UFMA-CCET-DEINF Estruturas Discretas e Lógica Matemática

Transcrição

1 UFMA-CCET-DEINF Estruturas Discretas e Lógica Matemática Slides adaptados de Kees Van Demter Curso baseado no Livro: Discrete Mathemathics & Its Applications (5 th Edition) Kenneth H. Rosen 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 1 Módulo 1: Fundamentos de Lógica Rosen 5 th ed., aulas 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 2

2 Fundamentos da Lógica Lógica Matemática é uma ferramenta para trabalhar com afirmativas compostas, inclui: Linguagem formal para expressá-las. Metodologia para concluir objetivamente sobre sua verdade ou falsidade. Fundamento para expressar provas formais em todos os ramos da matemática. 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 3 Fundamentos da Lógica- Roteiro: Lógica proposicional ( ): Definições básicas. ( 1.1) Regras de equivalência ede derivação. ( 1.2) Lógica de Predicados ( ) Predicados. Expressões de predicados quantificados. Equivalências e derivações. 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 4

3 Lógica Proposiciona ( 1.1) Lógica Proposicional é a lógicadas afirmativas compostas, construídas a partir de afirativas simples, usando os conectivos Booleanos. Aplicações na Ciência da Computação: Projeto de circuitos eletrônicos digitais. Expressão de condições em programas. Consultas a bases de dados e máquinas de busca. George Boole ( ) Chrysippus of Soli (ca. 281 B.C. 205 B.C.) 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 5 Proposições em linguagem natural Definição: Uma proposição é simplesmente: Uma afirmativa (i.e., uma sentença declarativa) Com algum significado definido (não ambíguo ou inválido) Que possui um valor verdade que pode ser true (T) ou false (F) Nunca pode assumir ambos os valores ou estar entre os dois! Mas, eu posso a priori não saber qual é este valor verdade 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 6

4 Exemplos de Proposições em LN Estáchovendo. (Em umadada situação.) Beijing é a capital da China, e = 2 Mas as seguintes NÃO são proposições: La la la la la. (sem significado) Quem esta aí?? (interrogativa: sem valor verdade) x := x+1 (imperativa: sem valor verdade) /24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 7 Proposições em Lógica Proposicional Átomos: p, q, r, (Correspondem com simples sentenças em LN, e.g.`eu como salada no almoço ) Proposições complexas: construída a partir dos átomos usando operadores: p q (Correspondem a sentenças compostas em LN, e.g., Eu como salada no almoço e carne no jantar. ) 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 8

5 Lógica Matemática LM oferece: definições formalmente precisas para essas noções e para o significado de proposições compostas. Por enquanto: sem definições precisas. Explicações baseadas em exemplos. 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 9 Operadores / Conectivos Um operador ou conectivo combina n operandos (expressões) em uma expressão maior. (E.g., + em expressões numéricas.) Operadores unários: só um operando (- 3); Operadores binários: dois operandos (3 4). Operadores Booleanos operam em proposições ao invés de números. 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 10

6 Alguns Operadores Booleanos Negação Conjunção Disjunção OU-Exclusivo Implicação Bicondicional NOT AND OR XOR IMPLIES IFF Unário Binário Binário Binário Binário Binário? 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 11 Operador de Negação Operador (NOT) transforma uma proposição na sua negação E.g. Se p = Eu tenho cabelos castanhos. então p = Eu não tenho cabelos castanhos. Tabela Verdade: Coluna do Operando T := True; F := False := significa é definido como p p T F F T Coluna do Resultado 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 12

7 Operador de Conjunção Operador de conjunção (AND) combina duas proposições para formar a conjunção lógicas delas. E.g. Se p= Eu comi salad no almoço. q= Eu comi salada no jantar, then p q= Eu comi salada no almoço a carne no jantar. 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 13 Conjunction Truth Table A conjunção p 1 p 2 p n de n proposições terá 2 n linhas na Tab. Verdade. p q p q F F F F T F T F F T T T e são suficientes para expressar qualquer Tab. Verdade Booleana! 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 14

