Física dos Sistemas Dinâmicos

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1 Física dos Sistemas Dinâmicos Trabalho Prático nº 1 Equação de Friedmann Trabalho de: Marcos Liberal (ei04050) 1

2 Índice: Introdução 3 Um pouco de história 4 Equação de Friedmann 5 Análise geral 6 Análise de exemplos práticos 6 Conclusões 9 Um pequeno aparte 9 Bibliografia 10 2

3 Introdução O nascimento do universo, a sua forma, constituição e dinâmica, sempre foram temas que estimularam a curiosidade humana e são agora temas de grande foco por parte da comunidade científica. Graças às importantes descobertas feitas no século passado nas áreas da Física (mais precisamente da Astrofísica) e da Cosmologia, foi possível o aparecimento de novas e mais credíveis teorias acerca do universo, como a teoria do Big Bang. Neste trabalho, realizado no âmbito da cadeira de Física dos Sistemas Dinâmicos, pretende se analisar a equação de Friedmann, formulada por um grande matemático chamado Alexander Friedmann e que descreve a expansão do universo ao longo do tempo. Além desta análise, pretende se também contar um pouco da história da Cosmologia para demonstrar a evolução dos modelos do universo desde a antiguidade até aos nossos dias. Toda a análise realizada neste trabalho foi feita com auxílio do Maxima, e para cada caso todos os comandos usados estão guardados num ficheiro batch, sendo no total três ficheiros batch. 3

4 Um pouco de historia ¹ Na antiguidade, filósofos como Aristóteles e Ptolomeu, criaram modelos descritivos da estrutura do universo. O modelo de Aristóteles e Ptolomeu era um modelo geocêntrico, em que a terra era o centro do universo, e todos os restantes corpos celestes giravam em seu redor. Essa visão geocêntrica tradicional foi abalada por Nicolau Copérnico em 1514, quando este começou a divulgar um modelo cosmológico em que os corpos celestes giravam ao redor do Sol, e não da Terra (modelo heliocêntrico). Quase um século mais tarde, Galileu Galilei graças a descoberta do telescópio, reforçou o modelo heliocêntrico e descobriu a existência de satélites ao redor de Júpiter, além de observar Saturno e seus anéis. Na era moderna, a partir da dinâmica clássica, a cosmologia científica começou a tomar corpo e desenvolveu se. No início vagarosamente, pois havia a necessidade de construção da sua base. Com o passar dos anos e a descoberta de novos métodos de pesquisa a cosmologia foi acelerando tecnologicamente. No início do século XX, com novas técnicas de cálculo, com o advento da teoria da relatividade de Albert Einstein, e o desenvolvimento de novos equipamentos de observação, os pesquisadores estabeleceram um conjunto de parâmetros e variáveis mediante os quais se criou uma metodologia destinada a definir a estrutura do universo e as leis que o regem, chamada de Astrofísica. Em 1917 o astrónomo Willen de Sitter desenvolveu um modelo não estático do Universo, que contrariava o modelo estático proposto por Einstein. A teoria segundo a qual o universo está em expansão, formulada na década de 1920 e demonstrada por Edwin Hubble, acabou por constituir a moderna base da cosmologia. Em 1922 o modelo do universo em expansão foi adoptado pelo matemático russo Alexander Friedmann, o qual viria a formular uma equação que descreve a expansão do universo (equação esse que será estudada neste trabalho). Em 1927 o sacerdote belga Georges Lemaître introduziu a ideia do núcleo primordial. A teoria afirmava que as galáxias são fragmentos da explosão desse núcleo, resultando na consequente expansão do Universo. Foi esse o começo da teoria do Big Bang que tenta explicar a origem do Cosmos. 4

5 1 partes do texto retiradas de Equação de Friedmann Alexander Friedmann foi um matemático russo, que baseando se no modelo dinâmico do universo (considerava que o universo estava em crescimento ou em regressão) desenvolveu uma equação que descreve a expansão do universo. Essa equação é conhecida por equação de Friedmann que é uma equação diferencial de segunda ordem. Na equação, R é o tamanho do universo, k é a curvatura do universo, c é a velocidade da luz, A é a constante cosmológica, ρ é a densidade inicial do universo e G é a constante gravitacional. Duas constantes pouco familiares nesta equação são a constante cosmológica e a curvatura do universo. A curvatura do universo, é uma constante que define o formato do universo. Existem três formatos possíveis para o universo, pode ser curvado e fechado, por exemplo uma esfera, (k > 0), pode ser curvado aberto (k < 0), ou pode ser plano (k = 0). A figura seguinte mostra os três formatos possíveis para o universo. Figura 1 possíveis formas do universo A constante cosmológica é uma constante mais complicada que tem a ver com a densidade de energia do vácuo. O conceito por detrás da constante cosmológica é muito 5

