Departamento de Matemática Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade de Coimbra Cálculo III - Engenharia Electrotécnica e de Computadores

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1 Deprtmento de Mtemátic Fculdde de Ciêncis e Tecnologi Universidde de Coimbr - Engenhri Electrotécnic e de Computdores Cálculo Integrl ÍNDICE GERL 1. Integrl prmétrico definido Definição Proprieddes do integrl prmétrico plicções 2 2. Integrl prmétrico impróprio Condições suficientes de convergênci plicções 3 3. Integris Múltiplos Conjuntos mensuráveis à Jourdn Noção de integrl múltiplo à Riemnn Fórmul de mudnç de vriável. Exemplos 7 4. Integris curvilíneos Integris curvilíneos de funções reis Integris curvilíneos de funções vectoriis plicções Integris de superfície Integrl de superfície de funções reis Integrl de superfície de funções vectoriis plicções Teorems fundmentis do cálculo integrl Teorem de Guss-Ostrogrdsky Teorem de Riemnn-Green plicções Teorem de Stokes plicções 21 ÍNDICE REMISSIVO 24

2 Cálculo Integrl 1 1. Integrl prmétrico definido 1.1. Definição. Vmos plicr resultdos de cálculo diferencil o estudo de funções de expressão nlític (1) f(x) = b g(x, y) d y onde g é um função rel definid em R n R. funções do tipo (1), desigmos por integris prmétricos. Observção. O estudo que qui vmos relizr é tmbém válido no cso em que g é um função vectoril Proprieddes do integrl prmétrico. Começmos por enuncir, sem demonstrção, lguns resultdos fundmentis sobre integris prmétricos. Teorem (Continuidde de integris prmétricos). Sej g um função contínu definid em D R R n R, onde D é um conjunto compcto. Então f definid por (1) é contínu em D. Teorem (Diferencibilidde de integris prmétricos). Sej g um função de clsse C 1 definid em D R R n R, onde D é um conjunto compcto. Então f definid por (1) é diferenciável em D e f b g = d y, j = 1, 2,..., n. x j x j Teorem (Integrbilidde de integris prmétricos). Sej g um função contínu definid em D R R n R, onde D é um conjunto compcto. Então é válid seguinte iguldde b f(x) d x = d y g(x, y) d x, onde I R n tem form I = [c 1, d 1 ] [c n, d n ]. I Observção. Este resultdo é válido pr regiões I R 2 simultnemente verticl e horizontlmente simples, i.e. I dmite s seguintes representções I = {(x, y) R 2 : α x β, φ(x) y ψ(x)}, onde φ, ψ são funções contínus em [α, β], e I = {(x, y) R 2 : y b, h(y) x k(y)}, onde h, k são funções contínus em [, b], respectivmente. I

3 2.Brnquinho 1.3. plicções. Problem 1.1 (Limites de integrção vriáveis). Sej g um função de clsse C 1 definid em D R R n R, onde D é um conjunto compcto, e α, β dus funções reis de clsse C 1 em D, verificndo α(x) β(x) b, x D. Então f definid por é diferenciável em D e f 1 x j = β(x) α(x) g x j f 1 (x) = Resolução. Podemos escrever função pelo que β(x) α(x) g(x, y) d y, d y + g(x, β(x)) β x j g(x, α(x)) α x j, j = 1, 2,..., n. f 1 (x) = β(x) g(x, y) d y α(x) f 1 (x) = F φ(x) F ψ(x), onde F (x, t) = g(x, y) d y t g(x, y) d y. e φ e ψ são funções definids em D com contrdomínio em R 2, com expressão nlític φ(x) = (x, β(x)) e ψ(x) = (x, α(x)). plicndo o teorem d derivd d função definid por composição obtemos o resultdo desejdo. Problem 1.2. Tendo em tenção que d x (x ) 2, d x x 2 + = π, clcule os seguintes integris 2 4 d x (x ) n, n N. Resolução. Como função de expressão nlític g(x, ) = 1/(x ) é de clsse C 1 (R + ) podemos plicr o teorem d diferencibilidde de integris prmétricos. ssim, 2 (x ) 2 d x = π 2, d x e portnto, (x ) = 2 + π Tendo em tenção que g é de clsse C (R + ) podemos plicr o mesmo resultdo de form repetid. Problem 1.3. Clcule os seguintes integris I = 1 d x 1 x e y2 d y, J = π 1 d y x sin x d x. y 2 Resolução. Qulquer ds funções integrnds não é elementrmente primitivável, pelo que temos de inverter ordem de integrção. Podemos efectur est operção pois estmos ns condições do teorem d condição de integrbilidde dos integris prmétricos. ssim, 1 I = e y2 y d y = e 1 π 2e, J = x sin x d x = π.

4 Cálculo Integrl 3 2. Integrl prmétrico impróprio 2.1. Condições suficientes de convergênci. Definição 2.1. Sej g um função que tem um descontinuidde no ponto b R. O integrl b g(x, y) d y é dito uniformemente convergente sobre o conjunto R n, pr um função f, se pr todo o x ɛ > δ = δ(ɛ) > : < b t < δ = t g(x, y) d y f(x) < ɛ. Teorem (de Cuchy). Sej g um função que tem um descontinuidde no ponto b R. Um condição necessári e suficiente de convergênci do integrl conjunto é que, pr todo o x, ɛ > δ = δ(ɛ) > : < b y 1 < δ, < b y 2 < δ = se b +, e se b = +. ɛ > c = c(ɛ) > : y 1 > c, y 2 > c = y2 y 1 y2 y 1 b g(x, y) d y sobre um g(x, y) d y < ɛ, g(x, y) d y < ɛ, Teorem (Condição suficiente). Sej g um função que tem um descontinuidde em (x, b) R. Um condição suficiente de convergênci do integrl b g(x, y) d y sobre um conjunto é que, pr exist um função rel φ com g(x, y) φ(y), pr x, y [, b[ e b φ(y) d y <. Observção. Um vez demostrd convergênci uniforme do integrl prmétrico impróprio, pssm plicr-se s proprieddes de continuidde, diferencibilidde e integrbilidde dos integris prmétricos plicções. Problem 2.1. Considere o integrl e t cos(xt) d t. () Verifique que é uniformemente convergente pr todo o x R. (b) Clcule Resolução. d t 1 e t cos(xt) d x. () convergênci do integrl é um consequênci imedit d desiguldde e t cos(xt) e t, válid pr todo o x em R +, pois (b) Invertendo ordem de integrção e tendo em tenção que e t cos(xt) d t = e t ( cos(xt) + x sin(xt)) 1 + x 2, 1 e t d t é convergente.

