RPD Revista Produção e Desenvolvimento
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- Pedro Henrique Ventura Galindo
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1 , v.1, n.3, p , set./dez., 015 O USO DA INTEGRAL DEFINIDA NO CÁLCULO DA ÁREA ALAGADA DA BARRAGEM DO RIO BONITO C.M.Paraol 1 e A. Pescador * 1 Insttuto Federal Catarnense, Sombro, SC Brasl Unversdade Federal de Santa Catarna, Floranópols SC , Brasl * andresa.pescador@gmal.com Artgo submetdo em 7/08/015 e aceto em 8/1/015 RESUMO Este artgo apresenta uma aplcação de ntegral defnda cujo objetvo é calcular a área alagada da barragem do ro Bonto. Os regstros hstórcos mostram a mportânca desta barragem para a regão, a mesma é responsável por conter as cheas no Banhado do Sombro, e pela rrgação das lavouras de arroz. O formato da barragem está longe de ser uma regão regular, cujo cálculo da área sera faclmente encontrado. Para tanto, fez-se o estudo detalhado sobre aproxmação para ntegras defndas e ajustes de curvas. Estes temas foram usados na aproxmação da área alagada da barragem do Ro Bonto. Para facltar os cálculos, fez-se o uso dos softwares geogebra e graph. PALAVRAS-CHAVE: Integral defnda; Ajuste de curvas; geogebra e graph. THE USE OF INTEGRAL DEFINED TO CALCULATE THE AREA FLOODED OF RIO BONITO S DAM ABSTRACT Ths paper presents an applcaton of defnte ntegral whose objectve s to calculate the flooded area of Ro Bonto s dam. Hstorcal records show the mportance of ths dam to the regon, t s responsble for contan the floods n "Banhado do Sombro ", and the rrgaton of rce felds. The dam format s far from a regular regon whose area calculaton would be easly found. We study defnte ntegrals and curve fttng. These themes were used to aproxmate the flooded area of Ro Bonto s dam. To facltate the calculatons, we use of GeoGebra and graph softwares. KEYWORDS: ntegral defned; curve fttng; geogebra and graph. Paraol e Pescador (015) ISSN:
2 , v.1, n.3, p , set./dez., INTRODUÇÃO Aplcações dos conteúdos de cálculo dferencal e ntegral são elementos de motvação para os cursos de matemátca, físca, engenharas e áreas afns. Segundo Kaber e Renz (008), no Brasl o ensno do cálculo dferencal e ntegral, hstorcamente, caracterza-se pela prevalênca de processos algébrcos, segudos de exercícos repettvos e com pouca, ou quase nenhuma nterdscplnardade. No entanto, dversos estudos têm sdo fetos, a fm de testar e qualfcar metodologas para o ensno do cálculo. De acordo com Stewart (011), uma das aplcações da ntegral defnda é o cálculo de área, onde a área é dvdda em retângulos e a área exata é o lmte das somas desses retângulos. Com o ntuto de apresentar uma aplcação de ntegras, o objetvo deste artgo consste em calcular a área alagada pela barragem do ro Bonto, que apresenta um formato rregular, utlzando os concetos de ntegral defnda e ajuste de curvas. A barragem está localzada na comundade de Tenente, no muncípo de Jacnto Machado SC. A construção das barragens do ro Leão e do ro Bonto, fazem parte do Projeto de Agrícola do Banhado de Sombro. A represa do ro Bonto, objeto de estudo deste artgo fo concluída no ano de 1994, e neste mesmo ano fo fundada a COOIJAM (Cooperatva de Irrgação de Jacnto Machado). A cooperatva é responsável pela admnstração e fscalzação das águas da barragem, e entre os seus prncpas objetvos estão: conter as cheas e rrgar as lavouras de arroz. Para facltar o desenvolvmento dos cálculos, foram utlzados os softwares geogebra 4.4 e graph 4.3. Segundo Kaber e Renz (008), a utlzação de tecnologas no ensno da matemátca fazse necessára para que a educação cumpra seu papel de preparar o ndvíduo para a vda socal e para o mundo do trabalho. Utlzar softwares matemátcos, motva os alunos, possbltando-lhes, desenvolver a capacdade de nterpretar, analsar