ARTUR O. LOPES. Date: August 3, 2015.

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1 INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA DA MECÂNICA QUÂNTICA ARTUR O. LOPES Date: August 3,

2 2 ARTUR O. LOPES A Mecânica Quântica é a teoria que descreve as leis físicas que regem as partículas de massa muito pequena. O seu entendimento foi sem dúvida um dos grandes feitos científicos do século XX. Meu objetivo ao escrever este texto foi permitir que os estudantes dos nossos cursos de Matemática possam entender e apreciar a beleza desta teoria. Foi planejado para ser uma primeira leitura sobre este tópico. O texto foi escrito por e para pessoas que são principiantes neste tópico. Tentei aqui apresentar as idéias fundamentais desta teoria partindo do princípio que o leitor é um estudante que raciocina de forma matematicamente rigorosa. A fundamentação matemática completa destas requer, no entanto, o estudo de tópicos mais avançados e que estão acima do escopo do presente texto. Sobre os pré-requisitos para entender o livro posso afirmar que o primeiro capítulo exige apenas aquele conhecimento básico que constitui o material coberto nos primeiros três anos de um Bacharelado em Matemática. Aqui e ali mencionamos algum tópico mais avançado, mas, certamente, não é algo que o seu desconhecimento possa prejudicar o entendimento da seqüência lógica da narrativa. Destaco aqui o fato inequívoco que a Análise Funcional é uma das ferramentas fundamentais para o entendimento da Mecânica Quântica, mas de fato, nesta primeira parte não se usa realmente nenhum resultado sofisticado desta teoria. Um estudante que entendeu bem os tópicos usuais de Álgebra Linear em Espaços Vetoriais (dimensão finita) não vai ter dificuldade em extrapolar os resultados básicos já conhecidos para espaços de dimensão infinita. Existem alguns livros excelentes que foram publicados recentemente sobre este assunto. Minha intenção foi produzir um texto em português que descreva a Mecânica Quântica de forma que seja matematicamente inteligível, e, ao mesmo tempo, que não se prenda a detalhes de formalização excessiva. Numa primeira leitura, este excesso a que me refiro, pode comprometer o entendimento das idéias fundamentais. Tentei manter a redação dentro de um equilíbrio entre estes dois extremos. Os resultados considerados no texto, ou são rigorosamente demonstrados, ou, então são descritos através do apelo ao bom senso e a intuição matemática. No último caso sempre menciono referencias para consulta que permitirão ao leitor interessado aprofundar o material exibido. Exemplos são apresentados a cada momento em que introduzimos um novo conceito. Exemplo aqui significa exemplo matemático e não oriundo da Física. A Mecânica Quântica é daquelas teorias em que se precisa compreender certa quantidade razoável de resultados para que o todo faça sentido. Assim, minha sugestão é que o leitor tente entender a cada passo o que vai sendo exposto, mas sem se prender demais a aspectos que, eventualmente, não ficaram de todo claro. Muitas vezes, um pouco mais adiante no texto, aquilo que não foi de todo compreendido se esclarece quando olhado de um panorama mais amplo. Esta teoria é cheia de aspectos surpreendentes e que conflitam com a percepção do mundo sensível a nossa volta. Mas, após certo tempo para amadurecimento dos conceitos em nossa mente, percebemos que