8 Operador Disjunção O operador binário de disjunção (OR) combina duas proposições para formar a disjunção lógica das mesmas. p= Meu carro tem motor ruim. q= Me carro tem pneu ruim. p q= Meu carro tem motor ou pneu ruim. 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 15 Tabela Verdade da Disjunção Note que p q significa se p é true, ou q é true, ou ambos são true! Por isso é chamado ou inclusivo, porque inclui a p q p q F F F F T T T F T T T T possibilidade de ambos serem true. e juntos são também universais. Note a diferença do AND 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 16

9 Expressões Proposicionais Use parênteses para agrupar subexpressões: I conheci seu amigo e ele é doido ou muito inteligente. = f (g s) (f g) s f g s pode significar algodiferente pode ser ambíguo Por convenção, tem precedência sobre e. s f significa ( s) f, não (s f) 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 17 Lógica Forma concisa para LN Seja p= Choveu ontem a noite, q= O jardineiro molhou a grama ontem a noite, r= O gramado estava molhado esta manhã. p = r p = r p q = Não choveu ontem a noite. O gramado estava molhado esta manhã e não choveuontem a noite. Ouo gramado não estava molhado hoje pela mnahã ouchoveuontema noite ouo jardineiro molhouo gramado. 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 18

10 Algumas idéias importantes: Distinguir entre diferentes tipos de fórmulas Verificar que algumas fórmulas que parecem diferentes podem expressar a mesma informação Primeiro: diferente tipos de fórmulas 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 19 Tautologias É uma proposição composta que é sempre true não importando quais os valores verdade das proposições atômicas! Ex. p p [Qual é a tabela verdade?] 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 20

11 Tautologias Quando todas as linhas da tabela verdade resulta em valor True. Exemplo: p p p p T T T F T T 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 21 Contradições Proposição composta que resulta sempre em valor False não importando os valores verdade das proposições atômicas! Ex. p p [Tabela verdade?] 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 22

12 Contradições Quando cada linha da tabela verdade resulta em valor False Exemplo: p p p p T F F F F F 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 23 O que sobra? Todas as outras proposições são contingências: Algumas linhas da tabela verdade resultam em True e outras em False Agora: fórmulas que possuem o mesmo significado 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 24

13 Equivalência de Proposições Duas proposições sintaticamente diferentes (i.e., textualmente) podem ser semânticamente idênticas (i.e., possuir o mesmo significado). Denominamos isto de: equivalência lógica. Notação: 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 25 Equivalência Lógica Uma proposição composta p é lógicamente equivalente a uma proposição composta q, que escrevemos p q, se e somente se p e q possuem o mesmo valor em todas as linhas de sua tabela verdade in all rows of their truth tables As duas proposições expressam a mesma função verdade. 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 26

14 Provando Equivalências: Tabelas Verdade Ex. Prove que p q ( p q). p q p q p q p q ( p q) F F F T T F T T F T T T T T F F T F T F T F F F F T T T 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 27 Questões 1. Considere a conjunção p 1 p 2 p 3 Quantas linhas existem na sua tabela verdade? 8 p 1 p 2 p 3 p 1 p 2 p /24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 28

15 Questões 2. Considere p 1 p 2 p n Quantas linhas tem sua tabela verdade? (n fatores) Então 2 n (cresce exponencialmente!) 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 29 Questões 3. Explique porque e juntos são suficientes para expressar qualquercoisaque possa ser expresso pela lógica booleana Obviamente se eu adicionar novos conectivos posso escrevernovas fórmulas Mas estas novas fórmulas serão sempre equivalentes a umafórmula escrita usando somente e (Isto que precisamos demonstrar) 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 30

16 Exemplo de escrita de uma disjunção em outra forma: p q ( p q) Se nenhuma da linhas da tabela verdade tem valor True, então temos uma contradição. Contradições podem ser escritas com e Suponha que 2 linhas resultam em True. P=T, Q=T, R=F. Isto é P Q R P=T, Q=F, R=T. Isto é P Q R 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 31 Topic #1.0 Propositional Logic: Operators Tabela como uma disjunction de T- linhas Provamos nossa afirmativa se pudermos expressar a disjunção destas duas linhas : (P Q R) (P Q R) Vimos que disjunção pode expressa usando e : p q ( p q) CQD. 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 32