e estabelecer conjecturas, favorecendo a construção sólda dos conhecmentos. O artgo é organzado da segunte forma. Na seção 1 apresenta-se a ntrodução com os objetvos e a problemátca a ser resolvda. Na seção os materas e métodos. O desenvolvmento do trabalho apresenta-se na seção 3. E fnalmente, na seção 4, apresentam-se as consderações fnas deste artgo.. MATERIAIS E MÉTODOS.1 Hstórco da Barragem do Ro Bonto Na década de 70 a SUDESUL (Superntendênca do da Regão Sul) ncou o desenvolvmento de um grande projeto, cujo nteresse fo motvado pela presença do carvão coquefcável na regão carbonífera. Lgada ao Mnstéro do Interor, a SUDESUL buscava a cração de um pólo econômco desenvolvendo aquele que chamou de Projeto Ltoral Sul de Santa Catarna (PLSSC). O Projeto Ltoral Sul de Santa Catarna, fez nascer o projeto de desenvolvmento agrícola do banhado de sombro, que tnha por objetvo prncpal o desenvolvmento hortgranjero daquela regão. O projeto fo estruturado ncalmente com a construção de três grandes obras: a Escola Agrotécnca Federal de Sombro (EAFS) e as barragens do Ro Bonto (fgura 1) e do Ro Leão. Paraol e Pescador (015) ISSN:
3 , v.1, n.3, p , set./dez., 015 Fgura 1 - Projeto da Barragem ro Bonto Fonte: Magna Engenhara A posção escolhda para a construção do barramento fo determnada pelo estudo de vabldade técnco-econômca do projeto de desenvolvmento agrícola do banhado de sombro. Assm duas barragens dstntas foram construídas na localdade de Tenente no muncípo de Jacnto Machado, sul de Santa Catarna. Os ros Leão e Bonto fazem parte da baca do ro Mamptuba, o qual é o lmte entre os estados de Santa Catarna e Ro Grande do Sul. O ro Mamptuba é o escoadouro natural das enchentes de seu vale, cujas chuvas nas encostas dos Aparados da Serra, descem pelos seus afluentes causando nundações e lmtando o uso de solos fértes no alto, médo e baxo vale. O problema ocorre anualmente, então para soluconar tal problema a solução encontrada fo a construção de barramento em pontos estratégcos do vale. A barragem do ro Bonto (fgura ), o qual é objeto de estudo deste artgo localza-se no últmo estrangulamento deste ro, antes do mesmo ngressar na planíce costera, logo a montante na localdade de Tenente. Segundo nformações do presdente da COOIJAM, a barragem tem aproxmadamente 85 hectares de área alagada e fo concluída quatro anos antes da barragem do ro Leão. Os objetvos prncpas das barragens são: Acumular um volume sufcente de água, a fm de garantr uma vazão regularzada que permte rrgar as lavouras a jusante (lado para onde se drge a corrente de água), pertencentes ao projeto de desenvolvmento agrícola do banhado de Sombro; e lamnar os hdrogramas de cheas afluentes ao reservatóro, de forma que a vazão efluente possa ser conduzda pelos canas de macro drenagem ora em construção sem causar nundações. Paraol e Pescador (015) ISSN:
4 , v.1, n.3, p , set./dez., 015 Fgura - Imagens da Barragem do ro Bonto Porém com todas as lmtações físcas, burocrátcas e humanas, o projeto se desenvolva lentamente. No ano de 1990, cerca de 0 anos após o níco do projeto, a nova gestão presdencal anuncou a extnção da SUDESUL, causando o abandono total das obras. Após três anos de abandono, por ntervenção da Unsul (Unversdade do Sul de Santa Catarna) e da própra EAFS (Escola Agrotécnca Federal de Sombro), o projeto fo retomado por parte dos governos estadual e federal. Em 1994 a barragem do ro Bonto estava concluída e alagada, neste mesmo ano no mês de outubro fo fundada a COOIJAM. Atualmente a cooperatva conta com 158 sócos, e dentre as suas múltplas fnaldades é responsável pela rrgação de 910 hectares de arroz.. Revsão Hstórca do Cálculo Dferencal e Integral A hstóra do cálculo dferencal e ntegral fo motvada a partr da necessdade de resolver dos problemas