Apontamentos Teóricos de Probabilidades e Estatística

Transcrição

1 UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR Apontamentos Teóricos de Probabilidades e Estatística Jorge Gama Ano Lectivo 005/006 0

2 Capítulo 1 Teoria das Probabilidades 11 Introdução Na Estatística Descritiva descreveram-se e analisaram-se conjuntos de observações relativas a fenómenos aleatórios Neste campo os conceitos estatísticos estabelecidos eram empíricos Embora esse estudo seja importante, é sem dúvida limitado quando se pretende analisar e interpretar ou tomar decisões no contexto dos fenómenos em estudo Neste capítulo estudaremos as noções básicas da Teoria das Probabilidades, teoria esta que é o suporte sobre a qual assenta a teoria da análise, interpretação e tomadas de decisão no contexto do estudo dos fenómenos aleatórios, isto é, a Inferência Estatística A Teoria das Probabilidades (ou cálculo das probabilidades) pode caracterizar-se como o modelo matemático das regularidades que se observam nas distribuições de frequências correspondentes aos fenómenos aleatórios Todo o modelo matemático parte de determinadas propriedades básicas: os axiomas No entanto, antes de abordarmos os axiomas da Teoria das Probabilidades é necessário introduzirmos/compreendermos determinados conceitos Um fenómeno diz-se aleatório quando o acaso interfere na ocorrência de um ou mais dos resultados nos quais tal fenómeno se pode traduzir Conjugando determinado número de condições, um resultado aleatório pode ocorrer ou não Assim, um fenómeno aleatório caracteriza-se fundamentalmente pelo seguinte: a) Pode ser repetido inúmeras vezes em idênticas condições b) Não se pode afirmar qual o resultado da realização de uma repetição antes da sua realização c) Apesar de os resultados das experiências se mostrarem irregulares, verifica-se que os resultados obtidos ao cabo de uma longa repetição da experiência apresentam regularidade estatística Exemplos 11 1 Considere-se o lançamento ao ar de uma moeda e registo da face voltada para cima Observação 11 No caso de uma moeda perfeita, repetido o lançamento um número elevado de vezes verifica-se aproximadamente o mesmo número de faces e coroas, isto é, pode prever-se qual a proporção de faces e coroas num grande número de lançamentos (regularidade estatística) Lançamento de um dado e registo do número de pontos obtidos 3 Extracção de uma carta de um baralho e registo das suas características 4 Selecção ao acaso de um habitante de uma cidade com o objectivo de conhecer as suas despesas mensais 5 Observação do sexo de um recém-nascido numa série de nascimentos 1 Espaço de Resultados Definição 11 O conjunto de todos os resultados possíveis associados a uma experiência aleatória denominase espaço de resultados (ou espaço-amostra, ou espaço amostral, ou espaço universal, ou, ainda, espaço fundamental) 1

3 Notação 11 O espaço de resultados associado a uma dada experiência aleatória será designado por Ω Qualquer resultado individual é designado por ω (ω Ω) Observação 1 Os elementos de Ω podem ser números, sequências de números, atributos ou grupos de atributos ou, ainda, uma combinação de elementos quantitativos e qualitativos Exemplos 1 1 No lançamento de uma moeda se designarmos por F a face e por C a coroa, o espaço de resultados é Ω = {F, C} No lançamento de um dado de seis faces existem seis resultados possíveis Designando por j, com j = 1,, 6, o resultado que consiste na aparição da face com o número j de pontos, o espaço de resultados é Ω = {1,, 3, 4, 5, 6} 3 No lançamento de uma moeda e de um dado, o espaço de resultados poderá ser descrito por: 13 Acontecimentos Aleatórios Ω = {F 1, F, F 3, F 4, F 5, F 6, C1, C, C3, C4, C5, C6} Definição 1 Os subconjuntos de Ω designam-se por acontecimentos Notação 1 1 Os acontecimentos serão designados por letras maiúsculas (A, B, C,, A 1, A, ) Representaremos por P(Ω) as partes de Ω, isto é, o conjunto de todos o acontecimentos de Ω Observações 13 1 Obviamente, Ω é um acontecimento (dito acontecimento certo) ( Ω P(Ω)) Ao acontecimento formado por um único elemento ({ω}) damos a designação de acontecimento elementar 3 O acontecimento denomina-se de acontecimento impossível ( P(Ω)) Exemplo 13 No lançamento de duas moedas ou, simplesmente, Ω = {(F, F ), (F, C), (C, F ), (C, C)} Ω = {F F, F C, CF, CC} Acontecimentos elementares: {F F }, {F C}, {CF } e {CC} Outros acontecimentos: A = {F C, CF } saída de exactamente uma face (ou de exactamente uma coroa); B = {F F, F C} saída de face na 1 a moeda; C = {F C, CF, CC} saída de pelo menos uma coroa 131 Principais Conceitos da Álgebra de Acontecimentos Como, por definição, os acontecimentos são conjuntos, podemos concluir que existe paralelismo entre a álgebra dos conjuntos e a álgebra dos acontecimentos Assim, podemos usar os símbolos:,,,, =,,, \, etc Questões de Linguagem Quando se diz que um acontecimento ocorre (se realiza) é porque se observou a ocorrência (realização) de um seu elemento no contexto de uma experiência aleatória Por exemplo, no lançamento de um dado de seis faces, se a face voltada para cima era o elemento, então o acontecimento {1,, 3} ocorreu Sejam Ω um espaço de resultados e A e B acontecimentos de Ω

4 1) A ocorrência (realização) de A implica a ocorrência de B se, e somente se, todo o elemento de A é elemento de B Escreve-se, então, A B ) A e B são idênticos se, e somente se, a ocorrência de um implica a ocorrência do outro, isto é, A B e B A Escreve-se A = B 3) Intersecção ou produto lógico de A por B é o acontecimento que ocorre se, e somente se, A e B ocorrem simultaneamente Representa-se este acontecimento por A B (ou AB) 4) Reunião entre os acontecimentos A e B é o acontecimento que ocorre se, e somente se, A ou B ocorre, isto é, pelo menos um deles Representa-se este acontecimento por A B 5) A e B dizem-se incompatíveis se, e somente se, a ocorrência de um deles implica a não ocorrência do outro, isto é, A B = Os acontecimentos A 1, A,, A n dizem-se mutuamente exclusivos se, e somente se, A i A j =, para i j 6) Diferença entre B e A é o acontecimento que ocorre se, e somente se, B ocorre sem que ocorra A Representa-se por B \ A (ou B A) 7) Quando A B, B \ A é o acontecimento complementar de A em relação a B Em particular, Ω\A designa-se por acontecimento complementar (contrário) de A e ocorre se, e somente se, A não ocorre É usual representar-se por A Nota: A A = e A A = Ω 8) Diferença simétrica entre A e B é o acontecimento que ocorre se, e somente se, ou ocorre A ou ocorre B, isto é, ocorre um e um só dos acontecimentos, ou ainda, ocorre A ou B, mas não simultaneamente os dois Este acontecimento representa-se por A B e A B = (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B) 3

