finas (os indivisíveis). 17

18 Para Cavalieri, seguindo uma linha de raciocínio análoga à de Arquimedes, Galileu e Kepler, a linha era formada por pontos sem comprimento, a superfície por infinitas linhas sem largura e os sólidos eram interpretados por uma reunião de superfícies sem profundidade. No seu entendimento, era evidente concebermos as figuras planas como tecidos compostos de fios paralelos e os sólidos como livros, que são pilhas de folhas paralelas. Para apresentar o Princípio de Cavalieri, o professor pode utilizar cartas de baralho. Dispondo as cartas, uma a uma, em um formato como na Figura 1, o professor discute que o sólido final foi construído pela sobreposição de figuras planas. Peça, então, aos alunos que levantem hipóteses sobre o modo de calcular o volume do sólido construído. Em meio à discussão, as cartas devem ser arranjadas, deslizando-se uma sobre a outra e formando um paralelepípedo oblíquo (Figura 2). A discussão, então, deve ter foco na alteração ou não do volume do sólido. Ocorre que a forma muda, mas não o seu volume, pois o volume do sólido corresponde ao total de cartas, e este não muda quando as cartas deslizam uma sobre as outras. Fica, contudo, ainda a dificuldade de encontrar a forma de expressão do volume do sólido. Concluída essa etapa, deslizam-se as cartas novamente, criando a forma de um paralelepípedo reto (Figura 3), cuja expressão do volume é conhecida. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Por fim, o professor pode apresentar três montes de cartas com a mesma altura e com os três formatos diferentes e conduzir uma discussão em que se conclui que, de forma geral, tomados dois sólidos com bases de mesma área e sobre um mesmo plano, se todas as seções paralelas à base dos dois sólidos têm a mesma área, então, os dois sólidos têm o mesmo volume (Figura 4). Figura 4 18

19 Matemática 2 a série Volume 4 Retomando o problema das abelhas Para retomar o problema da relação entre volume interno e quantidade de material utilizado, propomos ao professor que siga na investigação sobre os alvéolos das abelhas a partir de uma atividade. A sugestão é que o professor divida a turma em grupos de três alunos. O professor distribui tarefas diferentes para cada grupo: alguns grupos construirão os alvéolos na forma de um prisma triangular regular, outros na forma quadrangular regular e o restante na forma hexagonal regular. Cada grupo trabalhará com duas folhas de papel sulfite. A primeira será utilizada para a construção da lateral do alvéolo. Deve-se apoiar o maior lado dessa folha sobre a mesa. A segunda folha será utilizada para formar a base do alvéolo; no momento não nos preocupamos como são fechados os alvéolos. Para alcançar a forma desejada, os alunos podem utilizar dobraduras. O aluno deverá considerar que os prismas regulares têm faces laterais retangulares e, assim, a folha destinada à construção das faces laterais pode ser dobrada para formar retângulos em quantidade correspondente ao número de lados do polígono da base do alvéolo. Terminada essa etapa, os alunos calculam o volume de um alvéolo a partir das medidas aproximadas, obtidas com régua, das arestas da base e da altura. comparando-os, de modo a concluir qual dos formatos estudados possui o maior volume. O professor pode aproveitar e comentar com os alunos que a finalidade das abelhas, quando constroem seus alvéolos de cera, é apenas fazer o recipiente para o mel que elas fabricam, e que isso não é produto do pensamento, mas de seu instinto. Nessa atividade, as abelhas utilizam-se de importantes fatos naturais que o homem elabora de forma consciente na forma de conceitos geométricos. De qualquer maneira, é interessante perceber que, no instinto animal, podemos identificar soluções para problemas humanos. Essa é, sem dúvida, uma forma instigante de promover a investigação científica. Caso o professor julgue interessante, pode explorar o mesmo problema de forma algébrica, supondo para a base triangular a medida de aresta x, para a base quadrada y, e para a base hexagonal z. Perímetro do triângulo 3x Quando os grupos tiverem concluído a tarefa, o professor pode abrir o debate coletivo recolhendo os dados dos grupos e Perímetro do quadrado Perímetro do hexágono 4y 6z 19

