MODELOS ESPAÇO-TEMPORAIS MULTI-ESCALA

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1 MODELOS ESPAÇO-TEMPORAIS MULTI-ESCALA Adelmo Inácio Bertolde Tese de Doutorado submetida ao programa de Pós-Graduação em Estatística do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como requisito necessário à obtenção do título de Doutor em Estatística. Orientador: Marco Antonio Rosa Ferreira Rio de Janeiro Dezembro, 2007

2 MODELOS ESPAÇO-TEMPORAIS MULTI-ESCALA Aluno: Adelmo Inácio Bertolde Orientador: Marco Antonio Rosa Ferreira Tese de Doutorado submetida à banca examinadora do programa de Pós-graduação em Estatística do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como requisito necessário à obtenção do título de Doutor em Estatística. Aprovada por: Prof. Marco Antonio Rosa Ferreira Prof. Dani Gamerman Prof. Helio dos Santos Migon Prof. Glaura da Conceição Franco Prof. Ricardo Sandes Ehlers Rio de Janeiro Dezembro, 2007 ii

3 Resumo Este texto apresenta uma proposta de modelagem espaço-temporal multi-escala para dados de área. Tal modelo pode ser útil em diversas aplicações tais como em análise ambiental, economia, agricultura e etc.. Fazemos uso da metodologia multi-escala desenvolvida por Kolaczyk e Huang (2001) e decompomos o processo espacial a cada tempo. Modelamos os coeficientes multi-escala ao longo do tempo através de modelos dinâmicos. São realizadas duas aplicações do modelo a dados sócio-econômicos do estado do Espírito Santo, Brasil. Os resultados indicam que o modelo capta bem os movimentos espaço-temporais das séries estudadas. Palavras chaves: Modelos multi-escala; Inferência Bayesiana; Modelagem espaçotemporal; Dados de área; Resoluções múltiplas. Abstract This text presents a multiscale modeling approach for space-time for areal data. Such model may be useful in diverse applications such as in environments, economic, agriculture and others. An uses of the methodology becomes multiscale developed for Kolaczyk and Huang (2001) and we decompose the space process at each time. We modeled the multiscale coefficients along the time through dinamic models. The model was applied two socio-economic the data of the state of the Espirito Santo, Brazil. The results indicate that the model captures well the space-time movements of the studied series. Keywords: Multiscale models; Bayesian Inference; Space-time modeling; areal data; Multiple resolutions. iii

4 Agradecimentos Inicialmente agradeço à Deus pela oportunidade de crescimento pessoal e profissional, tendo como cenário a linda cidade do Rio de Janeiro, obra prima da natureza. Várias pessoas colaboraram na realização desse trabalho. Agradeço especialmente ao meu orientador Marco Antonio, que me estimulou, me corrigiu e me proporcionou toda a estrutura para que eu pudesse realizar as tarefas de forma organizada, não apenas como o grande profissional que é, mas também como um grande amigo. À minha esposa Tereza Cristina pelo apoio constante, companheirismo e também pelo seu incentivo nos meus momentos de desânimo. A todos os meus amigos e colegas de curso, particularmente Valmária, Marcelo, Laninha, Juan e Esther. Foram muitas horas de estudo, de sacrifício mas também de muita diversão, aprendizado de vida e trocas de experiências. Agradeço aos professores da pós-graduação do DME pela dedicação e interesse no aprendizado dos alunos. Ao Departamento de Estatística da UFES, à Faperj, à CAPES e ao DME pelo suporte financeiro e oportunidade de aperfeiçoamento acadêmico. Finalmente, gostaria de dedicar esse trabalho aos meus pais Gabriel e Gicelda, que mesmo sendo pouco alfabetizados sempre me incentivaram nos estudos. Os difíceis, porém, saudosos anos em que lavrei a terra com minha família estão firmemente marcados na minha memória, e me dão a certeza de que é possível a realização dos nossos sonhos, por mais inalcançáveis que possam parecer. Encerro com uma mensagem que resume um pouco da experiência vivida nos últimos anos: iv

