Prof. Weber Campos Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Prof. Weber Campos Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor."

Transcrição

1 INSS/2013 Raciocínio Lógico Prof. Weber Campos 2012 Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.

2 ÍNDICE 1. LÓGICA PROPOSICIONAL 3 Proposição 3 Conectivos Lógicos 3 Ordem de Precedência dos Conectivos 5 Construção da Tabela-Verdade para uma Proposição Composta 5 Tautologia, Contradição e Contingência 6 Negação dos termos Todo, Algum e Nenhum 7 Negação de Proposições Compostas 7 Proposições Logicamente Equivalentes 8 Diagramas Lógicos Proposições Categóricas 9 Representação das Proposições Categóricas por Diagramas de Conjuntos 10 Argumento 12 Sentenças Abertas PROBLEMAS LÓGICOS Questões Resolvidas de Sequências Lógicas 16 Questões Resolvidas de Problemas Lógicos Variados 32 Questões Resolvidas de Associação Lógica 40 Questões Resolvidas de Verdades e Mentiras MATEMÁTICA BÁSICA Conjuntos 52 Porcentagem 59 Exercícios de Lógica Proposicional 64 Exercícios de Problemas Lógicos 80 Exercícios de Matemática Básica 87 GABARITO 92 PROGRAMA DE RACIOCÍNIO LÓGICO DO ÚLTIMO CONCURSO PARA ANALISTA INSS: 1. Conceitos básicos de raciocínio lógico: proposições; valores lógicos das proposições; sentenças abertas; número de linhas da tabela verdade; conectivos; proposições simples; proposições compostas. 2. Tautologia. 3. Operação com conjuntos. 4. Cálculos com porcentagens. Prof. Weber Campos 2

3 LÓGICA PROPOSICIONAL 1. PROPOSIÇÃO Denomina-se proposição a toda frase declarativa, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas: A capital do Brasil é Brasília. 2 3 > 10 Existe um número ímpar menor que dois. João foi ao cinema ou ao teatro. Não são proposições: 1) frases interrogativas: Qual é o seu nome? 2) frases exclamativas: Que linda é essa mulher! 3) frases imperativas: Estude mais. 4) frases optativas: Deus te acompanhe. 5) frases sem verbo: O caderno de Maria. 6) sentenças abertas (o valor lógico da sentença depende do valor (do nome) atribuído a variável): x é maior que 2 ; x+y = 10 ; Z é a capital do Chile. 2. CONECTIVOS LÓGICOS Conectivos (linguagem idiomática) Conectivos (Símbolo) Estrutura lógica Exemplo e Ù Conjunção: A Ù B João é ator e alagoano. ou Ú Disjunção: A Ú B Irei ao cinema ou à praia. ou... ou, mas não ambos Ú Disjunção exclusiva: A Ú B Ou Tiago é médico ou dentista, mas não ambos. se... então Condicional: A B Se chove, então faz frio. se e somente se «Bicondicional: A «B Vivo se e somente se sou feliz. # CONJUNÇÃO: A e B A B A e B V V V V F F F V F F F F # DISJUNÇÃO: A ou B A B A ou B V V V V F V F V V F F F Prof. Weber Campos 3

4 # DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: ou A ou B, mas não ambos A B A ou B V V F V F V F V V F F F # CONDICIONAL: Se A, então B A B A B V V V V F F F V V F F V As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "Se A, então B": 1) Se A, B. 5) Todo A é B. 2) B, se A. 6) A é condição suficiente para B. 3) Quando A, B. 7) B é condição necessária para A. 4) A implica B. 8) A somente se B. Exemplo: Dada a condicional Se chove, então fico molhado, são expressões equivalentes: 1) Se chove, fico molhado. 5) Toda vez que chove, fico molhado. 2) Fico molhado, se chove. 6) Chover é condição suficiente para fico molhado. 3) Quando chove, fico molhado. 7) Ficar molhado é condição necessária para chover. 4) Chover implica ficar molhado. 8) Chove somente se fico molhado. # BICONDICIONAL: A se e somente se B A B A B V V V V F F F V F F F V Uma proposição bicondicional "A se e somente se B" equivale à proposição composta: se A então B e se B então A, ou seja, A B é a mesma coisa que (A B) e (B A) Podem-se empregar também como equivalentes de "A se e somente se B" as seguintes expressões: 1) A se e só se B. 2) Se A então B e se B então A. 3) A implica B e B implica A. 4) Todo A é B e todo B é A. 5) A somente se B e B somente se A. 6) A é condição suficiente e necessária para B. 7) B é condição suficiente e necessária para A. Prof. Weber Campos 4

5 3. MODIFICADOR NÃO # NEGAÇÃO: não A A expressão não A significa a negação da proposição A. E pode ser simbolizada por ~A. Se A é a proposição Lógica é fácil, então a proposição ~A poderá ser qualquer uma das seguintes proposições: Lógica não é fácil. Não é verdade que Lógica é fácil. É falso que Lógica é fácil. Não é o caso que Lógica é fácil. Tabela-verdade de ~A: A ~A V F F V 4. VISÃO GERAL DOS CONECTIVOS A B A e B A ou B A ou B A B A B V V V V F V V V F F V V F F F V F V V V F F F F F F V V No quadro abaixo, apresentamos uma tabela muito interessante a respeito dos conectivos, mostrando as condições em que o valor lógico é verdade e em que é falso. Estrutura lógica É verdade quando É falso quando A e B A e B são, ambos, verdade pelo menos um dos dois for falso A ou B pelo menos um dos dois for verdade A e B, ambos, são falsos A ou B A e B tiverem valores lógicos diferentes A e B tiverem valores lógicos iguais A B nos demais casos A é verdade e B é falso A «B A e B tiverem valores lógicos iguais A e B tiverem valores lógicos diferentes 5. ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS CONECTIVOS 1º) ~ (Negação) 2º) Ù (Conjunção) 3º) Ú (Disjunção) 4º) (Condicional) 5º) «(Bicondicional) 6. CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE PARA UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA O número de linhas da tabela-verdade de uma sentença é igual a 2 n, onde n é o número de proposições simples (letras) que há na sentença. à Exemplo 01) ~( P Ù ~Q) número de linhas = 2 2 = 4 linhas P Q ~Q (P Ù ~Q) ~(P Ù ~Q) V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V Prof. Weber Campos 5

6 à Exemplo 02) (P Ú ~R) (Q Ù ~R ) número de linhas = 2 3 = 8 linhas P Q R ~R (P Ú ~R) (Q Ù ~R) (P Ú ~R) (Q Ù ~R) V V V F V F F V V F V V V V V F V F V F F V F F V V F F F V V F F F V F V F V V V V F F V F F F V F F F V V F F 7. TAUTOLOGIA: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições A, B, C,... será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições A, B, C,... que a compõem. Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia, construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentar verdadeiro (e nenhum falso), então estaremos diante de uma Tautologia. Só isso! Exemplo: A proposição (A Ù B) (A Ú B) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de A e de B, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: A B A Ù B A Ú B (A Ù B) (A Ú B) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V Observemos que o valor lógico da proposição composta (A Ù B) (A Ú B), que aparece na última coluna, é sempre verdadeiro. 8. CONTRADIÇÃO: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições A, B, C,... será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições A, B, C,... que a compõem. Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposição composta, se todos os resultados da última coluna forem FALSO, então estaremos diante de uma contradição. Exemplo: A proposição (A «~B) Ù (A Ù B) também é uma contradição, conforme verificaremos por meio da construção de sua da tabela-verdade. Vejamos: A B (A «~B) (A Ù B) (A «~B) Ù (A Ù B) V V F V F V F V F F F V V F F F F F F F Observemos que o valor lógico da proposição composta (A «~B) Ù (A Ù B), que aparece na última coluna de sua tabela-verdade, é sempre Falso, independentemente dos valores lógicos que A e B assumem. 9. CONTINGÊNCIA: Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma contradição. Exemplo: A proposição "A «(A Ù B)" é uma contingência, pois o seu valor lógico depende dos valores lógicos de A e B, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: Prof. Weber Campos 6

