UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS. Aplicação do Método de Decomposição de Benders para o Problema de Carregamento de Paletes

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Aplicação do Método de Decomposição de Benders para o Problema de Carregamento de Paletes Ana Gabriela Rocha São Carlos 2008

2 Aplicação do Método de Decomposição de Benders para o Problema de Carregamento de Paletes

3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Aplicação do Método de Decomposição de Benders para o Problema de Carregamento de Paletes Ana Gabriela Rocha Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção da Universidade Federal de São Carlos, como parte dos requisitos para obtenção do Título de Mestre em Engenharia de Produção. Orientador: Professor Reinaldo Morabito São Carlos 2008

4 Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSCar R672am Rocha, Ana Gabriela. Aplicação do método de decomposição de Benders para o problema de carregamento de paletes / Ana Gabriela Rocha. -- São Carlos : UFSCar, f. Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São Carlos, Paletes. 2. Decomposição de Benders. 3. Programação inteira mista. 4. Unitização de carga. 5. Logística. I. Título. CDD: (20 a )

5 uf\- ~..~~ PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS DEPART AM ENTO DE ENG EN HARIA DE PRODUÇÃO Rod. Washington Luís, Km CEPo São Carlos - SP - Brasil Fone/Fax: (016) / / (ramal: 232) ppgep@dep.ufscar.br Aluno(a): Ana Gabriela Rocha FOLHADE APROVAÇÃO DISSERTAÇÃODE MESTRADODEFENDIDAE APROVADAEM 11/12/2008 PELA COMISSÃO JULGt\DORA:. Prof. Dr. ~a1d'o Morabito Neto Orientador(a) PPGEP/UFS, Á il L--- Prof. Dr. Aly~on Machado Costa ICMC/USP J0~ ~ IN~ çgjl i Prof. Dr. Mário Otávio Batalha Coordenador do PPGEP

6 O verdadeiro lugar de nascimento é aquele em que lançamos pela primeira vez um olhar inteligente sobre nós mesmos. Marguerite Yourcenar.

7 AGRADECIMENTOS A Deus, por ter me guiado e dado forças para superar os obstáculos encontrados pelo caminho. Ao Prof. Dr. Reinaldo Morabito pela orientação, confiança, dedicação e conselhos fornecidos durante o desenvolvimento desta pesquisa. Um agradecimento mais que especial aos meus pais, sempre depositados em mim. pelo incentivo e confiança Agradeço à minha família, pelo amor, presença e paciência em todos os anos de minha vida. Aos amigos que fazem parte da minha vida, mesmo os mais distantes. Aos professores e funcionários do DEP-UFSCar pelo apoio. Gostaria de agradecer aos professores Horácio Yanasse e Alysson Costa pelos comentários e sugestões feitos durante este trabalho. Agradeço à DPaschoal. Em especial à Malu, que me inspirou para dar início a este trabalho e que, no fim dele, me incentivou a terminá-lo. À CAPES pelo apoio financeiro. E finalmente a todos que colaboraram indiretamente na realização deste trabalho.

8 Resumo Os problemas de corte e empacotamento são importantes no planejamento da produção de vários segmentos industriais envolvendo objetivos como, por exemplo, minimizar os efeitos negativos gerados por desperdício de materiais ou espaços ociosos. As perdas de material, devido a uma programação pouco adequada dos padrões de corte ou empacotamento, podem ser substanciais, sendo que, em geral, parte destas perdas pode ser evitada apenas com uma programação da produção mais eficiente, não implicando em investimentos adicionais nos processos de produção. O objetivo deste estudo é verificar o desempenho do método de decomposição de Benders aplicado a modelos de carregamento de paletes do produtor e do distribuidor. O problema de carregamento de paletes do produtor envolve empacotar caixas iguais sobre um palete, de maneira a otimizar o aproveitamento deste. O problema de carregamento de paletes do distribuidor envolve empacotar caixas de tamanhos diferentes sobre um palete, também de maneira a otimizar o aproveitamento deste. A abordagem baseada na reformulação de Benders define um algoritmo de relaxação que particiona o problema original em dois outros problemas mais simples de serem resolvidos. Para verificar a eficiência da abordagem, realizaram-se testes computacionais, comparando os resultados obtidos com os obtidos pelo pacote computacional composto de uma linguagem de modelagem (GAMS) e um software de otimização de última geração (CPLEX). Palavras-chave: Problema de carregamento de paletes do produtor e do distribuidor; Método de decomposição de Benders; Problema inteiro misto; Unitização de carga; Logística.

9 Abstract Cutting and packing problems are important in the production planning of various industrial segments involving goals such as minimizing the negative effects generated by waste of materials or idle spaces. The loss of material due to an inadequate programming of the cutting or packing patterns, can be substantial, and, in general, parts of these losses can be avoided only with a more efficient production planning, not resulting in additional investments in production processes. This study aimed at evaluating the performance of the Benders decomposition method, applied to the manufacturer and distributor pallet loading models. The manufacturer pallet loading model involves packing equal boxes on a pallet, so as to optimize its use. The distributor pallet loading model involves packing boxes of different sizes on a pallet, also a way to optimize its use. The approach based on Benders decomposition, defines a relaxation algorithm that partitions the original problem in two other problems easier to be solved. To check the effectiveness of the approach, computational tests were carried out by comparing the results with those obtained by a computational package composed of a modeling language (GAMS) and a last generation optimization solver (CPLEX ). Keywords: Manufacturer and distributor pallet loading models; Benders decomposition method; Mixed Integer Programming; Cargo unitization; Logistics.

