MÓDULO 1 MATEMÁTICA RECADO AO ALUNO

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1 MÓDULO MATEMÁTICA RECADO AO ALUNO As matérias desta apostila foram reunidas e consolidadas para estudo dos alunos Instituto Marconi. A leitura e estudo deste conteúdo não exclui a consulta a outras fontes que possam enriquecer e oferecer maior abrangência aos tópicos solicitados em editais de concursos públicos e outras formas de seleção.

2 I - CONJUNTOS NUMÉRICOS Números Naturais São aqueles que indicam grandezas inteiras, incluindo-se o zero. É incorreto dizer que os números naturais são os positivos. O correto é dizer que eles não têm sinal. N {0,,,,,, 6,...} Números Relativos São números que também expressam grandezas inteiras, mas são acompanhados pelo sinal positivo ou negativo. Z {..., -, -, -, -, 0,,,,,...} Números Racionais São os fracionários. Eles indicam uma razão entre dois números. Lembretes: 7 7 Q...,,...,...,,...,0,...,,... Os números inteiros relativos também fazem parte deste conjunto, pois podem ser expressos com o denominador. Entre dois números racionais, existem infinitos outros números racionais. No número, é o numerador e é o denominador. Números Decimais As frações cujos denominadores são potências de 0 (0, 00, 000, etc) são chamadas frações decimais e podem ser expressas sob a forma de números decimais. Exemplos: 0, pois , 70 7, pois , 0 Na prática, na divisão por 0, 00, 000, etc, desloca-se a vírgula para a esquerda tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador Veja os exemplos: 0, 007 (Nota: observe que 000 têm três zeros; logo, 0,007 tem três casas decimais). 0,0 00 (Nota: neste caso, pode-se desconsiderar o último zero de,0 grafando apenas,). Pode-se também fazer o inverso, isto é, transformar um número decimal em fração, colocando no denominador uma potência de dez, com tantos zeros quantas forem as casas decimais. Exemplo:,

3 II - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS - Operação com números inteiros Adição Disposição prática: +0 parcelas soma ou total Se as parcelas tiverem o mesmo sinal, somam-se os seus Valores Absolutos (valor absoluto é o número sem sinal) e repete-se o sinal. Se as parcelas tiverem sinais contrários, subtraem-se os seus valores absolutos, sendo que o resultado (a soma ou total) recebe o sinal do número de maior valor absoluto. Vejamos alguns exemplos: (7) + (-) (Note bem: o número positivo não precisa ser identificado com sinal) (-) + (-) - () + (-7) - Se tivermos várias parcelas, somamos entre si as parcelas positivas e também entre si as parcelas negativas. Depois, subtraímos os resultados. Vejamos como é simples: + (-) + (-) (-) + Vamos primeiro agrupar (-) + (-) + (-) + (-) 0 Subtração Disposição prática: 0 minuendo - 0 subtraendo 0 resto ou resultado Na subtração, trocamos o sinal do subtraendo. Observe: (+0) (+ ) 0 (+0) (- ) 0 + (-0) (+ ) -0 - (-0) (- ) Multiplicação e Divisão Disposição prática: Fatores x Fatores Produto Dividendo (D) Divisor (d) Resto (r) 6 Quociente (q)

4 Lembre-se: D d x q + r ( x 6 + ) Quanto aos sinais, a regra é simples: Multiplicação ou divisão de números com sinais iguais: resultado positivo Multiplicação ou divisão de números com sinais contrários: resultado negativo Exemplos: (- 9) x (- ) + 7 (- 9) x ( +) - 7 (- 9) : (- ) + (- 9) : ( +) - Notas A multiplicação é indicada pelos sinais (. ) ou ( x ); Antes de parênteses, costuma-se dispensar o sinal de multiplicação. Exemplo: (- ) - ; Na multiplicação entre número e letra não se coloca sinal. Exemplo: (xy); A divisão é indicada pelos sinais ( : ) ou ( / ). Este último traço ou barra indicativa de 0 fração, também pode ser grafado inclinado ( / ). Exemplos: 0 :, ou, ou 0/; Qualquer número multiplicado ou dividido por (um) é igual a ele mesmo; Qualquer número multiplicado por zero é igual a zero; Não existe divisão por zero. Sinal antes de parênteses Se antes de parênteses houver um sinal positivo, os números que estiverem entre os parênteses mantêm seus sinais, quando eliminamos os parênteses. Se o sinal antes dos parênteses for negativo, os números saem dos parênteses com sinal trocado. Exemplos: (-) + (-) (+) + (-) (-) + (-) (- + ) + ( ) ( + 7 ) - ( - ) + ( - ) ( - ) Classificação das Frações Uma fração é chamada fração própria, quando o numerador é menor que o denominador. Exemplos: /, /7, /9, /6.

