CAPÍTULO I INTRODUÇÃO À RESISTENCIA DOS MATERIAIS ESFORÇO NORMAL SIMPLES

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1 1 CAPÍTULO I INTRODUÇÃO À RESISTENCIA DOS MATERIAIS ESFORÇO NORMAL SIMPLES I. INTRODUÇÃO A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Um corpo em equilíbrio, sujeito a cargas externas ativas e reativas, possui em seu interior esforços. Estes esforços internos ou solicitações internas são devidos ao deslocamento das partículas que compõem o corpo, até que seja atingido o equilíbrio. Observe-se que o equilíbrio se dá na configuração deformada do corpo, que admitiremos como igual a configuração inicial pois em estruturas estaremos sempre no campo das pequenas deformações. A Resistência dos Materiais se preocupa fundamentalmente com o comportamento das diversas partes de um corpo quando sob a ação destas solicitações internas. Podemos resumir um problema de Resistência dos Materiais conforme fluxograma abaixo: Estrutura Cargas Externas Ativas Solicitações Tensões Cargas Externas Reativas Deformaçõe Limite Resistente do Material Critério de Resistência (Coeficiente de Segurança) PROJETO VERIFICAÇÃO

2 2 II. TENSÕES Conforme já citamos, as tensões que se desenvolvem entre as partículas de um corpo são conseqüência dos esforços internos desenvolvidos. Como os esforços são elementos vetoriais (módulo, direção e sentido) a tensão como conseqüência também o será. Lembrando o método das seções visto em Isostática: "Supondo um corpo carregado e em equilíbrio estático. Se cortarmos este corpo por uma seção qualquer "S" isolando, como exemplo, a parte da esquerda, podemos dizer que na seção cortada devem se desenvolver esforços que se eqüivalham aos esforços da parte da direita retirada, para que assim o sistema permaneça em equilíbrio. Estes esforços, convenientemente decompostos, se constituem nas solicitações internas fundamentais. O isolamento da parte da esquerda foi um exemplo, pois com a parte da direita o mesmo pode ser feito." Partindo deste raciocínio podemos afirmar que em cada elemento de área que constitui a seção cortada está sendo desenvolvido um elemento de força, cujo somatório (resultante) mantém o equilíbrio do corpo isolado. A tensão () desenvolvida no elemento de área citado nada mais é do que a distribuição do efeito da força pela área de atuação da mesma. Substituindo-se a representação da força pela tensão que ela provoca, teremos o representado na figura (a). Como a tensão é um elemento vetorial ela pode, como qualquer vetor, ser decomposta no espaço segundo 3 direções ortogonais que queiramos, e, portanto

3 3 conforme foi feito com as solicitações, vamos fazer esta decomposição em direções convenientes (fig b) levando-se em consideração as deformações que provocam. Isto nos permite dividir as componentes da tensão do ponto em duas categorias: - Tensões Tangenciais ou de Cisalhamento (τ) - Contidas pelo plano da seção de referência. - Tensão Normal () - Perpendicular à seção de referência. A. TENSÕES NORMAIS () Conceito: A tensão normal tem a direção perpendicular à seção de referência e o seu efeito é o de provocar alongamento ou encurtamento das fibras longitudinais do corpo, mantendoas paralelas. Deformação específica longitudinal (ε) Costuma-se medir a deformação de peças sujeitas a tensão normal pela deformação específica longitudinal, representando-a pela letra ε

4 4 Deformação Específica Longitudinal é a relação que existe entre a deformação medida em um corpo e o seu comprimento inicial, sendo as medidas feitas na direção da tensão. Seja: l i comprimento inicial da barra l f comprimento final da barra l deformação total l = l f - l i ε = l li Observe que no exemplo dado l > 0 portanto ε > 0 (alongamento) Poderíamos mostrar um outro exemplo onde l < 0 consequentemente ε < 0 (encurtamento) Neste exemplo l 0 portanto ε 0 OBSERVAÇÕES: 1. Sinal: (+) Alongamento Corresponde à uma tensão de tração que também é positiva (-) Encurtamento Corresponde à uma tensão de compressão que também é negativa 2. Unidade: - adimensional quando tomarmos para l a mesma unidade que para li -Taxa milesimal ( o / oo ) - Nestes casos medimos l em mm e l i em m(metros). B. TENSÕES TANGENCIAIS ( τ ) Conceito: Tensão desenvolvida no plano da seção de referência tendo o efeito de provocar corte ou cisalhamento nesta seção.