17 Alguns Conectivos Adicionais Variação da disjunção Condicional Biconditional 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 33 Operador OU Exclusivo O operador binário ou exclusivo (XOR) combina duas proposicões de modo que somente terá valor True se uma for True e a outra não. p = Vou tirar 10 em EDLM, q = Vou reprovar em EDLM, p q = Eu vou tirar 10 em EDLM ou eu vou reprovar em EDLM (mas não ambos!) 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 34

18 Ou Exclusivo Tabela Verdade Note que p q significa que p é true, ou q é true, mas não ambos! Esta operação se chama ou exclusivo, porque exclui a p q p q F F F F T T T F T T T F possibilidade de ambos, p e q serem true. e juntos não são operadores universais para lógicabooleana. Note a diferença para OU. 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 35 Operador de Implicação antecedente consequente A implicação p q afirma que p implica q. I.e., Se p é true, então q é true; mas se p não é true, então q pode ser true ou false. E.g., Seja p = Vc estuda muito. q = Vc vai tirar nota boa. p q = Se vc estuda muito, então vc irá tirar nota boa. 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 36

19 Implicação Tabela Verdade p q é false somente quando p é true as q não é true. p q não requer que p ou q sejam true! p q p q F F T F T T T F F T T T E.g. (1=0) porcos podem voar is TRUE! 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 37 Exemplos de Implicações Se esta aula acabar, então o sol nasceu esta manhã. True ou False? Se Terça feira é um dia da semana, então eu souum pinguim. True ou False? Se 1+1=6, então Lula é o presidente. True ou False? Se a lua e feita de queijo, então sou mais rico que Bill Gates. True ou False? 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 38

20 O que parece errado? Considere uma frase como, Se eu usar um calção vermelho amanhã, então Osama bin Laden vai ser capturado! Em lógica, consideremos a frase True mesmo que eu não use um calção vermelho ou Bin Laden seja preso. Mas, em linguagem normal se eu dissesse esta frase, todos pensariam que estou mentindo. Porquê esta discrepância entre lógica e LN? 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 39 Resolvendo esta discrepância Em LN, a frase se p então q usualmente significa implicitamente algo como: Em todas as possíveis situações, se p então q. Ou seja, Para p ser true e q false é impossível. Ou, Eu garanto que não há dúvida que se p acontecer então q acontece. Em lógica isto deve ser expresso como:: Para todas as possíveis situações s, se p é true na situação s, então q é true na situação s Formalmente: s, P(s)? Q(s) Esta afirmativa é False no nosso exemplo, porque eu posso usar um calção vermelho e Bin Laden continuar livre. LN e lógica então concordam uma com a outra. 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 40

21 Frases em LN que significa p q p implica q Se p, então q Se p, q quando p, q sempre que p, q q se p q quando p q sempre que p p somente se q p é suficiente para q q é necessário para p q segue de p q é implicado por p 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 41 Mas não estamos estudando LN.. Provavelmente não existem duas dessas frase com mesmo significado em LN Por exemplo:, `Eu vou a festa se Maria for pode ser interpretado como uma implicação `Somente vouàfesta se Maria for transformando a frase em uma bicondicional: `Eu vou a festa se e somente se Maria for 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 42

22 Linguagem da Lógica Proposicional Definições Formais Átomos: p1, p2, p3,.. Fórmulas: Todos os átomos são fórmulas Se α é uma fórmula então α é uma fórmula Se α e β são fórmulasentão as seguintes também são fórmulas: (α β), (α β), (α β) (etc.) Exemplos de fórmulas: (p1 p2), (p9 p8), (p1 (p2 p3)) 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 43 Linguagem da Lógica Proposicional Definições Formais Exemplos de fórmulas: (p1 p2), (p9 p8), (p1 (p2 p3)) Convenção 1: parênteses mais externos são omitidos: p1 p2, (p9 p8), p1 (p2 p3) Convenção 2: associatividade permite omitir mais parênteses, e.g.: p1 p2 p3, p1 p2 p3 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 44

23 Implicação Contrapositiva Seja a implicação p q: Sua inversa é: q p. Sua contrapositiva: q p. Qual tem mesmo significado da implicação (mesma tabela verdade) de p q? 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 45 Como comprovar isto? Provando a equivalência p q sua inversa e contrapositiva usando tabelas verdade: p q q p p q q p F F T T T T F T F T T T T F T F F F T T F F T T 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 46

