ANÁLISE DA INTERAÇÃO ESTACA-SOLO VIA COMBINAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS COM O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

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1 ISSN ANÁLISE DA INTERAÇÃO ESTACA-SOLO VIA COMBINAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS COM O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO Ruben Fernande de Mato Filho & João Batita de Paiva Reumo Nete trabalho apreenta-e uma combinação de formulaçõe numérica para a análie da interação etaca-olo com ou em bloco de capeamento rígido, ujeita à carga horizontal e vertical. Neta formulaçõe a etaca ão repreentada pelo método da diferença finita (MDF) ou pelo método do elemento finito (MEF) e o olo é repreentado pelo método do elemento de contorno (MEC). Na utilização do MEF, para a análie da etaca, o delocamento e a força de interação foram repreentado por vária funçõe polinomiai chegando-e a um elemento finito final coniderado eficiente e contituído por quatro ponto nodai, 4 parâmetro nodai, endo quatro para delocamento lineare em cada uma da direçõe (X, X e X 3 ) e mai doi parâmetro referente a rotaçõe do topo da etaca em torno do eixo X e X. O delocamento tranverai ao longo da etaca foram repreentado por uma função polinomial do 4 o grau e o delocamento axiai foram repreentado por uma função cúbica. Para a força da interface na direçõe X e X ão utilizado funçõe polinomiai cúbica. A força de uperfície cialhante que ocorrem ao longo do fute da etaca ão repreentada por um polinômio quadrático e a tenão normal à eção da extremidade inferior da etaca é upota contante. O maciço de olo é modelado pelo MEC como um meio contínuo, elático-linear, emi-infinito, iótropo e homogêneo. Combinando-e ete método de análie, obtém-e um itema de equaçõe lineare repreentando o problema de interação etaca-olo. Apó a reolução dete itema, ão obtido o delocamento e rotaçõe no nó do elemento e a tenõe de contato etaca-olo. Vário exemplo envolvendo a formulaçõe propota ão analiado e o reultado obtido ão concordante com o de outro autore. Palavra-chave: método do elemento de contorno; método do elemento finito; método da diferença finita; interação etaca-olo; etaca flexívei. Metre em Engenharia de Etrutura - EESC-USP Profeor Aociado do Departamento de Engenharia de Etrutura da EESC-USP, paiva@c.up.br Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p , 007

2 60 Ruben Fernande de Mato Filho & João Batita de Paiva INTRODUÇÃO A interação olo-etrutura é atualmente um do problema que tem recebido epecial atenção de pequiadore no mai divero centro de pequia, principalmente por ua aplicaçõe de caráter prático. Em um itema de fundação compoto por etaca, o critério para projeto na maioria do cao não determina a capacidade de carga última da etaca, ma im o máximo delocamento da mema. O projeto exige a verificação do etado limite último, ma o critério determinante do dimenionamento é a verificação do etado limite de utilização. A etaca de um itema de fundação ão freqüentemente ubmetida a alta força horizontai, como por exemplo, em etaca-prancha, de fundaçõe de ponte, de edifício alto, de etrutura off-hore, de torre de tranmião de energia, de muro de arrimo entre outra. Força ea, que podem er cauada pelo vento, onda marítima, empuxo de terra e em algun cao, atuam imultaneamente, como no pilare de ponte que ão olicitado, pela ação do vento, pelo fluxo da água e pela frenagem do veículo obre o tabuleiro (Cintra, 983). Em regiõe ujeita a imo, egundo Brom (964a), a etaca devem ter a capacidade de reitir a uma força lateral equivalente a 0% da carga axial aplicada. A etaca tem a função de uportar carregamento tranverai como: Elemento ativo quando a carga ão proveniente de açõe que agem obre a etrutura chegando a fundação atravé da ligação uperetrutura-fundação (eforço olicitante na eção de ligação); Elemento paivo quando a carga ão aplicada obre o maciço de olo ou ejam tranmitida atravé do maciço de olo (obrecarga verticai, imo ou etaca de reforço de talude). Portanto ão muito o problema que neceitam do cálculo de etaca ubmetida a eforço horizontai. O maciço de olo tem ido alvo de inúmera pequia, já que cumpre um papel importante na concepção e na definição final em projeto de engenharia civil e área correlata. Um do parâmetro relevante do olo a er determinado é o recalque devido ao carregamento da etrutura. Dentre o vário modelo exitente na literatura para a idealização do maciço de olo, podem-e aludir a trê cláico: modelo de Winkler, modelo de doi parâmetro e modelo de meio contínuo. Vário trabalho foram publicado em que o modelo de Winkler foi uado para modelar a interação olo-etrutura: BOLTON (97), CHILTON & WEKEVER (990), CALDERÓN (99), MANZOLI (99), YUAN & WANG (99). BADIE & SALMON (996) apreentam um etudo em que o olo é repreentado pelo modelo de doi parâmetro, aim como é levado em conta a fricção entre a bae da etrutura e o olo. Com relação ao etudo da interação olo-etrutura em que o maciço de olo é repreentado por um meio contínuo tridimenional, vário autore apreentaram trabalho, tai como CHEUNG & NAG (968), CHAKRATORTY & GOSH (975), POULOS (980), FATEMI-ARDAKANI (987), ZAMAN et al. (988), HEMSLEY (990-a,b), MESSAFER & COATES (990), PAIVA (993), FERRO (993), CALDERÓN (996), MENDONÇA (997). Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p.59-80, 007