5 Há muito tempo que eu saí de casa. Há muito tempo que eu caí na estrada. Há muito tempo que eu estou na vida. Foi assim que eu quis, e assim eu sou feliz. Principalmente por poder voltar a todos os lugares onde já cheguei. Pois lá deixei um prato de comida, um abraço amigo, um canto prá dormir e sonhar. E aprendi que se depende sempre de tanta muita diferente gente. Toda pessoa sempre é as marcas das lições diárias de outras tantas pessoas. E é tão bonito quando a gente entende que a gente é tanta gente onde quer que a gente vá. E é tão bonito quando a gente sente que nunca está sozinho por mais que a gente pense estar. E é tão bonito quando a gente pisa firme nessas linhas que estão nas palmas de nossas mãos. E é tão bonito quando a gente vai a vida nos caminhos onde bate mais forte o coração. Caminhos do Coração (Gonzaguinha) v

6 Sumário Lista de Tabelas Lista de Figuras ix x 1 Introdução 1 2 Modelagem Multi-escala Introdução Estrutura Espacial Verossimilhança Fatorizada Distribuições a Priori Estimação Estimação do Elemento Excluído Aplicações Aplicação a Dados Simulados Aplicação ao PIB do Espírito Santo Modelos Lineares Dinâmicos Introdução Modelo Linear Dinâmico O Filtro de Kalman Princípios de Inferência Bayesiana vi

7 3.5 Simulação de Monte Carlo Via Cadeias de Markov Diagnósticos de Convergência Estimação com Variâncias Desconhecidas Distribuições a Priori Distribuições a Posteriori Simulação de µ 1:T Via FFBS Simulação de V e W Modelagem Espaço-Temporal Multi-Escala Introdução e Notação Modelo Geral Um Exemplo Didático Modelagem Espaço-Temporal Multi-Escala Com Variâncias Observacionais Constantes Densidade Conjunta do Modelo Distribuições a Priori Simulação e Estimação de µ 0,k,t Distribuições a Posteriori Simulação e Estimação de θ j,k,t Distribuições a Posteriori Estimação de µ J 1,t Simulação de Um Processo Multi-Escala Casos Particulares Variâncias Conhecidas Variância de Sistema Desconhecida Aplicação aos Dados de PIB per capita vii

8 6 Modelagem Espaço-Temporal Multi-Escala com Variâncias Observacionais Distintas Construção do Modelo Densidade Conjunta do Modelo Distribuições a Priori Simulação e Estimação de µ 0,k,t Distribuições a Posteriori Simulação e Estimação de θ j,k,t Distribuições a Posteriori Simulação e Estimação de σ Aplicação aos Dados de Produção Agrícola Conclusões Meta Referências Bibliográficas 90 A Algumas Propriedades da Distribuição Normal Multivariada 93 B Descrição Multi-Escala Para o Caso Normal 95 C Banco de Dados 98 C.1 Dados Sócio-Econômicos C.2 Estrutura de Partição viii

9 Lista de Tabelas 5.1 Estatísticas a posteriori para ψ 1,k Estatísticas a posteriori para ψ k Estatísticas a posteriori para ψ 0,k Estatísticas a posteriori para ψ 1,k Estatísticas a posteriori para ψ k Estatísticas a posteriori para ψ 0,k Estatísticas a posteriori para ψ 1,k ix

10 Lista de Figuras 1.1 Divisão político administrativa do estado do Espírito Santo por municípios (a), micro-regiões (b) e macro-regiões (c) (ano base 1979) Processo multi-escala representado do nível j = 0 mais agregado (a) até o nível j = 2 mais desagregado (c), considerando 4 descendentes para cada ancestral Função (2x+10). Nível médio (linha), simulações (círculos) e estimativas (linha pontilhada) Função Seno(x). Nível médio (linha), simulações (círculos) e estimativas (linha pontilhada) Função x 2. Nível médio (linha), simulações (círculos) e estimativas (linha pontilhada) Log do PIB per capita do E.S Log do PIB per capita do E.S Log do PIB per capita do E.S Log do PIB per capita do E.S Log do PIB per capita do E.S Log do PIB per capita do E.S Log do PIB per capita do E.S Log do PIB per capita do E.S Log do PIB per capita do E.S x

