Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técnicos, Analistas e Carreiras Afins Questões Comentadas MATERIAL 02 MEDIDAS DE DISPERSÃO

Transcrição

1 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 MEDIDAS DE DISPERSÃO 54. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) No cojuto de dados A{3, 5, 7, 9, 11}, o valor do desvio médio é: a),1 d),8 b),4 e) 3,1 c),6 Sol.: Quado a questão fala em desvio médio, está, a verdade, falado em Desvio Médio Absoluto, ou em Desvio Absoluto Médio. Vimos que estes omes são todos siôimos! Começaremos por ode? Pela fórmula! É sempre assim: a fórmula é o poto de partida da resolução! Uma vez que osso cojuto é represetado por um rol, teremos que: DAM para ROL: DAM Xi X Assim, olhado para o umerador, vemos que a Média ( X ) aida ão é ossa cohecida! Vamos, pois, calcular a Média. Teremos: X Xi ( ) Agora, aida de olho o umerador, costruiremos o cojuto (Xi- X ). Teremos: (Xi- X ){(3-7), (5-7), (7-7), (9-7), (11-7)} {-4, -, 0,, 4} Ocorre que a fórmula ão pede apeas (Xi- X ). Ela pede o módulo de (Xi- X ). Assim, teremos: (Xi- X ) {4,, 0,, 4} E a soma destes elemetos será: ( ) Xi X 1 Com isso, chegamos ao umerador da fórmula do Desvio Absoluto Médio! E quato ao deomiador? O que sigifica esse? Ora, sigifica úmero de elemetos do cojuto! E quatos são? São 5. Assim, cocluido a resolução, diremos que: DAM1/5 DAM,4 Resposta! 55. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) O desvio padrão do cojuto de dados A{, 4, 6, 8, 10} é, aproximadamete: a),1 b),4 c),8 d) 3, e) 3,6 Sol.: Este euciado fala agora em Desvio Padrão! Uma vez que osso cojuto é um rol, e que ão foi dito em mometo algum que se tratava de uma amostra, calcularemos o S da seguite forma: 3

2 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Desvio Padrão Populacioal para Rol: S ( Xi X ) O primeiro passo será descobrir o valor da Média do cojuto. Teremos: X Xi ( ) Agora, costruiremos o cojuto (Xi- X ). Teremos: (Xi- X ){(-6), (4-6), (6-6), (8-6), (10-6)} {-4, -, 0,, 4} O umerador da fórmula pede que ós ecotremos agora o cojuto dos quadrados de (Xi- X ). Fazedo isso, teremos: (Xi- X ) {(-4), (-), (0), (), (4) } {16, 4, 0, 4, 16} Cotiuado a aálise do umerador, teremos agora que somar os elemetos do cojuto costruído acima. Teremos: 40 ( Xi X ) ( ) Este é o osso umerador! E o deomiador é (úmero de elemetos do cojuto). Assim, teremos, fialmete, que: S ( Xi X ) 40 S 8,8 Resposta! (AFC-94) Etre os fucioários de um órgão do govero, foi retirada uma amostra de dez idivíduos. Os úmeros que represetam as ausêcias ao trabalho registradas para cada um deles, o último ao, são: 0, 0, 0,,,, 4, 4, 6 e 10. Sedo assim, o valor do desvio padrão desta amostra é: a) 3 c) 10 b) 9 d) 30 Sol.: Novamete aqui o euciado quer saber o valor do desvio padrão do rol. Mas, diferetemete do exemplo aterior, por duas vezes é dito que o cojuto represeta uma amostra. O que sigifica isso, em termos práticos? Sigifica que ossa fórmula terá que ser corrigida, com um acréscimo de meos 1 o deomiador. Lembrados? A equação será a seguite: ( Xi X ) S 1 O primeiro passo será o cálculo da Média. Teremos: X ( ) ,0 10 4

3 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Na seqüêcia, costruiremos o cojuto (Xi- X ). Fazedo isso, teremos: (Xi- X ){(0-3), (0-3), (0-3), (-3), (-3), (-3), (4-3), (4-3), (6-3), (10-3)} Assim: (Xi- X ){(-3), (-3), (-3), (-1), (-1), (-1), (1), (1), (3), (7)} Elevado todo mudo ao quadrado, teremos: (Xi- X ) {(-3), (-3), (-3), (-1), (-1), (-1), (1), (1), (3), (7) } Daí: (Xi- X ) {9, 9, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 9, 49} O umerador da fórmula pede que somemos esses elemetos. Faremos: Xi ( )90 ( X ) O deomiador, por sua vez, será (-1), uma vez que estamos diate de uma amostra. Assim, sedo que 10, etão (-1)9. Aplicado a fórmula iteira, teremos: ( Xi X ) 90 S S 10 Resposta! (Fiscal de Redas RJ 003 FJG) O desvio-padrão populacioal dos valores 30, 40 e 50 é igual, aproximadamete, a: A) 8 B) 8,16 C) 10 D) 10,16 Sol.: Questão semelhate à seguda. O cojuto é uma população e está represetado por um rol. Comecemos pela fórmula. Teremos: Desvio Padrão Populacioal para Rol: S ( Xi X ) Descubramos logo o valor da Média do cojuto. Teremos: X Xi ( ) Agora, costruiremos o cojuto (Xi- X ). Teremos: (Xi- X ){(30-40), (40-40), (50-40)} {-10, 0, 10} O umerador da fórmula pede que ós ecotremos agora o cojuto dos quadrados de (Xi- X ). Fazedo isso, teremos: 5

4 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 (Xi- X ) {(-10), (0), (10) } {100, 0, 100} Cotiuado a aálise do umerador, teremos agora que somar os elemetos do cojuto costruído acima. Teremos: 00 ( Xi X ) ( ) Este é o osso umerador! E o deomiador é (úmero de elemetos do cojuto). Assim, teremos, fialmete, que: S ( Xi X ) 00 S 66, 67 8,16 Resposta! (AFC-94) Uma empresa que possui 5 máquias copiadoras registrou em cada uma delas o último mês (em 1000 uidades): 0, 3, 5, 7 e 30 cópias, respectivamete. O valor da variâcia desta população é: a) 5 b) 11,6 c) 14,5 d) 5 Sol.: Esta questão pede o cálculo da Variâcia Populacioal de um Rol. Começaremos, como sempre, podo a fórmula o papel. É a seguite: Fórmula da Variâcia Populacioal para Rol: S ( Xi X ) Como primeiro passo, teremos que descobrir a Média do cojuto. Teremos: X Xi ( ) Agora, costruiremos o cojuto (Xi- X ). Teremos: (Xi- X ){(0-5), (3-5), (5-5), (7-5), (30-5)} {-5, -, 0,, 5} O umerador da fórmula pede que ós ecotremos agora o cojuto dos quadrados de (Xi- X ). Fazedo isso, teremos: (Xi- X ) {(-5), (-), (0), (), (5) } {5, 4, 0, 4, 5} Cotiuado a aálise do umerador, teremos agora que somar os elemetos do cojuto costruído acima. Teremos: Xi 58 ( X ) Este é o osso umerador! E o deomiador é (úmero de elemetos do cojuto). Assim, teremos, fialmete, que: S ( Xi X ) 58 S 11,6 Resposta! 5 6

