Capítulo 1 Introdução e Coleta de Dados. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc.

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1 Capítulo 1 Introdução e Coleta de Dados Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 1-1

2 Objetivos Neste capítulo você aprenderá: Como a estatística é usada nos negócios As fontes de dados em negócios Os tipos de dados utilizados Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 1-2

3 Por que estudar Estatística? Os tomadores de decisão usam estatística para: Apresentar e descrever apropriadamente informações dos negócios que administram Tirar conclusões sobre uma grande população, usando informações de amostras Fazer previsões sobre as atividades de forma mais confiável Melhorar os processos Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 1-3

4 Estatística para Ciências Contábeis É uma ferramenta, um método Instrumento auxiliar na tomada de decisões Análise de indicadores (lucratividade, rentabilidade, atividade) Evolução histórica, variabilidade, comparações com empresas do mesmo setor. A empresa está acima ou abaixo da média do setor, acima ou abaixo da mediana? Está em que quartil? A previsão dos indicadores pode ser insumo ao planejamento e orçamento. Administração de estoques e caixa Como definir os níveis ótimos de estoque? Como variam as demandas por matérias-primas e produtos acabados? Como variam os tempos de entrega dos fornecedores? Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 1-4

5 Estatística para Ciências Contábeis Custo de capital (próprio e de terceiros e o que os determina) Se a empresa tem ações em bolsa, como o preço de sua ação varia com as oscilações do mercado? Os bancos que fornecem empréstimos cobram taxas adequadas ao risco de crédito que a empresa representa? Como avaliar se estas taxas são adequadas? Auditorias e fiscalizações Auditorias em processos das empresas podem ser extremamente custosas. Por exemplo, a verificação da correta contabilização de faturas significa analisar TODAS as faturas? É possível concluir com base na análise de amostras? Como órgãos públicos planejam a fiscalização das atividades das empresas? Pesquisas acadêmicas (modelos de previsão de falência, governança corporativa / disclosure) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 1-5

6 Métodos Estatísticos Estatística O braço da matemática que transforma os dados em informação útil aos tomadores de decisão. Estatística Descritiva Estatística Inferencial Coleta, resume e descreve os dados Permite concluir e tomar decisões a respeito de uma população baseando-se em dados de amostras dessa população. Teoria da Probabilidade

7 Estatística Descritiva Coletar Dados ex. Pesquisa Apresentar Dados ex. Tabelas e gráficos Caracterizar os dados ex. Média amostral = n X i Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 1-7

8 Estimação Estatística Inferencial ex. Estimar o peso médio da população com base no peso médio de uma amostra Teste de hipótese ex. Testar a afirmação de que o peso médio da população é de 65 kg Concluir ou tomar decisões sobre uma população com base em resultados de amostras. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 1-8

9 Vocabulário Básico da Estatística Variável Uma variável corresponde a uma característica de um item ou de um indivíduo População Uma população consiste em todos os itens ou indivíduos em relação aos quais você deseja tirar uma conclusão Amostra Uma amostra corresponde à parcela da população selecionada para análise Parâmetro Um parâmetro é uma medida numérica que descreve uma característica de uma população Estatística Uma estatística é uma medida numérica que descreve uma característica de uma amostra

10 População x Amostra População Amostra Medidas usadas para descrever a população são chamadas parâmetros Medidas calculadas a partir de uma amostra são chamadas estatísticas Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 1-10

11 Fontes de Dados Fontes Primárias: quem coleta e quem analisa são a mesma pessoa Dados de uma pesquisa política Dados coletados de um experimento Dados de observação Fontes Secundárias: a pessoa que realiza a análise não é quem a coletou Análise de dados de censo Dados de jornais ou publicados na internet Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 1-11

12 Tipos de Variáveis Tipo de Variável Categórica Numérica Exemplos: Estado Civil Partido político Cor dos olhos (Categorias definidas) Discreta Exemplos: Número de filhos Defeitos por hora (Contagem) Contínua Exemplos: Peso Voltagem (Características mensuráveis) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 1-12