5 4.Brnquinho obtemos cujo vlor é π/4. d t 1 e t cos(xt) d x = x 2 d x, 3. Integris Múltiplos 3.1. Conjuntos mensuráveis à Jourdn. Pr conjuntos em espços multidimensionis, podemos introduzir noções nálogs às de comprimento de um segmento. Surge ssim noção de medid de um conjunto. Vmos introduzir noção de medid pr conjuntos simples, que designremos por prlelipípedos rectângulres multidimensionis,, i.e. = {(x 1,..., x m ) R m : j x j j + h j, j = 1,... m} m Dizemos que medid de é dd por M() = h j. Pr união disjunt de prlelipí- n pedos = k, temos M() = zero. k=1 k=1 j=1 n M( k ). medid do conjunto vzio é, por definição, Teorem (Proprieddes d medid). medid de conjuntos elementres, i.e. que se decompõem em prlelipípedos rectngulres cuj intersecção é qundo muito o bordo, verific s seguintes proprieddes: () B = M() M(B); (), B conjuntos elementres de R m então + B = {z R m : z = x + y, x, y B} é elementr e M( + B) M() + M(B). (c) Se cortrmos um conjunto elementr por hiperplnos ortogonis x j = c ficmos com dois prlelipípedos elementres 1, 2 tis que M() = M( 1 ) + M( 2 ). Est noção permite-nos definir medid de um conjunto. Pr tl considere-se num espço de dimensão m (por exemplo R m ), um rede de cubos P N = {x R m : k j h x j (k j + 1)h, k j = ±1,..., j = 1,..., m, e h = 1/2 N, N N}. Note que qundo pssmos d rede P N pr P N+1, cd cubo trnsform-se em 2 m cubos. Sej um subconjunto limitdo em R m. Considerem-se gor os conjuntos elementres Ā N, conjunto dos cubos que contêm e pelo menos um ponto de R m \, e N, conjunto dos cubos que contêm unicmente pontos do interior geométrico de. Formmos ssim dus sucessões de conjuntos tis que s sucessões (M(ĀN)) e (M( N )) são monótons decrescente e crescentes, respectivmente e M( N ) M(ĀN). Como s sucessões, (M(ĀN)) e (M( N ))

6 Cálculo Integrl 5 são limitds, primeir superiormente por M(Ā1) e segund inferiormente por M( 1 ), existem os limites lim M( N) = M i (), lim M(ĀN) = M e () N N que designremos por medid interior de, M i () e exterior de, M e (). Definição 3.1. Um conjunto, R m, é dito mensurável à Jourdn se M i () = M e () e neste cso cso M() = M i () = M e (). Teorem (Resultdo fundmentl de conjuntos mensuráveis). Um conjunto limitdo R m é mensurável à Jourdn qundo e só qundo, o seu bordo fr() tiver medid de Jourdn nul, i.e. M(fr()) =. Teorem (Estbilidde de conjuntos mensuráveis). () Sejm M um conjunto limtdo de R m 1, mensurável à Jourdn e f um função rel contínu definid em M. Então o conjunto M f(m) tem medid nul (b) Consider sucessão de conjuntos mensuráveis à Jourdn, j, j = 1,..., n. Então, são tmbém mensuráveis à Jourdn os conjuntos n n = j, j. j=1 (c) lém disso, se os conjuntos j se não intersectrem, então M() = j=1 n M( j ) Noção de integrl múltiplo à Riemnn. Vmos começr por estender o conceito de integrl funções reis de váris vriáveis reis definids em regiões de R n. Sejm R n um conjunto mensurável à Jourdn e f um função definid em. Considere-se prtição, R, de em conjuntos mensuráveis j cuj intersecção de dois quiquer elementos é qundo muito o bordo. Em cd elemento, j, d prtição considerese um ponto ξ j e formemos som integrl de f sobre R n 1 S R (ξ) = f(ξ j ) M( j ), ξ = (ξ 1,..., ξ n ). Considere-se gor o mior dos diâmetros dos j R, i.e. j=1 = mx j=1,...,n sup x y. x,y j Dizemos que S é o limite ds soms integris, S R (ξ), qundo, se ɛ > δ = δ(ɛ) > : R com < δ e ξ j j = S r (ξ) S < ɛ. Dest form, f é um função integrável à Riemnn sobre, se s soms integris dest função, S R convergem pr S qundo. Desigmos S por integrl múltiplo de f sobre e denotmo-lo por S = f d x = f(x) d x 1... d x n. j=1

