ESTUDO DA ANÁLISE HARMÓNICA DA MARÉ APLICADA AO MARÉGRAFO DE CASCAIS

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1 VII CNCG Conferênca Naconal de Cartografa e Geodesa, Porto 211 ESTUDO DA ANÁLISE HARMÓNICA DA MARÉ APLICADA AO MARÉGRAFO DE CASCAIS Carlos Antunes 1 ; Joana Mendes Godnho 2 1 IDL Unversdade de Lsboa, Campo Grande, Lsboa 2 DEGGE Faculdade de Cêncas da Unversdade de Lsboa (cmantunes@fc.ul.pt; joanagodn@yahoo.com) RESUMO A maré oceânca é domnantemente gerada por factores astronómcos, a atracção gravtaconal do Sol e da Lua e suas varações, e, com menor nfluênca, pelo forçamento atmosférco, nomeadamente, através dos factores do vento e da pressão atmosférca. A sua modelação numérca é habtualmente estmada com recurso à análse harmónca de uma sére temporal de observação maregráfca, composta uncamente com as consttuntes harmóncas de orgem astronómca. Dada a mportânca da aplcação desses modelos numércos em dversos domínos da Hdrografa e Oceanografa, como sejam, a prevsão rgorosa de marés, a montorzação do nível médo do mar e da sobre-elevação meteorológca, ou anda, a análse da varação temporal das consttuntes prncpas da maré, os modelos devem ser exactos e com a melhor precsão possível. Nesse sentdo, tem-se desenvolvdo na FCUL (Faculdade de Cêncas da Unversdade de Lsboa) uma metodologa para a determnação rgorosa de um modelo numérco de prevsão de maré para o marégrafo de Cascas, com vsta à melhora da precsão das consttuntes harmóncas de forma a ser possível o estudo da sua varação ao longo do tempo. Nesta comuncação é apresentado o método de estmação numérca usado na análse harmónca, bem como, as estratégas utlzadas para remover efetos não harmóncos, nomeadamente efetos meteorológcos, que à partda envesam as estmatvas das consttuntes harmóncas de orgem astronómca. Serão comparados dos métodos usados para a remoção de efetos não harmóncos dos dados de observação de maré. No prmero método, é usada a correcção barométrca nversa conjuntamente com um modelo numérco resdual. No segundo, é aplcado aos dados um fltro espectral de passa-banda, de forma a remover as altas e baxas frequêncas. A melhor metodologa que resultar deste estudo será aplcada posterormente na análse da varação temporal das prncpas consttuntes do marégrafo de Cascas desde Introdução O estudo e análse do fenómeno de marés é, apesar de um assunto há muto resolvdo, algo complexo tendo em vsta a obtenção de modelos de alta precsão e exactdão. O fenómeno da força geradora (dferença entre a força centrífuga e a força gravtaconal de cada astro) da maré de orgem astronómca é perfetamente conhecdo, contudo o desenvolvmento da onda de maré ao longo dos oceanos é perturbada por dversos factores. A varação da profunddade dos oceanos, fenómenos oceâncos dversos, e prncpalmente o contorno dos contnentes, alteram a chamada maré de equlíbro maré teórca que se desenvolve num

2 VII CNCG Conferênca Naconal de Cartografa e Geodesa, Porto 211 oceano sufcentemente profundo e sem contnentes que aprsonam o fluxo de maré, de modo que o respectvo bojo acompanhara unformemente a posção relatva da Lua. A morfologa dos fundos de águas costeras e da própra lnha de costa (penínsulas, baías, estuáros, etc.) contrbu sgnfcatvamente para a alteração e o atraso da progressão da onda de maré de equlíbro, alterando a sua fase, bem como, a sua ampltude, que é amplada devdo ao atrto dos fundos costeros, normalmente pouco profundos. Estas condconantes de perturbação da propagação da onda de maré obrgam à determnação de parâmetros locas que projectam, ou transformam, a onda de maré de equlíbro na onda de maré local. Estes parâmetros, factor de ampltude e fase ncal de cada onda que consttu a onda de maré, são desgnados de consttuntes harmóncas locas e são os parâmetros a ser estmados através de uma análse harmónca sobre os dados de observação de marégrafos (regstos horáros de altura de maré), através de um ajustamentos pelo MMQ (Método dos Mínmos Quadrados). Uma outra fonte conhecda de perturbação