13 Tipos de Variáveis Tipo de Variável Tipos de Perguntas Respostas Categórica Você atualmente possui ações ou títulos? ( ) Sim ( ) Não Numérica Discreta: Quantas revistas você assina atualmente? Contínua: Qual é a sua altura? Número Centímetros

14 Níveis de mensuração um outro meio de classificar os dados Dados Quantitativo ou numérico Qualitativo ou categórico Intervalar Razão Nominais Ordinais

15 Níveis de mensuração Variáveis qualitativas Nominais: As observações são nomeadas, rotuladas ou classificadas. Não há ordem ou hierarquia. Quando há duas categorias a variável é dicotômica, quando há mais de duas denomina-se variável categórica. Ex: país de origem, religião. Não é possível realizar operações aritméticas com seus valores. As estatísticas avaliadas são as baseadas em frequência, como moda e distribuição de frequência. Variável Categórica Categorias Tem computador? Sim / Não Tipo de ações Provedor Internet Crescimento / Valor / Outras UOL / Globo.com

16 Níveis de mensuração Variáveis qualitativas Ordinais: Há uma relação > (maior do que) válida para todos os pares de classes. A relação > poderá incluir mais alto do que, mais difícil do que, mais importante do que, preferível, etc. Ex: status social, grau de escolaridade, hierarquização de um conjunto de afirmações, atitudes em relação a determinado fato. Categorical Variable Ordered Categories Satisfação com o produto Cargo Satisfeito, Neutro, Insatisfeito Instrutor, Prof. Assistente, Prof. Adjunto, Prof. Titular Ratings de títulos de dívidas AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC, CC, C, DDD, DD, D Notas de Provas A, B, C, D, F

17 Níveis de mensuração Variáveis quantitativas Nível intervalar: Quando se designa arbitrariamente a uma categoria o valor zero e, a partir desse marco, constrói-se a escala. As categorias mantém uma relação de ordem, além de intervalos iguais de medição. O zero (0) é arbitrário, não é real. Ex: temperatura (o zero é uma categoria e não implica que haja temperatura igual a zero), peso, altura, volume Nível de razão O zero (0) é absoluto, há um ponto na escala onde não existe a propriedade. Permite saber se um número é o dobro ou o triplo de outro. Ex: renda, idade, quantidade produzida. Obs.: para estas variáveis é possível aplicar todas as estatísticas paramétricas comuns.

18 Níveis de Manipulação Variáveis Dependentes e Independentes Variável Independente: é aquela que é observada/medida e se supõe causar algum efeito sobre a variável dependente Variável dependente: é aquela cuja variação se quer explicar a partir da variação na variável independente Exemplo: será que a variação no preço da ação da Petrobrás é influenciada pela variação no índice Ibovespa? Neste caso a variável dependente é a cotação da ação da Petrobrás e a variável independente é a cotação do índice Ibovespa.

19 Classificação das Variáveis Quantitativa Razão Quantitativa Razão Número Est. civil Instrução Filhos Salário (SM) Idade Qualitativa Nominal Qualitativa Ordinal Quantitativa Razão

20 Capítulo 2 Apresentando Dados em Tabelas e Gráficos Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-20

21 Objetivos: Nesse capítulo, você aprenderá: Desenvolver tabelas e gráficos para dados categóricos Desenvolver tabelas e gráficos para dados numéricos Os princípios para uma apresentação apropriada de gráficos Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-21

22 Organizando Dados Categóricos: Tabela Resumo Uma tabela resumida indica a frequência, a quantidade ou a percentagem de itens em um conjunto de categorias, de tal modo que você possa verificar diferenças entre as categorias. Como você aproveita os feriados? Percentagem Em casa com a família 45% Viajando para visitar a família 38% Férias 5% Trabalhando 5% Outros 7% Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-22

23 Organizando Dados Categóricos: Gráfico de Barras Em um gráfico de barras, uma barra ilustra cada uma das categorias, cujo comprimento representa a quantidade, frequência ou a percentagem de valores que se posicionam em uma determinada categoria. Como você aproveita os feriados? Outros Trabalhando Férias 5% 5% 7% Viajando para visitar a família Em casa com a família 38% 45% 0% 10% 20% 30% 40% 50% Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-23

