A propósito de operações com fracções: Modelos para pensar 1

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1 Professores dos º e 2º Ciclos do Ensino Básico A propósito de operações com fracções: Modelos para pensar Em sentido abrangente, modelos são representações usadas para resolver problemas ou explorar relações. Podem estar directamente associados a acções realizadas para lidar com uma determinada situação ou representar estratégias mais gerais no sentido em que as particularidades do contexto já não são consideradas. Pensemos, por exemplo, na seguinte questão: Um autocarro parte de uma paragem com 2 pessoas. Na paragem seguinte entram, na seguinte 2, depois quatro e na última sai uma. Quantas pessoas continuam a viagem no autocarro? Para responder a esta questão, um aluno pode apoiar se em vários tipos de representações de que as seguintes constituem exemplos 2 : Utilizando uma categorização de Gravemeijer adoptada por Fosnot e Dolk (2002), a primeira imagem pode considerar se um modelo de pensar pois representa a acção dos alunos envolvidos na situação concreta. Na terceira imagem, o desenho do autocarro desaparece e o que prevalece são as relações entre os números que, neste caso, incluem as operações adição Adaptação de um documento elaborado em 200/2006 pela equipa do Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores dos.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico (PFCM) da ESE/IPS que teve por referência as seguintes publicações: Fosnot, C & Dolk, M. (200). Young mathematicians at work: Consctructing multiplication and division. Heinemann: Portsmouth; Fosnot, C & Dolk, M. (2002). Young mathematicians at work: Constructing fractions, decimals, and percents. Heinemann: Portsmouth. 2 Imagens extraídas de Fosnot e Dolk (200). Modelos (p. de 6)

2 Professores dos º e 2º Ciclos do Ensino Básico e subtracção. A recta numérica nela incluída, constitui, assim, um modelo para pensar pois é um modelo generalizado de estratégias que podem ser usadas independentemente de se tratar, ou não, de entradas e saídas de um autocarro. É importante que ao longo da aprendizagem da matemática, em especial no que se relaciona com o desenvolvimento do sentido de número, o professor ajude os alunos a evoluírem de modelos de pensar para modelos para pensar. Uma forma de caminhar neste sentido, que envolve um processo de generalização, é propor lhes tarefas com contextos diversos e em que diferentes modelos surgem como recursos favoráveis para facilitar o pensamento e delinear estratégias de resolução. Há vários modelos que podem ser úteis na aprendizagem das operações com números racionais representados sob a forma de fracção. Entre estes estão a tabela de razões, a linha numérica dupla, o relógio e o modelo rectangular. Tabela de razões Consideremos a seguinte tarefa: O João acabou de adoptar um gatinho e está interessado em saber onde poderá comprar lhe comida a um bom preço. Descobriu que na loja da Sr.ª Maria vendiam conjuntos de 20 latas de comida de gato por 2 euros cada conjunto e que na loja do Sr. Manuel a mesma marca de comida era vendida em embalagens de 2 latas ao preço de euros cada embalagem. Onde deve o João comprar a comida para o seu gatinho? A tabela de razões, que tem subjacente um raciocínio proporcional, pode ser útil para ajudar os alunos a pensarem sobre esta tarefa, como ilustram as tabelas e 2: Nº de latas Preço Nº de latas Preço , 0,, 7,7, 2, Tabela Tabela 2 Modelos (p. 2 de 6)

3 Professores dos º e 2º Ciclos do Ensino Básico A tabela de razões deve ser introduzida na sala de aula pelo professor. Na tarefa do gatinho, pode ser usada, nomeadamente como instrumento para ajudar os alunos a compreenderem o significado de fracções equivalentes. A tabela de razões pode, também, ser útil para facilitar a resolução de tarefas envolvendo a divisão de fracções e ajudar a dar sentido ao procedimento de cálculo associado. Suponha se, por exemplo, a seguinte situação: Usámos de uma lata de tinta para pintar da parede de uma sala. Que quantidade de tinta será necessária para pintar toda a parede? Estamos na presença de uma questão em que está em jogo a divisão de por. Duas possibilidades para lhe responder são ilustradas pelas seguintes tabelas de razões. Quantidade de tinta usada Parte da parede pintada Quantidade de tinta usada 2 Parte da parede pintada 2 Tabela Tabela Linha numérica dupla A linha numérica dupla é um modelo poderoso de cálculo que envolve dois tipos de registos que variam consoante as especificidades das tarefas: um dos tipos está localizado na parte superior da linha e o outro na parte inferior. Consideremos, por exemplo, a seguinte a tarefa: Todos os anos a Escola Agarra a Lua organiza uma corrida de 2km. Para apoiar os participantes, a Junta de Freguesia monta três postos de Modelos (p. de 6)