da onda de maré é o efeto de forçamento atmosférco, onde, quer a varação de pressão atmosférca, quer o efeto da acção do vento que sopra em drecção à lnha de costa, provocam uma alteração na altura da onda de maré. A passagem de sstemas de baxa e alta pressão atmosférca, devdo ao efeto barométrco nverso (força de pressão ascendente ou descendente), sobre eleva (surge) ou afunda a superfíce oceânca. Assocado também à passagem de ventos cclóncos (baxas pressões) e antcclóncos (altas pressões) são geradas correntes geostrófcas de dvergênca e convergênca, respectvamente, alterando assm também a altura de maré à sua passagem. Estes efetos, desgnados de sobre-elevação meteorológca (stormesurge), são de natureza peródca não regular, ou seja, de natureza não-peródca no sentdo estrto ou harmónco, pelo que, em nosso entender é uma componente que não deve ser sujeta à modelação harmónca, muto embora, possa ser possível e deva ser feta uma modelação numérca não harmónca. Para além desta nfluênca de curto período do efeto de varabldade atmosférca exste anda uma outra varação sazonal, de longo período, assocado ao fenómeno oceânco de afloramento costero, e que está relaconada com o regme de ventos que atngem a costa ocdental atlântca. O vento que sopra paralelamente e ao longo da costa (ventos NW e SW), através da sua componente merdonal, gera forças de tensão ou atrto que sobre as camadas superfcas e em conjugação com a força de Corols orgna um movmento das águas superfcas e da camada de mstura (camada de Ekman) perpendcular à lnha de costa, com fluxos onshore ou offshore em função do sentdo do vento (Ekman, 195). Este movmento da camada de mstura (transporte de Ekman) orgna então sobre as camadas mas profundas junto à costa, o afloramento (upwellng), quando o vento sopra de NW nos meses de prmavera e verão, ou o afundamento (downwellng), quando o vento sopra de SW entre Outubro e Dezembro. O efeto deste fenómeno na varação da maré é um movmento vertcal peródco anual, junto à costa, afectando por sso as marés costeras e, consequentemente, o regsto dos marégrafos, com uma ampltude que pode varar entre os

3 VII CNCG Conferênca Naconal de Cartografa e Geodesa, Porto e os 1 cm (Fgura 1). Quando os ventos domnantes sopram na drecção (NW), caso do upwellng, as águas superfcas são afastadas da costa e a superfíce lvre do oceano converge (baxa) para a plataforma topográfca. No caso nverso, caso de downwelng e ventos domnantes soprando de SW, as águas superfcas são empurradas para junto da costa e a superfíce lvre do oceano dverge (sobe) da plataforma topográfca. Este movmento vertcal de varação sazonal é uma osclação peródca, com o período de um ano, mas com alguma rregulardade. A Fgura 1 apresenta essa componente, calculada para o período de 24 a 29, sobreposta com a curva méda suavzada que representa a tendênca desta varação sazonal. Fgura 1 Varação sazonal de 24 a 29 e varação méda (negrto). Tendo em consderação todos estes aspectos físcos e dnâmcos, a modelação da onda de maré deve recorrer à análse harmónca para modelar a parte peródca de nfluênca astronómca e a uma modelação numérca complementar para as componentes peródcas não regulares e componentes não-peródcas. 2. Modelo matemátco da análse harmónca A sére temporal de funções harmóncas que representa a parte peródca do modelo matemátco da maré oceânca, para uma dado porto maregráfco, é, de acordo com Godn (1972), dada por n f ( t ) H cos ( t t ) V ( t ) u ( t ) 1 Z( t) Z g (1) Onde Z(t) é a altura horára de maré observada, ou corrgda de efetos não peródcos; f e u são correcções nodas de ampltude e fase das consttuntes =1,...,n, com frequênca ; e, V é o argumento ncal da fase no nstante t (: de 1 de Janero de cada ano). Através da análse espectral, ou também por va da análse harmónca, podem-se dentfcar as componentes harmóncas sgnfcatvas que se encontram presentes na maré de um dado porto maregráfco. Por exemplo, para o porto de Cascas encontraram-se apenas 23 consttuntes harmóncas a partr dos dados de 27 (Fgura 2). É de referr que esta análse deve ser feta sem a presença de efetos contamnantes, como seja os efetos de