24 Organizando Dados Categóricos: Gráfico de Pizza O gráfico de pizza é um círculo desmembrado em fatias que representam categorias. O tamanho de cada uma das fatias da pizza varia de acordo com a percentagem em cada uma das categorias.. How Do You Spend the Holiday's 5% 5% 7% 38% 45% Em casa com a família Viajando para visitar a família Férias Trabalhando Outros Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-24

25 Organizando Dados Categóricos: Diagrama de Pareto Utilizado para mostrar dados categóricos Um gráfico de barras, onde as categorias são mostradas em ordem decrescente de frequência Uma linha correspondente aos percentuais acumulados é mostrado no mesmo gráfico Usado para separar os poucos vitais dos muitos triviais (Princípio de Pareto) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-25

26 %investido em cada categoria Organizando Dados Categóricos: Diagrama de Pareto Carteira de Investimentos 45% 100% 40% 90% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% % acumulado em cada tipo (linha do gráfico) 0% Ações Stocks Renda BondsFixa Poupança Savings CDB 0% Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-26

27 Organizando Dados Categóricos: Disposição Ordenada Uma disposição ordenada consiste em uma sequência de dados, em uma ordem de classificação, do menor valor para o maior valor.. Idade dos alunos da amostra Estudantes do turno matutino Estudantes do turno noturno Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-27

28 Organizando Dados Categóricos: Disposição Ramo e Folha Uma disposição ramo-e-folha organiza dados em grupos (chamados de ramos) de tal modo que os valores dentro de cada grupo (as folhas) se ramifiquem para a direita de cada linha. Turno Matutino Ramo Folha Idade dos Estudantes Turno Noturno Ramo Folha Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-28

29 Organizando Dados Categóricos: Distribuição de Frequência A distribuição de frequência é uma tabela resumida, na qual os dados são dispostos em grupos de classe ordenados numericamente. Atenção deve ser dada à seleção da quantidade apropriada de grupos de classe para a tabela, à determinação da amplitude adequada para um grupo de classe, e ao estabelecimento de limites para cada grupo de classe, visando evitar sobreposições. Para determinar a amplitude de um intervalo de classe você divide a amplitude (maior valor menor valor) do conjunto de dados pela quantidade desejada de grupos de classe. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-29

30 Organizando Dados Categóricos: Distribuição de Frequência - Exemplo Exemplo: Um fabricante de isolamento térmico seleciona aleatoriamente 20 dias de inverno e registra a temperatura média diária. 24, 35, 17, 21, 24, 37, 26, 46, 58, 30, 32, 13, 12, 38, 41, 43, 44, 27, 53, 27 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-30

31 Organizando Dados Categóricos: Distribuição de Frequência - Exemplo Organize os dados em ordem crescente: 12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58 Encontre a amplitude: = 46 Selecione o no. de classes: 5 (usualmente entre 5 e 15) Calcule a amplitude do intervalo de classe: 10 (46/5 e arredonde para cima) Determine os limites para cada grupo de classe: 10, 20, 30, 40, 50, 60 Determine os pontos médios de cada grupo de classe: 15, 25, 35, 45, 55 Conte as observações em cada grupo de classe Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-31

32 Organizando Dados Categóricos: Distribuição de Frequência - Exemplo Classe Frequência Frequência Relativa Percentagem Total Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-32

33 Organizando Dados Categóricos: Histograma Um gráfico onde os dados numéricos são apresentados na forma de distribuição de frequências e chamado histograma. Os limites de classe (ou pontos médios de classes) são mostrados no eixo horizontal. O eixo vertical mostra a frequência, frequência relativa, ou percentagem. Barras de alturas apropriadas são usadas para representar o no. de observações dentro de cada classe. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-33

34 Frequência Organizando Dados Categóricos: Histograma Classe Frequência Frequênci a Relativa Percentagem Total Histograma: Temperatura diária More Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-34