5 Proposições 11 Sejam Ω um espaço de resultados associado a uma dada experiência aleatória e A, B, C Ω 1 A operação reunião (resp intersecção) é associativa: A (B C) = (A B) C (A (B C) = (A B) C) A operação reunião (resp intersecção) é comutativa: A B = B A (A B = B A) 3 A operação reunião (resp intersecção) é distributiva relativamente à operação intersecção (resp reunião): A (B C) = (A B) (A C) (A (B C) = (A B) (A C)) 4 A operação reunião (resp intersecção) é idempotente: A A = A (A A = A) 5 i) A B A B = B ii) A B A B = A 6 i) A Ω = Ω ii) A = A iii) A Ω = A iv) A = 7 Leis de De Morgan: i) A B = A B ii) A B = A B 8 A \ B = A B 9 A = A 10 i) (A B) (A B) = A ii) (A B) (A B) = 14 Axiomas da Teoria das Probabilidades Definição 13 Seja Ω um espaço de resultados associado a uma dada experiência aleatória Chama-se probabilidade a uma função P : P(Ω) R que satisfaz os seguintes axiomas: (A1) P (A) 0; para todo o acontecimento A (A) P (Ω) = 1; (A3) Se A 1, A, A 3,, são acontecimentos mutuamente exclusivos, isto é, A i A j =, para i j, então P A i = P (A i ) i 1 i 1 Proposições 1 Sejam Ω um espaço de resultados e A, B e C três acontecimentos, quaisquer 1 P ( A ) = 1 P (A); P ( ) = 0; 4

6 3 P (A \ B) = P (A) P (A B); 4 P (A B) = P (A) + P (B) P (A B); 5 P (A B) P (A) + P (B); 6 A B P (A) P (B); 7 0 P (A) 1; 8 P (A B) = P (A) + P (B) P (A B); 9 P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C) 15 Espaços de Resultados Finitos Definição Clássica de Probabilidade Suponhamos que o espaço de resultados Ω é finito Então Ω = {ω 1, ω,, ω n } Vamos admitir a hipótese de equiprobabilidade, isto é, vamos admitir que P ({ω 1 }) = P ({ω }) = = P {ω n }) Assim, podemos deduzir que o valor comum destas probabilidades é 1 n De facto tem-se P (Ω) ( = 1 n ) P {ω i } = 1 i=1 n P ({ω i }) = 1 i=1 np ({ω j }) = 1, para j = 1,, n P ({ω j }) = 1, para j = 1,, n n E para qualquer acontecimento A = {ω i1, ω i,, ω im }, obtemos, por processos análogos, P (A) = m n Isto é, a probabilidade de um acontecimento é o quociente entre o número de resultados (casos) favoráveis à ocorrência do acontecimento e o número de resultados possíveis considerados como equiprováveis (Regra Clássica de Laplace): P (A) = no de casos favoráveis n o de casos possíveis = #A #Ω 16 Probabilidades Condicionadas Independência Definição 14 Sejam Ω um espaço de resultados e A e B dois acontecimentos, em que P (B) > 0 A nova função P (A B) = P (A B) P (B) denomina-se probabilidade condicional (ou condicionada) de A (por B) Observações 14 1 Obviamente, com B fixo, P ( B) satisfaz os axiomas das probabilidades P (A B) prob de ocorrer A, dado que ocorreu B (ou prob de A condicionada pela realização de B) Teorema 13 Sejam A 1, A,, A n acontecimentos tais que P (A 1 A A n 1 ) > 0 Então P (A 1 A A n ) = P (A 1 )P (A A 1 )P (A 3 A 1 A ) P (A n A 1 A A n 1 ) 5

7 Definição 15 Dois acontecimentos A e B dizem-se independentes se, e somente se, P (A B) = P (A) P (B) Dois acontecimentos são independentes se a probabilidade da ocorrência de um não afecta a probabilidade da ocorrência do outro O teorema seguinte justifica esta afirmação Teorema 14 Os acontecimentos A e B de probabilidade positiva são independentes se, e somente se, P (A B) = P (A) (ou P (B A) = P (B)) Definição 16 Os acontecimentos A 1, A,, A n são mutuamente independentes se, e somente se, para todos os inteiros i 1, i,, i k, satisfazendo as condições se tem 1 i 1 < i < i 3 < < i k n, P (A i1 A i A ik ) = P (A i1 )P (A i ) P (A ik ) Exemplo 14 Considerem-se 4 cartas numeradas de 1 a 4 Tira-se ao acaso uma carta e admita-se a hipótese de equiprobabilidade Sejam: E 1 = a carta retirada é 1 ou 4 ; E = a carta retirada é 1 ou 3 ; E 3 = a carta retirada é 1 ou Observe-se que P (E 1 ) = P (E ) = P (E 3 ) = 1 e P (E 1 E ) = 1 4 = 1 1 = P (E 1) P (E ) Logo, E 1 e E são independentes Analogamente, pode mostrar-se que E 1 e E 3 são independentes, assim como E e E 3 No entanto, os três acontecimentos não são independentes, pois P (E 1 E E 3 ) = 1 4 e P (E 1 ) P (E ) P (E 3 ) = = 1 8 Teorema 15 (Teorema da Probabilidade Total) Sejam A 1, A,, A n acontecimentos mutuamente exclusivos (A i A j =, para i j) e exaustivos ( n i=1 A i = Ω) Se P (A i ) > 0, para i = 1,, n, então, para qualquer acontecimento B, P (B) = P (B A 1 ) P (A 1 ) + P (B A ) P (A ) + + P (B A n ) P (A n ) n = P (B A i ) P (A i ) i=1 Observação 15 Quando os acontecimentos são mutuamente exclusivos e exaustivos é vulgar utilizar o termo partição (de Ω) para os designar Observe o diagrama seguinte: Observe ainda que B = (B A 1 ) (B A ) (B A n ) 6

8 Corolário 16 Seja A um acontecimento tal que 0 < P (A) < 1 Então, para qualquer acontecimento B, P (B) = P (B A) P (A) + P (B A) P (A) Teorema 17 (Teorema de Bayes) Sejam A 1, A,, A n acontecimentos mutuamente exclusivos e exaustivos Se P (A i ) > 0, para i = 1,, n, e B é um acontecimento tal que P (B) > 0, então P (A j B) = P (B A j) P (A j ), i = 1,,, n n P (B A i ) P (A i ) i=1 Esta fórmula é conhecida por fórmula de Bayes ou fórmula das probabilidades à posteriori 7

9 8

10 Capítulo Variáveis Aleatórias Reais Distribuições de Probabilidade 1 Definição de Variável Aleatória É sabido que numa experiência aleatória o espaço de resultados, Ω, pode ter ou não carácter quantitativo Por exemplo, no lançamento de uma moeda o espaço de resultados que lhe está associado tem carácter qualitativo, mas se no lançamento de três moedas estivermos interessados no número de faces, o espaço de resultados que lhe está associado já tem carácter quantitativo A aplicação de procedimentos estatísticos passa, correntemente, pela atribuição de um número real a cada elemento ω Ω Essa atribuição pode ser até puramente convencional No entanto, esta atribuição terá que ser feita com cuidado por forma a podermos calcular a probabilidade de ocorrência de valores em intervalos reais Daí a definição seguinte Definição 1 Seja Ω um espaço de resultados associado a uma dada experiência aleatória Chama-se variável aleatória (abreviadamente, va) a uma função X : Ω R tal que A r = {ω Ω : X(ω) r}, com r R, seja um acontecimento Notação 1 É usual representarem-se as variáveis aleatórias pelas últimas letras maiúsculas: X, Y, Z, W, X 1, X,, Y 1, O restrição imposta à função X tem como objectivo que o seu contradomínio seja um novo espaço de resultados em que a cada um dos seus elementos associa-se uma probabilidade, calculável a partir das probabilidades de ocorrência dos resultados iniciais As vantagens da utilização de variáveis aleatórias torna-se evidente em muitos casos que nos irão surgindo Uma dessas vantagens surge em inúmeros casos onde não interessa apreciar os elementos de Ω com todos os pormenores de que se revestem, mas sim focarmos a nossa atenção na característica numérica em estudo Os exemplos seguintes ilustram este ponto de vista Exemplos 1 1 O espaço de resultados associado ao lançamento de uma moeda três vezes pode ser definido por Considere-se a seguinte variável aleatória: X = número de faces Ω = {F F F, F F C, F CF, F CC, CCC, CCF, CF F, CF C} Esta variável aleatória tem como contradomínio Ω = {0, 1,, 3} e, admitindo-se a hipótese de equiprobabilidade, 9