3 Análie da interação etaca-olo via combinação do método do elemento finito... 6 Nete trabalho apreenta-e uma formulação para a análie da interação etacaolo, onde a etaca ão modelada pelo MEF atravé da utilização de um elemento finito coniderado eficiente e contituído por 4 parâmetro nodai e o maciço de olo é repreentado pelo MEC, endo que o coeficiente de influência do olo ão obtido atravé da oluçõe fundamentai de MINDLIN (936). São analiado vário exemplo e o reultado ão comparado com o de outra formulaçõe. SISTEMA DE EQUAÇÕES PARA O SOLO A repreentação integral dee problema incorpora a olução fundamental de MINDLIN (936) e para o cao em que a força de volume ão deprezada, eta repreentação pode er ecrita como: u i * = u (p,)p ()d Γ(), (i,j =,,3) () Γ ij j Onde: * u ij(p,) é a olução fundamental de delocamento devido a uma carga unitária aplicada no ponto p na direção i e com repota no ponto na direção j ; p j é a força de interação na direção j. Implementando-e a dicretização da Eq. (), obtém-e: u i Ne = Γ e * u (p,)p ()d Γ(), (i,j =,,3) () ij j Onde: Γ e é o contorno do elemento de contorno; Ne é o número de linha de carga (etaca) imera no meio contínuo. A funçõe aproximadora para a força de interação ão cúbica para a direçõe X e X, quadrática ao longo do fute e uniformemente ditribuída na bae da etaca para a direção X 3. Sendo aim a funçõe de forma (cúbica e quadrática) podem er ecrita como: { } φ (3) 3 φ 45. ξ + 9ξ 55. ξ + φ ξ. 5ξ + 9ξ = = 3 (funçõe de forma cúbica) φ3 35. ξ + 8ξ 4. 5ξ φ 3 ξ ξ + ξ { ϕ} ϕ = ϕ ϕ p p p3 ( ξ ξ + ) 9 9 = 9ξ + 6ξ ( ξ ξ) 9 3 (funçõe de forma quadrática) (4) Sabendo-e que: Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p , 007

4 6 Ruben Fernande de Mato Filho & João Batita de Paiva ξ = z L (5) Onde: ξ é a cota adimenional; z é a cota do ponto em quetão; L o comprimento total da etaca. Apó efetuar o cálculo da integrai indicada na Eq. () para todo o elemento, obtém-e a repreentação algébrica do maciço de olo, também chamada de equação geral de delocamento do olo, dada por: { u } [ G]{ P } Onde: = (6) { u } é o vetor que contêm todo o delocamento que ocorrem no olo; { P } é o vetor que contêm toda a força de interação que ocorrem no olo; [ G ] é a matriz que contém todo o coeficiente de influência do olo. 3 SISTEMA DE EQUAÇÕES PARA A ESTACA A etaca é analiada pelo método do elemento finito utilizando um elemento com 4 parâmetro nodai, onde 4 parâmetro ão de delocamento laterai na direção X, 4 ão de delocamento laterai na direção X e 4 ão de delocamento verticai na direção X 3. Exitindo ainda mai um para a rotação em torno do eixo X e outro para a rotação em torno de X, como motra a Fig. : X w i P 5 V u v F i F i X i P τ p v i u i M M j w j v j P 6 u P j τp k w k v k P u 3 k P 7 τ p3 w l v l l P 4 P 8 u l (b) (a) (c) (d) (e) X 3 Figura - Dicretização do problema; a) Força no topo da etaca; b) Ponto de colocação na etaca; c) Parâmetro nodai de delocamento; d) força de interação variando cubicamente na direçõe X e X ; e) força de interação variando quadraticamente na direção X 3. Portanto, para a direção X : 4 3 u ap (z) = Az +Bz +Cz +Dz+E (7) Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p.59-80, 007