35 Organizando Dados Categóricos: Histograma no Excel 1. Selecione: Ferramentas / análise de dados Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-35

36 Organizando Dados Categóricos: Histograma no Excel 2. Escolha Histograma 3. Informe o intervalo de entrada e o intervalo de bloco(intervalo de bloco é o conjunto de células contendo os limites superiores de cada grupo de classe) 4. Marque Resultado do gráfico e clique em OK Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-36

37 Organizando Dados Categóricos: Polígono de Percentagens Um polígono de percentagens é formado fazendose com que o ponto médio de cada classe represente os dados naquela classe e, depois, interligando-se a sequência de pontos médios em suas respectivas percentagens de classe. O polígono de percentagens acumuladas (ogiva) exibe a variável de interesse ao longo do eixo X e a percentagem acumulada ao longo do eixo Y. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-37

38 Frequência Organizando Dados Categóricos: Polígono de Percentagens Classe Frequência Frequênci a Relativa Percentagem Total Polígono de Frequência: temperatura diária More Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-38

39 % acumulado Organizando Dados Categóricos: Polígono de Percentagens Acumuladas Classe Limite Inferior % menor que o limite inferior 10< < < < < Ogiva: Temperatura Diária Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-39

40 Tabulações Cruzadas: A Tabela de Contingência Uma tabela de contingência apresenta os resultados de duas variáveis categóricas. As respostas combinadas são classificadas de modo tal que as categorias de uma variável fiquem localizadas nas linhas, enquanto as categorias da outra variável fiquem localizadas nas colunas. Os valores localizados na interseção entre linhas e colunas são chamados de células. Uma maneira eficiente de exibir visualmente os resultados de dados com classificação cruzada é pela construção de um gráfico de barras paralelas. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-40

41 Tabulações Cruzadas: A Tabela de Contingência Uma pesquisa foi conduzida para estudar a importâncica da marca para consumidores em comparação com anos atrás. Os resultados, classificados por sexo, são os seguintes: Importância da marca Masculino Feminino Total Maior Igual ou menor Total Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-41

42 Resposta Tabulações Cruzadas: Gráfico de Barras Paralelas Importância da Marca Menor ou Igual Maior Feminino Maculino No. de respondentes Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-42

43 Gráfico de Dispersão Gráficos de Dispersão são utilizados para investigar possíveis relações entre duas variáveis numéricas. Cada observação é tomada a partir de duas variáveis numéricas. Uma variável é avaliada no eixo horizontal e outra no eixo vertical. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-43

44 Custo diário Gráfico de Dispersão - Exemplo Volume diário Custo diário Custo diário x Volume diário Volume diário Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-44

45 Séries Temporais Um gráfico de séries temporais é utilizado para estudar padrões nos valores de uma variável numérica ao longo do tempo. Cada valor é plotado com um ponto em um gráfico com duas dimensões, no eixo X fica a linha do tempo e no eixo Y os valores da variável que se está estudando. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-45

46 Série Temporal - Exemplo Frequência (em milhões) em parques de diversão e temáticos nos EUA entre Ano No. ano Frequência Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-46

47 Frequência Série Temporal - Exemplo 336 Frequência em parques temáticos nos EUA (milhões) Ano (desde 2000) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-47

48 Diretrizes para gráficos bem elaborados O gráfico não deve distorcer os dados O gráfico não deve conter adornos desnecessários (sucata de gráficos) Qualquer gráfico bidimensional deve conter uma escala para cada um dos eixos A escala no eixo vertical deve inicial em zero Todos os eixos devem ter legendas apropriadas O gráfico deve conter um título O gráfico mais simples possível deve ser utilizado para um determinado conjunto de dados Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 2-48

49 Capítulo 3 Medidas Numéricas Descritivas Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-49

50 Objetivos Neste capítulo, você aprenderá: A descrever as propriedades de tendência central, variação e formato, em dados numéricos A calcular medidas descritivas resumidas para uma população A construir e interpretar um box-plot A descrever a covariância e o coeficiente de correlação Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-50