4 VII CNCG Conferênca Naconal de Cartografa e Geodesa, Porto 211 nfluênca atmosférca, de curto e longo período. No caso do estudo consderado, para cada consttunte, os parâmetros f e V são conhecdos e, o parâmetro nodal de longo período, u, é consderado desprezível, ou ncorporado na estmatva de g para um determnado período (2-5 anos). A lnearzação do modelo funconal (1), ao contráro do que vulgarmente é segudo para qualquer aplcação do MMQ sobre funções não lneares (desenvolvmento em sére de Taylor), e de forma a permtr uma rápda e estável convergênca do argumento da fase local, g, segue o formalsmo de Foreman et al. (29) recorrendo à segunte mudança de varável X H cos( g ); Y H sen( g ) (2) Transformando (1) na expressão n Z( t) Z A X B Y (3) 1 Onde os coefcentes das novas varáves são calculáves e dados por A f cos( ( t t ) V ( t )) (4) B f sen( ( t t ) V ( t )) A recuperação a posteror dos parâmetros orgnas, H e g, é feta através das respectvas fórmulas nversas e usando as estmatvas de X e Y, 2 2 Y H X Y ; g arctg (5) X A matrz de varâncas e co-varâncas, Hg, dos parâmetros orgnas do sstema de equações de observação consttuntes harmóncas do modelo (1), é obtda através da segunte transformação T Hg J Hg XY J Hg (6) onde J Hg é a matrz Jacobeana de (5), uma matrz dagonal formada por matrzes bloco consttuídas pelas dervadas de H e g em ordem às varáves auxlares X e Y. Esta abordagem de lnearzação não necessta de um conjunto de valores ncas de parâmetros (consttuntes harmóncas locas) muto próxmos dos valores ajustados, tal como sera necessáro no caso de se usar a lnearzação por va do desenvolvmento em sére de Taylor. Nessa stuação verfcar-se-a uma lenta e dfícl convergênca da componente de fase ncal da onda, g. A fm de se obter uma melhor precsão e exactdão dos parâmetros ajustados, é necessáro remover, dos dados a ajustar (as alturas horáras de maré), a componente não harmónca dos efetos atmosfércos, bem como, todas as componentes analítca ou numercamente

5 VII CNCG Conferênca Naconal de Cartografa e Geodesa, Porto 211 modeláves. Desse modo, a grandeza observável da expressão (1) deve ser adaptada e defnda da segunte forma Z( t ) Z ( t ) R( t ) obs (7) Onde R(t) representa todas as componentes modeláves, sejam erros, correcções de efetos conhecdos, ou varáves ndependentes que se podem converter em varáves dependentes, como seja o caso da consttunte SA (solar anual) que no nosso caso é modelada fora do método de análse harmónca e de forma ndependente (Cap. 4.1). 3. Análse espectral da maré de 27 A análse espectral é um processo que permte detectar snas snusodas msturados com ruído de uma sére peródca temporal de dados. O espectro da maré é uma função peródca que para cada frequênca determna a quantdade de nformação (potênca do espectro) aí contda; ou seja, em cada consttunte harmónca (onda), dentfcada pela sua frequênca, pode determnar-se a sua ampltude (potênca espectral). Esta função é obtda pela DFT (Dscret Fourer Transform transformada dscreta de Fourer). A DFT de uma sére temporal de dados, vector y de dmensão N, é um vector Y de dmensão N k 1 N 1 j jk Y w y (8) j1 2 N onde w é a n-ésma raz da undade, ou seja, w e, e j e k varam entre e N-1. Os dados da sére temporal devem estar defndos em ntervalos de tempo constantes (taxa de dados). A partr deste ntervalo de tempo determna-se a frequênca de amostragem, Fs. Assm, o valor Y k+1 representa a quantdade de nformação (potênca) que está presente em y para a frequênca Fs f k. O vector Y obtdo representa o espectro da sére de dados y. N O algortmo utlzado para determnar o espectro da sére de dados de 27 fo o da FFT (Fast Fourer Transform transformada rápda de Fourer), o algortmo mas rápdo para determnar a DFT. 3.1 Análse do espectro da maré As frequêncas das consttuntes harmóncas são conhecdas (Pugh, 1996) pelo que, através da representação do espectro dos dados de 27, podem dentfcar-se as váras famílas de consttuntes da maré (Fgura 2): longo período, durnas, sem-durnas, terço-durnas e quarto-durnas; tendo estas duas últmas consttuntes fraca expressão, devdo à reduzda potênca de espectro. Através da análse do espectro (Fgura 2-a) verfca-se que as consttuntes de maor ampltude são as três sem-durnas M 2, S 2 e N 2. Para além das sem-durnas, conseguem

