Cálculo do VAR Através de Simulação Monte Carlo: Uma Avaliação de Uso de Métodos Amostrais Mais Eficientes

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1 Cálculo do VAR Através de Simulação Monte Carlo: Uma Avaliação de Uso de Métodos Amostrais Mais Eficientes Autoria: Eduardo Saliby e Marcos Moura Silva Araújo Resumo O VAR (Value At Risk) transformou-se em uma importante ferramenta na área de gerenciamento de riscos. Dentre as várias formas de cálculo do VAR, a simulação de Monte Carlo é tida como um dos métodos mais robustos, já que vários aspectos relacionados aos mercados financeiros podem ser modelados com maior realismo. Entretanto, para se obter medidas confiáveis, é necessário realizar um número muito grande de simulações, o que pode inviabilizar o seu uso caso não se disponha de computadores e softwares sofisticados. Com o objetivo de aumentar a precisão do método de simulação, foram desenvolvidas novas técnicas de amostragem visando um melhor controle do processo de geração dos valores aleatórios e, conseqüentemente, uma redução do esforço computacional envolvido. O presente trabalho apresenta resultados referentes ao uso de uma destas técnicas, a Amostragem Descritiva, na obtenção da medida do VAR através da simulação de Monte Carlo. Palavras-chave: VAR, Risco, Simulação 1. INTRODUÇÃO O VAR (value-at-risk) é uma medida de risco financeiro, definida como a perda máxima em valor que uma carteira de ativos (portfolio) pode atingir, dadas suas posições em aberto, em um determinado horizonte de tempo e com um nível de confiança pré-estabelecido. Sendo P o valor do portfolio atual, seus possíveis valores futuros P F, para um período de tempo pré-definido, são descritos por uma distribuição de probabilidades. O VAR é definido como a diferença entre P e um particular percentil (5% ou 1%) da distribuição de valores futuros P F. São 3 (três) as principais metodologias para cálculo do VAR i : ii 1. Método Histórico - verifica-se as variações ocorridas nos fatores de mercado em período histórico definido e aplica-se essas variações no portfolio atual levando em consideração o horizonte de tempo escolhido.. Métodos por Simulação de Monte Carlo - ao invés de verificar as variações ocorridas nos fatores de mercado em período histórico, define-se as distribuições e seus respectivos parâmetros para as variações dos fatores de mercado. Define-se, também, a correlação existente entre esses fatores, normalmente tirada de dados históricos. Em seguida, simulam-se várias observações das possíveis variações dos fatores de mercado, verificando seus impactos no valor do portfolio atual. 3. Métodos Analíticos - utiliza métodos estatísticos padronizados para calcular as variações no valor do portfolio atual. Para isso, necessita considerar várias premissas para os fatores de mercado. Os parâmetros dos modelos são retirados de dados históricos. Todas as metodologias têm vantagens e desvantagens e seus usos são indicados, principalmente, em função dos ativos que compõem o portfolio. Os métodos analíticos são de fácil implementação e o seu cálculo é bem rápido. Porém, os resultados são bastante imprecisos caso o portfolio contenha quantidades significativas de ativos não lineares, como por exemplo, opções. Assim, costuma-se não recomendar o uso desse método nesse tipo de 1

