Psicometria: fundamentos matemáticos da

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1 Avalação Pscológca, 0, (), pp Pscomera: fundamenos maemácos da Teora Clássca dos Teses Rcardo Prm Unversdade São Francsco, Iaba, Brasl Resumo Ese argo revsa eos clásscos em pscomera e apresena os fundamenos maemácos da Teora Clássca dos Teses. Aborda o modelo maemáco da análse faoral, o modelo lnear clássco, a dervação do índce de precsão e dos pos de cálculo do coefcene de precsão, o erro padrão da medda, o equaconameno da valdade com a análse faoral e, por úlmo, a análse de ens. O eo neressa àqueles que queram amplar seu conhecmeno nos conceos de pscomera, enendendo de onde surgem as prncpas fórmulas que usamos na práca pscomérca de análse de eses e escalas. Palavras-chave: eora clássca dos eses; pscomera; precsão; valdade; análse faoral. Psychomercs: mahemacal foundaons of classcal es heory Absrac Ths paper revss he classc es n psychomercs and presens he mahemacal foundaons of he classcal es heory. I dscusses he mahemacal model of facor analyss, he classcal lnear model, he dervaon of he relably and ypes of calculaon of he relably coeffcen, he sandard error of measuremen, he negraon of valdy wh facor analyss and, fnally, em analyss procedures. The e concerns hose who wan o deepen her knowledge n he conceps of psychomercs, undersandng he orgn of he man formulas ha we use when dong psychomerc analyss of ess and scales. Keywords: classcal es heory; psychomercs; relably; valdy; facor analyss. Pscomería: fundamenos maemácos de la eoría clásca de los ess Resumen Ese arículo repasa los eos cláscos en pscomería y presena los fundamenos maemácos de la eoría clásca de los eses. Eplca el modelo maemáco de análss facoral, el modelo lneal clásco, la dervacón del índce de precsón y los pos de cálculo del coefcene de precsón, el error esándar de medcón, el ecuaconameno de la valdez con el análss facoral y, por úlmo, el análss de íems. El eo es de nerés para aquellos que desean amplar sus conocmenos sobre los concepos de la pscomería, la comprensón de donde surgen las prncpales fórmulas que se presenan en la prácca pscomérca de ess y escalas. Palabras-clave: eoría clásca de los ess; pscomería; precsón; valdez; análss facoral. Endereço para correspondênca: R. Dr. José Bonfáco Counho oguera, 5 - Cond. 4, Town House 8, 3096 Campnas, São Paulo, Brasl. E-mal: rprm@mac.com Essa pesqusa eve fnancameno do CPq.

2 98 Prm Com a popularzação do uso de compuadores, as análses esaíscas e pscomércas fcaram muo mas acessíves e fáces de serem eecuadas. A formação em pós-graduação ende, compreensvelmene, a focar um coneúdo nsrumenal sobre como operar os programas e eecuar as análses. Assm há uma carênca de formação mas aprofundada nos fundamenos dos procedmenos pscomércos que são frequenemene usados nas pesqusas. Ese argo preendeu revsar rabalhos clásscos da pscomera (Ferguson 98; Gulford 954; Gullksen, 950; Lord, & ovck, 974) e resumr os prncípos maemácos da Teora Clássca dos Teses (TCT). Preende-se apresenar: o modelo maemáco da análse faoral, o modelo lnear clássco, a dervação do índce de precsão e dos pos de cálculo do coefcene de precsão, o erro padrão da medda, o equaconameno da valdade com a análse faoral e, por úlmo, a análse de ens. O eo neressa àqueles que queram aprofundar seu conhecmeno nos conceos de pscomera, enendendo de onde surgem as prncpas fórmulas que usamos na práca pscomérca de análse de eses e escalas. Análse faoral e modelos esruuras da nelgênca e personaldade Como afrma Caell (973), nas fases ncas do desenvolvmeno das cêncas em geral, observam-se esforços procurando defnr a aonoma ou esruura de seu fenômeno parcular. Assm, a químca defnu ncalmene os elemenos consunes da maéra anes de edfcar eoras geras sobre fenômenos compleos. Essa orenação eseve presene nos esudos sobre a nelgênca, desenvolvdos pelos pscomersas no século passado. As pesqusas procuravam defnr quas seram as esruuras consunes da nelgênca humana que seram as causas do comporameno observável. O objevo cenral desses esudos era denfcar quas seram as habldades laenes báscas, defnndo o seu número e esruura de organzação. Para sso, fo ulzada a análse faoral, que é um méodo esaísco que busca analsar esruuras em marzes de covarânca ou correlação, redefnndoas em um número menor de varáves. Segundo Johnson e Wchern (99), o propóso essencal da análse