BUSCA HARMÔNICA APLICADA À SINTONIA AUTOMÁTICA DE CONTROLADORES PID

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1 BUSCA HARMÔNICA APLICADA À SINTONIA AUTOMÁTICA DE CONTROLADORES PID ADRIANE BEATRIZ DE SOUZA SERAPIÃO DEMAC/IGCE/UNESP Caixa Postal 78, CEP Rio Claro (SP) Abstract This work studies the tuning of PID controllers using the Harmonic Search algorithm. The PID tuning is handled as a parameters optimization problem by minimizing performance criteria of the transient response in controlled systems. The performance result of the Harmonic Search in the PID tuning problem is compared with two well known evolutionary techniques: particle swarm optimization and genetic algorithm. Keywords PID tuning, controller design, optimization problem, evolutionary computation, harmony search, particle swarm optimization, genetic algorithm. Resumo Este trabalho tem por objetivo estudar a sintonia de controladores PID usando o algoritmo da Busca Harmônica. O ajuste PID é tratado como um problema de otimização de parâmetros através da minimização de critérios de desempenho na resposta transiente de sistemas controlados. O resultado do desempenho da Busca Harmônica no problema da sintonia PID é comparado com duas técnicas evolutivas bem conhecidas: otimização por enxame de partículas e algoritmos genéticos. Palavras-chave sintonia PID, projeto de controlador, problema de otimização, computação evolutiva, busca harmônica, otimização por enxame de partículas, algoritmo genético. Introdução O controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID) é uma técnica bem conhecida e amplamente utilizada no controle de processos industriais, pois possui uma estrutura simples e um desempenho robusto em uma ampla gama de condições operacionais. Entretanto, o desempenho do controlador PID depende completamente do ajuste de seus parâmetros, que requer a especificação de valores de seleção dos ganhos proporcional (K p ), integral (K i ) e derivativo (K d ) para produzir a resposta de saída desejada para o sistema. O projeto para ajuste adequado de parâmetros PID tem sido uma tarefa difícil, visto que muitas plantas industriais são muitas vezes alteradas com problemas tais como alta ordem, atrasos de tempo e nãolinearidades. Tradicionalmente, o problema tem sido tratado por uma abordagem de tentativa e erro, onde os ganhos PID são ajustados manualmente e, em geral, tomam um tempo considerável, dependendo da experiência do operador. Em décadas passadas, várias formulações foram proposta para a sintonia de controladores PID para reduzir o tempo gasto para a otimização da escolha dos três parâmetros do controlador. Tais formulações podem ser classificadas em duas linhas: métodos convencionais de sintonia PID e métodos inteligentes de sintonia PID. Os métodos convencionais de sintonia PID incluem a fórmula de sintonia de Ziegler-Nichols (942), otimização de rejeição de distúrbio de carga com restrições na robustez para modelar incertezas (Panagopoulus et al., 999), método de Cohen-Coon (953), método de Tyreus-Luyben (992), assim como métodos analíticos, tais como a alocação de pólos e a resposta em frequência (Åstron & Hagglund, 984, 99). O método de Ziegler-Nichols é experimental e talvez seja o método de sintonia mais popular. Consiste de uma formula de ajuste para os parâmetros do controlador PID pela observação do ganho no qual a planta se torna oscilatória e da frequência desta oscilação. Todavia, as desvantagens deste método são a exigência da aplicação de uma entrada degrau com processo de parada e a aplicação em um processo nãooscilatório. Além disso, a resposta transiente do sistema geralmente tem um sobressinal maior com este método. Se a dinâmica da planta muda, a resposta da planta pode até mesmo piorar. Por isso, Hang et al. (99) propuseram refinamentos na fórmula de sintonia de Ziegler-Nichols. Entretanto, este método não é conveniente para dispositivos com um retardo de fase maior. Os dois métodos para controladores PID desenvolvidos por Åstrom & Hagglund usam simultaneamente a margem de ganho e margem de fase para ajustar os parâmetros PID, produzindo um melhor desempenho de controle. Ho et al. (993) também desenvolveram um método de sintonia de parâmetros PID baseado em margem de ganho e margem de fase dados, porém o método não é apropriado para objetos instáveis. Baseado em uma função de sensibilidade para sintonia de controladores PID, Grassi et al. (2) apresentaram um método de formação de malha de frequência. Para estabilizar uma dada planta discreta no tempo de ordem arbitrária, Xu et al. (2) propuseram transformação bilinear e programação linear para determinar o conjunto de todos os ganhos PID. Contudo, nenhum método é capaz de encontrar um grupo de parâmetros ótimos do controlador para asse- ISSN: Vol. X 99