7 6.Brnquinho Exemplo 3.1. () Se f c sobre um conjunto mensurável, então f d x = c M(). (b) Se é um conjunto de medid M nul, i.e. M() =, então f d x =, mesmo se f não for limitd em. Observção. Pr os integris múltiplos, integrbilidde de um função sobre um conjunto, não nos diz que f sej limitd sobre esse conjunto. No entnto, vmos somente considerr nest prte do curso de, funções limitds sobre conjuntos mensuráveis. Exemplo 3.2. Considere-se superfície diferenciável de equção z = f(x, y) definid num região do plno XOY, D, e definimos o sólido Clcule o volume de S. S = {(x, y, z) R 3 : (x, y) D, z f(x, y)}. Idei de cálculo: Dividimos região D em sub-regiões medinte um rede qudriculd de ldos prlelos OX e OY, que denotremos por D 1, D 2,..., D n. Em cd um dests regiões escolhemos um ponto (ξ i, η i ), i = 1, 2,..., n. Formmos som n S n = f(ξ k, η k ) áre(d k ). k=1 Sej gor o mior dos diâmetros dos conjuntos D j, j = 1,..., n, i.e. = mx j=1,...,n sup x y. x,y D j O volume de S vem ddo pelo seguinte limite n Volume(S) = lim lim f(ξ k, η k ) áre(d k ). n k=1 este tipo de limites designmos por integrl duplo de f sobre D R 2, e denotmo-lo por f(x, y) d x d y. D Exemplo 3.3. mss, M, de um sólido S R 3 definid sobre S, vem dd por M = S ρ(x, y, z) d x d y d z. de densidde ρ, função rel contínu, Observção. Os integris múltiplos form introduzidos por Euler e constituem um instrumento fundmentl pr váris áres do conhecimento humno. Teorem (Proprieddes do integrl). Supondo que s funções dds são integráveis nos conjuntos mensuráveis indicdos, podemos enuncir: Lineridde: (c 1 f 1 + c 2 f 2 ) d x = c 1 f 1 d x + c 2 f 2 d x, c 1, c 2 R.

8 Cálculo Integrl 7 União disjunt: f d x = B f d x + fr(b) fr(c). Monotoni: f d x g d x se f(x) g(x), x. Módulo: f d x f ddx Vlor médio: Supondo g(x), x, temos fg d x = µ g d x, lém disso, se g 1, então inf x C f d x = µ M(). f d x, onde = B C onde B C f(x) µ sup f(x). x Podemos reduzir integris múltiplos sobre espçoes de um determind dimensão um sucessão de integris sobre espços de dimensão inferior, como nos é referido no teorem sobre integrbilidde de integris prmétricos e n observção que lhe segue. Este processo vi ser designdo por pssgem de integris múltiplos integris iterdos. Problem 3.1. () Clcule (b) Mostre que Resolução. M 1 x y d x d y sendo M = {(x, y) R 2 : x 1, y b}. x b x d x = ln (b + 1) ln ( + 1). ln x () Comecemos por expressr o integrl duplo como integrl iterdo 1 b x y b 1 ln x d x ln x d y = x y d x d y = d y x y d x. Primitivndo obtemos 1 ssim M x b x ln x d x = x y d x d y = ln(b + 1) ln( + 1). M M x y d x d y = b 1 y + 1 d y. Note-se que função integrnd do primeiro integrl não é elementrmente primitivável. (b) D resolução d líne () temos iguldde pretendid Fórmul de mudnç de vriável. Exemplos. Teorem (Mudnç de vriável no integrl). Sejm e B domínios de R p com B de medid finit (i.e. comprimento, áre ou volume finitos). Sejm ind, um plicção ϕ de clsse C 1, de B pr tl que o seu jcobino, J, não se nul em pontos de B e f integrável em. Então, f d x 1 d x 2... d x p = ϕ 1 () f ϕ J d t 1 d t 2... d t p, J = det D ϕ.

9 8.Brnquinho Cso gerl. Problem 3.2. Clcule o integrl I = f(x, y) d x d y, onde D = {(x, y) R 2 : x 2/3 + y 2/3 2/3 } com >, e f(x, y) = ( 2/3 x 2/3 y 2/3 ) 2. Observção. Justifique que pode efectur mudnç de vriável, ϕ, definid por x = u cos 3 v, y = u sin 3 v. D Figur 1. Cso gerl (trnsformção ϕ) Resolução. Como se pode ver d nálise d figur 1 trnsformção presentd é bijectiv de [, 2π] R + em R 2 (x, y). lém disso, o Jcobino J = (u, v) = 3u cos2 v sin 2 v. ssim, 2π I = 3 cos 2 v sin 2 v d v ( 2/3 u 2/3 ) 2/3 u d u, pelo que I = 3 1/3 π/ Coordends polres. Considere-se plicção ϕ de R 2 em R 2 definid por ϕ(θ, ρ) = (ρ cos θ, bρ sin θ), com, b R + que é de clsse C (R 2 ). (x, y) O seu jcobino é ddo por J = D ϕ = (θ, ρ) = bρ. Est plicção é bijectiv de [, 2π] R + em R 2. Sej f um função integrável em D R 2 então f(x, y) d x d y = f ϕ(θ, ρ) bρ d θ d ρ. D ϕ 1 (D) Observção. Est mudnç de coordends é conselhável pr descrever regiões do tipo D = {(x, y) R 2 : r 2 1 x 2 / 2 + y 2 /b 2 r 2 2, θ 1 rctn(bx/(y)) θ 2 }. Neste cso D = ϕ([θ 1, θ 2 ] [r 1, r 2 ]) (cf. figur 2) Coordends cilíndrics. Considere-se plicção ϕ de R 3 em R 3 definid por ϕ(θ, ρ, ζ) = (ρ cos θ, bρ sin θ, ζ), com, b R + que é de clsse C (R 3 ). O seu jcobino é ddo por (x, y, z) J = D ϕ = (θ, ρ, ζ) = bρ. Est plicção é bijectiv de [, 2π] R+ R em R 3. Sej f um função integrável em D R 3 então f(x, y, z) d x d y d z = f ϕ(θ, ρ, ζ)bρ d θ d ρ d ζ. D ϕ 1 (D)