7 A B (A Ù B) A «(A Ù B) V V V V V F F F F V F V F F F V E por que essa proposição acima é uma contingência? Porque nem é uma tautologia e nem é uma contradição! 10. NEGAÇÃO DOS TERMOS TODO, NENHUM E ALGUM Proposição Negação da proposição Algum... Nenhum... Nenhum... Algum... Todo... Algum... não... Algum... não... Todo... Exemplos: 1) Negação de Algum carro é veloz é: Nenhum carro é veloz. 2) Negação de Nenhuma música é triste é: Alguma música é triste. 3) Negação de Nenhum exercício não é difícil é: Algum exercício não é difícil. 4) Negação de Toda meditação é relaxante é: Alguma meditação não é relaxante. 5) Negação de Todo político não é rico é: Algum político é rico. 6) Negação de Alguma arara não é amarela é: Toda arara é amarela. 7) Negação de Alguém ganhou o bingo é: Ninguém ganhou o bingo. 8) Negação de: Algum dia ela me amará é: Nenhum dia ela me amará, ou melhor: Nunca ela me amará. 9) Nem todo livro é ilustrado é o mesmo que: O termo nem na frente do todo significa que devemos negar a proposição todo livro é ilustrado. E para obter a negação desta proposição, basta trocar o termo TODO por ALGUM...NÃO. Teremos: Algum livro não é ilustrado. (Resposta!) 10) Não é verdade que algum gato tem sete vidas é o mesmo que: O termo não é verdade que significa que devemos negar tudo o que vem em seguida, ou seja, negar a proposição algum gato tem sete vidas. E para obter a negação desta proposição, basta trocar o termo ALGUM por NENHUM. Nenhum gato tem sete vidas. (Resposta!) 11. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Proposição Negação da Proposição (A e B) ~A ou ~B (A ou B) ~A e ~B (A B) A e ~B 1ª forma) ~(A B e B A) = (A e ~B) ou (B e ~A) (A«B) 2ª forma) A ou B (A ou B) A «B Prof. Weber Campos 7

8 12. PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são idênticos Equivalências que envolvem a Condicional: à 1ª) Se A, então B = Se não B, então não A. A à B = ~B à ~A Observando a relação simbólica acima, percebemos que a forma equivalente para AàB pode ser obtida pela seguinte regra: 1º) Trocam-se os termos da condicional de posição; 2º) Negam-se ambos os termos da condicional. à 2ª) Se A, então B = não A ou B. A à B = ~A ou B Observando a relação simbólica acima, percebemos que essa outra forma equivalente para AàB pode ser obtida pela seguinte regra: 1º) Nega-se o primeiro termo; 2º) Mantém-se o segundo termo. 3º) Troca-se o símbolo do implica pelo ou ; à 3ª) A ou B = se não A, então B A ou B = ~A à B A relação simbólica acima nos mostra que podemos transformar uma disjunção numa condicional equivalente, através da seguinte regra: 1º) Nega-se o primeiro termo; 2º) Mantém-se o segundo termo. 3º) Troca-se o ou pelo símbolo à ; Equivalência entre nenhum e todo : 1ª) Nenhum A não é B = Todo A é B Exemplo: Nenhuma arte não é bela = Toda arte é bela. 2ª) Todo A não é B = Nenhum A é B Exemplo: Todo médico não é louco = Nenhum médico é louco Equivalências Básicas: 1ª) A e A = A 2ª) A ou A = A 3ª) A «B = (A à B) e (B à A) Leis Comutativa, Associativa e Distributiva: 1ª) Lei Comutativa: A e B = B e A A ou B = B ou A A «B = B «A 2ª) Lei Associativa: (A e B) e C = A e (B e C) (A ou B) ou C = A ou (B ou C) Prof. Weber Campos 8

9 3ª) Lei Distributiva: A e (B ou C) = (A e B) ou (A e C) A ou (B e C) = (A ou B) e (A ou C) Lei da Dupla Negação: ~(~A) = A Daí, concluiremos ainda que: A não é não B = A é B Todo A não é não B = Todo A é B Algum A não é não B = Algum A é B Nenhum A não é não B = Nenhum A é B 13. REGRAS DE SIMPLIFICAÇÃO: 1. p ou p = p (Lei idempotente) 2. p e p = p (Lei idempotente) 3. p ou ~p = V (tautologia) 4. p e ~p = F (contradição) 5. p ou V = V (na disjunção, o V é quem manda) 6. p ou F = p (na disjunção, o F é elemento neutro) 7. p e V = p (na conjunção, o V é elemento neutro) 8. p e F = F (na conjunção, o F é quem manda) 9. p «p = V (tautologia) 10. p «~p = F (contradição) 11. p ou (p e q) = p (Lei da Absorção) 12. p e (p ou q) = p (Lei da Absorção) 14. PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS As proposições formadas com os termos todo, algum e nenhum são chamadas de proposições categóricas. Temos as seguintes formas: 1. Todo A é B 2. Nenhum A é B 3. Algum A é B 4. Algum A não é B 1. Todo A é B Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A está contido no conjunto B, ou seja, todo elemento de A também é elemento de B. Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A. Todo gaúcho é brasileiro ¹ Todo brasileiro é gaúcho Também, são equivalentes as expressões seguintes: Todo A é B = Qualquer A é B = Cada A é B 2. Nenhum A é B Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, A e B não tem elementos em comum. Dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A. Exemplo: Nenhum diplomata é analfabeto = Nenhum analfabeto é diplomata Prof. Weber Campos 9

10 3. Algum A é B Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B. Entretanto, no sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que alguns alunos são ricos, mesmo sabendo que todos eles são ricos. Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Exemplo: Algum médico é poeta = Algum poeta é médico Também, são equivalentes as expressões seguintes: Exemplo: Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B Algum poeta é médico = Pelo menos um poeta é médico = Existe um poeta que é médico 4. Algum A não é B Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Dizer que Algum A não é B é logicamente equivalente a dizer que Algum A é não B, e também é logicamente equivalente a dizer que Algum não B é A. Exemplo: Algum fiscal não é honesto = Algum fiscal é não honesto = Algum não honesto é fiscal Atenção: dizer que Algum A não é B não significa o mesmo que Algum B não é A. Exemplo: Algum animal não é mamífero ¹ Algum mamífero não é animal IMPORTANTE: Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é, são, está, foi, eram,..., como elo de ligação entre A e B. # REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS As proposições categóricas serão representadas por diagramas de conjuntos para a solução de diversas questões de concurso. Cada proposição categórica tem um significado em termos de conjunto, e isso é quem definirá o desenho do diagrama; e veremos adiante que uma proposição categórica pode possuir mais de um desenho. Relembremos os significados, em termos de conjunto, de cada uma das proposições categóricas: Todo A é B = todo elemento de A também é elemento de B. Nenhum A é B = A e B não tem elementos em comum. Algum A é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Algum A não é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. 1. Se a proposição Todo A é B é verdadeira, então temos duas representações possíveis: a O conjunto A dentro do conjunto B b O conjunto A é igual ao conjunto B B A = B A Prof. Weber Campos 10

