PROBLEMA DE MAXIMIZAÇÃO DE LUCRO DE UMA EMPRESA PRODUTORA DE LEITE UHT

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1 XXIX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO. PROBLEMA DE MAXIMIZAÇÃO DE LUCRO DE UMA EMPRESA PRODUTORA DE LEITE UHT Cícero Renylton da Silva Gama (fbv) ANDRÉ GUSTAVO TIMOTEO DE ARAUJO CRUZ (fbv) Jônata Ferreira de Melo (fbv) Gustavo Felipe Basile Rudolph (fbv) Este trabalho tem como objetivo encontrar a solução ótima para maximizar o lucro com a venda de leite UHT por uma Indústria na região Nordeste do Brasil. Utilizando o Modelo Determinístico da Pesquisa Operacional para indicar a melhor formaa de atender à demanda exigida pelo mercado consumidor. Palavras-chaves: Leite UHT, Maximização de Lucro, Pesquisa Operacional

2 1. Introdução O leite foi, desde os tempos mais remotos um alimento importante para os povos, porém, era muito sensível e se deteriorava com facilidade, portanto seu valor comercial era praticamente nulo. Em 1864, Pasteur, apresentou a pasteurização que consiste em submeter um alimento a uma temperatura entre 7ºC e 75ºC durante 15 a 0 segundos e em seguida reduzir essa temperatura para 5ºC. Desta forma eliminando a maior parte dos microrganismos patogênicos, aumentando a durabilidade dos alimentos. Apesar de ser uma boa solução, somente no século XX com o surgimento dos sistemas de refrigeração permitiu a existência do leite pasteurizado com maior prazo de validade, o que tornava o leite mais comercial. Com o crescimento industrial e de consumo, surgem novos estudos sobre a pasteurização até se encontrar um novo método, a ultra-pasteurização (UHT ou Ultra High Temperature) que consiste em submeter o produto a aquecimento entre 10ºC e 150ºC durante a 4 segundos, seguido de arrefecimento brusco a temperatura de 0ºC, é este choque térmico que destrói as bactérias. Este tratamento permite a destruição total dos microrganismo. Associado à ultra-pasteurização surge o chamado enchimento asséptico que revolucionou a preservação dos alimentos, no caso do leite deixa de ter a necessidade de refrigeração e apresenta validade de até 4 ou 5 meses mantendo suas características nutricionais. O sistema de envase asséptico consiste em enchimento a frio de uma embalagem previamente esterilizada sob condições ambientais também estéreis com um produto, neste caso leite, comercialmente estéril. A principal embalagem utilizada para o leite UHT é a do sistema Tetra-Pak, constituída por uma chapa com camadas consecutivas de polietileno-cartão-polietileno-alumínio-polietileno. Este material proporciona eficaz barreira contra a penetração do oxigênio e luz. Através de sobrepressão de ar estéril no ambiente de enchimento, limitado pelo tubo de embalagem que garante a assepsia do processo. Uma importante transformação que têm ocorrido no mercado é a crescente participação relativa do leite UHT no mercado nacional de leite fluído ao longo da década de 90, em detrimento das demais categorias. Tendência essa que continua na década atual. A produção nacional de leite UHT, que em 1990 era de 184 milhões de litros, saltou para 450 milhões de litros em 1997, correspondendo a um incremento de 11,5% ao longo do período, isso equivale a um crescimento na participação do leite UHT no mercado formal brasileiro que correspondia a 4,4% em 1990 e passou a corresponder 49,% em A expansão recente do mercado do leite UHT, está relacionada a uma série de elementos como menores custos logísticos e de estocagem, armazenagem e distribuição sem necessidade de refrigeração, manutenção das características nutricionais do produto. Bem como a durabilidade e prazo de validade maior facilitando armazenagem para consumidor final. Menores perdas no manejo, tanto na produção quanto na estocagem. Com o crescimento da demanda do leite UHT as empresas tiveram que se adequar e redimensionar suas linhas produtivas. Em determinados casos transferir produtos de fábricas distantes para os principais centros consumidores, o que tem causado aumento nos custos e conseqüente redução no lucro das empresas.