2 gurar uma forte robustez ao processo, principalmente para sistemas não-lineares, com atraso de tempo, variante no tempo e MIMO (múltiplas entradas, múltiplas saídas). Em muitas aplicações, as plantas possuem dinâmica variante no tempo, causada por fatores externos que podem afetar a resposta transiente. Assim, o controlador deve ser capaz de adaptar-se a mudanças nas características dinâmicas da planta. Para superar essas dificuldades, métodos inteligentes de sintonia de parâmetros PID têm sido utilizados nos últimos anos para reduzir a complexidade do projeto e para aumentar o desempenho dos controladores. Várias abordagens, tais como redes neurais (Kim, 998), algoritmo genético (Mitsukura et al., 999), lógica nebulosa (Visioli, 2), sistemas imunológicos (Kim, 22) e recozimento simulado (Zhou & Birdwell, 994) têm mostrado bastante interesse na busca de parâmetros ótimos de controladores PID para atingir uma alta eficiência em sistemas de controle. Recentemente, também muitos algoritmos evolutivos de otimização baseados em populações têm recebido atenção para solucionar vários problemas de engenharia (Serapião, 29b), incluindo a sintonia de controladores PID, tais como otimização por colônia de partículas () (Ou & Lin, 26), otimização por colônia de formigas (ACO) (Hsiao et al., 24), otimização por colônia de bactérias (BFO) (Korani, 28) e algoritmos de colônias de abelhas (Serapião, 29a). A busca harmônica () é um novo algoritmo evolutivo para otimização desenvolvido por Geem et al. (2), ainda pouco explorado, que imita o processo de improvisação musical usado por músicos instrumentistas para encontrar a harmonia perfeita. O algoritmo foi originalmente desenvolvido para otimização discreta e posteriormente expandido para otimização contínua (Lee & Geem, 25). Esta abordagem não requer gradientes diferenciais, está livre de divergências e escapa de ótimos locais. Neste trabalho a técnica evolutiva da busca harmônica é investigada para verificar a sua viabilidade na sintonia de parâmetros de controladores PID. O objetivo é determinar os ganhos Kp, Ki, e Kd do controlador através da minimização de índices de desempenho da resposta transiente de sistemas controlados, a fim de produzir comportamentos estáveis em resposta ao sinal de entrada degrau unitário. Os resultados do controlador PID implementado com o algoritmo são comparados com duas técnicas evolutivas já amplamente utilizadas em diversas aplicações, a otimização por enxame de partículas () (Kennedy et al., 2) e o algoritmo genético () (Goldberg, 989). 2 Descrição do problema Um controlador PID atua em um sistema de malha fechada conforme o diagrama de blocos da Fig.. A variável e(t) representa o erro, que é a diferença entre o valor de referência desejado r(t) e a saída real do sistema y(t). O sinal de erro e(t) é repassado ao controlador PID, de modo que o controlador calcula a derivada e a integral do sinal de erro, que são usados em conjunto com os ganhos K p, K i, e K d do controlador PID para ajustar a saída da planta do sistema para o dado valor de referência r(t). Os valores dos ganhos são devem ser calculados segundo algum tipo de técnica. Neste trabalho são utilizadas técnicas evolutivas para estimar os ganhos do controlador PID. Técnica evolutiva r(t) e(t) Controlador u(t) y(t) + Planta PID Figura. Sistema de controle automático PID usando sintonia com técnicas evolutivas Em um sistema de controle PID clássico, a forma no domínio do tempo de um controlador PID é geralmente expressa como: () onde u(t) é o sinal de controle, e(t) é o sinal de erro, e K p, K i, e K d expressam os ganhos proporcional, integral e