24 Operador bicondicional Biconditional p q afirma que p é true se e somente se (SSS) q é true. p = Lula ganhou a última eleição. q = Lula serápresidente até2006. p q = Se, e somente se, Lula ganhou a última eleição, ele será presidente até /24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 47 Bicondicional Tabela Verdade p q significa que p e q tem mesmo valor verdade. A tabela verdade é exatamente a oposta de! p q significa (p q) p q não implica que p e q são true, ou que um deles causa o outro. p q p q F F T F T F T F F T T T 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 48

25 Operadores Booleanos - Resumo Vimos 1 operador unário e 5 binários: p q p p q p q p q p q p q F F T F F F T T F T T F T T T F T F F F T T F F T T F T T F T T 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 49 Para pensar: 1. Quantos conectivos distintos podem existir? p connective q T? T T? F F? T F? F cada interrogação pode ser T ou F, então =16 conectivos 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 50

26 Para pensar: Exemplo de outro conectivo p conectivo q compare: p and q T F T T T T F F F T T F F T F F Nomes: NAND, Sheffer stroke 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 51 Para pensar: Notações Alternativas Name: not and or xor implies iff Propositional logic: Boolean algebra: p pq + C/C++/Java (wordwise):! &&!= == C/C++/Java (bitwise): ~ & ^ Logic gates: 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 52

27 Para pensar: 2. Qual a diferença entre e? A B que não existe valor verdade que possa ser atribuido a A e B de modoa tornar A B false So pode ser usado de maneira apropriada p q ( p q). A B A e B tem o mesmo valor verdade 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 53 Tautologias de novo Introduzimos a noção de tautologia usando o exemplo p p Agora conhecemos mais operadores, podemos construir mais tautologias, e.g., (p q) ( p q) (p q) ( q p) 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 54

28 Quais proposições são Tautologias? 1. p (q p) 2. p ( p p) 3. (q p) (p q) 4. (q p) (p q) 5. (p (q r)) (q (p r)) Prove usando tabelas verdades. 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 55 Quais proposições são Tautologias? 1. p (q p) Tautologia 2. p ( p p) Tautologia 3. (q p) (p q) Contingência 4. (q p) (p q) Tautologia 5. (p (q r)) (q (p r)) Tautologia 1,2,4,5 são conhecidos como `paradoxos da implicação material, porquecontrastam com a LN 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 56

29 Leis de Equivalência Similar às identidades aritméticas em álgebra,mas usadas para equivalências de proposições. Fornecem um padrão que pode ser usado para simplificar proposições complicadase encontrar semelhanças entre elas. 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 57 Leis de Equivalência - Exemplos Identidade: p T p p F p Dominação: p T T p F F Idempotência: p p p p p p Dupla negação: p p Comutatividade: p q q p p q q p Associatividade: (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 58

30 Mais Leis de Equivalência Distributivas: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) De Morgan: (p q) p q (p q) p q Tautologia/contradição trivial: p p T p p F Augustus De Morgan ( ) 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 59 Definindo Operadores via Equivalências Usando equivalências, podemos definir operadores em termos de outros operadores. Ou Exclusivo: p q (p q) (p q) p q (p q) (q p) Implicação: p q p q Bicondicional: p q (p q) (q p) p q (p q) 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 60

31 Problema Exemplo Verifique usando derivação simbólica (p q) (p r) p q r. (p q) (p r) [Expande defn. de ] (p q) (p r) [Expande defn. of ] (p q) ((p r) (p r)) [Le DeMorgan s] ( p q) ((p r) (p r)) continua 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 61 Problema Exemplo. ( p q) ((p r) (p r)) [ comutas] (q p) ((p r) (p r)) [ é associativa] q ( p ((p r) (p r))) [distr. sobre ] q ((( p (p r)) ( p (p r))) [assoc.] q ((( p p) r) ( p (p r))) [taut. trivial] q ((T r) ( p (p r))) [dominação] q (T ( p (p r))) [identidade] q ( p (p r)) continua 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 62

32 Problema Exemplo. q ( p (p r)) [DeMorgan s] q ( p ( p r)) [Assoc.] q (( p p) r) [Idempot.] q ( p r) [Assoc.] (q p) r [Commut.] p q r Q.E.D. (quod erat demonstrandum) C.Q.D. 8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 63