10 Lista de Tabelas Tabela 1. Restrições disjuntivas para o caso bidimensional Tabela 2. Restrições disjuntivas para o caso tridimensional Tabela 3. Restrições de sobreposição das caixas Tabela 4. Relação de variáveis Tabela 5. Limitantes gerados no exemplo Tabela 6. Exemplos do Grupo Tabela 7. Exemplos do Grupo Tabela 8. Exemplos do Grupo Tabela 9. tsai x tsai modificado - grupo 1 - GAMS/CPLEX Tabela 10. tsai x tsai modificado - grupo 2 - GAMS/CPLEX Tabela 11. tsai x tsai modificado - grupo 3 - GAMS/CPLEX Tabela 12. GAMS/CPLEX X Benders clássico - grupo Tabela 13. GAMS/CPLEX X Benders clássico - grupo Tabela 14. GAMS/CPLEX X Benders clássico - grupo Tabela 15. Benders clássico X Benders relaxado - grupo Tabela 16. Benders clássico X Benders relaxado - grupo Tabela 17. Benders clássico X Benders relaxado - grupo Tabela 18. Fixando 1 caixa Tabela 19. Fixando 4 caixas - exemplo M Tabela 20. Fixando 4 caixas - exemplo D Tabela 21. Carregamentos de Paletes do Produtor Tridimensional Tabela 22. Carregamentos de Paletes do Distribuidor Lista de Figuras Figura 1. Exemplos de paletes Figura 2. Palete padrão PBR Figura 3. Plano de corte ou empacotamento unidimensional Figura 4. Plano de corte ou empacotamento bidimensional Figura 5. Palete do produtor bidimensional Figura 6. Palete do produtor tridimensional Figura 7. Palete do distribuidor bidimensional Figura 8. Exemplo didático adaptado de Tsai et al. (1993) Figura 9. Posição (r,s) não permitida em função da colocação de uma caixa na posição (p,q) com orientação i Figura 10. Solução do exemplo do Beasley (1985b) Figura 11. Sobreposição Figura 12. Ilustração do exemplo

11 Figura 13. Solução do exemplo M Figura caixas horizontais Figura caixa vertical e 3 horizontais Figura caixas verticais e 2 caixas horizontais (3 casos) Figura caixas verticais e 1 horizontal Figura caixas verticais Figura 19. Solução do exemplo M Figura 20. Exemplo aleatório tridimensional Figura 21. Exemplo 1 na empresa Figura 22. Exemplo 2 na empresa Figura 23. Exemplo do carregamento de paletes do distribuidor

12 Sumário Capítulo 1. Introdução Objetivo e Justificativa Estrutura do texto Capítulo 2. Paletização de Cargas e os Problemas do Carregamento de Paletes do Produtor e do Distribuidor Unitização de Cargas Paletes O Problema de Carregamento de Paletes Revisão Bibliográfica sobre PCP do Produtor Capítulo 3. Modelagem dos Problemas de Carregamento de Paletes do Produtor e do Distribuidor Formulação de Tsai et al. (1993) Formulação de Chen et al. (1995) Formulação de Beasley (1985b) Formulação de Martins (2002) Capítulo 4. Métodos de Solução para os Problemas do Carregamento de Paletes do Produtor e do Distribuidor e Decomposição de Benders Revisão dos Métodos da Literatura Decomposição de Benders Extensões, variações e aplicações do método de decomposição de Benders Aplicação de decomposição de Benders no Modelo de Tsai et al (1993) Carregamento de Paletes do Produtor Exemplo Ilustrativo Alterações no método de Benders clássico Capítulo 5. Resultados Computacionais Experimentos com Carregamentos de Paletes do Produtor (Bidimensional) Testes iniciais com GAMS/CPLEX Testes com método B.class Testes com método B.relax Testes com corte de Pareto Testes adicionais fixando caixas nos cantos do palete Experimentos com Carregamentos de Paletes do Produtor (Tridimensional) Experimentos com Carregamentos de Paletes do Distribuidor

13 Capítulo 6. Conclusões e Perspectivas para Pesquisas Futuras Conclusões Perspectivas para Pesquisas Futuras Referências Bibliográficas Apêndice Apêndice A - Modelo GAMS adaptado de Tsai et al. (1993) Apêndice B - Modelo GAMS para decomposição de Benders clássico para o carregamento do palete do produtor bidimensional (adaptado de Tsai et al. (1993)) Apêndice C - Modelo GAMS para decomposição de Benders relaxado para o carregamento do palete do produtor bidimensional (adaptado de Tsai et al. (1993)) Apêndice D - Modelo GAMS para decomposição de Benders para o carregamento do palete do produtor tridimensional (adaptado de Tsai et al. (1993)) Apêndice E - Modelo GAMS para decomposição de Benders para o carregamento do palete do distribuidor bidimensional (adaptado de Tsai et al. (1993))

14 10 1 Introdução Unitização é o agrupamento de itens ou embalagens em uma unidade apropriada para facilitar a movimentação mecânica. Assim, uma carga unitizada é aquela em que todas as embalagens são reunidas em uma ou mais unidades, por meio de cintagem, amarração ou outros. A unitização pode ainda ser definida como o conjunto ou grupo de objetos mantidos como uma unidade de carga em um transporte entre uma origem e um destino (MOURA, 1998). Diz-se que a carga é unitizada quando há o agrupamento de caixas numa carga única, formando um só volume (SULE, 1988). A paletização de carga tem como característica reunir vários itens em uma plataforma, disposta horizontalmente, a fim de que a carga possa ser empilhada e estabilizada (MORALES et al., 1997), facilitando, assim, o transporte por empilhadeiras e caminhões, evitando danos físicos e roubos e diminuindo o tempo de carga e descarga. A unitização de carga tem sido usada com frequência nas indústrias para armazenagem e distribuição de produtos. Um dispositivo de unitização de carga normalmente usado no manuseio de materiais na manufatura e distribuição de produtos é o palete. Itens são colocados em caixas que, por sua vez, são empacotadas nos paletes, formando unidades de carga que facilitam a movimentação, o manuseio e a armazenagem dos mesmos. O processo de empacotamento pode ser feito manualmente ou mecanicamente, sendo o objetivo maximizar o espaço utilizado do palete, maximizando, assim, o número de itens empacotados. No dia-a-dia de uma empresa, a tarefa de unitizar a carga, tanto sobre o palete quanto dentro de caminhões, pode não ser fácil, dependendo da quantidade de itens, formato e dimensões dos mesmos. Os carregamentos de produtos sobre paletes ou dentro de contêineres são exemplos de problemas de empacotamento que consistem, genericamente, em empacotar unidades menores (itens) dentro de unidades maiores (objetos), de maneira a otimizar certos objetivos, por exemplo, o custo ou a quantidade de espaço utilizado. Similarmente, problemas de corte consistem em determinar a melhor forma de cortar unidades de material (objetos), de maneira a produzir um conjunto de unidades menores (itens). Tais problemas aparecem em diversos processos industriais de corte em que os objetos, que em geral estão disponíveis em estoque com dimensões padronizadas,