5 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL (Cotrolador de arrecadação RJ 004 FJG ) Os valores de uma amostra de cico elemetos são: 4, 3, 3, 5 e 5. A variâcia dessa amostra é de: a) 4,00 b) 3,00 c),33 d) 1,00 Sol.: A questão agora pede o cálculo da Variâcia Amostral. Ou seja, osso cojuto agora represeta ão mais a população, e sim apeas uma amostra! Isso ifluecia ossas cotas, como já sabemos! O deomiador da fórmula terá que receber o meos 1. Assim: Fórmula da Variâcia Amostral para Rol: S ( Xi X ) 1 Ates de mais ada, covém que coloquemos esses elemetos em ordem crescete, para que se cofigure realmete o rol. Teremos: (3, 3, 4, 5, 5) Agora, sim! Na seqüêcia, descobriremos a Média do cojuto. Teremos: X Xi ( ) 5 0 4,0 5 Agora, costruiremos o cojuto (Xi- X ). Teremos: (Xi- X ){(3-4), (3-4), (4-4), (5-4), (5-4)} {-1, -1, 0, 1, 1} O umerador da fórmula pede que ós ecotremos agora o cojuto dos quadrados de (Xi- X ). Fazedo isso, teremos: (Xi- X ) {(-1), (-1), (0), (1), (1) } {1, 1, 0, 1, 1} Cotiuado a aálise do umerador, teremos agora que somar os elemetos do cojuto costruído acima. Teremos: Xi 4 ( X ) Este é o osso umerador! E o deomiador é (úmero de elemetos do cojuto). Assim, teremos, fialmete, que: ( Xi X ) 4 S S 1,0 Resposta! (AFPS-00/ESAF) Dada a seqüêcia de valores 4, 4,, 7 e 3 assiale a opção que dá o valor da variâcia. Use o deomiador 4 em seus cálculos. a) 5,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 6,0 e) 16,0 Sol.: Novamete se pede o cálculo da Variâcia de um Rol. Embora ão teha sido usada a palavra amostra de forma expressa, o euciado idica que devemos calcular a Variâcia Amostral, o istate em que determia que deveremos usar o deomiador 4 os ossos cálculos. Ora, se o cojuto tem 5 elemetos, e usaremos 4 o deomiador, é porque está sedo feita a correção da fórmula para o caso da amostra! Colocado a fórmula o papel, teremos: 7

6 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Fórmula da Variâcia Amostral para Rol: S ( Xi X ) 1 Ates de mais ada, covém que coloquemos esses elemetos em ordem crescete, para que se cofigure realmete o rol. Teremos: (, 3, 4, 4, 7) Agora, sim! Na seqüêcia, descobriremos a Média do cojuto. Teremos: X Xi ( ) 5 0 4,0 5 Agora, costruiremos o cojuto (Xi- X ). Teremos: (Xi- X ){(-4), (3-4), (4-4), (4-4), (7-4)} {-, -1, 0, 0, 3} O umerador da fórmula pede que ós ecotremos agora o cojuto dos quadrados de (Xi- X ). Fazedo isso, teremos: (Xi- X ) {(-), (-1), (0), (0), (3) } {4, 1, 0, 0, 9} Cotiuado a aálise do umerador, teremos agora que somar os elemetos do cojuto costruído acima. Teremos: Xi 14 ( X ) Este é o osso umerador! E o deomiador é (úmero de elemetos do cojuto). Assim, teremos, fialmete, que: ( Xi X ) 14 S S 3,5 Resposta! (AFTN-98) Os dados seguites, ordeados do meor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (X i ) de ações, tomada uma bolsa de valores iteracioal. A uidade moetária é o dólar americao. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 1, 1, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 3 Os valores seguites foram calculados para a amostra: Σ i X i 490 e Σ i X i (Σ i X i ) / Assiale a opção que correspode à mediaa e à variâcia amostral, respectivamete (com aproximação de uma casa decimal) a) (9,0 13,6) d) (8,0 13,6) b) (9,5 14,0) e) (9,0 14,0) c) (8,0 15,0) Sol.: Esta questão pede duas coisas: a Mediaa e a Variâcia Amostral. O cojuto, como vemos, está represetado por um rol. 8

7 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Comecemos pela Mediaa. Ora, se o cojuto é um rol, etão faz difereça se o é o úmero par ou ímpar! Neste caso, temos que 50, logo, um úmero par. E se é um úmero par, sigifica que haverá duas posições cetrais o cojuto! Estas serão determiadas assim: 1ª Posição cetral: (/) 50/ 5ª posição! ª Posição cetral: a viziha posterior 6ª posição. Proto! De resto, basta descobrir agora quais são os elemetos que ocupam, respectivamete, estas duas posições; e depois fazer a média deles dois, ou seja, somá-los e dividir por dois o resultado da soma. Esta média em será ecessária, uma vez que as duas posições cetrais são, ambas, ocupadas por um mesmo elemeto (9). Assim, chegamos à primeira resposta: Md9,0. E quato à Variâcia Amostral? Ora, percebamos que o euciado os foreceu um dado adicioal. Foi dito que: Σ i X i (Σ i X i ) / Será que esse dado vai servir de alguma coisa? Para saber disso, precisamos colocar o papel as duas fórmulas: a básica e a desevolvida. Teremos: Fórmula Básica da Variâcia Amostral para Rol: S ( Xi X ) 1 Fórmula Desevolvida da Variâcia Amostral para Rol: S 1. Xi 1 ( Xi) Ora, se bem observarmos, perceberemos que o dado adicioal da questão aparece a fórmula desevolvida da variâcia! Sim! Todos exergaram? Ele é o colchete da fórmula! Já todo calculado para ós, de badeja! Assim, ficou evideciado que adotaremos a equação desevolvida para resolver essa questão, e com imeso beefício para ós! S Teremos: 1. Xi 1 ( Xi) S Resposta! [ 668] 13, 6 6. (AFC-94) A média e a variâcia do cojuto dos salários pagos por uma empresa eram de $ e 1,167x10 10, respectivamete. O valor da variâcia do cojuto dos salários após o corte de três zeros a moeda é: a) 1,167x10 7 c) 1,167x10 5 9