3 Por conta deste aspecto, desenvolvemos este trabalho com o intuito de maximizar o lucro de uma empresa de laticínios situada na região nordeste, levando em conta suas necessidades, demanda e transferência de produtos de suas outras fábricas para complementar sua produção e atender ao mercado consumidor do Estado, Aplicando as ferramentas da pesquisa operacional. Definição do Problema e Coleta dos dados De acordo com os dados coletados, a empresa em estudo possui três fábricas de leite UHT, onde a fábrica 1 situada na região nordeste tem três linhas de produção de leite para atender a demanda do estado. A fábrica está situada no centro oeste, e tem a disponibilidade de transferir para a fábrica 1 uma carreta de leite UHT (4.840 caixas) podendo ser composta pela soma dos três tipos de leite Integral comercializados pela empresa na região nordeste (tipo A, tipo B e tipo C). A fábrica, situada na região sul, tem a disponibilidade de transferir para a fábrica 1 duas carretas de leite UHT ( caixas) podendo também ser composta pela soma dos três tipos de leite Integral comercializados no Estado. A Linha 1 produz 100 caixas por hora, a linha e produz 80 caixas por hora cada uma. O tempo disponível para produção mensal é de 480 horas para cada linha produtiva onde destas 160 horas correspondem ao turno noturno. A quantidade mínima a ser produzida de cada produto na linha 1 é 70 caixas, na linha e é de 15 caixas para cada uma. Os produtos produzidos em cada linha são descritos na tabela 1. Linha 1 Linha Linha Leite Tipo A Integral Leite Tipo A - Integral Leite Tipo B Integral Leite Tipo A - Semi-desnatado Leite Tipo A - Semi-desnatado Leite Tipo B Desnatado Leite Tipo A Desnatado Leite Tipo A - Desnatado Leite Tipo C Integral Leite Tipo B - Integral Leite Tipo B - Desnatado Leite Tipo C - Integral Leite Tipo C - Desnatado Tabela 1: Produtos produzidos nas linhas de produção da fábrica 1 Leite Tipo C Desnatado A fábrica 1 tem disponível para produção mensal caixas de matéria-prima devido a acordos fechados com os produtores. Para produzir os seus produtos a fábrica 1 utiliza o percentual de leite cru discriminado na tabela 5. Produto Percentual materia prima para uma caixa de leite UHT Leite Integral (Tipo A, B e C) 95% Leite Semi-desnatado (Tipo A) 90% Leite Desnatado (Tipo A, B e C) 87% Tabela 5: Percentual de leite cru em uma caixa de leite UHT A Quantidade máxima de caixas produzidas é limitada pelo número de embalagens de 1 litro

4 fornecida mensalmente pela Tetra-Pak. A tabela 6 mostra a quantidade máxima de caixas a ser produzida mediante a tal restrição. Produto Caixas Leite Tipo A Integral Leite Tipo A Semi-desnatado 1.50 Leite Tipo A Desnatado Leite Tipo B Integral Leite Tipo B Desnatado Leite Tipo C Integral Leite Tipo C Desnatado 84 Tabela 6: Limite máximo de caixas produzidas mensalmente A demanda mensal de cada produto mediante a acordos fechados com clientes são, no mínimo caixas do Leite Tipo A Integral, apenas caixas do Leite Tipo A Semidesnatado, no máximo 10.0 caixas do Leite Tipo A Desnatado, no mínimo caixas do Leite Tipo B Integral, no mínimo caixas do Leite Tipo B Desnatado, no mínimo caixas do Leite Tipo C Integral e no máximo caixas do Leite Tipo C Desnatado. Para o problema em estudo foi admitido que os dados da demanda mensal fossem determinísticos, ou seja, tudo que for produzido será vendido, portanto o objetivo da empresa é maximizar seu lucro na venda dos leites. Formulação do modelo Matemático Nesta fase, o problema definido anteriormente foi reformulado em uma forma conveniente para análise, construindo um modelo matemático que represente a essência do problema e utilizando a programação linear, onde as funções matemáticas que aparecem tanto na função objetivo quanto nas restrições são funções lineares. Com base nos dados coletados a modelagem mais adequada a ser utilizada é a programação Inteira..1 Variáveis de decisão As variáveis de decisão para o problema em estudo se associam a valores que representam quantidades a serem produzidas ou transferidas de cada produto (leite UHT) comercializado pela empresa. As variáveis do modelo foram definidas por: x ijkmn onde os seus índices representam: i fábrica de origem j linha produtiva k tipo do produto 4