15 11 correspondem a barras de aço, bobinas de papel e alumínio, placas metálicas e de madeira, placas de circuito impresso, chapas de vidro e fibra de vidro, peças de couro etc., e os itens, com dimensões especificadas pelos clientes, são encomendados através de uma carteira de pedidos. Gilmore e Gomory (1965) observaram que empacotar caixas em vagões de carga ferroviários poderia ser visto como cortar pequenos paralelepípedos a partir de grandes paralelepípedos. Dyckhoff et al. (1985), Dyckhoff (1990) e Dyckhoff e Finke (1992) procuraram integrar estes problemas numa única notação, denominada problemas de corte e empacotamento (PCE). Os PCE s são bem conhecidos na literatura de pesquisa operacional e gestão da produção. Centenas de artigos tratando tais problemas podem ser encontrados, conforme indicam os trabalhos de Dowsland e Dowsland (1992), Dyckhoff e Finke (1992), Sweeney e Paternoster (1992), Morabito e Arenales (1992), Bischoff e Waescher (1995), Waescher et al. (2006) ou de diversos grupos de pesquisa no assunto, como o ESICUP (2008). Os PCE s, em geral, são NP-difíceis e, portanto, de difícil solução exata (GAREY e JOHNSON, 1979) nas situações práticas. Diversos métodos têm sido empregados para resolvê-los, porém, devido à complexidade computacional destes problemas, não existem métodos de soluções gerais e eficientes. Em geral, as abordagens são centradas em estudos de caso, o que resulta em muitos métodos heurísticos na literatura. Devido à grande variedade de problemas de corte e empacotamento ocorridos na prática, estudos analisaram diversos problemas da área (DYCKHOFF e FINKE, 1992; WAESCHER et al., 2006). Segundo esses estudos, a determinação do tipo de um PCE se dá baseado em aspectos básicos respeitando a sua estrutura lógica: dimensionalidade, tipo de seleção de objetos/itens, características dos objetos/itens, entre outros. Dentre estes tipos, o problema de carregamento de paletes (PCP) do produtor consiste em organizar o maior número possível de itens, de dimensões (l w), em um retângulo maior (palete), de dimensões (L W ), ou seja, os itens são arranjados em camadas sobre a superfície do palete. Os itens devem estar completamente contidos na camada do palete e não é permitida a superposição de itens em cada camada. Já o PCP do distribuidor consiste em organizar o maior número possível de caixas de tamanhos diferentes (l i w i ) em uma unidade maior, por exemplo, o palete (L W ), buscando-se a maximização da utilização do espaço disponível. As caixas também devem

16 12 ser arranjadas em camadas sobre o palete, devem estar completamente contidas no palete e não é permitida a superposição dessas caixas em cada camada. Este tipo de problema pode ser modelado por meio de programação inteira conforme, por exemplo, Tsai et al. (1993), Chen et al. (1995) e Martins (2002). Diferentes formulações matemáticas podem ser utilizadas para o problema de carregamento de paletes. Entre as formulações encontradas na literatura, tem-se adaptações dos modelos de corte bidimensional de Beasley (1985b) e Hadjiconstantinou e Christofides (1995), e os modelos de empacotamento tridimensional de Tsai et al. (1993), Chen et al. (1995) e Martins (2002). 1.1 Objetivo e Justificativa Conforme mencionado, o objetivo deste trabalho é aplicar o método de decomposição de Benders (BENDERS, 1962) para resolver os problemas de carregamento de paletes do produtor e do distribuidor. Uma das motivações para a escolha do método de decomposição de Benders se deve ao fato de o método ter tido bons resultados quando aplicado a vários outros problemas; vide, por exemplo, Geoffrion e Graves (1974), Magnanti et al. (1986), Heragu e Chen (1998), Cordeau et al. (2000, 2001), Randazzo e Luna (2001), Cai et al.(2001) e de Miranda (2004). Uma das justificativas para este estudo é a importância técnica e econômica das aplicações industriais. Esses tipos de problemas (corte e empacotamento) são fundamentais no planejamento da produção de vários segmentos industriais, cujo objetivo é minimizar os efeitos negativos gerados por desperdício de materiais, espaços vazios, etc. As perdas de material, devido a uma programação pouco adequada dos padrões de corte e empacotamento, podem ser substanciais. Parte destas perdas poderia ser evitada apenas com uma programação da produção mais eficiente, não implicando em quaisquer investimentos adicionais em processos de produção. Outra justificativa é a motivação para tratar problemas de natureza combinatória de difícil solução exata. Salientamos que, de nosso conhecimento, não existem trabalhos na literatura que apliquem o método de decomposição de Benders aos problemas de carregamento de paletes.