5 É importante lembrar que elas indicam números menores que (uma unidade). Sempre representam uma parte da divisão da unidade. Vejamos a representação da fração /7: /7 /7 /7 /7 /7 /7 /7 /7 + /7 + /7 /7 Note que poderíamos dividir por 7, com claro resultado menor do que um. Já a fração cujo numerador é maior que o denominador é chamado de fração imprópria. É importante notar que elas representam grandezas maiores do que a unidade. Por exemplo, a fração 7/ indica que temos mais de unidades, tal como se pode ver graficamente: / + / + / + ½ 7/ Verificamos que a fração imprópria 7/ equivale a inteiros e /. Também podemos expressar o número fracionário 7/ na forma do número misto ½. Uma importante propriedade das frações é a que garante equivalência entre frações de diferentes denominadores. Podemos obter frações equivalentes dividindo ou multiplicando numerador e denominador pelo mesmo número. Quando dividimos, chamamos esse processo de simplificação de frações. Em geral, isso facilita os cálculos na resolução de problemas. Vejamos: /6 /6 Observemos a representação gráfica: Operação com Números Fracionários Adição e Subtração de frações Frações com o mesmo denominador: conserva-se o denominador e opera-se com os numeradores. Exemplo: Frações com denominadores diferentes: determinam-se as frações equivalentes de denominador comum, através do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos denominadores. Lembremos como é o processo:

6 +? 6 0 Vamos achar o MMC: MMC: alinhamos os números (, 6, 0) dos quais queremos descobrir o MMC. Ao lado da barra, colocamos o menor número primo (que só é divisível por ele mesmo e por ) e efetuamos a divisão possível. Continuamos o processo e, ao final, multiplicamos os números primos de forma a acharmos o MMC. 6 0 MMC x x 0 Agora assumimos 0 como denominador comum e achamos as frações equivalentes. Podemos aplicar a regra prática do divide pelo de baixo e multiplica pelo de cima : (0 : ). 0 (0 : 6) (0 :0) Sempre que possível, devemos simplificar o resultado, dividindo ambos os elementos da fração: 0 : 0 : Dicas Os primeiros números primos são: {,,,, 7,,, 7,,...} O único número primo par é o. Multiplicação de frações O produto é obtido multiplicando-se: numerador por numerador e denominador por denominador. Exemplo: x 6 x x6 0 0 : simplificando : : 6 Divisão de frações: O resultado é obtido multiplicando-se a primeira fração pelo inverso da segunda (invertem-se os lugares do numerador e do denominador da segunda). Veja o exemplo: : x 6

7 - Operação com Números Decimais Adição e Subtração Para somarmos ou subtrairmos números decimais, procedemos da seguinte forma: - Igualamos as casas decimais, colocando zeros ao final do número. - Lembrando que um número inteiro, o, por exemplo, pode ser escrito como número decimal:,0 ou,00 ou,000, e assim por diante. - Sempre colocando vírgula embaixo de vírgula, podemos fazer as operações. Vejamos dois exemplos: +,7 + 0,? Como o maior número de casas decimais (três) está no número 0,, todos os números deverão ter três casas decimais. Observe:,000 +,70 0,,9,? Igualando as casas decimais, adicionamos duas casas ao número.,00 -,, Multiplicação Multiplica-se normalmente, sendo o número de casas decimais do produto, igual à soma de casas decimais dos fatores. Observe:,0 x,?,0 (duas casas decimais) x, (uma casa decimal) Total: casas decimais 0+ 0,0 Divisão Inicialmente igualamos o número de casas decimais. Em seguida, dispensamos a vírgula e procedemos como na divisão de números naturais. º exemplo: 7, :,? 7, 7,0 Então: 7, :, º exemplo: 0, : 0,? Ao eliminarmos as vírgulas, teremos : 0? 7