2 portfolio. O método histórico necessita de modelos de precificação para certos instrumentos financeiros, tornando sua implementação e cálculo um pouco mais difícil. Porém, é mais preciso nos resultados mesmo utilizando ativos não lineares como derivativos. Entre suas principais desvantagens está a premissa de que o comportamento dos fatores de mercado irá se repetir no futuro da mesma forma que no período histórico considerado. Além disso, não permite a realização de análises de sensibilidade. Os métodos por simulação de Monte Carlo não se prendem tão fortemente à premissa acima de que o comportamento futuro irá repetir o passado, são precisos iii e permitem a realização de análises de sensibilidade. Porém, seus cálculos são mais lentos já que necessitam simular milhares de observações até chegar aos resultados. Por serem métodos computacionalmente intensivos, suas implementações são mais difíceis e caras. Além disso, pode-se usar modelos estocásticos para prever o comportamento dos fatores de mercado, tornando sua implementação ainda mais difícil. Apesar disso, os métodos por simulação de Monte Carlo são considerados os mais robustos e os mais poderosos para o cálculo do value-at-risk, pois contemplam uma grande iv variedade de riscos financeiros. Todas as variáveis dos modelos podem ser tratadas como probabilísticas caso isto venha a ser de interesse. O objetivo desse trabalho é o de avaliar as consequências do uso de métodos de amostragem mais controlados para o cálculo do VAR por Simulação de Monte Carlo. Para isso, comparou-se o uso da abordagem padrão, a amostragem aleatória simples, com o da amostragem descritiva v.. A AMOSTRAGEM DESCRITIVA A amostragem aleatória simples (AAS), método tradicionalmente utilizado em simulação, conduz a estimativas pouco precisas. Como alternativa, sugere-se utilizar métodos amostrais mais controlados, como é o caso de muitas das técnicas de redução de variância, como o método das variáveis antitéticas e o uso de common ramdom numbers vi. A quase totalidade das técnicas de redução de variância propõem um controle do processo de amostragem entre diferentes corridas de simulação, sem interferir porém neste processo dentro de uma mesma corrida. Já a amostragem descritiva propõe um maior controle do processo de amostragem, exercendo tal controle dentro da própria corrida. Do ponto de vista operacional, a diferença entre o uso da amostragem aleatória simples e o da amostragem descritiva reside no processo de seleção dos valores amostrais. Em ambos os casos, a seqüência de valores é aleatória. Para a utilização da amostragem descritiva deve-se, inicialmente, definir o tamanho da amostra de entrada. Feito isso, tem-se as seguintes etapas: 1. Geração dos conjuntos dos valores descritivos.. Geração de uma permutação aleatória. Para gerar o conjunto dos valores descritivos, faz-se uso da expressão: 1 xd i = F [( i 0.5) / n], i = 1,.., n onde, xd i = valor que compõe a amostra descritiva. n = tamanho da amostra. 1 F = inversa da função de distribuição acumulada.

3 3. CALCULANDO O VAR ATRAVÉS DA SIMULAÇÃO POR MONTE CARLO A metodologia básica do cálculo do VAR por simulação de Monte Carlo envolve os seguintes passos: 1. Estimar as volatilidades e correlações para os ativos que compõem o portfolio e os fatores que influenciam seu valor.. Utilizar um modelo estocástico para simular os possíveis preços futuros de cada ativo ou fator de risco do portfolio. 3. Havendo derivativos no portfolio, utilizar um modelo de precificação para avaliar seus preços em função das variações nos ativos-objetos. 4. Computar o valor do portfolio para o cenário gerado. 5. Repetir os passos a 4 até se obter um amostra suficientemente grande para que se possa gerar a distribuição do valor do portfolio. A partir dessa distribuição, mede-se o percentil referente ao nível de confiança (NC) que se deseja calcular o VAR. Por exemplo: se o NC desejado é de 95%, calcula-se o percentil 5% (1-95%). O VAR será, finalmente, o valor encontrado menos o valor atual do portfolio. 