5 Análie da interação etaca-olo via combinação do método do elemento finito e 3 P x (z) = A z + B z + C z + D (8) Para a direção X : 4 3 v ap (z) = A3z +B3z +C3z +D3z+E (9) 3 e 3 P x (z) = A z + B z + C z + D (0) E para a direção X 3 : 3 w ap (z) = A5z +B5z +C5z+D, () 5 τ p (z) = A 6 z + B6z + C 6 () e σ b = (3) Sabendo-e que: Π = U + Π (4) Tem-e que: Π ap EpI = F u + L 0 p i L 0 ap u EpI (z)dz + M u F v i i M Px(z)vap (z)dz + τp (z)wap (z)dz + p L 0 v v Vw i ap EpA (z)dz + i + L 0 L P 0 x(z)uap w ap (z)dz + L σ 0 A bw ldap p p (z)dz (5) Onde: E p é o módulo de elaticidade longitudinal da etaca; I p é o momento de inércia da etaca; A p é a área da eção tranveral da etaca. Minimizando o funcional de energia potencial total, ou eja, derivando-e a Eq. (5) em função do parâmetro nodai e igualando-e a zero, obtém-e, matricialmente, o eguinte itema de equaçõe: [ K ]{ } { } c up F [ Q]{ Pp} Onde: = (6) [ K c ] é a matriz de rigidez da etaca; { u p } é o vetor de delocamento da etaca contendo tanto o proveniente da rotação, quanto o da tranlação; { F } é o vetor da força nodai equivalente proveniente do carregamento externo; [ Q ] é a matriz de tranformação da componente de força nodai em força nodai equivalente; Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p , 007

6 64 Ruben Fernande de Mato Filho & João Batita de Paiva { P p } é o vetor da força da interface etaca-olo. 4 ACOPLAMENTO MEC/MEF Com bae na deduçõe anteriore, pode er feita agora a interação MEC/MEF. Para que haja compatibilidade entre a matrize e vetore do doi método é neceário que eja feita a expanão do que pouírem menor ordem. Ete procedimento erá decrito a eguir. Da equação geral de delocamento do MEC, Eq. (6), tem-e que a equação do olo é: { u } [ G]{ P } = (7) Onde o eu vetore e matrize já foram determinado anteriormente. Sabe-e também que a equação da etaca é a eguinte: [ K ]{ } { } c up F [ Q]{ Pp} = (8) Onde o eu vetore e matrize também já foram determinado anteriormente. Colocando a equação do olo em função da força de interação, obtém-e: { P } = [ G] { u } Levando-e em conideração a condiçõe de compatibilidade de delocamento e de equilíbrio ao longo da interface etaca-meio contínuo, ito é: { u} { up} e P (9) = (0) { } { Pp} + = 0 () Pode-e ubtituir na equação proveniente do MEF, ou eja: [ Kc]{ up} = { F} [ Q][ G] { u} () Onde: [ Q][ G] = [ M] (3) Exite agora a neceidade de e expandir a matriz [M] para e obter a mema ordem da matriz [K c ]. Para io ão colocada dua coluna de zero na matriz [M] referente a não conideração da rotaçõe em torno do eixo X e X pelo olo. Eta matriz paa agora er denominada por uma barra, [ M ], indicando aim a ua expanão. Coneqüentemente, aumenta-e também o vetor de delocamento da equação do olo, ito é: Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p.59-80, 007

7 Análie da interação etaca-olo via combinação do método do elemento finito { u} { ui vi wi ui vi uj vj wj uk vk wk ul vl wl} = (4) Da compatibilidade de delocamento, tem-e agora que: { u } { u } { U} Portanto: = = (5) p [[ K ] [ M] ]{ U} { F} c + = (6) Finalizando: [ K]{ U} = { F} (7) Sendo que: [ K ] é a matriz final do itema de interação (MEC/MEF); { U} é o vetor que engloba todo o delocamento coniderado no itema, incluive a rotaçõe; { F }: o vetor de carga externa aplicada no topo da etaca (força horizontai e Momento fletore). 5 BLOCOS DE CAPEAMENTO RÍGIDO EM GRUPOS DE ESTACAS A utilização dete bloco permite a idealização de uma etrutura formada por um radier epeo e etaqueado num olo elático-linear, homogêneo, iótropo e emiinfinito. Nete trabalho admite-e que não exite contato entre o bloco e o olo. Para a análie numérica eta implementação é feita atravé da colocação de condiçõe de contorno no topo da etaca, tal que a cabeça da etaca agora é fixa e todo o elemento do grupo delocam-e igualmente. Sabendo-e que a equação final do itema (MEC/MEF) para o cálculo de delocamento é dada pela Eq. (7), pode-e a partir da colocação de uma matriz identidade multiplicando o vetor de força deenvolver-e um novo itema de equaçõe o qual poui a condiçõe de contorno. Para a apreentação deta teoria admiti-e que omente haverão carga e delocamento tranverai na direção X, atuando obre uma única etaca (apena com intuito de implificação deta formulação), ou eja: k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k u i F u i M u j = u k u l (8) Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p , 007

