TESTE DE HIPÓTESE PARA A MÉDIA COM VARIÂNCIA CONHECIDA/ DESCONHECIDA

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1 TESTE DE HIPÓTESE PARA A MÉDIA COM VARIÂNCIA CONHECIDA/ DESCONHECIDA OBS: Supondo que o modelo Normal é adequado para os dados 1) A resistência à tração do aço inoxidável produzido numa usina permanecia estável, com uma resistência média de 72 kg/mm² e um desvio padrão de 2,0 kg/mm². Recentemente, a máquina foi ajustada. A fim de determinar o efeito do ajuste, 10 amostras foram testadas. 76,2 78,3 76,4 74,7 72,6 78,4 75,7 70,2 73,3 74,2 Presuma que o desvio padrão seja o mesmo que antes do ajuste. Podemos concluir que o ajuste mudou a resistência à tração de aço? (Adote um nível de significância de 5%) Resposta : Ho: µ 72 kg/mm²; H1: µ 72 kg/mm²; Região crítica ( RC ) : { x ϵ R : x < xc1 ou x > xc2 } Logo,fixando α 0,05 temos: 0,05 P(erro tipo I) P(Rejeitar Ho Ho verdadeira) P( X ϵ RC µ 72 ) P( X < xc1 ou X > xc2 µ 72) X 72 P( 2 / 10 < xc / 10 ou X 72 2 / 10 > xc2 72 ) 2 / 10 P( Z < zc1 ou Z> zc2) Zci (xcj 72 ) / (2/ 10 ), j1,2 e Z ~ N(0,1) Da tabela da distribuição Normal,segue que zc1-1,96 e zc2 1,96. Logo,

2 Xc1 72-1,96 ( 2/ 10 ) 70,76039 Xc ,96 ( 2/ 10 ) 73,23961 Assim, Região crítica ( RC ) : { x ϵ R : x < 70,76039 ou x > 73,23961 } Calculando a média amostral, obtemos x obs 75. Como este valor pertence a região crítica,rejeitamos a hipótese Ho,ao nível de significância 5%.Em outras palavras concluímos que a resistência à tração do aço mudou. 2) Um processo deveria produzir bancadas com 0,85 m de altura. O engenheiro desconfia que as bancadas que estão sendo produzidas são diferentes que o especificado. Uma amostra de 8 valores foi coletada e indicou X 0,87. Sabendo que o desvio padrão é 0,010, teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância α 0,05. Resposta : Ho: µ 0,85; H1: µ 0,85; Região crítica ( RC ) : { x ϵ R : x < xc1 ou x > xc2 } Logo,fixando α 0,05 temos: 0,05 P(erro tipo I) P(Rejeitar Ho Ho verdadeira) P( X ϵ RC µ 0,85 ) P( X < xc1 ou X > xc2 µ 0,85) X 0,85 P( 0,01/ 8 < xc1 0,85 0,01/ 8 ou X 0,85 0,01/ 8 > xc2 0,85 ) 0,01/ 8 P( Z < zc1 ou Z> zc2) Zci (xcj 0,85 ) / (0,01/ 8 ), j1,2 e Z ~ N(0,1) Da tabela da distribuição Normal,segue que zc1-1,96 e zc2 1,96.

3 Logo, Xc1 0,85-1,96 ( 0,01/ 8 ) 0,84307 Xc2 0,85 +1,96 ( 0,01/ 8 ) 0,85693 Assim, Região crítica ( RC ) : { x ϵ R : x < 0,84307 ou x > 0,85693 } Calculando a média amostral, obtemos x obs 0,87. Como este valor pertence a região crítica,rejeitamos a hipótese Ho,ao nível de significância 5%. 3) Um trecho de uma rodoviária estadual, quando é utilizado o radar, são verificadas em média 7 infrações diárias por excesso de velocidade. O chefe de polícia acredita que este número pode ter aumentado. Para verificar isso, o radar foi mantido por 10 dias consecutivos. Os resultados foram: 8, 9, 5, 7, 8, 12, 6, 9, 6, 10 Os dados trazem evidência de aumento nas infrações? Resposta : Ho: µ 7 H1: µ > 7 Temos X 8. Não conhecendo ϵ, o estimamos por S (desvio-padrão da amostra), logo, S 2,10. Desvio-padrão foi estimado a partir de uma pequena amostra, assim deve-se usar a estatística t- student. Região crítica ( RC ) : { t ϵ R : t > tc } T Logo, X 7 S / 10 ~ t (9) P( T > tc) > tc 1,833 O valor tabelado de t depende do nível de significância (5%) e dos graus de liberdade, que são função do tamanho da amostra: GL n 1 9. Nesse exemplo, t tabelado 1,833 RC { t ϵ R : t > 1,833 } Sendo X 8 e S 2,10,calculamos o valor padronizado: t cal X µ o 8 7 S n 2, ,666 1,5