17 13 Para avaliar o desempenho do método, os resultados encontrados nesta pesquisa são comparados com os resultados obtidos utilizando o pacote GAMS/CPLEX 7.0 com parâmetros default. Neste trabalho tratamos o caso do problema de carregamento de paletes (PCP) do produtor bidimensional, e o caso do problema de carregamento de paletes do distribuidor bidimensional. Em ambos os casos os itens são arranjados em camadas iguais sobre a superfície do palete. Também consideramos o caso de carregamento de paletes do produtor tridimensional, em que os itens (todos idênticos) podem ser arranjados de maneira mais genérica sobre o palete. Para o problema do produtor bidimensional foram testados exemplos gerados com dados aleatórios e foi feita a comparação entre o resultado, utilizando o método de decomposição de Benders e o pacote GAMS/CPLEX 7.0 com parâmetros default. No caso do produtor tridimensional, resolvemos um exemplo com dados aleatórios e dois exemplos com dados reais de uma empresa varejista. Para o problema de distribuidor bidimensional foi feito um exemplo com dados aleatórios e também comparamos o resultado utilizando o método de decomposição de Benders e o pacote GAMS/CPLEX 7.0 com parâmetros default. Neste trabalho foi usado o modelo do Tsai et al. (1993) adaptado ao problema do carregamento de paletes do produtor (bidimensional e tridimensional) e do distribuidor (bidimensional). A escolha deste modelo foi pelo fato de ser possível separar as variáveis inteiras das contínuas, o que facilita a aplicação do método clássico de decomposição de Benders. 1.2 Estrutura do texto Este trabalho está organizado da seguinte forma: No capítulo 2, é apresentado uma breve revisão da literatura, mostrando a taxonomia dos problemas de corte e empacotamento. Discutimos a importância da unitização de carga, conceituamos a unitização de carga, apresentamos os tipos e modelos de paletes existentes, além de apresentarmos as vantagens da paletização de cargas. É mostrado também o problema de carregamento de paletes (PCP) do produtor e do distribuidor. No capítulo 3, apresentamos modelos matemáticos para o PCP do produtor, adaptados dos modelos em Beasley (1985b), Tsai et al. (1993), Chen et al. (1995) e

18 14 Martins (2002). No capítulo 4 apresentamos uma revisão da literatura dos métodos de solução para problemas de corte e empacotamento (PCE) e do método de decomposição de Benders, e aplicamos este método ao modelo adaptado de Tsai et al. (1993). No capítulo 5 apresentamos os resultados computacionais obtidos com este método. Conforme mencionado anteriormente, os modelos são resolvidos por meio de uma linguagem de modelagem (GAMS) usando um software de otimização (CPLEX) (BROOKE et al., 1998). Finalmente, no capítulo 6 são apresentadas as conclusões deste trabalho e as perspectivas para pesquisa futura.

19 15 2 Paletização de Cargas e os Problemas do Carregamento de Paletes do Produtor e do Distribuidor 2.1 Unitização de cargas Toda empresa tem que carregar, descarregar e movimentar materiais, o que, em geral, gera um grande esforço e tempo gasto durante essas atividades. Estas operações podem não agregar valor ao produto, podem ter custos elevados e por isso a empresa tem que desenvolver um bom trabalho durante esse processo, pois é um fator importante na competitividade das empresas. Conforme mencionado antes, para tentar minimizar os custos desse processo, utiliza-se a unitização de cargas, o que traz vantagens adicionais como melhoria no manuseio e aprimoramento da segurança. Sule (1988) define uma carga unitizada como sendo vários itens arranjados que podem ser manuseados em um único volume. É mais fácil movimentar itens e materiais em grupos, do que individualmente. Assim, a paletização e a conteinerização são amplamente utilizadas pelas empresas. A unitização de cargas no Brasil envolve dois conceitos. O primeiro, a logística que estuda o suprimento e a distribuição de mercadorias e, o segundo, é o conceito de embalagens de transporte. Para melhorar a produtividade e a eficácia da logística, a junção da unitização de cargas com a movimentação mecanizada passa a ser uma alternativa muito estudada. Apesar de existirem várias formas de unitização de cargas para o transporte no mundo, talvez a utilização de paletes seja a mais comum na prática. 2.2 Paletes Paletes ou estrados (figura 1) são plataformas, geralmente feitos de madeira, destinado a suportar cargas empilhadas, permitindo a movimentação por meio de garfo, nos quais os produtos podem ser unitizados. Os paletes têm como função a movimentação de grande escala. Paletes são dispositivos de unitização de cargas criados para dinamizar a movimentação mecânica na produção industrial, nos depósitos, e tendem a agilizar os meios de transportes no momento de carregamento e descarga. O palete é uma alternativa eficiente de unitização que facilita a movimentação, o transporte e a armazenagem das cargas. Não conhecemos estudos que se aprofundaram sobre questões como, por exemplo,

20 16 Figura 1: exemplos de paletes Figura 2: palete padrão PBR quanto de carga a ser movimentada é necessária para a implantação de um sistema unitizado. Como o custo da implantação do sistema paletizado em diversos casos é maior que o custo de manutenção do sistema convencional, os dois sistemas convivem simultaneamente no Brasil (INTERLOGIS, 2008). Os modelos de paletes são muitos, podendo, por exemplo, ter entrada para os garfos da empilhadeira em dois ou quatro dos seus lados. O palete é normalmente usado para movimentação de grande escala. Pode ser encontrado confeccionado com aço, plástico, papelão, fibra de madeira moldada e outros, mas em um mercado menor. A maioria dos paletes encontrados nas empresas é feito de madeira. O modelo de palete padrão brasileiro (PBR) (figura 2) é um palete face dupla não-reversível, 4 entradas, de madeira e com dimensões 120x100 centímetros (MORALES, 1995). De uma forma geral, as empresas que recebem produtos e mercadorias paletizados durante a operação normal ou de movimentação de materiais estão notando as várias vantagens desta operação. A NWPMA ( National Wooden Pallet and Container Association ) norte americana aponta dezesseis vantagens de um programa de paletização (OLIVEIRA, 2004;

21 17 INTERLOGIS, 2008): 1. A melhor utilização dos espaços verticais, pois um programa de paletização possibilita uma quantidade maior de armazenagem em uma dada área. 2. Redução de acidentes pessoais na substituição da movimentação manual pela movimentação mecânica. 3. Economia de 40% a 45% no custo da movimentação devido a paletização. 4. O tempo de movimentação fica reduzido. Economia por homens/horas na eliminação dos sobretempos ociosos. 5. Os paletes carregados permitem a ventilação entre as mercadorias tanto nos depósitos como durante o transporte. 6. A paletização simplifica o controle de inventário. 7. Casos demonstraram que a adoção de métodos de movimentação mecânica e de carregamento paletizado resultaram na eliminação quase total de danos aos produtos. 8. A unitização de cargas sobre paletes reduz o tempo de rotulagem e as despesas operacionais deste item. Um ou dois rótulos por unidade de carga elimina a necessidade de identificar cada embalagem do produto. 9. O furto é reduzido quando itens individuais são unitizados por cintas, faixas ou filmes. 10. A paletização permite uniformizar o local de estocagem, resultando em áreas com aproveitamento racional. 11. Os paletes são a forma natural de subpisos para o qual cintas de aço podem ser usadas facilmente na ancoragem segura das mercadorias. 12. O uso do palete elimina freqüentes custeios do sistema de transporte e permite entregas, cargas e descargas dentro de qualquer ponto acessível por equipamentos de movimentação.