10 Cálculo Integrl 9 Figur 2. Coordends polres Observção. Est mudnç de coordends é conselhável pr descrever regiões do tipo D = {(x, y, z) R 3 : r1 2 x 2 / 2 + y 2 /b 2 r2 2, θ 1 rctn(bx/(y)) θ 2, ζ 1 z ζ 2 }. Neste cso D = ϕ([θ 1, θ 2 ] [r 1, r 2 ] [ζ 1, ζ 2 ]) (cf. figur 3) Coordends esférics. Considere-se plicção ϕ de R 3 em R 3 definid por ϕ(θ, φ, ρ) = (ρ sin φ cos θ, bρ sin φ sin θ, cρ cos φ), com, b, c R +, que é de clsse C (R 3 ). O seu jcobino J = D ϕ = é bijectiv de [, 2π] [, π] R + em R 3. (x, y, z) (θ, φ, ρ) = bcρ2 sin φ. Est plicção Sej f um função integrável em D R 3 então f(x, y, z) d x d y d z = f ϕ(θ, φ, ρ)bcρ 2 sin φ d θ d φ d ρ. D ϕ 1 (D) Observção. Est mudnç de coordends é conselhável pr descrever regiões do tipo D = {(x, y, z) R 3 : r 2 1 x 2 / 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 r 2 2, θ 1 rctn(bx/(y)) θ 2, φ 1 rctn(z/ x 2 / 2 + y 2 /b 2 ) φ 2 }. Neste cso D = ϕ([θ 1, θ 2 ] [φ 1, φ 2 ] [r 1, r 2 ]) (cf. figur 4). Figur 3. Coordends cilíndrics Figur 4. Coordends esférics

11 1.Brnquinho 4. Integris curvilíneos 4.1. Integris curvilíneos de funções reis. Definição 4.1. o conjunto de pontos = {(x 1, x 2,..., x m ) K m : x j = X j (t), t [, b], j = 1, 2,..., m} onde s funções X j são contínus, pr j = 1..., m, designmos por curv contínu no espço vectoril de dimensão m, K m. Observção. Definimos ssim, como o trnsformdo do conjunto [, b] pel plicção X definid por X(t) = (X 1 (t),..., X m (t)). Vmos exigir est função que tenh qundo muito um número finito de pontos múltiplos, i.e. ddos t 2, t 1 [, b], com t 2 t 1 = X(t 2 ) X(t 1 ). Definição 4.2. Sej um curv definid por x = X(t) um curv contínu. Consideremos prtição, R, do intervlo [, b], definid por R = t < t 1 < < t n = b e sej = mx j=1,...,n t j t j 1 o seu diâmetro. Se existir o limite l() = lim n X(t j ) X(t j 1 ) j=1 e for independente d prtição do intervlo [, b], dizemos que l() é o comprimento d curv e que curv e rectificável. Observção. Cso K = R e n = 3 temos X(t) = X 2 1(t) + X 2 2(t) + X 2 3(t). Teorem 4.1. Sej um curv rectificável. Se função X for integrável, então l() = b X (t) d t. Observção. Cso K = R e n = 3 temos b l() = (X 1 (t)) 2 + (X 2(t)) 2 + (X 3(t)) 2 d t. curv dmite infinits representções d form x = X f(τ), onde f é um função rel diferenciável em [α, β], f (τ) em [α, β] e f([α, β]) = [, b]. τ designmos por prâmetro d curv. ssim, f tem sinl constnte em [α, β]. Dizemos então, que tem orientção positiv e denotmos curv por +, se f (τ) >, τ [α, β], e que tem orientção negtiv e denotmos curv por, se f (τ) <, τ [α, β]. Dizemos que s é o prâmetro nturl, d curv definid por x = X(t), se s(t) = t X (τ) d τ, e X (τ), τ [, b]. Note-se que s(b) = l(), que pssremos denotr por l. Representndo em termos do prâmetro nturl s, temos x = X(t) e x = ψ s(t). ssim, o vector tngente em cd um dos seus pontos vem ddo por X (t) = ψ (s(t))s (t),

12 Cálculo Integrl 11 donde se concluí que X (t) = ψ (s(t)) d s d t. Por definição de prâmetro nturl d s d t = X (t), e portnto ψ (s) = 1. Temos ssim que o prâmetro nturl de um curv, nos dá um processo simples de cálculo de um vector unitário, tngente ess curv em cd um dos seus pontos. Problem 4.1. Determinr o ângulo que o vector unitário, tngente à curv R 3 definid por fz com o plno OZ, no ponto (1, 1, 1). x = t, y = t 2, z = t 3, t R, Resolução. O vector procurdo é d form (d u = ( d x d t, d y d t, d z ) 2 x d t )/ + d t ( ) 2 d y + d t ( ) 2 d z d t que pr t = 1 nos dá u = (1, 2, 3)/ 14. su projecção sobre OZ é o vector u z = (1, 2, )/ 14, pelo que o ângulo pedido é ddo por rccos( u u z u z ) = rccos 5/14. Problem 4.2. Clcule o comprimento d curv definid por com, b R. x = cos t, y = sin t, z = bt, t [, 2π], Resolução. plicndo definição de comprimento de um curv diferenciável temos l() = 2π e portnto l() = 2π 2 + b 2. (d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 + ( d z d t ) 2 d t Definição 4.3. Sejm, s o prâmetro nturl d curv R n, definid por x = X(s), s [, l] e f um função rel contínu definid em R n. o integrl I = l f X(s) d s = l f(x 1 (s),..., X n (s)) d s designmos por integrl curvilíneo de um função rel f o longo d curv, e denotmo-lo por f d s. Observção. Tomndo pr outr prmetrizção, x = X(t), t [, b], temos que I tom form b f X(t) X (t) d t, donde se concluí que o integrl curvilíneo de funções reis é independente d orientção d curv.