11 2. Se a proposição Nenhum A é B é verdadeira, então temos somente a representação: a Não há elementos em comum entre os dois conjuntos (Não há intersecção!) A B 3. Se a proposição Algum A é B é verdadeira, temos quatro representações possíveis: a Os dois conjuntos possuem uma parte dos elementos em comum. A B b Todos os elementos de A estão em B. B A c Todos os elementos de B estão em A. d O conjunto A é igual ao conjunto B A B A = B 4. Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos três representações possíveis: a Os dois conjuntos possuem uma parte dos elementos em comum. b Todos os elementos de B estão em A. A B A B c Não há elementos em comum entre os dois conjuntos. A B Prof. Weber Campos 11

12 Exercício: (Especialista em Políticas Públicas Bahia 2004 FCC) Considerando todo livro é instrutivo como uma proposição verdadeira, é correto inferir que: Sol.: a) Nenhum livro é instrutivo é uma proposição necessariamente verdadeira. b) Algum livro é instrutivo é uma proposição necessariamente verdadeira. c) Algum livro não é instrutivo é uma proposição verdadeira ou falsa. d) Algum livro é instrutivo é uma proposição verdadeira ou falsa. e) Algum livro não é instrutivo é uma proposição necessariamente verdadeira. Temos que a proposição todo livro é instrutivo é verdadeira. Baseando-se nesta proposição, construiremos as representações dos conjuntos dos livros e das coisas instrutivas. Como vimos anteriormente há duas representações possíveis: a instrutivo b instrutivo = livro livro A opção A é descartada de pronto: nenhum livro é instrutivo implica a total dissociação entre os diagramas. E estamos com a situação inversa! A opção B é perfeitamente escorreita! Percebam que nos dois desenhos acima os conjuntos em vermelho e em azul possuem elementos em comum. Resta necessariamente perfeito que algum livro é instrutivo é uma proposição necessariamente verdadeira. Resposta: opção B. Já achamos a resposta correta, mas continuaremos a análise das outras opções. A opção C é incorreta! Pois a proposição algum livro não é instrutivo é necessariamente falsa. Isso pode ser constatado nos dois desenhos acima, vejam que não há um livro sequer que não seja instrutivo. A opção D é incorreta! Pois na análise da opção B já havíamos concluído que algum livro é instrutivo é uma proposição necessariamente verdadeira. A opção E é incorreta! Pois na análise da opção C já havíamos concluído que algum livro não é instrutivo é uma proposição necessariamente falsa. 15. ARGUMENTO Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em uma outra proposição final, que será conseqüência das primeiras! Dito de outra forma, argumento é a relação que associa um conjunto de proposições p 1, p 2,... p n, chamadas premissas do argumento, a uma proposição c, chamada de conclusão do argumento. No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser também usados os correspondentes hipótese e tese, respectivamente. # ARGUMENTO VÁLIDO: Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído), quando a sua conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas. Para testar a validade de um argumento, devemos considerar as premissas como verdadeiras, mesmo quando o conteúdo da premissa é falso. Prof. Weber Campos 12

13 # ARGUMENTO INVÁLIDO: Dizemos que um argumento é inválido também denominado ilegítimo, mal construído, falacioso ou sofisma quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. # MÉTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DOS ARGUMENTOS Na seqüência, um quadro que resume os quatro métodos, e quando se deve lançar mão de um ou de outro, em cada caso. Vejamos: Deve ser usado quando... O argumento é válido quando... 1º Método Considerar as premissas verdadeiras e verificar a validade da conclusão por meio da utilização dos Diagramas (circunferências) o argumento apresentar as palavras todo, nenhum, ou algum a partir dos diagramas verificarmos que a conclusão é uma conseqüência obrigatória das premissas. 2º Método Construção da Tabela-Verdade do argumento em qualquer caso, mas preferencialmente quando o argumento tiver no máximo duas proposições simples. nas linhas da tabela em que os valores lógicos das premissas têm valor V, os valores lógicos relativos a coluna da conclusão forem também V. 3º Método Considerar as premissas verdadeiras e verificar o valor lógico da conclusão o 1º Método não puder ser empregado, e houver uma premissa......que seja uma proposição simples; ou... que esteja na forma de uma conjunção (e). o valor encontrado para a conclusão é obrigatoriamente verdadeiro. Prof. Weber Campos 13

14 16. SENTENÇAS ABERTAS 1. Sentenças Abertas No capítulo um, comentamos sobre as sentenças abertas, que são sentenças do tipo: a) x + 3 = 10 b) x > 5 c) (x+1) 2 5 = x 2 d) x y = 20 e) Em 2004 foram registradas 800+z acidentes de trânsito em São Paulo. f) Ele é o juiz do TRT da 5ª Região. Tais sentenças não são consideradas proposições porque seu valor lógico (V ou F) depende do valor atribuído à variável (x, y, z,...). O pronome ele que aparece na última sentença acima, funciona como uma variável, a qual se pode atribuir nomes de pessoas. Há, entretanto, duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições: 1ª) atribuir valor às variáveis; 2ª) utilizar quantificadores. A primeira maneira foi mostrada no capítulo um, mas vejamos outros exemplos: Ao atribuir a x o valor 5 na sentença aberta x + 3 = 10, esta transforma-se na proposição = 10, cujo valor lógico é F. Ao atribuir a x o valor 2 na sentença aberta (x+1) 2 5 = x 2, esta transforma-se na proposição (2+1) 2 5 = 2 2, que resulta em 4 = 4, tendo, portanto, valor lógico V. A seguir, veremos a transformação de uma sentença aberta numa proposição por meio de quantificadores. 2. Quantificadores Consideremos as afirmações: a) Todo sangue é vermelho. b) Cada um dos alunos participará da excursão. c) Algum animal é selvagem. d) Pelo menos um professor não é rico. e) Existe uma pessoa que é poliglota. f) Nenhum crime é perfeito. Expressões como todo, cada um, "algum", "pelo menos um", existe, nenhum são quantificadores. Há fundamentalmente dois tipos de quantificadores: Universal e Existencial O Quantificador Universal seja. O quantificador universal é indicado pelo símbolo " que se lê: para todo, para cada, qualquer que Veremos agora exemplos de transformações de sentenças abertas em proposições: 1) ("x)(xîn)(x + 3 = 10) O símbolo " é o quantificador universal, x é a variável, N é o conjunto dos números naturais e x + 3 = 10 é a sentença aberta. (É freqüente em questões de concurso a sentença aberta ser chamada de predicado ou propriedade.) A proposição ("x)(xîn)(x 2 = 4) se lê da seguinte maneira: Para todo elemento x do conjunto dos números naturais, temos que x + 3 = 10. Qual o valor lógico dessa proposição? É claro que é Falso, pois se fizermos, por exemplo, o x igual ao número natural 1, teremos = 10 (resultado falso!). 2) ("x)(xîz)(x 2 ³ x) O símbolo " é o quantificador universal, x é a variável, Z é o conjunto dos números inteiros e x 2 ³ x é a sentença aberta. Prof. Weber Campos 14