báscos: (): O problema básco do cálculo dferencal, que é o problema das tangentes; ou seja, calcular o coefcente angular da reta tangente ao gráfco de uma função num ponto dado P. (): O problema básco do cálculo ntegral, que é o problema das áreas; ou seja, calcular a área sob o gráfco, entre os pontos x=a e x=b. Há regstros que os egípcos, bablôncos e gregos já utlzavam os concetos de cálculo para resolver problemas envolvendo áreas e volumes. O desenvolvmento do cálculo dferencal e ntegral teve a contrbução de város matemátcos no decorrer da hstóra. Porém, fo no século XVII, a partr dos trabalhos dos gregos Eudoxo ( a.c.) e Arqumedes(87-1 a.c.) que os concetos de ntegral começaram a se desenvolver. Segundo Brandão et al (007), a dea básca do conceto de ntegral já estava embutda no método da exaustão atrbuído a Eudoxo. O método da exaustão consste em "exaurr" a fgura dada por meo de outras fguras de áreas ou de volumes conhecdos. Arqumedes fo quem aperfeçoou o método de exaustão, o mesmo utlzou o método de exaustão para encontrar a área do círculo, e obteve as prmeras aproxmações do número π. Anda, concluu que a área da regão lmtada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é gual a 4/3 da área do trângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Arqumedes é consderado um dos maores matemátcos da antgudade, e seu trabalho fo uma das maores contrbuções grega para o cálculo dferencal e ntegral. Paraol e Pescador (015) ISSN:
5 , v.1, n.3, p , set./dez., 015 De acordo com Boyer (1994), Galleu Galle ( ) e Johann Kepler ( ) estudaram os métodos de Arqumedes. Kepler utlzou os concetos de ntegração, a fm de calcular as áreas envolvdas nas suas les do movmento planetáro. Kepler consderou a crcunferênca como um polígono regular de nfntos lados, onde cada um desses lados era à base de um trângulo e o vértce era o centro da crcunferênca. O círculo fcava dvddo em uma nfndade de trângulos, todos com altura gual ao rao da crcunferênca. Como a área desses trângulos é dada pelo semproduto da base pela altura, tem-se que a área do círculo é o semproduto do comprmento da crcunferênca pelo rao. Kepler também obteve o volume da esfera e desenvolveu conhecmentos relaconados ao volume de dferentes sóldos de revolução. Cavaler ( ) fo outro matemátco que contrbuu para o desenvolvmento do cálculo dferencal e ntegral, o mesmo apresentou o método dos ndvsíves. O método consderava que a área era formada por segmentos ndvsíves, e que o volume pode ser consderado como composto de áreas que são volumes ndvsíves ou quase atômcos. Outras contrbuções sgnfcatvas para o desenvolvmento do cálculo dferencal e ntegral veram no século XVII, que fo marcado por grandes avanços na área da cênca. Os matemátcos René Descartes ( ) e Perre Fermat ( ) apresentaram as coordenadas cartesanas. De acordo com Pres et al (008), as coordenadas cartesanas possbltaram transformar e representar problemas geométrcos em problemas algébrcos e estudar funções analtcamente. Segundo Boyer (1994), em relação ao matemátco Fermat, uma de suas prncpas contrbuções fo o desenvolvmento do método de encontrar máxmos e mínmos. Fermat desenvolveu um método para encontrar máxmos e mínmos de curvas polnomas do tpo y f ( x) desde que estes exstam. O mesmo comparou o valor de f( x )(magem de x pela função f( x )) com o valor de f( x ), sendo ( x ) uma vznhança de x, para todo >0 tão pequeno quanto se quera. Em geral, estas magens são dstntas e numa curva suave, sua varação é quase mperceptível. Os pontos máxmos e mínmos eram determnados gualando f( x ) e f( x ), assm Fermat percebeu que os valores eram quase todos guas. Então quanto menor o valor de, mas próxmo chega-se da gualdade, assm Fermat dvdu tudo por, e depos gualou a zero. Este processo é equvalente