Ensaio Laboratorial de Mecânica Aplicada 2. Movimento Giroscópico

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1 Ensaio Laboratorial de Mecânica Aplicada 2 Movimento Giroscópico 1. Introdução O giroscópio consiste num disco solidário com um eixo normal que, por sua vez, está montado num aro, num plano transversal do disco que, por sua vez, pode girar em torno de outro eixo, no plano longitudinal. O giroscópio foi inventado em 1850 por Jean Bernard Léon Foucault ( ), que o utilizou para mostrar que a Terra, de facto, gira sobre seu próprio eixo. A rotação do disco a alta velocidade confere ao mecanismo duas propriedades importantes que o tornam bastante útil, em diversas aplicações: - a primeira resulta do facto de o vector do momento angular resultante ser constante e ter a direcção do eixo de suporte do disco, quando este não está sujeito a momentos. Portanto, o eixo do giroscópio tem uma direcção invariável no espaço, em relação a um referencial de inércia. Assim, se o eixo estiver na horizontal, ele efectuará, aparentemente, uma revolução no sentido contrário à rotação da Terra. O movimento é aparente porque a direcção do eixo é invariável e o que roda é a Terra. Esta propriedade permitiu Foucault mostrar que a Terra roda em torno do seu próprio eixo. Esta propriedade justifica a utilização em plataformas de inércia, giro-bússulas e outros instrumentos de navegação, dando-se, como exemplo, o aparelho de Aubry que estabiliza o movimento de um torpedo num plano horizontal, em que o eixo do giroscópio coincide com a direcção do alvo. Se o torpedo, num dado instante, é desviado do seu percurso, o giroscópio, ao retomar a direcção original, actua, através de mecanismos reguladores, sobre o leme do torpedo, obrigando este a retomar a direcção pré-estabelecida.

2 - a segunda, denominada precessão, é observada, por exemplo, quando o giroscópio é sujeito a uma rotação que tende a alterar a direcção do seu eixo. Quando a intersecção dos dois eixos, o de rotação e o do referencial, não coincide com o centro de gravidade, o eixo do giroscópio descreve uma trajectória cónica em torno do outro eixo. Este movimento denomina-se movimento de precessão e pode ser observado no movimento de um pião. Esta propriedade também pode ser observada no giroscópio onde a intersecção dos eixos coincide com o centro de gravidade, mas está sujeito a um momento de torção aplicado no eixo transversal ao disco. Então, o giroscópio efectua um movimento de precessão em torno do eixo longitudinal. A velocidade do movimento de precessão é proporcional ao momento aplicado. Se fizermos a comparação com o que se passa com a aplicação do mesmo momento a um corpo que não se encontra em rotação, o corpo roda com uma aceleração angular proporcional ao momento aplicado. Se retirarmos o momento, o corpo continua em movimento. Quando o momento deixa de actuar no giroscópio, ele deixa de precessar. Um dos exemplos de fenómenos de precessão na Natureza é o da precessão de equinócios da Terra. Se a Terra fosse perfeitamente esférica, nenhum dos outros membros do sistema solar exerceria qualquer momento gravitacional. Mas, a Terra não é uma esfera perfeita e, por isso, principalmente o Sol (pelo seu tamanho) e a Lua (pela sua proximidade) exercem um momento de torção gravitacional sobre ela, provocando o movimento de precessão do seu eixo, com uma velocidade de 50,25 /ano, ou seja, uma rotação completa em cerca de anos. O trabalho experimental a ser realizado no Laboratório de Mecânica Aplicada utiliza um giroscópio didático que permite observar as propriedades deste mecanismo e tem, por finalidade, comprovar que existe uma relação de

3 proporcionalidade entre o momento de torção aplicado num dos eixos e a velocidade de precessão e que essa relação é o momento angular. 2. Descrição sumária do equipamento O giroscópio, que vai ser utilizado neste trabalho experimental, possui um disco de 150 mm de diâmetro montado num veio de um motor de baixa inércia. O disco está montado com um anel removível. O motor está rigidamente ligado a uma protecção do disco que, com dois pinos bloqueadores, formam o aro interior que, por sua vez, está ligado por dois semi-eixos a um suporte em forma de U. Este suporte constitui o aro exterior e é suportado por rolamentos numa coluna vertical, de forma a poder girar livremente sobre esta. Ligados ao aro interior, encontram-se dois braços de extensão calibrados, nos quais é possível colocar três massas de 150 g, cada, a fim de produzirem um momento externo, em relação ao eixo transversal. Se o anel, que se encontra ligado ao disco, for removido, então o aro interior deverá ser calibrado através da colocação da massa de 50 g no braço de extensão que lhe está ligado. O giroscópio e a coluna estão montados num conjunto de alimentação que fornece potência eléctrica de corrente contínua e voltagem variável ao motor que acciona o giroscópio e que permite que a sua velocidade de rotação varie até cerca de 5000 rpm. Trocando a polaridade da alimentação eléctrica é possível inverter o sentido de rotação do motor. A velocidade do disco do giroscópio pode ser medida com precisão, através do tacómetro óptico. Para medir a velocidade de precessão, é necessário instalar um dispositivo de fim-de-curso. 3. Teoria 3.1 Lista de símbolos h = momento angular kg m 2 /s J = momento polar de inércia em relação a X-X kg m 2 k = raio de giração m l = comprimento do cilindro m