faoral é descrever, se possível, as covarâncas enre varáves em ermos de um número menor de varáves aleaóras subjacenes, mas nobserváves, chamadas faores (p. 396). Os pscomersas procuravam mensurar um conjuno amplo de habldades cognvas, por eemplo, por meo de uma baera de eses de nelgênca envolvendo coneúdos dversfcados. Segue-se enão a lógca de que se város eses esão alamene ner-relaconados, de manera que se pode enão nferr a esênca de uma únca varável laene, nobservável, que é responsável por esas ner-relações. Analsando os eses ner-relaconados, se chegara a compreender essa esruura. Formalmene, supondo que enham sdo observadas p varáves em uma dada amosra de sujeos, o modelo faoral orogonal dz que:.. p p.. p Onde: p l. lm l. l F. F m m p pm pm e. +. em m valor da -ésma varável méda da -ésma varável l j carga faoral da varável no faor j F j valor do j-ésmo faor comum e valor do -ésmo faor específco m < p o número de faores é menor que o número de varáves O modelo faoral orogonal supõe que: () a méda dos valores dos faores comuns e específcos seja zero, () a varânca dos faores seja gual a e a covarânca enre eles seja zero (porano que a marz de covarânca enre os faores seja gual à marz dendade) e (3) a covarânca enre os faores específcos seja zero, porano que a marz de covarânca enre os faores específcos seja gual a uma marz dagonal. Porano, para uma varável parcular supõe-se que seu valor possa ser dado pela segune equação: + l F + lf lmfm + e Pode-se noar nessa equação que: () o valor da varável observada esá em função de um conjuno m de varáves laenes (porano nobserváves), ou Avalação Pscológca, 0, (), pp

3 seja, os m faores comuns (F... F m ), e ambém em função de um componene específco a esa varável (e ). Assm, os desvos em relação à méda, ou seja, a varânca da varável é eplcada pela varação de um conjuno de varáves comuns, ou seja, assocadas ambém à varânca do conjuno mas amplo conendo as p varáves do qual a varável faz pare, e ambém pela varação específca desa varável que não é comparlhada pelas ouras p varáves; () a magnude com que a varação de um deermnado faor j esá assocada à varação na varável, chamada de carga faoral, é dada por l j ; (3) a relação enre os m faores e a varável é lnear. Anda, segundo o modelo faoral orogonal, a marz de varâncas e covarâncas enre as p varáves podera ser reescra da segune forma (ver Johnson & Wchern, 99, para a dedução dealhada dessa equação): l. lm.. Cov( ) L L + Ψ.. l. l p pm pm O que resula: l.. l p.. lm.. l mp Var( ) l lm + ψ Cov(, ) l l l l Cov( F ) l mp k k m km, j j ψ ψ p oa-se, na equação, que a varânca de uma varável é dada pela soma do quadrado das cargas faoras desa varável nos m faores mas a varânca específca. Essa soma dos quadrados das cargas é ambém chamada de comunaldade e denoada por h : h l l m Assm, a varânca da varável pode ser reescra: Var( ) h + ψ Tal equação apona que a varânca de uma varável pode ser dvdda em duas parcelas. A prmera, a comunaldade, represena a parcela da varânca dessa varável assocada às varações dos faores. O ermo comunaldade refere-se ao fao de que, sendo os faores comuns, sua varação esá Pscomera: fundamenos maemácos da Teora Clássca dos Teses 99 pp assocada ambém às p- varáves resanes. Porano, essa parcela da varânca de é poencalmene comparlhada pelas p- varáves resanes (usa-se o ermo poencalmene comparlhável, já que não se sabe a carga faoral das p- varáves resanes). A segunda parcela, no enano, represena a porção da varânca não assocada aos m faores, ou seja, não comparlhada pelas varáves resanes. Sendo assm, essa varânca é específca à varável em análse. As equações dzem anda que a covarânca enre duas varáves é gual à soma dos produos das cargas que esas varáves êm nos faores comuns, ou seja, sua covarânca é únca e eclusvamene dada pelos faores. Elas ambém mosram que a covarânca enre uma varável e um faor é gual à carga da varável no faor. Com a análse faoral, a pscomera procurou eplcar a relação enre escores de dferenes eses em função de um número menor de habldades laenes. oa-se, porano, que esse méodo enou crar um modelo para eplcar as dferenças enre ndvíduos nos escores dos eses (porano os desvos em relação à méda, dos resulados dos n sujeos, nas p meddas efeuadas) em função de um conjuno menor de varáves laenes (F j ). Essas esruuras seram as habldades menas laenes que represenaram as causas das