8 Acrescentamos um zero em e colocamos uma casa decimal no quociente procedendo à divisão: Portanto 0, : 0, 0, , DICA: quando você tiver dúvida quanto ao resultado da divisão, aplique a propriedade que já vimos: D d. q + r Conferindo a divisão, temos: D 0. 0,6 + 0 Então, o resultado está correto, já que o número original colocado fora da chave de divisão era realmente. Ele se tornou 0 apenas para podermos dividi-lo por 0. III - EXPRESSÕES ARITMÉTICAS As expressões aritméticas obedecem à seguinte ordem de execução: º Resolvem-se operações contidas nos parênteses ( ) º Resolvem-se operações contidas nos colchetes [ ] º Resolvem-se operações contidas nas chaves { } Em todas as situações acima, executamos primeiramente as multiplicações e divisões, para depois efetuarmos somas e subtrações. Veja o exemplo detalhado: + 0,7 6 ( + x 0,) x0, + x Primeiro os parênteses: ( + x 0,) e, dentro deles, primeiro a multiplicação, lembrando de usar a regra da vírgula na multiplicação de números decimais. Assim, temos (+,). Depois vem a soma, e temos (,). Nem é preciso lembrar que devemos colocar uma casa decimal no número e alinhar as vírgulas para fazermos à soma. Agora, já podemos efetuar as operações que estão entre os colchetes: 0,7 (,) Como apareceu um sinal negativo antes dos parênteses, devemos trocar o sinal do número que extrairemos de lá. Ficará assim: 0,7 (,) Lembrete: Para realizar as contas acima, primeiro é necessário encontrar frações equivalentes, com o mesmo denominador.

9 Antes de outra coisa, vamos transformar os números decimais em frações com denominador que seja potência de dez: 7 0,7 (duas casas decimais > dois zeros no denominador) 00, (uma casa decimal > um zero no denominador) 0 Próximo passo > Achar o Mínimo Múltiplo Comum ou simplificar as frações. Como o denominador 00 é muito elevado, o MMC também será. Nesse caso, é aconselhável simplificar as frações (quando possível) antes de efetuar as contas: : 00 : 0 : 0 : Agora que temos: + Vamos ao MMC. ( : ). + ( : ). ( : ). + 0 MMC x Acabamos de eliminar os colchetes. Então, já podemos voltar à expressão inicial, com os novos dados, para resolver as operações entre as chaves: 6 x 0, + x 6 0, + x Devemos agora converter o decimal 0, em número fracionário e simplificá-lo. Para tanto, vamos dividir o numerador e o denominador por. Feito isso, teremos: 6 + x x x Já realizamos a soma contida nas chaves. Agora vamos efetuar primeiro a multiplicação e depois a subtração: x x x 9