3.1 Experimento 1: Dois ativos não correlacionados Esse experimento calcula o VAR por Simulação de Monte Carlo em um portfolio com ativos não correlacionados (denominados Ativo A e Ativo B) e avalia a eficiência vii obtida com a utilização da técnica da Amostragem Descritiva em relação à Amostragem Aleatória Simples. O VAR será calculado com nível de confiança de 95% e holding period de 1 dia útil. Estudaremos o efeito na eficiência da variação de dois parâmetros: proporção (peso) de cada um dos ativos, volatilidade de cada ativo. O modelo estocástico utilizado para geração de preços futuros será o Geometric Brownian Motion, descrito por: σ ( µ ) T + σ T Z PT = P0 e onde: P T : preço futuro do ativo no instante T. P 0 : preço do ativo no instante 0. T: intervalo de tempo (Holding Period). µ: retorno médio do ativo medido em taxa contínua. σ: desvio-padrão (volatilidade) do ativo medido em taxa contínua. Z: variável aleatória distribuída segundo uma normal padronizada. O modelo acima tem como base as seguintes premissas: 1. Os preços e os retornos dos ativos seguem uma distribuição lognormal.. A média µ e a volatilidade σ mantêm-se constantes durante o período considerado. 3. As variações logarítmicas de preço são independentes, ou seja, não há correlação entre elas. Em nosso experimento, a média µ foi fixada em zero e as volatilidades definidas de forma arbitrária, pois nosso objetivo restringiu-se em avaliar o efeito das diferentes técnicas de amostragem para portfolios com diferentes relações de volatilidades e diferentes proporções entre os ativos. 3

4 O experimento foi realizado em três etapas viii : 1. Definiu-se o ativo A com volatilidade igual a 60% aa, o ativo B com volatilidade igual a 5% aa e a correlação entre eles igual a 0 (zero). Definiu-se, também, que o portfolio teria 90 % do ativo A e 10 % do ativo B (como o portfolio possui somente dois ativos, o peso do ativo B será sempre o complemento do ativo A). Calculou-se o VAR pela AAS utilizando uma corrida de 1000 simulações. De forma a se ter uma idéia da variabilidade dessa medida, repetiu-se cada corrida 100 vezes. Calculou-se, então, a média e o desvio padrão dessas 100 medidas.. Em seguida, repetiu-se o procedimento acima com diferentes pesos para o Ativo A (80%, 70%,..., 10%). 3. Finalmente, repetiu-se as etapas 1 e variando-se a volatilidade do Ativo B para 30% e para 60% aa, mantendo-se a volatilidade do Ativo A em 60% aa e a correlação entre os ativos igual a zero. Todo este experimento foi posteriormente replicado utilizando-se a Amostragem Descritiva em lugar da Amostragem Aleatória Simples. Para a comparação dos dois métodos de amostragem, após verificar que produzem estimativas de igual média, foi calculado um índice de eficiência estatística, definido pela razão dos desvios-padrões entre a AD e AAS. Em princípio, espera-se que este índice varie entre 0 e 1; quanto mais próximo de zero for este índice, maior é o ganho de eficiência com a AD, enquanto que valores próximos de 1 indicam situações de pouco ou nenhum ganho com a AD. Para uma melhor interpretação dos resultados do experimento, apresentamos os valores obtidos para este índice de eficiência no Gráfico % 90.00% 80.00% Índice de Eficiência 70.00% 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 0.00% 10.00% 60 / 5 60 / / % 10% 0% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% Proporção do ativo A Gráfico 1 Índices de eficiência para diferentes proporções do ativo A, considerando três relações de volatilidade entre os dois ativos. O Gráfico 1 nos mostra que a eficiência da AD em relação a AAS depende da relação de volatilidades entre os ativos e da proporção de cada ativo no portfolio. Uma primeira análise do gráfico nos mostra que o ponto de melhor eficiência (menor índice!) 4