dferenças, enre os sujeos, nos escores dos eses. Dane do eposo, fca claro que a análse faoral ornou possível o esudo empírco de varáves nernas não observáves, dreamene, sejam elas da nelgênca ou personaldade e por so represenou um grande avanço para a pscologa. Isso ocorreu porque o pesqusador poda parr de um conjuno de varáves observáves e, por meo das ner-relações enre elas, nvesgar as possíves dmensões subjacenes que seram as causas desses comporamenos. oa-se que esse méodo é puramene correlaconal, não mplcando, em nenhum momeno, na manpulação epermenal. Em uma analoga neressane, Caell (975) ornou claro o méodo da análse faoral: O problema que por muos anos desconcerou os pscólogos era enconrar um méodo que deslndasse essas nfluêncas funconalmene unáras na floresa caóca do comporameno humano. Mas como é que numa floresa ropcal de fao decde o caçador se as manchas escuras que vê são dos ou rês roncos apodrecdos ou um só jacaré? Ele fca Avalação Pscológca, 0, (), pp

4 300 Prm à espera de movmeno. Se eles se movem junos - aparecem e desaparecem junos - ele conclu por uma únca esruura. Da mesma forma como John Suar Mll observou em sua flosofa da cênca o censa devera er em mra a varação concomane na busca de conceos unáros (p. 55). Ulzando esse nsrumenal esaísco, os pscomersas nvesgaram a esruura da nelgênca (bem como da personaldade). Surgram, enão, váras eoras posulando esruuras úncas, múlplas e smulaneamene úncas e múlplas. Uma revsão desses modelos pode ser enconrada em Sernberg (98, 984, 986) e Almeda (988). Precsão e valdade Ao lado da pesqusa sobre as esruuras da personaldade, a pscomera fo ambém responsável pelo aprmorameno das écncas de medda na pscologa. Ela fo e connua sendo um ramo específco da pscologa, desnado ao desenvolvmeno de écncas de mensuração de varáves pscológcas, nroduzndo um nsrumenal esaísco adequado as suas compledades. Seus fundamenos báscos são pare do que se chamou eora clássca dos eses. Os nsrumenos de avalação pscológca podem ser caracerzados por duas propredades mércas báscas: Precsão e Valdade [em nglês: relably, valdy]. Precsão esá assocada ao erro de medda, so é, à dferença enre o escore observado de um sujeo em um ese, do valor verdadero que ele em na varável laene. Em razão da compledade própra às varáves pscológcas, pracamene nunca a varabldade em escores observados refleem com eadão e precsão as dferenças reas na varável laene. Sempre haverá um erro de medda, ou seja, varações que não refleem as dferenças reas. Porano, uma práca correne é esmar a precsão de um deermnado ese para consegur esabelecer uma epecava de quão errônea poderá ser a medda. Valdade, por sua vez, relacona-se à quesão que nvesga se o ese esá medndo o consruo que se propõe medr. esse sendo, é de se esperar que a varação nos escores observados em um ese eseja assocada, em cero grau, ao consruo pscológco que o ese se propõe medr. Os esudos de valdade nvesgam essa epecava esando emprcamene se o ese esá medndo a varável conforme fo planejado. Sobre as relações enre essas duas propredades dos eses, sabe-se que uma boa precsão é uma condção necessára, mas não sufcene para que um ese seja váldo. Mesmo precso, um ese pode esar medndo uma varável dferene daquela a que se propôs. Assm, a pscomera esruurou um ssema conceual básco, o qual denomnou modelo lnear clássco. Esse ssema será raado a segur e resume a eposção fea nos rabalhos de Ferguson (98), Gulford (954), Gullksen (950), Muñz (994) e Pvao (99). O modelo lnear clássco: Precsão O modelo lnear clássco posula que um escore observado de um deermnado sujeo em um ese pode ser decomposo em duas pares advas: () T, o escore verdadero [em nglês: rue score] do sujeo na varável medda pelo ese; () e, o escore de erro que ocorre em função da mprecsão das meddas pscológcas. Assm, o escore observado pode ser defndo como: T + e O escore verdadero (T ) pode ser concebdo eorcamene de duas maneras: (a) uma medda da varável em análse, sob condções deas, usando um nsrumeno perfeo ou (b) a méda de um conjuno de nfnas meddas da mesma varável, no mesmo sujeo, quando esas são ndependenes, usando um nsrumeno mperfeo com erros de meddas. Ferguson (98) esabelece essa defnção como: T k j lm k K O escore de erro (e ) pode ser enenddo como uma varável aleaóra assocada a evenuas erros assocados às condções parculares de aplcação. Ele assume valores posvos e negavos, fazendo, porano, com que os escores observados sejam ora maores e ora menores do que os escores verdaderos. Assume-se que o erro seja asssemáco, aleaóro, ou seja, não mosra endênca ssemáca de assumr valores posvos ou negavos. oa-se Avalação Pscológca, 0, (), pp