8 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 b) 1,167x10 6 d) 1,167x10 4 Sol.: Aqui vem uma questão fácil, mas iteressate! Ela explora uma propriedade da variâcia: a propriedade do produto e divisão! Foi dito que haverá um corte de 3 zeros a moeda. Assim, quem gahava 1000, com esses três zeros a meos, passará a gahar 1. Quem gahava 000 vai gahar ; quem gahava 3000 vai gahar 3. Cocordam? E qual é a operação matemática que faz com que 1000 vire 1, 000 vire, e 3000 vire 3? Dividir por 1000, claro! E 1000 é o mesmo que Tudo bem até aqui? Assim, cocluímos: todos os elemetos do cojuto origial (salários origiais) foram divididos por uma mesma costate (10 3 ). O que diz a propriedade da Variâcia sobre isso? Diz que a ova variâcia, ou seja, a variâcia do ovo cojuto, será igual à variâcia do cojuto origial dividida pelo quadrado da costate! Quem é o quadrado de 10 3? É Isso é uma propriedade da poteciação. Potêcia de potêcia! Repete a base e multiplicam-se os expoetes. Lembrados? O que fizemos foi isso: (10 3 ) 10 (3x) 10 6 Melhorou? Assim, a ova variâcia será dividida por Teremos: Nova Variâcia 1,167 x ,167x10 4 Resposta! Nesta última cota foi usada uma outra propriedade da poteciação: a divisão de potecia de mesma base. O que se faz este caso? Repete-se a base, e subtraem-se os expoetes! A base é 10. Foi repetida. Os expoetes eram 10 e 6. Foram subtraídos. E o que restou? 10 elevado a (BACEN-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio padrão dos salários era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumeto de 10%. O desvio padrão dos salários passou a ser de: a) $ ,00 d) $ ,00 b) $ ,00 e) $ ,00 c) $ ,00 Sol.: Todos os salários receberam um aumeto de 10%. Como traduzir esta iformação para uma operação matemática? Esse é o X da questão! Aumeto de 10% sigifica um produto! Por quato? Por 1,10. Se o aumeto fosse de 15%, multiplicaríamos por 1,15. Se fosse por 30%, multiplicaríamos por 1,30. 10

9 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 0,90. E assim por diate! E se, ao ivés de aumeto, fosse redução de 10%? O que faríamos? Multiplicaríamos por Se fosse redução de 0%, multiplicaríamos por 0,80. Se fosse redução de 30%, multiplicaríamos por 0,70. E assim por diate! Pois bem! Se todos os elemetos do cojuto foram multiplicados por uma mesma costate (1,10), o que ocorrerá ao ovo desvio padrão? De acordo com a propriedade, o ovo desvio padrão será também multiplicado pela mesma costate! Assim: Novo Desvio Padrão x 1, Resposta! 64. (FISCAL DO TRABALHO-94) Do estudo do tempo de permaêcia o mesmo emprego de dois grupos de trabalhadores (A e B), obtiveram-se os seguites resultados para as médias X a e X b e desvios-padrão Sa e Sb. Grupo A: X a 10 meses e Sa4 meses Grupo B: X b 60 meses e Sb15 meses É correto afirmar que: a) a dispersão relativa o grupo A é maior que o grupo B b) a média do grupo B é 5/8 da média do grupo A c) a dispersão absoluta do grupo A é o dobro da dispersão absoluta do grupo B d) a dispersão relativa do grupo A é 4/5 da dispersão relativa do grupo B e) a média etre os dois grupos é de 180 meses Sol.: Essa questão é meramete coceitual! Precisamos saber o que é Dispersão Absoluta e o que é Dispersão Relativa. E isso já apredemos: Dispersão Absoluta Desvio Padrão; Dispersão Relativa Coeficiete de Variação. Sabedo disso, podemos criar uma pequea tabela, para orgaizar melhor os dados da questão. Teremos: Média Desvio Padrão CV (Dispersão Absoluta) (Dispersão Relativa) Grupo A 10 4 (4/10)0,0 Grupo B (15/60)0,5 Proto! Chegamos à resposta! Vejam aí a opção D: A dispersão relativa de A é 4/5 da dispersão relativa de B. É verdade isso? 0,0 (4/5)x0,5?? Sim! Etão aí está! Letra D Resposta! 11

10 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL (TCU-93) O quadro abaixo apreseta a reda mesal per capita das localidades A e B: Localidade Média Desvio Padrão A B Assiale a opção correta: a) O itervalo semi-iterquartílico é dado por [10, 15] b) A reda da localidade A é mais homogêea que a reda a localidade B c) O coeficiete de variação é 50/75 d) A reda da localidade B é mais homogêea que a da localidade A e) Os coeficietes de variação de reda as localidades A e B são iguais Sol.: Questão semelhate à aterior! Façamos o quadro completo. Teremos: Média Desvio Padrão CV Grupo A (10/50)0,0 Grupo B (15/75)0,0 De imediato, morreu a questão! Basta verificar o texto da opção E, a qual os diz que os dois coeficietes de variação são iguais! Letra E Resposta! Uma observação: o CV é idicativo de homogeeidade do cojuto: Quato meor o CV, mais homogêeo é o cojuto; Quato maior o CV, meos homogêeo é o cojuto. 66. (TCDF-1995) Uma pesquisa de preços de determiado produto, realizada em dois mercados, produziu os resultados mostrados a tabela abaixo: Mercado Preço Médio (R$/kg) Desvio Padrão (R$/kg) I 5,00,50 II 4,00,00 Com base esses resultados, é correto afirmar que a) o mercado I, a dispersão absoluta dos preços é meor que o mercado II. b) o mercado I apreseta uma dispersão relativa (de preços) maior que a do mercado II. c) o mercado I, a dispersão relativa é igual à dispersão absoluta. d) o mercado I, a dispersão relativa dos preços é igual a do mercado II. e) cosiderado os mercados I e II como se fossem um úico mercado, a dispersão absoluta da distribuição resultate é igual a 4,5. Sol.: Outra questão a mesma liha! Façamos o quadro completo. Teremos: Média Desvio Padrão CV Grupo I 5,0,5 (,5/5,0)0,5 Grupo II 4,0,0 (,0/4,0)0,5 1