3 INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA DA MECÂNICA QUÂNTICA 3 a estrutura é bastante natural e simples. É claro, que existem aspectos técnicos da teoria que requerem a análise de questões matemáticas bastante complexas e sofisticadas. Mas, é possível obter um quadro razoavelmente consistente da teoria se nos permitirmos deixar alguma sujeira matemática debaixo do tapete. Fiz isto no texto algumas poucas vezes, mas, asseguro, que de forma bem intencionada; foi em nome da didática do entendimento. Tentei dar no livro uma visão global (embora modesta dentro da amplidão do assunto) dos aspectos básicos da teoria. Certa intuição do que acontece no fenômeno físico que a cada momento estamos matematicamente analisando é sem dúvida muito importante. Aqui este ponto é apresentado de forma breve e na maioria das vezes pictórica. A ênfase foi dada na apresentação de um formalismo matemático que descreva de forma compreensível a Física da Mecânica Quântica. Não é exigido nenhum pré-requisito de Física para entender o material que vamos cobrir. Apresentamos no texto alguns postulados cujo objetivo é apenas estabelecer o que o modelo matemático deveria incorporar para descrever a realidade observada nos fenômenos físicos. Servem basicamente de balizamento para a seqüência lógica dos resultados apresentados. Eles não são, necessariamente, um conjunto mínimo de postulados. Eventualmente, um deles pode aparecer mais tarde no texto como conseqüência de um teorema de caráter mais geral (que requer mais teoria). Não irei discutir no texto os aspectos mais diretamente ligados a interpretação física dos fenômenos discutidos. Existem na teoria vários paradoxos e até mesmo conflitos de interpretação entre os eminentes físicos que trabalham nesta área. Por exemplo, a passagem gradual e continua da Mecânica Quântica (a Física das partículas com massa de dimensões atômicas) para as Leis da Mecânica Clássica (a Física das partículas com massa de dimensões macroscópicas) é um fenômeno que precisa ser melhor entendido. O assim chamado limite semiclássico trata deste assunto, ou seja, o que acontece com os estados quânticos quando a massa m vai a infinito. Em alguns exemplos a Física e a Matemática estão em consonância e resultados matematicamente rigorosos existem (por exemplo no caso do estudo dos ground states). Vamos apresentar referencias no texto que cobrem estes casos. Após um breve introdução de alguns pré-requisitos matemáticos apresentamos no texto dois grandes capítulos. O primeiro tem a intenção de dar ao leitor uma visão global do assunto. No segundo apresentamos vários tópicos que abordam questões um pouco mais específicas. É claro que apenas num livro não vamos poder abordar os incontáveis tópicos importantes nesta teoria. Varias seções da segunda parte podem ser lidas sem a leitura das outras. Eu entendo que o capítulo 2 pode ser dividido em varios blocos mais ou menos independentes I. as seções 2.1 a 2.4 é um bloco, II. as seções 2.5 a 2.7 é outro, III. as seções 2.9 a 2.15 mais um, IV. as seções 2.16 e 2.17 mais outro. As outras duas seções são totalmente independentes. Na seção 0, onde apresentamos alguns pré-requisitos, tentamos explicar de forma breve e resumida o pouco que se vai precisar. Para o capítulo 2 as exigências de pré-requisitos são maiores. Estes vão depender da seção específica em consideração.

4 4 ARTUR O. LOPES Uma seção que tem importância fundamental (a 2.1) é a que trata do Teorema da decomposição espectral (o qual é enunciado sem demonstração). Este resultado é ilustrado com alguns exemplos. Mais uma vez, se bem compreendido o que afirma este teorema, o leitor pode prosseguir e entender certos aspectos cruciais da teoria sem o conhecimento da prova do mencionado resultado. Acredito que o entendimento dos princípios básicos da Mecânica Quântica por parte de um matemático genérico (que trabalha em qualquer área) vai enriquecer seu trabalho científico. Existem distintos aspectos da teoria que intersectam diversas áreas da Matemática: Análise Funcional, Equações Diferenciais Parciais, Geometria, Sistemas Dinâmicos, Processos Estocásticos, Teoria da Informação, Álgebra, etc... Problemas matemáticos nestas áreas de pesquisa podem ser algumas vezes considerados numa formulação mais ampla de tal forma que contemple os aspectos associados à quantização ou a não comutatividade. Desejo agradecer a vários colegas com quem tive o prazer de discutir questões relativas ao presente texto: Ph. Thieullen, A. Baraviera, S. Prado, M. Terra Cunha, M. Disconzi, M. Sebastiani, C. F. Lardizabal, J. Mengue, J. Mohr, R. Souza, R. Bissacot, L. Ciolleti, R. Exel, Agradeço sobremaneira aos estudantes que assistiram a duas edições do curso de Mecânica Quântica que ministrei no Inst. Mat. da UFRGS: Carlos Scarinci, Gilles Castro, Vilarbo Junior, Alvaro Kruger Ramos, Douglas dos Santos, Eduardo Fischer, Fagner Rodrigues, Mirian Telichevesky, Otavio Menezes, Patricia Klaser, Rangel Baldasso e Thomas Bartlett. Eles participaram da elaboração de diversas partes do presente texto. As eventuais incorreções, naturalmente, devem ser atribuídas ao autor. Os leitores que desejarem fazer comentários, apontar erros tipográficos, matemáticos, conceituais, ou, propor exercícios interessantes podem escrever para Eles poderão ser de grande utilidade para alguma eventual nova edição do texto. Alguns textos que fortemente recomendo e que, de alguma forma, influenciaram o presente livro são: 1. S. Gustafson and I. Sigal, Mathematical concepts of Quantum Mechanics, Springer Verlag 2. K. Hannabuss, An introduction to Quantum Theory, Oxford Press. 3. M. Schechter, Operator Methods in Quantum Mechanics, Dover. 4. L. Ballentine, Quantum Mechanics, World Scientific Press O autor informa que o presente manuscrito ficará sempre disponível para acesso livre. Ele foi escrito com o objetivo apenas de complementar e apresentar de maneira unificada e com mais detalhes o material coberto por distintos livros sobre o assunto..