22 Paletes bem adequados na linha de produção eliminam interrupções e gargalos e proporcionam maior produtividade. 14. Operários não precisam perder seu tempo para dar apoio na movimentação de materiais. 15. O palete corta pela metade o tempo de carga e descarga de caminhões: ˆ reduzindo os custos de prorrogação no tempo de embarque e eliminando sobretaxas; ˆ melhorando a utilização dos equipamentos de carga e descarga; ˆ aumentando o ganho de frete tendo em vista a otimização no uso de caminhões. 16. Tempo de carga e descarga pode ser reduzido com o uso do palete, resultando em: ˆ rapidez no retorno do caminhão; ˆ redução de custos. Economias são claramentes visualizadas quando realizadas pelo custo de carga e descarga de mercadorias, pois, muitas vezes, são maiores naquelas que envolvem operação de transbordo. Os paletes podem ser classificados de vários modos. A Norma de Terminologia para paletes, NBR 8254, editada em novembro de 1983, classifica os tipos de paletes da seguinte forma: Quanto ao tipo de operação: ˆ Palete descartável - é aquele destinado a uma única operação de transporte e/ou armazenagem. ˆ Palete de uso repetitivo - destinado a várias operações de transporte e/ou armazenamento. ˆ Palete sem retorno - é aquele descartável ou de uso repetitivo, mas que não retornam necessariamente à origem da operação de transporte. O palete descartável surge como alternativa ao palete circulante por ser mais barato, uma vez que é feito de um material menos resistente. Entretanto, este tipo de

23 19 palete gera um custo ecológico, já que tem que ser descartado em um curto período de tempo. O palete de uso repetitivo também é conhecido como palete circulante ou retornável. Um dos maiores usuários de cargas paletizadas são as indústrias de bens de consumo que distribuem seus produtos através dos supermercados. Desta forma, a Associação Brasileira de Supermercados (ABRAS) tem procurado a padronização dos paletes em função da qualidade, dimensões e projeto. Quanto ao modelo: ˆ Palete de duas entradas - é aquele que permite a introdução de garfo somente por dois lados opostos. É normalmente utilizado quando a movimentação ou a armazenagem da carga tem uma restrição imposta pelo equipamento utilizado ou pelo tipo de operação pretendida. ˆ Palete de quatro entradas - é aquele que permite a introdução de garfos pelos quatro lados. Este tipo de palete pode ser movimentado por paleteira e empilhadeira. Quando a carga é descarregada do caminhão com empilhadeira e depois precisa ser movimentada dentro do armazém por uma paleteira, o palete de quatro entradas apresenta uma maior versatilidade. Este tipo de palete também permite a movimentação em cargas blocadas e possibilita arranjos de forma alternada nos meios de transportes. ˆ Palete face simples - é aquele com apenas uma face destinada a receber a carga. É geralmente utilizado em movimentações internas. É de fácil manipulação por paleteiras, mas necessita de estrutura porta-palete para armazenamento vertical. Devido ao seu projeto, não é indicado para cargas pesadas. ˆ Palete face dupla - é aquele que possue uma face superior para receber carga e outra inferior para apoio. É o mais utilizado no mercado. ˆ Palete reversível - é aquele que possue duas faces iguais. Utilizado principalmente para cargas blocadas. Usuários de sacarias dão preferência a este tipo de palete, pois é o que menos danifica a carga de suporte e permite a melhor estabilidade da pilha.

24 20 ˆ Palete com abas - é aquele cuja face superior (ou ambas) se projeta além dos apoios em lados opostos, de forma a permitir a inserção de barras ou cabos de içamento. ˆ Palete desquinados - são aqueles com os cantos cortados ou arredondados, o que evita esforços perfurantes nas cargas. ˆ Caixa-Palete - é aquele, com três ou quatro paredes que podem ser removíveis, ou com tampa. Este tipo contém determinadas mercadorias, suporta certa compressão do empilhamento e proporciona maior proteção mecânica ao conjunto. É normalmente utilizado para produtos que não oferecem regularidade na pilha ou com dimensões muito pequenas. 2.3 O Problema de Carregamento de Paletes O problema de carregamento de paletes pode ser visto como um caso particular do problema de empacotamento (GILMORE e GOMORY, 1965). O problema de empacotamento consiste, genericamente, em empacotar unidades pequenas dentro de uma unidade grande, de forma que certo objetivo seja otimizado. Um exemplo desse problema consiste em arranjar o maior volume possível de caixas dentro de um contêiner. Por outro lado, o problema de corte, de forma genérica, consiste em cortar uma unidade grande (objeto), que esteja disponível, para a produção de um conjunto de unidades pequenas (itens) que estão sendo requisitadas. Cortar unidades maiores em unidades menores ou empacotar unidades menores dentro de unidades maiores são problemas similares, considerando que um item cortado de uma certa posição pode ser pensado como alocado àquela posição. Por isto, problemas desta classe são referidos como problemas de corte e empacotamento - PCE (DYCKHOFF, 1990). Planos de corte são combinações de itens dentro de um objeto, respeitando-se um conjunto de restrições do processo de cortagem. Essas combinações podem ser feitas de inúmeras maneiras. O plano de corte ótimo é aquele que produz, por exemplo, a menor perda. O número de planos de corte possíveis pode ser, na prática, muito elevado, exigindo que técnicas bem elaboradas sejam desenvolvidas para determinar o plano ótimo. Dentre essas técnicas podemos citar: enumeração implícita, programação dinâmica, relaxação lagrangiana, busca em grafos e heurísticas. Na figura 3 podemos visualizar um exemplo

