ALGUMAS ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO CIENTÍFICA REALIZADAS PELOS ESTUDANTES
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- Geovane César Zagalo
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1 ALGUMAS ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO CIENTÍFICA REALIZADAS PELOS ESTUDANTES Trinh Dang Khoi ( ISCED/Luanda ) Ta thi Oanh ( Faculdade de Ciências ) Este trabalho baseia-se fundamentalmente na busca de respostas das seguintes perguntas: O estudo e o ensino nas instituições do ensino superior devem estar associados com a investigação científica? Porque se acha ser importante a investigação científica nas instituições do ensino superior? Os estudantes podem durante a frequência do ensino superior realizar algumas investigações matemáticas? Como começar uma investigação matemática? O estudo e o ensino baseados na investigação científica ajudam a entender profundamente os conhecimentos e a elevar a qualidade de aprendizagem, provocam a curiosidade e a paião de estudo nos alunos. O estudo e ensino associados à investigação científica não só elevam a competência independente e a iniciativa de trabalho individual, mas também desenvolvem a inteligência, abrindo caminho para o desenvolvimento do pensamento e do raciocínio matemático. A história da matemática evidencia que vários matemáticos criaram teorias famosas durante a frequência do ensino universitário. Pretendemos neste trabalho mostrar aos estudantes que de um problema matemático simples (ao nível universitário), podemos criar novos e interessantes resultados. Além disso, pretendemos também indicar algumas actividades iniciais de investigação matemática, tais como: Enunciar um resultado de tras maneiras, criar novos resultados matemáticos a partir de um resultado já conhecido. Criar eercícios novos, a partir de um resultado conhecido. Utilizar os métodos de generalização, particularização e o método análogo para criar novos resultados. Comecemos pelo seguinte problema simples: «Demonstrar que 3 divide um dos três números: m, m+2, m+4, para todo número inteiro m Demonstração: m Z, tem-se: 1
2 m 3 q q Z m 3 q 1 q Z m 3 q 2 q Z Se m 3q, q Z então 3 m (2) Se m=3q+1, q Z então m+2=(3q+1)+2=3(q+1) 3 (m+2) (3) Se m=3q+2, q Z então m+4=(3q+2)+4=3(q+2) 3 (m+4) (4) De (2), (3), e (4) concluímos que: 3 divide um dos três números m, m+2,m+4, m Z (5) Observação: Analisando a solução acima tem-se: m Z, m 3 q q Z m 3 q 1 q Z m 3 q 2 q Z Se m 3q, q Z então 3m (6) Se m=3q+1, q Z então k1 Z, m 3k1 2 (3q 1) 3k1 2 3( q k1 1) 3(m+3k 1 +2) (7) se m=3q+2, q Z então k2 Z, m 3k2 4 (3q 2) 3k2 4 3( q k2 2) 3 (m+3k 2 +2) (8) De (6), (7), e (8) concluímos que: 3 divide um dos três números inteiros m, m+3k 1 +2, m+3k 2 +4, m Z (9) Particularizando o resultado (9) obtemos uma série de novos resultados: Resultado (5) é caso particular de (9) com k 1 =k 2 =0 Se k 1 =1 e k 2 =2, tem-se: 3 divide um dos três números inteiros m, m+5, m+10, m Z (10) Se k 1 =-2 e k 2 =0, tem-se: 3 divide um dos três números inteiros m, m-4, m+4, m Z (11) Se k 1 =-1 e k 2 =-1 tem-se: 3 divide um dos três números inteiros sucessivos m-1, m, m+1, m Z (12) De (12) surge a seguinte hipótese: n divide um dos n números inteiros sucessivos? (13) 2
3 De (1) utilizando a particularização, obtém-se: 3 divide um dos 3 números inteiros pares sucessivos 3 divide um dos 3 números inteiros impares sucessivos Donde, pela generalização, surgem as seguintes hipóteses: n divide um dos n números inteiros pares sucessivos? (14) n divide um dos n números inteiros impares sucessivos? (15) Interesse-nos agora demonstrar que as hipóteses (13) e (14) são verdadeiras. Com efeito, sejam m, m+1,..., m+(n-1) n números inteiros sucessivos, tem-se: m nq q Z m nq 1 q Z m nq 2 q Z... m nq ( n 1), q Z, Se m nq, q Z então n m (16) Se m=nq+1, q Z então m ( n 1) ( nq 1) ( n 1) n( q 1) Isto é n (m+(n-1) (17) Se m nq 2, q Z então m ( n 2) ( nq 2) ( n 2) n( q 1) Isto é n /( m ( n 2)) (18)... Se m=nq+(n-1), q Z então m+1=[nq+(n-1)]+1=n(q+1) isto é n (m+1) (19) Combinando (16), (17), (18), (19) concluímos que: n divide um dos n números inteiros sucessivos (20) De modo análogo verifica-se como sendo verdadeira a hipótese (14). Quer dizer: n divide um dos n números inteiros pares sucessivos (21) Mas, a hipótese (15) é falsa. Para verificar a sua falsidade vamos mostrar o seguinte contra eemplo: Tomemos por eemplo os números 5, 7, 9 e 11. São quatro números ímpares sucessivos mas 4 não divide nenhum deles. Quer dizer que nenhum destes quatro números é divisível por 4. Em consequência de (20) e (21) obtemos os seguintes corolários: n divide o produto de n números inteiros sucessivos (22) n divide o produto de n números inteiros pares sucessivos? (23) Considerando (22), nos casos particulares obtemos: 2 (n-1)n n Z (24) 3