5 page 1 Conteúdo 0 Alguns pré-requisitos 1 1 Uma Visão Panorâmica da Mecânica Quântica Estados e a equação de Schrodinger O Comutador na Mecânica Quântica Observáveis, valor esperado e o operador momento Transformada de Fourier O Momento via Transformada de Fourier Exemplos Princípio da Incerteza e o Pacote de Onda Gaussiano Operador densidade Operadores Trace Class Mecânica Estatística Quântica Uma generalização da Teoria de Hamilton-Jacobi Fluxo de Probabilidades e Transporte O Teorema de Ehrenfest e a dispersão clássica e quântica Distribuições e Transformada de Fourier Tópicos Selecionados de Mecânica Quântica Teoria Espectral Valores atingidos por observáveis Princípio do Mini-max Integral de uma curva tomando valores em operadores Produto Tensorial C -álgebras Lattices de spins quânticos Formalismo Termodinâmico e Mecânica Estatística A Integral de Caminho de Feynman

6 page 2 2 CONTEÚDO Cap Sobre a amplitude de Feynman Um paralelo com o Movimento Browniano Integral de caminho na Mecânica Estatística Quântica Cálculo das Variações em espaços de funções Comportamento assintótico da Integral de Feymann Segunda variação e campos de Jacobi Quantização de Weyl e estados coerentes Medidas de Wigner Mecânica de Bohm e a equação de Hamilton-Jacobi Espalhamento Exponencial de Operadores não limitados Bibliografia 346

7 page 1 Capítulo 0 Alguns pré-requisitos Vamos inicialmente considerar algumas propriedades básicas dos espaços vetoriais de dimensão infinita (sobre o corpo dos números complexos) com produto interno. O caso em que o espaço vetorial tem dimensão finita é tratado com bastante detalhe na seção 21 de [133]. Referimos o leitor a [189] ou [167] para um aprofundamento dos diversos resultados e conceitos que vez por outra serão usados nesta seção. Um elemento genérico em C é expresso como z = a + b i, onde, i 2 = 1 e a, b R. Se u = a + bi e v = c + di então u v = (a + b i) (c + d i) = a c + a di + bci + b d i 2 = (ac bd) + (ad + bc) i. Todo número complexo a + bi se escreve como a + b i = α e β i = α (cos(β) + i sin(β)), onde α 0 e 0 β < 2 π são reais. Se chama α = z de norma (ou, amplitude) de a + bi e β de fase de a + bi. Acima β= arc tang b a e α = a 2 + b 2. Note que, dado β [0, 2π), então e β i + e (β+π) i = 0. z = (a b i) denota o complexo conjugado de z = a + b i. Note que se z = z, então a b i = a + b i, logo, b = 0. Assim, z R.

8 page 2 2 Alguns pré-requisitos Cap. 0 Ainda, vale que z = z e z z = a 2 + b 2 = z 2. Observe que z 1 + z 2 = z 1 + z 2 e z 1 z 2 = z 1 z 2. Vamos considerar aqui prioritariamnte espaços vetoriais E sobre o corpo dos escalares complexos (ver seção 21 em [133] para definição exata). Assim, se v 1, v 2 E, e α 1, α 2 C, então está bem definido α 1 v 1 + α 2 v 2 E. Se E é um espaço vetorial sobre o corpo dos complexos C, então um produto interno <, > sobre E é uma função de E E C, tal que, para qualquer u, v, v E, e λ em C, vale o seguinte: 1) < u, v > = < v, u >; 2) < u + u, v > = < u, v > + < u, v > ; 3) < λ u, v > = λ < u, v >; 4) < u, u > > 0, se u 0. Para mais detalhes recomendamos o leitor a seção 21 em [133]. Note que segue do que foi dito acima que < u, λ v > = λ < u, v >. Ainda, < u, v + v > = < u, v > + < u, v >. Ainda, para todo v E vale que < v, v > é real e não negativo. Além disso, < v, v >= 0, se e só se, v = 0. Dado um produto interno <, > sobre um espaço vetorial E podemos definir a norma associada através de v = < v, v >. Uma norma sobre E possui as propriedades: a) 0 = 0, b) v 0, c) v > 0 se v 0, d) u+v u + v, para qualquer u, v, e finalmente, e) λv = λ v, para qualquer escalar λ C e qualquer v E. A propriedade u + v u + v é denominada de desigualdade triangular. Assim, dado um espaço vetorial E com produto interno existe uma maneira natural de se obter uma norma em E. Uma propriedade importante é a desigualdade de Cauchy-Scwartz (ver prova em [133] ou [134]) que diz que dados v 1, v 2 E, então < v 1, v 2 > v 1 v 2, Dada uma sequência de vetores v n H, diremos que a sequência v n converge ao vetor w H, se para qualquer ǫ > 0, existe um N > 0, tal que para todo n > N, vale w v n < ǫ. Este fato será denotado por lim v n = w. n

