The Image Foresting Transform (IFT)
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- Vagner Affonso de Figueiredo
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1 The Image Foresting Transform (IFT) Paulo A. V. de Miranda Laboratório de Informática Visual (LIV), Instituto de Computação (IC), Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) P.A.V. Miranda, aula 3 p.
2 Motivação Unificação: Vários operadores de imagem são derivados de um algoritmo geral. Isto favorece implementações baseadas em hardware [], compreender a relação entre alguns operadores de imagem [, 3, 4, ], e possíveis extensões [6, 7,,,, ]. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
![Isto favorece implementações baseadas em hardware [], compreender a](/docs-images/44/418406/images/page_2.jpg "relação entre alguns operadores de imagem [, 3, 4, ], e possíveis")
3 Motivação Eficiência: A maioria dos operadores de imagem podem ser implementados em tempo linear e otimizações adicionais são possíveis com cálculo diferencial [] e paralelo [3], e para algumas aplicações específicas [4,, 6, 7]. P.A.V. Miranda, aula 3 p. 3
![possíveis com cálculo diferencial [] e paralelo [3], e para](/docs-images/44/418406/images/page_3.jpg "algumas aplicações específicas [4,, 6, 7]. P.A.V.")
4 Motivação Eficiência: A maioria dos operadores de imagem podem ser implementados em tempo linear e otimizações adicionais são possíveis com cálculo diferencial [] e paralelo [3], e para algumas aplicações específicas [4,, 6, 7]. Simplicidade: Os operadores de imagem são reduzidos a escolha de poucos parâmetros no algoritmo da IFT e um processamento local de sua saída. P.A.V. Miranda, aula 3 p. 3
![aplicações específicas [4,, 6, 7].](/docs-images/44/418406/images/page_4.jpg "Simplicidade: Os operadores de imagem são reduzidos a escolha de poucos parâmetros no algoritmo da")
5 Quais problemas podem ser resolvidos? Problemas que estão direta ou indiretamente relacionados a um problema de partição ótima da imagem. Transformadas de distância e operadores relacionados: Euclidean distance transform [], multiscale skeletonization [], fractal dimensions [6], shape filtering [4, ], shape saliences [6,, ], shape description [, ], tensor scale computation [], geodesic paths, etc. P.A.V. Miranda, aula 3 p. 4
![Transformadas de distância e operadores relacionados: Euclidean distance transform [], multiscale](/docs-images/44/418406/images/page_5.jpg "skeletonization [], fractal dimensions [6], shape filtering [4, ], shape saliences [6,, ], shape")
6 Quais problemas podem ser resolvidos? Filtragem e segmentação de imagens: Morphological reconstructions [] and image segmentation based on watershed transforms [3,,,, 3, 4], live wire [, ], tree pruning [7, 6, 7], graph-cut measures [], and fuzzy-connected components [, 6]. Reconhecimento de padrões: Data clustering [, 4, ] and supervised pattern classification [, ]. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
![on watershed transforms [3,,,, 3, 4], live wire [, ], tree pruning [7, 6, 7], graph-cut measures](/docs-images/44/418406/images/page_6.jpg "[], and fuzzy-connected components [, 6].")
7 Imagem como um grafo A imagem é interpretada como um grafo cujos nós são os pixels e os arcos são definidos por uma relação de adjacência A : (s,t) A se t s d i. Adjacências euclidianas. (a) D de raio d i = (vizinhos-4), (b) raio d i = (vizinhos-), (c) raio d i =. P.A.V. Miranda, aula 3 p. 6
8 Imagem como um grafo Ao Ao Asource As At As At Ab Asink Ab (a) Grafo vizinhos-4 de uma imagem D. (b) Um grafo estendido por dois nós terminais (fonte e destino). P.A.V. Miranda, aula 3 p. 7
9 Caminhos no grafo r s t P(t) t R(t) πt r π s (a) (b) (c) Um caminho π t = t,t,...,t é uma seqüência de nós adjacentes, com término em algum nó t. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
10 Caminhos no grafo r s t P(t) t R(t) πt r π s (a) (b) (c) Um caminho π t = t,t,...,t é uma seqüência de nós adjacentes, com término em algum nó t. O predecessor P(s) de cada nó s π t leva a um nó raiz R(t) e P(R(t)) = nil. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
11 Caminhos no grafo r s t P(t) t R(t) πt r π s (a) (b) (c) Um caminho π t = t,t,...,t é uma seqüência de nós adjacentes, com término em algum nó t. O predecessor P(s) de cada nó s π t leva a um nó raiz R(t) e P(R(t)) = nil. Um caminho π t é trivial quando π t = t (i.e., P(t) = nil). P.A.V. Miranda, aula 3 p.