13 12.Brnquinho Definição 4.4. Sej um curv de densidde por unidde de comprimento, ρ. Definimos mss de e denotmo-l por M, como M = l 4.2. Integris curvilíneos de funções vectoriis. ρ(s) d s. Definição 4.5. Sejm, s o prâmetro nturl d curv R n, definid por x = X(s), s [, l] e F um função vectoril contínu definid em R n por o integrl I = l F X(s) X (s) d s = l F (x) = (F 1 (x),..., F n (x)). (F 1 (X 1 (s),..., X n (s)),..., F n (X 1 (s),..., X n (s))) X (s) d s designmos por integrl curvilíneo de um função vectoril F o longo d curv, e denotmolo por pois X j(s) d s = d x j, j = 1, 2,..., n. F 1 d x F n d x n, Observção. Tomndo pr outr prmetrizção, x = X(t), t [, b], temos que I tom form I = b (F 1 X 1(t) + + F n X n(t)) d t. Vemos ssim, que F 1 d x F n d x n = F 1 d x F n d x n. + Definição 4.6. Dizemos que curv, definid por x = X(t), t [, b] é fechd, se X() = X(b). Neste cso o integrl curvilíneo de um função vectoril F, designmos por circulção de F o longo de. Observção. No cso em que função vectoril F de expressão nlític F (x) = (F 1 (x),..., F n (x)), x R n, se pode representr como o grdiente de lgum função rel, i.e. F = grd f(x), então l d f(x(s)) I = F 1 d x F n d x n = d s, d s e portnto I = f X(l) f X().

14 Cálculo Integrl plicções. Problem 4.3. Suponhmos que um sólido se desloc o longo de um curv sob cção de um forç F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Clcule o trblho d forç F. Demonstrção. Exercício. Problem 4.4. Considere curv definid por () Identifique curv. { x + z = 1 x 2 + y 2 + z 2 = 1. (b) Clcule, usndo cálculo integrl, o comprimento d curv prtir do integrl de comprimento de rco. (c) Clcule I = z d x + x d y + y 4 d z. Resolução. Figur 5. Superfície do problem 4.4 () curv é circunferênci intersecção, do plno perpendiculr o vector (1,, 1) pssndo pelo ponto de coordends (1,, ), com esfer centrd em (,, ) de rio 1 (cf. figur 5). (b) O comprimento pedido é ddo por l() = d s onde d s design o elemento de comprimento de rco, i.e. T d t onde T é o vector tngente em cd um dos seus pontos e t é o prâmetro nturl d curv. s equções crtesins de são dds por z = 1 x, pelo dmite seguinte prmetrizção (x 1/2) 2 y 2 + (1/2) 2 (1/ 2) = 1, 2 x = 1 1 (1 + cos t), y = sin t, z = 1 (1 cos t), t [, 2π] ssim, T = ( sin t/2, cos t/ 2, sin t/2), e portnto l() = 2π 1/ 2 d t = 2π. (c) plicndo definição de integrl temos 2π [ I = (1 cos t)/2( sin t/2) + (1 + cos t)/2(cos t/ 2) + (sin t/ ] 2) 4 (sin t/2) d t, i.e., I = 2π/4.

15 14.Brnquinho 5. Integris de superfície 5.1. Integrl de superfície de funções reis. Definição 5.1. Um superfície diferenciável, T, é dit orientável, se em cd um dos seus pontos x, podemos determinr um vector norml unitário n, de form que plicção de T em R n definid por n = n(x) sej contínu em T. Dizemos que superfície diferenciável T tem orientção positiv se t 1 t 2 n > em cd x T, onde t 1, t 2 são os vectores directores do plno tngente T em x T. D mesm form dizemos que superfície diferenciável, T, tem orientção negtiv se t 1 t 2 n < em cd x T, onde t 1, t 2 são os vectores directores do plno tngente T em x T. Vimos já que um vector norml unitário n um superfície diferenciável T definid em coordends crtesins por f(x) =, onde f é um função rel definid em R n, vem ddo por n(x) = grd f(x)/ grd f(x), x T. lém disso, se T R 3 estiver definid em coordends prmétrics por (2) x = X(u, v), y = Y (u, v), z = Z(u, v), (u, v) D R 2, onde D é um domínio, então um vector norml unitário n em cd ponto (x, y, z) T, vem ddo por ( (Y, Z) (u, v) ), (Z, X) (u, v), (X, Y ) (u, v) / (Y, Z) (u, v) 2 + (Z, X) (u, v) 2 + (X, Y ) (u, v) Definição 5.2. Sej T um superfície diferenciável definid prmetricmente por (2). o integrl σ(t ) = D (Y, Z) (u, v) 2 + (Z, X) (u, v) 2 + (X, Y ) (u, v) 2 d u d v, designmos por áre d superfície diferenciável T, e denotmo-lo por σ(t ) = d S represent o elemento de áre de superfície. Considere-se função rel, g, diferenciável em R 3, o integrl g(x, y, z) d S T = D g(x(u, v), Y (u, v), Z(u, v)) (Y, Z) (u, v) 2 + (Z, X) (u, v) designmos por integrl de superfície d função rel g sobre T. Observção. Este integrl não depende d orientção d superfície. 2 + (X, Y ) (u, v) T 2 2. d S, onde d u d v,