51 Resumo das definições A tendência central corresponde à extensão na qual todos os valores de dados se agrupam em torno de um valor central típico Variação corresponde ao montante de dispersão, ou spread, de valores em relação a um valor central Formato corresponde ao padrão da distribuição de valores do valor mais baixo para o mais alto Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-51

52 Medidas de Tendência Central A Média Aritmética É a medida mais comum de tendência central Para uma amostra de tamanho n: X n i1 n X i X 1 X 2 n X n Tamanho da amostra Valores observados Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-52

53 Medidas de Tendência Central A Média Aritmética A medida mais comum de tendência central Média = soma dos valores dividido pelo no. de valores Afetada por valores extremos (outliers) Media = 3 Media = Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-53

54 Medidas de Tendência Central A Mediana Em um conjunto de dados ordenados, a mediana é o valor no meio da sequência (50% dos valores estão acima dela e 50% abaixo) Median = 4 Median = 4 Não é afetada por valores extremos Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-54

55 Medidas de Tendência Central Localizando a Mediana A mediana de um conjunto ordenado de dados está na posição de no n 1. 2 Se existir uma quantidade ímpar de valores, a mediana é o valor no meio do conjunto de observações ordenadas. Se o no. de observações é par a mediana é a média dos dois valores que estão no meio na ordem de classificação. n 1 Observe que não é o valor da mediana, 2 somente indica a posição em que a mediana está no conjunto ordenado de dados. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-55

56 Medidas de Tendência Central: Moda Valor que ocorre com maior frequência Não é afetado por valores extremos Utilizado tanto para dados categóricos quanto numéricos Pode haver nenhuma moda Pode haver várias modas Moda = Não há moda Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-56

57 Medidas de Tendência Central: Exemplo de Revisão Preços de Casas: $2,000, , , , ,000 Soma 3,000,000 Média: ($3,000,000/5) = $600,000 Mediana: valor do meio na distribuição ordenada = $300,000 Moda: valor mais frequente = $100,000 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-57

58 Medidas de Tendência Central Que medidas escolher? A média é geralmente utilizada, a menos que haja outliers. Neste caso a mediana é mais frequentemente utilizada, já que não é afetada por valores extremos. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-58

59 Quartis Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais, com mesma quantidade de observações. 25% 25% 25% 25% Q 1 Q 2 Q 3 O primeiro quartil, Q 1, é o valor para o qual 25% das observações são menores e 75% são maiores Q 2 é a mediana (50% são menores e 50% são maiores) Somente 25% dos valores são maiores do que o terceiro quartil. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-59

60 Localizando os Quartis Encontre o quartil identificando o valor, no conjunto ordenado de observações, que corresponde às seguintes posições: Posição do 1o. quartil: Posição do 2o. quartil: Posição do 3o. quartil: Q 1 = (n+1)/4 posição Q 2 = (n+1)/2 posição Q 3 = 3(n+1)/4 posição onde n é o no. de valores observados Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-60

61 Quartis Orientações Regra 1: se o resultado é um no. inteiro, então o quartil é igual à observação naquela posição. Regra 2: se o resultado for uma metade fracionada(2.5, 3.5, etc), então o quartil é a média entre os valores correspondentes na ordem classificada. Regra 3: Se não for nenhuma das situações anteriores, você arredonda para o inteiro mais próximo e seleciona o valor na ordem de classificação. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-61

62 Quartis Localizando o 1o. Quartil Exemplo: encontre o 1o. quartil Amostra de dados ordenados: Primeiro, obserque que n = 9. Q 1 = está na posição (9+1)/4 = 2.5 da distribuição ordenada, então use o valor entre as posições 2 o e 3 o, então Q 1 = 12.5 Q 1 e Q 3 são medidas de localização não-central Q 2 = mediana, uma medida de tendência central Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-62

63 Medidas de Tendência Central: Média Geométrica Média Geométrica Mede a taxa de variação de uma variável ao longo do tempo X 1/ n G ( X1 X 2 X n ) Média geométrica da taxa de retorno Mede o percentual médio de retorno de um investimento ao longo do tempo R G [(1 R ) (1 R 1 2 ) (1 R n )] 1/ n 1 Onde R i é a taxa de retorno no período i Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-63