15 A proposição ("x)(xîz)(x 2 ³ x) se lê da seguinte maneira: Para todo elemento x do conjunto dos números inteiros, temos que x 2 ³ x. Qual o valor lógico dessa proposição? Os números inteiros são {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}. Se substituirmos qualquer um desses números na sentença x 2 ³ x, o resultado será sempre verdadeiro. Portanto, o valor lógico da proposição é Verdade. Se mudássemos do conjunto dos inteiros (Z) para o conjunto dos números racionais (Q), a proposição ("x)(xîq)(x 2 ³ x) tornar-se-ia Falsa. Pois, se substituirmos x por 1/2, teremos (1/2) 2 ³ 1/2, que resulta em 1/4 ³ 1/2 (resultado falso!). Podemos simplificar a notação simbólica das proposições, conforme mostrado abaixo: ("x)(xîn)(x + 3 = 10) pode ser escrita como ("x Î N)(x + 3 = 10); ("x)(xîz)(x 2 ³ x) pode ser escrita como ("x Î Z)(x 2 ³ x) O Quantificador Existencial O quantificador existencial é indicado pelo símbolo $ que se lê: existe pelo menos um, existe um, existe, para algum. Passemos a exemplos de transformações de sentenças abertas em proposições usando o quantificador existencial: 1) ($x)(xîn)(x 2 = 4) O símbolo $ é o quantificador existencial, x é a variável, N é o conjunto dos números naturais e x 2 = 4 é a sentença aberta. A proposição ($x)(xîn)(x 2 = 4) se lê da seguinte maneira: Existe pelo menos um x pertencente ao conjunto dos números naturais tal que x 2 = 4. Qual o valor lógico dessa proposição? Ao resolver a equação x 2 = 4, encontramos como raízes os valores 2 e -2, sendo apenas o primeiro um número natural. Como existe uma raiz que é um número natural, então a proposição tem valor lógico Verdade. 2) ($y)(yîr)(y + 1 = y + 2) O símbolo $ é o quantificador existencial, y é a variável, R é o conjunto dos números reais e y + 1 = y + 2 é a sentença aberta. A proposição ($y)(yîr)(y + 1 = y + 2) se lê da seguinte maneira: Existe pelo menos um y pertencente ao conjunto dos números reais tal que y + 1 = y + 2. Podemos simplificar a sentença y + 1 = y + 2, cortando o y de cada lado da igualdade, resultando em 1 = 2. Não há y que dê jeito de fazer 1 igual a 2, portanto a proposição é Falsa. Há outro quantificador que deriva do quantificador existencial, ele é chamado de quantificador existencial de unicidade, simbolizado por $ que se lê: existe um único, existe um e um só. Exemplos: 1) ($ x)(x Î N)(x + 5 = 7) que se lê: "existe um único número x pertencente ao conjunto dos números naturais tal que x + 5 = 7". Realmente, só existe o número 2 que satisfaz essa sentença, daí a proposição tem valor lógico Verdade. Da mesma forma que o quantificador universal, também podemos simplificar a representação simbólica das proposições com quantificador existencial, por exemplo: ($x)(xîz)(x 3 = 5x 2 ) pode ser escrita como ($x Î N)(x 3 = 5x 2 ); ($ x)(x Î N)(x + 5 = 7) pode ser escrita como ($ x Î N)(x + 5 = 7). Prof. Weber Campos 15

16 PROBLEMAS LÓGICOS QUESTÕES RESOLVIDAS DE SEQUÊNCIAS LÓGICAS 01. Determinar em cada seqüência abaixo o número que deve substituir o ponto de interrogação. a) (3, 5, 7, 9,?) > 5 ---> 7 ---> 9 ---> 11 b) (4, 4, 7, 13, 22,?) > 4 ---> 7 ---> > > 34 c) (2, 5, 7, 10, 12, 15,?) > 5 ---> 7 ---> > > > 17 d) (2, 5, 7, 11, 14, 19,?) > 5 ---> 7 ---> > > > 23 e) (41, 34, 26, 17,?) > > > > 7 f) (2, 5, 4, 9, 6, 13,?) > 5 ---> 4 ---> 9 ---> 6 ---> > 8 ou , 5, 4, 9, 6, 13, g) (3, 3, 6, 18,?) x1 x2 x3 x > 3 ---> 6 ---> > 72 h) (5, 15, 12, 36,?) x3-3 x > > > > 33 i) (2, 3, 4, 5, 8, 7,?,?) , 3, 4, 5, 8, 7, 16, 9 x2 x2 x2 j) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,?) Com exceção dos dois primeiros números, observe que cada número é resultado da soma dos dois anteriores. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 k) (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,?) Esta é uma seqüência de números primos, então o próximo é o 19. Prof. Weber Campos 16

17 02. (TRF 1ª Região Técnico Jud 2006 FCC) Assinale a alternativa que completa a série seguinte: 9, 16, 25, 36,... (A) 45 (B) 49 (C) 61 (D) 63 (E) ? Assim, o número que virá após o 36 é o 49 (= 36+13). Resposta: Alternativa B. 03. (CEAL ALAGOAS FCC) Os termos da seqüência (77,74,37,34,17,14,...) são obtidos sucessivamente através de uma lei de formação. A soma do sétimo e oitavo termos dessa seqüência. obtidos segundo essa lei é (A) 21 (C) 16 (E) 11 (B) 19 (D) > > > > > > ---> 7 4 Portanto, a soma do sétimo e oitavo termos é igual a 11 (=7+4). Resposta: Alternativa E. 04. (TRT -Técnico Judiciário - MS 2006 FCC) Considere a seqüência: (16, 18, 9, 12, 4, 8, 2, X) Se os termos dessa seqüência obedecem a uma lei de formação, o termo X deve ser igual a (A) 12 (C) 9 (E) 5 (B) 10 (D) > > 9 ---> > 4 ---> 8 ---> 2 ---> 7 Logo, o numero a ser colocado no lugar do X é o 7 (=2+5). Resposta: Alternativa D. 05. (TCE MG 2007 FCC) Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma lei de formação. (0, 1, 3, 4, 12, 13,...) Segundo essa lei, o décimo terceiro termo dessa seqüência é um número (A) menor que 200. (B) compreendido entre 200 e 400. (C) compreendido entre 500 e 700. (D) compreendido entre 700 e (E) maior que x3 x3 x3 x3 x3 x Portanto, o 13º termo da seqüência é o Resposta: Alternativa E. Prof. Weber Campos 17