8 66 Ruben Fernande de Mato Filho & João Batita de Paiva Supondo-e agora que foram precrito o delocamento e a rotação na cabeça da etaca (u i e u i ), nete cao faz-e a troca de coluna de coeficiente de rigidez multiplicávei pelo valore precrito no primeiro termo por coeficiente da matriz identidade multiplicávei pela repectiva força externa do egundo termo, trocandoe também o inai. Fazendo-e a ubtituiçõe para o cao upoto, obtém-e que: 0 k3 k4 k5 F k k u i 0 k k k M k k u i 0 0 k33 k34 k35 u j = k3 k k43 k44 k45 u k k k k k k u l k5 k { I F [ K ] { U } [ ] { } (9) Onde todo o coeficiente do egundo termo da Eq. (9) ão conhecido, vito que: [ K ] e [ I ] ão matrize que pouem coeficiente de rigidez e coeficiente oriundo a matriz identidade, repectivamente, endo todo conhecido; { U } é o vetor de força e delocamento incógnito; { F } é o vetor de força e delocamento precrito. Pode-e multiplicar a matriz [ I ] pelo vetor { F } chegando-e agora ao eguinte itema: [ K ]{ U } = { W } (30) Onde: { W} = [ I ]{ F } (3) Reolvendo-e a Eq. (3) obtém-e o valore incógnito tanto de força quanto de delocamento. Ete proceo é normalmente utilizado para, atravé da precrição de um delocamento qualquer para um grupo de etaca, decobrir a carga que nela deverá er aplicada para que ete grupo deloque igualmente no cao de etaca ob bloco de capeamento rígido. 6 ESTACAS INCLINADAS Para o tratamento de etaca inclinada erão adotada toda a hipótee báica e a formulação coniderada para a etaca verticai (iolada e em grupo) contituída por um único elemento contendo 4 parâmetro nodai (MODELO_4PAR) e olicitada por carga horizontai e verticai, batando agora multiplicar corretamente a matriz de rigidez do itema pela ua correpondente matriz de rotação e por ua tranpota, endo eta matriz também utilizada para a determinação do ponto campo e fonte neceário para o deenvolvimento do MEC. FERRO (999), apreenta uma formulação, onde a determinação do ponto campo é feita admitindo-e uma poição qualquer para a etaca imera em um meio Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p.59-80, 007

9 Análie da interação etaca-olo via combinação do método do elemento finito contínuo. O eu eixo central, em relação a um itema de coordenada globai, forma o ângulo α, β e γ, repectivamente em relação ao eixo X, X e X 3. De uma forma emelhante, a coordenada de um ponto p (ponto campo) na uperfície lateral da etaca erão ecrita em função da coordenada de um ponto (ponto fonte) no centro da eção para o preente cao (fig. ). x ( ) = x,x λ p p ( ) p = x,x x Figura - Sitema de coordenada locai para uma eção da etaca. Pela qual fica definido um itema de coordenada locai da eguinte maneira: p x = x + r coλ p x = x + r enλ...(3) x p 3 = x 3 f f Colocando eta equaçõe na forma matricial, tem-e: p { } { } { } x = x + M r (33) Onde o vetor { M} é dado por: f coλ { M } = en λ 0 (34) A coordenada do ponto p no itema global podem er exprea, como: { x p } [ R] T { x p } = (35) Onde: x p : coordenada no ponto p no itema global; { } Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p , 007

10 68 Ruben Fernande de Mato Filho & João Batita de Paiva [ R] T : matriz de rotação tranpota que relaciona o itema de coordenada local e global. Eta matriz tranpota é dada da eguinte maneira: CXCY CXCZ CY + CZ CY + CZ CY + CZ T CZ CY [ R] = 0 CY + CZ CY + CZ CX CY CZ Sendo: CX x x k j = ; CY y y k j = ; CZ z z k j = L L L p p e o índice k e j, da coordenada x, y, z, referente ao nó final e inicial do elemento, repectivamente. Subtituindo o vetor de coordenada locai do ponto p (eq. 6.34) na equação 6.36, tem-e que: ( f ) p T { } [ ] { } [ ] p (36) x = R x + M r (37) A coordenada do ponto, ecrita no itema global, ficam da eguinte maneira: T { x } [ R] ([ R]{ x } { M} p rf) = + (38) e finalizando: ( f ) p { } { } { } x = x + N r (39) Onde: { } N CY coλ + CZ coλ CXCYen λ CY + CZ CZ = en λ CY + CZ CXcoλ + CYen λ (40) Deta maneira qualquer ponto campo na uperfície lateral de lateral de uma eta cilíndrica, tem ua poição definida em relação a um ponto fonte no eixo da etaca. Para o cao do MEF, o tratamento da etaca inclinada erá feito de tal forma que a matriz de rigidez da cada uma dela erá obtida inicialmente em relação ao itema de coordenada local e poteriormente a variávei locai erão tranformada em variávei globai atravé da matriz de rotação entre o itema de coordenada, ou eja: Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p.59-80, 007