11 5.1 Resultados comparativos de y 2,.,t (círculos), verdadeiro valor de µ 2,.,t (vermelho), ˆµ 2,.,t (preto) e estimativa suavizada a j,k,t ( r) (azul). Tempos t = 1, 4, 8, 12, respectivamente Resultados comparativos de y 2,.,t (círculos), verdadeiro valor de µ 2,.,t (vermelho), ˆµ 2,.,t (preto) e estimativa suavizada a j,k,t ( r) (azul). Tempos t = 15, 18, 22, 25, respectivamente Valores de y 2,k,t observados (a), µ 2,k,t verdadeiros (b) e suavizados (c) por a j,k,t ( r). Tempo t = Valores de y 2,k,t observados (a), µ 2,k,t verdadeiros (b) e suavizados (c) por a j,k,t ( r). Tempo t = Valores de y 2,k,t observados (a), µ 2,k,t verdadeiros (b) e suavizados (c) por a j,k,t ( r). Tempo t = Valores de y 2,k,t observados (a), µ 2,k,t verdadeiros (b) e suavizados (c) por a j,k,t ( r). Tempo t = Valores de y 2,k,t observados (a), µ 2,k,t verdadeiros (b) e suavizados (c) por a j,k,t ( r). Tempo t = Resultados comparativos de y 2,k,. (círculos), verdadeiro valor de µ 2,k,. (vermelho) e média a posteriori para µ 2,k,. (preto) para 6 áreas fictícias, ao longo do tempo. Linhas tracejadas inferior e posterior indicam os percentis 2.5 e 97.5 de ˆµ 2,k,., respectivamente Análise Exploratória por períodos do PIB per capita municipal do E.S. Fonte: IBGE/IPEA Análise Exploratória por períodos do Log(PIB per capita) municipal do E.S. Fonte: IBGE/IPEA Trajetória (a) e histograma (b) para valores de σ 2 gerados a posteriori. Estatística de diagnóstico de Gelman e Rubin igual a 1.02 e de Geweke iguais a e 0.41, respectivamente xi

12 5.12 Respectivamente, trajetória e histograma para µ 2,k,1 a posteriori nos municípios de Guarapari (a e a ), Conceição da Barra (b e b ), Colatina (c e c ) e Castelo (d e d ). Estatísticas de diagnóstico de Gelman iguais a 1, 1.01, 1.01 e 1.01, respectivamente Resultados comparativos de y 0,k,. (círculos) e média a posteriori de µ 0,k,. (preto) por macro-região. Linhas tracejadas inferior e posterior indicam os percentis 2.5 e 97.5 de ˆµ 0,k,., respectivamente Resultados comparativos de y 2,k,. (círculos) e média a posteriori de µ 2,k,. (preto) para alguns municípios da região metropolitana de Vitória. Linhas tracejadas inferior e posterior indicam os percentis 2.5 e 97.5 de ˆµ 2,k,., respectivamente Resultados comparativos de y 1,k,. (círculos) e média a posteriori de µ 1,k,. (preto) para as micro-regiões 4 e 5. Linhas tracejadas inferior e posterior indicam os percentis 2.5 e 97.5 de ˆµ 1,k,., respectivamente Log(PIB per capita) do E.S Log(PIB per capita) do E.S Log(PIB per capita) do E.S Log(PIB per capita) do E.S Log(PIB per capita) do E.S Log(PIB per capita) do E.S Log(PIB per capita) do E.S Log(PIB per capita) do E.S Log(PIB per capita) do E.S Análise Exploratória do logarítmo do valor municipal da produção agrícola para o estado do E.S. Fonte: IBGE/IPEA Trajetória (a) e histograma (b) para valores de σ 2 gerados a posteriori. Estatística de diagnóstico de Gelman e Rubin igual a 1.02 e de Geweke iguais a 1.98 e 0.42, respectivamente xii