18 06. (TCE/PB Agente-2006-FCC) Considere que os números que compõem a seqüência seguinte obedecem a uma lei de formação. (414, 412, 206, 204, 102, 100,...) A soma do nono e décimo termos dessa seqüência é igual a (A) 98 (C) 58 (E) 38 (B) 72 (D) A soma do nono e décimo termos dessa seqüência é, então, igual a 46 (=24+22). Resposta: Alternativa D. 07. (TRT-PE Técnico 2006 FCC) Os termos da seqüência (2, 5, 8, 4, 8, 12, 6, 11, 16,...) são obtidos através de uma lei de formação. A soma do décimo e do décimo segundo termos dessa seqüência, obtidos segundo essa lei, é (A) 28 (C) 26 (D) 25 (B) 27 (D) 25 2, 5, 8, 4, 8, 12, 6, 11, 16, 8, 14, 20 O décimo termo é o 8, e o décimo segundo termo é o 20. Logo, a soma procurada é 28 (= 20+8). Resposta: Alternativa A. 08. (TJ/PE Tec Jud 2007 FCC) Assinale a alternativa que substitui corretamente a interrogação na seguinte seqüência numérica: 6 11? 27 (A) 15 (C) 18 (E) 17 (B) 13 (D) A seqüência 5, 7, 9 forma sim uma seqüência lógica! Uma vez que a diferença entre os números da seqüência é constante (no caso, igual a 2). Portanto, o número que substitui a interrogação da seqüência do enunciado é o 18. Resposta: Alternativa C (TJ-PE Anal Jud 2007 FCC) Assinale a alternativa que substitui corretamente a interrogação na seguinte seqüência numérica: ? (A) 56 (C) 91 (E) 168 (B) 68 (D) ? Prof. Weber Campos 18

19 E qual é o próximo da seqüência de números em preto? Um número em preto pode ser obtido a partir da soma do número preto anterior com o número azul que está entre eles. Assim, o número que virá após o 60 é o 168 (= ). Resposta: Alternativa E. 10. (TRT-PE Auxiliar 2006 FCC) Os números no interior do círculo representado na figura abaixo foram colocados a partir do número 2 e no sentido horário, obedecendo a um determinado critério. Segundo o critério estabelecido, o número que deverá substituir o ponto de interrogação é (A) 42 (B) 44 (C) 46 (D) 50 (E) 52 2, 6, 12, 20, 30,? E qual é o próximo da seqüência de números em preto? Os números em azul foram obtidos da diferença entre os números em preto, daí o próximo número em preto é igual a 42 (=30+12). Resposta: Alternativa A. 11. (TCE-SP 2005 FCC) Os números no interior dos setores do círculo abaixo foram marcados sucessivamente, no sentido horário, obedecendo a uma lei de formação. Segundo essa lei, o número que deve substituir o ponto de interrogação é (A) 210 (B) 206 (C) 200 (D) 196 (E) 188 0, 6, 24, 60, 120,? Qual é o próximo da seqüência original (números pretos)? Os números em azul foram obtidos da diferença entre os números em preto, daí o próximo número preto é igual a 210 (=120+90). Pronto! O número procurado é 210! (Resposta: Alternativa A!) Resposta: Alternativa E. Prof. Weber Campos 19

20 12. (TRT Técnico Judiciário MS 2006 FCC) Considere que, no interior do círculo abaixo os números foram colocados, sucessivamente e no sentido horário, obedecendo a um determinado critério. Se o primeiro número colocado foi o 7, o número a ser colocado no lugar do ponto de interrogação está compreendido entre (A) 50 e 60. (B) 60 e 70. (C) 70 e 80. (D) 80 e 90. (E) 90 e 100. x2-2 x2-2 x2-2 x > > > > > > > 84 Logo, o numero a ser colocado no lugar da interrogação é o 84 (=42x2). Resposta: Alternativa D. 13. (TCE/PB Agente-2006-FCC) Estabelecido um certo padrão de formação, foram obtidos os termos da seguinte seqüência numérica: 43,2 44,4 45,6 46,8 47,0 48,2 49,4 50,6... A soma do nono e décimo termos da seqüência assim obtida é (A) 103,8 (B) 103,6 (C) 103,4 (D) 102,6 (E) 102,4 43,2 44,4 45,6 46,8 47,0 48,2 49,4 50,6 51,8 52, A soma do nono e décimo termos da seqüência é, então, igual a 103,8 (=51,8+52,0). Resposta: Alternativa A. 14. (TCE-SP 2005 FCC) Considere as sentenças seguintes: = = 34 7 : 1 = 1 26 : 2 = 5 Obviamente as quatro sentenças são falsas! Entretanto, uma mesma alteração feita em cada um dos doze números que nelas aparecem pode torná-las verdadeiras. Feita essa alteração e mantidas as operações originais, então, entre os resultados que aparecerão no segundo membro de cada igualdade, o menor será (A) 2 (B)3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 Testando: Somemos o valor 2 a cada uma das sentenças: à primeira sentença: = = 8 (certo!) à segunda sentença: = x 6 = 36 (certo!) à terceira sentença: 7+2 : 1+2 = : 3 = 3 (certo!) à quarta sentença: 26+2 : 2+2 = : 4 = 7 (certo!) Prof. Weber Campos 20

21 O teste foi válido! Portanto, é o valor 2 que se deve somar a todos os doze números das sentenças para torná-las verdadeiras. A questão pede qual é o menor número que aparece no segundo membro das sentenças, após feita a tal alteração. Observando as quatro sentenças, verifica-se que o menor valor que aparece no segundo membro das sentenças é o 3 (segundo membro da terceira sentença). Resposta: Alternativa B. 15. (Analista BACEN 2005 FCC) Na seqüência seguinte o número que aparece entre parênteses é obtido segundo uma lei de formação. 63(21)9; 186(18)31; 85(? )17 O número que está faltando é (A)15 (B) 17 (C) 19 (D) 23 (E) 25 63(21)9; 186(18)31; 85(? )17 x3 x3 x3 63 = = 6 85 = Logo, o número que substitui o ponto de interrogação é obtido multiplicando-se o 5 pelo número 3, que resulta no valor 15. Resposta: Alternativa A. 16. (TCE/PB Assistente-2006-FCC) Para formar a seguinte seqüência de pedras de dominó, considere que elas foram dispostas sucessivamente e da esquerda para a direita, seguindo um determinado critério. Segundo esse critério, a pedra que deve corresponder àquela que tem os pontos de interrogação é (A) (B) (C) (D) (E) Trata-se de uma questão de seqüência de dominós. Para resolver esse tipo de questão adotaremos um método apresentado a seguir. Dividiremos a seqüência das pedras de dominó em duas novas seqüências, transformando os pontos em números para facilitar a visualização da lógica da sequência. 1ª sequência) Formada pelos números da parte superior das pedras de dominó: ? 2ª sequência) Formada pelos números da parte inferior das pedras de dominó: ? Primeiramente, vamos analisar a seqüência dos números da parte superior das pedras de dominó. Façamos o seguinte: vamos escrever uma seqüência de números consecutivos de dominó (variando de 0 a 6), iniciando pelo primeiro número que aparece na seqüência analisada: no caso, o número Prof. Weber Campos 21