5 5 Distorção Específica ( γ ) Medida de deformação de corpos submetidos a tensões tangenciais, sendo representada pela letra grega γ. Vamos supor um bloco com arestas A, B, C e D, submetido a tensões tangenciais em suas faces. Para melhor visualizarmos a deformação vamos considerar fixa a face compreendida pelas arestas A e B. tg DD = CC' ' γ = CA DB Como em estruturas trabalharemos sempre no campo das pequenas deformações e então γ <<< 1 rad, então arco e tangente se confundem e podemos considerar: γ CC' CA = DD ' DB Distorção específica é a relação entre o deslocamento observado e a distância respectiva, medida perpendicular ao deslocamento. Representa fisicamente a variação que sofre o ângulo reto de um corpo submetido a tensões de cisalhamento. OBSERVAÇÃO: Quanto a unidade, a distorção segue a da deformação específica longitudinal: adimensional ou taxa milesimal, ressalvando-se que quando adimensional representa um arco expresso em radianos. III. DEFORMAÇÕES E ELASTICIDADE

6 6 Deformação é a alteração da forma que sofre um corpo submetido a solicitações, devido ao movimentos das partículas que o constituem. Existe a tendência dos corpos de voltarem a forma original devido a força de atração entre as partículas. Podemos diferenciar os tipos de deformações observando um ensaio simples, de uma mola presa a uma superfície fixa e submetida sucessivamente a cargas cada vez maiores até a sua ruptura. a. Deformações elásticas Iniciando o ensaio observamos que a mola se distende sob a ação das cargas, e se medirmos numéricamente o valor da carga e sua respectiva distensão teremos: P1 P2 = =... = P = k (constante elástica da mola) d1 d2 dn n Além disto, se o ensaio for interrompido durante esta fase, a mola voltará a ter sua forma e seu comprimento inicial. Este comportamento caracteriza uma deformação elástica, cujas propriedades são: - deformações reversíveis - proporcionalidade entre carga e deformação. b. Deformações plásticas:

7 7 Se aumentássemos a carga sobre esta mola ela chegaria a uma situação em que terminaria a proporcionalidade e apesar da tendência do corpo em assumir sua forma original, sempre restariam as chamadas Deformações Residuais. Considera-se então terminado o regime elástico e o corpo passa a atuar em regime plástico. Note-se então que no regime plástico termina a proporcionalidade e a reversibilidade das deformações. Se aumentássemos ainda mais a carga, o próximo limite seria a Ruptura. IV. LEI DE HOOKE Conforme veremos, a maioria dos projetos de peças serão tratados no regime elástico do material, sendo os casos mais sofisticados trabalhados em regime plástico e se constituindo no que há de mais moderno e ainda em estudo no campo da Resistência doa Materiais. Robert Hooke em 1678 enunciou a lei que leva o seu nome e que é a base de funcionamento dos corpos em regime elástico. "As tensões desenvolvidas e suas deformações específicas conseqüentes são proporcionais enquanto não se ultrapassa o limite elástico do material." ] Expressões analíticas: ε = E(mod. de elasticidade longitudinal)

8 8 τ γ = G( mod. de elasticidade transversal) Estes módulos de elasticidade são constantes elásticas de um material, e são determinados experimentalmente. Exemplo: Aço Comum : E 2, kn/cm 2 G 0, kn/cm 2 V. LEI DE POISSON Estudos realizados por POISSON determinam que ao mesmo tempo em que as tensões normais provocam deformação em sua direção também o fazem em direções perpendiculares a sua: Observando o modelo acima podemos notar que enquanto o corpo sofre um encurtamento (diminuição no seu comprimento), as dimensões de sua seção transversal aumentam. Se observássemos um corpo tracionado, veríamos que o aumento de seu comprimento viria acompanhado de uma diminuição nas dimensões de sua seção transversal.

