Análise espectral de Hilbert-Huang: Introdução e aplicação em problemas de VIV.

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1 Análise espectral de Hilbert-Huang: Introdução e aplicação em problemas de VIV. Seminário de Pesquisa - EPUSP /67

2 Resumo Objetivos Introdução 3 Transformada de Fourier (TF) - Revisão 4 Transformada de Hilbert 5 Transformada de Hilbert-Huang IMF - Intrinsic mode function EMD - Empirical mode decomposition 6 Exemplo clássico 7 Aplicações em VIV Cilindro rígido em base elástica ([Franzini et al. ]) Cilindro flexível, montado em base elástica - [Franzini et al. ] 8 HHT-3 /67

3 Apresentar a técnica de análise espectral de Hilbert-Huang (HHT); Discutir suas motivações; Breve fundamentação teórica; Apresentar exemplos; Novos desenvolvimentos; 3/67

4 Introduzida no artigo [Huang et al. 998] Apropriada para sinais não estacionários e/ou provenientes de um sistema não-linear Amplitude definida no domínio tempo-frequência 4/67

5 Definição Define-se o par transformado de Fourier: G(ω) = + g(t)e jωt dt () π g(t) = + G(ω)e +jωt dω () π 5/67

6 Hipóteses A TF é válida à luz das chamadas condições de Dirichilet Descontinuidades em número finito Sinal de energia: + x(t) dt < 6/67

7 Limitações da TF A TF pode ser entendida como uma superposição de funções harmônicas, portanto admite-se que o sistema que originou o sinal seja LINEAR O sinal é projetado em uma base composta por sinais de frequências determinadas, portanto modulações não são adequadamente tratadas. Wavelet também é baseada na TF 7/67

8 o que fazer? 8/67

9 Definição Seja g(t) uma série temporal. Sua Transformada de Hilbert (TH) h(t) é o valor principal da integral: h(t) = π P + g(τ) dτ (3) t τ 9/67

10 Definição de a(t) e ω(t) Seja z(t) = g(t) + jh(t) um sinal analítico. Logo z(t) = g(t) + jh(t) = a(t)e jφ(t) (4) Sob algumas condições definem-se a amplitude a(t) e a fase instantâneas (φ). a(t) = g(t) + h(t) (5) ω = dφ dt (6) /67

11 Exemplos Caso : g (t) = sin(t) Caso : g (t) = α + sin(t) /67

12 Análise no plano complexo j(t) a(t)= j(t) a(t) Caso Caso /67

13 Análise no plano complexo No Caso : A amplitude constante igual a e a fase monotônica crescente ( φ > ) No Caso : Amplitude não constante e fase não monotônica crescente ( φ < para algum t) 3/67

14 Frequências negativas de oscilação não tem sentido físico. Consequência Para que a frequência instantânea tenha significado, é necessário que a média local do sinal z(t) seja nula. 4/67

15 E se a TH não é suficiente? 5/67

16 Existe uma alternativa viável? 6/67

17 Sim, existe a... Transformada de Hilbert-Huang 7/67

18 Resumo Objetivos Introdução 3 Transformada de Fourier (TF) - Revisão 4 Transformada de Hilbert 5 Transformada de Hilbert-Huang IMF - Intrinsic mode function EMD - Empirical mode decomposition 6 Exemplo clássico 7 Aplicações em VIV Cilindro rígido em base elástica ([Franzini et al. ]) Cilindro flexível, montado em base elástica - [Franzini et al. ] 8 HHT-3 8/67

19 Intrinsic Mode Functions Deve satisfazer duas condições Número de extremos e número de cruzamentos nulos deve ser o mesmo ou diferir no máximo por um (Banda estreita) Média local, definida pela envoltória dos máximos e dos mínimos deve ser nula. 9/67

20 Resumo Objetivos Introdução 3 Transformada de Fourier (TF) - Revisão 4 Transformada de Hilbert 5 Transformada de Hilbert-Huang IMF - Intrinsic mode function EMD - Empirical mode decomposition 6 Exemplo clássico 7 Aplicações em VIV Cilindro rígido em base elástica ([Franzini et al. ]) Cilindro flexível, montado em base elástica - [Franzini et al. ] 8 HHT-3 /67