22 Agora, marcaremos em azul os números da seqüência da parte superior das pedras de dominó que aparecem na seqüência de números consecutivos acima. Teremos: Feito isso, já temos condições de descobrir a lógica da seqüência. Observe na seqüência acima, que entre dois números azuis existem sempre quatro números. Portanto, para descobrir o próximo número azul após o 5 basta pularmos quatro números Pronto! O número 3 corresponde ao ponto de interrogação. Para este resultado só temos duas opções corretas possíveis: A ou C. Faremos o mesmo procedimento para encontrar o número que substitui o ponto de interrogação da parte inferior da última peça de dominó. Novamente, escrevermos uma seqüência de números consecutivos de dominó, iniciando pelo primeiro número que aparece na seqüência analisada: no caso, o número Agora, marcaremos em azul os números da seqüência da parte inferior das pedras de dominó que aparecem na seqüência de números consecutivos acima. Teremos: Observe na seqüência acima, que entre dois números azuis existem sempre cinco números. Portanto, para descobrir o próximo número azul após o 6 basta pularmos cinco números Pronto! O número 5 corresponde ao ponto de interrogação da parte inferior da última peça de dominó. Portanto, a última pedra da seqüência é: 3 5 Resposta: Alternativa A. 17. (BACEN 94 FCC) Complete a série: B D G L Q... a) R b) T c) V d) X e) Z B, c, D, e, f, G, h, i, j, L, m, n, o, p, Q, r, s, t, u, v, X Resposta: Alternativa D. 18. (Perito/Delegado PC/MA 2006 FCC) Usando o alfabeto com 26 letras, considere a seguinte seqüência, formada a partir de certo critério: A, D, C, H, G, N, M. De acordo com esse critério, o próximo elemento dessa seqüência é a letra (A) T (B) U (C) X (D) W (E) V A ---> D ---> C ---> H > G ---> N ---> M --->? Portanto, para chegar a próxima letra da seqüência, devemos somar 9 letras a partir da letra N (primeira letra no alfabeto após a letra M). Vamos contar: NàOàPàQàRàSàTàUàV. Encontramos a letra V! Resposta: Alternativa E. Prof. Weber Campos 22

23 19. (CEAL ALAGOAS FCC) Na figura abaixo se tem um triângulo composto por algumas letras do alfabeto e por alguns espaços vazios, nos quais algumas letras deixaram de ser colocadas. Considerando que a ordem alfabética adotada exclui as letras K, W e Y, então, se as letras foram dispostas obedecendo a determinado critério, a letra que deveria estar no lugar do ponto de interrogação é (A) H (C) J (E) Z (B) L (D) U J O I L Resposta: Alternativa B. 20. (FCC 2004) Atente para os vocábulos que formam a sucessão lógica, escolhendo a alternativa que substitui X" corretamente: LEIS, TEATRO, POIS, X". (A) Camarão. (D) Zeugma. (B) Casa. (E) Eclipse. (C) Homero. Observe que a 1ª palavra termina em is, a 2ª palavra termina em ro e a 3ª palavra termina em is. Assim, espera-se que a quarta palavra termine em ro. Apenas a palavra Homero termina em ro! Portanto, a resposta é a alternativa C! Na solução desta questão, apontamos uma justificativa para que "Homero" completasse a seqüência. Daremos, ainda, outro motivo. Na seqüência de palavras abaixo, observe as letras destacadas na cor azul. LEIS TEATRO POIS A sequência formada pelas letras destacadas em azul lembra que sequência conhecida por todos nós? Elas lembram a seqüência de números pares, só que em ordem decrescente. Veja: SEIS QUATRO DOIS ZERO Entre as opções de resposta, apenas a palavra HOMERO termina em ERO, logo essa é a palavra que completa a seqüência do enunciado. Não é brincadeira não, é isso mesmo! Veremos outras questões com esse padrão lógico. 21. (IPEA 2004 FCC) A sucessão seguinte de palavras obedece a uma ordem lógica. Escolha a alternativa que substitui "X" corretamente: RÃ, LUÍS, MEIO, PARABELO, "X". (A) Calçado. (D) Sibipiruna. (B) Pente. (E) Soteropolitano. (C) Lógica. Prof. Weber Campos 23

24 Temos que encontrar a quinta palavra que completa a seqüência a seguir: RÃ LUÍS MEIO PARABELO? Observe que na 1ª palavra há 1 vogal; na 2ª palavra, 2 vogais; na 3ª palavra, 3 vogais; e na 4ª palavra, 4 vogais. Espera-se que na quinta palavra haja 5 vogais! Há quantas palavras que possuem 5 vogais? Apenas a palavra Sibipiruna possui 5 vogais! Portanto, a resposta é a alternativa D! 22. (ANPAD 2004) Analise a seguinte seqüência de palavras: primata, segmento, terminar, qualidade, quilombo, sexualidade, setembro,... Das alternativas abaixo, a palavra que mantém uma seqüência lógica é a) noventa d) gêmeo b) homem e) oitiva c) sentimento Observe as letras em azul de cada palavra na seqüência abaixo: primata, segmento, terminar, qualidade, quilombo, sexualidade, setembro A sequência formada pelas letras destacadas em azul lembra alguma seqüência lógica? As letras em azul lembram a seqüência de números ordinais: primeiro, segundo, terceiro, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo,... Portanto, a palavra que completa a seqüência está na alternativa E: oitiva. Resposta: Alternativa E. 23. (TJ-PE Anal Jud 2007 FCC) Assinale a alternativa que completa a série seguinte: J J A S O N D? (A) J (B) L (C) M (D) N (E) O Vamos verificar se a sequência de letras trazida no enunciado lembra alguma das sequências abaixo: a) dias da semana (domingo, segunda, terça,..., sábado); b) meses do ano (janeiro, fevereiro,..., dezembro); c) estações do ano (verão, outono, inverno, primavera); d) números naturais (um, dois, três,...); e) números pares (dois, quatro, seis,...); f) números ímpares (um, três, cinco,...); g) números ordinais (primeiro, segundo, terceiro,...). As letras (J J A S O N D) lembram que sequência acima? Podemos estabelecer a seguinte associação: J: Junho J: Julho A: Agosto S: Setembro O: Outubro N: Novembro D: Dezembro Pronto! Já descobrimos que as letras dadas se referem aos meses do ano. Portanto, depois da letra D (de Dezembro) virá a letra J (de Janeiro), porque após o último mês do ano a seqüência é reiniciada para o primeiro mês do ano. Resposta: Alternativa A. 24. A sucessão de palavras seguinte obedece a uma ordem lógica: BRIM, RUIM, FEIO, BOIOU, X. A palavra que substitui corretamente o X é a) BARCO b) AFUNDOU c) AFOGANDO d) FAMÍLIA e) PIAUIENSE Prof. Weber Campos 24