20 Como o perímetro das bases é o mesmo (que corresponde ao lado maior da folha de papel sulfite), podemos escrever: 3x = 4y = 6z 3x 4y = 3x y = 4 x 6z = 3x z = 2 Portanto, as arestas da base dos três prismas são, respectivamente, x, 3x, x. 4 2 Os três prismas têm a mesma altura h (lado menor da folha de papel sulfite) e sabendo que o volume do prisma, já estudado anteriormente, é igual ao produto da área da base pela altura temos: Prisma triangular regular _ Área da base A = x _ Volume V = x2. 3. h 4 Prisma quadrangular regular Área da base A = 9x2 16 Volume V = 9x2 16. h Prisma hexagonal regular Área da base A = 3x Volume V = 3x2. 3. h 8 Desse modo, tomando o valor aproximado para 3 = 1,7320, obtemos uma comparação entre os seguintes valores de volumes: Prisma triangular regular 0,4330. x 2. h Prisma quadrangular regular 0,5625. x 2. h Prisma hexagonal regular 0,6495. x 2. h Esses dados nos permitem concluir que, entre os três prismas, o que maximiza o volume, com uma justaposição de lados, é o prisma hexagonal regular. O professor pode encontrar outros problemas de comparação entre área e volume nos livros didáticos e nos exercícios de vestibular. Vale ressaltar que, com os estudos dos cilindros, essa comparação pode ser mais bem explorada, pois a maioria das embalagens apresenta essas duas formas. Considerações sobre a avaliação Na Situação de Aprendizagem 1, identificamos o formato dos prismas, as noções associadas a eles, seus elementos, suas relações métricas, o cálculo de áreas e volumes. Como dissemos anteriormente, a estrutura com que abordamos o prisma será retomada na caracterização dos outros sólidos que serão discutidos ao longo do bimestre. A aprendizagem dos alunos pode ser avaliada, inicialmente, a partir de situações que envolvam aspectos qualitativos dos prismas, 20

21 Matemática 2 a série Volume 4 como identificação da base e da altura e nomenclatura dos prismas, além de suas representações planas. Em seguida, sugerimos que a avaliação explore a determinação das diagonais, das áreas laterais e totais dos prismas, além do cálculo de seu volume. Uma sugestão é combinar dois prismas de bases diferentes, comparando suas superfícies e volumes. Como os sólidos a serem tratados nas próximas Situações de Aprendizagem resgatam algumas especificidades do trabalho com prismas, o professor deve estar atento à capacidade do aluno em perceber as semelhanças e as diferenças entre as estruturas estudadas. Desse modo, a avaliação sobre prismas permanece de forma contínua a cada novo sólido estudado. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 CILINDROS: UMA MUDANÇA DE BASE tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: cilindros: conceituação, relações métricas, áreas e volume. Competências e habilidades: estabelecer analogias entre prismas e cilindros; visualizar sólidos formados por rotação; generalizar fatos observados em situações concretas; analisar dados e tomada de decisões. Estratégias: exploração de materiais concretos; exploração de situações que envolvem interpretação e análise de dados; resolução de situações-problema contextualizadas; leitura e interpretação de dados. Recursos: materiais concretos; situações-problema contextualizadas. Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 Nesta Situação de Aprendizagem, estudaremos outro tipo de sólido muito frequente no nosso cotidiano: os cilindros. Os cilindros podem ser imaginados como uma generalização dos prismas. De fato, podemos imaginar um cilindro como se fosse um prisma regular cuja base teve o número de lados sucessivamente aumentado, aproximando-se de um círculo. A apresentação dos cilindros pode ser feita como a sugerida na apresentação dos prismas: recorre-se novamente à identificação desse formato em embalagens e estruturas do cotidiano. Exploradas as analogias entre cilindros e prismas, o professor pode abordar o cilindro como um sólido de revolução, apresentando, assim, uma nova estrutura de formação de sólidos. 21