12 Caminhos no grafo r s t P(t) t R(t) πt r π s (a) (b) (c) Um caminho π t = t,t,...,t é uma seqüência de nós adjacentes, com término em algum nó t. O predecessor P(s) de cada nó s π t leva a um nó raiz R(t) e P(R(t)) = nil. Um caminho π t é trivial quando π t = t (i.e., P(t) = nil). Usamos π s s,t para indicar a extensão de um caminho π s por um arco (s,t) A. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
13 Caminho Ótimo Uma função de caminho f(π t ) atribui um valor para qualquer caminho π t. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
14 Caminho Ótimo Uma função de caminho f(π t ) atribui um valor para qualquer caminho π t. Um caminho π t é ótimo se f(π t ) f(τ t ) para qualquer outro τ t, independentemente de sua raiz. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
15 Caminho Ótimo Uma função de caminho f(π t ) atribui um valor para qualquer caminho π t. Um caminho π t é ótimo se f(π t ) f(τ t ) para qualquer outro τ t, independentemente de sua raiz. A definição dual f(π t ) f(τ t ) também é válida. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
16 Caminho Ótimo Uma função de caminho f(π t ) atribui um valor para qualquer caminho π t. Um caminho π t é ótimo se f(π t ) f(τ t ) para qualquer outro τ t, independentemente de sua raiz. A definição dual f(π t ) f(τ t ) também é válida. Uma floresta de caminhos ótimos é uma floresta de espalhamento onde todos os caminhos são ótimos. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
17 Funções de conectividade As funções de conectividade são especificadas por uma regra de inicialização e uma regra de extensão de caminho. f max ( t ) = H(t) f max (π s s,t ) = max{f max (π s ),w(s,t)} () f min ( t ) = H(t) f min (π s s,t ) = min{f min (π s ),w(s,t)} () f sum ( t ) = H(t) f sum (π s s,t ) = f sum (π s ) + w(s,t) (3) { if t S f euc ( t ) = + otherwise f euc (π s s,t ) = t R(s) (4) P.A.V. Miranda, aula 3 p.
18 Algoritmo da IFT Algorithm GENERAL IFT ALGORITHM INPUT: Image Î = (I, I), adjacency A, and path-value function f. OUTPUT: Optimum-path forest P and the minimum path-value map V. AUXILIARY: Priority queue Q and variable tmp.. For each t I, do P(t) nil and V (t) f( t ). If V (t) +, then insert t in Q.. While Q, do 3. Remove s from Q such that V (s) is minimum. 4. For each t A(s), such that V (t) > V (s), do. Compute tmp f(π s s, t ). 6. If tmp < V (t), then 7. If V (t) +, then remove t from Q.. Set P(t) s, V (t) tmp and insert t in Q. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
19 P.A.V. Miranda, aula 3 p.
20 após iteração. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
21 após iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
22 após 3 iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
23 após 4 iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
24 após iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
25 após 6 iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
26 após 7 iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
27 após iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
28 após iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
29 após iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
30 após iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
31 após iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
32 após 3 iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
33 após 4 iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
34 após iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
35 após 6 iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
36 após 7 iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
37 após iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
38 após iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
39 após iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
40 após iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
41 após iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
42 após 3 iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
43 após 4 iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
44 após iterações. P.A.V. Miranda, aula 3 p.