25 Vamos iniciar a análise pela observação das vogais. Observe que: - BRIM tem 1 vogal; - RUIM tem 2 vogais; - FEIO tem 3 vogais; - BOIOU tem 4 vogais. É de se esperar que a palavra que completa a sucessão tenha 5 vogais. Contudo, não há palavra entre as opções de resposta que possua 5 vogais. Mas observe que as vogais das palavras da sucessão aparecem todas juntas. Assim, podemos também concluir o que se segue: - BRIM tem 1 vogal; - RUIM tem 2 vogais juntas; - FEIO tem 3 vogais juntas; - BOIOU tem 4 vogais juntas. Nas opções de resposta, a palavra PIAUIENSE possui 5 vogais juntas, portanto é essa palavra que completa a sucessão. Resposta: Alternativa E. 25. Atente para os vocábulos que formam a sucessão lógica: BOLERO, DEPOIS, TEATRO, DEVEIS, COITO, X. A palavra que substitui corretamente o X é a) PÉS b) MÃOS c) COSTAS d) BRAÇO e) TRONCO Destacarei na cor azul algumas letras das palavras da sucessão lógica: BOLERO, DEPOIS, TEATRO, DEVEIS, COITO,... Observe que BOLERO lembra a palavra ZERO, DEPOIS lembra a palavra DOIS, TEATRO lembra a palavra QUATRO, DEVEIS lembra a palavra SEIS e COITO lembra a palavra OITO. Portanto, a sucessão lógica de palavras é definida pela sequência de números pares. Assim, a próxima palavra deve lembrar a palavra DEZ. Dentre as opções de resposta, a palavra PÉS lembra, foneticamente, a palavra DEZ. A resposta é a alternativa A. 26. A sucessão de palavras seguinte foi escrita obedecendo certa lógica: PRINCIPALMENTE, VERÁS, OUTROS, X. A palavra que substitui corretamente o X é a) CATALOGAR b) DIAS c) FILMAGEM d) INVÁLIDO e) GUERRA Assim como na solução anterior, destacarei algumas letras das palavras a fim de identificar qual é o padrão lógico da sucessão. Teremos: PRINCIPALMENTE, VERÁS, OUTROS,... A palavra PRINCIPALMENTE lembra a palavra PRIMAVERA, VERÁS lembra a palavra VERÃO e OUTROS lembra a palavra OUTONO. É claro e evidente que a próxima palavra deve lembrar a palavra INVERNO, a fim de completar as estações do ano. Dentre as opções de resposta, a palavra INVÁLIDO é a única que lembra a palavra INVERNO. A resposta é a alternativa D. 27. Seja a sucessão de vocábulos formados todos com cinco letras: ARARA, PRETA, ATIVA, ADOTA, X A palavra que substitui corretamente o X é a) PAVÃO c) GANSO e) URUBU b) CISNE d) CORVO Destacarei a vogal que está no centro de cada palavra da sucessão: ARARA, PRETA, ATIVA, ADOTA,... Captou a ideia? Prof. Weber Campos 25

26 Para manter o mesmo padrão lógico, a próxima palavra da sucessão tem que apresentar a vogal U no centro da palavra. Dentre as opções de resposta, a única que atende a esse requisito é a palavra URUBU. Resposta: alternativa E. 28. Uma propriedade comum reúne a seguinte sucessão de palavras: DEFEITO, ESTUDANTE, ABCISSA, INOPITAR, X A palavra que substitui corretamente o X é a) ANZOL c) PRENDERA e) SEMPRE b) EMPRESTADO d) TUVIRA Assim como na solução anterior, destacarei algumas letras das palavras a fim de identificar qual é o padrão lógico da sucessão: DEFEITO, ESTUDANTE, ABCISSA, INOPITAR,... Observe que cada palavra apresenta três letras consecutivas do alfabeto. Nas opções de resposta, a única que apresenta essa característica é a palavra TUVIRA. Resposta: alternativa D. 29. Uma propriedade comum forma a sucessão de palavras seguinte: MANUELINO, EUROVIA, PAUPERISMO, AGUEIRO, X. A palavra que substitui corretamente o X é a) AGRICULTOR c) SOMENTE e) MEDICINAL b) REFLORESTOU d) EUCALIPTO Observe que as vogais A, E, I, O e U estão presentes em todas as quatro primeiras palavras da sucessão. Nas opções de resposta, a única palavra que possui essa propriedade é a palavra EUCALIPTO. Resposta: alternativa D. 30. A sucessão de palavras a seguir obedece a uma ordem lógica: HINO, AMOR, ACENOU, AGIL, BEIJO, X. A palavra que substitui corretamente o X é a) FINO c) ANUNCIA e) COMPLETO b) BEATO d) TRAJE Quem sabe a ordem alfabética das letras acertou essa. (Desde que tenha lembrado de verificar a ordem das letras, e isso não é trivial. Não é verdade? Mas é treinando que se aprende.) Observe que as letras aparecem na ordem alfabética em todas as palavras da sucessão. Nas opções de resposta, a única palavra que possui essa propriedade é a palavra FINO. Resposta: alternativa A. 31. A sucessão de palavras a seguir obedece a uma ordem lógica: UMBIGO, TREVO, CINTO, SETA, NOVENA, X. A palavra que substitui corretamente o X é a) MALUCO c) SOBRINHO e) ONÇA b) GUADALUPE d) FESTA Primeiramente, destacarei algumas letras das palavras da sucessão: UMBIGO, TREVO, CINTO, SETA, NOVENA... Observe as letras iniciais destacadas de cada palavra. Elas lembram a sequência de números ímpares: um, três, cinco, sete, nove... Portanto, para prosseguir com a sequência de números ímpares, a próxima palavra da sucessão deve lembrar a palavra ONZE. Dentre as opções de resposta, a única palavra que possui essa característica é a palavra ONÇA. Logo, a resposta é a alternativa E. Prof. Weber Campos 26

27 32. A sucessão de palavras a seguir obedece a uma ordem lógica: HAVENDO, PESSOAL, PARANINFO, VASSOURA, PASSARÃO, RAPADURA, X. A palavra que substitui corretamente o X é a) SOCORRO c) SERGIPANO e) SERTANEJO b) MELANCIA d) RAPAZIADA Observe a vogal A presente nas palavras da sucessão. Nas duas primeiras palavras a vogal A aparece uma vez, nas duas palavras seguintes a vogal A aparece duas vezes e nas próximas duas palavras a vogal A aparece três vezes. De acordo com essa lógica, a palavra que substitui corretamente o X deve possuir quatro vogais A. Nas opções de resposta, a única palavra que possui essa propriedade é a palavra RAPAZIADA. Resposta: alternativa D. 33. A sucessão de palavras a seguir obedece a uma determinada lógica: CADA, DORMENTE, EVOLUÇÃO, FAQUEIRO, GAMBÁ, X. A palavra que substitui corretamente o X é a) DESISTO c) HOTEL e) SOPRANO b) SAMAMBAIA d) LIMA A letra inicial das palavras da sucessão formam uma sequência ordenada de letras do alfabeto: C, D, E, F, G. Para manter esse padrão lógico é necessário que a próxima palavra inicie pela letra H. Dentre as opções de resposta, apenas a palavra HOTEL inicia por H. Portanto, a resposta é a alternativa C. 34. A sucessão de palavras a seguir obedece a certa lógica: MATAM, ARARA, ANA, ANILINA, OSSO, X. A palavra que substitui corretamente o X é a) CALMA c) ATALAIA e) RADAR b) MASSAGEM d) ARRAIA Essa tá fácil! Veja que ao inverter as posições das letras de cada palavra da sucessão não haverá alteração na palavra. A opção de resposta RADAR tem essa mesma característica. Desse modo, a resposta é a alternativa E. 35. (TCE/PB Agente-2006-FCC) Para resolver esta questão, observe o exemplo seguinte, em que são dadas as palavras: TIGRE CAVALO CACHORRO ORQUÍDEA GATO Quatro dessas cinco palavras têm uma relação entre si, pertencem a uma mesma classe, enquanto que a outra é diferente: uma é nome de flor (orquídea) e outras são nomes de animais. Considere agora as palavras: AVÔ TIO SOGRO FILHO SOBRINHO Dessas cinco palavras, a única que não pertence à mesma classe das outras é (A) AVÔ. (C) SOGRO. (E) SOBRINHO. (B) TIO. (D) FILHO. O avô, o tio, o filho e o sobrinho são parentes consangüíneos, e o sogro não. Resposta: Alternativa C. Prof. Weber Campos 27