11 P (X = 0) = P ({CCC}) = 1 8 P (X = 1) = P ({F CC, CCF, CF C}) = 3 8 P (X = ) = P ({F F C, F CF, CF F }) = 3 8 P (X = 3) = P ({F F F }) = 1 8 A partir dos cálculos anteriores podemos calcular a probabilidade de outros acontecimentos Por exemplo, a probabilidade de ocorrer pelo menos duas faces: P (X ) = P (X = ) + P (X = 3) = 1 Ou ainda, a probabilidade de ocorrer menos de 3 faces: P (X < 3) = 1 P (X = 3) = 7 8 Considere-se uma população de empresas das quais se escolhe uma ao acaso O espaço de resultados é Ω = {ω 1, ω,, ω n }, onde n é o número total de empresas na população Consoante os objectivos do estudo, diversas variáveis aleatórias podem ser definidas Eis alguns exemplos: X 1 = número de empregados de uma empresa; X = capital social de uma empresa; X 3 = volume anual de vendas de uma empresa Proposição 1 Sejam Ω um espaço de resultados, X : Ω R e Y : Ω R duas variáveis aleatórias, e c R Então, i) X + Y é uma variável aleatória; ii) c X é uma variável aleatória; iii) X Y é uma variável aleatória Definição Seja X uma va Chama-se à função F X (ou F) função de distribuição (cumulativa) (fd) de X, se F X : R [0, 1] tal que F X (x) = P (X x), para todo x R A fd, F (x), de uma va X goza das seguintes propriedades: Teorema 1 0 F (x) 1; F (x) é não decrescente; 3 F ( ) = lim F (x) = 0; F (+ ) = lim F (x) = 1; x x + 4 Para valores x 1 e x quaisquer, finitos, com x > x 1, tem-se P (x 1 < X x ) = F (x ) F (x 1 ); 5 F (x) é contínua à direita, isto é, lim F (x) = F (a); x a + 6 P (X = a) = F (a) F (a ) = F (a) lim x a F (x) Definição 3 Sejam X uma va e D = {a : P (X = a) > 0} um conjunto, quando muito numerável, dos pontos de descontinuidade de uma fd A va X diz-se discreta quando P (X D) = 1; a va diz-se não discreta quando P (X D) < 1 10

12 Quando X é uma va discreta existe um conjunto finito ou infinito numerável, D = {a 1, a, }, tal que, P (X D) = i P (X = a i ) = 1, P (X = a i ) > 0, i = 1,, Estas duas propriedades permitem especificar a probabilidade de qualquer acontecimento de R em termos de uma soma ou série de parcelas do tipo P (X = a i ), com a i D De facto, com E R, como E D D e P (X D) = 0, vem, P (X E) = P (X E D) + P (X E D); P (X E) = Esta propriedade torna útil a seguinte definição: a i E D P (X = a i ) Definição 4 Seja X uma va discreta Chama-se função de probabilidade (fp) de X à função f X (ou f) definida por: { P (X = x) se x D f X (x) = 0 se x D Definição 5 Seja X uma va e F (x) a respectiva fd A va X diz-se contínua se D = {a : P (X = a) > 0} = e existe uma função não negativa, f X (x) 0 (ou f), tal que F X (x) = x f X (u) du A esta função f X (x) chama-se função de densidade de probabilidade, (fdp), ou simplesmente função de densidade Observações 1 1 Mostra-se que, se D = {a : P (X = a) > 0} =, então F (x) não apresenta descontinuidades Atendendo às definições anteriores e aos axiomas das probabilidades mostra-se que toda a função de probabilidade (resp densidade) satisfaz as condições: i) f(x) 0, x R ii) i f(x i) = 1 (resp + f(u) du = 1) 3 Se X é uma va discreta, então F X (x) = {i: x i x} f X(x i ) 4 Se X é uma va contínua, então F X (x) = f X(x), excepto num conjunto finito ou infinito numerável de pontos x de probabilidade nula Exemplos 1 Consideremos novamente o exemplo 1 dos Exemplos 1 A função de probabilidade desta va é definida por: x f(x)

13 E graficamente, A sua função de distribuição é definida por: F (x) = 0 se x < se 0 x < 1 1 se 1 x < 7 8 se x < 3 1 se x 3, ou, em forma de tabela, x x < 0 0 x < 1 1 x < x < 3 x 3 F (x) E, graficamente, Nota: O gráfico da função de distribuição de uma variável discreta é sempre em escada Seja Y uma va cuja função de distribuição é definida por 0 se y < 0 y F (y) = se 0 y < se y 3 Então, a sua função de densidade pode ser definida por 1 se 0 y 3 f(y) = 3 0 se y < 0 y > 3 E os seus gráficos: Nota: O valor da probabilidade num intervalo corresponde a uma área entre o eixo das abcissas e o gráfico de f, no intervalo considerado Definição 6 Uma va discreta X diz-se constante se existe a R tal que P (X = a) = 1 1

14 Medidas de Localização e Dispersão Momentos 1 Medidas de Localização Definição 7 Denomina-se média, esperança matemática ou valor esperado de uma va X ao número, caso exista, µ X ou E(X) definido por: i) E(X) = i x if(x i ), se X é uma va discreta tomando valores em {x 1, x, } ii) E(X) = + xf(x) dx, se X é contínua Exemplos 3 1 Considerando novamente o exemplo 1 dos Exemplos 1, E(X) = = 3 Se f(y) = 1 3 se 0 y 3 0 se y < 0 y > 3 é a função de densidade de probabilidade de uma va Y, então E(Y ) = + yf(y) dy = 0 Definição 8 Seja X uma va e φ(x) uma função de X 1 E(φ(X)) = i φ(x i)f X (x i ), se X é discreta; E(φ(X)) = + φ(x)f X(x) dx, se X é contínua 3 y y 0 dy dy y 0 dy = 3 Proposições 3 Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, φ(x) uma função de X, e a e b constantes reais 1 E(a) = a; E(a φ(x)) = a E(φ(X)); 3 E(a X + b Y ) = a E(X) + b E(Y ) Outras medidas de localização de uma va, alternativas à média, são a mediana (η X ) e a moda (m X ) Definição 9 Seja X uma variável aleatória A mediana de X é o valor de x que satisfaz as desigualdades, P (X x) 1 e P (X x) 1, e representa-se por η X ou, simplesmente, η Em termos da função de distribuição, a dupla desigualdade é equivalente a 1 F (x) 1 + P (X = x) 13

