MAE116 - Noções de Estatística

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1 MAE116 - Noções de Estatística Grupo A - 1 semestre de 215 Gabarito da Lista de exercícios 5 - Distribuição Binomial - CASA Exercício 1.(2,5 pontos) Uma concessionária tem disponível, para um certo automóvel, os modelos S, CL e GL com duas versões de combustível, gás ou ex. Com motor a gás os preços são 4, 45 e 5 mil reais para os modelos S, CL e GL, respectivamente. Esses preços são 1% superiores se o carro for ex. A procura por carros a gás é de 25% e ex é 75%. Qualquer que seja o combustível escolhido, há igual preferência entre os modelos. a. (,5 ponto) Calcule a distribuição de probabilidade do preço desse automóvel; Temos 3 modelos do automóvel: {S, CL, GL} que podem ser:{f lex, gas}. Seja X := Preço do automóvel P (X = 4) = P (S gas) = P (S gas)p (gas) = = 1 P (X = 45) = P (CL gas) = P (CL gas)p (gas) = = 1 P (X = 5) = P (GL gas) = P (GL gas)p (gas) = = 1 P (X = 44) = P (S flex) = P (S flex)p (flex) = = 1 4 P (X = 49, 5) = P (CL flex) = P (CL flex)p (flex) = = 1 4 P (X = 55) = P (GL flex) = P (GL flex)p (flex) = = 1 4 De forma resumida temos: Tabela 1: Distribuição de Probabilidade Valor , Prob

2 b. (,5 ponto) Calcule o preço médio desse automóvel; o preço médio é dado por E [X] = x xp (X = x). cada preço vezes sua probabilidade, tomamos a soma: Ou seja, depois de calculado E [X] = , = ( ) 1 + ( , ) 1 4 = (135) 1 + (148, 5) 1 4 = 48, 375 O preço médio desse automóvel é de R$48, 375 c. (1,5 ponto) Calcule a variância e desvio padrão do preço desse automóvel. A variância é calculada da seguinte forma: V ar(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2. Precisamos então da E(X 2 ): E [ X 2] = (49, 1 5) = ( ) 1 + ( (49, 5) ) 1 4 = (65) 1 + (7411, 25) 1 4 = 51, , 81 = 2363, 23 A E(X) foi calculada no item anterior. Basta, apenas elevar ao quadrado: V ar(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = 2363, 229 (48, 375) 2 = 23, 88 O desvio padrão "DP (X)" é a raiz quadrada da Variância "V ar(x)". ou seja: DP (X) = V ar(x) = 23, 88 = 4, 85 2

3 Exercício 2.(2,5 pontos) A escala Richter, também conhecida como escala de magnitude local, atribui um número único para quanticar o nível de energia liberada por um sismo. Suponha que, no encontro das placas tectônicas Naszca e Sul-Americana, a probabilidade de um terremoto atingir um valor acima de 8 graus na escala Richter seja de,5. Se no próximo mês ocorrerem de modo independente exatamente 1 abalos sísmicos nessa região, determine: Um terremoto atinge um valor acima de 8 graus na escala Richter com p =, 5. Não atinge tal valor com 1 p =, 95. Assim, se chamar-mos a variável aleatória, X : O número de abalos sismicos que ultrapassam 8 na escala Richter, temos que a Distribuição de X é Binomial com probabilidade de sucesso p =, 5: Binomial(1;,5) a. (,5 ponto) a probabilidade de todos os 1 abalos atingirem mais de 8 graus na escala Ritchter. A probabilidade de que todos os abalos sismicos ultrapassem 8 graus é o mesmo que escolher 1 sucessos na distribuição Binomial: P (X = 1) = ( 1), 5 1, 95 =.98 b. (,5 ponto) A probabilidade de ao menos um deles atingir mais de 8 graus na escala Ritchter. A probabilidade de que ao menos um abalo ultrapasse 8 graus é o mesmo que:p (X 1) P (X 1) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + + P (X = 1) Porém, basta perceber que P (X = ) é o complementar de P (X 1) e portanto, P (X = ) + P (X 1) = 1. Logo, é mais fácil calcular pelo complementar para não ter que calcular todos os valores. P (X 1) = 1 P (X = ) = 1 ( 1 ), 5, 95 1 = 1, =, 4631 c. (1,5 ponto) O número esperado de abalos sísmicos com até 8 graus na escala Ritcher. O Número esperado de sucessos na distribuição Binomial é dado por E[X] = np. Porém, antes de sair calculando, perceba que até o item anterior nós chamamos de sucesso o evento em que o abalo sísmico ultrapassa os 8 graus na escala. Para esse item, no entanto, sucesso é quando o abalo não passa os 8 graus. Logo, p =.95.Temos agora uma distribuição Binomial(1,.95). E[X] = np =, 95 1 = 9, 5 O número esperado de abalos sísmicos que não ultrapassam 8 graus na escala Richter é de 9, 5 abalos. 3