4 3 (n-1)n(n-1) n Z (25) O enunciado 24 pode ser traduzido de seguintes formas: 2 (n-1)n, n Z 2 (n 2 -n), n Z (26) (Proposição verdadeira) 2 n(n+1), n Z 2 (n 2 +n ), n Z (27) (Proposição verdadeira) 2 (m+1)(n+2), n Z 2 (n 2 +3n + 2 ), n Z (28) (Proposição verdadeira) O enunciado 25 pode ser traduzido de seguintes formas: 3 (n-1)n(n+1), n Z 2 (n 3 -n), n Z (29) (Proposição verdadeira) 3 n(n+1)(n+2), n Z 3 (n (n 3 +3n 2 +2n), n Z (30) (Proposição verdadeira) 3 (n+1)(n+2)(n+3), n Z 3 (n 3 +6n 2 +11n+6), n Z (31) (Proposição verdadeira) Designemos por P(2), a proposição 2 (n 2 -n), n Z (Proposição verdadeira) Designemos por P(3), a proposição:3 (n 3 -n), n Z (Proposição verdadeira) Por P(m) a proposição m (n m -n), n Z, m Z (?) As proposições P(2), P(3), P(m) são análogas no sentido de que 2, 3,..., m são números inteiros positivos. Das proposições (26) e (29) se confirma que P(2) e P(3) são proposições verdadeiras. Surge então uma indagação referente a P(m): Será, P(m) verdadeira para todo m = 1, 2, 3,...? Podemos através de um contra eemplo, mostrar a falsidade de P(m). Desta forma, tomando por eemplo m=4, n=2, obtemos 4 não divide Analisemos, agora a relação análoga seguinte: As proposições P(2), P(3),...,P(p) são análogas no sentido de que 2, 3,...,p são números primos. Sabendo que P(2), P(3) são proposições verdadeiras, surge naturalmente, a pergunta: P(p) é verdadeira, para todo número arbitrário primo? Esta hipótese é verdadeira, e conhecida por Pequeno problema de Fermat. A CRIAÇÃO começa do mesmo problema nas aulas. Nesta parte apresenta-se a aplicação de derivada para criar novos eercícios e novos resultados, por eemplo: seja a função y = + cos, contínua e derivável, R obtémse y 1- sen. 4
5 Com y 0, + 2, 0,1,2,3..., por isso y é constante crescente, R 2 temos: a) y (0) < Y(), 0 Desta relação, criando uma desigualdade obtém-se: 1< + cos, 0 b) y(0) > y(), 0 Desta relação, criando uma desigualdade obtém-se: 1> + cos, 0 Eemplo 2: considerando a função y 5, continua e derivável, obtém-se: y 1. Como: a) y > 0, 0 a função y 5 é crescente, 0 y0 y, , 0. Então, permite criar a desigualdade: 1, 0 b) y 0, 0 a função y 5 é decrescente, 0 y0 y, 0 1 5, 0, o que permite criar tra desigualdade: 1, 0 De (1) e (2), é criada a desigualdade 1, 0 Eemplo 3: Consideramos a função y ln1, 1 continua e derivável para todos 1. Desta função resulta: 1 y y + - y 0 Então, 1. y y 0 ( 1,0 ) Como y 0 0 é uma função decrescente 0, quer dizer, y 0 y, 0 5
6 então, criando uma desigualdade: ln1, 0 (1) Como y 0, 1,0, então a função é crescente, (1,0 ] y 0 y, 1,0 0 ln 1, 1,0 Assim, criando tra desigualdade obtém-se: ln 1, ( 1,0 (2) ) De (1) e (2) se obtém a desigualdade: ln 1, e 0 1 Conclusão O presente trabalho tem por objectivo apresentar os métodos de raciocínio matemático: o método de analogia, a generalização e particularização no estudo, no ensino, e na investigação matemática e algumas actividades de investigação científica realizada pelos estudantes matemáticos. O estudo, e o ensino no espírito de investigação científica são interessantes e contribuem para o desenvolvimento do pensamento matemático. O presente trabalho servirá de apoio aos estudantes e aos professores no seu estudo e no seu trabalho. Neste trabalho a partir de um eemplo simples indicamos algumas actividades de investigação matemática. 6
7 Bibliografia: 1. A - A Stolia: Método para ensinar matemática, G. Polya: Como estabelecer e resolver os problemas. 3. V. M Bradi: Os erros sobre eercícios matemáticos (Tradução em Língua Vietnamita Hanoi, 1972). 4. Trinh Dang Khoi, Ta Thi Oanh, Maria da Conceição Domingos, Kulonga, revista das ciências da educação e estudos multidisciplinares Nº 1 Setembro 2002, o estudo da proposição análogo. 5. Trinh Dang Khoi, Ta Thi Oanh, Kulonga, revista das ciências da educação e estudos multidisciplinares (será publicada na nº 3) Generalização, particularização e o método análogo no estudo, no ensino e na investigação matemática. 7
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