15 Se X é contínua, a mediana é o valor x que satisfaz, F (x) = x f(u) du = 1 Se existir mais do que um valor que sirva para mediana, então toma-se para mediana η = x min + x max, onde x min e x max representam, respectivamente, o mínimo e o máximo do conjunto de soluções Podemos, a partir da ideia de mediana, definir parâmetros usando outros valores de probabilidade Definição 10 Dado qualquer número p, 0 < p < 1, define-se p-ésimo quantil de uma va distribuição como o valor x que satisfaz as desigualdades, ou de uma P (X x) p, P (X x) 1 p, isto é, p F (x) p + P (X = x) Se a va é do tipo contínua, o quantil de ordem p é o número x que satisfaz a equação, F (x) = p O quantil de ordem p será representado por ζ p ou x f(u) du = p Em particular, com p = s/4, s = 1,, 3, obtém-se os quartis, sendo o quartil de ordem a mediana; com p = s/10, s = 1,,, 9, os decis, com p = s/100, s = 1,,, 99, obtém-se os percentis Definição 11 Chama-se moda de uma va X, m X, a um valor da variável (caso exista) do seu contradomínio para o qual f X (função de probabilidade ou função de densidade de probabilidade de X) toma um valor máximo Exemplos 4 1 No contexto do exemplo 1 dos Exemplos 1, e tem duas modas (bimodal), m 1 = 1 e m = η X = 1 + Nota: No caso de variáveis aleatórias discretas, existe alguma bibliografia que considera para moda o ponto médio dos valores adjacentes da variável que maximizam a função de probabilidade No contexto do exemplo dos Exemplos, existem uma infinidade de modas Qualquer valor do intervalo [0, 3] é uma moda Medidas de Dispersão Definição 1 1 Se X é uma va discreta tomando valores em {x 1, x, }, chama-se desvio absoluto médio à medida de dispersão definida por δ X = x i µ X f X (x i ) i = 3 Se X é uma va contínua, o desvio absoluto médio define-se por δ X = + x µ X f X (x) dx 14

16 Outra quantidade de grande importância, que permite definir outra medida de dispersão, é a variância de uma variável aleatória Definição 13 1 Se X é uma va discreta tomando valores em {x 1, x, }, a variância de X, σ X ou Var(X), define-se por Var(X) = i (x i µ X ) f X (x i ) Se X é uma va contínua, a variância define-se por Var(X) = + Observação É evidente que Var(X) = E [ (X µ X ) ] Proposições 4 Se X é uma va, então 1 Var(X) = E(X ) [E(X)] (fórmula de Köenigs) Var(aX) = a Var(X), com a uma constante real (x µ X ) f X (x) dx Observação 3 E(X ) = i x i f X(x i ), se X é uma va discreta, ou E(X ) = + x f X (x) dx, se X é uma va contínua À custa da variância define-se outra medida de dispersão Definição 14 Chama-se desvio padrão de uma va X à medida de dispersão definida por 3 Variáveis Estandardizadas σ = Var(X) Definição 15 Seja X uma va com média µ e desvio padrão σ A va diz-se normalizada ou estandardizada Proposição 5 A va Z = X µ σ Z = X µ σ tem média 0 e desvio padrão 1 A estandardização de uma va permite uma mudança de escala e observe-se que uma va estandardizada não tem unidades Desta forma, é possível comparar as distribuições de variáveis aleatórias distintas 4 Momentos O valor esperado e a variância pertencem a uma família de parâmetros que se designam por momentos Enquanto o valor esperado pertence à subfamília dos momentos ordinários (ou momentos na origem), a variância pertence à subfamília dos momentos centrados Vejamos como se definem Definição 16 Chama-se momento ordinário de ordem k ao parâmetro µ k = i x k i f X (x i ), se X é uma va discreta, ou se X é uma va contínua µ k = + x k f X (x) dx, Observação 4 É evidente que o valor esperado é o momento ordinário de primeira ordem (µ 1 = µ) 15

17 Definição 17 Chama-se momento centrado (na média) de ordem k ao parâmetro µ k = i (x i µ X ) k f X (x i ), se X é uma va discreta, ou se X é uma va contínua µ k = + (x µ X ) k f X (x) dx, Observação 5 Repare-se que a variância é o momento centrado de segunda ordem (µ = σ ) Existem expressões que relacionam os momentos ordinários com os momentos centrados De facto, qualquer momento centrado de ordem k pode exprimir-se em função dos momentos ordinários de ordem não superior a k e vice-versa: µ k = k ( 1) ik C i (µ 1) i µ k 1 e µ k = i=0 k k C i (µ 1) i µ k i Observe-se que, na primeira expressão fazendo-se k =, obtém-se a fórmula de Köenigs Além dos momentos já definidos, existem outros momentos centrados (centrados em outro parâmetros) e ainda os momentos absolutos ordinários ou centrados O desvio absoluto médio é o momento absoluto centrado (na média) de primeira ordem Todos os parâmetros definidos (caso existam) caracterizam uma distribuição Para que duas distribuições sejam iguais é necessário que tenham a mesma sequência de momentos No entanto, esta condição não é suficiente, pois uma sequência de momentos não determina univocamente uma distribuição Para que tal suceda, é necessário garantir a existência de uma função que é designada por função geradora de momentos Este assunto será abordado na subsecção seguinte Na prática, raramente são calculados momentos de ordem superior a 4, pois tais momentos são de difícil caracterização No entanto, a igualdade de momentos não superiores a 4 é suficiente para que duas distribuições sejam aproximadamente iguais Vejamos algumas utilizações destes momentos Uma va X é simétrica ou possui uma distribuição simétrica, se existe um número a tal que, para todo o x, P (X < a x) = P (X > a + x), isto é, i=0 F (a x) P (X = a x) = 1 F (a + x) O ponto a é chamado centro de simetria Se a va é do tipo contínuo, deduz-se da igualdade anterior que a sua fdp, nos pontos onde é contínua, satisfaz a equação, f(a x) = f(a + x) Se a va é do tipo discreto, os pontos de salto e as correspondentes probabilidades dispõem-se simetricamente em relação a a Quando uma distribuição é simétrica é fácil concluir que os momentos centrados na média de ordem ímpar são nulos Assim, desejando-se caracterizar a assimetria por meio de um parâmetro, parece natural a utilização de um desses momentos, preferivelmente o de ordem 3, µ 3 Como este momento é de terceira ordem em termos da unidade original, leva a que se utilize para medida de assimetria o parâmetro ou γ 1 = µ 3 σ 3 β 1 = µ 3 µ 3 = γ1 Quando a assimetria é positiva (ramo esquerdo mais abrupto) são os desvios positivos que predominam no cálculo de µ 3, que, por esse facto, leva a que γ 1 > 0 A assimetria negativa caracteriza-se por γ 1 < 0 Outra função de momentos com algum interesse é, β = µ 4 µ, que é usado para medir o excesso de Kurtosis da distribuição, conceito associado com o achatamento da fdp ou fp na zona central da distribuição Costuma usar-se como meio de comparação a distribuição Normal estandardizada (que estudaremos no capítulo seguinte) Nesta distribuição µ 4 = 3 e µ = 1 Assim, em vez de β, usa-se por vezes, γ = β 3 16