11 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Como já sabemos o que é dispersão absoluta e dispersão relativa, resta-os aalisar as opções de resposta, para cocluir que a correta é a letra D, que diz que os dois CV são iguais! Letra D Resposta! 67. (AFRF-00.) Uma variável cotábil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de empresas apresetado os resultados seguites: Grupo Média Desvio padrão A 0 4 B 10 3 Assiale a opção correta. a) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta. b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa. c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo A. d) A dispersão relativa de Y etre os Grupos A e B é medida pelo quociete da difereça de desvios padrão pela difereça de médias. e) Sem o cohecimeto dos quartis ão é possível calcular a dispersão relativa os grupos. Sol.: Uma curiosidade: as três questões ateriores, que traziam rigorosamete o mesmo modelo desta aqui, caíram em provas de 1993, 1994 e Ora, qual ão foi a surpresa de muita gete, miha iclusive, ao ecotrar ovamete o mesmo euciado uma prova de 00! Moral da história: a Esaf reutiliza questões atigas, vez por outra! De sorte que vale a pea, muitíssimo, cohecer bem as provas passadas! Quato mais, melhor! Façamos o quadro completo. Teremos: Média Desvio Padrão CV Grupo A 0,0 4,0 (4/0)0,0 Grupo B 10,0 3,0 (3/10)0,30 Vemos, sem maiores dificuldades, que o CV do grupo B é maior que o CV do grupo A. É o que está sedo dito a alterativa c. Logo: Letra C Resposta! 68. (AFC-94) Seja X uma variável aleatória com média aritmética x 10 e desviopadrão S 3. Cosidere as variáveis: y x +1 e z x. A úica afirmação errada é: a) as variáveis y e z tem a mesma média aritmética. b) o desvio padrão de y é 6. c) as variáveis y e z têm o mesmo desvio padrão. d) a média de y é 1. e) as variáveis x e z têm o mesmo coeficiete de variação. Sol.: Aqui começa uma seqüêcia de questões que evolvem a variável trasformada! Questões muito fáceis, diga-se de passagem! A variável origial é a X. 13

12 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Neste euciado, há duas variáveis trasformadas: Y e Z, assim defiidas: YX+1 e ZX Cohecemos a média e o desvio padrão da variável origial X. Fazedo o deseho de trasformação da variável para a variável Y, teremos: 1º)x º)+1 Xi Yi Agora, aplicado a propriedade da média, que é iflueciada pelas quatro operações, teremos: 1º)x º)+1 x 10 y (10x)+11 Xi Yi Aplicado a propriedade do desvio padrão, que só é iflueciado por produto e divisão (multiplica-se ou divide-se pela própria costate), teremos: 1º)x º)+1 Sx3,0 Xi Yi Sy(3x)6,0 Temos aida que a variável Z é defiida por: Z.X Costruido o camiho de trasformação da variável e aplicado as mesmas propriedades acima, teremos que: 1º)x x 10 Z (10x)0 Xi Zi Aplicado a propriedade do desvio padrão, que só é iflueciado por produto e divisão (multiplica-se ou divide-se pela própria costate), teremos: 1º)x Sx3,0 Xi Zi Sz(3x)6,0 14

13 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Com isso, chegamos a quatro resultados. Os seguites: Média de Y1 ; Desvio Padrão de Y 6,0 Média de Z0; Desvio Padrão de Z6,0 Aalisado as opções de resposta, cocluiremos que Y e Z têm o mesmo desvio padrão. É o que os diz a alterativa C. Logo: Letra C Resposta! 69. (FTE-PA-00/ESAF) Um certo atributo W, medido em uidades apropriadas, tem média amostral 5 e desvio-padrão uitário. Assiale a opção que correspode ao coeficiete de variação, para a mesma amostra, do atributo Y 5 + 5W. a) 16,7% b) 0,0% c) 55,0% d) 50,8% e) 70,% Sol.: Começarmos fazedo o deseho de trasformação da variável. Teremos: 1º)x5 º)+5 Wi O euciado os foreceu elemetos da variável W, e pediu resultados da variável Y. Precisamos achar o CV da variável Y. Para tato, precisaremos cohecer a sua média e o seu desvio padrão. Trabalhado com essas duas medidas, e explorado as suas propriedades, teremos: 1º)x5 º)+5 Yi w 5 y (5x5)+530 Wi Yi Aplicado a propriedade do desvio padrão, que só é iflueciado por produto e divisão (multiplica-se ou divide-se pela própria costate), teremos: 1º)x5 º)+5 Sw1,0 Wi Yi Sy(1x5)5,0 Cohecedores desses resultados, teremos agora codições de calcular o CV de Y. Teremos: CVDesvio Padrão/Média CVy5/300,167 16,7% Resposta! 15

14 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL (Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 00 / ESAF) Aplicado a trasformação z (x - 14)/4 aos potos médios das classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários míimos. Assiale a opção que correspode ao desvio padrão dos salários ão trasformados. a) 6,0 b) 4,40 c) 5,00 d) 7,0 e) 3,90 Sol.: A questão evolve uma trasformação da variável. O que faremos? Claro! Faremos o deseho de trasformação! Que é o seguite: 1º)-14 º) 4 Xi Zi Sz1,10 º)+14 1º)x4 Vejam que já está do lado da variável trasformada Z a iformação adicioal do euciado, qual seja, que o desvio padrão de Z é Sz1,10. Agora, a questão perguta qual o desvio padrão de X. Ora, basta percorrermos o camiho de volta, lembrado-os das propriedades do desvio padrão. Teremos: 1,10 x 4 4,40 A soma que se segue, o camiho de volta, ão será efetuada, uma vez que Desvio Padrão ão sofre ifluêcia em de soma em de subtração! Assim, passado direto pela soma, teremos, fialmete, que: Sx4,40 Resposta! 71. (AFRF-003/ESAF) O atributo Z (X-)/3 tem média amostral 0 e variâcia amostral,56. Assiale a opção que correspode ao coeficiete de variação amostral de X. a) 1,9% d) 31,% b) 50,1% e) 10,0% c) 7,7% 16

15 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Sol.: Novamete, começarmos fazedo o deseho de trasformação da variável. Teremos: 1º)- º) 3 Xi Zi º)+ 1º)x3 Cohecemos a Média e o Desvio Padrão da variável trasformada Z, e a questão os pede o cálculo do CV da variável origial X. Para chegarmos à resposta, precisaremos cohecer o valor da Média e do Desvio Padrão de X. Faremos o seguite: 1º)- º) 3 Xi Zi Z 0 e S z,56 º)+ 1º)x3 Daí: X (0x3)+ X 6,00 O problema da média está resolvida! Agora, a respeito do desvio padrão tem um chapéu! Precisamos do Desvio Padrão de X, e a questão os foreceu a Variâcia de Z. Ora, para chegarmos ao Desvio Padrão de X, precisamos partir do Desvio Padrão de Z. Assim, sabedo que o desvio padrão é a raiz quadrada da variâcia, faremos: Sz Sz, 56 1,6 Agora, sim! Aplicado a propriedade do desvio padrão, teremos: Sx1,6x34,8 Fialmete, teremos que: CVx Desvio Padrão de X/Média de X 1,6/60,077 7,7% Resposta! 7. (AFRF-000) Numa amostra de tamaho 0 de uma população de cotas a receber, represetadas geericamete por X, foram determiadas a média amostral M 100 e o desvio-padrão S 13 da variável trasformada (X-00)/5. Assiale a opção que dá o coeficiete de variação amostral de X. a) 3,0% b) 9,3% c) 17,0% d) 17,3% e) 10,0% 17