6 VII CNCG Conferênca Naconal de Cartografa e Geodesa, Porto 211 dentfcar-se dos grupos com menor ampltude, um na banda das baxas frequêncas, onde se encontram as consttuntes de longo período, como a SA, e outro na banda das consttuntes durnas, onde se podem dstngur dos pcos, K 1 e O 1. Fgura 2 a) Espectro da sére temporal de alturas horáras de maré de 27 (undades: metros vs º/hora); b) fltro de passa-banda a tracejado sobreposto ao espectro. 3.2 Modelação do efeto atmosférco através de fltro de passa-banda Na tentatva de numercamente modelar as correcções dos efetos atmosfércos, fo aplcado um fltro passa-banda cujo objectvo é manter nalterada a banda que contém nformação sobre as consttuntes harmóncas, elmnando as altas e as baxas frequêncas. Como frequêncas de corte foram defndos os valores 8 e 69 º/hora, contudo, para se reduzrem os efetos de fltragem, em vez de um fltro rectangular fo aplcado um fltro trapezodal. Assm, para defnr a base do trapézo foram utlzadas as frequêncas de corte de valor 6 e 71 º/hora (Fgura 2-b). A função do fltro lnear passa-banda aplcada ao espectro da maré é defnda por: ; f 6,5 f 7,5 ; 6 f 8 fltro( f ) 1, 8 f 69,5 f 69,5 ; 69 f 71 ; f 71 onde a frequênca fltrada f fca lmtada entre os valores de corte 8 e 69 º/hora. Após a aplcação do fltro (9) ao espectro da maré observada de 27, obtém-se um espectro fltrado a partr do qual, por nversão da função (8), se calcula uma nova sére de alturas horáras de maré. Estes valores de altura de maré devem conter apenas as componentes harmóncas compreenddas entre as frequêncas de corte, uma vez que a aplcação do fltro de passa-banda remove as baxas e altas frequêncas do espectro, (9)

7 VII CNCG Conferênca Naconal de Cartografa e Geodesa, Porto 211 permanecendo apenas as frequêncas prncpas da maré, durnas, sem-durnas, terçodurnas e quarto-durnas. Executando a dferença entre a sére da maré orgnal observada e a sére da maré fltrada, obtém-se uma sére resdual, correspondente à quantdade R(t) da expressão 7. Por va da aplcação do fltro de passa-banda, dado o lmte nferor de corte, nesta sére resdual encontrar-se-ão presentes as componente harmóncas de longo período, nomeadamente, a consttunte SA de período anual. Sendo esta consttunte modelada externamente (Fgura 1, Cap. 4.1, va modelação numérca da varação sazonal) e pretendendo-se modelar apenas a componente não harmónca de orgem meteorológca de curto e médo período, a SA deve ser removda prevamente da maré observada, antes de ser aplcado o fltro passabanda. Portanto, o fltro é aplcado ao espectro da maré corrgda da SA. A Fgura 3 mostra a sére resdual obtda por aplcação do fltro de passa-banda, e sem a consttunte SA, a qual representa a componente da maré devda aos efetos atmosfércos. Fgura 3 Sére resdual resultante da dferença entre a maré observada e maré fltrada. 4. Modelação Harmónca da maré de 27 O método de modelação harmónca da maré através do MMQ é robusto e garante a estmatva das consttuntes harmóncas locas com grande precsão, desde que sejam acauteladas as correcções dos erros das observações de alturas horáras de maré provenentes de efetos não peródcos, va equação (7), de modo a garantr a estatístca adequada dos dados à aplcação da condção dos mínmos quadrados,.e., dados com dstrbução normal não envesada. A condção de correcção das observações das alturas horáras da maré é fundamental para a fabldade e robustez da solução pelo MMQ, por essa razão, a componente de varação sazonal e os efetos atmosfércos de curto e médo período devem ser modelados e removdos das observações antes de ser aplcado o MMQ.