4 Portanto,como t cal RC,decidimos pela aceitação da hipótese nula,ou seja, NÃO houve um aumento significativo no número de infrações. 4) Um empresário desconfia que o tempo médio de espera para atendimento de seus clientes é superior a 20 minutos. Para testar essa hipótese ele entrevistou 20 pessoas e questionou quanto tempo demorou para ser atendido. O resultado dessa pesquisa aparece a seguir: Faça o teste de hipóteses, calcule o intervalo de confiança e interprete. Resposta: Ho: µ 20 min; H1: µ > 20 min; Temos X 21,8 min. Não conhecendo ϵ, o estimamos por S (desvio-padrão da amostra), logo, S 1,40 min. Desvio-padrão foi estimado a partir de uma pequena amostra, assim deve-se usar a estatística t- student. Região crítica ( RC ) : { t ϵ R : t > tc } T Logo, X 20 S / 20 ~ t (19) P( T > tc) > tc 1,729 O valor tabelado de t depende do nível de significância (5%) e dos graus de liberdade, que são função do tamanho da amostra: GL n Nesse exemplo, t tabelado 1,729.

5 RC { t ϵ R : t > 1,729 } Sendo X 21,8 e S 1,40,calculamos o valor padronizado: t o X µ o 21,8 20 S / n 1,40 / 20 5,75 Portanto,como to RC,decidimos pela rejeição da hipótese nula,ou seja, houve um aumento significativo no tempo médio de espera para atendimento de seus clientes. Calculando o intervalo de confiança: IC(µ,γ) [ X - t γ/2 S ; X + t γ/2 n S ] n Com γ 90%,obtemos da tabela t-student com 19 graus de liberdade, t γ/2 1,729.Logo, IC(µ, 90%) [ 21,8 1,729 1,4 20 ; 21,8 + 1,729 1,4 20 ] [ 21,25874 ; 22,34126 ] Note que o intervalo de confiança encontrado não inclui o valor 20 para µ, que foi a hipótese nula.dessa forma,confirma-se a conclusão de rejeição da hipótese Ho. Lista Teste de hipóteses 01) Realizou-se uma pesquisa para comprar dois locais, Itajaí e Araranguá, quanto à produção de arroz irrigado, em t/ha, na safra Dez progênies foram utilizadas nos dois locais e os seus resultados anotados. Itajaí Araranguá 5,3 9,3 6,0 8,4 5,7 9,2 6,3 8,3 7,0 6,9 7,2 7,2 6,2 7,0 6,8 7,3 8,0 6,5 7,8 7,0 Teste a hipótese de igualdade entre as produções médias. 02) Um agrônomo realizou um levantamento para estudar o desenvolvimento de duas espécies de árvores: a bracatinga (Mimosa scabrella) e canafístula (Peltophorum

6 dubium). Para essa finalidade foram coletadas duas amostras de tamanhos iguais a 30 árvores cada. Os resultados para altura, em metros, foram: Bracatinga Canafístula 6,4 7,0 9,0 10,2 16,1 20,1 8,2 10,1 14,1 20,2 25,7 40,1 6,8 8,3 9,1 11,4 16,3 20,3 9,7 10,3 14,2 20,3 30,9 40,2 6,9 8,6 9,3 13,7 17,2 21,4 9,8 11,2 14,4 20,6 35,5 40,5 6,9 8,7 9,9 14,8 18,4 22,8 10,0 13,2 14,8 29,9 38,2 41,8 6,9 8,7 10,1 15,2 20,0 22,8 10,0 13,4 15,9 23,8 40,0 42,3 A hipótese levada pelo pesquisador é de que a canafístula deve apresentar uma altura média maior do que a bracatinga. Essas dados indicam evidência suficiente para suportar a hipótese do pesquisador? 03) Um biólogo deseja fazer um estudo para verificar a especificidade do fungo Gigaspora gigantea com as plantas Spartina sp e Tibouchina sp. Foram coletadas 20 amostras de solos em volta da Spartina sp e 20 amostras da Tibouchina sp e verificada a quantidade de fungos presentes. Os resultados foram: Spartina sp Tibouchina sp Esses dados têm evidências para indicar uma diferença entre as quantidades médias de Gigaspora gigantea encontrada em plantas de Spartina sp e TIbouchina sp? 04) Para determinar qual de duas cultivares de trigo é mais produtiva, um centro de pesquisas em agricultura selecionou quatro áreas de terra, cada uma em uma região recomendada para a produção de trigo no Estado de Santa Catarina, as quais são totalmente homogêneas e foram divididas em duas partes. Nelas foram semeadas duas cultivares, uma em cada parte da área, através de um sorteio. Entre as regiões deverá haver diferenças de produção. As produções, em kg/ha foram: Município Cultivares CEP 15 Batouí CEP 18 Cavera Abelardo Luz Chapecó Campos Novos Mafra Qual é a cultivar de trigo mais produtiva? Use nível de significância 5%. Interprete. 05) Foi conduzido um experimento, no qual avaliou-se a utilização de uma, duas ou três armadilhas (raiz de tayuyá) por 400 m², com e sem inseticida, para capturar a vaquinha (Diabrotica speciosa) na cultura do feijão. Os dados obtidos, relativos ao número de vaquinhas capturadas, foram: Inseticida Armadilhas TOTAL Com Sem Uma armadilha Duas armadilhas Três armadilhas TOTAL