16 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Sol.: Questão idêtica à aterior. Façamos o deseho de trasformação. Teremos: 1º)-00 º) 5 Xi Zi Z 100 e Sz13,00 º)+00 1º)x5 Cohecemos a Média e o Desvio Padrão da variável trasformada, e queremos calcular o CV da variável origial X. Aplicado as propriedades devidas, faremos: X (100x5)+00 X 700,00 Sx13x565,00 Daí, fialmete, diremos que: CVx65/700 CV0,093 9,3% Resposta! 73. (AFRF-00) Um atributo W tem média amostral a 0 e desvio padrão positivo b 1. Cosidere a trasformação Z(W-a)/b. Assiale a opção correta. a) A média amostral de Z coicide com a de W. b) O coeficiete de variação amostral de Z é uitário. c) O coeficiete de variação amostral de Z ão está defiido. d) A média de Z é a/b. e) O coeficiete de variação amostral de W e o de Z coicidem. Sol.: Uma questão bem simples. Covém, para facilitar mais aida osso raciocíio, que adotemos a omeclatura com a qual estamos acostumados! Assim, quado a questão diz que a média de W é a, diremos que é W. O euciado diz também que o desvio padrão de W é b. Diremos que é Sw. Assim, faremos agora o deseho de trasformação sugerida pelo euciado. Teremos: 1º)- W º) Sw Wi Zi Agora, se partirmos com W, chegaremos à Média de Z. Teremos: Z (W -W ) Sw Z 0, Ora, se é verdade que Z 0, etão, também cocluiremos que: 18

17 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 CVw Sw Sw Z 0 E qualquer divisão por zero, a liguagem da Esaf, resulta em um valor idefiido! É o que diz a alterativa C. Logo: Letra C Resposta! 74. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de veda de um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 5 revededores, a tabela de freqüêcias seguite: Classe de Preços m i f i [ 5 9) 7 3 [ 9 13) 11 5 [13 17) 15 7 [17 1) 19 6 [1 5) 3 3 [5 9) 7 1 As quatidades m i e f i represetam o poto médio e a freqüêcia da classe de preços i. Sabedo-se que: Σ i (f i m i ) (Σ i f i m i ) / assiale a opção que melhor aproxima o desvio padrão amostral. a) 0,5 (347/3) 0.5 b) 6 c) 0,9 (345/3) 0.5 d) 8,91 e) 8 Sol.: A questão pede o cálculo do desvio padrão amostral. Pela iformação adicioal do euciado, resta evideciado que devemos trabalhar com a fórmula desevolvida do desvio padrão amostral. Como o cojuto está em formato de uma Distribuição de Freqüêcias, teremos que: Fórmula Desevolvida do Desvio Padrão Amostral para Distribuição de Freqüêcias: 1 S. fi. PM 1 ( fi PM ). Reparem que o dado adicioal da questão já é o próprio colchete da fórmula acima. Assim, sabedo aida que 5 elemetos, teremos que: 1 S. fi. PM 1 ( fi PM ) S S 4 4.[ 694] O que é preciso agora é trasformar esse resultado ao qual chegamos acima em uma das alterativas de resposta! Usaremos um pouco de álgebra. 19

18 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Se fatorarmos o deomiador, teremos que: 4xxx3 x6 Assim: S S.. 0,5 ( 347 / 3) 0, 5 x Resposta! 4 x (AFRF-00) Em um esaio para o estudo da distribuição de um atributo fiaceiro (X) foram examiados 00 ites de atureza cotábil do balaço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüêcias abaixo. A colua Classes represeta itervalos de valores de X em reais e a colua P represeta a freqüêcia relativa acumulada. Não existem observações coicidetes com os extremos das classes. Classes P (%) Cosidere a trasformação Z(X-140)/10. Para o atributo Z ecotrou-se 7 i 1 f i Z i 1680, ode f i é a freqüêcia simples da classe i e Z i o poto médio de classe trasformado. Assiale a opção que dá a variâcia amostral do atributo X. a) 70,00 b) 840,0 c) 900,10 d) 100,15 e) 560,30 Sol.: Essa questão é das boas! Evolve uma trasformação da variável origial. Esta trasformação foi forecida pelo próprio euciado, e está expressa pela seguite cota: Z(X- 140)/10. A variável origial é a Xi, e está sedo trasformada a Zi por meio de duas operações: uma subtração por 140 e depois uma divisão por 10. Pois bem! O que os pede a questão? Que ecotremos a variâcia amostral. Reparemos que quado se trata de variâcia, faz toda difereça se estamos trabalhado com uma amostra ou com uma população! As fórmulas para cálculo da variâcia amostral, coforme já sabemos, são as seguites: ( PM X ). fi S ou S 1 1. fi. PM 1 ( fi PM ). Como decidir por uma delas? Ora, ambas os fazem chegar ao mesmo resultado, porém haverá sempre uma que será mais coveiete para ossa resolução, de acordo com os dados adicioais forecidos pelo euciado! 7 Neste caso, o dado adicioal foi o seguite: i Z i f i Ode Zi é o poto médio trasformado, ou seja, o poto médio da variável Z. 0

19 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Dica: sempre que a questão trouxer em seu euciado uma trasformação da variável, é iteressate que ós façamos de proto um deseho que a represete. Trata-se do deseho de trasformação da variável. Teremos: 1ª)-140 ª) 10 X Z ª)+140 1ª)x10 7 Voltemos ao dado adicioal trazido pelo euciado: i Z i f i Comparemos esse dado com as duas fórmulas passíveis de serem usadas: ( PM X ). fi S ou S 1 1. fi. PM 1 ( fi PM ). Proto! Já temos codição de afirmar que a fórmula boa para essa resolução é a fórmula desevolvida! A maior! Para ficar melhor de exergar, troquemos PM (Poto Médio) por Zi (que é o poto médio da variável Z), e teremos: S ( fi Zi) 1. fi. Zi 1. Viram? Daquele colchete, já cohecemos o valor da primeira parcela, que é igual a Sabemos também que para essa distribuição de freqüêcias, 00, coforme dito a seguda liha do euciado (...foram examiados 00 ites...). Daí, até agora, substituido os valores cohecidos a fórmula, teremos: ( fi. ) 1 Zi S Em suma: só os resta descobrir o valor do umerador da seguda parcela do colchete, ou seja, o valor de (fi.zi). Vamos trabalhar as coluas de freqüêcia da ossa distribuição. A colua P(%) represeta este caso, coforme já é do osso cohecimeto, a freqüêcia relativa acumulada crescete (Fac). Daí, costruiremos primeiro a colua da Freqüêcia Relativa Simples (Fi) e depois a da freqüêcia absoluta simples (fi). Esse trabalho com as coluas de freqüêcia é algo cujo cohecimeto é imprescidível para ós! E estou cotado que todos ós já saibamos fazer isso! O resultado deste trabalho será o seguite: 1