9 9 Além disto os estudos de Poisson nos conduzem a uma proporcionalidade entre as deformações longitudinais e transversais, definindo a constante chamada de coeficiente de Poisson, e se constituindo na terceira constante elástica de um material, que também é determinada experimentalmente. ε t = µ ε Também foi observado que em qualquer direção perpendicular a da tensão a deformação específica transversal tem o mesmo valor. As constantes elásticas de um mesmo material se relacionam pela expressão: G = E 2( 1+ µ ) Concluindo: Tensão em uma só direção não implica em deformação em uma só direção. VI. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS Para serem determinadas as características mecânicas dos materiais são realizados em laboratório ensaios com amostras do material, que são chamadas de corpos de prova. No Brasil estes ensaios são realizados empregando-se métodos padronizados e regulamentados pela ABNT. O ensaio mais costumeiro é o de tração simples, onde determinamos TENSÕES LIMITES dos diversos materiais, que indica a tensão máxima alcançada pelo material, em laboratório, sem que se inicie o seu processo de ruptura. Com a realização destes ensaios já podemos separar os materiais em dois grandes grupos: DÚTEIS E FRÁGEIS A. MATERIAIS DÚTEIS : São considerados materiais dúteis aqueles que sofrem grandes deformações antes da ruptura. Dentre os materiais dúteis ainda temos duas categorias:

10 10 1. Dútil com escoamento real: exemplo: aço comum Num ensaio de tração axial simples costuma-se demonstrar os resultados através de um diagrama tensão x deformação específica ( x ε ). No caso de material dútil com escoamento real a forma deste diagrama segue o seguinte modelo: reta AB - Indica a proporcionalidade entre x ε, portanto o período em que o material trabalha em regime elástico (lei de Hooke). Deformações reversíveis. p - Tensão de proporcionalidade - Representa o limite do regime elástico. curva BC - A curvatura indica o fim da proporcionalidade, caracterizando o regime plástico do material. Podemos notar que as deformações crescem mais rapidamente do que as tensões e cessado o ensaio já aparecem as deformações residuais, que graficamente podemos calcular traçando pelo ponto de interesse uma reta paralela à do regime elástico. Notamos que neste trecho as deformações residuais são ainda pequenas mas irreversíveis. e - Tensão de escoamento Quando é atingida a tensão de escoamento o material se desorganiza internamente (a nível molecular) e sem que se aumente a tensão ao qual ele é submetido, aumenta grandemente a deformação que ele apresenta. trecho CD - Chamado de patamar de escoamento. Durante este período começam a aparecer falhas no material (estricções), ficando o mesmo invalidado para a função resistente.

11 11 curva DE - Após uma reorganização interna o material continua a resistir a tensão em regime plástico, porém agora com grandes e visíveis deformações residuais. As estricções são agora perceptíveis nitidamente. Não se admitem estruturas com esta ordem de grandeza para as deformações residuais. R - Tensão de ruptura Conforme pudemos analisar no ensaio acima, para estruturas, o material pode ser aproveitado até o escoamento, portanto sua TENSÃO LIMITE será a TENSÃO DE ESCOAMENTO. 2. Dútil com escoamento convencional Exemplo: aços duros Se comporta de maneira semelhante ao anterior, mas não apresenta patamar de escoamento. Como em estruturas não se admitem grandes deformações residuais se convenciona em 2 o /oo este limite, ficando a tensão correspondente convencionada como TENSÃO DE ESCOAMENTO, que é também a TENSÃO LIMITE do material.