21 O que é EMD? Adaptativa, a posteriori Baseada e derivada do próprio sinal (Empírica) Separa o sinal segundo as diversas escalas de tempo Gera um certo número de IMFs. /67

22 Processo de sifting Dado uma série temporal h (t) (sinal original ou não) Identifico dois envelope contendo os extremos (positivos e negativos) Calculo da média dos envelopes m (t) h (t) = h (t) m (t) Repete-se o processo utilizando h (t) como a série original. O processo é repetido até que a série resultante seja uma IMF. /67

23 Completando a EMD... Identificada uma IMF, o processo de sifting repete-se, considerando agora o sinal original subtraído da IMF. 3/67

24 Sifting ([Huang et al. 998]) (a) Wind speed m s (b) Wind speed m s (c) Wind speed m s Time (s) 4/67

25 Exemplo de um sinal com várias IMFs ([Huang et al. 998]) C4 C3 C C u Time (s) 5/67

26 Exemplo de um sinal com várias IMFs ([Huang et al. 998]) C9 C8 C7 C6 C5 Time (s) 6/67

27 Transformada de Hilbert-Huang Seja x(t) um sinal qualquer. Sua HHT é obtida pelo seguinte procedimento: Aplicação da EMD Obtenção das IMFs Aplicação da TH para cada IMF Composição de todas as TH em um mapa de cores 7/67

28 Exemplo de aplicação y/d = cos(ω t) cos(ω t( + ε cos Ω 3 t)) Ω = π, Ω = Ω, Ω = Ω 5, ε =. Crosswise Vibration y / D Time [s] 8/67

29 Exemplo de aplicação y/d = cos(ω t) cos(ω t( + ε cos Ω 3 t)) Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Imf 7 Mean Trend Ω = π, Ω = Ω, Ω = Ω 5, ε =. Empirical Mode Decomposition Time [s] 9/67

30 Exemplo de aplicação y/d = cos(ω t) cos(ω t( + ε cos Ω 3 t)) 3.5 Ω = π, Ω = Ω, Ω = Ω 5, ε =. Hilbert Huang Spectrum Frequency [Hz] y / D Time [s] 3/67

31 Resumo Objetivos Introdução 3 Transformada de Fourier (TF) - Revisão 4 Transformada de Hilbert 5 Transformada de Hilbert-Huang IMF - Intrinsic mode function EMD - Empirical mode decomposition 6 Exemplo clássico 7 Aplicações em VIV Cilindro rígido em base elástica ([Franzini et al. ]) Cilindro flexível, montado em base elástica - [Franzini et al. ] 8 HHT-3 3/67

32 Descrição geral Re constante, sob modulação da frequência. 3 < V R < 9 em única série temporal de deslocamento Duas taxas distintas de modulação da frequência 3/67

33 Base elástica 33/67

34 Taxa de modulação.5mm/s - Sinal y/d Time [s] 34/67

35 Taxa de modulação.5mm/s - Amplitude A*(t)=A/D Vr increasing: Re=64. Vr decreasing: Re=64 Standard: 3<Re< Vr(t)=U/fn(t)D 35/67

36 . Vr decreasing: Re=64 Standard: 3<Re< Vr(t)=U/fn(t)D Taxa de modulação.5mm/s - Frequência.8.6 f*(t)=f(t)/f N (t) Vr increasing: Re=64. Vr decreasing: Re=64 Standard: 3<Re< Vr(t)=U/fn(t)D 36/67

37 Taxa de modulação 5.mm/s - Sinal y/d Time [s] 37/67

38 Taxa de modulação 5.mm/s - Amplitude A*(t)=A/D Vr increasing: Re=64. Vr decreasing: Re=64 Standard: 3<Re< Vr(t)=U/fn(t)D 38/67 Universidade.8 de São Paulo

39 . Vr decreasing: Re=64 Standard: 3<Re< Vr(t)=U/fn(t)D Taxa de modulação 5.mm/s - Frequência.8.6 f*(t)=f(t)/f N (t) Vr increasing: Re=64. Vr decreasing: Re=64 Standard: 3<Re< Vr(t)=U/fn(t)D 39/67