derivativo, respectivamente. O ganho proporcional tem o efeito de reduzir o tempo de subida e de reduzir, porém não eliminar, o erro de estado estacionário. O ganho integral possui o efeito de eliminar o erro em estado estacionário, porém pode piorar a resposta transiente. O ganho derivativo tem o efeito de aumentar a estabilidade do sistema, reduzindo o sobressinal e melhorando a resposta transiente. A Tabela resume os efeitos do aumento dos coeficientes de ganho PID. Tabela Efeitos do aumento dos parâmetros PID. Tempo de subida Diminui Diminui Muda pouco Sobressinal Aumenta Aumenta Diminui Tempo acomodação Muda pouco Aumenta Diminui Erro no equilíbrio Diminui Elimina Nenhum O problema de sintonia de parâmetros de um controlador PID pode ser considerado como uma seleção de valores dos ganhos K p, K i, e K d que produzem a resposta de saída desejada. Assim, o problema de ajuste dos ganhos pode ser manipulado como um problema de otimização de parâmetros. No domínio do tempo, a função objetivo (f) que caracteriza o desempenho de um controlador PID pode incluir critérios de desempenho da resposta transiente, tais como o sobressinal (y max ), o tempo de subida (t r ), o tempo de acomodação (t s ) e o erro em estado estacionário absoluto ( e(t) ) (Hsiao et al., 24). ISSN: Vol. X

3 A. Sobressinal máximo Seja y a resposta ao degrau unitário, y max expressa o valor máximo de y e y ss representa o valor do estado estacionário de y. O sobressinal máximo é definido como: f mo = y max y ss. (2) B. Tempo de subida O tempo de subida t r é definido como o tempo exigido para a resposta ao degrau subir de para 9% do seu valor final: f rt = t r. (3) C. Tempo de acomodação O tempo de acomodação t s é definido como o tempo exigido para a resposta ao degrau decair e permanecer em uma porcentagem especificada do seu valor final. Geralmente utiliza-se um tempo de acomodação de 5%: f st = t s. (4) D. Erro de controle absoluto integral A integral da magnitude absoluta do erro de controle (IAE) é descrita como: f iae e( t) dt. (5) E. Função objetivo O projeto ótimo de controladores PID pode ser formulado da seguinte maneira. Para uma dada planta de um processo, deve-se encontrar os parâmetros K p, K i, e K d dos sistema de controle que minimiza os índices de desempenho durante a resposta transiente. Ou seja: minimizar f = f mo + f rt + f st + f isa. (6) 3 Algoritmo da Busca Harmônica O algoritmo de Busca Harmônica, do inglês Harmony Search (), é uma metaheurística baseada no processo de desempenho musical que acontece quando um músico procura atingir um melhor estado da harmonia (Geem et al., 2), assim como durante uma improvisação do jazz. Na improvisação musical, cada músico toca um som qualquer do seu instrumento dentro de uma extensão possível, produzindo junto um vetor de harmonia. Se todos os sons produzirem uma boa solução, esta experiência é armazenada em cada memória de variável e a possibilidade de produzir uma boa solução é aumentada na próxima vez. O algoritmo inclui uma quantidade de operadores de otimização, tais como a memória harmônica (HM), o tamanho da memória harmônica (HMS, número de vetores solução na memória harmônica), o número de improvisações (NI), a taxa de consideração de memória harmônica (HMCR), e a taxa de ajuste do som (PAR). No algoritmo, a memória harmônica (HM) guarda os vetores factíveis, os quais estão todos no espaço factível. O tamanho da memória harmônica determina quantos vetores podem ser armazenados. Um novo vetor é gerado pela seleção aleatória de componentes de diferentes vetores da memória harmônica. Se a nova harmonia é melhor que a pior harmonia existente na HM, a nova harmonia substitui a pior harmonia da HM. Este procedimento é repetido até que uma harmonia fantástica é encontrada. Quando um músico improvisa um som, geralmente ele segue uma das três regras: () tocar um som de sua memória, (2) tocar um som próximo a um som de sua memória e (3) tocar um som completamente aleatório dentro de uma escala possível. Similarmente, quando cada variável de decisão escolhe um valor no algoritmo, segue uma das três regras: () escolher qualquer valor da memória (definido como considerações de memória), (2) escolher um valor próximo a um