64 Medidas de Tendência Central: Média Geométrica Um investimento de $100,000 cai a $50,000 no final do ano 1 e retorna a $100,000 no final do ano 2: X $100,000 X2 $50,000 X3 1 $100,000 50% queda 100% aumento O retorno no período todo é zero, já que o valor do início e do final do período é o mesmo. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-64

65 Medidas de Tendência Central: Média Geométrica Use os retornos anuais para calcular o retorno médio pela média aritmética e pela média geométrica: Taxa de retorno (média aritmética): X (.5) (1) 2.25 Resultado equivocado Taxa de RG [(1 R1 ) (1 R2 ) (1 R n retorno 1/ 2 [(1 (.5)) (1 (1))] 1 (média 1/ 2 1/ 2 geométrica): [(.50) (2)] % )] 1/ n 1 Resultado correto Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-65

66 Medidas de Tendência Central: Resumo Tendência Central Média Aritmética Mediana Moda Média Geométrica X n i 1 n X i Valor do meio numa sequência ordenada Valor mais frequente no conjunto de observações X G 1/ n (X ) 1 X2 Xn Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-66

67 Medidas de Variação A variação mede o spread ou dispersão, dos valores em um conjunto de dados. Amplitude Amplitude Interquartil Variância Desvio Padrão Coeficiente de Variação Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-67

68 Medidas de Variação Amplitude É a medida mais simples de variação Diferença entro o valor máximo e o mínimo no conjunto de observações: Amplitude = X maior X menor Exemplo: Amplitude = 13-1 = 12 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-68

69 Medidas de Variação Desvantagens da Amplitude Não leva em consideração o modo como os dados estão distribuídos Range = 12-7 = Range = 12-7 = 5 Sensível a outliers 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,5 Amplitude = 5-1 = 4 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,120 Amplitude = = 119 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-69

70 Medidas de Variação Amplitude Interquartil Os problemas causados pelos outliers podem ser eliminados utilizando-se a amplitude interquartil. A amplitude interquartil pode eliminar alguns valores altos e baixos e calcula a amplitude entre os remanescentes. Amplitude Interquartil = 3 o quartil 1 o quartil = Q 3 Q 1 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-70

71 Medidas de Variação Amplitude Interquartil Exemplo: X minimo Q 1 Mediana (Q 2 ) Q 3 25% 25% 25% 25% X maximo Amplitude Interquartil = = 27 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-71

72 Medidas de Variação Variância A variância da amostra é a soma das diferenças em torno da média aritmética elevadas ao quadrado, dividida pelo tamanho da amostra menos 1. Variância da amostra: S 2 n i1 (X i n -1 X) 2 Onde: X= média aritmética n = tamanho da amostra X i = i j valor da variável X Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-72

73 Medidas de Variação Desvio Padrão Medida mais utilizada de variação Mostra a variação em torno da média Tem a mesma unidade dos dados originais Desvio Padrão da Amostra: S n i1 (X i n -1 X) 2 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-73

74 Medidas de Variação Desvio Padrão Etapas para o cálculo do Desvio Padrão: 1. Calcule a diferença entre cada valor e a média aritmética. 2. Eleve ao quadrado cada diferença. 3. Some as diferenças elevadas ao quadrado. 4. Divida esse total por n-1 para obter a variância da amostra. 5. Calcule a raiz quadrada da variância da amostra para obter o desvio-padrão da amostra. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-74

75 Medidas de Variação Desvio Padrão Amostra Dados (X i ) : n = 8 Media = X = 16 S (10 X) 2 (12 X) 2 (14 n 1 X) 2 (24 X) 2 (10 16) 2 (12 16) 2 (14 16) (24 16) ,2426 Uma medida da dispersão média em torno da média Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-75

76 Medidas de Variação Comparando Desvios Padrão Dados A Media = 15.5 S = 3,338 Dados B Media = 15.5 S = 0,926 Dados C Media = 15.5 S = 4,570 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-76