40 HHT nos ajudou a ver que... Modulação da rigidez amplitude menor Histerese é influenciada pela taxa de modulação 4/67

41 Resumo Objetivos Introdução 3 Transformada de Fourier (TF) - Revisão 4 Transformada de Hilbert 5 Transformada de Hilbert-Huang IMF - Intrinsic mode function EMD - Empirical mode decomposition 6 Exemplo clássico 7 Aplicações em VIV Cilindro rígido em base elástica ([Franzini et al. ]) Cilindro flexível, montado em base elástica - [Franzini et al. ] 8 HHT-3 4/67

42 Descrição geral Rigidez ajustada para que a frequência correspondente a de um cilindro rígido fosse a mesma da primeira frequência natural do flexível Pontos de medição: Engaste do modelo e sua extremidade Acelerômetros 4/67

43 Set-up Carriage z y Y accelerometer water flume 4mm XY accelerometer 6mm 43/67

44 Modos e Frequências naturais 3 4 Figura: Eigenmodes - FEM Analysis 44/67

45 Modos e Frequências naturais Tabela: Non-damped eigenfrequencies - Numerical analysis. Mode shape f N [Hz] Mode shape f N [Hz] /67

46 Figuras de Lissajous x t (t) y t (t) Lissajous Figure - Re = VR = Lissajous Figure - Re = 76 VR = Lissajous Figure - Re = 344 VR = y t y t y t x t x t x t Figura: Lissajous figures - Trajectories in the plane (x t, y t ). 46/67

47 Figuras de Lissajous x t (t) y t (t) Lissajous Figure - Re = 3769 VR =6 Lissajous Figure - Re = 4549 VR = Lissajous Figure - Re = 535 VR = y t y t y t x t x t x t Figura: Lissajous figures - Trajectories in the plane (x t, y t ). 47/67

48 Figuras de Lissajous x t (t) y t (t) Lissajous Figure - Re = 6 VR =9.8 Lissajous Figure - Re = 6836 VR = Lissajous Figure - Re = 757 VR = y t y t y t x t x t x t Figura: Lissajous figures - Trajectories in the plane (x t, y t ). 48/67

49 Figuras de Lissajous x t (t) y t (t) Lissajous Figure - Re = 8644 VR =3.9 Lissajous Figure - Re = 948 VR =5. Lissajous Figure - Re = 59 VR = y t y t y t x t x t x t Figura: Lissajous figures - Trajectories in the plane (x t, y t ). 49/67

50 V R = 4,9 5 Hilbert Huang Spectrum.6 Hilbert Huang Spectrum f[hz] y f[hz] x t[s] t[s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Mean Trend Empirical Mode Decomposition Time [s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Mean Trend Imf 7 Empirical Mode Decomposition Time [s] 5/67

51 V R = 6, 5 Hilbert Huang Spectrum.6 Hilbert Huang Spectrum f[hz] y f[hz] x t[s] t[s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Mean Trend Imf 7 Empirical Mode Decomposition Time [s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Mean Trend Empirical Mode Decomposition Time [s] 5/67

52 V R = 7,3 5 Hilbert Huang Spectrum.6 Hilbert Huang Spectrum f[hz] y f[hz] x t[s] t[s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Mean Trend Empirical Mode Decomposition Time [s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Mean Trend Imf 7 Empirical Mode Decomposition Time [s] 5/67

53 V R = 8,5 5 Hilbert Huang Spectrum.6 Hilbert Huang Spectrum f[hz] y f[hz] x t[s] t[s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Mean Trend Imf 7 Empirical Mode Decomposition Time [s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Mean Trend Empirical Mode Decomposition Time [s] 53/67

54 V R = 9,8 5 Hilbert Huang Spectrum.6 Hilbert Huang Spectrum f[hz] y f[hz] x t[s] t[s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Mean Trend Empirical Mode Decomposition Time [s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Mean Trend Imf 7 Empirical Mode Decomposition Time [s] 54/67