12 12 OBSERVAÇÕES: Os materiais dúteis de uma maneira geral são classificados como aqueles que apresentam grandes deformações antes da ruptura, podendo também ser utilizados em regime plástico com pequenas deformações residuais. Apresentam uma propriedade importantíssima que é: RESISTEM IGUALMENTE A TRAÇÃO E A COMPRESSÃO Isto quer dizer que o escoamento serve como limite de tração e de compressão. B. MATERIAIS FRÁGEIS Exemplo : concreto São materiais que se caracterizam pôr pequenas deformações anteriores a ruptura. O diagrama x ε é quase linear sendo quase global a aplicação da lei de Hooke. Nestes casos a TENSÃO LIMITE é a TENSÃO DE RUPTURA. Ao contrário dos materiais dúteis, eles resistem diferentemente a tração e a compressão, sendo necessário ambos os ensaios e obtendo-se assim dois limites: T = Limite de ruptura a tração C = Limite ruptura a compressão Em geral estes materiais resistem melhor a compressão do que a tração. VII. CRITÉRIO DE RESISTÊNCIA - COEFICIENTE DE SEGURANÇA Em termos gerais um projeto está sempre ligado ao binômio economia x segurança. Devemos ter um índice que otimize este binômio. Poderíamos dizer também que mesmo sendo determinada em laboratório a utilização da tensão limite em projetos é arriscada, pois trabalhamos com diversos fatores de incerteza.

13 13 Em vista do que foi exposto adotamos o seguinte critério: A tensão limite é reduzida dividindo-a pôr um número que chamaremos de coeficiente de segurança (s). Para que este número reduza o módulo da tensão limite, ele deve ser maior do que a unidade. Então, para que haja segurança: s 1 As tensões assim reduzidas, que são as que realmente podemos utilizar, são chamadas de TENSÕES ADMISSÍVEIS ou TENSÕES DE SERVIÇO que para serem diferenciadas das tensões limites são assinaladas com uma barra ( ). adm s = lim Podemos resumir analíticamente o critério de segurança conforme abaixo, para os diversos casos: MATERIAIS DÚTEIS MATERIAIS FRÁGEIS e T = = (tensão de escoa. adm.) = = (tensão de tração adm.) máxt e máxt T s s e c = = máxc e (tensão de esc. adm.) máxc = = c (tensão de compr. adm.) s s VIII. ESFORÇO NORMAL AXIAL Seja uma barra prismática de eixo longitudinal reto e seção transversal constante de área A. Quando sob ação de duas forças iguais e opostas, coincidentes com o seu eixo (lugar geométrico de todas as seções transversais) originam-se esforços no seu interior, mesmo sendo de equilíbrio a situação. Pode-se imaginar a barra sendo cortada ao longo de uma seção transversal qualquer, por exemplo b-b (fig a). Assim como todo o corpo está em equilíbrio, qualquer parte sua também estará. Na seção de corte de área A, deve aparecer uma força equivalente ao esforço normal N, capaz de manter o equilíbrio das partes do corpo isoladas pelo corte (fig b e c).

14 14 Observe que se as partes isoladas forem novamente unidas, voltamos a situação precedente ao corte. Neste caso, apenas a solicitação de esforço normal N, atuando no centro de gravidade da seção de corte é necessária para manter o equilíbrio. Por meio deste artifício (corte) os esforços internos transformaram-se em externos e o seu cálculo se fez aplicando-se uma equação de equilíbrio. Admite-se que este esforço normal se distribui uniformemente na área em que atua(a), ficando a tensão definida pela expressão: = N A sendo: N Esforço Normal desenvolvido A Área da seção transversal

15 15 Na prática, vistas isométricas do corpo são raramente empregadas, sendo a visualização simplificada como: ΣF y = 0 Q = 0 Σ Ms = 0 M = 0 Σ Fx = 0 N - F = 0 N = F A tração ou Compressão axial simples pode ser observada, por exemplo, em tirantes, pilares e treliças. Lembramos a convenção adotada para o esforço normal (N) Nas tensões normais, adotamos a mesma convenção.