8 VII CNCG Conferênca Naconal de Cartografa e Geodesa, Porto Varação sazonal Com base na análse da varação sazonal de 24 a 29, tal como apresentada na Fgura 1, modelou-se conjuntamente esta componente de orgem oceânca e atmosférca com a componente harmónca anual de orgem solar, a onda SA. A razão é o facto de apresentarem a mesma frequênca e o resultado desta sobreposção remover completamente a tendênca sazonal presente nos dados de maré de Cascas, centrando os resíduos das observações ajustadas (Fgura 4). O procedmento, apresentado em Antunes (21), é relatvamente smples. Sobre a curva da varação sazonal méda (Fgura 1) é ajustada uma snusodal determnando-se os respectvos valores de ampltude e de fase ncal. Deste modo, forma-se uma consttunte harmónca que é, no lugar da SA, removda dos dados de acordo com a expressão (7), passando de um parâmetro da varável ndependente a parâmetro dependente. 4.2 Modelação da componente atmosférca Para modelar e corrgr a componente dos efetos atmosfércos de curto e médo período, foram segudas duas metodologas ndependentes, obtendo-se resultados semelhantes (fortemente correlaconados). Uma já explcada no Cap. 3.2, usando a aplcação de um fltro passa-banda através da análse espectral, a outra usando a função resdual resultante de uma prmera análse harmónca. Em Antunes (21) fo apresentado uma metodologa de análse harmónca de maré, onde a componente atmosférca era modelada em dos passos. A parte desta componente provenente da contrbução da PA (pressão atmosférca) era defnda pela expressão de correcção do EBI (efeto barométrco nverso) 119 PA[ mbar] y PA m (1) 1 assumndo o valor de 119 mlbar para a PA méda medda ao nível do mar em Cascas. A aplcação desta correcção do EBI reduza sgnfcatvamente a ampltude dos resíduos do ajustamento pelo MMQ. Contudo, permaneca a restante componente do efeto atmosférco devda ao efeto do vento. Esta, por se tratar de uma componente dfícl de modelar a partr de dados reas de vento, optou-se, nessa metodologa, por modelá-la através de uma função numérca resdual de tendênca, calculada a partr dos resíduos prévos e com base numa méda móvel corrda ao longo da sére de resíduos do ajustamento. Fnda essa modelação numérca, a correcção R(t) da expressão 7 era então formada pela soma da componente SA modelada, com o EBI e a função resdual de tendênca. Desta forma, eram removdas as componentes de longo período, SA, e de curto e médo período, o efeto atmosférco, da maré observada, após a qual era aplcado o MMQ para a estmação das consttuntes harmóncas presentes na maré. Essa metodologa seguda em Antunes (21) exge o conhecmento dos respectvos dados de PA ao nível do mar. Na ausênca de uma sére de PA correspondente a uma sére

9 VII CNCG Conferênca Naconal de Cartografa e Geodesa, Porto 211 temporal de alturas de maré, não é possível remover o EBI por va da aplcação da correcção (1). Isto acontece no caso, por exemplo, da análse da maré de épocas mas antgas, como sejam, séres do marégrafo antgo de Cascas das décadas de 196 e 197, ou anterores. Nesta stuação, em que só exstem os dados de altura de maré e nada mas, a modelação da componente atmosférca de curto e médo período pode fazer-se pela mesma va da modelação feta anterormente para a componente resdual do vento, através da função resdual de tendênca dos resíduos de um prmero ajustamento. Aplcando essa modelação da função resdual de tendênca sobre os resíduos de um prmero ajustamento da análse harmónca de maré através do MMQ, obtém-se uma sére resdual, R(t), semelhante à representada na Fgura 3. Este modelo numérco representa a componente da maré correspondente ao efeto atmosférco que se sobrepõe à maré astronómca. 