22 Em diferentes contextos ao longo das séries do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, trabalhamos dois tipos de movi mentos especiais: a translação e a rotação. Agora, vamos imaginar um tipo especial de movimento: a revolução. O movimento de revolução caracteriza-se pela fixação de um eixo e pelo movimento de rotacão completa da figura em torno deste eixo. Para apresentar o cilindro de revolução, o professor pode recortar um retângulo em um papelão, fixar, com fita adesiva, um barbante, passando-o de modo a dividir o retângulo em duas regiões, conforme a figura. Fazendo a figura girar em torno do barbante, observa-se que o movimento de revolução do retângulo em torno de um eixo gerou o cilindro. Desse modo, dizemos que o cilindro é um sólido de revolução. O mesmo acontece se, em vez de colocarmos o eixo passando pelo meio do retângulo, utilizarmos um de seus lados como eixo. O lado do retângulo recebe o nome de geratriz do cilindro. geratriz do cilindro eixo A exploração dos sólidos gerados por revolução pode se tornar um pequeno projeto para os alunos. Com o uso de cartolina e palitos de churrasco, os alunos podem produzir modelos desses sólidos, identificando a sua geratriz e o eixo de rotação. Como exemplo, apresentamos o seguinte modelo: geratriz eixo de rotação sólido de revolução Das apresentações dos trabalhos, podem surgir discussões, como a da impossibilidade de construir prismas por rotações, ou da possibilidade de se estabelecerem outros eixos de rotação nas figuras. As atividades a seguir têm por objetivo explorar a visualização plana dos sólidos formados por revolução. Atividade 1 Quais dos sólidos a seguir podem ser considerados sólidos de revolução? a) b) c) eixo d) e) f) a), c), d) e f). 22

23 Matemática 2 a série Volume 4 Atividade 2 (Enem, 1999) Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo. Girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada obtêm-se os sólidos de revolução que estão apresentados na coluna da direita. O volume do cilindro Uma estrutura atualmente muito comum e significativa para a exploração da ideia do volume do cilindro pode ser encontrada em um porta-cds. De maneira intuitiva, podemos considerar o cilindro como uma figura espacial formada pela sobreposição ou empilhamento, em uma mesma direção, de círculos iguais uns sobre os outros. 1 A B C D Rob Wilkinson/Alamy-Otherimages E 5 A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é: a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A. c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C. d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C. e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A. Essa forma de ver pode ser explorada como análoga ao volume dos prismas, concluindo-se que o volume de um cilindro é produto da área da sua base pela altura: V = A b. h. Aqui também pode ser aplicado o Princípio de Cavalieri. Considerando um prisma e Conexão Editorial 23

24 um cilindro de mesmas áreas de base, apoiados sobre um mesmo plano, qualquer plano que passar paralelo à base deve interceptar Sabendo que a primeira custa R$ 2,30 e a segunda R$ 3,40, qual será a compra mais econômica? os dois sólidos, formando duas superfícies, S 1 e S 2, paralelas às bases do prisma e do cilindro, de mesma área. Dessa discussão, o aluno pode concluir que o volume de um cilindro, como no prisma, determina-se pelo produto da área de sua base pela altura. Nesse caso, a base é um círculo, cuja expressão da área será A b = π. r 2 logo, o volume será dado por: V = π r 2 h. 2h Marca A h Marca b d 2d S 1 S 2 β α As atividades a seguir têm por objetivo explorar situações que envolvem áreas e volumes de cilindros, procurando ainda uma combinação entre conteúdos tratados em outros bimestres. Atividade 3 Latas de molho de tomate têm, geralmente, forma cilíndrica. Um consumidor encontrou duas marcas de seu interesse e observou os seguintes fatos: f a embalagem da marca A possuía o dobro da altura da embalagem da marca b; f a embalagem da marca b possuía o dobro do diâmetro da embalagem da marca A. f Logo, d O cilindro A tem raio da base igual a 2 e altura igual a 2h. V A = π r 2. 2h = π ª d 2 º d V A = _ 2 hπ 2. f _ 22h = π d 2 4 2h O cilindro B tem raio da base igual a d e altura igual a h. Logo, V B = A b. h = π d 2 h. O volume da marca B tem o dobro do volume da marca A. Como o preço da marca A é maior que a metade do preço da marca B, é mais vantajoso comprar a marca B. Atividade 4 Os reservatórios de gasolina dos postos geralmente são tanques no formato de um cilindro reto. Para avaliar o volume de combustível que ainda resta no cilindro enterrado no solo, o funcionário do posto utiliza uma 24