55 V R =, 5 Hilbert Huang Spectrum.6 Hilbert Huang Spectrum f[hz] y f[hz] x t[s] t[s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Mean Trend Imf 7 Empirical Mode Decomposition Time [s] Mean Trend Imf Imf 9 Imf 8 Imf 7 Imf 6 Imf 5 Imf 4 Imf 3 Imf Imf Signal Empirical Mode Decomposition Time [s] 55/67

56 V R =, 5 Hilbert Huang Spectrum.6 Hilbert Huang Spectrum f[hz] y f[hz] x t[s] t[s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Mean Trend Imf 7 Empirical Mode Decomposition Time [s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Imf 7 Imf 8 Mean Trend Imf 9 Empirical Mode Decomposition Time [s] 56/67

57 V R = 3,9 5 Hilbert Huang Spectrum.6 Hilbert Huang Spectrum f[hz] y f[hz] x t[s] t[s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Mean Trend Empirical Mode Decomposition Time [s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Imf 7 Imf 8 Mean Trend Imf 9 Empirical Mode Decomposition Time [s] 57/67

58 V R = 5, 5 Hilbert Huang Spectrum.6 Hilbert Huang Spectrum f[hz] y f[hz] x t[s] t[s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Mean Trend Imf 7 Empirical Mode Decomposition Time [s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Imf 7 Imf 8 Mean Trend Imf 9 Empirical Mode Decomposition Time [s] 58/67

59 V R = 6,4 5 Hilbert Huang Spectrum.6 Hilbert Huang Spectrum f[hz] y f[hz] x t[s] t[s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Imf 7 Mean Trend Imf 8 Empirical Mode Decomposition Time [s] Signal Imf Imf Imf 3 Imf 4 Imf 5 Imf 6 Imf 7 Imf 8 Mean Trend Imf 9 Empirical Mode Decomposition Time [s] 59/67

60 HHT nos ajudou a ver... Identificar, em conjunto com Figuras de Lissajous saltos e trocas modais Identificar entre quais modos houve a troca (Não possível via TF) 6/67

61 Conferência Participação na HHT-3, organizada pelos próprios criadores da técnica. Foco da conferência: Aplicações e teoria 6/67

62 Teoria Comparação da HHT com outras ferramentas de análise no domínio tempo-frequência (por ex, wavelets) Alguns trabalhos buscando um maior embasamento teórico ao processo de EMD Estágio atual:? 6/67

63 Aplicações Aplicações em quase todos os campos do conhecimento Finanças, ciências sociais, medicina, bioengenharia, dinâmica de sistemas... 63/67

64 Novos desenvolvimentos EEMD: Ensemble Empirical Mode Decomposition: Sistemas multidimensionais (imagens ou sólidos de densidade variável) For multi-dimensional temporal-spatial data, EEMD is applied to time series of each spatial location to obtain IMF-like components of different time scales. All the ith IMF-like components of all the time series of all spatial locations are arranged to obtain ith temporal-spatial multi-dimensional IMF-like component. The same approach to the one used in temporal-spatial data decomposition is used to obtain the resulting two-dimensional IMF-like components. This approach could be extended to any higher dimensional temporal-spatial data. ([Wu, Huang e Chen 9]) 64/67

65 Onde usar EEMD? PIV? Vibração de estruturas? Ondas de superfície?... 65/67

66 Obrigado 66/67

67 FRANZINI, G. R. et al. An experimental investigation on frequency modulated viv in a water channel. In: IUTAM Symposium on Bluff Bodies Wakes and Vortex-Induced Vibrations - BBVIV6. [S.l.: s.n.],. FRANZINI, G. R. et al. Analysis of multimodal vortex-induced vibrations using the hilbert-huang spectral analysis. In: Proceeding of the third Internation Conference on Hilbert-Huang Transform: Theory and Applications. [S.l.: s.n.],. HUANG, N. E. et al. The empirical mode decomposition and the hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis. Royal Society London, v. 454, p , 998. WU, Z.; HUANG, N. E.; CHEN, X. The multi-dimensional ensemble empirical mode decomposition method. Advances in Adaptative Data Analysis, v., p , 9. 67/67

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