5 que o valor do escore verdadero é fo enre dferenes aplcações, enquano o erro ende a varar. Anda segundo essa lógca, rês posulados são eplcados: () Se os erros são asssemácos, em um conjuno grande de meddas, a méda dos erros será gual a zero: e 0 () em um grande conjuno de meddas espera-se que não esa correlação enre os escores verdaderos e os escores de erro, já que é razoável supor que sujeos com alos escores enham a mesma endênca a sofrer acréscmos (erro posvo) ou decréscmos em seus escores (erro negavo) e vce versa: e 0 (3) supõe-se que não esrá correlação enre os escores de erro de dos eses dferenes a e b, que meçam a mesma varável, porano eses paralelos: 0 e a e b Pscomera: fundamenos maemácos da Teora Clássca dos Teses 30 escore observado não sofrerá conrbução vnda da covarânca enre escore de erro e escore verdadero, resrngndo-se à varânca dos escores verdaderos mas a varânca dos escores dos erros. Uma dedução mporane ocorre quando se aplcam esses prncípos à equação da covarânca enre os escores observados e os escores verdaderos, al como é dada a segur: ( T T )( ) [ ( T T )(( T + e ) T )] [ ( T T )( T T + e )] [ T T T + T e TT + T Te ] + + ( ) ( T T T T ) T e e ) ( T T T + T ) + ( 0) ( 0) ( T T ) oa-se, por meo dessa dedução que, como o erro não esá correlaconado com o escore verdadero, os ermos da equação que coném o escore de erro desaparecem. Assm, a covarânca enre o escore observado e o escore verdadero é gual à varânca do escore verdadero. Ulzando essas nformações no cálculo do coefcene de correlação, enre o escore observado e o escore verdadero, emse que: Como decorrênca da defnção e dos posulados, váras relações podem ser deduzdas. Com relação à méda, pode-se dzer que, supondo que se meça uma deermnada varável em uma população, a méda deses escores observados pode ser escra como: ( T + e ) T e + T + e T T Assm, a méda de um conjuno muo grande de escores observados é gual à méda dos escores verdaderos. Enreano, a varânca dos escores observados é dada por: ( 0) + e e e e e e Porano, como não há correlação enre escore de erro e escore verdadero, a varânca do ( T T )( ) ( T T )( ) Essa equação dz que a correlação enre o escore verdadero e o escore observado é gual a uma proporção enre os desvos do escore verdadero e os desvos do escore observado. Essa fórmula refere-se à varação em ermos de desvos padrão. Conudo, na leraura, defnu-se o índce de precsão [em nglês: nde of relably - ] ulzando, em vez do desvo padrão, a varânca. Assm, esse é dado por: ( ) Como a varânca do escore observado ( ) é composa pela varânca do escore verdadero mas Avalação Pscológca, 0, (), pp

6 30 Prm a varânca do escore de erro, o índce de precsão sempre será gual ou maor que a varânca do escore verdadero ( ). Porano, esse índce assume valores enre 0 e. O seu valor sgnfca qual parcela da varânca dos escores observados é varânca verdadera. Quano menor for o coefcene, menor será a parcela verdadera e maor a parcela de erro de medda. Oura forma de se epressar o índce de precsão, por meo de subsuções nas fórmulas dadas, é: essa fórmula, fca evdene que, quano maor for a proporção do erro na varânca oal do escore observado, mas próma de fca a segunda pare da equação e menor o índce de precsão. Conhecendo os valores da varânca do escore verdadero e do escore observado, pode-se calcular o índce de precsão. Conudo, como o escore verdadero não é observável dreamene, sua varânca é desconhecda. O méodo de esmação desse índce decorre do conceo de formas paralelas de um ese. Formas paralelas de um mesmo ese equvalem a meddas dêncas, ndependenes, de uma mesma varável pscológca. Meddas paralelas êm a mesma méda, varânca e correlação enre odos os pares possíves enre as formas (Gulford, 954). Sendo assm, como demonsra Ferguson (98), aplcando-se duas formas paralelas a e b de um mesmo ese a uma população, em-se que: e a T + ea b T + eb oa-se que as duas meddas esão em função do mesmo escore verdadero e ambas sujeas a erros. Calculando-se a correlação enre os escores observados, em-se: ab ab ( a T )( b T ) ( ( T + ea ) T )(( T + eb ) T ) a b a b [ T + Teb TT + eat + eaeb eat TT