25 Matemática 2 a série Volume 4 régua, que é colocada verticalmente na boca do tanque até atingir o nível do combustível. Ao retirar a régua do tanque, o funcionário lê a graduação e determina a altura do nível do combustível consumido. Admitindo que o tanque tenha sido enterrado no sentido vertical, como ilustra a figura, e que tenha raio da base R = 1 m e altura H = 2 m, qual é o volume de combustível do tanque quando a régua registra altura d = 40 cm? 1 m d = 40 cm Atividade 5 Com base na atividade anterior: a) Encontre a expressão que relaciona o volume V do combustível contido no tanque com a medida d da régua. V = π. R 2. H π. R 2. d V = π. R 2 (H d). Sendo R = 1 m e H = 2 m, temos: V = 2π d π, logo, V = π.(2 d). b) Construa e analise o gráfico da função V(d). V (litros) m Apoiados na figura, observamos que o volume do combustível no tanque é igual à diferença entre o volume total e o volume do cilindro de altura d (volume de combustível consumido) e que suas bases são iguais. Podemos chegar à seguinte expressão: V = π. R 2. H π. R 2. d. Substituindo os valores de R = 1 m, H = 2 m e d = 0,4 m, temos: V = π π ,4, portanto, V = 2π 0,4π. V = 1,6π 5,024 m 3, isto é, aproximadamente, 5024 litros. Terminado o problema, o professor pode continuar explorando outros fatos interessantes do mesmo problema. d (metros) c) É possível graduar uma régua para que sua leitura converta a medida em centímetros para o volume de litros armazenados no tanque? Se afirmativo, explique como fazê-lo. Sim, é possível. Observando o gráfico, a taxa de variação do volume em relação à medida d é constante. Tomando-se π = 3,14, essa taxa será de 314 litros a cada 10 cm. 25

26 Portanto, a régua poderá ser graduada aferindo a cada 10 cm da régua o volume de 314 litros Conexão Editorial O próximo problema, embora contenha a mesma estrutura do anterior, difere na direção da instalação do cilindro, que agora é horizontal. Nos postos de gasolina, geralmente é essa a posição adotada para ser enterrado o cilindro. Essa nova situação vai exigir dos alunos alguns conhecimentos sobre fatos referentes ao círculo e sobre razões trigonométricas. Isso será uma boa situação para o professor rever o conteúdo do 1 o bimestre (funções trigonométricas) e iniciar a exploração de áreas de setores circulares, necessários na planificação do cone. Atividade 6 Vamos, agora, considerar um tanque de armazenamento de álcool com o mesmo formato indicado na atividade anterior. Contudo, agora ele está colocado na posição horizontal, como indica a figura. Do mesmo modo, para medir a quantidade de álcool do tanque, utiliza-se uma régua e o procedimento é o mesmo da atividade anterior. Suponha que o tanque tenha o formato de um cilindro com 1 m de raio de base e 4 m de altura. Qual é o volume de álcool consumido quando a régua registra a marca d = 30 cm? Tanque de armazenamento O professor pode, inicialmente, deixar os alunos buscarem seus próprios meios para resolver esta atividade. Algum tempo depois, pode auxiliá-los na interpretação do problema, discutindo semelhanças com relação à situação da atividade anterior. Uma primeira ideia que deve surgir é que, como lá, o volume do combustível será igual à diferença entre o volume total e o volume consumido. O cálculo do volume total é simples. O problema recairá sobre o cálculo do volume de álcool consumido. 0,3 m 1 m 4 m Como estamos acostumados a ver os sólidos com a base na horizontal, uma ideia é mudarmos a direção do tanque de horizontal para vertical (figura a seguir). 26

27 Matemática 2 a série Volume 4 A área do segmento circular pode ser calculada pela diferença entre a área do setor circular e a área do triânguo isósceles AOB. Vamos dividir a resolução em etapas: d a) Área do setor circular: Setor circular é a porção do círculo limitada R por dois raios e um arco do círculo. Para determinar a área do setor circular, precisamos da H medida do ângulo central a ele correspondente, que indicaremos por θ. régua A d = 0,3 m B Crie um debate na sala, de modo que os alunos concluam sobre a necessidade de calcular o volume do sólido destacado, que R =1 θ 0 R =1 representa o volume do álcool consumido. Explorando a ideia relativa ao Princípio de Cavalieri, os alunos devem chegar à conclusão de que o volume do sólido é igual ao produto da área de sua base pela altura. A altura é igual ao comprimento do cilin- 0,3 m A B dro. O problema, portanto, reside em determinar a área da base. 0,7 m 1 m θ 1 m Essa região do círculo recebe o nome de 0 segmento circular, que é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo. 0 segmento circular B A O valor deste ângulo θ pode ser determinado se dividirmos o triângulo isósceles AOB, a partir da altura relativa ao vértice O. Assim, o ângulo θ também será dividido ao meio e o novo triângulo será retângulo. 27