11 Análie da interação etaca-olo via combinação do método do elemento finito g [ Kc ] [ R][ Kc ][ R] T = (4) A matriz do MEC é obtida no itema global, ou eja: { u } [ G]{ P } = (4) Deta forma o itema final para etaca inclinada erá: [[ R][ K ][ R] [ M] ]{ U} { F} c T + = (43) 7 AVALIAÇÃO NUMÉRICA Exemplo Kériel & Adam (967), realizaram um enaio numa etaca iolada cravada em olo argiloo, com comprimento de 4,65 m e diâmetro equivalente de 0,3573 m, ubmetida a uma carga horizontal F = 60 kn e a um momento M = -69 kn.m. O módulo de elaticidade longitudinal da etaca é igual a,0e+7 kn/m², o do olo (determinado experimentalmente, com bae na média do trê primeiro metro) é igual a 933 kn/m² e o coeficiente de Poion do olo é igual a 0,3. A Fig. 3 apreenta o delocamento laterai ao longo da etaca contatando-e uma concordância entre o valore medido e o calculado. Profundidade da Etaca - Cota (m) KÉRISEL & ADAM (967) -3.5 FERRO (993) -4 ESTE TRABALHO Delocamento Lateral (mm) Figura 3 - Delocamento horizontal na direção X ao longo da etaca. Exemplo Para ete exemplo erão admitida a mema caracterítica do problema citado no exemplo e que a força externa aplicada na direção X e em torno do eixo X, erão agora também aplicada em X e em torno de X. O reultado obtido ão apreentado na tabela, podendo-e obervar uma coerência entre o valore, além de que a formulação em quetão é exeqüível. Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p , 007

12 70 Ruben Fernande de Mato Filho & João Batita de Paiva Tabela - Delocamento laterai e rotaçõe em uma e em dua direçõe. Exemplo Exemplo Exemplo Uma Direção* Dua Direçõe* Cota X rot. em X X X rot. X rot. X 0 0,66-0, ,66 0,66-0, , ,55 m,596,596,596 3,0 m -0,4945-0,4945-0,4945 4,65 m -0,086-0,086-0,086 * O delocamento horizontai etão em milímetro e a rotaçõe em radiano. A rotaçõe ó foram calculada para o topo da etaca. Exemplo 3 A Fig. 4 apreenta um exemplo citado em FERRO (993), onde uma etaca de 6,096 m de comprimento, com diâmetro igual a 0,6096 m olicitada por uma carga vertical de 76,40 kn. O módulo de Young da etaca é admitido como endo 000 kn/m² e a relação entre o módulo do olo e da etaca igual a 00 K E etaca =. O E olo coeficiente de Poion do olo é igual a 0,. X V = 76,40 kn X X 3 6,096 m Figura 4 - Figura adaptada de FERRO (993) - Etaca em meio emi-infinito ujeita a uma carga vertical. O recalque ocorrido nete problema pela formulação em quetão, ão apreentado na Fig. 5 e demotram uma boa concordância, quando comparado com o modelo de FERRO (993) e VALLABHAN & SIVAKUMAR (986). Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p.59-80, 007

13 Análie da interação etaca-olo via combinação do método do elemento finito... 7 Profundidade da Etaca (m) FERRO (993) VALLABHAN & SIVAKUMAR (986) ESTE TRABALHO -6-7 Delocamento Vertical (mm) Figura 5 - Comparação entre o modelo - Delocamento verticai ao longo da etaca. Exemplo 4 WHITAKER & COOKE (966), enaiaram uma etaca com,m de comprimento e diâmetro de 0,6m, olicitada por uma carga vertical de intenidade igual a 00 kn. O módulo de elaticidade longitudinal da etaca é de, kn/m², o do olo é igual a 7400 kn/m² e eu coeficiente de Poion é 0,5. Nete enaio, WHITAKER & COOKE (966), obtiveram um delocamento vertical, medido na cabeça da etaca, de 0,84 cm. O delocamento no topo da etaca para o modelo propoto nete trabalho é de 0,867 cm, o que leva a erro percentual de apena 0,95%. A Fig. 6 apreenta um gráfico comparativo do recalque obtido atravé do modelo propoto por FERRO (993) e do modelo em quetão, onde e oberva novamente uma boa convergência entre o modelo Profundidade da Etaca (m) FERRO (993) ESTE TRABALHO - -4 Delocamento Vertical (mm) Figura 6 - Comparação entre o modelo - Delocamento verticai ao longo da etaca. Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p , 007

14 7 Ruben Fernande de Mato Filho & João Batita de Paiva Exemplo 5 Para um grupo quadrado de 9 etaca com comprimento de 5 m, diâmetro igual a 0,35 m e epaçamento =,5 m, erá aplicada uma carga de 0 kn em cada uma dela na direção X. Da imetria de poicionamento divide-e a etaca em ubgrupo como motra a Fig. 7.,5 m L = 5 m d = 0,35 m E p = 0 7 kn/m² E = 0 3 kn/m² ν = 0, 3 4 3,5 m,5 m,5 m Figura 7 - Divião da Etaca em quatro ubgrupo. A tabela apreenta o delocamento laterai obtido atravé da formulação em quetão: Tabela - Delocamento laterai para o quatro ubgrupo de etaca. Etaca Sub-Grupo Sub-Grupo Sub-Grupo 3 Sub-Grupo 4 Cota Delocamento Horizontal na Direção X (mm) 0. 3, ,837 35,843 38,63 5 m 8,345 8,4658 8,7340 8, m 4,0663 4,046 3,957 3,855 5 m,4740,3857,533,477 Podendo-e concluir com ete exemplo que a etaca mai ditante do centro geométrico têm o menore delocamento no topo, enquanto que o maiore delocamento ficam por conta da mai próxima, como motra a Fig. 8: Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p.59-80, 007