13 6.3 Resultados comparativos de y 0,k,. (círculos) e média a posteriori de µ 0,k,. (preto) por macro-região. Linhas tracejadas inferior e posterior indicam os percentis 2.5 e 97.5 de ˆµ 0,k,., respectivamente Resultados comparativos de y 2,k,. (círculos) e média a posteriori de µ 2,k,. (preto) por município. Linhas tracejadas inferior e posterior indicam os percentis 2.5 e 97.5 de ˆµ 2,k,., respectivamente Respectivamente, trajetória e histograma para µ 2,k,2 a posteriori nos municípios de Cariacica (a e a ), Guarapari (b e b ), Santa Leopoldina (c e c ) e Nova Venécia (d e d ). Estatísticas de diagnóstico de Gelman iguais a 1.05, 1, 1.01 e 1.09, respectivamente Valor de produção agrícola do E.S. (em milhares de reais) Valor de produção agrícola do E.S. (em milhares de reais) Valor de produção agrícola do E.S. (em milhares de reais) Valor de produção agrícola do E.S. (em milhares de reais) Valor de produção agrícola do E.S. (em milhares de reais) Valor de produção agrícola do E.S. (em milhares de reais) Valor de produção agrícola do E.S. (em milhares de reais) Valor de produção agrícola do E.S. (em milhares de reais) xiii

14 Capítulo 1 Introdução As variações aleatórias presentes nos fenômenos naturais são objeto de estudo do homem há muitos séculos e objetivando contribuir para a explicação dos mesmos foram criados os modelos estatísticos. O interesse no comportamento desses fenômenos ao longo do espaço e do tempo motivou o surgimento de uma metodologia voltada para os estudos dos processos espaço-temporais. Os modelos estatísticos desenvolvidos para dados espaço-temporais apresentaram um grande avanço nos últimos 15 anos, com trabalhos que vão desde aplicações em ciências ambientais, análise de dados econômicos e mapeamento de doenças até a taxas de violência, entre outros. Os fatores que mais têm impulsionado tal avanço são a quantidade cada vez maior de dados disponíveis e o progresso significativo dos métodos de simulação bayesianos, este advindo do progresso computacional. Este trabalho tem por objetivo apresentar uma proposta de modelagem espaçotemporal multi-escala para dados de área. Utilizamos a metodologia multi-escala desenvolvida por Kolaczyk e Huang (2001) e decompomos o processo espacial a cada tempo. Modelamos os coeficientes multi-escala ao longo do tempo através de modelos dinâmicos. Com base na estrutura hierárquica das observações, o modelo

15 multi-escala induz dependência espacial ao definir os grupos de vizinhos, tendo como consequência uma simplificação no trato das matrizes de covariância envolvidas. Realizamos três aplicações da modelagem proposta: a primeira a um processo espaço-temporal multi-escala simulado e as outras duas fazendo uso de dados sócioeconômicos relativos ao estado do Espírito Santo, Brasil. Como motivação inicial, temos, como objeto de estudo, o mapa do estado do Espírito Santo dividido em 3 níveis de partições respectivas: municípios, micro-regiões e macro-regiões. (a) (b) (c) Figura 1.1: Divisão político administrativa do estado do Espírito Santo por municípios (a), micro-regiões (b) e macro-regiões (c) (ano base 1979). O capítulo 2 descreve a metodologia multi-escala proposta por Kolaczyk e Huang (2001) e relata alguns trabalhos correlacionados desenvolvidos. São apresentados os conceitos básicos sobre partição hierárquica e a definição de verossimilhança em um processo multi-escala. No capítulo 3 apresentamos um resumo de um modelo dinâmico linear, onde descrevemos as equações do filtro de Kalman, juntamente com os conceitos de Inferência Bayesiana, de técnicas de simulação estocástica e de convergência utilizados. Os capítulos 4 e 5 tratam da proposta do Modelo Multi-Escala Espaço-Temporal 2