18 5 Desigualdades Importantes para Momentos Teorema 6 (Desigualdade de Markov) Seja ϕ(x) uma função de uma va X Se existir E[ϕ(X)], então, para qualquer número real c > 0, P (ϕ(x) c) 1 c E[ϕ(X)] Corolário 7 Se X é uma va não negativa e se existir E(X), então, para qualquer número real c > 0, P (X c) E(X) c Corolário 8 Se X é uma va e se existir E(X), então, para qualquer número real c > 0, P ( X c) E( X ) c Corolário 9 Se X é uma va e se existir E( X r ), para qualquer número real r > 0, então, para qualquer número real c > 0, P ( X c) E( X r ) c r Corolário 10 Se X é uma va com média µ e variância σ, finita, então, para qualquer número real t > 0, P ( X µ tσ) 1 t A desigualdade do corolário anterior, que, aliás como todas as outras, também se pode apresentar na forma P ( X µ < tσ) 1 1 t é a bem conhecida desigualdade de Chebychev Trata-se de um instrumento muito importante em aplicações Pois, observe-se que, para qualquer va X, conhecidas a média e variância, a quantidade de probabilidade no intervalo ]µ tσ, µ + tσ[ nunca é inferior a 1 1/t, ou, o que é o mesmo, a quantidade de probabilidade fora desse intervalo nunca é superior a 1/t Esta desigualdade reforça a ideia da utilização de µ como medida de localização e σ como medida de dispersão, permitindo empregar-se quando não se conhece a distribuição da variável aleatória Evidentemente, se a distribuição da variável for conhecida, a desigualdade passa a ter menos interesse uma vez que pode calcular-se o valor exacto (ou pelo menos tão aproximado quanto se queira) de P ( X µ < tσ) No entanto, neste caso a sua utilização pode permitir fazer um cálculo mais rápido 6 Função Geradora de Momentos No intuito de caracterizar uma distribuição é possível, em muitos casos, obter uma função que permite gerar todos os momentos em relação à origem Definição 18 Define-se função geradora de momentos, abreviadamente fgm, da va X como sendo o valor esperado de e Xt, caso exista, e representa-se por G X (t) = E ( e Xt) Diz-se que a função geradora de momentos existe se existir uma constante positiva, a, para a qual G X (t) seja finita para t < a Observe-se, a partir da definição, que G X (0) = 1; a existência numa vizinhança de t = 0 depende da distribuição de X Teorema 11 Se a fgm é definida para t < a, com a > 0, então G (k) (0) = µ k, k = 1,, 3, Consequentemente, se G(t) existe numa vizinhança de 0, G(t) pode desenvolver-se, de uma única forma, em série de MacLaurin, G(t) = 1 + G (0) + G (0)t +! = = + k=0 + k=0 E ( X k) t k µ t k k k! 17 k!

19 Como é evidente, os momentos centrados de X são gerados pela fgm da distribuição da va X µ: ( G X µ (t) = E e t(x µ)) = e µt G X (t), ou, equivalentemente, G X (t) = e µt G X µ (t) Para a va estandardizada U = (X µ)/σ, tem-se G U (t) = E ( e tu ) ( = E e t(x µ)/σ) = e µt/σ G X (t/σ), ou G X (t) = e µt G U (σt) O teorema 11 não é a principal propriedade das fgm A principal reside no facto de permitirem identificar as distribuições para as quais existem: Teorema 1 A fgm determina univocamente a fd; reciprocamente, se a fgm existe, é única Exemplos 5 1 Considere-se a va X cuja fp é definida por { p(1 p) x 1 se x = 1,, f(x) = 0 ov de x onde 0 < p < 1, fixo Pretende-se determinar E(X) e V ar(x) a partir da fgm Resolução: G X (t) = E ( e Xt) = desde que (1 p)e t < 1, isto é, quando t < ln(1 p) Assim, resulta que e + x=1 p(1 p) x 1 e xt + = p e t (1 p) x 1 e (x 1)t x=1 + = p e t [ (1 p)e t ] x 1 x=1 = p e t 1 1 (1 p)e t G X(t) pe t = (1 (1 p)e t ) E(X) = G X(0) = 1 p Para o cálculo da derivada de segunda ordem, observe-se primeiro que Logo, e Consequentemente, G X(t) = G X (t) 1 (1 p)e t G X(t) = G X (t) [1 (1 p)et ] + (1 p)e t G X (t) [1 (1 p)e t ] E ( X ) = G X(0) = p p V ar(x) = p p 1 p = 1 p p 18

20 Considere-se agora a va Y com fdp dada por: { e y se y 0 g(y) = 0 se y < 0 Pretende-se determinar E(Y ) a partir da fgm de Y Resolução: G Y (t) = E ( e Y t) = + 0 = lim z + = = = e ty e y dy [ [ t (0 1) t t ] z 1 t e(t )y lim z + e(t )z 1 y=0 ] sempre que t < Logo, E(X) = G Y (t) t=0 = ( t) = 1 t=0 3 Vectores Aleatórios Quando se pretende estudar inúmeras situações, no estudo probabilístico ou estatístico, envolvendo n propriedades ou características quantitativas dos elementos ω do espaço de resultados Ω, faz-se corresponder a cada um desses elementos um ponto (x 1, x,, x k ) R n Isto é, ω (X 1 (ω), X (ω),, X n (ω)) Assim, por meio de uma aplicação Ω R n substitui-se o espaço de resultados pelo conjunto R n Definição 19 Se para cada ponto (x 1, x,, x n ) R n, o conjunto de Ω, é um acontecimento, diz-se que ou, simplesmente, {ω : X 1 (ω) x 1, X (ω) x,, X n (ω) x n } X(ω) = (X 1 (ω), X (ω),, X n (ω)), X = (X 1, X,, X n ), é um vector aleatório ou uma variável aleatória n-dimensional Os conceitos abordados para uma variável aleatória (fd, va discretas, va contínuas, fp, fdp, etc) podem generalizar-se para uma variável aleatória n-dimensional No entanto, grande parte de tal generalização será feita somente para va bidimensionais Assim, dada uma va bidimensional ou vector aleatório (X, Y ), a probabilidade de obter um ponto na região do plano R pelas desigualdades, X x, Y y, P (X x, Y y) = P {ω : X(ω) x, Y (ω) y} existe sempre, por definição e podemos introduzir a seguinte Definição 0 Chama-se função de distribuição da va bidimensional (X, Y ) ou função de distribuição conjunta das va X e Y a F (x, y) = P (X x, Y y) Teorema 13 Se F (x, y) é fd das va X e Y e [x 1, x ] [y 1, y ] é um intervalo de R, então P (x 1 X x, y 1 Y y ) = F (x, y ) + F (x 1, y 1 ) F (x 1, y ) F (x, y 1 ) 19