45 Resolvendo empates O que fazer quando um pixel é alcançado por dois ou mais caminhos de mesmo custo? Exemplos de tie-breaking. (a) Política FIFO. (b) Política LIFO. (c) Política FIFO com adjacência vizinhos-. P.A.V. Miranda, aula 3 p. 3
46 Estrutura da fila de prioridade t K K t 4 t 4 t t 6 K K t t t 3 t t 6 t t 3 (a) Estrutura de Dial para a fila Q. (b) Estrutura proposta em []. P.A.V. Miranda, aula 3 p. 4
47 References [] F. Cappabianco, G. Araújo, and A.X. Falcão, The image foresting transform architecture, in IEEE Intl. Conf. on Field Programmable Technology (ICFPT), Kokurakita, Kitakyushu, Japan, Dec 7, pp [] A.X. Falcão, B. S. da Cunha, and R. A. Lotufo, Design of connected operators using the image foresting transform, in SPIE on Medical Imaging, Feb, vol. 43, pp [3] R.A. Lotufo, A.X. Falcão, and F. Zampirolli, IFT-Watershed from gray-scale marker, in XV Brazilian Symp. on Computer Graphics and Image Processing (SIBGRAPI). Oct, pp. 46, IEEE. [4] R. Audigier and R.A. Lotufo, Seed-relative segmentation robustness of watershed and fuzzy connectedness approaches, in XX Brazilian Symposium on Computer Graphics and Image Processing (SIBGRAPI), Belo Horizonte, MG, Oct 7, pp. 6 6, IEEE. [] R. Audigier and R.A. Lotufo, Watershed by image foresting transform, tie-zone, and theoretical relationship with other watershed definitions, in Mathematical Morphology and its Applications to Signal and Image Processing (ISMM), Rio de Janeiro, RJ, Oct 7, pp. 77, MCT/INPE. [6] R.S. Torres, A.X. Falcão, and L.F. Costa, A graph-based approach for multiscale shape analysis, Pattern Recognition, vol. 37, no. 6, pp , 4. 4-
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49 [3] F.P.G. Bergo and A.X. Falcão, A partitioned algorithm for the image foresting transform, in Mathematical Morphology and its Applications to Signal and Image Processing (ISMM), Rio de Janeiro, RJ, Oct 7, pp , MCT/INPE. [4] I. Ragnemalm, Fast erosion and dilation by contour processing and thresholding of distance maps, Pattern Recognition Letters, vol. 3, pp. 6 66, Mar. [] A.X. Falcão, J.K. Udupa, and F.K. Miyazawa, An ultra-fast user-steered image segmentation paradigm: Live-wire-on-thefly, IEEE Trans. on Medical Imaging, vol., no., pp. 6, Jan. [6] L.G. Nyúl, A.X. Falcão, and J.K. Udupa, Fuzzy-connected 3D image segmentation at interactive speeds, Graphical Models, vol. 64, no., pp., 3. [7] R. Audigier, R.A. Lotufo, and A.X. Falcão, 3D visualization to assist iterative object definition from medical images, Computerized Medical Imaging and Graphics, vol. 3, no. 4, pp. 7 3, Jun 6. [] A.X. Falcão, L.F. Costa, and B.S. da Cunha, Multiscale skeletons by image foresting transform and its applications to neuromorphometry, Pattern Recognition, vol. 3, no. 7, pp. 7, Apr. [] R.S. Torres and A.X. Falcão, Contour salience descriptors for effective image retrieval and analysis, Image and Vision Computing, vol., no., pp. 3 3, Jan
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51 the watershed transform for automatic image segmentation, in XIX Brazilian Symp. on Computer Graphics and Image Processing (SIBGRAPI). Oct 6, pp , IEEE. [7] A. X. Falcão, F. P. G. Bergo, and P. A. V. Miranda, Image segmentation by tree pruning, in XVII Brazilian Symp. on Computer Graphics and Image Processing (SIBGRAPI). Oct 4, pp. 6 7, IEEE. [] L.M. Rocha, A.X. Falcão, and L. Meloni, Data clustering based on optimum-path forest and probability density function, Tech. Rep. IC-7-3, State University of Campinas, Institute of Computing, 7. [] J.A. Montoya-Zegarra, J.P. Papa, N.J. Leite, R.S. Torres, and A.X. Falcão, Learning how to extract rotation-invariant and scaleinvariant features from texture images, EURASIP Journal on Advances in Signal,, to appear. 4-
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