9 page 3 Alguns pré-requisitos 3 A expressão v n converge a w quando n também é bastante usada. Dada uma sequência de vetores v n H, diremos que a sequência v n é de Cauchy se para qualquer ǫ > 0, existe um N > 0, tal que para todo m, n > N, vale v m v n < ǫ. É fácil ver que toda sequência convergente é de Cauchy (isto segue da desigualdade triangular). Para espaços vetoriais de dimensão finita a recíproca é verdadeira. Para espaços de dimensão infinita nem sempre vale a recíproca. Um espaço normado é dito completo quando toda sequência de Cauchy converge. Definição 0.1. Um espaço vetorial H sobre o corpo dos complexos com produto interno <, >, e a correspondente norma v = < v, v >, para cada vetor em H, será chamado de espaço de Hilbert se ele for completo para tal norma [120] [183] [40] [219]. O exemplo mais simples de espaço de Hilbert é o conjunto dos números complexos C com o produto interno < u, v >= u v, onde z denota o complexo conjugado de z. Mais exatamente, se u = a + bi e v = c + di, então, u v = (a + bi) (c di). Neste caso, z = x 2 + y 2, se z = x + y i. E = C n = C C... C } {{ } complexos C. n vezes é um espaço vetorial sobre o corpo dos Dados u = (u 1, u 2,..., u n ) e z = (z 1, z 2,..., z n ) em C n, o produto interno de u e z é, por definição, < u, z > = u 1 z 1 + u 2 z u n z n. Note que para λ, u, v C, vale < u, λ v > = λ < u, v > e < λ u, v > = λ < u, v >.

10 page 4 4 Alguns pré-requisitos Cap. 0 O espaço vetorial complexo E acima é de Hilbert e tem dimensão finita. Os espaços vetoriais de Hilbert que vamos prioritariamente considerar no texto tem dimensão infinita. Algumas vezes usamos também a notação < x y > em vez da expressão < x, y >. Note que < u, v > = < u v > = < v u > = < v, u >. As vezes se diz que < u v > é o braket do vetor u com o vetor v. Definição 0.2. Dizemos que um conjunto ψ n, n N é um conjunto enumerável ortonormal completo em H se, 1) ψ n = 1, n N, 2) < ψ n, ψ m > = 0, m n, 3) para qualquer ψ existe uma escolha α n C, n N, tal que ψ = lim k n=0 k α n ψ n. Acima queremos dizer que se v k = k n=0 α n ψ n H, então esta sequência v k converge ao vetor ψ quando k. Alguns textos requerem que na Definição 0.1 se exija que o espaço de Hilbert possua um conjunto enumerável denso (chamado de espaço de Hilbert separável). Todos os espaços que vamos considerar aqui, entre eles o espaço das funções de quadrado integrável em R n, (ver definição a seguir) satisfazem tal propriedade. O limite acima será descrito pela expressão formal ψ = α n ψ n. n=0 É fácil ver que neste caso vale ψ = n < ψ n ψ > ψ n, ou seja, temos que α n =< ψ n ψ >. Além disto, ψ = α n 2 = n < ψ n ψ > 2. n

11 page 5 Alguns pré-requisitos 5 É importante não confundir o conceito de conjunto ortonormal completo com o conceito de base de um espaço vetorial. Os exemplos de espaços de Hilbert que consideraremos usualmente são 1) H = L 2 C (Rn )(dx) é o conjunto dos φ : R n C tais que,... φ 2 (x)dx = φ(x 1, x 2,.., x n ) 2 dx 1 dx 2... dx n <, onde dx é a medida de Lebesgue usual. Para φ : R n C, e ψ : R n C, tais que, φ 2 (x)dx <, ψ 2 (x)dx <, nós definimos o produto interno < φ, ψ >= φ(x) ψ(x) dx. Neste caso, φ = φ(x) 2 dx = < φ, φ > define uma norma que o torna um espaço de Hilbert. Note que uma função ψ neste espaço esta definida a menos de um conjunto de medida de Lebesgue zero [68]. Dizer que duas funções φ, ψ estão ǫ próximas significa que φ(x) ψ(x) 2 dx < ǫ. Este espaço vetorial tem dimensão infinita. 2) Seja A um retângulo finito em R n, ou seja, A = [c 1, d 1 ] [c 2, d 2 ]... [c n, d n ]. Então consideraremos o espaço vetorial complexo H = L 2 C (A)(dx), onde dx é a medida de Lebesgue em A, e para φ : A C, e ψ : A C, tais que, A φ 2 (x)dx <, A ψ 2 (x)dx <, nós definimos < φ, ψ >= A φ(x) ψ(x) dx. Neste caso φ = A φ(x) 2 dx. Este espaço também é de Hilbert e tem dimensão infinita. 3) Seja M uma variedade diferenciável de dimensão n e uma forma volume dx (ver [136] ou [128] para definição e propriedades). Denote também por dx sua extensão a uma medida de Lebesgue em M. Então consideraremos H = L 2 C (M)(dx). Para φ : M C, e ψ : M C, tais que, M φ 2 (x)dx <, M ψ 2 (x)dx <, nós definimos < φ, ψ >= M φ(x) ψ(x) dx. Neste caso φ = M φ(x) 2 dx. Um caso particularmente interessante é o toro de dimensão n que pode ser descrito por [0, 2 π) n R n onde os pontos da fronteira são