16 objeto desse trabalho, onde supomos variâncias proporcionais e iguais para cada elemento do nível mais desagregado. Realizamos uma aplicação do modelo a um processo multi-escala simulado e a dados de PIB per capita. Fazemos uma extensão do modelo no capítulo 6, onde supomos variâncias envolvidas distintas. Ao final apresentamos uma aplicação a dados de valor de produção agrícola do estado do Espírito Santo. Finalmente, no capítulo 7 relatamos as conclusões e metas desse trabalho. Ao final estão as referências bibliográficas e anexos utilizados no trabalho de pesquisa de tese. 3

17 Capítulo 2 Modelagem Multi-escala 2.1 Introdução Este capítulo traz um breve resumo da metodologia multi-escala desenvolvida por Kolaczyk e Huang (2001), que faz uso da inferência para analisar processos observados em mais de um nível de escala. Ressalta-se a importância de tal método, visto que a maioria dos estudos envolvendo mensurações em múltiplas escalas se presta somente à análise descritiva (Kolaczyk e Huang, 2001). Em particular, o trabalho de Kolaczyk e Huang (2001) é importante para o entendimento do conteúdo deste texto pois utilizamos sua decomposição multi-escala na construção de nossos modelos espaço-temporais multi-escala. A hipótese estrutural é a de existência de uma partição definida hierarquicamente, correspondendo a sucessivas agregações no domínio dos dados. A interrelação entre os níveis de resolução permite eficiente suavização espacial do fenômeno em estudo (Kolaczyk e Huang, 2001). Neste capítulo, ilustramos esta metodologia com uso de dados simulados e com dados de PIB per capita por município do estado do Espírito Santo, Brasil. Mais detalhes a respeito da estrutura multi-escala do estado do Espírito Santo são encontrados no anexo C. 4

18 2.2 Estrutura Espacial A modelagem multi-escala assume inicialmente um particionamento hierárquico de uma região S, onde S tipicamente é tratada como um sub-espaço bidimensional. Considere um conjunto de medidas em um domínio S onde se está interessado em conhecer a média [µ(s) : s S] do processo. Matematicamente, expressa-se essa idéia através da hipótese da existência de uma partição (B 1,..., B n ) de S, onde B k S tal que (B k B k ) =, para k k, sendo k B k = S e k = 1,..., n. Para cada elemento B k desta partição, assume-se a existência de uma medida y k, relacionada à média do processo µ(s) através do valor esperado E[y k ] = µ k, onde µ k µ(b k ) B k µ(s)ds. Assume-se também que os y k s são condicionalmente independentes dado os µ k s respectivos. Formalmente, tal estrutura hierárquica multi-escala caracteriza-se em termos de um conjunto B composto por J partições de S, para algum inteiro J > 1. Para reforçar o entendimento, vejamos a figura 2.1, que apresenta um processo multiescala fictício para J = 3 níveis de agregações e 4 descendentes para cada ancestral: (a) (b) (c) Figura 2.1: Processo multi-escala representado do nível j = 0 mais agregado (a) até o nível j = 2 mais desagregado (c), considerando 4 descendentes para cada ancestral. Denota-se os elementos da partição no nível j de resolução por B j,1,..., B j,nj. 5