4 Professores dos º e 2º Ciclos do Ensino Básico distribuição de bebidas ao longo do percurso: um no primeiro quarto, outro a meio e o último a do início. Costuma, também, colocar placas que assinalam outras partes do percurso para os corredores saberem se ainda falta muito, ou não, para chegar à meta.a questão é saber onde se deverão colocar os postos de distribuição de bebidas e as placas sinalizadoras. Para ajudar os alunos a resolverem esta tarefa, o professor pode desenhar no quadro uma linha e registar na parte do plano situada por cima da linha os números 0 km (o início da corrida) e 2 km: o final da corrida (ver figura ). 0 km 0 2 km 2 km Figura Na parte inferior da linha representam se números que correspondem a partes do percurso. Por exemplo, 2 representa metade da corrida, o que corresponde a 2 quilómetros. Este valor é registado no alinhamento da fracção 2 na parte superior da linha (ver figura ). O professor pode pedir aos alunos para indicarem o número de quilómetros correspondente a, 8,, etc. do percurso, ao mesmo tempo que vai marcando o respectivo número de quilómetros na linha. Esta representação pode, também, ser explorada para adicionar ou subtrair números representados sob a forma de fracção, calculando distâncias entre vários pontos. Por exemplo, pode ser representado como 2+ 2 ou seja 2. Quando os alunos tiverem já alguma familiaridade com a linha numérica dupla, pode haver vantagens significativas em serem eles próprios a indicar os números que devem colocar se no final da linha, de modo a que estes sejam facilitadores da identificação de Modelos (p. de 6)

5 Professores dos º e 2º Ciclos do Ensino Básico estratégias de cálculo. Além disso, este modelo é também útil quando se trabalha o conceito de percentagem. Relógio O modelo do relógio pode ajudar a adicionar e a subtrair números representados sob a forma de fracções como quartos, terços, sextos e fracções com denominador 60 e 2 (note se que em 60 minutos há doze minutos). Usando este modelo, os alunos operam com os números, pensando em como quinze minutos, em como vinte minutos, em 6 como dez minutos, em 2 como cinco minutos e em 60 como um minuto. Por exemplo, para calcular +, pensam em da hora e da hora e adicionam vinte minutos com quinze minutos. Os minutos são representados pela fracção. Uma alternativa é pensarem que minutos 60 cabem 2 vezes em 60 minutos e 7 vezes em minutos e, por isso, + é igual a 7 2. A figura 2 constitui uma representação desta estratégia. Figura 2 Modelos (p. de 6)

6 Professores dos º e 2º Ciclos do Ensino Básico Modelo rectangular Tal como acontece com a multiplicação e divisão de números inteiros, também a multiplicação e divisão de números representados sob a forma decimal ou de fracção podem ser modeladas através de disposições rectangulares, tal como ilustram as figuras e. 0, 0,8 0, 8 x 0, = 0,0 x 2 = 0 Figura Figura Em síntese, todos os modelos apresentados têm as suas potencialidades e limitações. No entanto, são instrumentos poderosos para ajudar os alunos a pensar matematicamente e que devem ser primeiramente desenvolvidos no interior de contextos significativos de investigação. À medida que os alunos vão usando os modelos para representar as suas acções, importa que o professor os ajude a evoluir para representações generalizadas das suas estratégias de cálculo. Esta via poderá promover e facilitar a evolução dos modelos de pensar para modelos para pensar, modelos de relações numéricas, isto é, instrumentos matemáticos. Equipa do PFCM da ESE/IPS de Setúbal Fevereiro, 200 Modelos (p. 6 de 6)