12 page 6 6 Alguns pré-requisitos Cap. 0 identificados da forma usual. Neste caso, se toma dx como a medida usual de Lebesgue em [0, 2 π) n R n (algumas vezes dividida por (2π) n para ser normalizada). Por exemplo, o círculo S 1 será identificado com [0, 2 π). Note que para λ C, and, φ, ψ L 2 C (Rn )(dx), vale < λ φ, ψ > = λ < φ, ψ > e < φ, λ ψ > = λ < φ, ψ >. Observação: Se para v 1, v 2 fixos, vale que para todo v < v 1, v > = < v 2, v >, ou, de forma equivalente se vale que < v 1 v 2, v > = 0, então v 1 = v 2. De fato, tome v = v 1 v 2, e então, se v 1 v 2 0, temos contradição (porque < v, v >= 0, se e só se, v = 0). Uma função L : H 1 H 2 é linear se para qualquer α 1, α 2 C e v 1, v 2 H 1, vale L(α 1 v 1 + α 2 v 2 ) = α 1 L(v 1 ) + α 2 L(v 2 ). Dados dois espaços de Hilbert complexos H 1 e H 2, uma função linear L : H 1 H 2, é denominado de Operador Linear. Dados dois operadores lineares L 1 : H 1 H 2, e L 2 : H 2 H 3, fica bem definida a composta L = L 2 L 1, onde L : H 1 H 3. Note que L também é linear. As vezes se escreve L 2 L 1 para representar L 2 L 1. Note que nem sempre L 2 L 1 = L 1 L 2, mesmo quando H 1 = H 2 = H 3. O operador indentidade I : H H é aquele que para cada x H temos que I(x) = x. Note que para qualquer operador linear A : H H vale que A I = A = IA.

13 page 7 Alguns pré-requisitos 7 Dado L : H H, e n > 0, temos que L n : H H denota a composição de L consigo mesmo n vezes. Note que L n L m = L n+m. De forma consistente com esta propriedade denotamos L 0 = I. Dado o operador linear L : H 1 H 2, dizemos que o operador linear G : H 2 H 1, é o inverso de L se G L = I = L G. De forma um pouco mais precisa: G L = I 1 onde I 1 é o operador identidade em H 1, e L G = I 2 onde I 2 é o operador identidade em H 2. O operador inverso de L é denotado por L 1. Se L tem inversa dizemos que ele é inversível. A composta de operadores inversíveis é inversível. Mais exatamente, neste caso (A B) 1 = B 1 A 1. Dado o operador linear L : H 1 H 2 o núcleo de L é o conjunto dos v H 1 tais que L(v) = 0. O operador L é injetivo se e só se o núcleo de L é só o vetor 0. A imagem de L : H 1 H 2 é o conjunto dos vetores da forma L(v) H 2 quando v varia em todo domínio H 1. Dizemos que L é sobrejetivo se a imagem de L é todo H 2. L tem inversa se e só se L é injetivo e sobrejetivo. Vamos considerar abaixo dois espaços de Hilbert H 1 e H 2, com os respectivos produtos internos <, > 1 e <, > 2, e as respectivas normas 1 e 2. Note que segue da última observação acima que se dois operadores lineares L 1 : H 1 H 2, e L 2 : H 1 H 2, forem tais que, para todo v 1 H 1, v 2 H 2 vale < L 1 (v 1 ), v 2 > = < L 2 (v 1 ), v 2 >, então L 1 = L 2. De fato, para cada v 1 fixo, aplique o resultado acima para todos os v 2 possíveis. Segue que L 1 (v 1 ) = L 2 (v 1 ). Definição 0.3. O operador linear L : H 1 H 2 é dito limitado (ou, continuo) se L(v) 2 sup <. v 0 v 1 Denominamos de B(H 1, H 2 ) o espaço vetorial dos Operadores Lineares limitados de H 1 em H 2. Ainda, B(H) denota os Operadores Lineares limitados de H em H.