5 m clase do produto n turno de produção. Função objetivo A função objetivo do problema consiste em maximizar o lucro da venda dos produtos (Leite UHT) comercializados no estado de Pernambuco. Sabe-se que o lucro por caixa consiste na diferença entre o preço de venda por caixa e o custo por caixa de cada produto, ou seja. Devese levar em consideração que não podemos produzir quantidades fracionadas de caixas, deste modo admite-se que todas as variáveis são inteiras. A função objetivo é descrita da seguinte forma: MAX : L L 1j1mn j 1 m 1 n 1 x 1j1mn L 1jkmn j k m 1 n 1 x 1jkmn L i0k10 i. Restrições técnicas x i0k10 k 1 Na formulação do modelo matemático do problema foram analisadas restrições que limitam as variáveis de decisão a seus valores possíveis (ou viáveis), ou seja, o aumento das variáveis de decisão é limitado pelas restrições de recursos ou por imposições do mercado. Para o problema apresentado existem as seguintes restrições: Restrições de transporte de produtos originados de outras fábricas Restrições de capacidade das linhas de produção Restrição de Lote mínimo a ser produzido de cada produto Restrição de Matéria-prima prima disponível para produção Restrição de embalagens disponíveis para produção Restrição de demanda do mercado consumidor 4 Derivando soluções a partir do modelo Após a fase de formulação do modelo matemático, foi efetuado um procedimento para derivar soluções para o problema, em busca da solução ótima ou da melhor solução possível. Entretanto é necessário reconhecer que essas soluções são ótimas apenas em relação ao modelo que está sendo usado. Visto que o modelo necessariamente é idealizado e não uma representação exata do problema real. Pois há muitos fatores imponderáveis e incertezas associadas aos problemas práticos, como por exemplo, fator humano, climático, econômico entre outros. Porém com o modelo bem-formulado e testado, as soluções resultantes tendem a ser uma boa aproximação para um caminho a ser adotado para o caso real. Para a solução do modelo matemático do problema em estudo, foi utilizado algoritmo de programação inteira através da versão educacional do software LINDO. 4.1 solução computacional O algoritmo (simplex) utilizado na resolução do modelo anteriormente descrito, indicou a solução ótima após 5 iterações. Tal solução indica os valores exatos e inteiros que as variáveis de decisão devem assumir, ou seja, as quantidades ótimas a serem produzidas e (ou) transferidas nas unidades produtivas. 5

6 Na tabela 7 estão inclusas também quantidades parciais e totais por tipo, classe de leite, bem como lucro parcial e total alcançados à partir da solução encontrada. É necessário ressaltar que na programação inteira as variáveis assumem valores discretos e não valores contínuos impedindo a elaboração de intervalo representativo, portanto torna-se inviável a análise de sensibilidade. FÁBRICA LINHA TIPO CLASSE TURNO QUANTIDADE A SER PRODUZIDA LUCRO (R$) 1 1 A DESNATADO DIURNO A DESNATADO NOTURNO ,8 1 A DESNATADO DIURNO ,8 1 A DESNATADO NOTURNO ,4 TOTAL - LEITE UHT TIPO A DESNATADO A INTEGRAL DIURNO A INTEGRAL NOTURNO A INTEGRAL DIURNO ,4 1 A INTEGRAL NOTURNO ,48 A INTEGRAL A INTEGRAL TOTAL - LEITE UHT TIPO A INTEGRAL ,7 1 1 A 1 1 A 1 A 1 A SEMI- DESNATADO SEMI- DESNATADO SEMI- DESNATADO SEMI- DESNATADO DIURNO NOTURNO , DIURNO ,8 NOTURNO , TOTAL - LEITE UHT TIPO A SEMI-DESNATADO , 1 B DESNATADO DIURNO B DESNATADO NOTURNO ,6 1 B DESNATADO DIURNO B DESNATADO NOTURNO ,6 TOTAL - LEITE UHT TIPO B DESNATADO , 1 B INTEGRAL DIURNO B INTEGRAL NOTURNO ,6 6