Teb + T ] a b Como os escores de erro são aleaóros e não esão correlaconados enre s e nem com os escores verdaderos, os ermos que conêm escore de erro serão guas a zero, assm: ab [ T TT + T ] ( T T ) a b a b a b Como os desvos padrões são guas para as duas formas paralelas s a s b s, enão ab Conclu-se, a parr da dedução eposa, que a correlação enre os escores observados é gual ao índce de precsão. Com base nesse fao, a práca de esmação da precsão de um ese envolve, de alguma forma, correlaconar meddas paralelas. Anasas (96) faz uma descrção dealhada dos méodos empregados na esmação do índce de precsão. Bascamene são quaro. O prmero méodo é denomnado precsão por formas alernavas e consse na aplcação smulânea, à mesma amosra, de duas formas paralelas de um ese. A esmação do índce de precsão é dada pela correlação enre os dos escores observados, como fcou evdene na dedução apresenada anerormene. O segundo méodo é denomnado precsão ese-reese e envolve a aplcação do mesmo ese, em uma mesma amosra, duas vezes, supondo que esas duas aplcações sejam ndependenes, ou seja, a prmera não nfluence a segunda. O índce de precsão é dado mas uma vez pela correlação enre os dos conjunos de escores. Isso se dá porque é evdene que a forma mas paralela possível de um deermnado ese é ele mesmo. Podendo-se supor que a prmera aplcação não afee a segunda, êmse duas meddas paralelas do mesmo consruo e a dedução apresenada, referene à correlação enre dos escores paralelos, passa a ser válda. O ercero méodo é denomnado precsão pelas meades e consse na aplcação de um únco ese a uma únca amosra e, poserormene, na dvsão dese ese em duas meades comparáves, so é, duas meades semelhanes, ou paralelas. A correlação enre essas duas meades é gual à Avalação Pscológca, 0, (), pp

7 esmação do índce de precsão. Supõe-se que, esando odos os ens de um ese medndo o mesmo consruo pscológco, a dvsão dese ese em duas meades comparáves equvale a ober duas meddas por meo de formas paralelas do mesmo ese e, porano, passam a ser váldas as deduções para meddas paralelas. esse úlmo caso, da precsão pelas meaes, como o coefcene de precsão é afeado pelo número de ens que compõem o ese, é comum empregar uma fórmula denomnada correção de Spearman-Brown para se esmar o coefcene de precsão caso o ese fosse composo por duas vezes mas ens. Isso é feo porque o coefcene de correlação é calculado a parr de um ese com a meade do número de ens da forma. A fórmula empregada é (para uma dedução dealhada, da equação a segur, a parr das equações apresenadas anerormene, veja Muñz, 994 ou Gulford, 954): r r + r Pscomera: fundamenos maemácos da Teora Clássca dos Teses 303 Quando se somam varáves para se compor um escore - como no caso do escore observado que é composo pela soma da ponuação nos ens - a varânca desse novo escore é composa pela soma da varânca dessas varáves (ens) mas a covarânca enre elas. Porano, quando há covarânca (ou seja, correlação enre os ens), a varânca do escore do ese S será maor do que a soma da varânca nos ens p n n q. Isso fará com que S > pq, resulando um numerador posvo. Quano maor a n varânca dos eses em relação a p q, mas o resulado da dvsão se apromará de. Porano, nesse caso, r esará ambém prómo de, ndcando ala conssênca nerna. Já, quando as covarâncas forem prómas de zero, a varânca dos escores será pracamene gual à soma das varâncas dos ens. Assm, o numerador da segunda dvsão será prómo de zero fazendo com que r eseja prómo de zero, ndcando, porano, baa conssênca nerna do ese. Uma medda com mporânca práca dervada do índce de precsão é o Erro Padrão da Medda (EPM). Como fo colocado anerormene: O quaro méodo é denomnado precsão por conssênca nerna. Esse méodo se basea-se na suposção de que cada em represena uma medda paralela do mesmo consruo e, porano, pode-se esmar a precsão de um ese baseando-se na covarânca enre os ens. Ou seja, se a correlação enre meddas paralelas é gual ao índce de precsão e cada em do ese é uma medda paralela do consruo em análse, enão se pode esmar o coefcene de precsão baseando-se nas nercorrelações enre os ens. Esse coefcene fo desenvolvdo em 937 por Kuder e Rchardson e, porano, é conhecdo como Kuder Rchardson - 0: S n r Onde: n n n S S p q é a varânca do escore observado p q n ens represena a soma das varâncas dos e Isolando e, em-se que: ( ) e e essa fórmula, fo solado o desvo padrão dos escores de