ao de dferencação usado nos das atuas, ou seja, Fermat estava calculando exatamente o lmte dado pela equação (1): f ( x) f ( x ) lm 0 0 (1) Em outras palavras, Fermat não conheca o conceto de lmte, porém seu método para encontrar máxmos e mínmos é pratcamente o mesmo utlzado hoje em da. A dferença é que no lugar do, na maora das vezes, usa-se o símbolo h ou x. O processo utlzado por Fermat em mudar a varável e consderar os valores vznhos é a essênca da análse nfntesmal, ou seja, é exatamente o cálculo da dervada. De acordo com Pres et al (008), outra contrbução para o desenvolvmento do cálculo dferencal e ntegral fo do matemátco Isaac Barrow ( ), que aplcou com êxto a geometra e o cálculo dferencal e ntegral à óptca, defnu a dervada, porém, não hava uma fundamentação em seus trabalhos. Mas tarde esta fundamentação fo desenvolvda por Isaac Newton. Paraol e Pescador (015) ISSN:
6 , v.1, n.3, p , set./dez., 015 O Cálculo Dferencal e Integral teve a contrbução de város matemátcos no decorrer da hstóra. Porém deve-se a Isaac Newton ( ) e Wlhelm Lebnz ( ) a cração do teorema fundamental do cálculo. Segundo Stewart (011), ambos descobrram a relação nversa exstente entre a dervada e a ntegral, sstematzaram e aperfeçoaram os conhecmentos produzdos na construção do cálculo dferencal e ntegral até então, e de forma ndependente e smultânea apresentaram o teorema fundamental do cálculo no fnal do século XVII. De acordo com Boyer (1994), a prmera publcação das descobertas de Newton aconteceu no ano de 1687 no lvro Phlosopha e naturals prncpa mathematca. Isaac Newton não fo o prmero a dferencar ou ntegrar, porém sua descoberta consstu na sstematzação de um algortmo geral para funções. No ano de 1684, Lebnz faz sua prmera publcação sobre o cálculo dferencal e ntegral, cujo título é Nova methodus pro maxms et mnms, tem que tangentbus, quae nec fractas nec rratonales quanttates moratur, et sngulare pro lls calcul genus (Um novo método para máxmos e mínmos, e também para tangentes, que não é obstruído por quantdades rraconas). A notação e o nome calculus dfferentals e calculus ntegrals (cálculo dferencal e ntegral) fo formalzada por Lebnz que fxou em e dy os dferencas de x e y. O trabalho de Newton e Lebnz contnuou sendo desenvolvdo por outros matemátcos entre estes, os rmãos Bernoull. A defnção da ntegral utlzada atualmente deve-se ao matemátco francês Augustn-Los Cauchy ( ). Cauchy defnu que uma função f é o lmte de uma soma nfnta. Após está defnção ele demonstrou algumas propredades, e concluu que todas as funções contínuas em um ntervalo absão, ntegráves. O símbolo da ntegral,, é provenente do (S) de soma estcada, notação atrbuída ao matemátco Wlhelm Lebnz. A defnção da ntegral de Cauchy fo reformulada pelo matemátco alemão Bernhard Remann ( ). Remann defnu a Integral de uma função lmtada num ntervalo usando somas superores e nferores. Devdo a está contrbução e em sua homenagem, a ntegral de Remann é utlzada na dscplna de cálculo das unversdades. A teora desenvolvda e as aplcações do Cálculo dferencal e ntegral estão entre as maores realzações de todos os tempos. Kouropatov e Dreyfus (009) ressaltam a mportânca da dervada, que junto com a ntegral Forman um núcleo de domíno matemátco que é um dspostvo útl para todos os campos como: a físca, a engenhara, a economa e a estatístca. O conceto de ntegral representa uma dea flosófca para a compreensão do mundo, onde a totaldade das partes pequenas de um todo remete a conclusões sobre o todo geral..3 Fundamentação Matemátca De acordo com Santos et al (01) é mprescndível a ntegração da Tecnologa e o Ensno de Matemátca, porém o educador matemátco deve estar preparado para compatblzar os métodos de ensno e teoras de trabalho com as tecnologas. O autor acrescenta que a utlzação de recursos tecnológcos possbltará uma vsualzação satsfatóra dos concetos matemátcos. Para tanto, ao realzar este trabalho fez-se um estudo detalhado dos conteúdos de ntegral defnda e ajuste de curvas, sendo que os cálculos para aproxmação da área em questão foram desenvolvdos com o auxlo dos softwares geogebra e graph. O uso desta tecnologa facltou consderavelmente o trabalho devdo à quantdade de aproxmações e dvsões que foram fetas para o cálculo da área ctada. Paraol e Pescador (015) ISSN:
7 , v.1, n.3, p , set./dez., A Integral de Remann Segundo Stewart (011), a ntegral de Remann é uma homenagem ao matemátco Bernhard Remann ( ): A ntegral defnda de uma função ntegrável pode ser aproxmada com qualquer grau de precsão desejado por uma soma de Remann. Anda segundo o autor, a ntegral defnda por Remann, consste em dvdr um ntervalo abem, n subntervalos de comprmentos guas b a x, ou seja, dvdr o ntervalo em n n retângulos (fgura 3). Para tal procedmento a função deve ser contínua e defnda em a x b. Segue sua defnção formal na equação (). b a n * ( ) lm ( ) n 1 f x f x x () * * * onde x0 ( a), x1, x,..., xn( b) são extremdades desses subntervalos, e x1, x,..., x n são pontos amostras nestes subntervalos, de forma que x esteja no -ésmo subntervalo. * Fgura 3 - Integral de Bernhard Remann Fonte: Stewart, 011, p Nas aulas de geometra, aprende-se que área é um número que representa o tamanho de uma regão lmtada, e para regões smples, como retângulos, trângulos, círculos, a área pode ser determnada por meo de fórmulas geométrcas. Mas, no caso da área de regões que não formam um padrão, ou seja, como no caso da (fgura 3) se utlza a ntegral defnda para calcular a área de cada subntervalo, ou seja, a área da regão sob a curva f( x) no ntervalo ab, é aproxmadamente a soma das áreas dos retângulos..3. Ajuste de curvas por Quadrados Mínmos Segundo Bassanez (011), o ajuste de curvas ou regressão é um artfíco que expressa uma tendênca entre a varável dependente versus a ndependente. O termo regressão surgu no século XIX, quando Sr Francs Galton estudou a relação entre a altura de pas e flhos. O mesmo observou que hava um decréscmo na méda, com relação aos valores encontrados entre as duas gerações. Paraol e Pescador (015) ISSN:
8 , v.1, n.3, p , set./dez., 015 O método dos Quadrados Mínmos é uma das técncas de aproxmação mas usadas em problemas prátcos. Isto se deve tanto à sua smplcdade quanto ao fato de que, em geral, buscamse aproxmações para dados que são meddas obtdas expermentalmente com certo grau de ncerteza. Nesta seção, apresenta-se o Método dos Quadrados Mínmos através do crtéro de mnmzar os resíduos, para cada ponto. Sendo que, mostra-se o caso partcular do ajuste da função quadrátca, que é aplcada na aproxmação das funções a serem ntegradas para o cálculo da área. Em outras palavras, buscam-se pelos valores a, b e c que tornam a função y f ( x ) a bx cx uma boa aproxmação para os dados obtdos. Assm, para encontrar a melhor aproxmação para a curva, o crtéro adotado é mnmzar a soma dos quadrados dos resíduos pontuas, sto é, mnmzar a equação segunte: n n d ( x ) ( ) y a bx cx 1 1 (3) Onde y, 1,, n são os dados que são aproxmados. Este crtéro procura tornar os resíduos pontuas tão pequenos quanto possível. Para fazer a mnmzação da equação (3), segundo os concetos do cálculo dferencal e ntegral, devem-se calcular as dervadas parcas da função objetvo em relação a cada uma das ncógntas, e devem-se gualar cada uma das dervadas parcas a zero: D a n ( y a bx cx ).( 1) 0 1 D b n ( y a bx cx ).( x ) 0 1 D c n ( y a bx cx ).( x ) 0 1 Assm, reescrevendo as gualdades acma, tem-se, respectvamente: n n n n y a bx cx n n n n a b x c x y (4) n n n n 3 x y ax bx cx n n n n (5) a x b x c x x y n n n n 3 4 x y ax bx cx n n n n (6) a x b x c x x y Paraol e Pescador (015) ISSN:
9 , v.1, n.3, p , set./dez., 015 Sendo que o sstema dado pelas equações (4), (5) e (6) pode ser reescrto de forma matrcal, pela equação (7), que nos mostra as equações normas para o cálculo do ajuste de curvas quadrátco por mínmos quadrados. n n n n x x y a n n n n 3 x x x. b x y c n n n n 3 4 x x x x y (7) Em resumo, pelo processo de mnmzação do cálculo dferencal e ntegral, devem-se calcular as dervadas parcas da função objetvo em função de a, b e c e gualá-las a zero, formando um sstema lnear de ordem 3x3 descrto na equação (7), orundo das equações (4), (5) e (6). 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO Para calcular a área alagada da barragem do ro Bonto, fez-se a busca no Google maps da regão que é objeto de estudo deste artgo. A foto que lustra a magem da área que se deseja calcular segue na (fgura 4). Na parte nferor do lado dreto observa-se a contenção para a barragem. E na parte superor do lado esquerdo tem-se o ro Bonto. Ao seu redor tem-se uma área de proteção ambental, que segundo dados do presdente da COOIJAM somam um total de 156,3 hectares, entre área alagada e mata. Anda na parte nferor no lado dreto, observa-se a escala, a cada,1 centímetros equvale a 00 metros. Fgura 4 - Mapa da Barragem do Ro Bonto. Fonte: Google maps, 014. Paraol e Pescador (015) ISSN:
10 , v.1, n.3, p , set./dez., 015 No software geogebra, fez-se a planfcação da área a ser calculada (fgura 5). Anda, fezse a coleta dos pontos no plano cartesano para posteror análse e ajuste utlzando o software graph. Sendo que o objetvo fo encontrar as melhores funções que representam os pontos planfcados para o cálculo da área em questão. Fgura 5 - Planfcação da Barragem do Ro Bonto no software geogebra A metodologa e a apresentação utlzada no desenvolvmento deste problema, está de acordo com Pres et al (008). Segundo Pva (010), as curvas de contorno, geralmente envolvem coefcentes não exatos, onde a realzação dos cálculos manualmente torna-se muto trabalhosa. Porém a utlzação do software graph faclta os cálculos. Neste trabalho, com os pontos apresentados no software geogebra, determnou-se no software graph a lnha de tendênca que melhor representava o contorno de cada regão e consequentemente a função. Então se fez a dvsão da área da represa do Ro Bonto em váras sub regões que são apresentadas nas fguras (6),(9),(10) e (11). Com os recursos do software graph, fo possível dvdr a área representada na fgura (6) em 7 subáreas, e para cada regão encontrar a melhor lnha de tendênca, orgnando a função que representa a área a ser calculada. Paraol e Pescador (015) ISSN:
11 Regões, v.1, n.3, p , set./dez., 015 Fgura 6 - Áreas calculadas no software graph A partr das ferramentas de cálculo do software graph, fo possível calcular através da ntegral defnda o valor de cada regão. A tabela (1) apresenta as funções e os ntervalos de cada regão bem como a área calculada. Tabela 1- Funções, ntegral e a área calculada da fgura 6. Funções Integral Resultado da ntegral 1 y 0,8x 4,8837 y 1, 07x 5, y,596 x 13, y1,1515 x 3, y 0, 697x 4, y 3x 13,15 7 y,53 6 ( 0,814 x 4,8837) 0,301 5,14 5,14 ( 1, 07x 5,9789) 0,393 4,77 4,77 (,596 x 13, 4467) 0,3841 4,5 4,5 (1,1515 x 3, 4018) 0,547 4,17 4,17 ( 0, 697x 4,3064) 0,4999 3,84 3,84 ( 3x 13,15) 0,64 3,54 3,54 (,53) 1,619,9 Paraol e Pescador (015) ISSN:
12 , v.1, n.3, p , set./dez., y 0,15x 6, y 1, 69x 9, y 6,53 11 y 1,0893 x 8,79 1 y,4194 x 9, y 0,1507 x 8 14 y0,881x 8 15 y1,4615 x 8, y 0,1176 x 6, y,3774 x 1, y1,338 x 8, y 1,0508 x 7,834 0 y 0,1346 x² 1,0661 1,111 1 y 0,097 x,9995 y 0,365 x² 0,1007 x,3477,9 ( 0,15x 6, 485) 3,944,6,6 ( 1, 69x 9, 0685) 1,6549 (6,53),61 1,6 1,6 ( 1, 0893x 8, 79) 3,876 1,04 1,04 (, 4194x 9, 6561),396 0,73 0,73 ( 0,1507x 8) 5, (0, 881x 8) 4,6699 0,59 0,59 (1, 4615x 8, 693) 6,501 1,5 1,5 (0,1176x 6,335) 5,5675,35,35 (,3774x 1,1868) 3,1641,88,88 (1, 338x 8,893) 3,7461 3,65 4,41 ( 1, 0508x 7,834) 1, ,81 (0,1346 x² 1, 06611,111) 7,9534 4,41 1,19 ( 0, 097x,9995) 1,6647 1,81 1 ( 0,365 x² 0,1007x,3477) 5,4475 1,19 Paraol e Pescador (015) ISSN:
13 , v.1, n.3, p , set./dez., y 0,1949 x² 0,9497 x, y0,1x 3,454 5 y0,08 x 3,171 6 y,3751 x² 3,751x 56,046 7 y0,046 x,7931,84 (0,1949 x² 0,9497 x, 0453) 5,6948 1,84 (0,1x 3, 454) 3, ,65 (0, 08x 3,171),1655 3,94 5,35 (,3751 x² 3, 751x 56, 046),638 4,65 6 (0, 046x, 7931) 1,9858 5,35 Fonte: Autores, (014) A soma das áreas calculadas na fgura (6) retorna o valor de 80,434 cm². Na fgura (7) observa-se a área calculada, que é a área sombreada em azul, sendo que a área nesta fgura hachurada na cor roxo anda não fo calculada, pos os autores vsualsam uma melhor opção para o seu cálculo, estes cálculos adconas seguem na sequênca, em três novas regões. Fgura 7 - Área calculada Com o auxlo do software geogebra, utlzando as ferramentas: rotação em torno de um ponto por um ângulo e translação por um vetor construu-se os novos polígonos das áreas anda não calculadas. Segundo Mederos (01), o software geogebra permte ao usuáro fazer sucessvas rotações de uma fgura por um ângulo em torno de um ponto central, obtendo fguras congruentes a fgura ncal. Fzeram-se essas rotações como mostra a fgura (8). Paraol e Pescador (015) ISSN:
14 Regões, v.1, n.3, p , set./dez., 015 Fgura 8 - Rotações Desta forma, novos pontos são apresentados, pos as áreas formam três fguras dstntas, representadas nas fguras: (9), (10) e (11). Por fm, no graph foram determnados as funções e o cálculo de suas respectvas áreas. Fgura 9 - Áreas calculadas no software graph Tabela - Funções, ntegral e a área calculada da fgura 9. Funções Integral Resultado da ntegral 8 y0,3981x,0385 7,8 (0,3095x 3,1133) 0,988 5,1 Paraol e Pescador (015) ISSN:
15 Regões, v.1, n.3, p , set./dez., y0,3095x 3, y 0,0891x 1,4161 7,7 (0,3095 3,1133) 0,3339 7,8 8,71 ( 0, 0891x 1, 4161) 0,6919 7,7 Fonte: A autora, 014 Fgura 10 - Áreas calculadas no software graph Tabela 3- Funções, ntegral e a área calculada da fgura 10. Funções Integral Resultado ntegral da 31 y 0,645 x² 1,1543 x 1, y 0,4815 x 1, y1,75 x 3, y 0,773x 3,1855 1,94 (0, 645 x² 1,1543 x 1,3977),1093 0,3 ( 0, 4815x 1,9437) 0,75 1,94,51 (1, 75x 3, 035) 0,31,3 4,38 ( 0, 773x 3,1855) 1,716,51 Fonte: Autores, 014 Fgura 11: Áreas calculadas no software graph Paraol e Pescador (015) ISSN:
16 Regões, v.1, n.3, p , set./dez., 015 Funções Tabela 4- Funções, ntegral e a área calculada da fgura 11. Integral Resultado da ntegral x 35 y 1,439 x 4,3171,59 1, 439 4,3171 ) 0, y0,9836 x 3, y 5,889 x 9,97 38 y0,1837 x 1, y 1,9533 x² 4x 1,3117 1,98 (0,9836x 3, 6375) 0,8479,59 1,89 ( 5,889 x 9,97) 0,183 1,98 1,4 (0,1837 x 1,5071) 0,5905 1,89 0,41 ( 1,9533 x² 4x 1,3117) 0,5436 1,4 As tabelas ()-(4) apresentam as funções e os ntervalos de cada regão dada pelas fguras (9)-(11) bem como a respectva área calculada. A soma das áreas, representadas nas fguras (6), (9), (10) e (11) retornou o valor de cm². Assm, o cálculo da área alagada da barragem do ro Bonto segue: 00 metros...,10 centímetros 40000m²... 4,41cm² Com base nos dados encontrados e na conversão das undades tem-se que: m...4,41cm 88,5875*40000 Área...88,5875cm Área , 739 m² 4,41 A regão calculada em hectares tem aproxmadamente 80,35 hectares de terra alagada pelas águas do ro Bonto. 4. CONCLUSÃO Neste trabalho fo apresentado o cálculo da área alagada da barragem do ro Bonto, que tem aproxmadamente 80,35 hectares usando uma aproxmação com o auxílo dos conteúdos do cálculo dferencal e ntegral, fundamentalmente, ntegras defndas e ajuste de curvas além das ferramentas computaconas geogebra e graph. Dentre as constatações realzadas tem-se que o presente artgo mostrou uma das mutas aplcações do cálculo dferencal e ntegral. Calcular a área de uma regão que não é nada regular Paraol e Pescador (015) ISSN:
17 , v.1, n.3, p , set./dez., 015 torna-se um pouco trabalhoso vsto que, mutas vezes, nas dscplnas de cálculo o estudante recebe a função a ser ntegrada, sto é, o processo trabalhado em sala de aula é o contráro deste. Em sala de aula o estudante recebe, em geral, a função, faz o gráfco e calcula sua área. Neste trabalho a área é conhecda grafcamente, mas as funções que delmtam a área não são conhecdas. Para tanto, fez-se o uso de ajuste de curvas, encontrando assm, uma aproxmação para as funções das curvas a serem ntegradas. O resultado encontrado é uma boa aproxmação da área da regão. A COOIJAM (Cooperatva de Irrgação de Jacnto Machado) não sabe o valor exato da área, eles têm uma noção por alto que se equvale ao resultado deste artgo. Fnalmente, o cálculo das funções que representam cada regão seleconada da área total a ser calculada, através de ajuste de curvas e do cálculo das ntegras defndas, para cada caso, juntamente com os recursos tecnológcos, tornou o trabalho atraente. Acredta-se que este desenvolvmento é de fácl manpulação, vsto que seu resultado fo satsfatóro, e pode ser aprovetado em sala de aula para apresentar aplcações aos alunos como motvação nas dscplnas de cálculo dferencal e ntegral e/ou cálculo numérco. 5. REFERENCIAS BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensno-aprendzagem com modelagem matemátca. São Paulo: Contexto, 011. BOYER, Carl B. Hstóra da Matemátca. São Paulo: Edgar Blücher, BRANDÃO, Mlena Almeda Lete. DA SILVA, Alessandra Rbero. TOGNON, Carlos Henrque. JAFELICE, Rosana Suel da Mota. O Uso da Modelagem Matemátca no Cálculo do Volume de uma maçã. FAMAT em Revsta, p , n.09, out-007. KAIBER, Carmen Tereza. RENZ Sandra Pacheco. Cálculo dferencal e ntegral: uma abordagem utlzando o software maple. PARADIGMA, v.xxix, p , n.1, jun-008. KOUROPATOV, A; DREYFUS, T. (009). Integrals as accumulaton: a ddactcal perspectve for school mathematcs. In: TZEKAKI, M.; KALDRIMIDOU, M.; SAKONIDIS, H. (Eds.). 33 rd Conference of the Internatonal Group for the Psychology of Mathematcs Educaton, Proceedngs, v.3, pp, MAGNA ENGENHARIA ltda. Trabalho realzado com colaboração fnancera FINEP/BRDE, mar 198. Mapa da barragem do Ro Bonto. Dsponível em: < q=jacnto+ machado+sc &espv=&bw=104&bh=653&dpr=1&um=1&e=utf8&sa=x&e=kp-uu-qba8tgsatm64lqcg&ved=0cagq _AUoAQ > Acesso em: 10 jan. 014 MEDEIROS, Margarete Faras. Geometra dnâmca no ensno de transformações no plano-uma experênca com professores da educação básca. Dssertação de Mestrado- Programa de pós-graduação em Ensno de Matemátca/ Mestrado Profssonalzante em Ensno de Matemátca. Unversdade Federal do Ro Grande do Sul, Porto Alegre, 01. PIRES, Andrelz. NASCIMENTO, Lala Amorm. FABRO, Paloma Nand. O estudo das ntegras: algumas aplcações no contexto. Monografa (Lcencatura em matemátca) UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA, Unsul, SC, 008. PIVA, Clauda. DORNELES, Lecr Dalabrda. SPILIMBERGO A. Patríca. Cálculo do Volume de um Sóldo de Revolução: Uma Atvdade Usando os Softwares Graph e WxMaxma. XXXIII Congresso Naconal de matemátca aplcada e computaconal, SBMAC, 010. SANTOS, Edson Crs Ostomo dos. MOTA, Janne Fretas.BRITO, Alexandre Botelho. FERREIRA, Ronaldo Das. A utlzação do GeoGebra no processo de ensno e aprendzagem da ntegral: uma artculação entre a pesqusa e a docênca. 1ª. Conferênca Latno Amercana de GeoGebra. Anas... ISSN , pp , 01 STEWART, James. Cálculo Vol. 6ª ed. São Paulo: Ed.Cengage Learnng, 011. Paraol e Pescador (015) ISSN:
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