16 16 As deformações desenvolvidas podem ser calculadas diretamente pela lei de Hooke: ε = l l ε = E N = P = N A l l = E l l = N EA ou : l = N.l E.A II. VALIDADE DA DISTRIBUIÇÃO UNIFORME Ao aceitarmos as equações acima, deve-se ter em mente que o comportamento do material é idealizado, pois todas as partículas do corpo são consideradas com contribuição igual para o equilíbrio da força N. Podemos calcular a resultante de força N aplicada no centróide da seção se somarmos todas as resultantes de força que atuam em todos os elementos de área que constituem a seção transversal. N =. da A Como partimos da premissa de que em todos os elementos de área atua a mesma tensão, decorre daí que: N =. A Nos materiais reais esta premissa não se verifica. Por exemplo, os metais consistem em grande número de grãos e as madeiras são fibrosas. Sendo assim, algumas partículas contribuirão mais para a resistência de que outras, e o diagrama verdadeiro de distribuição de tensões varia em cada caso particular e é bastante irregular. Os métodos de obtenção desta distribuição exata de tensões são tratados na teoria matemática da elasticidade e mesmo assim apenas casos simples podem ser resolvidos.

17 17 Neste caso observa-se que quanto mais perto da carga aplicada estiver a seção em estudo, maior será o pico de tensões normais. Em termos práticos porém, os cálculos pela equação da tensão uniforme são considerados corretos. Outros dois fatores de concentração de tensões, onde a distribuição uniforme não é válida, são mostrados abaixo, e representam peças com variações bruscas de seção. Deve-se ter um cuidado adicional para com as peças comprimidas, pois peças esbeltas devem ser verificadas a flambagem. A flambagem representa uma situação de desequilíbrio elasto-geométrico do sistema e pode provocar o colapso sem que se atinja o esmagamento.

18 18 III. PESO PRÓPRIO DAS PEÇAS 1. ASPECTOS GERAIS O peso próprio das peças constitui-se em uma das cargas externas ativas que devem ser resistidas. Podemos observar como se dá a ação do peso próprio: Podemos notar que nas peças horizontais o peso próprio constitui-se em uma carga transversal ao eixo, desenvolvendo Momento Fletor e Esforço Cortante. No caso das peças verticais o peso próprio (G), atua na direção do eixo longitudinal da peça e provoca Esforço Normal, que pode ter um efeito diferenciado dependendo da sua vinculação: Nas peças suspensas (tirantes) o efeito do peso é de tração e nas apoiadas (pilares) este efeito é de compressão. O peso próprio de uma peça (G) pode ser calculado, multiplicando-se o volume da mesma pelo peso específico do material: G = A. γ. l

19 19 Sendo: A - área da seção transversal da peça l - comprimento γ peso específico do material Na tração ou compressão axial a não consideração do peso próprio é o caso mais simples. A não consideração do peso próprio se dá em peças construídas em materiais de elevada resistência, quando a mesma é capaz de resistir a grandes esforços externos com pequenas dimensões de seção transversal, ficando portanto o seu peso próprio um valor despresível em presença da carga externa. Nestes casos é comum desprezarmos o peso próprio da peça. Exemplo: Treliças e tirantes. 2. ESFORÇO NORMAL E TENSÕES NORMAIS Consideremos uma barra sujeita a uma carga externa P e ao seu próprio peso, conforme exemplo abaixo: Sejam: A - área de seção transversal da peça γ - peso específico do material l - comprimento da peça P - carga externa atuante na peça Usando o método das seções cortamos a barra acima por uma seção S qualquer e isolamos um dos lados do corte, por exemplo, o lado de baixo. OBS: Sempre que ao separarmos em 2 partes um corpo uma delas for uma extremidade livre é conveniente isolarmos esta parte pois evita o cálculo das reações vinculares.