19 Para cada um dos níveis de escala j, j = 0, 1,..., J 1, a coleção {B j,k } n j k=1 é definida satisfazendo a duas condições: i) formar uma partição própria de S e, ii) que cada elemento B j,k seja expresso como uma união única dos elementos da partição na escala (j + 1). Isto significa que B j,k = (j+1,k ) D j,k B j+1,k, onde D j,k refere-se à coleção de índices espaciais dos descendentes de B j,k, para j = 0,..., J 2. Por exemplo, a partir da figura 2.1, podemos verificar que o conjunto dos índices espaciais de B 0,1 é dado por D 0,1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)} e o conjunto dos índices espaciais de B 1,3 é dado por D 1,3 = {(2, 9), (2, 10), (2, 13), (2, 14)}. Ressalta-se que ao se determinar quais são os descendentes de cada respectivo ancestral, fica estabelecida a relação de vizinhança entre as áreas em cada nível de partição. Suponha definida a partição hierárquica {B j,k } n j k=1 e considere um elemento B j,k desta partição. Kolaczyk e Huang (2001) consideram agregação por somas, ou seja, a variável y j,k é definida como y j,k = (j+1,k ) D j,k y j+1,k. (2.1) Consequentemente, o valor esperado µ j,k da variável y j,k satisfaz µ j,k = (j+1,k ) D j,k µ j+1,k. (2.2) A partir da expressão (2.1) conclui-se que as medidas {y j,k } n j k=1 do nível j estão numa escala mais agregada do que {y j+1,k } n j+1 k =1. Há, portanto, uma perda de informação 6

20 ao se utilizar as medidas num nível j mais agregado. Segundo Kolaczyk e Huang (2001), tal perda poderá variar espacialmente, dependendo do grau de homogeneidade da média do processo µ(s) no domínio S. Logo, torna-se relevante considerar o efeito de mudança dos níveis de escala dos dados no processo de modelagem. Com este objetivo, Kolaczyk e Huang (2001) propuseram a construção da chamada verossimilhança fatorizada, apresentada na seção seguinte. 2.3 Verossimilhança Fatorizada Note que a distribuição de probabilidade dos descendentes de B j,k, dado µ e y j,k, é degenerada. Uma forma de resolver esta degeneração é considerar os descendentes, menos um deles; o descendente é excluído de forma arbitrária e não altera a análise. Assim sendo, consideremos a seguinte definição: D j,k é a coleção de índices espaciais dos descendentes de B j,k excluindo um deles, sendo j = 0,..., J 2. Logo, y D j,k é o vetor de medidas dos descendentes do elemento B j,k excluindo um deles, com definição análoga para µ D j,k. Daí que, explorando a independência condicional dos y j,k, tem-se que: n J 1 k=1 f(y J 1,k µ) = n J 2 k=1 f(y J 2,k µ) n J 2 k=1 f(y D J 2,k y J 2,k, µ). (2.3) O lado esquerdo de (2.3) é a verossimilhança das observações no nível de escala J 1, enquanto que o primeiro termo do lado direito é a verossimilhança no nível de escala J 2. Logo, o segundo termo do lado direito contém a perda de informação devida a agregração realizada da escala J 1 para J 2. Kolaczyk e Huang (2001) definem, portanto, a expressão para a verossimilhança fatorizada como: assumindo que o vetor (y J 1,1,..., y J 1,nJ 1 ) e a estruturação de partições hierárquicas estejam 7

21 definidos, a verossimilhança fatorizada pode ser descrita por: n J 1 k=1 n 0 f(y J 1,k µ) = f(y 0,k µ) k=1 Recorde que, dado um vetor y j J 2 n j f(y D j,k y j,k, µ). (2.4) j=0 k=1 = ( y j,1,..., y j,nj ) com elementos independentes e normalmente distribuídos, pode-se expressá-lo por y j µ j, Σ j N(µ j, Σ j ), onde µ j = (µ j,1,..., µ j,nj ) e Σ j = diag(σ 2 j), sendo σ 2 j = (σ 2 j,1,..., σ 2 j,n j ). No caso do vetor y J 1 = ( y J 1,1,..., y J 1,nJ 1 ) ser modelado por um processo N(µJ 1, Σ J 1 ), a fatorização (2.4) toma a seguinte forma: onde: J 2 f(y J 1 µ J 1, Σ J 1 ) = f(y 0 µ 0, Σ 0 ) f(y D j,k y j,k, θ j,k, Ω j,k ), i)y 0 µ 0, Σ 0 tem distribuição N(µ 0, Σ 0 ). n j j=0 k=1 ii)y D j,k y j,k, θ j,k, Ω j,k N (ν j,k y j,k + θ j,k, Ω j,k ), sendo ν j,k = σ2 D j,k, σj,k 2 θ j,k = µ D j,k ν j,k µ j,k e Ω j,k = Σ D j,k ( ) σ2 D σ j,k 2 D j,k σj,k 2, considerando que: σ 2 D j,k é o vetor de variâncias dos descendentes de B j,k excluindo um deles; Σ D j,k é uma matriz diagonal formada pelos elementos de σ 2 D j,k e n D j,k é o número de descendentes de B j,k menos um. 8