25 21 de plano de corte ou empacotamento gerado em um objeto unidimensional. Figura 3: plano de corte ou empacotamento unidimensional Um problema é dito unidimensional quando apenas uma dimensão é relevante no processo de cortagem ou empacotamento (veja figura 3). Como casos típicos de problemas de cortes unidimensionais, podemos citar o corte de materiais como papel, tecido, plástico e aço para serem utilizados nos mais diversos setores. Um problema é dito bidimensional quando duas dimensões (comprimento e largura) são relevantes na obtenção da solução (enquanto a espessura é constante). As dificuldades aumentam bastante para se gerar arranjos sem que ocorra sobreposição de itens nos planos de corte ou empacotamento. A figura 4, a seguir, exibe uma representação de problemas de corte em duas dimensões. Entre os problemas bidimensionais podemos citar alguns já bastante estudados, como o corte de placas de madeira na indústria de móveis, chapas de aço, placas de vidro, entre outros. Figura 4: plano de corte ou empacotamento bidimensional Quando três dimensões (comprimento, largura e altura) são relevantes para a obtenção da solução temos o problema de corte ou empacotamento tridimensional. Basicamente, trata-se de arranjar itens espaciais, sem sobrepô-los, dentro de objetos maiores. Podemos citar como exemplos de problemas tridimensionais o problema de carregamento de contêineres, o problema de corte de espumas em indústrias de colchões,

26 22 entre outros. O problema de carregamento de paletes consiste em carregar produtos (caixas) sobre um palete retangular, tentando otimizar o aproveitamento do palete. Pressupõe-se que as caixas devam ser arranjadas ortogonalmente, ou seja, com seus lados paralelos aos lados do palete. Hodgson (1982), ao estudar o problema de carregamento de paletes, dividiu-o em dois possíveis casos: o problema de carregamento de paletes do produtor e o problema de carregamento de paletes do distribuidor. As caixas que embalam os produtos no problema de carregamento de paletes do produtor são todas iguais, ou seja, existe somente um tipo de caixa. Quando as caixas são carregadas sob qualquer uma de suas faces, o problema é decomposto em dois subproblemas: ˆ para cada face das caixas, o problema bidimensional de arranjar ortogonalmente o máximo número de retângulos dentro de um retângulo maior; ˆ o problema unidimensional de arranjar o conjunto mais valioso de camadas ao longo da altura máxima permitida sobre o palete. Este é um problema da mochila (MARTELLO e TOTH, 1990). No PCP do produtor com orientação vertical fixada, como já dito, as caixas a serem colocadas no palete devem ter dimensões idênticas, ou seja, caixas de dimensões (l, w) devem ser arranjadas sobre superfície (L, W ) do palete resultando em uma camada de altura h. Supõe-se que as condições l L, w W, l W e w L sejam satisfeitas. Em geral é fixado que as caixas sejam colocadas com o lado l paralelo ao lado L ou W do palete, ou seja, ortogonalmente. A orientação vertical impõe que as caixas sejam colocadas sobre o palete, sempre com a face (l, w) voltada para cima. Um palete carregado sob essas condições consiste de camadas horizontais iguais de altura h, por sua vez empilhadas umas sobre as outras, ao longo de uma altura H fixada para o palete. Essas considerações práticas fazem com que o problema original de gerar um arranjo ótimo de três dimensões seja reduzido a um problema de determinar um padrão ótimo para cada camada, tornando-se assim um arranjo bidimensional de retângulos menores dentro de um retângulo maior, sem sobreposição. Sabemos que, ao contrário de muitos equipamentos de corte, as operações com os equipamentos de empacotamento não impõem muitas restrições nos padrões produzidos.

27 23 Nos processos de cortes, unidades são cortadas para produzirem unidades menores. Por outro lado, nos problemas de empacotamento, unidades são empacotadas para formar unidades maiores. Em ambos os problemas podemos pensar em unidades pequenas sendo agrupadas para formar unidades grandes. Pelo menos duas formas de alocações são possíveis: seleção de unidades pequenas e seleção de unidades grandes. No problema de seleção de unidades grandes, supomos que todas as unidades grandes sejam suficientes para alocar todas as unidades pequenas. O objetivo é escolher o conjunto ótimo de unidades grandes para alocar todas as unidades pequenas. No problema de seleção de unidades pequenas supomos que todas as unidades pequenas sejam suficientes para utilizar todas as unidades grandes. Neste caso, o objetivo passa a ser a escolha de um conjunto ótimo de unidades pequenas utilizando todas as unidades grandes. O interesse neste trabalho é a seleção de unidades pequenas quando temos somente uma unidade grande disponível. Assim sendo, o objetivo é carregar, da melhor maneira possível, um único palete e depois repetirmos este padrão ao longo da cadeia logística. Neste trabalho não consideramos restrições referentes às propriedades dos materiais que compõem os produtos e os paletes, tais como: peso, densidade, fragilidade etc. Dyckhoff (1990) apresentou uma tipologia fundamentada na estrutura lógica dos problemas de corte e empacotamento. Nesta tipologia, o problema de carregamento de paletes do produtor bidimensional é classificado com a seguinte notação: 2/B/O/C que representa um problema bidimensional (2), tendo como forma de alocação a seleção de unidades pequenas (B), com uma única unidade grande (O) e unidades pequenas de tamanhos iguais (C). Já no problema de carregamento de paletes do distribuidor, o distribuidor recebe vários bens de diversos fornecedores e estes bens estão embalados em caixas de diversos tamanhos. O distribuidor então carrega essas caixas sobre paletes em camadas ou de forma genérica. No caso mais geral, o problema de carregamento de paletes do distribuidor pode ser visto como um problema tridimensional de carregamento de contêineres (BISCHOFF e RATCLIFF, 1995; MORABITO e ARENALES, 1994). No problema de carregamento de palete do distribuidor bidimensional, em particular, caixas de dimensões (l i, w i, h i ) são arranjadas em camadas ou em colunas sobre a superfície (L, W ) do palete. Na prática, o problema de carregamento de palete do