16 Cálculo Integrl Integrl de superfície de funções vectoriis. Definição 5.3. Sejm T um superfície diferenciável definid prmetricmente por (2) e F um função vectoril contínu definid em R 3 por F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). o integrl F d S = F n d S T T = F (X(u, v), Y (u, v), Z(u, v)) D ( (Y, Z) (u, v) ), (Z, X) (u, v), (X, Y ) (u, v) d u d v, designmos por integrl de superfície d função vectoril F sobre T, onde curv fr T está considerd com orientção positiv plicções. Problem 5.1. áre de superfície do triângulo de vértices = (,, ), B = (, b, ) e C = (,, c) com, b, c R é igul 2 b c 2 + b 2 c 2 /2. Figur 6. Triângulo sobre o Prlelogrmo Resolução. Primeiro Método: s equções prmétrics do plno onde o triângulo se encontr, i.e. o plno que pss pelo ponto (,, ) e tem direcção dos vectores B = (, b, ) e C = (,, c) (cf. figur 6), são dds por x = s t, y = sb, z = tc, (s, t) [, 1] [, 1]. ssim, um vector perpendicur o plno vem ddo por n = B C = (bc, c, b). Temos então que áre vem dd pelo integrl d s (bc)2 + (c) (b) 2 d t, i.e. áre pedid é (bc) 2 + (c) 2 + (b) 2 /2. Segundo Método: por equção crtesin do plno onde o triângulo se encontr, é dd x + y b + z c = 1.

17 16.Brnquinho ssim sendo o vector perpediculr à região vem ddo por n = ( c/, c/b, 1) cuj norm é n = (bc) 2 + (c) 2 + (b) 2 /b. Obtemos então áre d superfície dd por meio do integrl d x b(1 x/) n d y, pois o triângulo é descrito em coordends crtesins por {(x, y, z) R 3 : x, y b(1 x/), z = c(x/ y/b)}. Problem 5.2. Clcule áre de superfície do cilindro de equção x 2 + y 2 = x, contido n esfer de equção x 2 + y 2 + z 2 1. Resolução. Comecemos por descrever esfer dd em coordends esférics, i.e. x = r sin φ cos θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos φ, com ρ 1, θ [, 2π] e φ [, π]. lém disso, equção d superfície cilíndric neste sistem de coordends vem dd por ρ sin φ = cos θ. ssim, superfície procurd vem dd por x = cos 2 θ, y = cos θ sin θ, z = cos θ cotn φ, com θ, φ sujeits à condição cos θ/ sin φ 1 e (θ, φ) [, 2π] [, π], i.e. pr φ π/2 e pr π/2 φ π π/2 φ θ π/2, ou, 3π/2 θ 3π/2 + φ π/2 + φ θ π/2, ou, 3π/2 θ 5π/2 φ. gor, como n = cos θ / sin 2 φ temos que áre de superfície vem dd por ( π/2 d φ π/2 ) 3π/2+φ ( π d φ π/2 ) 5π/2 φ sin 2 cos θ d θ + φ sin 2 cos θ d θ φ que é igul 4. + π/2 φ 3π/2 π/2 + π/2+φ 3π/2 Problem 5.3. áre d superfície terrestre de rio r, T, compreendid entre os meridinos de longitude θ 1, θ 2 e os prlelos de ltitude φ 1, φ 2 é dd por r 2 (θ 2 θ 1 )(sin φ 2 sin φ 1 ). Figur 7. Superfície terrestre

18 Cálculo Integrl 17 Resolução. Comecemos por descrever superfície indicd no enuncido (cf. figur 7) x = r sin φ cos θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos φ, com θ [θ 1, θ 2 ] e φ [π/2 φ 2, π/2 φ 1 ]. Sbemos tmbém que o vector norml exterior vem ddo por ( ) (y, z) n = (θ, φ), (z, x) (θ, φ), (x, y) (θ, φ), i.e. n = r 2 sin φ(sin φ cos θ, sin φ sin θ, cos φ) cuj norm é n = r 2 sin φ. plicndo definição de áre de superfície temos Áre(T ) = θ2 θ 1 d θ π/2 φ1 π/2 φ 2 n d φ = θ2 θ 1 π/2 φ1 d θ r 2 sin φ d φ, π/2 φ 2 i.e. Áre(T ) = r 2 (θ 2 θ 1 )(sin φ 2 sin φ 1 ). Problem 5.4. Clcule I = F n d S onde S é superfície definid prmetricmente por: S x = u + v, y = uv, z = u 2 v 2, (u, v) [, 1] [, 1], e F (x, y, z) = (z, x, y). Figur 8. Superfície do problem 5.4 Resolução. ntes de mis representemos superfície dd (cf. figur 8). ssim, vmos determinr um vector norml em cd um dos pontos d superfície dd n = ( 2(u 2 + v 2 ), 2(u + v), u v). Por definição I vem ddo por I = cujo vlor é I = 7/3. 1 d u 1 ( 2(u 4 v 4 ) + 2(u + v) 2 + uv(u v)) d v

19 18.Brnquinho 6. Teorems fundmentis do cálculo integrl 6.1. Teorem de Guss-Ostrogrdsky. Teorem (de Guss-Ostrogrdsky ou d Divergênci). Sej F um função vectoril de clsse C 1 sobre um domínio D R 3, de expressão nlític F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Sej G um conexo e fechdo de D cuj fronteir fr G = T D. Então, div F (x, y, z) d V = F (x, y, z) d S, G T onde d V e d S representm respectivmente, o elemento de volume e de áre de superfície. Observção. Como superfície dd no problem 5.4 não delimit um sólido (cf. figur 8), não podemos plicr o Teorem d Divergênci pr clculr o seu vlor. Problem 6.1. Sej M = { (x, y, z) R 3 : x 2 / 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 1 }. () Represente geometricmente região M. (b) Justifique que pode tomr (θ, φ, ρ) como um sistem de coordends em R 3, onde x = ρ sin φ cos θ, y = bρ sin φ sin θ, z = cρ cos φ. (c) Descrev o interior geométrico d região M neste novo sistem de coordends. (d) Clcule o volume d região descrit n líne nterior. (e) Indique um vector norml unitário, (cos α, cos β, cos ), à região M em cd um dos seus pontos. (f) Clcule o integrl de superfície I = (x cos α + y cos β + z cos ) d S M onde (cos α, cos β, cos ) é o vector norml unitário à região M. Figur 9. Elipsoide Resolução. () Ver figur 9. (b) s funções de expressão nlític X(θ, φ, ρ) = ρ sin φ cos θ, Y (θ, φ, ρ) = bρ sin φ sin θ, Z(θ, φ, ρ) = cρ cos φ são funcionlmente independentes em D = [, 2π] [, π] [, [, e definem um bijecção entre D e R 3.