erro. Ela dz que, conhecendo o índce de precsão de um ese, a varânca (ou desvo padrão) dos escores de erro pode ser calculada. Consderando-se dferenes meddas, passíves de erro, de um consruo pscológco consane (sejam elas meddas repedas ndependenes ou meddas feas por eses paralelos), o valor do escore verdadero (T ) será consane de medda a medda para um mesmo sujeo. O escore de erro (e ), no enano, rá varar. Porano, a varação nos escores observados, enre as aplcações, para um mesmo sujeo, será causada pela varação dos escores de erro. Dessa manera, a varação enconrada em meddas repedas de um consruo pscológco, que em seu valor consane, é chamada erro padrão da Avalação Pscológca, 0, (), pp

8 304 Prm medda. Ela é nada mas do que o desvo padrão dos escores de erro. A fórmula apresenada coloca o erro padrão da medda em função do índce de precsão. Por meo dela pode-se erar qual proporção da varânca do escore observado será arbuída ao erro. Assume-se que, em repedas meddas, os escores observados dsrbuem-se normalmene ao redor do escore verdadero com desvo padrão gual ao erro padrão da medda. Essa nformação é usada para calcular a epecava de varação dos escores de um ese (em função de um dado coefcene de precsão e um dado desvo padrão) quando se repee a mesma medda. O modelo lnear clássco: Valdade A esmação da precsão é um passo relavamene fácl e comumene angdo nos esudos das propredades pscomércas dos eses. Já a esmação da valdade é um assuno bem mas compleo. Uma das formas de se verfcar a valdade é pela correlação enre os resulados do ese e uma medda eerna ndependene. Essa medda eerna deve ser necessaramene uma medda válda da varável laene que o ese se propõe medr (porano assocada ao T ). Em ermos maemácos, o problema da valdade é raado por Gulford (954) por meo de uma junção da eora da análse faoral com o modelo clássco lnear. Como afrma ele, na págna 354: A eora clássca dvde a varânca do escore observado em dos componenes: varânca verdadera e varânca de erro. Essencalmene, o novo passo esá em supor que a varânca verdadera pode ser anda decomposa em dos componenes advos. Eses componenes são: a varânca comum ou comunaldade e mas possvelmene uma varânca específca. A varânca comum enre os faores são comparlhadas pelos ouros eses assm como a varânca verdadera é comparlhada por duas formas paralelas do mesmo ese. O componene específco, aé onde se em nformação, é únco a um ese parcular. É pare da varânca verdadera e, porano, comparlhada por duas formas do mesmo ese. a análse faoral, o escore de uma varável qualquer é dado pela equação: + l F + lf lmfm + s Também no modelo lnear clássco, o escore de uma varável qualquer é dado por: T + e Assumndo que o escore verdadero seja deermnado por m varáves laenes, ese pode ser decomposo usando o modelo faoral com m faores, ou seja, T + l F + lf lmfm + s A fórmula do escore observado será reescra como: (...+ ) + l F + l F + l F + s + e m m Essas relações razem uma análse mas dealhada do conceo de escore verdadero. oa-se que o escore verdadero é represenado por um conjuno de varáves laenes consruos pscológcos - e mas um componene específco assocado às parculardades do ese. Porano, Gulford (954) propõe que aqulo que é meddo por um ese seja concebdo como algo mulfaceado ou mulvarado ou como um conjuno de varáves laenes comuns. Os escores de um ese epressam as enavas de se medr um consruo pscológco. As meddas eernas são mas prómas e váldas desse consruo, porano, com o componene específco e o erro prómos de zero. Smulaneamene, erão carga faoral ala nos faores subjacenes que compõem esse consruo pscológco. Porano, ambas varáves, o ese e a varável eerna, se medrem um mesmo consruo, erão cargas faoras alas nos faores que compõem o consruo. Como fo do, a correlação ou covarânca enre duas varáves se relaconam às cargas dessas varáves nos faores comuns subjacenes a elas. Essa correlação é obda somando o produo das cargas que as duas varáves em nos faores comuns: Cov(, ) l l l l k k m km Avalação Pscológca, 0, (), pp