28 A medida do ângulo θ pode ser encontrada a 2 partir de seu cosseno: cos t 2 = 0,7 1 = 0,7. Desse modo, devemos determinar qual o arco cujo cosseno seja igual a 0,7. c) Área do segmento circular (A): A = A setor A triângulo = 0,785 0,5 A = 0,285 m 2. Retomando o volume do combustível consumido (V 1 ): 1 m 0,7 m θ 2 1 m V 1 = A. H = 0, V 1 = 1,14 m 3, isto é, V 1 = 1140 litros. Então, a resposta do problema proposto é que foram consumidos litros de álcool. Consultando uma tabela trigonométrica ou por estimativa, admitindo que 2 0,7, 2 teremos que cos θ 0,7 e, portanto, o valor 2 de θ 45. O ângulo do setor circular pode 2 ser considerado, então, próximo de 90º, e sua área equivalerá a 1 da área total do círculo. 4 Como a área do círculo é A círculo = π. 1 2 = π, a área do setor será A setor = π m 4 2. Adotando π = 3,14, temos que; A setor = _ 3,14 = 0,785 m 4 2. b) Cálculo da área do triângulo: Uma vez que o ângulo do setor é de 90º, o triângulo AOB é retângulo em O e, portanto, sua área será: A triângulo = = 1 2 = 0,5 m2. Terminada essa atividade, o professor pode pedir aos alunos que investiguem, em postos de gasolina, como é medido o estoque de combustível nos tanques. Atualmente, há processos sofisticados de medições desses volumes. Dispositivos são instalados no interior dos tanques e fornecem em tempo real, em um painel, a conversão da altura ao volume do combustível disponível. Nos postos mais antigos, o estoque é calculado pela combinação da régua de medição com uma tabela específica de conversão. O professor também pode, julgando o tempo suficiente, distribuir para diferentes grupos de alunos valores diferentes de d e, agrupando-os em uma tabela, propor a construção do gráfico do volume armazenado no tanque em função de d V(d), e de θ V(θ). Neste último, dado θ em radianos, a interseção com os eixos coordenados será em (2π,0), quando o ângulo θ assume seu maior valor e o volume do tanque é zero, e em (0,4π), situação que representa o tanque totalmente cheio. 28

29 Matemática 2 a série Volume 4 4 π 12,56 12 V (l) π 6, θ (rad) 10 A situação que propomos a seguir pode tornar-se um tema interdisciplinar entre as áreas de Matemática, Física e Química. O problema propõe um modelo bastante aproximado para o cálculo do volume de ar contido em um pneu, pela interpretação dos dados nele impressos. Uma situação como essa envolve muitas outras considerações, como as referentes à pressão e à temperatura, que não são consideradas no problema, mas que podem ganhar significado quando tratadas juntamente com professores de Física e Química. Atividade 7 O volume de ar de um pneu Todo pneu de automóvel possui um código alfanumérico que traz especificações sobre suas dimensões e características. Vamos explorá-lo: Conexão Editorial P 245 / 45 R19 1 P R A letra P, que não aparece em todos os pneus, indica que se trata de um pneu para veículos de passeio. 2. A largura do pneu ou da sua banda de rodagem é dada em milímetros. 3. A altura lateral do pneu é indicada pelo porcentual da largura da banda de rodagem. Também recebe o nome de série. 4. A letra R significa que o pneu é de construção radial. Sua estrutura é formada por camadas de lonas dispostas paralelamente e em sentido radial. A ausência dessa letra significa que o pneu é de construção diagonal, sendo as lonas cruzadas uma em relação às outras. 5. Refere-se à medida do diâmetro do aro da roda. Ele é dado em polegadas (1 pol 2,54 cm). 29