77 Medidas de Variação Comparando Desvios Padrão Desvio Padrão pequeno Desvio Padrão grande Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-77

78 Medidas de Variação Resumo das Características Quanto mais dispersos os dados, maior a amplitude, a amplitude interquartil, a variância e o desvio-padrão. Quanto mais os dados são concentrados, menor a a amplitude, a amplitude interquartil, a variância e o desvio-padrão. Se os valores são todos iguais (nenhuma variação), todas essas medidas serão zero. Nenhuma dessas medidas pode ser nunca negativa. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-78

79 Coeficiente de Variação O coeficiente de variação é o desvio padrão dividido pela média, multiplicado por 100. É sempre expresso na forma percentual (%). Mostra a variação em relação à média. O CV pode ser usado para comparar dois ou mais conjuntos de dados que estão em unidades diferentes. CV S X 100% Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-79

80 Coeficiente de Variação Ação A: Preço médio no último ano = $50 Desvio Padrão = $5 CV A Ação B: S X 100% Preço médio no último ano = $100 Desvio Padrão = $5 CV B S X 100% $5 $50 $5 $ % 100% 10% 5% Ambas ações têm o mesmo desvio padrão, mas o preço da ação B é menos variável relativamente a seu preço médio Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-80

81 Localizando Outliers Extremos Z-Score Para calcular o Z-score de um determinado valor, subtraia a média e divida pelo desvio-padrão. O Z-score é a distância, em desvios-padrão, que aquela observação está da média do conjunto de dados. Um valor é considerado outlier extremo se o seu Z- score é menor que -3.0 ou maior que Quanto maior o valor absoluto do Z-score, mais distante o valor está da média. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-81

82 Localizando Outliers Extremos Z-Score Z X S X onde X representa o valor observado X é a média da amostra S é o desvio-padrão da amostra Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-82

83 Localizando Outliers Extremos Z-Score Suponha que a média do teste ANPAD seja 300 com desvio-padrão de 100. Calcule o z-score para uma nota de 450. Z X S X ,5 Uma pontuação de 450 está 1,5 desvios padrão acima da média e não seria considerado um outlier. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-83

84 Formato da Distribuição Descreve como os dados estão distribuídos Medidas de Formato Simetria ou Assimetria Assimetria à esquerda Media < Mediana Simétrica Media = Mediana Assimetria à direita Mediana < Media Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-84

85 Medidas numéricas descritivas para uma população As estatísticas descritivas apresentadas anteriormente descrevem uma amostra, não a população. Medidas descritivas que descrevem a população são denominadas parâmetros, e representadas por letras gregas. Os mais importantes parâmetros da população são a média, a variância e o desvio padrão. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-85

86 Média populacional A média populacional é a soma dos valores da população dividido pelo tamanho da população, N. N i1 N X i X 1 X 2 N X N Onde: μ = média populacional N = tamanho da população X i = i j valor da variável X Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-86

87 Variância Populacional A variância populacional é a média dos desvios em relação a média populacional ao quadrado. σ 2 N i 1 ( X i N μ) 2 Onde: μ = média populacional N = tamanho da população X i = i j valor da variável X Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-87

88 Desvio Padrão da População O desvio padrão da população é a medida mais comum de variação. Tem as mesmas unidades de medida dos dados originais. σ N i1 ( X i μ) N 2 Onde: μ = média populacional N = tamanho da população X i = i j valor da variável X Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-88

89 Estatísticas Amostrais x Parâmetros Populacionais Média Medida Parâmetro Populacional Estatística Amostral X Variância 2 S 2 Desvio Padrão S Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-89

90 Regra Empírica A regra empírica aproxima a variação dos dados a uma distribuição com formato de sino. Aproximadamente 68% dos dados, em uma distribuição em forma de sino, estão contidos dentro de uma distância de ±1 desvio padrão da média aritmética, ou μ 1σ 68% μ μ 1σ Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-90