21 Teorema 14 Para qualquer fd F (x, y), F (, y) = F (x, ) = 0 e F (+, + ) = 1 Teorema 15 Toda a fd F (x, y) é não decrescente em relação a cada variável Teorema 16 Toda a fd F (X, Y ) é contínua à direita em relação a cada variável, F (x +, y) = F (x, y) = F (x, y + ) Quando se trabalha com a distribuição conjunta das va X e Y, pode interessar o cálculo da probabilidade de se ter X x qualquer que seja o valor assumido pela va Y Esse cálculo, P (X x) = P (X x, Y + ) = lim F (x, y) = F (x, + ), y + conduz à definição de F 1 (x) = F (x, + ), distribuição marginal da va X Analogamente, P (Y y) = P (X +, Y y) = lim F (x, y) = F (+, y), x + define a distribuição marginal da va Y, F (y) Se os acontecimentos, X x e Y y, são independentes, então resulta P (X x, Y y) = P (X x)p (Y y), as va X e Y dizem-se independentes e a respectiva fd conjunta é o produto das distribuições marginais, F (x, y) = F 1 (x)f (y), para todo o ponto (x, y) R Pode mostrar-se que esta condição é necessária e suficiente para que se tenha P (X E 1, Y E ) = P (X E 1 )P (Y E ), para quaisquer acontecimentos E 1 e E definidos, respectivamente, no eixo dos xx e no eixo dos yy Teorema 17 Dadas duas va independentes, X e Y, considerem-se duas funções U = φ(x) e V = ψ(y ) Então, as va U e V são independentes Teorema 18 Se X e Y são variáveis aleatórias independentes e possuem valor esperado, então E(X Y ) = E(X) E(Y ) O conceito de independência generaliza-se facilmente a um número finito (ou numerável) de va X 1, X,, X n Definição 1 As variáveis aleatórias X 1, X,, X n dizem-se independentes se para n números reais arbitrários, x 1, x,, x n, F (x 1, x, x n ) = P (X 1 x 1, X x,, X n x n ) = P (X 1 x 1 ) P (X x ) P (X n x n ) = F 1 (x 1 )F (x ) F n (x n ), onde F é a função de distribuição conjunta das va X 1, X,, X n e F 1, F,, F n as respectivas funções de distribuição marginais Vectores Aleatórios Discretos Definição Uma va bidimensional, (X, Y ), diz-se discreta, se dado o conjunto finito ou numerável D = {(x i, y j ) : P (X = x i, Y = y j ) > 0}, se tem, P [(X, Y ) D] = 1 0

22 Agora, também podemos definir a função de probabilidade de (X, Y ), { > 0 se (x, y) D f(x, y) = P (X = x, Y = y) = 0 se (x, y) D, e tem as seguintes propriedades: 1 f(x, y) 0, (x, y) R ; f(x i, y j ) = 1; (x i,y j ) D 3 P [(X, Y ) E] = (x i,y j ) E D f(x i, y j ); 4 F (x, y) = P (X x, Y y) = x i x y j y As fp marginais são definidas, com f(x i, y j ) D = {(x i, y j ) : i, j = 1,, }, por, f 1 (x i ) = P (X = x i ) = j f(x i, y j ), i = 1,, f (y j ) = P (Y = y j ) = i f(x i, y j ), j = 1,, sendo, evidentemente, f 1 (x) = 0, se (x, y j ) D, e f (y) = 0, se (x i, y) D As va X e Y são independentes quando discretas se, e somente se, para todo o ponto (x i, y j ) D Vectores Aleatórios Contínuos f(x i, y j ) = f 1 (x i )f (y j ), Definição 3 Uma va bidimensional, (X, Y ), é do tipo contínuo se existir uma função não negativa, f(x, y), tal que F (x, y) = x y f(u, v) dudv, para todo (x, y) R, onde F (x, y) é a função de distribuição de (X, Y ) A função f(x, y) diz-se função de densidade de probabilidade de (X, Y ) ou função de densidade de probabilidade conjunta das va X e Y e satisfaz a igualdade, + + Se a fdp f(x, y) for contínua no ponto (x, y) tem-se Por definição de fd marginal da va X tem-se, F 1 (x) = F (x, + ) = f(x, y) dxdy = 1 f(x, y) = F (x, y) x y x + f(u, v) dudv; assim, f 1 (x) = F 1(x) = + f(x, y) dy 1

23 é a função de densidade marginal de X Analogamente, f (y) = F (y) = + f(x, y) dx, é a função de densidade marginal de Y A generalização destes conceitos para uma va n-dimensional é imediata Seja (X, Y ) uma va bidimensional O valor esperado µ rs = E(X r Y s ), se existir, define um momento de ordem r + s em relação à origem Assim, existindo os momentos de ordem 1, tem-se µ 10 = E(X) e µ 01 = E(Y ), sendo os centros de gravidade das distribuições marginais de X e Y, respectivamente Existindo os momento de ordem, temos Para os momentos centrados, o valor esperado µ 0 = E(X ), µ 11 = E(XY ), µ 0 = E(Y ) µ rs = E [(X µ X ) r (Y µ Y ) s ], se existir, define um momento de ordem r + s em relação à média Para os momentos de ordem 1, tem-se µ 10 = 0 = µ 01, e para os de ordem, µ 0 = V ar(x), µ 0 = V ar(y ), µ 11 = E [(X µ X )(Y µ Y )] ; µ 11, que se representa também por Cov(X, Y ), designa-se por covariância entre X e Y Observe-se que Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) Como consequência desta expressão e do teorema 18 temos o seguinte Teorema 19 Se as va X e Y são independentes, então Cov(X, Y ) = 0 O interesse da covariância advém da seguinte interpretação: considere-se o centro de gravidade da distribuição conjunta de X e Y, (µ X, µ Y ), como origem de novos eixos coordenados Observe a figura Tem-se, em relação ao novo sistema de eixos, que (x µ X )(y µ Y ) > 0, no 1 o e 3 o quadrantes, (x µ X )(y µ Y ) < 0, no o e 4 o quadrantes Assim, se X e Y variam no mesmo sentido, existe probabilidade elevada para que os valores de X acima da média estejam associados com valores de Y acima da média e para os valores de X abaixo da média estejam associados com valores de Y abaixo da média, isto é, predominam os pontos no 1 o e 3 o quadrantes e a covariância sai positiva e relativamente grande Por outro lado, X e Y variam em sentido contrário se existe probabilidade elevada para que os valores de X acima da média estejam associados com valores de Y abaixo da média e para valores de X abaixo da média estejam associados com valores de Y acima da média Neste caso, predominam os pontos no o e 4 o quadrantes e a covariância sai negativa e relativamente grande em valor absoluto A covariância depende das unidades em que se exprimem as va X e Y Ora, é desejável introduzir um parâmetro que caracterize a associação entre as variáveis X e Y sem depender dessas unidades

24 Definição 4 Chama-se coeficiente de correlação entre X e Y ao parâmetro ou ρ = Cov(X, Y ) = Cov(X, Y ), V ar(x)v ary σ X σ Y ρ = µ 11 µ0 µ 0 Teorema 0 (Desigualdade de Cauchy-Schwartz) Se X e Y são va conjuntamente distribuídas com momentos de ordem finitos, então [ E(XY )] E ( X ) E ( Y ), verificando-se a igualdade se, e somente se, para alguma constante t 0, P (t 0 X = Y ) = 1 Teorema 1 O valor absoluto do coeficiente de correlação nunca exceda a unidade, ρ 1; além disso, ρ = ±1 quando e só quando, com probabilidade um, (Y µ Y ) σ Y = ± (X µ X) σ X Resumindo, se as va X e Y são independentes, ρ = 0; se X e Y são linearmente independentes (com probabilidade um), ρ = ±1; nos outros casos, os valores mais ou menos elevados de ρ traduzem o menor ou maior afastamento entre duas rectas que delimitam a região do plano onde se concentram com elevada probabilidade os valores de (X, Y ) Voltaremos a este assunto no último capítulo destes apontamentos Teorema Se as va X e Y possuem segundos momentos finitos, então V ar(x ± Y ) = V ar(x) ± Cov(X, Y ) + V ar(y ) Corolário 3 Se as va X e Y possuem segundos momentos finitos e covariância nula, então Distribuições Condicionados V ar(x ± Y ) = V ar(x) + V ar(y ) O conceito de distribuição condicionada é baseado no de probabilidade condicionada Vamos somente estudar o caso bidimensional e de uma forma abreviada No caso discreto, a probabilidade do acontecimento X = x i, condicionada pela realização do acontecimento Y = y j, com P (Y = y j ) > 0, define-se por P (X = x i Y = y j ) = P (X = x i, Y = y j ), P (Y = y j ) onde y j é um valor fixo e para i = 1, De modo semelhante, define-se a probabilidade de Y = y j condicionada por X = x i As notações utilizadas para estas funções de probabilidade são, no primeiro caso, com y j fixo e i = 1,, ; no segundo caso f(x i y j ) = f(x i, y j ) f (y j ), f(y j x i ) = f(x i, y j ) f 1 (x i ), com x i fixo e j = 1, No caso contínuo, a função de distribuição de Y condicionada por X = x, simbolicamente, F (y x) ou F y x (y x) é dada por F (y x) = y f(x, v) dv + = f(x, v) dv 3 y f(x, v) dv f 1 (x)