20 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Classes Fac Fi fi % 5% % 10% % 5% % 30% % 15% % 10% % 5% Do que precisamos mesmo? Da parcela (fi.zi). Ora, a colua fi já é ossa cohecida! Resta, pois, ecotrarmos quem é o Zi. Sabemos que Zi(Xi-140)/10, e que este Xi represeta o Poto Médio da variável origial. Daí, precisamos logo costruir a colua do Xi. Teremos: Classes Fac Fi fi Xi % 5% % 10% % 5% % 30% % 15% % 10% % 5% Agora, sim: osso próximo passo é costruir a colua do Zi. Teremos: Classes Fac Fi fi Xi Xi 140 Zi % 5% % 10% % 5% % 30% % 15% % 10% % 5% Voltemos agora para osso objetivo: (fi.zi). Próximo passo? Costruir a colua (fi.zi), e somar seus valores. Teremos: Classes Fac Fi fi Xi Xi 140 fi.zi Zi % 5% % 10% % 5% % 30% % 15% % 10% % 5% (fi.zi)-40

21 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Quase lá! O que queremos? (fi.zi). Daí, teremos: (-40) Agora só precisamos completar a fórmula e fazer as cotas. Ficaremos com: ( fi. ) 1 Zi Sz E: S Z 8, Sz Sz Bem que esta poderia ser ossa resposta! Só que aida ão é! Claro que ão! O que ecotramos foi a variâcia da variável trasformada! E o que a questão pede é a variâcia da variável origial. É aí que etra aquele tal deseho de trasformação da variável. O resultado que temos até aqui (8,400) está do lado da variável Z. Teremos: 1ª)-140 ª) 10 X Z S z 8,400 ª)+140 1ª)x10 Para chegarmos à variâcia do lado de cá, ou seja, da variável origial X, teremos que percorrer o camiho de baixo, lembrado das propriedades da variâcia. Variâcia é iflueciada por produto ou divisão? Sim! Multiplicaremos (ou dividiremos) a variâcia pelo quadrado da costate! Logo, se a primeira operação do camiho de baixo é uma multiplicação por dez, etão faremos com a variâcia um produto pelo quadrado de dez, ou seja, multiplicaremos por 100 (cem). Já o tocate à seguda operação do camiho de baixo, lembraremos que a variâcia ão é iflueciada por operações de soma ou subtração. Ou seja, a seguda operação (soma com 140) ão será realizada! Teremos: 1ª operação) 8,400 x ,0 ª operação) Não realizaremos! Daí: Variâcia da Variável Origial S x 840,0 Resposta! 76. (AFRF-00.) O atributo do tipo cotíuo X, observado como um iteiro, uma amostra de tamaho 100 obtida de uma população de 1000 idivíduos, produziu a tabela de freqüêcias seguite: 3

22 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Classes Freqüêcia (f) 9,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59, ,5-69,5 0 69,5-79,5 6 79,5-89, ,5-99,5 10 Assiale a opção que correspode ao desvio absoluto médio do atributo X. a) 16,0 d) 18,1 b) 17,0 e) 13,0 c) 16,6 Sol.: O poto de partida da resolução, como sabemos, é a fórmula! Neste caso, a ossa é a seguite: PM X. fi DMA O euciado chamou a medida de desvio absoluto médio. Poderia ser também desvio médio absoluto ou simplesmete desvio absoluto. São siôimos. Esta uca foi uma medida muito explorada em provas de estatística, embora sempre teha figurado etre os programas! Os passos de resolução serão determiados, obviamete, pela fórmula. Olhado para a equação, veremos aquilo que já dispomos, e o que aida ão temos e precisamos ecotrar. Voltemos a olhar para a ossa distribuição de freqüêcias e para a fórmula: Classes Freqüêcia (f) 9,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59, ,5-69,5 0 69,5-79,5 6 79,5-89, ,5-99,5 10 DMA PM X. fi O que já temos? Olhemos para a equação! Temos os Potos Médios? Aida ão! Etão é osso primeiro passo: costruir a colua dos Potos Médios. Teremos: Classes fi PM 9,5-39,5 4 34,5 39,5-49,5 8 44,5 49,5-59, ,5 59,5-69,5 0 64,5 69,5-79,5 6 74,5 79,5-89, ,5 89,5-99, ,5 4

23 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 A fórmula agora pede a Média. Já a temos? Aida ão! Etão é osso próximo passo está defiido: calcular a Média! É como se fossem duas questões em uma! Usaremos o método da variável trasformada. Teremos: 34 Yi.fi Yi 10 9,5-39,5 4 34, ,5-49,5 8 44, ,5-59, ,5 8 59,5-69,5 0 64, ,5-79,5 6 74, ,5-89, , ,5-99, , Yi.fi350 Classes fi PM ( PM,5) Daí, ecotrado a média da variável trasformada Y, teremos: Yi. fi Y 350 Y 3, Agora, fazedo as operações do camiho de volta da trasformação da variável, teremos: 1º) 3,5 x 10 35,0 º) ,5 69,5 X 69,5 A equação do Desvio Médio Absoluto pede agora a difereça (PM- X ). Teremos: Classes fi PM (PM- X ) 9,5-39,5 4 34, ,5-49,5 8 44,5-5 49,5-59, , ,5-69,5 0 64,5-5 69,5-79,5 6 74,5 5 79,5-89, , ,5-99, ,5 5 Reparado melhor a fórmula, veremos que ela pede o valor absoluto da colua que acabamos de costruir. O módulo! E o efeito do módulo é, seão outro, trasformar em positivo quem estiver egativo. Daí, tomado a última colua costruída, faremos: Classes fi PM (PM- X ) (PM- X ) 9,5-39,5 4 34, ,5-49,5 8 44, ,5-59, , ,5-69,5 0 64, ,5-79,5 6 74, ,5-89, , ,5-99, ,5 5 5 A fórmula agora pede que multipliquemos essa colua por fi. Teremos: 5