20 20 Como o peso do material não pode mais ser desprezado, na seção cortada deve aparecer um esforço normal que equilibre a carga externa e também o peso próprio do material isolado. Isto já nos indica que a posição da seção de corte tem agora importância pois ela determina o peso da peça isolado pelo corte. De acordo com esta conclusão devemos criar uma variável que nos indique a posição da seção de corte desejada. Sendo: x ordenada genérica da posição da seção à ser analizada Como a barra tem um comprimento l 0 x l Aplicando a equação de equilíbrio pertinente: Σ F y = 0 N - P - g = 0 N = P + g(x) onde g x é o peso parcial da barra isolada pelo corte Para avaliarmos o peso de um corpo, multiplicamos o seu volume por seu peso específico V = A.x gx = A. γ. x N = P + A. γ. x Observe que o esforço normal varia linearmente em função da ordenada x da seção de referência. Como 0 x l podemos calcular os valores extremos do esforço normal x = 0 x = l N = P N máx = P + A. γ. l

21 21 Chamando: G - Peso total da barra G = A. γ. l Então podemos escrever de outra forma o máximo esforço normal: Nmáx = P + G Podemos descrever a variação de esforço normal sob a forma gráfica: Da mesma maneira como desenvolvemos as expressões analíticas para o esforço normal podemos faze-lo com as tensões normais: Sabemos que ( x ) = N A γ. Como N(x) = P + A. γ. x então: ( x ) = P + A. x A ou ( x ) = P γ A +.x Substituindo x por seus valores extremos teremos:

22 22 x = 0 = P A x = l máx = P γ A +. l Podemos com modificações algébricas expressar o valor da tensão máxima em função do peso total da barra,colocando A como denominador comum as parcelas: máx = P + A. γ.l A ou máx = P + G A OBS: 1. Nas expressões acima deduzidas a carga P das primeiras parcelas representa esforços externos à peça em estudo ficando as segundas parcelas com o efeito do peso próprio. 2. Tanto o esforço normal máximo como a tensão normal máxima foram expressas em duas equações, uma em função do peso específico do material e outra em função do peso total da peça. A utilização de uma ou outra equação depende dos dados que possuimos e da conveniência do problema. 3. Como ao deduzirmos estas expressões utilizamos como exemplo um caso em que tanto a carga externa como o peso próprio são esforços de tração, ambas as parcelas são positivas. No caso de haver qualquer um destes efeitos negativo (compressão) deveremos mudar o sinal da parcela correspondente. C. DEFORMAÇÕES

23 23 Para determinarmos a deformação total ( l ) sofrida por uma barra sujeita à uma carga externa (P) e ao seu peso próprio (G), utilizando o método das seções, isolamos um trecho desta barra cortando-a por duas seções transversais S e S' infinitamente próximas, formando um prisma de comprimento elementar dx que se alongará apresentando um comprimento dx + dx. ε = dx dx dx = ε. dx = E x x dx =. dx E (alongamento do trecho de comprimento dx) como vimos anteriormente x P = + γ. x então: A P + γx dx = A dx E P dx EA dx γ.x =. +. E dx Como queremos o alongamento da barra toda devemos fazer o somatório dos diversos trechos de comprimento dx que compõem a barra, ou seja:

24 24 L = ou L L = dx L 0 l = 0 P EA L + γ x dx dx E 2 P.l E. A + γ. l 2.E 0 Podemos expressar a equação da deformação total em função do peso total G da peça, fazendo algumas modificações algébricas: OBS: 2 PL γl L G L = + ou L = P + EA 2EA EA 2 1. As duas parcelas que figuram, nas equações são facilmente identificáveis: a primeira é o alongamento devido a carga externa P e segunda devido ao peso próprio. 2. O sinal das parcelas que compõem a deformação deve ser trocado quando seu efeito correspodente (carga externa ou peso próprio) fôr de compressão, o que já observamos na tensão. 3. O alongamento da barra causado pelo peso próprio é igual à metade daquele que se obteria caso aplicássemos todo o seu peso G em sua extremidade livre.