25 Derivando em ordem a y obtém-se a correspondente função de densidade de Y condicionada por X = x, f(y x) = f(x, y) f 1 (x) Analogamente, define-se função de densidade de X condicionada por Y = y, f(x y) = f(x, y) f (y) Vejamos agora o que se passa com os valores esperados destas distribuições condicionadas Definição 5 Considere-se a va φ(x, Y ) função das va X e Y O valor esperado de φ(x, Y ) condicionado por X = x, em símbolos E[φ(X, Y ) X = x] ou, simplesmente, E[φ(X, Y ) x] é definido, consoante se trate do caso discreto ou contínuo, por E[φ(X, Y ) x i ] = φ(x i, y j )f(y j x i ), j ou, por, Define-se E[φ(X, Y ) y] de modo análogo E[φ(X, Y ) x] = + φ(x, y)f(y x) Em particular, consoante se trate do caso discreto ou contínuo, E(Y x i ) = j y j f(y j x i ) ou E(Y x) = + yf(y x) dy, representa a média de Y condicionada por X = x, isto é, a média da distribuição condicionada com fp ou fdp f(y x) Fisicamente, E(Y x) é o centro de gravidade da distribuição de probabilidade sobre a recta X = x Observe-se que E(Y X) é uma va função da va X, que assume o valor E(Y x) quando X assume o valor x Do mesmo modo, consoante se trate do caso discreto ou contínuo, E(X y j ) = i x i f(x i y j ) ou E(X y) = + xf(x y) dx, representa a média de X condicionada por Y = y, isto é, a média da distribuição condicionada com fp ou fdp f(x y) e E(X Y ) é uma va função da va Y, que assume o valor E(X y) quando Y assume o valor y Proposições 4 Existindo os valores esperados respectivos, 1 E(c X) = c, onde c é uma constante; E[mφ(Y ) + c X] = me[φ(y ) X] + c; 3 E[φ 1 (Y ) + φ (Y ) X] = E[φ 1 (Y ) X] + E[φ (Y ) X]; 4 E[φ 1 (X)φ (Y ) X] = φ 1 (X)E[φ (Y ) X]; 5 E[φ(Y )] = E [E (φ(y ) X)]; 6 E(Y ) = E[E(Y X)]; 7 Se Y 0, E(Y X) 0; 8 Se Y 1 Y, E(Y 1 X) E(Y X) 4

26 Capítulo 3 Distribuições Teóricas 31 Distribuição Uniforme Discreta em N Pontos Definição 31 A va X diz-se que tem uma distribuição uniforme discreta em N pontos quando a respectiva fp é da forma f(x i ) = P (X = x i ) = 1, i = 1,,, N N Proposição 31 Se X é uma va com distribuição uniforme em N pontos, então 1 G X (t) = 1 N N e txi ; i=1 E(X) = 1 N 3 V ar(x) = 1 N N x i ; i=1 ( ) N x 1 N i x i N i=1 i=1 Observação 31 Em particular, se x i = i, i = 1,, N, E(X) = N + 1 e V ar(x) = N Distribuição Binomial A distribuição Binomial é um modelo probabilístico que permite o estudo de experiências aleatórias onde importa a contagem do número de vezes que ocorre um determinado acontecimento A utilização deste modelo requer que as provas (experiências) sejam de Bernoulli, isto é, uma sequência de experiências aleatórias independentes em cada umas das quais se observa a realização ou não realização de um acontecimento A com probabilidade p, constante A ocorrência de A constitui um sucesso e a ocorrência de A um insucesso No caso em que se considera uma única prova de Bernoulli, a respectiva distribuição de probabilidade é definida da seguinte forma: Definição 3 Uma va X tem (segue) distribuição de Bernoulli de parâmetro p (0 p 1, fixo) se a sua função de probabilidade é definida por { p x (1 p) 1 x se x = 0 x = 1 f X (x) = 0 se x R \ {0, 1} Proposição 3 Se X é uma va que tem distribuição de Bernoulli de parâmetro p, então 1 G X (t) = (1 p) + p e t ; E(X) = p; 3 Var(X) = p(1 p) 5

27 Se considerarmos N provas de Bernoulli, o modelo define-se da seguinte forma: Definição 33 Uma va X tem distribuição binomial de parâmetros N e p (com N N e 0 p 1), abreviadamente escreve-se X B(x, N, p) ou, simplesmente, X B(N, p), se a sua fp é tal que f X (x) = { N C x p x (1 p) N x se x = 0, 1,,, N 0 ov Observações 3 1 É evidente que uma va com distribuição binomial é uma va discreta Diz-se então que a distribuição binomial é uma distribuição discreta Se X B(N, p), então F X (x) = P (X x) = x i=0 N C i p i (1 p) N i 3 Obviamente, N N C i p i (1 p) N i = (p + (1 p)) N = 1 i=0 Proposição 33 Se X é uma va tal que X B(N, p), então 1 G X (t) = [(1 p) + p e t ] N ; E(X) = Np; 3 Var(X) = Np(1 p) Exemplo 31 Considere-se a ea: Lançamento de um dado e registo do número de pontos obtidos Qual é a probabilidade de se obter duas vezes a face 3 em 6 lançamentos do dado? Resolução: Defina-se X = número de vezes que ocorre a face 3, em 6 lançamentos Então, X B(6, p), em que p = P (A) = 1 6, com A = saída da face 3 Pretende-se calcular P (X = ): P (X = ) = 6 C ( 1 6 ) ( ) Observe-se ainda que E(X) = = 1, Var(X) = = 5 6 e σ X = 33 Distribuição Geométrica Para a distribuição binomial, o número de provas de Bernoulli era fixo Agora, tomaremos uma sucessão infinita de provas de Bernoulli A probabilidade de sucesso é p, constante de prova para prova, e uma variável aleatória com distribuição geométrica representará o número de provas de Bernoulli, independentes, de parâmetro p, até à ocorrência do primeiro sucesso Assim, Definição 34 Uma va X tem distribuição geométrica de parâmetro p, abreviadamente X Geo(p), quando a sua fp for da forma { (1 p) f(x) = x 1 p se x = 1,, 0 ov de x Proposição 34 Se X é uma va tal que X Geo(p), então 1 G X (t) = p e t 1 1 (1 p)e t ; E(X) = 1 p ; 3 V ar(x) = 1 p p 5 6 6