28 24 distribuidor bidimensional consiste em selecionar caixas com a mesma altura h e arranjálas inicialmente em camadas e depois, empilhar essas camadas umas sobre as outras, ao longo de uma altura H fixada para o palete. Este problema pode ser considerado uma generalização do problema do produtor, porém mais complexo e envolvendo maiores dificuldades de solução. Quanto à tipologia Dyckhoff (1990), este problema pode ser classificado como 2/B/O/M, onde M indica que podemos ter unidades pequenas (caixas) de tamanhos diferentes. Na figura 5 e 6 temos um palete do produtor bidimensional e um palete do produtor tridimensional, respectivamente. Na figura 7 temos a ilustração de um PCP do distribuidor bidimensional. Figura 5: palete do produtor bidimensional Figura 6: palete do produtor tridimensional Note as que as figuras 5 e 7 são representadas como se a folha fosse o palete, ou seja, as caixas tem todas a mesma altura e são carregadas em camadas.

29 25 Figura 7: palete do distribuidor bidimensional 2.4 Revisão Bibliográfica sobre PCP do Produtor A maioria dos trabalhos encontrados na literatura de problemas de corte e carregamento abordam problemas bidimensionais. Nas últimas décadas, foram propostos diversos métodos para resolver problemas de carregamento de paletes 2D, baseados em programação inteira (BEASLEY, 1985b e 1985c; TSAI et al., 1985 e 1988; MARTINS, 2002) e programação dinâmica (ISRANI e SANDERS, 1982; HODGSON, 1982; HODGSON et al., 1983; ROBERTS, 1984; STEUDEL, 1984 e BEASLEY, 1985a). Oliveira (2004) estudou métodos exatos baseados em relaxação lagrangiana e surrogate para o problema de carregamento de paletes do produtor e mostrou uma relação existente entre as formulações de Tsai et al. (1993) e de Chen et al. (1995). Outros detalhes de estudos do PCP podem ser encontrados em Lins et al. (2002, 2003) e Birgin et al. (2005 e 2008). Limitantes superiores para este problema foram estudados, por exemplo, em Morabito e Farago (2002), Nelissen (1995) e Letchford e Amaral (2001). Pureza e Morabito (2006) propuseram uma abordagem baseada na incorporação de busca tabu simples em heurísticas de bloco. Ribeiro e Lorena (2005) abordaram o problema da estivagem de unidades de celulose (PEUC) em porões de navios dedicados para o transporte marítimo internacional. O PEUC pode ser visto como PCP do produtor. Considerando isto e que o grafo de conflitos, associado ao problema, pode ser particionado, Ribeiro e Lorena (2005) apresentaram uma formulação para o PEUC e propuseram uma relaxação lagrangeana com divisão em clusters para o problema apresentado. A técnica adotada foi testada em exemplos da literatura e em exemplos obtidos em alguns portos brasileiros e obtiveram-

30 26 se resultados superiores aos obtidos na prática, aumentando o número de unidades transportadas por camadas nos navios. Estes resultados foram ainda melhorados em Birgin et al. (2008), usando um procedimento recursivo de partição. De forma geral, o trabalho de Beasley (1985b) considera o problema bidimensional de cortar um número de peças retangulares de um único retângulo maior de forma a maximizar o valor das peças cortadas. É aplicada a técnica de relaxação lagrangiana (sobre restrições surrogate) na formulação de programação inteira 0-1 e o limitante obtido é usado no procedimento de busca em árvore (branch and bound). O procedimento de otimização do subgradiente é utilizado para otimizar o limitante obtido por relaxação lagrangiana. Esta abordagem pode ser adaptada para resolver o caso particular do PCP, conforme Oliveira e Morabito (2006). Hadjiconstantinou e Christofides (1995) apresentam um procedimento exato de busca em árvore para a resolução do problema de corte bidimensional, no qual um número de peças retangulares pequenas, cada uma com um dado tamanho e valor, são cortadas de uma peça retangular maior. O objetivo é minimizar a sobra. É considerado o número máximo de vezes que uma peça pode ser usada em um padrão de corte. O algoritmo utilizado limita o tamanho da busca em árvore usando um limitante obtido através da aplicação de relaxação lagrangiana de uma formulação de programação inteira 0-1 e, para otimizar este limitante, é utilizado o procedimento de otimização do subgradiente. Esta abordagem também pode ser utilizada para resolver o PCP. Tsai et al. (1993) formularam um modelo de programação inteira mista 0-1 para o problema de empacotamento de paletes e contêineres. O modelo consiste de restrições disjuntivas e é resolvido por algoritmos do tipo branch and bound explorando a estrutura particular do modelo. Porém, o número destas restrições cresce exponencialmente com o número de caixas disponíveis, tornando o algoritmo inviável para problemas de grande porte. Chen et al. (1995) consideraram o problema de carregamento de contêineres com caixas de tamanhos não uniformes e apresentaram um modelo misto 0-1 para este problema, similar ao modelo de Tsai et al. (1993). Outras formulações relacionadas com a de Tsai et al. (1993) e Chen et al. (1995) podem ser encontradas em Martins (2002). Martins (2002) discutiu diferentes problemas de empacotamento multidimensional. Ele considerou exemplos em 2 e 3 dimensões, com diferentes funções-objetivo. Em todos os exemplos considerados, os itens e as caixas têm dimensões

31 27 retangulares. Martins e Dell (2007) definem uma instância de tamanho mínimo (MSI) de uma classe de equivalência dos problemas de carregamento de paletes (PLP), e mostram que cada classe de problemas tem uma e só uma MSI. Isto faz com que a MSI seja útil na distinção das classes de equivalência.