15 Análie da interação etaca-olo via combinação do método do elemento finito Profundidade da Etaca - Cota (m) Sub-Grupo (etaca:,3,5 e 7) Sub-Grupo (etaca: e 6) Sub-Grupo 3 (etaca: 4 e 8) Sub-Grupo 4 (etaca: 9) -6 Delocamento Lateral (mm) Figura 8 - Delocamento laterai ao longo da etaca e eu repectivo ubgrupo. Exemplo 6 Nete exemplo ão apreentada 4 etaca ubmetida à carregamento horizontai e verticai imétrico, como motra a Fig. 9: E p =,.0 7 kn/m² ν = 0,5 E = 000 kn/m² D = 0,40 m H = 50 kn V = 00 kn L p = 5 m =,0 m H H H H H H H H Figura 9 - Grupo de etaca ubmetida à carga horizontai e verticai imultaneamente. Dada a imetria de carregamento, coneqüentemente o delocamento também erão imétrico. A tabela 3 apreenta o delocamento e rotaçõe no topo da etaca: Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p , 007

16 74 Ruben Fernande de Mato Filho & João Batita de Paiva Tabela 3 - Delocamento laterai, verticai e rotaçõe no topo do grupo de etaca. Etaca Etaca Etaca 3 Etaca 4 Carga (Dir. X ) 50 kn - 50 kn - 50 kn 50 kn Carga (Dir. X ) 50 kn 50 kn - 50 kn - 50 kn Carga (Dir. X 3 ) 00 kn 00 kn 00 kn 00 kn Del. X (mm),3975 -,3975 -,3975,3975 Rot. em X (rad.) - 0, , , , Del. X (mm),3975,3975 -,3975 -,3975 Rot. em X (rad.) 0, , , , Del. X 3 (mm) Exemplo 7 No problema motrado na Fig. 0 (POULOS & DAVIS, 980), pede-e para calcular o delocamento lateral de um grupo de etaca, toda com diâmetro igual a 0,3048 m, ob um bloco de capeamento rígido, devido a uma carga de 444,8 kn (H G ) na EI p p 3 direção X. Adotou-e um coeficiente de Poion igual a 0,5 e K R = 4 = 0. EL Onde K R é coeficiente de flexibilidade do itema. 3 0,944 m H G ,944 m 0,944 m Superfície do Terreno Bloco de Capeamento Rígido H G = 444,8 kn 7,6 m E = 3447, kn/m² Figura 0 - Figura adaptada de POULOS & DAVIS, 980. Utilizando-e o método em quetão pode-e aumir que toda a etaca delocam igualmente e que ua rotação é retringida. Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p.59-80, 007

17 Análie da interação etaca-olo via combinação do método do elemento finito Precrevendo-e agora delocamento unitário, obtém-e o eforço neceário para que ete delocamento ocorra. Devido a imetria, exitem apena dua força ditinta aplicada na etaca (H e H ), que ão motrada na tabela 4. Tabela 4 - Força cauada pelo delocamento horizontai unitário no repectivo ubgrupo. Coef. de Mola K K Etaca, 3, 4 e 6,787 (kn/mm) - e 5 -,87 (kn/mm) Da equação de equilíbrio tem-e que: 4H + H = 444,8 (44) E como: K =,787 kn/mm (coeficiente de mola do itema). K =,87 kn/mm e H n = K n.u n (45) Onde pode-e dizer que u = u (endo valore unitário). Então: H,505 H (46) Subtituindo na equação de equilíbrio, obtém-e: H = 55,45 kn e portanto H = 83,4739 kn Colocando ete valore na ua repectiva etaca, ou eja: Figura - Ditribuição da força obre a cabeça da etaca. Liberando-e o delocamento e executando novamente o modelo (precrevendo-e agora a força H e H ) chega-e aim ao memo delocamento para toda a etaca, como é vito a eguir: u = 30,590 mm (no topo da etaca) O valore obtido por Poulo foram: u POULOS = 30,86 mm H POULOS = 89,4048 kn H POULOS = 43,5904 kn Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p , 007