7 1 B INTEGRAL DIURNO B INTEGRAL NOTURNO , B INTEGRAL ,4 B INTEGRAL ,8 TOTAL - LEITE UHT TIPO B INTEGRAL C DESNATADO DIURNO C DESNATADO NOTURNO ,6 1 C DESNATADO DIURNO C DESNATADO NOTURNO ,6 TOTAL - LEITE UHT TIPO C DESNATADO , 1 C INTEGRAL DIURNO C INTEGRAL NOTURNO ,8 1 C INTEGRAL DIURNO C INTEGRAL NOTURNO ,6 C INTEGRAL C INTEGRAL , TOTAL - LEITE UHT TIPO C INTEGRAL ,08 TOTAL GERAL ,4 Tabela 7: Tabela da Solução Ótima encontrada no LINDO 4. validação do modelo Nesta etapa, será analisada a solução obtida computacionalmente através do software LINDO com críticas, ajustes, correções e observações, tanto quantitativas quanto qualitativas, visando possibilitar uma eventual implementação de tal solução em ambiente real. O primeiro fator observado é a possibilidade das fábricas trabalharem com sua capacidade total, no modelo, não há restrições com relação à possibilidade de quebra. Para eventuais quebras assume-se uma margem de 5%, até este percentual existe reposição de produção em caráter emergencial em um eventual turno aos sábados, considerando-se que aos domingos é feita manutenção preventiva e limpeza geral dos equipamentos. Outro fator é a matéria-prima disponível, que por contrato é garantida nos volumes apresentados. Como esta é fornecida com excedente, já com certa folga de desperdício, a mesma não altera ou influi no resultado obtido. Outro fator que pode influenciar o lucro são as embalagens. A grosso modo, são fornecidas em número suficiente já com previsão de perda, há porém, um pico de produção na fábrica 1 dos leites tipo A integral, tipo A desnatado e tipo B integral onde todas as embalagens fornecidas são utilizadas se houver uma eventual perda de até 5%, que é considerada aceitável, influenciaria em apenas 0,0 centavos de real no lucro total. Com essa perda a produção geral deve ser redimensionada e redistribuída. 7

8 5 considerações finais Depois de todas as etapas desenvolvidas no estudo da otimização do aproveitamento da capacidade produtiva da empresa visando maximizar lucro, concluímos que a solução viável ótima obtida pelo modelo matemático formulado, trouxe resposta adequada e condizente com a realidade da empresa. Tal estudo aponta para uma análise cada vez mais racional, aplicando métodos e modelos mais sofisticados na resolução de problemas reais. Vale observar que o sistema estudado é passível de mutações, ou seja, todos nós sabemos o quanto é improvável a imutabilidade dos sistemas, pois existem fatores que estão relacionadas à economia do país, ao clima das regiões produtoras bem como em variações na demanda. Porém estes fatores não são capazes de invalidar este modelo. A proposta é relativa ao atual momento de mercado. Como mencionado anteriormente o problema inviabiliza a análise de sensibilidade, técnica essa que tornaria mais quantitativa e objetiva a análise do momento a ser realizada uma nova atualização do modelo. Porém, pode-se buscar objetividade através de simulações, isto significa que para ter a certeza de uma análise objetiva, assumem-se variações em todas as características do problema. Com base nos dados obtidos nas simulações, delimitam-se níveis aceitáveis para que o modelo seja valido, caso contrário deve-se remodelar o problema. Referências PEREIRA, Marcos. Programação Linear, Editora Interciência, 006. HILLIER, Frederick S., Introdução à pesquisa operacional, 8ª ed., Editora McGraw-Hill, São Paulo, 006 SILVA, Ermes Medeiros da. Pesquisa Operacional, ª ed., Editora Atlas, São Paulo, 1998 ARENALES, Marcos ; Pesquisa Operacional: Modelagem e Algoritmos, Vinicius Amaral, Reinaldo Morabito et al., Editora Campus, Primeira edição, 006. GOLDBARG, Marcos César; Otimização Combinatória e Programação Linear, Editora Campus, Segunda Edição,