14 page 8 8 Alguns pré-requisitos Cap. 0 Denotamos por L(H 1, H 2 ) o espaço vetorial complexo de todos os operadores lineares de H 1 para H 2. Em dimensão infinita, nem sempre um operador linear é uma função continua (usando as normas correspondentes). L(v) Definição 0.4. O valor sup 2 v 0 v 1 é denotado por L e é chamado de norma do operador L em B(H 1, H 2 ). Um fato importante é que B(H 1, H 2 ) munido desta norma de operadores é um espaço completo [186]. Note que para todo L B(H) vale que L n L n. Segue disto que todo operador limitado é contínuo. A composta de operadores limitados é um operador limitado. Finalmente, H denota o conjunto dos operadores lineares limitados L : H C. Para cada L H existe um único u H, tal que para todo v H, vale L(v) =< v, u > (ver Theorem 4.12 in [190] ou [192]). Definição 0.5. Dado L B(H 1, H 2 ) existe um único operador L B(H 2, H 1 ) tal que para qualquer u H 2, v H 1 vale < L(v), u > 2 = < v, L (u) > 1. O operador L existe pelo parágrafo anterior e é denominado de adjunto de L. Segue da definição que se A, B B(H 1, H 2 ), então (A + B) = A + B. Note ainda que se A, B B(H 1, H 1 ), então (AB) = B A. Seja (a + bi) matriz um por um, que age em C. Então, (a + bi) = (a bi). Ainda, ( (a + b i)a ) = (a b i) A. Pode-se mostrar que a igualdade L = L vale para operadores limitados (use a desigualdade de Cauchy-Schwartz para < v, L L (v) > e o fato que L L L L ). Assim, L 1 L 2 = L 1 L 2. Portanto a função L L é contínua quando restrita ao operadores limitados (e usando a norma de operadores). Dado um subespaço linear fechado M de H denominamos de M, o conjunto dos vetores v de H, tal que, para todo u em M vale que < u, v >= 0.

15 page 9 Alguns pré-requisitos 9 Todo v H pode ser escrito de maneira única como v = u 1 + u 2, onde u 1 M e u 2 M. Podemos definir P M (v) = u 1. Isto define um operador limitado com norma 1 que é denominado a projeção ortogonal de v sobre M. Note que PM 2 = P M P M = P M. Ainda, vale que PM = P M. Um operador P que satisfaz P 2 = P é chamado de operador projeção. Definição 0.6. Um operador P em B(H) que satisfaz P 2 = P P = P e P = P é denominado genericamente de operador de projeção ortogonal. Pode se mostrar que dado tal P existe M subespaço linear fechado tal que P = P M. Exemplo 0.1. Dado λ R, considere o operador P λ : L 2 (R)(dx) L 2 (R)(dx), tal que para ψ L 2 (R)(dx), temos que P λ (ψ) = I (,λ) ϕ, onde, I (,λ) é o indicador do intervalo (, λ). É fácil ver que P λ é um operador de projeção ortogonal. Definição 0.7. Um operador L em B(H) é dito autoadjunto se L = L. Também é usual a nomenclatura operador Hermitiano (estamos considerando no texto espaços vetoriais sobre o corpo dos complexos) A soma de operadores autoadjuntos é autoadjunto. A composição de operadores autoadjuntos nao é autoadjunto. Isto é valido somente se os operadores comutam. Se L é autoadjunto e β é real, então, β L é autoadjunto. Definição 0.8. Um operador U em B(H) é dito unitário se ele satisfaz U U = I = U U. Sendo assim U é inversível e U 1 = U. Note que se U é unitário, então, para todo v H, vale que v = U(v). De fato, v 2 = < v, v > = < I(v), v > = < (U U) (v), v > = < U(v), U(v) > = U(v) 2. A composição de operadores unitários é unitário. Se U é unitário e β C tem norma 1, então, β U é unitário. Definição 0.9. Dado um operador L : H H, dizemos que λ C é autovalor se existe v 0, v H, tal que, L(v) = λ v. Neste caso dizemos que v é autovetor associada ao autovalor λ.