20 Cálculo Integrl 19 (c) M = [, 2π] [, π] [, 1]. (d) Sbemos que o volume de M vem ddo por 2π π 1 Volume(int M) = d θ d φ (X, Y, Z) (θ, φ, ρ) d ρ, ms (X, Y, Z) (θ, φ, ρ) = bcρ2 sin φ, pelo que o volume é igul 4bcπ/3. (e) n = ρ 2 sin φ(bc sin φ cos θ, c sin φ sin θ, b cos φ). (f) plicndo o Teorem d Divergênci obtemos que I = 3 Volume(int M), i.e I = 4bcπ. Problem 6.2. Sendo T = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 r 2, x 2 + y 2 rx }, mostre que Volume (T ) = 1 (x, y, z) n d S, 3 onde S é superfície que limit T, orientd com norml exterior n. S Figur 1. Intersecção entre cilindro e esfer Resolução. Como se pode ver n figur 1 região T é um sólido fechdo e limitdo de R 3. Podemos então plicr o Teorem d Divergênci, (x, y, z) n d S = div(x, y, z) d V = 3 S int S pelo que se tem o resultdo enuncido Teorem de Riemnn-Green. T d V = 3 Volume (T ), Teorem (Teorem de Riemnn-Green). Sej F um função vectoril de clsse C 1 sobre um domínio D R 2, de expressão nlític F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)). Sej 1 um conexo e fechdo de D cuj fronteir fr 1 = D é um curv de clsse C 1 fechd. Então, ( Q x P ) d = F (x, y) d s, y 1 onde d e d s representm respectivmente, o elemento de áre e de comprimento de rco. Demonstrção. Consideremos que no teorem d divergênci, F não depende d vriável z, R e que G é um cilindro de bse 1 e de ltur h. Considere-se ind que dmite prmetrizção x = X(t), y = Y (t), t [t, t 1 ].

21 2.Brnquinho que é percorrid no sentido directo. ssim, por um ldo h ( P div F d V = d z x + Q ) d, y e por outro T G F d S = h d z t1 t 1 (P cos( n, OX) + Q cos( n, OY )) d t pois ns bses do cilindro G o integrl é nulo (F n =, pois n = (,, 1)). Pode ind ver-se que cos( n, OX) = d Y d t, Então do teorem d divergênci temos que ( P x + Q ) d = y 1 X cos( n, OY ) = d d t t1 t P d y + Q d x e tomndo Q em lugr de Q nest últim fórmul temos o resultdo plicções. Problem 6.3. Sej M um conjunto conexo cuj fronteir é um curv diferenciável, fechd e simples,. Então: () Se u, v são funções de clsse C 1, tem-se { uv(d x + d y) = v( u x u y ) + u( v x v } y ) d x d y. (b) Se u, v são funções de clsse C 2, então: { (v u y u v y ) d x + (u v x v u } x ) d y = M M (u v v u) d x d y, onde = 2 x y 2. (c) Se u é tl que u =, então { u y d x + u } x d y =. Resolução. () e (b) plicndo ( o teorem de Green às funções de expressão nlític F (x, y) = (uv, uv) e F b (x, y) = v u y u v y, u v x v u ), onde u e v são funções reis ns vriáveis reis x x, y, respectivmente obtemos o resultdo enuncido. (c) Tomndo v 1 n iguldde d líne (b) obtemos { u y d x + u } x d y = u d x d y. gor plicndo hipótese temos o pretendido. M

22 Cálculo Integrl Teorem de Stokes. Teorem (de Stokes). Sej F um função vectoril de clsse C 1 sobre um domínio D R 3. Sej um curv fechd em D que é fronteir de lgum superfície fechd orientd T D, i.e. fr T =. Então, F (x, y, z) d s = T rot F (x, y, z) d S, onde d s e d S representm respectivmente, o elemento de comprimento de rco e de áre de superfície. Observção. O teorem que cbámos de enuncir diz-nos que o fluxo do vector rot F trvés d superfície orientd, T, é igul à circulção do vector F sobre o bordo, que delimit T plicções. Problem 6.4. Sej F : R 3 R 3 definid por F (x, y, z) = y x x 2 + y 2 i + x 2 + y 2 j + e z k. y Clcule o I = C x 2 + y d x + 2 () C = {(x, y, ) R 3 : x 2 + y 2 = r 2 } com R. x x 2 + y 2 d y + e z d z, qundo: (b) C for um qulquer curv fechd no espço que não contiver nenhum ponto do eixo OZ no seu interior geométrico. (c) C é um qulquer curv fechd, simples, prcilmente suve no plno z =, que contém o ponto (,,) no seu interior geométrico. Figur 11. Curvs fechds no plno z = 3 Resolução. () Comecemos por descrever curv C em coordends prmétrics x = r cos θ, y = r sin θ, z =, θ [, 2π]. ssim um vector tngente C em cd um dos seus pontos, T = ( r sin θ, r cos θ, ), pelo que I = 2π ( r sin θ r 2 Vemos então que I = 2π. ( r sin θ) + r cos θ ) 2π (r cos θ) + e () d t = r 2 d t.