valor da memória (definido como ajustes de som), e (3) escolher valor completamente aleatório da possível extensão de valores (definido como aleatoriedade). As três regras no algoritmo são dirigidas efetivamente usando dois parâmetros, que são a taxa de consideração da memória harmônica (HMCR) e a taxa de ajuste de som (PAR). Os passos no procedimento da busca harmônica são como descritos a seguir: Passo. Inicie o problema e os parâmetros do algoritmo. Passo 2. Inicie a memória harmônica (HM). Passo 3. Improvise uma nova harmonia a partir da HM. Passo 4. Atualize a HM. Passo 5. Repita os Passos 3 e 4 até que o critério de terminação seja satisfeito. Maiores detalhes sobre esta metaheurística e seu algoritmo completo podem ser consultados em (Lee & Geem, 25). O algoritmo tem sido utilizado com sucesso em vários problemas de otimização matemáticos em aplicações das áreas de engenharias civil, mecânica e elétrica, tais como projeto estrutural (Lee & Geem, 24; Saka, 27), projeto de ancoragem de plataformas marítimas flutuantes (Ryu et al., 27), despacho econômico de carga (Vasebi et al., 27), projeto de redes de dutos (Geem, 26) e operação de represas (Geem, 27). 4 Resultados experimentais e discussão Quatro sistemas de controle típicos foram escolhidos para ilustrar o desempenho e a eficiência das técnicas evolutivas selecionadas. As funções de transferência das plantas dos quarto sistemas de controle de diferentes ordens são mostradas a seguir. Caso (sistema de segunda ordem): s) s ( 2.s G. (7) ISSN: Vol. X

4 Caso 2 (sistema de terceira ordem): 2 s ( s) 3 2 s 2s 2s G. (8) Caso 3 (sistema de quarta ordem #): G ( 5 3 s) 4 3 s 3s 7s 2 5s. (9) Caso 4 (sistema de quarta ordem #2): 4 ( 6 s) 4 3 s 3s 4s 2 G. () 3s Para cada um dos quatro casos de estudo, simulações computacionais foram realizadas utilizando os controladores PID implementados com, e. Nesses experimentos, a entrada do sistema foi o sinal de degrau unitário. Nos experimentos os seguintes parâmetros da foram usados para verificar o desempenho do controlador na determinação dos parâmetros (ganhos) do controlador PID: o tamanho da memória harmônica (HMS) foi estabelecido em ; a taxa de consideração de memória harmônica (HMCR) colocada em,8; a taxa de ajuste do som (PAR) foi,4; e o número de improvisações (NI) em 2. Para o controlador foram utilizados os seguintes parâmetros. O tamanho da população foi 2. O fator de inércia (w) e o fator de constrição ( ) foram colocados em. As constantes de aceleração foram c = c 2 = 2. O número de iterações do algoritmo foi estabelecido em passos. Para o algoritmo genético foram usados os seguintes parâmetros: número de gerações igual a ; tamanho da população com 5 indivíduos; taxa de mutação de %; taxa de recombinação de 9%; elitismo com preservação dos dois melhores indivíduos; e método de seleção de indivíduos pela roleta. Os limites inferior e superior dos três parâmetros (ganhos) dos controladores foram estabelecidos em [, 5] para todos os métodos evolutivos. Sob as mesmas condições, as simulações foram realizadas usando todos os controladores propostos para comparar as suas características de convergência. A Tab. 2 indica os parâmetros do controlador PID obtido para cada técnica evolutiva para as plantas em malha fechada. As respostas ao degrau unitário do sistema de controle realimentado para as quatro plantas são exibidas nas Fig. 2a-d. Nestas figuras, a linha sólida representa a resposta obtida pelo controlador com o algoritmo, a linha tracejada indica a resposta obtida com o uso da técnica de e a linha pontilhada exibe a resposta obtida com o uso de algoritmos genéticos. O controlador PID sintonizado por apresentou resposta mais rápida tanto na subida quanto no estado estacionário e um menor sobressinal que o para o sistema de segunda ordem (G ), como visto na Fig. 2a. O desempenho do produziu uma resposta muito próxima da. Para o sistema de terceira ordem (G 2 ) (Fig. 2b), todas as técnicas apresentaram respostas similares, porém o mostrou um tempo de resposta e um tempo de acomodação menores que os demais métodos, e o seu sobressinal foi ligeiramente maior que dos outros. Tabela 2. Parâmetros PID para os métodos evolutivos. Planta G,58,942,37,583,9427,3696,868,535 3,5853 Planta G 2 2,4659,953,9757 2,449,8786,632 2,392,2932,8622 Planta G 3,86,2,5446,8745,5335,8682,26,554 Planta G 4,654,545,52,77,547,83,67,693,654 Tabela 3. Medidas de estabilidade para as plantas controladas com as técnicas evolutivas. Planta G,26,5798,8888,27,5784,8872,5784,9985 2,559 7,8464 Planta G 2,345,535 3,3452,327,998,5248 3,8872,767,456 2,2 Planta G 3,39,22,6626 2,857,477,6364 2,7753,43.4,6495 2,796 Planta G 4,5 2,57 9,63,5 2,545,4355,54 2,84 2,2922 ISSN: Vol. X 2