7 Podemos afirmar que existem diferenças significativas entre o número de armadilhas utilizadas com relação ao uso de inseticida, ao nível de significância de 5%? 06) Foi realizado um experimento para avaliar o comportamento in vitro da espécie Mandevilla velutina (Apocinácea), proveniente de duas regiões: cerrado e restinga. Após isolar os explantes, com um nó com duas gemas axilares, obtidos das plantas matrizes, foi instalado o experimento com delineamento inteiramente casualizado com 20 repetições (20 explantes para o cerrado e 20 para a restinga); portanto, temos um total de 40 unidades experimentais. O valor do desvio padrão amostral é s 1,5611 com 38 graus de liberdade. A variável utilizada foi a altura em cm dos explantes de Mandevilla cultivadas in vitro durante 45 dias, cujos resultados foram: Cerrado Restinga 5,3 3,1 3,0 4,7 3,6 4,3 2,7 5,1 2,5 4,1 4,7 6,4 2,3 3,9 3,9 4,7 5,1 3,7 2,6 2,9 6,0 2,1 5,6 2,1 2,6 5,0 4,2 3,2 2,1 2,4 4,7 6,1 1,2 1,6 4,0 2,1 5,2 2,0 1,9 8,1 Teste a hipótese de que não há diferença entre as duas regiões, ao nível de significância de 5%, para altura média de explantes de Mandevilla. 07) Foi desenvolvido um estudo para verificar a qualidade dos vinhos em um estado brasileiro. Uma propriedade física avaliada nesse estudo foi a estabilidade dos vinhos, dada em quatro categorias: péssima, problemática, regular e aceitável. Numa amostra de 188 garrafas de vinho, foram encontrados os seguintes resultados: Tipo de Estabilidade vinho Péssima Problemática Regular Aceitável TOTAL Branco Rosado Tinto TOTAL a) Teste a hipótese de que não há relação (dependência) entre tipo de vinho e estabilidade. b) Teste a hipótese de que os vinhos tinto e branco são independentes da estabilidade, utilizando somente os dados relativos aos brancos e tintos. c) Qual dos dois vinhos você acha que seria pior quanto à estabilidade? 08) Nitrogênio é o elemento mais comum aplicado no solo. Em regiões tropicais, apenas uma parte do nitrogênio aplicado é aproveitada pelas culturas. Informação sobre a porcentagem média de nitrogênio perdido é importante para pesquisas sobre as condições ótimas de crescimento das plantas. Os dados a seguir descritos representam a quantidade de nitrogênio perdido (dada em porcentagem do total de nitrogênio aplicado): 10,8 13,5 11,8 9,0 14,7 10,5 8,0 10,0 9,8 10,3 14,0 9,5 8,7 13,8 12,8 a) Faça o teste de hipótese utilizando o valor calculado da estatística de teste, ao nível de significância de 5%, para verificar se os dados da amostra suportam a hipótese de que a porcentagem média de nitrogênio perdido é menor do que 13%. b) Calcule o valor p (P-valor nível descritivo) do teste e interprete-o.

8 09) Para verificar a efetividade de um novo tratamento contra infestação de pulgões que atacam as folhas das plantas, em 100 plantas atacadas e tratadas com o novo inseticida, foram encontradas nove com pulgões, depois de uma semana de tratamento. Desejamos saber se os resultados observados justificam a afirmação de que menos de 15% da população de plantas tratadas terão infestação por pulgões. Utilize um nível de significância de 5%. Calcule o valor p (P-valor) e interprete-o.

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