10 Repassando os conhecimentos utilizados até aqui nesta expressão: Para multiplicar frações, multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador (por isso indicamos o denominador do número ) Multiplicação de números com sinais contrários resulta em sinal negativo -. (+) - Simplificamos a fração (- /) dividindo seus membros por, o que resultou em ( -/) Resta agora realizarmos a última operação: Como temos duas frações com denominadores diferentes, procuramos o MMC de e e chegamos ao número0. Aplicando a regra para reduzir as frações ao mesmo denominador, temos: (0 : ). 0 (0 : ) Finalmente, obtivemos o resultado da expressão: 0 Todo esse processo pode parecer trabalhoso, mas não é. Com o ganho de prática pela resolução de exercícios semelhantes, não será mais necessário realizar as operações com tantos detalhamentos e tudo ficará mais fácil. NOTA Dificilmente será solicitada a resolução de uma expressão numérica como esta, durante uma prova. O que de fato, pode ocorrer, até com freqüência, é que, para resolver algumas questões, seja necessária a construção de expressões aritméticas. Anotações do aluno IV - CONSTRUÇÃO DE EXPRESSÕES MATEMÁTICAS Para resolver problemas em matemática, o passo mais importante é saber identificar os dados fornecidos pelo problema. Também é indispensável verificar os elementos a que os dados se referem, se existe relação entre eles, se variam entre si, etc... Um bom método é agrupar as informações e identificá-las. Pode-se nomeá-las ou dar-lhes uma identidade provisória, utilizando as letras x, y, z, etc. O principal, sempre, é ter clareza do que é solicitado pelo problema. Dessa forma, fica mais fácil identificar e encontrar o caminho para a resposta. 0

11 Uma coisa é certa: a maior chance de se chegar ao resultado correto está na adequada construção do raciocínio, e não na resolução das operações. Existem dicas de tradução que sempre são úteis: Proposição Matematiquês de00 x 00 A quarta parte de um valor que não conheço Y O dobro da soma de duas idades.(a+b) O produto de dois números desconhecidos x.y A soma dos quadrados de dois números (x + y ) O quadrado da soma de dois números (x + y) 0% da diferença entre dois números 0.(a - b) 00 O triplo de um número x Estes são exemplos de alguns termos que podem aparecer nas provas. Devemos praticá-los. Vejamos alguns tipos de questões (ou problemas) e a forma prática de resolvê-la: ª Questão - Numa divisão, o quociente vale 90, o divisor é metade do quociente e excede o resto em. Determine o dividendo. Resolução: Já sabemos e é preciso lembrar neste exercício -, que os elementos de uma divisão: dividendo(d), divisor(d) quociente(q) e resto(r) guardam relações entre si, que podem ser expressas pela fórmula Dd.q+r Inicialmente, vamos identificar os dados que dispomos no problema colocado: q 90 d q (o divisor é a metade do quociente), então: d ½ x 90 90/ Interpretando a frase o divisor excede o resto em, temos: d r + Como já sabemos o valor do divisor, vamos utilizá-lo na expressão: r +, donde concluímos que: r ( ) 0. Falta achar (D), o dividendo, como solicitado na questão. Aplicando a regra da relação entre os termos da divisão: q 90; d ; r 0; D? D d. q + r (primeiro a multiplicação, depois a soma) D

12 Resposta: O divisor é.090 ª Questão - Uma pessoa adquiriu 6 produtos A por R$ 0, 00, produtos B por R$ 0,00 e produtos C por R$ 0,00. Outra pessoa dispõe de R$ 960,00 e quer comprar 7 produtos A e produtos B e, com o restante, produtos C. Quantas unidades ela poderá comprar do produto C? Resolução: Para saber quantas unidades ela poderá comprar, é preciso identificar todos os elementos que aparecem no problema: Quanto custa os produtos C e B Quanto ela gastou com A e B. Isto é, descobrir quanto custa cada unidade de A e de B. Os dados fornecidos podem fornecer estas informações, já que: 6 produtos A custam 0,00. Traduzindo, temos: 6A 0,00. Então, A 0,00 : 6 0,00 A 0,00 Da mesma forma, B 0,00. Logo, B 0,00 : 0,00 E como C 0,00, então C 0,00 : 70,00 Podemos agora montar a relação proposta pela questão: A pessoa tem 960,00 e gastará tudo com 7 produtos A, com produtos B e com x produtos C (um número desconhecido, a incógnita de nosso problema). Gastando tudo, restará (0,00), certo? Traduzindo, temos: 960,00 7.0,00.0,00 x.70,00 0,00 960,00 0,00 0,00 x.70,00 0,00 60,00 x.70,00 0,00 Aplicando a regra da subtração (minuendo + resto subtraendo), temos: 60,00 + 0,00 x.70,00, ou 60,00 x.70,00 Aplicando agora a regra da multiplicação (dividindo o produto por um dos fatores achamos o outro fator), temos: 60,00 : 70,00 ( o x ou a incógnita da nossa questão). Certo? Resposta: A pessoa poderá comprar unidades do produto C ª Questão - Uma pessoa pediu ao banco um empréstimo no valor de R$0.000,00. Gastou / com a mão-de-obra e / em material de construção. Com o restante pagou o projeto da obra. Qual o valor do projeto? Resolução: Podemos resolver a questão de duas formas, ambas válidas: Primeira forma: Total do empréstimo (podemos suprimir os zeros depois da vírgula enquanto calculamos, mas a resposta final deverá ser em reais e terá novamente os zeros). Como sabemos que ele gastou / do total com mão-de-obra, temos: x Ele também usou / do total com material, portanto: x 0.000