16 page Alguns pré-requisitos Cap. 0 A multiplicidade de um autovalor é a dimensão do espaço vetorial dos autovetores associados a este autovalor. Exemplo 0.2. Suponha que H = C 2. A matriz ( 1 1 i 2 i 1 é unitaria. Seus autovalores e autovetores são 2 (1 i), com autovetor ( 1, 1) 2 2 (1 + i), com autovetor (1, 1) 2 Num certo sentido, como veremos mais tarde, os operadores lineares auto-adjuntos correspondem aos números reais e os unitários aos números complexos de norma 1. Definição Chamamos de espectro de L : H H, o conjunto σ(l) = {λ C tais que (L λ I) não tem inversa em B(H)}. Um autovalor λ está sempre no espectro (o núcleo de (L λ I) não é so o vetor 0). Algumas vezes λ está no espectro porque (L λ I) não tem inversa; algumas vezes λ está no espectro porque (L λ I) tem inversa mas (L λ I) 1 não é um operador limitado. Dizemos que o autovalor é isolado se existe um intervalo aberto que o contem que não possui outros elementos do espectro. Se H tem dimensão finita o espectro são apenas os autovalores e todos são isolados (um autovalor pode não ter multiplicidade um é claro). Definição O conjunto dos autovalores de L que são isolados do espectro e de multiplicidade finita é denominado de espectro pontual de L e denotado por σ p (L). No caso em que H = L 2 C (Rn )(dx) o autovetor é chamado de autofunção. Seja o espaço de Hilbert complexo H = L 2 C ([0, 2π])(dx) e L o operador tal que para uma ψ : [0, 2π] C temos L(ψ) = φ, onde φ(x) = )

17 page 11 Alguns pré-requisitos 11 d 2 ψ(x) dx. Mais precisamente, se ψ(x) = a(x)+i b(x), temos que L(ψ)(x) = 2 d 2 a(x) + i d2 b(x). Este operador L não está definido para todo ψ em dx 2 dx 2 L 2 C ([0, 2π])(dx), mas apenas para as funções ψ que são duas vezes diferenciáveis (e a segunda derivada está em L 2 C ([0, 2π])(dx)). O conjunto de tais funções define um conjunto denso em L 2 C ([0, 2π])(dx). É usual na teoria, como veremos, que os operadores mais importantes estão definidos num domínio denso no espaço de Hilbert. Para um n Z fixo tome ψ n (x) = e i n x = cos(n x) + i sin(n x). É fácil ver que L(ψ n ) = n 2 ψ n. Assim, cada ψ n é uma autofunção para L. Observe que os ψ n, n Z, definem os elementos em que se expressa a Série de Fourier na sua forma complexa (ver [28] ou [206]). O autovalor n 2 tem multiplicidade (complexa) igual a 2. Outro exemplo: seja o espaço de Hilbert real H = L 2 R ([0, 2π])(dx) e L o operador tal que para uma ψ : [0, 2π] R temos L(ψ) = φ, onde φ(x) = d2 ψ(x). Observe que para cada n N fixo temos que dx 2 L(cos(n x)) = n 2 cos(n x). Ainda, L(sin(n x)) = n 2 sin(n x). Note, neste caso, que uma função qualquer φ em L 2 R ([0, 2π])(dx) pode ser expressa em Série de Fourier na sua forma real (em função de seno e coseno) conforme [28] ou [206]. O autovalor n 2, n 1, tem multiplicidade (real) igual a 2. Se pode escrever qualquer φ : [0, 2π) C que esteja no espaço L 2 na forma onde α n C. φ = n Z α n e i n x = lim n=n N n= N α n e i n x. É claro que σ p (L) σ(l) pois, se λ σ p (L), então (L λ I) não tem inversa. Definição Os elementos do espectro que não fazem parte do espectro pontual constituem o que se denomina espectro contínuo. Definição O complemento do espectro é chamado de resolvente e denotado por ρ(l). Para todo λ no resolvente temos que (L λ I) 1 B(H). Referimos o leitor a seção 4 em [10] ou cap. 2 em [40] para mais detalhes sobre os tópicos acima. Estes conceitos serão considerados mais tarde para operadores L não limitados.

18 page Alguns pré-requisitos Cap. 0 Se L é autoadjunto então os autovalores λ de L são reais. De fato, note que se L(v) = λv, deduzimos que e < L(v), v > = < λ v, v > = λ v 2, < L(v), v > = < L (v), (v) > = < v, L(v) > = < v, λ v > = λ v 2. O Teorema Espectral no caso de dimensão finita (ver [133]) afirma o seguinte: se L : C n C n é autoadjunto, então existem n vetores v 1, v 2,..., v n C n, e valores reais λ 1, λ 2,..., λ n, tais que L(v j ) = λ j v j, j = 1, 2,..., n. Ainda, v 1, v 2,..., v n geram C n. Além disso, < v j, v k > = 0, para j k. Existem versões deste teorema para operadores autoadjuntos em espaços de Hilbert de dimensão infinita (ver [186]). Na seção 2.1 este resultado desempenha um papel fundamental. Se U é unitário então os autovalores λ de U são números complexos de norma igual a 1. De fato, note que se U(v) = λv, para v 0, então v 2 = < v, v > = < U U(v), v > = < U(v), U(v) > = < λ v, λv > = λ λ v 2 = λ 2 v 2. Uma versão do Teorema Espectral é válido para operadores unitários (ver [133] para o caso de dimensão finita). Note que para um operador auto-adjunto os autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais. De fato, suponha que L(v 1 ) = λ 1 v 1 e L(v 2 ) = λ 2 v 2, então como os autovalores são reais (λ 1 λ 2 ) < v 1, v 2 > = < λ 1 v 1, v 2 > < v 1, λ 2 v 2 > = < L(v 1 ), v 2 > < v 1, L(v 2 ) > = < L(v 1 ), v 2 > < L(v 1 ), v 2 > = 0. Assim, se λ 1 λ 2, então, < v 1, v 2 > = 0. Os operadores unitários e auto-adjuntos desempenham um papel importantíssimo na Mecânica Quântica. Vamos precisar em breve de um conceito um pouco mais geral do que o de auto-adjunto.