23 22.Brnquinho Note-se que não podemos plicr o Teorem de Stokes pr resolver este exercício pois função F não é de clsse C 1 no interior geométrico de C. (b) Neste cso podemos plicr o teorem de Stokes pois F é de clsse C 1 no interior geométrico de C. gor, como o rotcionl de F, rot F = (,, ), conluímos que I =. Note-se que como o rotcionl é o vector nulo existe um função rel de vriáveis reis (x, y, z), g, tl que F = grd g(x, y, z), e portnto o integrl é independente do cminho considerdo, num região que não contenh pontos d form (,, z), z R. Dest form concluímos tmbém que I =. (c) I = 2π. De fcto, considere-se circunferênci C 1 de rio infinitmente pequeno centrd em (,, ) que com C dmite um representção do tipo d figur 11. Construímos ssim curv = C 1 C que dmite decomposição que se mostr n figur 11, i.e. = +. gor, J = y x 2 + y d x + x 2 x 2 + y d y + 2 e z d z. lém disso, como no interior geométrico de cd um ds curvs +,, F é de clsse C 1, podemos plicr o teorem de Green cd um dos integris nteriores em que se decompõe J, concluindo dest form que J =. Eliminndo os cminhos que são percorridos nos dois sentidos, vemos que y J = x 2 + y d x + x 2 x 2 + y d y + 2 e z d z, C C 1 e portnto, plicndo s proprieddes do integrl curvilíneo y I = x 2 + y d x + x 2 x 2 + y d y + 2 e z d z C 1 e pel líne () temos o resultdo. Problem 6.5. Sendo curv definid pels equções x = cos t, y = cos 2t, z = cos 3t, t [, π], então I = (y + z) d x + (z + x) d y + (x + y) d z = 8/3. Figur 12. Curvs do problem 6.5 Resolução. Primeiro Método: Tendo em tenção que o vector tngente à curv dd é (sin t, 2 sin(2t), 3 sin(3t)),

24 Cálculo Integrl 23 e que curv dd não é fechd (cf. figur 12) temos que I = π e portnto I = 4. [(cos(2t) + cos(3t)) sin t + (cos t + cos(3t))2 sin(2t) + (cos(t) + cos(2t))3 sin(3t)] d t, Segundo Método: O cmpo de vectores de clsse C 1 (R 3 ) de expressão nlític F (x, y, z) = (y + z, x + z, x + y) é conservtivo, pois i j k rot F = x y z y + z x + z x + y = i + j + k. curv diferenciável,, une os pontos P = (1, 1, 1) e P 1 = ( 1, 1, 1). Considere-se curv diferenciável fechd Γ = P 1 P, onde o segmento de rect orientdo P 1 P está definido por x = 2t 1, y = 1, z = 2t 1, t [, 1]. plicndo o teorem de Stokes sobre curv Γ, temos que F d s = rot F d S =. ssim, I = F d s = P 1 P e portnto I = 4. Terceiro Método: 1 Γ int(γ) [(1 + 2t 1)2 + (2t 1 + 2t 1) + (2t 1 + 1)2] d t, Vimos já que o cmpo de vectores F é conservtivo. Determinemos então um função rel, f, definid em R 3 tl que F = grd f, i.e. f x = y + z, f y = x + z, f z = x + y. D primeir condição obtemos por primitivção reltivmente à vriável x que existe um função rel de clsse C 1, h, tl que f(x, y, z) = (y + z)x + h(y, z). Derivndo em ordem à vriável y e comprndo com segund condição inicil temos, que existe um função rel de clsse C 1, g, tl que h(y, z) = yz +g(z). ssim, f(x, y, z) = xy +xz +yz +g(z), pr lgum função rel de vriável rel g de clsse C 1. Derivndo est função em ordem à vriável z e comprndo com terceir condição inicil temos que g c com c constnte rel rbitrári. Pelo que um exemplo de função f procurd tem expressão nlític f(x, y, z) = xy+xz+yz. ssim, I = f( 1, 1, 1) f(1, 1, 1) = 1 3 = 4.

25 R n -metri, 1 áre rectângulo, 2 bricentro, 19 bol bert, 2 centro de mss, 19 conjunto berto, 2 compcto, 5 curv contínu, 4 de nível, 3 em R 2, 11 simples, 14 derivd prcil, 5 representção geometric, 5 diferencibilidde condição necessári, 7 condição suficiente, 8 função compost, 9 diferencil função vectoril, 8 função rel, 7 diferenciável função rel, 7 função vectoril, 8 distânci, 1 espço fim, 1 euclideno, 1 vectoril, 1 extremos condição necessári, 17 condição suficiente, 18 form qudrátic, 18 definid negtiv, 18 definid positiv, 18 semi-definid negtiv, 18 semi-definid positiv, 18 funções nlítics, 1 bijectivs, 13 contínus, 4 de Lgrnge, 2 definids implicitmente, 11 funcionlmente dependentes, 13 funcionlmente independentes, 13 uniformemente contínus, 4 vectoriis, 3 ÍNDICE REMISSIVO lgrngino, 2 limite direccionl, 4 função rel, 3 função vectoril, 3 mtriz crcterístic, 14 definid negtiv, 18, 19 definid positiv, 18, 19 form qudrátic, 18 menores, 14 menores principis, 19 semi-definid negtiv, 18, 19 semi-definid positiv, 18, 19 momento de inérci, 19 Multiplicdores de Lgrnge condição suficiente, 2 método, 2 ponto crítico, 17 de mínimo, 17 de máximo, 17 extremnte, 17 múltiplo, 14 superfície diferenciável, 15 equção crtesin, 15 vector norml, 15 Tylor polinómio, 11 série, 11 teorem d função implícit diferencibilidde, 12 existênci, 12 d sndwich, 3 de Cuchy, 3 de Sylvester, 19 de Weierstrss, 5 função implícit, 12 função invers, 13 funcionlmente dependentes condição necessári, 14 condição suficiente, 14 incrementos finitos, 6 limite por curvs, 4 geometri, 1 24

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