18 76 Ruben Fernande de Mato Filho & João Batita de Paiva Comparando-e o reultado percebe-e uma certa dicrepância provavelmente decorrente do fato de que Poulo etendeu o uo do eu modelo deenvolvido para dua etaca, para a análie de grupo genérico onde todo o epaçamento deveriam er idêntico. Como io não ocorre no exemplo apreentado, vário coeficiente de interação foram obtido atravé da uperpoição dee fatore, coniderando a etaca dua a dua, divergindo aim do modelo decrito nete trabalho onde todo o efeito da interação etaca-olo ão obtido atravé de uma combinação entre o MEC e o MEF, ou eja, de uma forma mai refinada. Oberva-e novamente que a etaca mai ditante para ambo o cao ão mai carregada do que a mai próxima do centro geométrico, concluindo-e que para carga idêntica a etaca interna (mai próxima) delocarão mai. Exemplo 8 A figura apreenta um bloco de capeamento rígido obre um grupo de 6 etaca com comprimento e diâmetro idêntico iguai a 7,6 m e 0,3048 m, repectivamente, olicitada por uma carga vertical de 334,4 kn. O coeficiente de comprexibilidade entre a etaca e o olo K E p = é igual a 000. Será admitido um E módulo de elaticidade do olo de 3830,3 kn/m² (POULOS & DAVIS, 980). A reolução dete problema implica na obtenção do recalque (idêntico) que ocorrem no topo de cada etaca. O reultado ão comparado com o apreentado por POULOS (980). 3,54 m 4 5 6,54 m,54 m V = 334,4 kn Argila Média 7,6 m Figura - Figura adaptada de POULOS & DAVIS, 980. Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p.59-80, 007

19 Análie da interação etaca-olo via combinação do método do elemento finito Começando-e ete problema, precreve-e um valor unitário para toda a etaca, referente a ocorrência de um delocamento vertical no topo deta. Obtém-e aim o eforço neceário para que ete delocamento idêntico ocorram. Devido a imetria geométrica do itema, pode-e notar que exitem doi ubgrupo de etaca, endo o primeiro formado pela etaca, 3, 4 e 6 (V ) e o egundo formado pela etaca e 5 (V ). O reultado dete eforço (coeficiente de mola K e K ) neceário para a ocorrência do delocamento unitário, ão apreentado na tabela 5. Tabela 5 - Força cauada pelo delocamento verticai unitário no repectivo ubgrupo. Coef. de Mola K K Etaca, 3, 4 e 6 6,094 (kn/mm) - e 5-4,0603 (kn/mm) Da equação de equilíbrio, tem-e: 4V + V = 334,4 kn (47) E como: K = 6,094 (kn/mm) K = 4,0603 (kn/mm) e V n = K n.w n (48) Onde pode-e dizer que w = w (valore de delocamento unitário). Então: V =,500V (49) Subtituindo na equação de equilíbrio, obtém-e: V = 66,78 kn e coneqüentemente, V = 50,089 kn Recalculando novamente o itema agora com a força, V e V precrita, chega-e a um recalque comum para toda a etaca, endo ete: w = 4,0769 mm O valore obtido por Poulo foram o eguinte: V = 55,35 kn V = 56,5696 kn e w POULOS = 4,640 pol. A diferença ocorrida com relação ao delocamento e força aconteceram provavelmente devido ao um melhor refinamento utilizado pelo modelo propoto para dicretizar o maciço de olo (MEC) e também devido ao modelo de Poulo ter ido Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p , 007

20 78 Ruben Fernande de Mato Filho & João Batita de Paiva deenvolvido para dua etaca e etendido poteriormente para grupo genérico de epaçamento idêntico, o que não ocorre no exemplo em quetão. 8 CONCLUSÕES Nete trabalho foi apreentada uma formulação numérica utilizando o método do elemento de contorno e o método do elemento finito para a análie da interação etaca-olo. A etaca é modelada pelo MEF utilizando um elemento com 4 parâmetro nodai, endo 4 parâmetro para delocamento lineare em cada direção (X, X e X 3 ) e mai parâmetro relativo a rotaçõe em torno do eixo X e X no topo da etaca. O maciço de olo é modelado pelo MEC como um meio elático contínuo, iótropo, homogêneo, emi-infinito e ideal. Admite-e que a tenõe de contato deenvolvida na interface etaca olo variem cubicamente no contorno de cada linha de carga para a direçõe X e X, a tenõe cialhante que ocorrem ao longo do fute da etaca ão repreentada por um polinômio quadrático e a tenão normal à eção da extremidade inferior da etaca é upota contante. A tenõe de contato ão eliminada no doi itema de equaçõe, obtido com o MEC e com o MEF, com o objetivo de ecrever um itema final de equaçõe governante do problema. Apó a reolução dete itema ão obtido o delocamento no nó, a partir do quai, a tenõe de contato etacaolo e a carga aborvida por cada etaca ão determinada. Para a imulaçõe numérica foram apreentado vário exemplo. Comprovou-e atravé da boa concordância de reultado obtido, quando da comparação dete modelo com outro modelo teórico (FERRO, 993; VALLABHAN & SIVAKUMAR, 986; POULOS, 980) e até memo com enaio experimentai (KÉRISEL & ADAM, 967; WHITAKER & COOKE, 966), que o modelo em quetão e adequa ao tratamento propoto nete trabalho. Pode-e concluir com ete trabalho que o delocamento (verticai e horizontai) na etaca ão diretamente influenciado eu comprimento, pela rigidez do itema e pelo epaçamento entre ela. Ainda podendo-e afirmar que para o cao de haverem bloco de capeamento rígido, a etaca mai ditante do centro geométrico do itema ão a que aborvem mai carga e a mai próxima do centro ão a que aborvem meno. A ditribuiçõe de carga tornam-e mai uniforme conforme aumentam o epaçamento. 9 REFERÊNCIAS BADIE, S. S.; SALMON, D. C. (996). A quadratic order elatic foundation finite element. Computer & Structure, v.58, n.3. BOLTON, R. (97). Stree in circular plate on elatic foundation. Journal Engineering Mechanic Diviion, June. CALDERÓN, E. T. (99). Uma formulação alternativa para o etudo de placa obre fundação elática pelo método do elemento de contorno. São Carlo. Diertação (Metrado) - Ecola de Engenharia de São Carlo - Univeridade de São Paulo. Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p.59-80, 007