5 Y(t) Y(t) Y(t) Y(t) X SBAI Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente a) Planta de segunda ordem (G ) b) Planta de terceira ordem (G 2 ) c) Planta # de quarta ordem (G 3 ) d) Planta #2 de quarta ordem (G 4 ) Figura 2. Respostas ao degrau unitário do sistema de controle realimentado com diferentes controladores PID evolutivos. Na Fig. 2c, as respostas dos controladores e para os tempos de subida e de acomodação são um pouco mais baixas que para a, mas o sobressinal nesses dois métodos é ligeiramente maior para o sistema de quarta ordem # (G 3 ). Entretanto, tais diferenças não podem ser consideradas significativas. A resposta do sistema de quarta ordem #2 (G 4 ) para o produziu um sobressinal mais alto, porém com uma oscilação menor em comparação com e, como mostrado na Fig. 2d. tem um tempo de subida mais rápido, mas oscila mais na resposta transiente, atingindo a estabilidade em um tempo de acomodação mais longo que o e menor que o. O comportamento do controlador é semelhante ao controlador. Medidas de robustez do sistema em malha fechada para resposta ao degrau unitário dos controladores PID para as quatro plantas estão ilustradas na Tab. 3. Em geral, o controlador mostrou o sobressinal mais baixo e o sinal estacionário mais perto da referência nos casos estudados, seguido proximamente pelo controlador, que também mostrou na maior parte dos casos o tempo de subida mais rápido em comparação com as outras técnicas. Os resultados dos controladores e para o problema da sintonia PID são bastante parecidos. No conjunto das medidas de estabilidade, o algoritmo genético mostrou o pior desempenho para as respostas dos sistemas. Todas as técnicas atingiram o estado estacionário nas condições de operação para todos os sistemas de controle. Deste modo, as técnicas evolutivas mostraram ser eficientes no ajuste automático dos parâmetros K p, K i e K d, tornando-se uma boa alternativa à escolha destes parâmetros, podendo substituir a escolha experiência do projetista ou operador. 5 Conclusão Neste trabalho pode-se confirmar que o problema de sintonia de controlador PID pode ser tratado como um problema de otimização através da minimização de índices de desempenho de sistemas de controle em malha fechada. O principal destaque desta abordagem foi permitir uma formulação mais simples do problema do que as utilizadas pelas técnicas clássicas de controle moderno, tornando a sua implementação mais fácil. Os métodos avaliados apresentaram características desejáveis, como convergência para a referência esperada e eficiência no ajuste dos parâmetros PID. O algoritmo de busca harmônica mostrou desempenho similar ou melhor que as técnicas evolutivas de ISSN: Vol. X 3

6 e, que são métodos bem conhecidos e já consolidados pela comunidade científica como ferramentas de otimização. Uma vantagem da aplicação da sobre e é que estes produzem soluções que podem variar a cada execução do programa, em virtude dos componentes aleatórios de seus procedimentos algoritmos, ao passo que a converge sempre para a mesma solução. A não requer a determinação de valores iniciais para as variáveis de decisão. Portanto, a busca harmônica demonstrou potencial satisfatório para aplicações na área de controle. Por ser ainda uma técnica recente, com campo aberto para muitas melhorias, a busca harmônica tem um longo caminho para explorar soluções de problemas complexos. Referências Bibliográficas Åstrom, K. J. and Hagglund, T. (984). Automatic Tuning of Simple Regulators with Specifications on Phase and Amplitude Margins, Automatica, Vol. 2, No. 5, pp Cohen, G.H. and Coon, G.A. (953). Theoretical consideration of retarded control, Trans. 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