22 2.4 Distribuições a Priori A fatorização (2.4) reparametriza o modelo normal inicialmente parametrizado pelo vetor de médias µ J 1 em termos do vetor (µ 0, θ 0,..., θ J 2 ). Esta é uma decomposição multi-escala da média do processo análoga à decomposição em ondaletas, onde θ j,k tem uma estrutura similar. Mais especificamente, θ j,k explica como a medida para cada nó é dividida entre os respectivos descendentes. Tal como na análise por ondaletas, Kolaczyk e Huang (2001) atribuem uma priori independente para cada elemento de (µ 0, θ 0,..., θ J 2 ). Uma escolha natural para a média do nível mais agregado é assumir uma priori conjugada µ 0 N(mµ 0, Φ 0 ), sendo para Φ 0 uma distribuição pouco informativa. Para os θ j,k s existem algumas possíveis especificações que implicam em diferentes níveis de homogeneidade para o processo latente µ(s). Numa primeira especificação, Kolaczyk e Huang (2001) assumem uma priori conjugada θ j,k Φ j,k N(0, Φ j,k ), (2.5) onde Φ j,k, j = 0,..., J 1, k = 1,..., n j são matrizes de covariâncias conhecidas. O uso dessa priori permite um rápido cálculo das estatísticas a posteriori para as médias e variâncias. Kolaczyk e Huang (2001) também consideram uma priori baseada numa distribuição mista, isto é, θ j,k η j,k, Φ 0 j,k, Φ 1 j,k (1 η j,k )N(0, Φ 0 j,k) + η j,k N(0, Φ 1 j,k), (2.6) onde η j,k Bernouli(p j,k ), e Φ 0 j,k e Φ 1 j,k são matrizes de covariâncias conhecidas tal que Φ 0 j,k implica em uma distribuição bastante concentrada em torno da média 0, enquanto que Φ 1 j,k impôe uma distribuição bastante dispersa. Esta especificação considera, imparcialmente, processos latentes µ(s) não homogêneos. 9

23 2.5 Estimação A estimação do processo latente para o nível mais desagregado µ J 1 é executada assumindo uma função de perda quadrática. Em consequência, o estimador Bayesiano é a média a posteriori de µ J 1. Um importante resultado oriundo da construção realizada por Kolaczyk e Huang (2001) é que a distribuição a posteriori da média do processo para o nível mais desagregado µ J 1 é fatorizada em termos de uma nova reparametrização, expressa por: n j J 2 f(µ J 1 y J 1 ) = f(µ 0 y 0 ) f(θ j,k y D j,k, y j,k ). (2.7) j=0 k=1 Em consequência de (2.7), a média a posteriori para µ J 1 pode ser recursivamente calculada usando a expressão ˆµ D j,k = ˆθ j,k + ν j,k ˆµ j,k, onde ˆθ j,k = E[θ j,k y D j,k, y j,k ]. O procedimento recursivo se inicia com o cálculo da média a posteriori do processo latente para o nível mais agregado: ˆµ 0 = (Σ Φ 1 0 ) 1 (Σ 1 0 y 0 + Φ 1 0 mµ 0 ). Note que quando a priori para µ 0 é pouco informativa, a média a posteriori será próxima de y 0. Quando a priori conjugada normal (2.5) é usada, a distribuição a posteriori para θ j,k tem densidade normal com média dada por ˆθ j,k = Φ j,k (Φ j,k + Ω j,k ) 1 (y D j,k ν j,k y j,k ). (2.8) Quando a priori de misturas de normais (2.6) é usada, a distribuição a posteriori de θ j,k é também uma mistura de normais. Nesse caso, a média a posteriori será 10