21 Análie da interação etaca-olo via combinação do método do elemento finito CALDERÓN, E. T. (996). Sobre o uo do MEC para o etudo de interação de placa com o meio contínuo. São Carlo. Tee (Doutorado) - Ecola de Engenharia de São Carlo - Univeridade de São Paulo. CHAKRAVORTY, A. K.; GHOSH, A. (975). Finite difference olution for circular plate on elatic foundation. International Journal for Numerical Method in Engineering, v. 9. CHEUNG, Y. K.; NAG, D. K. (968). Plate and beam on elatic foundation-linear and non-linear behavior. Géotechnique, v. 8. CHILTON, D. S.; WEKEZER, J. W. (990). Plate on elatic foundation. Journal of Structural Engineering, vol. 6, n.. FATEMI-ARDAKANI, B. (987). A contribution to the analyi of pile-upported raft foundation. Southampton. Ph.D.Thei, Univerity of Southampton. FERRO, N. C. P. (993). Uma combinação do método do elemento de contorno com o método do elemento finito para análie de fundaçõe enrijecida por etaca. São Carlo. Diertação (Metrado) - Ecola de Engenharia de São Carlo - Univeridade de São Paulo. HEMSLEY, J. A. (990a). Elatic olution for large matrix problem in foundation interaction analyi. Proc. Int. Civ. Engr. HEMSLEY, J. A. (990b). Application of large matrix interaction analyi to raft foundation. Proc. Int. Civ. Engr. KÉRISEL, J.; ADAM, M. (967). Calcul de force horizontale applicable aux fondation profonde dan le argile el limon. Annale I.T.B.T.P., n.39, p.653. MANZOLI, O. L. (99). Formulação do método do elemento de contorno para placa obre fundação elática. São Carlo. Diertação (Metrado) - Ecola de Engenharia de São Carlo - Univeridade de São Paulo. MATOS FILHO, R. F. (999). Análie da interação etaca-olo via combinação do método do elemento finito com o método do elemento de contorno. São Carlo. Diertação (Metrado) Ecola de Engenharia de São Carlo - Univeridade de São Paulo. MENDONÇA, A. V. (997). Análie da interação placa-etaca-olo via uma combinação do método do elemento finito com o método do elemento de contorno. São Carlo. Diertação (Metrado) - Ecola de Engenharia de São Carlo - Univeridade de São Paulo. MESSAFER, T.; COATES, L. E. (990), An application of FEM/BEM coupling to foundation analyi. Advance in Boundary Method, v. 3. MINDLIN, R. D. (936). Force at a point in the interior of a emi-infinite olid. Phyic, v.7, p PAIVA, J. B. (993). Formulação do método do elemento de contorno para análie de interação olo-etrutura. São Carlo. Tee (Livre-docência) - Ecola de Engenharia de São Carlo - Univeridade de São Paulo. Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p , 007

22 80 Ruben Fernande de Mato Filho & João Batita de Paiva POULOS, H. G.; DAVIS, E. H. (980). Pile foundation analyi and deign. New York: John Wiley & Son. VALLABHAN, C. V. G.; SIVAKUMAR, J. (986). Coupling of BEM and FEM for 3D problem in geotechnical engineering. In: BREBBIA, C. A.; CONNOR, J. J. (Ed). BETECH 86. Southampton: CML Publ. p WHITAKER, T.; COOKE, R. W. (966). An invetigation of the haft and bae reitance of large bored pile in London clay. In: SYMP. ON LARGE BORED PILES. Proc. p YUAN, R. L.; WANG, L. S. (99). Generalized variational principle of plate on elatic foundation. Journal of Applied Mechanic, v. 58, Dec. ZAMAN, M. M.; ISSA, A.; KUKRETI, A. R. (988). Analyi of circular plate-elatic halfpace interaction uing an energy approach. Applied Math. Modeling, v.8, June. Caderno de Engenharia de Etrutura, São Carlo, v. 9, n. 40, p.59-80, 007