5 refere-se ao portfolio composto de 90% do ativo A, tendo este ponto 60% de volatilidade enquanto o ativo B possui 5%. Por outro lado, o portfolio com 50% do ativo A enquanto ambas as volatilidades são iguais a 60%, tem uma das menores eficiências. Para melhor entender o motivo desse comportamento, é interessante observar as características da variabilidade da medida do VAR tanto na Amostragem Descritiva quanto na AAS. O Gráfico, abaixo, apresenta os resultados de cada conjunto de 100 corridas com a AAS, tendo no eixo das abscissas a média do VAR e no eixo das ordenadas o respectivo desvio padrão. Desvio Padrão x Value at Risk DP 0,1 0,18 0,15 0,1 0,09 0,06 0,03 0,00 0,00,00 4,00 6,00 Value at Risk Gráfico Desvio padrão do VAR x Média(VAR) para cada portfolio calculado usando-se a AAS. A correlação linear da Média do VAR e o respectivo desvio padrão é de Verifica-se, pois, que a variabilidade do VAR depende apenas de sua magnitude, não sendo influenciada pelas características do portfolio: os pesos e as volatilidades dos ativos. Este resultado é previsto pela teoria estatística pois, segundo Kendall (1994), o desvio padrão de um determinado quantil para uma distribuição qualquer, usando-se AAS e no caso de grandes amostras, é dado por: 1 c(1 c) se( qˆ) = f ( q) T Onde: se(q) = desvio padrão do quantil c. f(q) = função densidade no quantil c. c = probabilidade referente ao quantil. T = tamanho da amostra. Iremos, agora, apresentar gráfico semelhante ao anterior com todos os pontos calculados pela AD para que possamos entender melhor o desvio padrão do VAR quando do uso da AD. 5

6 Desvio Padrão x Value at Risk 0.5% 0.0% Desvio Padrão 0.15% 0.10% 60/5 60/30 60/60 AAS 0.05% 0.00% 0.00% 1.00%.00% 3.00% 4.00% 5.00% 6.00% Value at Risk Gráfico 3 Desvio padrão x Média do VAR para cada portfolio calculado usando-se a AD. Também apresenta alguns dos pontos já plotados no Gráfico (AAS) para fins de comparação. Vê-se que os pontos que representam a variabilidade do VAR pela AD apresentam-se mais espalhados no gráfico, não mais variando em torno de uma reta. Neste gráfico, os pontos com desvios padrões mais baixos são aqueles em que a proporção do ativo A é extrema (10% ou 90%), independente da relação de volatilidades entre os ativos. Além disso, esses desvios têm valores similares. À medida em que se aumenta o peso dos dois ativos no portfolio, os desvios também aumentam, mantendo a similaridade entre os valores. Com isso, pode-se concluir que, dentro de uma mesma relação de volatilidades, o desvio padrão depende apenas do peso de um determinado ativo no portfolio, independentemente da volatilidade desse ativo. No caso em que o ativo A possui 60% de volatilidade e o ativo B possui 30%, o desvio padrão é o mesmo quando o peso de A igual a 90% ou 10%. Vê-se que o VAR é diferente, logicamente, pois um portfolio com 90% de um ativo com 60% de volatilidade possui mais risco do que um portfolio com 90% de um ativo com 30% de volatilidade. Esse comportamento difere da AAS onde há proporcionalidade do desvio padrão e do VAR (estimado pela respectiva média). A eficiência pode ser vista graficamente pela distância entre os pontos da AD e os pontos em círculos representando a AAS. Nos portfolios em que as relações de volatilidade são diferentes, observa-se que a eficiência será mais alta quando a proporção do ativo de maior volatilidade for a mais alta possível. Outra constatação importante a partir do gráfico é que, para uma proporção do ativo de maior volatilidade alta, por exemplo 90%, o VAR é inteiramente dominado pelo ativo A. Contudo, o desvio padrão aumenta quanto maior for a volatilidade do ativo B. Uma primeira conclusão que se pode tirar desse experimento, é que a AD se mostra mais eficiente quando a dimensionalidade é baixa, ou seja, quando há poucas variáveis influenciando o resultado final. A AD mostrou-se mais eficiente quando um determinado ativo representava 90% do portfolio e a volatilidade de um deles era bem maior que a do 6