24 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Classes fi PM (PM- X ) (PM- X ) (PM- X ).fi 9,5-39,5 4 34, ,5-49,5 8 44, ,5-59, , ,5-69,5 0 64, ,5-79,5 6 74, ,5-89, , ,5-99, , (PM- X ).fi1300 Agora, sim! Já temos tudo para aplicarmos a fórmula do DMA. Teremos, efim, que: PM X. fi DMA 1300 DMA DMA13,00 Resposta! (AFRF-000) Tem-se um cojuto de mesurações X 1,..., X com média aritmética M e variâcia S, ode M (X X )/ e S (1/ ) Σ i ( X i M ). Seja θ a proporção dessas mesurações que diferem de M, em valor absoluto, por pelo meos S. Assiale a opção correta. a) Apeas com o cohecimeto de M e S ão podemos determiar θ exatamete, mas sabese que 0,5 θ. b) O cohecimeto de M e S é suficiete para determiar θ exatamete, a realidade tem-se θ 5% para qualquer cojuto de dados X 1,..., X. c) O cohecimeto de M e S é suficiete para determiar θ exatamete, a realidade tem-se θ 95% para qualquer cojuto de dados X 1,..., X. d) O cohecimeto de M e S é suficiete para determiar θ exatamete, a realidade tem-se θ 30% para qualquer cojuto de dados X 1,..., X. e) O cohecimeto de M e S é suficiete para determiar θ exatamete, a realidade tem-se θ 15% para qualquer cojuto de dados X 1,..., X. Sol.: O euciado os fala que para um dado cojuto o valor da média vale M e a variâcia vale S. Ora, sabemos que variâcia é o quadrado do Desvio-Padrão. Logo, se variâcia é S, etão o Desvio-Padrão será apeas S (a raiz quadrada da variâcia). Fala também acerca de uma proporção θ, que é a proporção dos elemetos do cojuto que diferem da Média M, em valor absoluto, por pelo meos S. Quado se diz em valor absoluto queremos dizer uma difereça para mais e para meos. 6

25 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Nosso itervalo está, pois, estabelecido: (Média-S a Média+S). Teremos: M-S M M+S Pois bem! O que a questão quer saber? A proporção dos elemetos que diferem da média por pelo meos S. Esse pelo meos sigifica o míimo. E o míimo vai sigificar além de S. Ou seja: queremos saber a proporção dos elemetos que estão fora do itervalo (M-S a M+S). Essa proporção fora do itervalo será uma proporção máxima ou uma proporção míima? Máxima, coforme já apredemos! Seria míima caso fosse a proporção dos elemetos detro do itervalo. Sabedo disso tudo, só os resta seguir os passos apredidos acima. Teremos: 1º Passo) Calculamos o valor D que é a difereça etre qualquer dos limites do itervalo e a média do cojuto. M-S M M+S D D Daí, ecotramos que a distâcia DS. º Passo) Calcular a fração K. Teremos: K S D k(s/s) k 3º Passo) Aplicar o Teorema de Tcheb. Teremos: P MÁXIMA 1 K P MÁXIMA (1/4)0,5 7

26 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Ora, a questão chamou esta proporção de θ. Daí, se θ é uma proporção máxima, é porque seu valor será meor ou igual a 0,5. Esta é a ossa resposta. Vejamos o que diz a opção a: Apeas com o cohecimeto de M e S ão podemos determiar θ exatamete, mas sabe-se que 0,5 θ É exatamete o que ecotramos! Letra A Resposta! 78. (AFRF-003) As realizações auais Xi dos salários auais de uma firma com N empregados produziram as estatísticas 1 X N 1 S N N i 1 R$14.300,00 0,5 N ( X i X ) R$1.00, 00 i 1 X i Seja P a proporção de empregados com salários fora do itervalo [R$ 1.500,00; R$ ,00]. Assiale a opção correta. a) P é o máximo 1/ d) P é o máximo 1/,5 b) P é o máximo 1/1,5 e) P é o máximo 1/0 c) P é o míimo 1/ Sol.: Observemos que o euciado perguta por uma proporção que estará fora de um determiado itervalo. Daí, sabemos imediatamete que se tratará de uma proporção máxima. Aqui ão tem segredo: basta aplicar os passos apredidos acima. Teremos: 1º Passo) Calculamos o valor D que é a difereça etre qualquer dos limites do itervalo e a média do cojuto. O deseho de ossa questão é o seguite: D D Daí, teremos que: D1.800 º Passo) Calcularemos o valor da fração K. Teremos: 8

27 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 K S D K(1800/100)1,5 3º Passo) Aplicação direta da fórmula de Tcheb. Teremos, pois, que: 1 P MÁXIMA K 1 1 P MÁXIMA 1,5,5 Resposta! 79. (AFPS 00/ESAF) Sejam X 1, X, X 3,..., X observações de um atributo X. Sejam Assiale a opção correta. 1 x s 1 i 1 ( xi x) a) Pelo meos 95% das observações de X diferem de x em valor absoluto por meos que S. b) Pelo meos 99% das observações de X diferem de x em valor absoluto por meos que S. c) Pelo meos 75% das observações de X diferem de x em valor absoluto por meos que S. d) Pelo meos 80% das observações de X diferem de x em valor absoluto por meos que S. e) Pelo meos 90% das observações de X diferem de x em valor absoluto por meos que S. Sol.: Esta questão perguta, em outras palavras, qual a proporção de elemetos localizados detro do itervalo que vai de (Média S) até (Média+S). i 1 Ora, a questão 3 (duas atrás), descobrimos a proporção dos elemetos que ficam fora deste mesmo itervalo. Lá, por ser proporção do lado de fora, era uma proporção máxima! E aqui, por ser uma proporção detro do itervalo, será uma proporção míima! Apredemos, a aula passada, que: Pmíima 1 Pmáxima Assim: Pmíima1-0,5 Pmíima0,75 É o que diz a letra C das alterativas: pelo meos (o míimo) 75% das observações de X diferem da média, em valor absoluto, por meos que S. Prestem ateção para o seguite:...diferem por meos que... proporção detro!...diferem por pelo meos... proporção fora! Logo: Letra C Resposta! x i 9

28 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL (Aalista CVM - 000/ ESAF) Uma firma distribuidora de eletrodomésticos está iteressada em estudar o comportameto de suas cotas a receber em dois meses cosecutivos. Com este objetivo selecioa, para cada mês, uma amostra de 50 cotas. As observações amostrais costam da tabela seguite: Valor (R$) Freqüêcia de Março Freqüêcia de Abril 1.000, , , , , ,00-3 Assiale a opção que correspode a amplitude do itervalo iterquartílico, em reais, para o mês de março. a) 3.50,00 d) 6.000,00 b) 5.000,00 e).000,00 c) 4.000,00 Sol.: O itervalo iterquartílico, também chamada amplitude iterquartílica, é uma medida de memorização muito fácil. Seão, vejamos. O que sugere o ome iterquartílico? Sugere etre os quartis. Cocordam? E quais são os quartis mais distates etre si? São o primeiro e o terceiro: Q1 e Q3. Assim, a distâcia etre os quartis, ou a amplitude iterquartílica, ou aida o itervalo iterquartílico ada mais é que: Q3-Q1. Só isso! Vamos começar ossa busca pelo primeiro quartil (Q1). Teremos: Valor (R$) fi 1.000, , , , , A fração do Q1 é (/4), coforme sabemos. Neste caso, temos que (/4)1,5. Costruido a colua da fac e fazedo as pergutas de praxe, teremos: Valor (R$) fi fac 1.000, , , , , é 1,5? Não! 19 é 1,5? Sim! Assim, achamos que Q13.000,00 30