4.3 Solução harmónca da maré de Cascas Aplcando o MMQ sobre o modelo funconal (3), corrgdo do efeto atmosférco calculado, quer por va da aplcação do fltro na análse espectral, quer por uma análse harmónca préva, de acordo com (7), obtém-se um modelo harmónca de maré de elevada precsão (Quadro 1), com um e.m.q. (erro médo quadrátco) de ajustamento de,19 m (2 cm). Esta é a solução mas precsa alcançada até agora pelo grupo de Engenhara Geográfca da FCUL e é utlzada actualmente na montorzação em tempo real do Nível Médo do Mar. Quadro 1 Resultado das consttuntes harmóncas prncpas, sem-durnas (4 de entre as 23 consttuntes harmóncas que formam o modelo de maré de Cascas). Consttunte Amplt. (m) e.m.q. Fase (º) e.m.q M 2,991,3 93,34,3 S 2,346,3 12,2,9 N 2,212,3 75,76,16 K 2,98,2 117,31,25 Com este modelo (7) de correcção do efeto atmosférco sobre as alturas de maré observada, os resíduos de ajustamento fnal obtdo (Fgura 4), com ampltudes nferores a 1 cm, mostram uma estrutura de ruído branco com uma dstrbução Normal (ruído gaussano). Tal facto mostra que todos os efetos de maré não-astronómca são correctamente removdos dos dados de alturas horáras de maré e que o modelo (1), na sua forma modfcada (3), é correctamente ajustado aos dados.

10 VII CNCG Conferênca Naconal de Cartografa e Geodesa, Porto 211 Fgura 4 Resíduos do ajustamento fnal da análse harmónca da maré de 27 por MMQ. 5. Resultados e conclusões Os resultados alcançados pela metodologa apresentada revelam uma excepconal precsão (2 cm) no modelo de maré obtdo, a qual sem a remoção efectva dos efetos nãoharmóncos de orgem atmosférca, não era possível de ser obtda. A evdente, e demonstrada, analoga das soluções de modelação dos efetos atmosfércos de curto e médo período alcançados por fltragem espectral e análse harmónca fo um passo mportante para a fabldade da solução de modelação das consttuntes harmóncas de maré, com vsta ao futuro estudo da varação temporal das consttuntes (entre 196 a 2), onde a respectva precsão alcançada é uma condção fundamental para garantr robustez estatístca da sua varabldade. A modelação da componente de longo período, varação sazonal através da onda SA, evdencou uma efectva remoção de tendênca (detrended) desta componente; um facto de extrema mportânca para a obtenção de resíduos centrados e de dstrbução normal. Desta forma a exactdão do modelo é melhorada sgnfcatvamente, como prova a permanente e dára verfcação do modelo de maré sobre os dados do marégrafo de Cascas, quer na montorzação em tempo real quer na montorzação em pós-processamento. Referêncas Bblográfcas Antunes, C. (21). Montorzação da Varação do Nível do Mar. 1 as Jornadas de Engenhara Hdrográfca, Insttuto Hdrográfco, de Junho, Lsboa, Portugal (n press). Ekman, V.W. (195). On the nfluence of the earth s rotaton on ocean currents. Ark. Mat. Astron. Fys., 2 (11), Pags. 1-52, Foreman, M.G.G., Chernawsky, J.Y. and Ballantyne, V.A. (29): Versatle harmonc Tdal Analyss: Improvements and Applcatons. Journal of Atmospherc and Oceanc Technology, Vol. 26, Pags Godn, G. (1972): The Analyss of Tdes. Unversty of Toronto Press, 264 pp. Pugh, D.T. (1987). Tdes, surges and mean sea level. John Wley & Son Ltd, 442 pp.