91 The Empirical Rule Aproximadamente 95% dos dados, em uma distribuição em forma de sino, estão contidos dentro de uma distância de ±2 desvio padrão da média aritmética, ou μ 2σ Aproximadamente 99,7% dos dados, em uma distribuição em forma de sino, estão contidos dentro de uma distância de ±3 desvio padrão da média aritmética, ou μ 3σ 95% 99.7% μ 2σ μ 3σ Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-91

92 Usando a regra empírica Suponha que a variável notas no TOEFL tenha uma distribuição em forma de sino com média 500 e desvio padrão de 90. Então, : 68% de todos os scores ficaram entre 410 e 590 (500 +/- 90). 95% de todos os scores ficaram entre 320 e 680 (500 +/- 180). 99.7% de todos os scores ficaram entre 230 e 770 (500 +/- 270). Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-92

93 Regra de Chebyshev Independentemente de como os dados são distribuídos (simétricos ou assimétricos), pelo menos (1-1/k 2 ) dos valores estarão dentro de um intervalo de k desvios padrão da média (para k > 1) Examples: Pelo menos entre k=2 (1-1/2 2 ) = 75%... (μ ± 2σ) k=3 (1-1/3 2 ) = 89%. (μ ± 3σ) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-93

94 Análise Exploratória de Dados Resumo dos cinco números Os cinco números que descrevem a dispersão dos dados são: Mínimo Primeiro Quartil(Q 1 ) Mediana (Q 2 ) Terceiro Quartil (Q 3 ) Máximo Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-94

95 Análise Exploratória de Dados O Box-Plot O Box-Plot é uma representação gráfica dos cinco números anteriores. 25% 25% 25% 25% Mínimo 1º. Q Mediana 3º. Q Máximo Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-95

96 Análise Exploratória de Dados O Box-Plot O Box e a linha central ficam centralizadas entre os extremos se os dados são distribuídos de forma simétrica em torno da mediana. Mínimo 1º. Q Mediana 3º. Q Máximo Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-96

97 Análise Exploratória de Dados O Box-Plot Assimetria à esquerda Simétrico Assimetria à direita Q1 Q2Q3 Q1Q2Q3 Q1 Q2 Q3 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-97

98 Covariância da amostra A covariância mede a força de uma relação linear entre duas variáveis numéricas. A covariância da amostra: cov(x,y) n i1 (X i X)(Y n 1 i Y) A covariância indica apenas a força daquela relação linear. Não significa que há uma relação de causa e efeito entre as variáveis. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-98

99 Covariância da amostra Covariância entre duas variáveis aleatórias: cov(x,y) > 0 cov(x,y) < 0 cov(x,y) = 0 X e Y tendem a se mover na mesma direção X e Y tendem a se mover em direções opostas X e Y são independentes Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-99

100 O Coeficiente de Correlação O coeficiente de correlação mede a força relativa de uma relação linear entre duas variáveis numéricas. Coeficiente de correlação da amostra: r n i1 n i1 (X i (X i X) 2 X)(Y n i i1 Y) (Y i Y) 2 cov(x,y) S S X Y Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-100

101 O Coeficiente de Correlação Adimensional Varia entre 1 e 1 Quanto mais perto de 1, mais forte é a relação linear negativa Quanto mais perto de 1, mais forte é a relação linear positiva Quanto mais perto de 0, mais fraca é qualquer relação linear Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-101

102 O Coeficiente de Correlação Y Y Y X X r = -1 r = -.6 r = 0 X Y Y r = +1 X r = +.3 X X Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-102

103 Armadilhas em medidas descritivas numéricas Análise de dados é objetiva Devem ser relatadas as medidas numéricas descritivas mais apropriadas para um determinado conjunto de dados. A interpretação dos dados é subjetiva A interpretação deve ser feita de maneira correta, neutra e clara. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-103

104 Questões Éticas Medidas descritivas numéricas: Tanto resultados favoráveis como desfavoráveis devem ser reportados Os resultados devem ser apresentados de maneira correta, objetiva e neutra Não deve usar uma medida resumida inapropriada com objetivo de distorcer os fatos favorecendo um ponto de vista. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 3-104