29 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Para o terceiro quartil, sabemos que a fração correspodete é (3/4). Teremos, pois, que: (3/4)37,5. Usado a perguta de praxe, teremos: Valor (R$) fi fac 1.000, , , , , é 37,5? Não! 19 é 37,5? Não! 31 é 37,5? Não! 46 é 37,5? Sim! Uma vez descobertos os valores de Q1 e de Q3, resta-os aplicar a fórmula que correspode ao coceito de itervalo iterquartílico. Teremos que: Itervalo Iterquartílico Q3 Q , Resposta! (AFC-94) Para a solução das três próximas questões cosidere os dados da tabela abaixo, que represeta a distribuição de freqüêcias das otas em uma prova de estatística aplicada em três turmas de 100 aluos cada. Classes Freqüêcias das Notas a Prova de Estatística de Notas TURMA 01 TURMA 0 TURMA Total (AFC-94) Assiale a afirmação correta: a) Moda (turma ) < Moda (turma 3) d) Mediaa (turma 1) < Mediaa (turma ) b) Média (turma 1) > Média (turma ) e) Mediaa (turma ) > Mediaa (turma 3) c) Média (turma ) < Média (turma 3) Sol.: Uma seqüêcia muito iteressate de questões! O euciado apreseta, em uma úica tabela, três distribuições de freqüêcia. Separadamete, seriam elas as seguites: A primeira: A seguda: Classes Turma 01 fi Classes Turma 0 fi

30 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 A terceira: Classes Turma 03 fi Ora, a primeira coisa que procuraremos exergar uma distribuição de freqüêcias é se ela é simétrica ou ão! Como saber se uma distribuição é simétrica? Usado a técica do elevador! No que cosiste? Vamos aplicar a técica a seguda tabela forecida pela questão. Basta seguir os seguites passos: 1º) Idetificamos qual é a fi da classe itermediária! Classes Turma 0 fi Classe itermediária! º) Subimos um adar e descemos um adar, e comparamos as duas fi ecotradas! Teremos: Classes Turma 0 fi São iguais essas ovas fi? Sim! Daí, prossegue a técica, ovamete subido e descedo um adar! Teremos: Classes Turma 0 fi Iguais ovamete? Sim! Aida tem para ode subir ou descer? Não! Etão, acabou a ossa aálise, e ossa coclusão é a seguite: estamos diate de uma distribuição simétrica! 3

31 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Se em qualquer mometo dessa aálise, ao subir e descer um adar, tivéssemos ecotrado fi diferetes, diríamos etão que a distribuição ão seria simétrica, mas assimétrica. Qual a razão de estarmos fazedo esse estudo? Muito simples: quado a distribuição de freqüêcias é simétrica, teremos sempre que a Média será igual à Moda, e será igual à Mediaa! E essas três medidas serão calculadas da seguite forma: somaremos o limite iferior da primeira classe com limite superior da última classe, e este resultado dividiremos por dois. Da seguite forma: Classes Turma 0 fi X ( ) Mo Md 5,0 E ão precisamos fazer mais ehum cálculo! Vamos agora descobrir se a distribuição de freqüêcias da Turma 03 é simétrica ou ão. Teremos: Classes Turma 03 fi E aí? Simétrica! Daí, cocluiremos que: X ( ) Mo Md E a distribuição de freqüêcias da Turma 01? Vejamos: 5,0 Classes Turma 01 fi Logo o primeiro salto, cocluímos que a distribuição é assimétrica! Daí, até o presete mometo, já descobrimos que: X TURMA 0 Mo TURMA 0 Md TURMA 0 5,0 X TURMA 03 Mo TURMA 03 Md TURMA 03 33

32 Curso Preparatório para Auditores Fiscais, Técicos, Aalistas e Carreiras Afis Questões Cometadas MATERIAL 0 Sabedo disso, já descartamos as opções a, c e e, as quais comparam medidas relativas às turmas 0 e 03. Restam, portato, as opções b e d. Aalisemos a opção d: Mediaa (turma 1) < Mediaa (turma ) A Mediaa da Turma 0 já sabemos que vale 5,0. Agora, observemos melhor a Tabela da turma 01: Classes Turma 01 fi Uma aálise ateta os fará ver que esse cojuto tem 100 elemetos (100). Para isso, basta somar a colua da fi. Também vemos, sem maiores esforços, que só as duas primeiras classes já somam 60 elemetos! Sedo 0 a primeira classe e 40 a seguda. Ou seja: mais da metade dos elemetos do cojuto estão as duas primeiras classes. Ora, a Mediaa é exatamete aquele elemeto que está o meio do cojuto, dividido-o em duas partes iguais. Daí, cocluímos que a Classe Mediaa será a seguda ( a 4). De sorte que a Mediaa dessa distribuição será um valor qualquer iserido esta classe! Mesmo sem calcular essa Mediaa da turma 01, vemos que ão haveria como esta medida ser maior que 5, uma vez que 5 é um valor que faz parte da terceira classe (e ão da seguda)! Coclusão: Mediaa (turma 1) < Mediaa (turma ) Resposta! 8. (AFC-94) A úica opção errada é: a) 1º quartil (turma 1) > 1º quartil (turma 3) b) desvio-padrão (turma ) > desvio-padrão (turma 3) c) média (turma ) média (turma 3) d) coeficiete de variação (turma ) > coeficiete de variação (turma 3) e) a turma 3: média mediaa moda Sol.: Aqui procura-se pela opção errada! Observemos que a opção c compara a média das turmas 0 e 03. Já sabemos que são iguais! Descartada está, pois, esta opção! A opção e afirma que a média, moda e mediaa da turma 03 são iguais. Perfeito! Já sabíamos disso, uma vez que se trata de uma distribuição simétrica! Descartamos mais essa opção de resposta! Restaram as opções a, b e d. Essas duas últimas comparam duas medidas Desvio-Padrão e Coeficiete de Variação das turmas 0 e 03. Acerca dessas turmas, já sabemos que: X TURMA 0 Mo TURMA 0 Md TURMA 0 5,0 X TURMA 03 Mo TURMA 03 Md TURMA 03 34