24 expressa por ˆθ j,k = q j,kˆθ1 j,k + (1 q j,k )ˆθ 0 j,k, onde ˆθ 0 j,k e ˆθ 1 j,k são calculados através de (2.8) usando Φ 0 j,k e Φ 1 j,k, respectivamente, em substituição a Φ j,k. Além disso, q j,k = P (η j,k = 1 y D j,k, y j,k ) = O j,k 1 + O j,k, onde O j,k é a razão de chances a posteriori para cada nó (j, k), variando entre 0 e 1 e controlando a componente de mistura, isto é, O j,k = p j,k 1 p j,k Φ 0 j,k + Ω j,k 0.5 exp{0.5(y D j,k ν j,k y j,k ) (Φ 0 j,k + Ω j,k ) 1 (y D j,k ν j,k y j,k )} Φ 1 j,k + Ω j,k 0.5 exp{0.5(y D j,k ν j,k y j,k ) (Φ 1 j,k + Ω j,k ) 1 (y D j,k ν j,k y j,k )} Estimação do Elemento Excluído Observe que se σ 2 j for conhecido, Ω j,k também o será. Nesse caso, somente restaria estimar o vetor (µ 0, θ 0,..., θ J 2 ), que é uma reparametrização do vetor de médias µ J 1. Após a obtenção do estimador de (µ 0, θ 0,..., θ J 2 ), o passo seguinte é encontrar, recursivamente, os estimadores de (µ 1,..., µ J 1 ). Para tal, necessita-se, além dos estimadores dos θ s, dos estimadores das médias do ancestral e dos descendentes. Recorde que a eliminação de um dos elementos no proceso de inferência se faz necessária, pois do contrário, a verossimilhança fatorizada envolveria uma função degenerada, visto que y j,k = (j+1,k ) D j,k y j+1,k. Observe que os θ s e os µ D j,k s têm dimensões iguais a n D j,k. Assim sendo, o cálculo da estimativa de µ Dj,k pode ser realizado da seguinte forma: 11

25 Inicialmente toma-se o valor de ν j,k e o estimador de µ j,k. Em seguida, estima-se θ j,k, este também possuindo dimensão igual a n D j,k. Posteriormente, com uso da expressão θ j,k = µ D j,k ν j,k µ j,k, calcula-se o estimador de µ D j,k. Finalmente, em decorrência da expressão (2.2), observe que o descendente excluído pode ser estimado pela diferença entre o estimador de µ j,k e a soma dos elementos do estimador de µ D j,k. Isto é, igual a ˆµ j,k ˆµ j+1,k. (j+1,k ) D j,k Desse modo, o estimador de µ Dj,k poderá ser calculado sucessivamente ao longo do tempo t. 2.6 Aplicações Nesta seção apresentamos duas aplicações iniciais da modelagem multi-escala proposta por Kolaczyk e Huang (2001): a primeira, utilizando os dados simulados de 3 curvas (seno, parábola e uma reta) e a segunda fazendo uso de dados do PIB per capita do estado do Espírito Santo. Os dados referentes ao PIB e população por município estão disponibilizados na base de dados mantida pelo IPEA (Instituto de Pesquisa Econômica e Aplicada) e podem ser obtidos no endereço eletrônico Aplicação a Dados Simulados Geramos dados de uma reta, de um seno e de uma parábola. Em cada caso as gerações foram realizadas em 3 níveis de resolução. Cada ancestral do nível j = 0 e j = 1 possui, respectivamente, 3 descendentes, totalizando 45 áreas no 12

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