6 complicado e não será abordado por esse motivo e por ser irrelevante na análise feita neste trabalho. Para facilitar a análise da equação, vamos transforma la num sistema de equações diferenciais de primeira ordem. Vamos mudar a variável R (que representa o tamanho do universo) para e considerar. Com estas condições obtemos o sistema que é um sistema de equações diferenciais, não linear, continuo de segunda ordem. Análise geral Durante a análise do sistema e também nos exemplos que se seguem iremos sempre considerar que o universo é uma curva fechada, sendo k = 1.0 * 10^( 8). A velocidade da luz (c) e a constante gravitacional (G) vão tomar os valores conhecidos de * 10^8 m/s e * 10^( 11) Nm^2/Kg^2 respectivamente. A relação entre a constante cosmológica (A) e a densidade inicial (ρ) vai ser o foco de interesse, pois não sendo conhecidos os valores exactos destas constantes será interessante analisar o comportamento do sistema para diferentes valores dessas constantes. Para as condições enunciadas anteriormente, o sistema possui sempre dois pontos fixos, um positivo e outro negativo (ver ficheiro batch analise_geral.txt ), mas dependendo da relação entre A e ρ esses pontos fixos podem ser reais ou imaginários, o que no plano real resulta na existência ou inexistência de pontos fixos. Para que haja pontos fixos reais é necessário que a seguinte condição se verifique: ρ > *A Caso esta condição não se verifique teremos pontos fixos imaginários. Estas duas situações serão estudadas de seguida através de dois exemplos práticos. Análise de exemplos práticos Vamos de seguida analisar alguns exemplos que descrevem o que poderá estar de facto a acontecer com o universo. 6

7 Exemplo nº1 Considerando que não existe constante cosmológica (A = 0) e que ρ = 2.0 * 10^8, vamos localizar os pontos fixos do sistema, determinar a sua estabilidade e desenhar um retrato de fase nestas condições. Nestas condições, o sistema tem dois pontos fixos: x = , y = 0 e x = , y = 0 Pela análise da matriz jacobiana do sistema, obtemos para ambos os pontos fixos valores próprios que são imaginários puros. Daí resulta que ambos os pontos fixos são centros. Como não existem tamanhos negativos vamos considerar apenas a parte positiva do eixo dos xx, e como pela teoria do Big Bang, o universo teve inicio numa explosão, a velocidade inicial considerada deve ser sempre positiva. A figura seguinte mostra o retrato de fase deste sistema: Figura 2 Retrato de fase do sistema considerado no exemplo nº 1, e algumas soluções do sistema (curvas a vermelho) O eixo dos xx representa o tamanho do universo e o eixo dos yy representa a velocidade de crescimento do universo. Deduz se facilmente a existência de uma assímptota em x = 0 olhando para a figura ou então para a segunda equação do sistema, pois esta não está definida para x = 0, pois obtemos uma divisão por 0 o que é impossível. Isto tem como significado prático, a inexistência de um tamanho nulo. Para estes valores de A e ρ, a diferença A 8πρ G dá um valor negativo, e sejam quais forem as condições iniciais dadas (tamanho e velocidade iniciais) temos um universo que acaba mais cedo ou mais tarde por colapsar ou por oscilar entre um valor máximo e um valor mínimo de tamanho, aumentando de tamanho durante um 7

8 determinado período de tempo, passando depois a diminuir de tamanho até um determinado tamanho mínimo repetindo se o processo infinitamente. Exemplo nº2 Vamos agora considerar as seguintes condições: A = 0.67 e ρ = 2.0 * 10^8 Para este conjunto de condições, não se verifica a condição ρ > *A, logo vamos ter dois pontos fixos imaginários, o que significa que no plano real não vamos ter qualquer ponto fixo. Mais uma vez consideramos apenas a parte positiva do eixo dos xx e vamos atribuir valores positivos à velocidade inicial pelos mesmos motivos enunciados anteriormente. O retrato de fase que se segue mostra o comportamento do sistema para estas novas condições, mantendo se o significado dos eixos coordenados: Figura 3 Retrato de fase do exemplo nº2 Continuamos a ter uma assímptota vertical para x = 0, no entanto, a diferença A 8πρ G é agora um valor positivo, e sejam quais forem as condições iniciais dadas (dentro dos parâmetros enunciados anteriormente) vamos ter um universo em constante expansão. 8

9 Conclusões Nestes dois últimos exemplos, demonstrámos uma teoria sobre a expansão do universo que diz que o universo ou está a aumentar ou a diminuir de tamanho, e segundo a equação de Friedmann, ambas as hipóteses são possíveis, dependendo tudo dos valores das constantes A e ρ, cuja relação entre elas provou ser extremamente importante. Hoje em dia pensa se que o universo se encontra em expansão, devido ao facto de se observar que as galáxias se estão a afastar umas das outras, mas como foi possível verificar no exemplo 1, isso pode ser apenas passageiro, e o universo pode ainda vir a colapsar, mas para nossa sorte, se isso vier a acontecer não será num futuro próximo. Um pequeno aparte A análise do tema escolhido, foi uma análise muito geral e com muitas questões ainda por resolver, mas espero que sirva para despertar o interesse de quem ler este trabalho e que sirva de apoio para futuros trabalhos sobre este tema, visto que existe muito pouca informação disponível. 9

10 Bibliografia Toda a informação usada para a realização deste trabalho encontra se nos seguintes links: astr.gsu.edu/hbase/astro/fried.html 10

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