7 outro. Esse comportamento também sugere a redução da eficiência da AD quando se aumenta a dimensionalidade do problema. Nota-se que a variabilidade do VAR é menor quando o ativo B representa apenas 10% do portfolio e possui volatilidade correspondente a 8% da volatilidade do ativo A, ou seja, sua presença é insignificante frente ao ativo A, deixando o problema com praticamente uma dimensão. Ao se aumentar a volatilidade do ativo B, deixando-a, por exemplo, igual a do ativo A, vê-se que a variabilidade do VAR aumenta bastante. 4. EXPERIMENTO : DOIS ATIVOS CORRELACIONADOS Iremos, agora, estudar a variabilidade do VAR para ambos os métodos amostrais, no caso de dois ativos correlacionados. 4.1 Geração de valores correlacionados Para se gerar valores correlacionados para os dois ativos do Portfolio de Teste, utilizou-se a decomposição dos fatores de Cholesky ix, que segue os seguintes passos: Gera-se as variáveis de forma independente. Aplica-se uma transformação a essas variáveis de forma que as novas variáveis assim criadas venham a ter a estrutura de correlação desejada. Exemplo: para gerar dois conjuntos de variáveis ε 1 e ε com correlação ρ, inicialmente gera-se conjuntos independentes η 1 e η. A partir daí, transforma-se cada par gerado através das fórmulas: ε 1 = η 1 ε = ρη 1 + (1-ρ ) 1/ η Os conjuntos ε 1 e ε possuem a correlação desejada ρ. Para se chegar à transformação necessária, os passos são os seguintes: 1. Para uma determinada estrutura de correlação desejada, define-se a matriz de covariância R. Decompõe-se essa matriz em R = P*P T, onde P é a matriz triangular baixa, ou seja, os valores acima da diagonal são iguais a zero e P T é sua matriz transposta.. Define-se um vetor η, composto de variáveis independentes e variância unitária. Esse vetor terá sua matriz de covariância igual a matriz identidade I. 3. Ao multiplicar-se a matriz P pelo vetor η, encontra-se o vetor ε (ε = P*η), o vetor transformado, cuja matriz de covariância é a matriz R. Este resultado é facilmente provado. De fato: Var(ε) = E(ε*ε T ) = E(Pηη T P T ) = PE(ηη T )P T = PIP T = PP T = R. onde Var( ) e E( ) representam a variância e o valor esperado de um vetor. Como ilustração, apresentamos a decomposição de Cholesky no caso de variáveis. Tem-se: R = 1 ρ ρ 1 a a a T P = e P a a = a 1 0 Multiplicando: 7

8 a T R = PP 1 ρ = ρ 1 a Daí, tem-se que: a 11 a a = 1 a = ρ = ρ a = a1 = ρ a a a a a a = a a a a = 1 a = 1 a a = 1 ρ 1 O vetor ε será dado por: 1 a a a1a ε η η ε = η ε = ρ ρ P η = 1 ρη + 1 ρ η Comprova-se, então, a fórmula que gera a transformação de duas variáveis independentes em variáveis correlacionadas apresentada anteriormente. O mesmo procedimento pode ser usado para se gerar qualquer número de variáveis correlacionadas. A decomposição de Cholesky realiza uma transformação das variáveis independentes causando um efeito indesejado: destrói a estratificação gerada pela amostragem descritiva. Mas é exatamente a partir desta propriedade que a AD proporciona suas vantagens! Uma solução para esse problema consiste em utilizar a série transformada pela decomposição de Cholesky para reordenar a série estratificada original. Esse método foi proposto por Iman e Conover (198) no contexto da Amostragem por HiperCubos Latinos, uma metodologia muito próxima à AD (Saliby, 1997); em lugar da correlação paramétrica (de Pearson) entre os valores amostrais ele preserva a correlação ordinal (de Spearman) entre as variáveis originais. Abaixo, descrevemos o método utilizando duas séries correlacionadas como exemplo: 1. Embaralha-se as séries estratificadas normalmente de forma a termos as duas séries independentes.. Aplica-se a decomposição de Cholesky às séries. Conforme vemos na fórmula acima, a primeira série mantém-se inalterada, enquanto a segunda sofre uma transformação e, conseqüentemente, perde sua estratificação. 