9 Assm, quano maores as cargas que duas varáves êm em um faor comum maor, será a correlação enre esas varáves. Isso ocorre porque a análse faoral era e concreza, nos escores dos faores, a varânca comum. Com base nsso, se um ese e uma varável eerna medem um mesmo arbuo pscológco, suas cargas faoras nas varáves laenes que compõem ese consruo serão alas. Embasando-se na fórmula apresenada, pode-se deduzr que a correlação enre o ese e a varável eerna será ala, provando assm que, quano maor a correlação ese e varável eerna, mas váldo é o ese. Assm sendo, o méodo de esmação da valdade envolve a análse correlaconal com meddas eernas, buscando-se esclarecer a rede de relações com varáves eernas rede nomológca (Embreson, 994). Análse de ens pela TCT Para que os créros de precsão e valdade de um ese sejam sasfeos, ncalmene devese parr para a análse das undades báscas que compõem o ese, ou seja, os ens. Geralmene, as análses quanavas ncluem a análse da dsrbução de resposas nos ens (ou o índce de dfculdade, quando o em é dcoômco), o poder dscrmnavo, a análse das alernavas, a probabldade de acero ao acaso e a valdade eerna do em (Almeda, 993). Supondo que os ens represenem resposas dcoômcas como acero ou erro, e que sujeos respondam a n ens, os dados podem ser arranjados na marz a segur (Fgura ) onde cada sujeo é represenado em uma lnha e cada em em uma coluna: o corpo da marz esão represenadas as resposas dos sujeos aos ens. a coluna margnal drea esão represenados os aceros dos sujeos Pscomera: fundamenos maemácos da Teora Clássca dos Teses 305 ( ), ou seja, a somaóra de ponos nos ens. a lnha margnal nferor esão represenados os escores dos ens (P j ), ou seja, quanos sujeos aceraram o em j. Um dos prmeros arbuos dos ens é o índce de dfculdade (ID). Ele represena a probabldade de acero no em em causa. Porano, ID j P j/. Assm, um ID 0,87, para um deermnado em j ndca que 87% das pessoas aceraram o em j. Consderando, nesse momeno, somene o índce de dfculdade, pode-se dzer que um bom em é aquele que possu ala varânca, vso que o objevo do ese é eplcar as varações que esem enre os ndvíduos, ens com ala varânca rão conrbur para uma maor varânca do escore do ese, já que uma das parcelas da varânca do escore é a soma da varânca dos ens ndvduas. Isso rá permr uma maor dscrmnação dos ndvíduos em função dos escores. Um em com ID,00 ou 0,00 não raz nformação alguma, pos não permrá uma separação dos sujeos já que, em um caso 00% aceram e, no ouro, 00% erram. É sabdo que os ndvíduos dferem enre s no consruo que se deseja avalar, enão um em com varânca próma a zero pode ser consderado como um em nadequado para o ese. Em conraparda, ens com ID 0,50 são os que apresenam maor varânca já que dvdem o grupo de sujeos pela meade, permndo a comparação de cada um dos 50 sujeos que erraram com cada um dos 50 sujeos que aceraram, ou seja, comparações (em um grupo de 00 sujeos). Desse modo, são consderados bons ens aqueles que possuem ID s enre 0,30 e 0,70, ou seja pero de 0,50 (Ferguson, 98). Em ermos écncos, o que se deseja é que a varânca dos escores do ese seja máma. Índces com ID s prómos a 0,50 conrbuem aumenando a varânca dos escores. Conudo, um segundo faor ambém conrbu para sso: a covarânca enre os Iens sujeos. j.. n S c c n. c c j c c n S. P P j P n Fgura - Marz de resposas de sujeos a n ens Avalação Pscológca, 0, (), pp

10 306 Prm ens. Quando os ens esão alamene correlaconados, a varânca do escore aumena. Um eemplo smples pode ajudar a compreender esse fao. Suponha que um ese seja composo por 0 ens com ID s 0,50, suponha ambém que odos os ens enham uma correlação perfea enre s, ou seja, um ndvíduo que acere o em j acere ambém os j- ens resanes e nversamene um sujeo que erre o em j erre ambém os j- ens resanes. Como a probabldade de acero de qualquer um dos ens é 0,50, e como a correlação enre odos os ens é, para qualquer em j, os 50% que aceram ese em aceram ambém odos os j- ens resanes, chegando assm ao escore mámo no ese. Já os 50% que erram êm, pelas mesmas razões, o escore 0. A varânca dos escores no ese, defnda por S S( - ) /, será máma, pos 00% dos ndvíduos esarão a uma dsânca máma da méda, ora para cma (50% dos sujeos com escore mámo), ora para bao (50% dos sujeos com escore mínmo), elevando a soma de quadrados. Mas uma vez, supondo que esse ese enha sdo aplcado a 00 sujeos, os 50 sujeos com escore mámo poderão ser comparados com cada um dos 50 sujeos com escore mínmo, porano 500 comparações poderam ser feas. Em suações prácas, não serão enconrados eses com esses padrões perfeos de correlação e ID s 0,50 como é eemplfcado. Pode-se pensar, no enano, em dferenes graus de covarânca enre os ens. Quano maor a covarânca, maor será a varânca do escore oal. Um méodo muo frequene de se