4 m = massa kg r = raio do cilindro r dt = tempo de processão no ângulo i s ρ = densidade kg/m 3 τ = momento de torção aplicado Nm di = ângulo de precessão no tempo t radianos ω = velocidade de rotação no eixo X-X rad/s Ω = velocidade de precessão em Z-Z rad/s 3.2 Introdução Teórica A figura representa, esquemáticamente, o disco de um giroscópio e do motor a que está acoplado, que roda em torno do eixo X-X com uma velocidade angular, ω. Se o momento polar de inércia do conjunto rotor em relação ao eixo X-X for J, então o momento angular em relação ao eixo de rotação X-X é h = Jω, que pode ser representado pelo vector ab. Se se aplicar um momento de torção, τ, ao aro interior, no eixo y-y, num determinado período de tempo, δt, haverá uma variação do momento angular em relação ao eixo z-z, igual a τ dt, representado pelo vector, bc, que fará o eixo descrever um ângulo δθ. Este movimento do eixo é denomidada por precessão. A partir da triangulação dos vectores abc, é possivel concluir que τ dt = Jω dθ (1) ou d θ τ = J ω (2) d t = J ω Ω (3)

5 = h Ω (4) em que Ω = d θ, ou seja, a velocidade angular de precessão. d t Portanto, se a velocidade do disco for constante, existe uma relação proporcional entre o momento de torção e a velocidade de precessão. Observa-se, também, que a constante de proporcionalidade é função do momento polar de inércia. A demonstração experimental destas relações constitui o objectivo deste trabalho. 3.3 Dimensões As dimensões do disco rotor do giroscópio e do anel removível são indicadas na figura: O material do disco e anel é latão de densidade, ρ, igual a 8410 kg/m Experiência 4.1 Equipamento O trabalho experimental será realizado com o seguinte equipamento: - um Giroscópio eléctrico Cussons P um tacómetro óptico Cussons P4740

6 4.2 Procedimento Os alunos irão encontrar o giroscópio equilibrado. A sua equilibragem deve ser efectuada da seguinte forma: Colocar a massa de 50 g no braço de extensão do aro interior do lado do motor. Desapertar o parafuso de fixação para libertar o aro interior do aro exterior. Ajustar a posição da massa de 50 g na extensão até que o giroscópio esteja equilibrado relativamente ao eixo y-y Segurar um dos braços de extensão de modo a que o eixo rotativo esteja na horizontal e rodar, simultaneamente, o controlo de velocidade no sentido dos ponteiros do relógio até que seja alcançada a velocidade desejada. Medir a velocidade de rotação com o tacómetro óptico Libertar o braço de extensão com o eixo rotativo na horizontal e se necessário ajustar a posição a massa de equilíbrio de 50 g de modo a que o giroscópio permaneça horizontal e não rode em torno do eixo z-z. Portanto, o trabalho a realizar pelos alunos consistirá em: Prender um dos braços de extensão e colocar uma massa de 150 g no braço de extensão do aro interior na marca de 20 cm e libertar o braço de extensão com o eixo rotativo na horizontal e medir o período de precessão e a direcção de precessão. Medir a velocidade do giroscópio Repetir o procedimento do parágrafo anterior movendo a massa para distâncias diferentes da coluna vertical. Efectuar mais leituras adicionando uma segunda e uma terceira massa, no braço de extensão. 4.3 Tratamento dos Resultados Preencher a folha de cálculo, em anexo Trace um gráfico do momento aplicado, τ,em função do produto das duas velocidades, ω Ω, fazendo passar uma recta pelos pontos. Determine graficamente o valor do momento polar de inércia Determine a intersecção da recta, na origem das abcissas (ou seja, para velocidade de precessão igual a zero).

7 Calcule o momento polar de inércia do disco e do anel e do conjunto motor e compare com o valor obtido experimentalmente. 4.4 Discussão dos Resultados A partir do tratamento dos resultados, tece as considerações que considere pertinentes. 5. Bibliografia P5377 Mk.2 Electrical Gyroscope Instruction Manual, Cussons Technology Ltd., Goldstein, H., Poole, C., Safko, J., Classical Mechanics, Addison Wesley, 3º ed., 2000, pag Targ, S., Curso Teórico-Prático de Mecânica, Ed. MIR, 1ª ed. 1974, Anexo Posição do peso 1 Posição do peso 2 Posição do peso 3 Momento de Torção Velocidade do rotor Período de Precessão Velocidade de Precessão τ ω Τ Ω = 60/Τ cm cm cm N m r.p.m sec r.p.m.