3. Na série transformada, verifica-se qual a ordem que um determinado valor da série ocupa na própria série. 4. Busca-se na série original o valor equivalente à ordem encontrada no item anterior e substitui-se o valor transformado por esse valor. Assim, obtemos uma correlação ordinal entre as variáveis sem perdermos a estratificação. Para amostras grandes, a correlação ordinal de Spearman e a correlação linear de Pearson tendem a ter praticamente o mesmo valor numérico. 4. Experimento e Resultados O presente experimento tem por objetivo avaliar a variabilidade da medida do VAR, para ambos os métodos amostrais, no caso de dois ativos com correlação diferente de zero. O VAR será calculado da mesma forma que anteriormente. Para induzir a correlação desejada nos preços futuros de cada ativo, usaremos a decomposição de Cholesky para o cálculo através da técnica da Amostragem Aleatória Simples e usaremos o algoritmo proposto por Conover, para induzir a correlação no caso da Amostragem Descritiva. Definiu-se o ativo A com volatilidade igual a 60 % aa e o ativo B com volatilidade igual a 30 % aa. Da mesma forma que no experimento anterior, o VAR (usando AAS) foi 1 8

9 calculado com 100 corridas de 1000 simulações cada, de onde calculou-se a média e o desvio padrão. O VAR foi calculado com correlação igual a 0.7 e 0,7 e variando-se a proporção do ativo A de 10% a 90%. Os resultados podem ser vistos na tabela abaixo, juntamente com os resultados com correlação igual a zero. Os dados acima são melhor interpretados quando visualizados em gráfico, conforme o Gráfico % 90.0% 80.0% 70.0% Índice de Eficiência 60.0% 50.0% 40.0% 30.0% % 10.0% 0.0% 10% 0% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% Proporção o Ativo A Gráfico 4 - Índice de eficiência para diferentes proporções do ativo A, considerando três correlações diferentes. Podemos observar que na faixa onde a proporção do ativo A varia entre 0% e 50%, a eficiência da AD com correlação entre ativos igual a 0,7, embora ainda produzindo ganhos de precisão em relação a AAS, é menor do que no caso com correlação nula. Essa faixa corresponde aos pontos onde a influência dos dois ativos no VAR e o efeito da correlação são maiores. Esse resultado é importante, pois indica que o desvio padrão da AD reduz numa proporção menor que a AAS quando há correlação negativa entre os ativos. Nota-se, da mesma forma que no experimento anterior, que a Amostragem Descritiva não obedece a relação descrita na equação de Kendall. A presença da correlação impõe uma certa estrutura de relacionamento entre as duas variáveis, no caso o preço dos dois ativos, reduzindo o efeito da variabilidade da função de distribuição do valor do portfolio. De uma certa forma, essa redução da variabilidade pode ser vista como uma diminuição da dimensionalidade do problema, o que explicaria a redução do desvio padrão. Tanto o experimento anterior quanto este sugerem que o que mais influencia a variabilidade do VAR calculada pela técnica da Amostragem Descritiva é a dimensionalidade do problema. 5. TESTE COM MAIS ATIVOS E NÍVEIS DE CONFIANÇA. Iremos investigar, agora, o efeito do número de ativos do portfolio e do nível de confiança em nossa medida de eficiência. Quanto mais ativos possuir o portfolio, maior será a 9