32 28 3 Modelagem dos Problemas de Carregamentos de Paletes do Produtor e do Distribuidor Neste capítulo são apresentadas diferentes formulações matemáticas que podem ser utilizadas para o problema de carregamento de paletes, encontradas na literatura. A seguir revisamos o trabalho de Tsai et al. (1993), Chen et al. (1995), Beasley (1985b), Martins (2002). 3.1 Formulação de Tsai et al. (1993) O modelo proposto por Tsai et al. (1993) permite que várias caixas de diversos tamanhos sejam colocadas no mesmo palete. É um problema que também leva em consideração a altura das caixas, pois elas podem ser armazenadas em mais de uma camada e cada carregamento pode ter mais de um tipo de caixa (PCP do distribuidor). As soluções do modelo tridimensional não têm garantia de serem carregamentos estáveis. A seguir o modelo original de Tsai et al. bidimensional do PCP do produtor. (1993) é adaptado a um modelo Desta maneira, consideraremos que podemos ter apenas caixas de dimensões (l w) ou (w l) para serem carregadas num palete (L W ), não considerando a altura das caixas. O problema é formulado como um problema de programação inteira mista 0-1. No modelo original é considerada uma proporção pré-determinada entre o número de caixas de cada tipo e o total de caixas carregadas no palete, o que não é considerado neste trabalho. Os parâmetros do modelo para o PCP do produtor, caso bidimensional, são: - S: conjunto de n caixas a serem consideradas, todas com dimensões (l w) ou (w l); - (l i, w i ): dimensões da caixa i, no conjunto S (note que se l i = l, então w i = w, e viceversa); - (L, W ): dimensões do palete, comprimento e largura; - (X 0, Y 0 ): canto inferior do palete no plano cartesiano ao longo dos eixos x e y; - M : número suficientemente grande. Note que (X 0, Y 0 ) é definido para que todas as caixas em S caibam entre (0, 0) e (X 0, Y 0 ). O valor de n é de 2 LW lw (l w) e a outra metade tem tamanho (w l). E as variáveis são: LW, onde metade deles, isto é,, tem tamanho lw

33 29 - (x i, y i ): variáveis de decisão (coordenadas x e y do canto inferior esquerdo da caixa i); - P i : variável de decisão binária associada à i-ésima caixa do conjunto S. A caixa i é colocada no palete se P i = 1. A caixa i é descartada se P i = 0. Temos então o seguinte modelo: n Max Z = P i (1) i=1 sujeito a x j x i l j i < j ou (2) x i x j l i i < j ou (3) y j y i w j i < j ou (4) y i y j w i i < j ou (5) x i X 0 P i i (6) y i Y 0 P i i (7) x i (X 0 + L) l i i (8) y i (Y 0 + W ) w i i (9) P i {0, 1} x i, y i 0 i = 1, 2,..., n j = 1, 2,..., n As restrições (2) a (5) são restrições disjuntivas para evitar sobreposição das caixas. Para delimitar a colocação das caixas no palete tem-se as restrições (6) a (9). A função objetivo (1) maximiza o número total de caixas no palete. A solução deste modelo fornece o número máximo de caixas e suas localizações no palete. As restrições disjuntivas de sobreposição podem ser convertidas para restrições padrões do tipo e, introduzindo-se 2 conjuntos de variáveis binárias: u 1 i,j, u 2 i,j. Tem-se, então, 4 possíveis combinações dessas variáveis binárias. Assim, as restrições (2) a (5) são equivalentes a (Tsai et al., (1993)):

34 30 x j x i l j + M(u 1 i,j + u 2 i,j) i < j (10) x i x j l i + M(1 (u 2 i,j u 1 i,j)) i < j (11) y j y i w j + M(1 (u 1 i,j u 2 i,j)) i < j (12) y i y j w i + M[2 (u 1 i,j + u 2 i,j)] i < j (13) u 1 i,j, u 2 i,j {0, 1} Desde que M seja suficientemente grande, o valor resultante do lado direito das equações está indicado somente como M na tabela 1. Nesta tabela, uma das 4 restrições originais não deverá mudar e o restante não terá efeito por causa do valor suficientemente grande do lado direito das equações. variáveis binárias valor das equações (lado direito) equações de u 1 i,j u 2 i,j eq. (10) eq. (11) eq. (12) eq. (13) restrições aplicáveis 0 0 l j M M M eq. (10) 0 1 M l i M M eq. (11) 1 0 M M w j M eq. (12) 1 1 M M M w i eq. (13) Tabela 1: Restrições disjuntivas para o caso bidimensional Para cada par (i, j) com i < j e M suficientemente grande, tem-se 4 possibilidades: se u 1 i,j = u 2 i,j = 1, a restrição que ficará válida é a restrição (13); se u 1 i,j = u 2 i,j = 0, a restrição que não será redundante é a restrição (10); se u 1 i,j = 0 e u 2 i,j = 1, a restrição que ficará válida é a restrição (11); se u 1 i,j = 1 e u 2 i,j = 0, a restrição que não será redundante é a restrição (12). Note que o número de restrições deste modelo aumenta exponencialmente com o número de caixas n. Como ilustração, segue um exemplo didático desta adaptação: Dados (L, W ) = (5, 4), n = 4, (l 1, w 1 ) = (3, 2), (l 2, w 2 ) = (2, 3), (l 3, w 3 ) = (3, 2) e (l 4, w 4 ) = (2, 3), ou seja, seja (X 0, Y 0 ) = ( 4 i l i, 4 i=1 w i) = (10, 10) e M = max{x 0 + L, Y 0 +W } = 15. Note que o par (X 0, Y 0 ) é calculado de uma forma simples e respeitando o princípio de que se deve ter a opção de colocar todas as caixas no espaço entre (0, 0) e (X 0, Y 0 ). Já o número M foi definido de maneira a ser o menor número suficientemente grande para satisfazer a lógica das inequações (10)-(13).