13 Como a pessoa pagou o projeto com o restante do dinheiro (o resto ), temos que calcular essa diferença: Resposta: A pessoa gastou R$.000,00 com o projeto. Segunda forma: A pessoa gastou / + / do empréstimo com dois itens. + 9 Assim ela gastou: + { mmc(e ) } Vemos que foi gasto / de UM empréstimo todo, restando uma parte p para o projeto. - Traduzindo, temos: P O valor do projeto (v) é / do total. Traduzindo, temos: V x Resposta: O valor do projeto foi RS.000,00 ª Questão - Uma pessoa paga uma dívida em anos. Outra paga a mesma dívida em anos. Se ambas resolvessem pagar a dívida em conjunto, em quanto tempo poderiam saldála? Resolução: O problema trata do tempo necessário para saldar a dívida, logo, é preciso encontrar a relação entre dívida e tempo. Pelo enunciado, podemos nos enganar, achando que devemos encontrar o valor da dívida um dado impossível de conseguir. Com os elementos disponíveis, vamos buscar os dados na relação oferecida, investigando-a. O tempo sempre aparece em alguma unidade: (dias, meses, anos, etc). A unidade informada no problema é em ano. Uma pessoa paga em, e a outra em anos. Investigando: em um ano, quanto da dívida é paga? A ª pessoa paga / em um ano. A ª pessoa paga / em um ano. + Juntas, elas pagam (em um ano): + Nota: Poderíamos avançar na resolução utilizando a regra de três, mas, como trataremos desse assunto apenas mais adiante, vamos usar outra alternativa. Sabemos que as duas pessoas pagam / da dívida por ano. Mas precisamos saber quando a dívida inteira (uma dívida) estará paga. Como a fração / tem como denominador, vamos expressar a dívida inteira com o número, em quinze avos. Chamando o tempo necessário de t, vamos traduzir para o matematiquês : No tempo t, multiplicado pela parcela anual paga, teremos quitado a dívida. Vejamos: t., então temos t t O cálculo acima indica que a dívida estará quitada em / de ano. (NOTA: Dificilmente aparece uma resposta dessa forma nas provas)

14 Teremos que converter esse resultado em unidades menores. Vamos converter em dias, lembrando que, nas operações, utilizamos o ano de 60 dias: de um ano são : 60 dias 00 Ou seja, t. x60 67 Resposta: O tempo necessário para quitar a dívida é de 67 dias. Vamos continuar praticando, mas sem consultar a resolução e as respostas, antes de esgotar todas as tentativas de resolver o problema sozinho. Problemas propostos Com indicação dos concursos em que caíram. Caso não consiga solucionar, veja a resolução mais abaixo. Problema - (TRF ª região - Técnico Judiciário 00) Cada um dos 7 funcionários de uma Repartição Pública presta serviço em um único dos seguintes setores: Administrativo (X), Processamento de Dados (Y) e Serviços Gerais (Z). Sabe-se que o número de funcionários do setor (Y) é igual a / do número dos de (Z). Se os funcionários do setor (X) são numericamente iguais a / do total de pessoas que trabalham na Repartição, então a quantidade de funcionários do setor: (A) (X) é (B) (Y) é 0 (C) (Y) é 0 (D))(Z) é 0 (E) (Z) é 0 Anotações do aluno Problema - (TRF ª região - Técnico Judiciário 00) No almoxarifado de certa empresa há 6 pacotes de papel sulfite, dispostos em prateleiras. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira correspondem a números pares sucessivos, então, dos números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é: (A) (B) (C) (D) (E) Anotações do aluno Resolução do Problema X.7 9 Y.Z O problema informa que: x + y + z 7