10 dimensionalidade do problema. Espera-se que a eficiência diminua à medida em que o número de ativos aumente. Nesse experimento, iremos admitir que todos os ativos tenham volatilidade igual a 60% aa e pesos iguais. Assim, para um portfolio com n ativos, o peso de cada ativo será 1/n. Iremos calcular o VAR utilizando a Amostragem Aleatória Simples e a Amostragem Descritiva com n variando entre, 4,8, 16, 3 e 64 ativos e com níveis de confiança de 95%, 96%, 97%, 98% e 99%. Admitiu-se correlação nula entre os ativos. Cada VAR foi calculado numa corrida de 1000 simulações. Repetiu-se a corrida 100 vezes para calcular o desvio padrão. Em seguida, repetiu-se essa experiência 100 vezes de forma a termos 100 desvios padrão, de onde tirou-se a média desses desvios. Isso foi realizado utilizando-se a técnica da AAS e AD. A eficiência foi calculada dividindo-se a média dos desvios calculados pela Amostragem Descritiva pela média dos desvios calculados pela Amostragem Aleatória Simples. Devido à enorme quantidade de cálculos necessárias para a realização desse experimento, utilizou-se a linguagem de programação MATLAB, assim como feito na segunda parte do experimento anterior. Os resultados encontram-se na tabela abaixo: Nível de Confiança (%) Qtde. de Ativos no portfolio % 83.1% 85.8% 86.1% 87.8% 87.6% % 85.3% 88.1% 88.7% 90.3% 88.7% % 86.6% 88.8% 90.4% 9.% 91.9% % 89.9% 9.3% 9.7% 93.1% 93.% % 91.3% 93.% 96.1% 97.% 94.8% Tabela 1 Eficiência da AD em relação à AAS. Correlação entre ativos igual a zero. Os dados acima são melhor visualizados num gráfico: Índice de Eficiência % 96% 97% 98% 99% Qtde. de Ativos Gráfico 5 Índice de Eficiência para portfolios com diferentes números de ativos e para diferentes níveis de confiança. 10

11 Observando-se a linha que representa nível de confiança de 95%, confirma-se a suspeita de que o aumento do número de ativos reduz a eficiência da Amostragem Descritiva. Contudo, verifica-se que a taxa marginal da eficiência decresce com o aumento da quantidade de ativos até chegar a zero onde a eficiência estabiliza-se em um valor menor que 100%. Pelo gráfico, a estabilização ocorre quando o número de ativos atinge entre 0 e 3, ponto a partir do qual a eficiência torna-se constante em 88%. O gráfico também mostra que quanto maior nível de confiança usado, menor será a eficiência. Isso indica que o desvio padrão da Amostragem Descritiva aumenta em proporção maior do que o da Amostragem Aleatória Simples ao se utilizar um nível de confiança mais alto. 6. CONCLUSÕES Num primeiro teste mostramos que a eficiência da Amostragem Descritiva em relação à Amostragem Aleatória Simples varia em função da proporção de um ativo em relação ao outro e da relação de volatilidades entre eles. Quanto maior for a proporção de um determinado ativo e, ao mesmo tempo, quanto maior for a sua volatilidade em relação ao outro, maior será a eficiência da Amostragem Descritiva. Isso se deve ao fato do resultado do VAR depender mais de um determinado ativo. Quando um portfolio é dominado por um ativo, pode-se dizer que ele é praticamente unidimensional. Se o resultado do VAR depende igualmente dos dois ativos, o problema torna-se bidimensional, reduzindo a eficiência. Num segundo teste, estudamos a influência da correlação na eficiência da Amostragem Descritiva. Verificamos que a presença de correlação positiva aumenta a eficiência da Amostragem Descritiva e a presença de correlação negativa reduz a eficiência. Esse diferencial é mais notado nos portfolios em que a o VAR depende igualmente dos dois ativos. A presença de correlação é uma forma de reduzir a dimensionalidade do problema, pois a variabilidade dos preços de um determinado ativo está vinculada ao do outro ativo. Assim, o desvio padrão do VAR na Amostragem Descritiva reduz tanto com correlação positiva quanto com correlação negativa. Entretanto, na Amostragem Aleatória Simples, o desvio padrão do VAR é proporcional ao valor do VAR. A correlação positiva aumenta o VAR, aumentando também o desvio padrão. Isso faz com que se haja um ganho na eficiência