avalar quano um em conrbu para a dferencação dos sujeos é calcular a correlação enre o em e o escore oal no ese. Esse coefcene é chamado de correlação pono bsseral (r pb ) e epressa a correlação enre uma varável caegórca dcoômca (acero ou erro) e uma varável nervalar (o escore no ese que, embora não possa ser consderada uma varável nervalar genuína, para fns prácos é consderada como al). Ver argumenos de Ferguson (98) e Lord e ovck (974). Esse coefcene ambém é chamado de poder dscrmnavo do em. Esse nome é dado já que uma ala correlação enre o em e o escore ndca que o em conrbu para aumenar a varânca dos escores ajudando a dscrmnação enre os sujeos. O cálculo desse coefcene é dado por: Onde r pb p S q pq p represena a probabldade de acero ou o ID do em em causa q-p S represena o desvo padrão da varável conínua p, q a méda dos sujeos que aceraram o em e dos que erraram Em suma, um bom ese deve ser composo por ens com ala varânca (ID) e com ala correlação com o escore oal (r pb ). Isso faz com que a varânca do escore seja ala e possa capar as varações do arbuo pscológco que é mensurado. Como fo vso anerormene, o méodo de precsão por conssênca nerna basea-se na covaração enre os ens para esmar a precsão. Alas correlações em-oal assocam-se à ala conssênca nerna e à ala precsão. A análse dos ens possbla um olhar mas apurado às caraceríscas dos ens para que se possa fazer uma seleção daqueles que conrbuem, em maor grau, para o ese como um odo no aumeno da precsão. Conudo, essa varânca capurada deve esar assocada à varável laene em análse. Da mesma forma que é julgada a valdade de um ese, a valdade de um em é dada pela correlação enre o em e um créro eerno. Havera anda muos dealhes a raar para que se possa analsar odo o conjuno eórco e práco edfcado pela pscomera. o enano, ese argo raa somene dos conceos báscos referenes à analse faoral e ao modelo clássco e como as prácas mas comuns de consrução de nsrumenos de avalação se relaconam a eles. Aualmene, novas abordagens êm surgdo denro dos modelos da Teora de Resposa ao Iem (Hambleon & Swamnaham, 985) e deverão ser objeo de refleão em rabalhos fuuros, de forma a enrquecer a dscussão sobre as eoras da medda. Avalação Pscológca, 0, (), pp

11 Referêncas Almeda, L. S. (993). Relaóro da dscplna de méodos de observação e nvesgação Pscológca -º ano. Braga: Unversdade do Mnho. Almeda, L. S. (988). Teoras da nelgênca. Poro: Edções Jornal de Pscologa. Anasas, A. (96) Teses Pscológcos. São Paulo: EPU. Caell, R. B. (973). Personaly and mood by quesonare: a handbook of nerpreave heory, psychomercs, and pracal procedures. San Francsco: Jossey-Bass Publshers. Caell, R. B. (975). Análse cenífca da personaldade. São Paulo: Ibrasa. Embreson, S. (994). Applcaons of cognve desgn sysems o es developmen. Em: C. R. Reynolds (Org.), Cognve assessmen: a muldscplnary perspecve (pp ). ew York: Plenum Press. Ferguson, G. A. (98). Sascal Analyss n Psychology and Educaon. ew York: McGraww-Hll. Inernaonal Edons - Psychology Seres. Gulford, J. P. (954). Psychomerc Mehods. ew York: McGraw-Hll. Gullksen, H. (950). Theory of menal ess. ew York: John Wley & Sons. Pscomera: fundamenos maemácos da Teora Clássca dos Teses 307 Hambleon, H. K. & Swamnaham, H. (985). Iem Response Theory: Prncples and Applcaons. Boson: Kluwer. Johnson, R. A. & Wchern, D. W. (99). Appled mulvarae sascal analyss. London: Prence Hall nernaonal. Lord, F. M. & ovck,. R. (974). Sascal Theores of menal es scores. Oford, England: Addson-Wesley. Muñz, J. (994). Teoría Clásca de los Tess. Madrd: Edcones Prámde. Pvao, M. M. (99). Modelos para eses com resposas dcoômcas com prncpal enfoque em eora de resposa ao em. Dsseração de Mesrado não publcada. Insuo de Maemáca Esaísca e Cêncas da Compuação, Unversdade Esadual de Campnas, Campnas. Sernberg, R. J. (98). The evoluon of heores of nellgence. Inellgence, 5, Sernberg, R. J. (984). Toward a rarchc heory of human nellgence. The Behavour and Bran Scences, 7, Sernberg, R. J. (986). Toward a unfed heory of human reasonng. Inellgence, 0, Recebdo em mao de 0 Aceo em junho de 0 Sobre o auor: Rcardo Prm, pscólogo pela PUC Campnas, douor em Pscologa Escolar e do Desenvolvmeno Humano pela Unversdade de São Paulo. É professor assocado do Programa de Pós-Graduação em Pscologa da Unversdade São Francsco. Avalação Pscológca, 0, (), pp

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