15 9 +. Z + Z 7 Z 0 Y.0 Y 0 Resposta: A alternativa correta é (D) Resolução do Problema Sabemos que são números pares consecutivos. Logo, são distanciados entre si de (por exemplo: 6, 6+, 6++0, etc). Vamos chamar de x o primeiro deles. Então a seqüência será: x, x +, x +, x + 6 Sabemos que a soma dos pacotes dá um total de 6. Logo: x + x + + x + + x x + 6 x 6 6 x 6 : Portanto, a seqüência é, 6,, 0. Resposta: A alternativa correta é a C. Ainda praticando, tente resolver estes problemas: Problema - (Oficial de Promotoria MP SP 00) Um funcionário de um supermercado pesou 0 pacotes de certo produto. Cada pacote deveria ter 700 gramas, mas uns tinham mais e outros menos do que 700 gramas. O funcionário anotou a diferença em cada pacote: Esses 0 pacotes pesam juntos: (A) 6.90 gramas (B) 6.9 gramas (C) 6.96 gramas (D) gramas (E) 6.9 gramas. Anotações do aluno Problema - (Escrevente Judiciário 00) Um campo de futebol está sendo totalmente reformado com um novo tipo de grama. Na primeira semana foi gramado /6 do campo e, na semana seguinte, /. Falta ainda gramar a seguinte parte do campo: (A) /6 (B) / (C)0/ (D) /0 (E) /0

16 Anotações do aluno Problema - (Técnico Previdenciário 00) Severina foi ao mercado com R$,00 para comprar kg de feijão. Lá chegando viu o cartaz - Feijão kg - R$,0; Arroz kg - R$,00; Batata kg - R$ 0,90; Mandioca kg - R$ 0,70; Tomate kg - R$ 0,90. Como os preços estavam mais baixos, Severina recebeu troco. Com esse troco ela poderia comprar: (A) 0, kg de arroz (B) 0, kg de batata (C),0 kg de batata (D),0 kg de tomate (E), de mandioca Anotações do aluno Problema - (Técnico Previdenciário 00) Seu Manoel comprou uma saca que ele pensava conter 00 kg de feijão por R$,00. Depois de empacotar o feijão em sacos de kg, Seu Manoel contou apenas sacos, ou seja, havia na saca menos feijão do que ele pensava. Na realidade, quanto Seu Manoel pagou, em reais, por kg de feijão? (A) 0, (B) 0, (C) 0, (D) 0,7 (E) 0,90 Anotações do aluno Problema - (Técnico Bancário CEF 000) Ao receber moedas como parte de um pagamento, um caixa de uma agência bancária contou t moedas de real, y de 0 centavos, z de 0 centavos e w de centavos. Ao conferir o total, percebeu que havia cometido um engano: contara das moedas de centavos como sendo de 0 centavos e das moedas de real como sendo de 0 centavos. Nessas condições, a quantia correta é igual à inicial, (A) acrescida de R$, (B) diminuída de R$, (C) acrescida de R$,6 (D) diminuída de R$,7 (E) acrescida de R$,7 Anotações do aluno 6

17 Problema 6 - (Técnico Bancário CEF 000) A figura seguinte é formada por quatro triângulos de mesmo tamanho, alguns dos quais estão subdivididos em 9 triangulozinhos de mesmo tamanho. A que fração do total corresponde a parte sombreada? (A) / (B) ½ (C) 7/9 (D) /9 (E) / Anotações do aluno Confira as Respostas: B; A; B; E; A; 6D. 7