em comparação com correlação nula. Por outro lado, a correlação negativa diminui o VAR, reduzindo também o seu desvio padrão. O experimento mostrou que a redução do desvio padrão na Amostragem Descritiva é menor do que na Amostragem Aleatória Simples, levando a uma redução dos ganhos na eficiência. No terceiro teste testamos a influência do número de ativos na eficiência da Amostragem Descritiva em portfolios com ativos não correlacionados. Também verificou-se o efeito causado na eficiência utilizando diferentes níveis de confiança no cálculo do VAR. Verificou-se que quanto maior o número de ativos no portfolio, menor é a eficiência da Amostragem Descritiva. A medida da eficiência cresce com taxa marginal negativa estabilizando-se em um valor menor que 100%. Também observou-se que ao aumentar o nível de confiança da medida do VAR, menor será a eficiência. Isso indica que o desvio padrão na Amostragem Descritiva cresce em uma proporção maior do que na Amostragem Aleatória Simples quando se aumenta o nível de confiança. A técnica da Amostragem Descritiva mostrou ser uma melhor opção que a Amostragem Aleatória Simples no cálculo do Value at Risk (VAR) usando a Simulação de Monte Carlo. Obteve-se ganhos de eficiência na grande maioria dos portfolios estudados. A Amostragem Descritiva apresenta melhor eficiência quanto menor for a 11

12 dimensionalidade do problema. Essa constatação está de acordo com vários autores que dizem que técnicas de estratificação perdem eficiência quando se aumenta o número de dimensões. No problema do VAR verificamos redução da dimensionalidade quando um portfolio apresenta maior dominância de um ativo e quanto maior for a correlação entre eles. Exceção é observada em portfolios com correlação negativa, onde, embora também se reduza a dimensionalidade, observa-se queda na eficiência. A eficiência da Amostragem Descritiva no cálculo do VAR é maior quanto menor for o nível de confiança desejado. Referências: Bratley, P.; Fox, B. e Schrage, L., A Guide to Simulation. New York, Springer-Verlag, Iman, Ronald L. e Conover, W.J., A Distribution-Free Approach to Inducing Rank Correlation Among Input Variables, Communications in Statistics, 11(3), , 198. Jorion, P., Value at Risk: the new benchmark for controlling derivatives risk, Irwin, Kendall, M., Kendall s Advanced Theory of Statistics. New York, Halsted Press, Kleijnen, J.P.C. Statistical Techniques in Simulation, part I, New York, M. Dekker, Morgan, B., Elements of Simulation. New York, Chapman and Hall, 1984 Saliby, E., Repensando a Simulação, São Paulo, Atlas, Saliby, E., Descriptive Sampling: an improvement over latin hypercube sampling. In : Proceedings of the 1997 Winter Simulation Conference, p ,1997. Scheuer, E. e Stoller, D., On the Generation of Random Normal Vectors, Technometrics 4, pp: 78-81, 196. Smithson, C. e Minton, L., Value at Risk, Risk, January, i Vide Smithson C. e Minton L. (1996-1). ii Fatores de mercado ou fatores de risco são fatores que afetam o valor de um determinado ativo do portfolio. iii É importante ressaltar que a precisão aqui descrita é devida à possibilidade de relaxamento de várias premissas, o que torna o modelo mais próximo da realidade, e não devido ao processo de obtenção dos resultados que é conhecidamente impreciso. iv Vide Jorion P.(1997) pp. 00. v Vide Saliby E. (1989). vi Vide Kleijnen (1974), Bratley, Fox & Schrage (1983) e Morgan (1984). vii Definimos eficiência como a razão da variabilidade (desvio padrão) da medida do VAR entre as duas técnicas. viii Devido à suaq menor complexidade, este experimento foi realizado com o Excel, utilizando-se recursos de macros escritas em Visual Basic. ix Vide Scheuer e Stoller (196) 1

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