4 Exercício 3. (3, ponto) Suponha que em um processo de produção, os itens x recémconfeccionados são levados por uma esteira até um ponto nal, onde são tomados de em para compor o que é chamada de caixa do item x. Tais caixas são imediadamente levadas à um caminhão, que com a carga completa, parte para a entrega das mesmas aos devidos clientes. Durante a fabricação, existem fatores externos que tornam o processo instável, de modo que cada iten x pode apresentar defeito com probabilidade,5 e de modo independente dos demais itens produzidos no processo. Seu João é um dos clientes dessa empresa, e a cada mês, compra uma caixa do item x. Supondo que exista uma norma que garanta a seu João o direito de ter todos os itens x sem defeitos e que Seu João mudaria de empresa caso encontrasse mais de três itens x defeituosos em sua caixa, determine a probabilidade de que, nesse mês, a. (,5 ponto) Seu João tenha seu direito violado - isto obriga a produtora a fornecer uma outra caixa ao cliente. Podemos denominar a Variável aleatória Y: O número de itens x que apresentam defeito. A probabilidade de apresentar defeito ("sucesso") é p =, 5 em itens. Temos portanto uma distribuição Binomial(;,5). Perceba que se um ou mais itens apresentarem defeito o Seu João terá seu direito violado e a caixa será trocada. Portanto queremos saber P (Y 1). P (Y 1) = P (Y = 1) + P (Y = 2) + P (Y = 3) + P (Y = 4) + + P (Y = ) Vimos no exercício 2 que P (Y = ) é o complementar de P (Y 1) e portanto, P (Y = ) + P (Y 1) = 1. Novamente é mais fácil calcular pelo complementar para não ter que computar todos os valores. ( ) P (Y 1) = 1 P (Y = ) = 1, 5, 95 = 1, 54 =, 46 b. (,5 ponto) Seu João deixe de ser cliente da produtora em questão. Se o número de itens com defeito for maior ou igual a 4 o Seu joão deixa de ser cliente da produtora. Assim, queremos a probabilidade de {Y 4} ou seja, P (Y 4). P (Y 4) = P (Y = 4) + P (Y = 5) + + P (Y = ) Note que: P (Y 3) + P (Y 4) = 1. É mais fácil calcular pelo complementar para não ter que computar todos os valores. P (Y 3) = P (Y = ) + P (Y = 1) + P (Y = 2) + P (Y = 3) 4

5 Assim, temos: P (Y 4) = 1 P (Y 3) = 1 [P (Y = ) + P (Y = 1) + P (Y = 2) + P (Y = 3)] = [( ) ( ) ( ) ( ) ] =, 5, 95 +, 5 1, , 5 2, , 5 3, = 1 [, , , , ] = = 1, =, Portanto a probabilidade de o Seu João deixar de ser cliente da distribuidora é de aproximadamente, 22% ou seja, menor que 1%. c. (2, ponto) Sabendo que Seu João recebeu uma segunda caixa sem defeito, ele ter deixado de ser cliente da produtora em questão. Sejam os eventos: A: a primeira caixa é devolvida e o Seu joão não deixa de ser cliente B: O Seu João deixa de ser cliente Temos então: P (A primeira caixa é devolvida) = P (A) = P (Y 1) P (O Seu João deixa de ser cliente) = P (B) = P (Y 4) Para que o Seu joão tenha recebido uma segunda caixa, é preciso ter tido algum defeito na primeira. Queremos saber portanto P (B A) ou seja: P (Y 4 Y 1). P (B A) = P (A B) P (A) = P (Y 1; Y 4) P (Y 1) = P (Y 4) P (Y 1) =, , 46 =, 4862 Logo, a Probabilidade de o Seu João ter deixado de ser cliente da produtora tendo recebido a segunda caixa é de, PS.: É importante notar que a interseção: {Y 1} {Y 4} = {Y 4}. 5

6 Exercício 4.(2, ponto) Com o objetivo de avaliar a satisfação dos participantes da festa GAMA, o(a) organizador(a) do evento escolheu, ao acaso, 1 dos convidados que estiveram presentes e fez-lhes a seguinte pergunta De modo geral, como você avaliaria a festa GAMA? Após uma análise das respostas obtidas, notou que dos 1 entrevistados, 2 poderiam ser categorizados como insatisfeitos, 4 como satisfeitos e 4 como plenamente satisfeitos. Caso as proporções de insatisfeitos, satisfeitos e plenamente satisfeitos no público total da festa - 2 participantes - fossem idênticas às observadas na amostra considerada pelo(a) organizador(a), qual seria a. (1, ponto) O número esperado de participantes insatisfeitos, satisfeitos e plenamente satisfeitos com a festa GAMA. Considere as variáveis aleatórias como descrito. I := Insatisfeito; P (I) = 2 1 =.2 S := Satisfeito; P (S) = 4 1 =.4 PS := Plenamente Satisfeito; P (P S) = 4 1 =.4 Como o exercício diz que as proporções são idênticas às encontradas na amostra, perceba que o número esperado para cada uma das avaliações é dado por: E(I) = P (I) 2 =, 2 2 = 4 E(S) = P (S) 2 =, 4 2 = 8 E(P S) = P (P S) 2 =, 4 2 = 8 Note ainda que E(I) + E(S) + E(P S) = 2 b. (1, ponto) A probabilidade de que num grupo de 1 pessoas, escolhidas ao acaso, nenhuma estivesse plenamente satisfeita com festa GAMA. Perceba que o sucesso só ocorre quando o participante selecionado responde que está plenamente satisfeito com a festa. Portanto, qualquer outra avaliação é considerada como fracasso ou seja: P (sucesso) = P (P lenamentesatisfeito) = P (P S) =, 4 P (fracasso) = P (Satisfeito)+P (Insatisfeito) = P (I)+P (P S) =, 2+, 4 =, 6 Logo passamos a ter uma Binomial(1;, 4). Seja X o número de participantes satisfeitos na amostra. Então: P (X = ) = ( 2 ), 4, 6 1 =, 65 6

7 A probabilidade de que nenhuma pessoa esteja plenamente satisfeita com a festa é de, 65 7