19 page 13 Alguns pré-requisitos 13 Definição Dizemos que um operador A em L(H 1, H 2 ) é compacto se ele leva conjuntos limitados contidos em H 1 em conjuntos cujo fecho é compacto em H 2. O conjunto dos operadores compactos é denotado por C(H 1, H 2 ). O teorema fundamental para os operadores autoadjuntos compactos, ou seja, L C(H) (ver [103] cap III.3 ou Theorem 4.22 in [45]) ou [167] [168] [120], [219] [40] [186] afirma que existe um conjunto enumerável de autovetores ψ n, n N, associadas a autovalores λ n R, dois a dois ortogonais, tais que para qualquer ψ em H existem α n C, n N, tais que n ψ = lim α j ψ j. n j=0 O complemento do Kernel do operador compacto L C(H) é constituido por um número finito de autofunções ortogonais ψ j, ou então o conjunto dos infinitos autovalores λ j, j N, se acumula em 0. Acima utilizamos no limite, é claro, a convergência na norma do espaço de Hilbert. Pode se assumir que < ψ n, ψ n > = 1 para todo n. Neste caso, dizemos que os ψ n, n N, formam um conjunto ortonormal enumerável completo de autovetores de L. No caso em que H é o espaço vetorial complexo L 2 C (Rn )(dx) diremos que os ψ n, n N formam um conjunto ortonormal enumerável completo de autofunções de L. Infelizmente, os operadores naturais na Mecânica Quântica são diferenciáveis (ver a próxima seção 1.1) e não são compactos. Mas em muitos casos o inverso G (a direita) deste operador é compacto (ver [103]). Assim, se pode obter para cada autovalor β n 0 do operador compacto G obtido acima que seu inverso βn 1 = λ n, n N, é autovalor do operador diferenciável em análise. A autofunção ψ n, n N, (associada a β n ) do operador compacto será também autofunção (associada a λ n = βn 1 ) do operador diferenciável. Referimos o leitor ao cap IV de [103] ou [209] ou [45] para maiores detalhes sobre estas considerações. Observação: Nem sempre os operadores autoadjuntos que iremos considerar possuem um conjunto orthonormal completo enumerável. O espectro, em geral, não precisa ser constituído só de autovalores e pode ser um conjunto não enumerável. Em alguns casos o operador pode até não possuir autovalores. Um resultado importante que iremos utilizar

20 page Alguns pré-requisitos Cap. 0 mais tarde se chama o Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos não-limitados. Voltando ao caso que mencionávamos antes, em que existe um conjunto ortonormal enumerável completo de autovetores de L, podemos considerar também a expressão ψ = lim n n j=0 < ψ, ψ j > ψ j. Disto vai seguir que (se L é uma função contínua) L(ψ) = L( lim lim n j=0 n n j=0 n α j ψ j ) = lim L( α j ψ j ) n j=0 n α j λ j ψ j, onde α j = < ψ, ψ j > Desta forma a ação de L num vetor qualquer tem uma forma muito simples de ser calculada. Usaremos, para simplificar a notação, expressões do tipo L( α j ψ j ) = α j λ j ψ j, j=0 para descrever a passagem dos limites acima. Note o seguinte fato extremamente importante: dado ψ, ele pode ser escrito como j=0 α n ψ n, onde α n C. Os ψ n, n N, associados aos λ n são dois a dois ortogonais, assim, se pode mostrar que j=0 j=0 < L(ψ), ψ > = < L( α j ψ j ), α j ψ j > = < α j λ n ψ j, α j ψ j > = j=0 j=0 j=0 j=0 λ j α j α j = j=0 λ j α j 2 R. Ou seja, se L é autoadjunto, então < L(ψ), ψ > R para qualquer ψ. Podemos mostrar isto de outra forma: se L é autoadjunto < L(ψ), ψ > = < ψ, L(ψ) > = < L(ψ), ψ >.

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