28 Teorema 35 Se X é uma va tal que X Geo(p), então, para quaisquer inteiros positivos s e t, P (X > s + t X > s) = P (X > t) Observação 33 Devido ao teorema anterior, é usual dizer-se que a distribuição geométrica não tem memória, já que, decorridas mais de s provas sem que tenha ocorrido um sucesso, a probabilidade de ainda ter de esperar mais t provas é exactamente igual à probabilidade de ter de esperar mais de t provas por um sucesso a partir no momento inicial 34 Distribuição Hipergeométrica Vimos que a distribuição binomial é o modelo teórico adequado para estudar as propriedades dos esquemas probabilísticos do seguinte tipo: Considere-se um conjunto (população) finito constituído por M elementos de dois tipos (digamos, A e B) nas proporções p e q = 1 p, do qual se retira ao acaso e com reposição N elementos; qual a probabilidade de obter x elementos de um determinado tipo (por exemplo, do tipo A), com 0 x N? Observe-se que, no esquema anterior, a extracção de um determinado elemento não depende de uma extracção anterior, já que existe reposição desse elemento Assim, as sucessivas provas (extracções) são independentes (provas de Bernoulli) Se os elementos forem retirados sucessivamente sem reposição (ou em bloco) a independência deixa de existir, pois a probabilidade de ocorrência de cada um dos resultados possíveis não se mantém constante de prova para prova Então, passaremos a ter um modelo probabilístico diferente do binomial que se define da seguinte forma: Definição 35 Uma va X segue uma distribuição hipergeométrica de parâmetros M, N e p (simbolicamente X H(M, N, p), se a sua fp é definida por com q = 1 p Mp C x Mq C N x f X (x) = M se x N 0 max(0, N Mq) x min(n, Mp) C N 0 ov de x Proposição 36 Se X é uma va tal que X H(M, N, p), então 1 E(X) = Np; Var(X) = Np(1 p) M N M 1 Observe-se que os valores esperados das distribuições B(N, p) e H(M, N, p) é o mesmo e as variâncias apenas se distinguem pelo factor (M N)/(M 1) Quando M é grande comparado com N, naturalmente que se esbate a diferença entre extracções com e sem reposição Nesta situação, (M N)/(M 1) é próximo da unidade e não surpreende o seguinte resultado: Teorema 37 Com N e p fixos, Mp C x Mq C N x lim M + M = N C x p x q N x, C N isto é, a distribuição hipergeométrica H(M, N, p) aproxima-se da distribuição binomial B(N, p), para M grande Exemplo 3 De um grupo de 1000 habitantes de uma certa região há % que são proprietários das casas que habitam Se se colhe ao acaso uma amostra de 100 indivíduos, com e sem reposição, são as seguintes as probabilidades de obter x indivíduos com casa própria: a) com reposição: 100 C x (00) x (098) 100 x ;, b) sem reposição: 0 C x 980 C 100 x 1000 C 100 No quadro seguinte faz-se a comparação dos respectivos valores não se tendo ido além de x = 9, por motivos óbvios 7

29 x B(N = 100, p = 00) H(M = 1000, N = 100, p = 00) Quando N < M/10, a distribuição Binomial fornece já uma aproximação satisfatória da distribuição Hipergeométrica, podendo nesse caso beneficiar-se da sua maior acessibilidade 35 Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson, desenvolvida por SD Poisson, permite descrever um vasto conjunto de fenómenos aleatórios em que os acontecimentos se repetem no tempo (por exemplo, as entradas de clientes num supermercado) ou no espaço (por exemplo, os defeitos de isolamento registado ao longo de um cabo eléctrico ou os defeitos de acabamento numa placa de vidro) Uma va discreta que represente o número de ocorrências de uma dado acontecimento por unidade de tempo (ou espaço) seguirá uma distribuição de Poisson se verificar as seguintes condições: C1 O números de ocorrência registadas em diferentes intervalos de tempo (espaço) são independentes entre si C A distribuição do número de ocorrências em cada intervalo de tempo (espaço) é a mesma para todos os intervalos C3 A probabilidade de se registar uma ocorrência num intervalo qualquer de dimensão (comprimento) t, P 1, é praticamente proporcional à dimensão do intervalo, isto é, P 1 λ t Nestas condições, temos a definição seguinte: Definição 36 Uma va X tem distribuição de Poisson de parâmetro λ > 0, simbolicamente X P oisson(λ), se a sua fp é definida por e λ λ x se x N f X (x) = 0 x! 0 ov de x Observação 34 Sendo e λ = + x=0 λ x, então resulta de imediato que, se X P oisson(λ), x! + P (X = x) = + x=0 x=0 e λ λ x x! = e λ + x=0 λ x x! = e λ e λ = 1 Proposição 38 Se X é uma va tal que X P oisson(λ), então 1 G X (t) = e λ(et 1) ; E(X) = λ; 3 Var(X) = λ; Teorema 39 Se as va X i, para i = 1,,, n, são independentes e X i P oisson(λ i ), i = 1,,, n, então ( n n ) X = X i P oisson λ i i=1 i=1 8

30 A distribuição de Poisson foi descoberta quando este matemático estudava formas limite da distribuição binomial A forma como uma distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição de Poisson é dada por: Teorema 310 Seja X uma va tal que X B(N, p) Então, quando N + e p é próximo de zero, X o P oisson(np) Observação 35 A qualidade da aproximação depende de N, λ e x Em geral: 1 Fixados λ e x, melhora quando N aumenta; Fixados N e x, melhora quando λ se aproxima de zero; 3 Fixados N e λ, piora quando x se afasta de λ Convém ainda referir que, quando N + e, simultaneamente, p 0 de forma que Np λ, a qualidade de aproximação piora Exemplo 33 Seja X B(1000, 0001) Sabemos, por exemplo, que P (X > 1) = 1 P (X = 0) P (X = 1) = C 0 (0001) 0 (0999) C 1 (0001) 1 (0999) 999 = e aproximando pela distribuição de Poisson: X o P oisson(1) O erro é inferior a P (X > 1) 1 e ! e ! = Seja Y B(000, 0001) P (Y > 1) = 1 P (Y = 0) P (Y = 1) = C 0 (0001) 0 (0999) C 1 (0001) 1 (0999) 1999 = e aproximando pela distribuição de Poisson: Y o P oisson() P (Y > 1) 1 e 0 0! e 1 1! O erro é inferior a mas superior a = O interesse prático de aproximar uma distribuição binomial por uma de Poisson resulta de o cálculo da função de probabilidade ser mais simples no segundo caso Tendo em conta o que foi referido na última observação e usando simulações, tal aproximação só é razoável quando N 30 e só tem interesse quando a distribuição Binomial for assimétrica com Np < 5 De facto, veremos mais à frente que se a distribuição Binomial for simétrica (ou quase simétrica), é mais prático aproximá-la por uma outra distribuição (a distribuição Normal) A distribuição de Poisson na forma como foi definida serve essencialmente para interpretar fenómenos (como os descritos anteriormente) num intervalo de tempo ou espaço de comprimento 1 Em geral, para um intervalo [0, t], a função de probabilidade é dada por isto é, X P oisson(λt) P (X = x) = e λt (λt) x, x = 0, 1,,, x! 9