28 36. (TCE-SP 2005 FCC) Das cinco palavras seguintes, quatro estão ligadas por uma relação, ou seja, pertencem a uma mesma classe. MANIFESTO - LEI - DECRETO - CONSTITUIÇÃO REGULAMENTO A palavra que NÃO pertence à mesma classe das demais é (A) REGULAMENTO (C) DECRETO (E) MANIFESTO (B) LEI (D) CONSTITUIÇÃO A solução dessa questão envolve conhecimentos jurídicos. Das palavras trazidas nas alternativas, a única que representa uma ação que é movida pelo povo é o MANIFESTO. Logo, esta é a palavra que NÃO pertence à mesma classe das demais. Resposta: Alternativa E. 37. (TRT - Técnico Judiciário - MS 2006 FCC) Observe que há uma relação entre as duas primeiras figuras representadas na seqüência abaixo. A mesma relação deve existir entre a terceira figura e a quarta, que está faltando. Essa quarta figura é Por primeiro, temos que descobrir qual a relação existente entre as duas primeiras figuras. Observe que a primeira figura é um círculo branco com três quadradinhos sombreados ao redor. A segunda figura apresenta a mesma forma da primeira, só que com inversão na pintura (círculo sombreado e quadradinhos brancos) e um giro no sentido horário de 90º. Essa mesma relação que se observa entre as duas primeiras figuras, deverá existir entre a terceira e a quarta figura. Dessa forma, invertendo a pintura da terceira figura e girando ela de 90º, obteremos a quarta figura, conforme mostrado abaixo: invertendo girando a pintura 3ª figura 4ª figura Resposta: Alternativa E. 38. (TCE-SP 2005 FCC) Observe que a seqüência de figuras seguinte está incompleta. A figura que está faltando, à direita, deve ter com aquela que a antecede, a mesma relação que a segunda tem com a primeira. Assim, (A) (B) (C) (D) (E) A solução desta questão é semelhante a da anterior. Prof. Weber Campos 28

29 Da primeira figura para a segunda figura observa-se apenas a inversão da pintura: onde era preto agora é branco, e onde era branco agora é preto. Essa mesma inversão de pintura deve ser feita da terceira figura para a quarta figura. Vejamos: invertendo a pintura Resposta: Alternativa C. 3ª figura 4ª figura 39. (TJ/PE Tec Jud 2007 FCC) Considere a seqüência de figuras abaixo. A figura que substitui corretamente a interrogação é: (A) (B) (C) (D) (E) Observando a seqüência de figuras do enunciado, verificamos que todos os retângulos apresentam-se divididos em duas partes, e estas estão pintadas em cinza, branco ou tracejado. Nas três primeiras figuras, observe que a primeira parte do retângulo vai modificando a cor (cinza, branco e tracejado). Essa mudança de cor ocorre também na segunda parte do retângulo (branco, tracejado e cinza). Da mesma forma, nas três figuras seguintes ocorre também a mudança de cores nas duas partes. Logo, espera-se que as últimas três figuras também tenham variação de cor em ambas as partes. Seguindo esse padrão, na terceira linha de figuras, a 1ª parte do retângulo que substitui a interrogação será cinza, pois na primeira figura foi branco e na segunda figura foi tracejado. E a 2ª parte do retângulo que substitui a interrogação será branca, pois na primeira figura foi tracejado e na segunda figura foi cinza. Resposta: Alternativa A. Prof. Weber Campos 29

30 40. (TJ-PE Anal Jud 2007 FCC) Considere a seqüência de figuras abaixo. A figura que substitui corretamente a interrogação é: (A) (B) (C) (D) (E) Mostraremos que as duas primeiras figuras de cada linha formam a terceira figura. De que modo? A terceira figura, de cada linha, é formada pela união das duas primeiras figuras, retirando os elementos (círculo, cruz,...) que são comuns. Vejamos: Na primeira linha, o círculo aparece nas duas primeiras figuras. Logo, unindo as duas primeiras figuras e retirando o que é em comum, obteremos o desenho de uma cruz. Na segunda linha, a cruz aparece nas duas primeiras figuras. Então, unindo as duas primeiras figuras e retirando o que é em comum, obteremos o desenho do losângo. Na terceira linha, não há nada em comum às duas primeiras figuras. Então, unindo as duas primeiras figuras, obteremos o seguinte desenho: Resposta: Alternativa B. 41. (TRF 4ª Região Analista Judiciário 2007 FCC) Em cada linha do quadro abaixo as três figuras foram desenhadas de acordo com determinado padrão. Segundo esse mesmo padrão, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é (A) (B) (C) (D) (E) Prof. Weber Campos 30

31 A solução desta questão é bem similar a que fizemos na questão anterior. Mostraremos que as duas primeiras figuras, de cada linha, formam a terceira figura. De que modo? A terceira figura, de cada linha, é formada pela união das duas primeiras figuras, retirando os elementos que são comuns, mas mantendo-se, é claro, os lados do quadrado. Vejamos: Na primeira linha, quais são os elementos que são comuns às duas primeiras figuras? O triângulo que está no lado superior do quadrado e o triângulo que está no lado esquerdo do quadrado são comuns às duas primeiras figuras. Logo, unindo as duas primeiras figuras e retirando o que é em comum, obteremos a terceira figura. Na segunda linha, quais são os elementos que são comuns às duas primeiras figuras? O triângulo que está no lado inferior do quadrado é comum às duas primeiras figuras. Logo, unindo as duas primeiras figuras e retirando o que é em comum, obteremos a terceira figura. Na terceira linha, não há triângulos em comum às duas primeiras figuras. Logo, unindo as duas primeiras figuras, obteremos o seguinte desenho: Resposta: Alternativa D. Prof. Weber Campos 31

32 PROBLEMAS LÓGICOS VARIADOS 01. (SEAD/PE 2008 FGV) O jogo de sudoku é constituído de 81 quadrados numa grade de 9x9 quadrados. Essa grade é subdividida em 9 grades menores de 3x3 quadrados. Esses quadrados devem ser preenchidos com os números de 1 a 9 obedecidas as seguintes exigências: - em cada uma das nove fileiras horizontais, cada um dos números de 1 a 9 deve aparecer uma única vez; - em cada uma das nove fileiras verticais, cada um dos números de 1 a 9 deve aparecer uma única vez; - em cada uma das nove grades menores, cada um dos números de 1 a 9 deve aparecer uma única vez. É correto afirmar que xy + z + w vale: (A) 21. (C) 19. (E) 17. (B) 20. (D) 18. O Sudoku é um quebra-cabeça baseado na colocação lógica de números. Resolver o problema requer apenas raciocínio lógico e algum tempo. A maioria das publicações classifica seus enigmas do Sudoku em níveis de dificuldade. Nas questões de prova de concurso, normalmente as questões de Sudoku têm nível de dificuldade considerado fácil. Na resolução da questão, chamaremos de quadrante cada grade menor de 3x3. E a numeração dos quadrantes será a indicada na figura abaixo: 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º No início do jogo, verifique o número que mais aparece e analise as possíveis jogadas com ele. Na grade abaixo, o número que mais aparece é o número 2. Como cada número só pode aparecer uma única vez na linha e na coluna, vamos traçar algumas linhas horizontais e verticais aonde o 2 não pode mais aparecer. Prof. Weber Campos 32

33 Observe que no 1º quadrante o 2 só pode ser colocado na quadrícula do x ou do y. E, no 5º quadrante, o 2 só pode ficar na quadrícula do w, logo w=2. Outro número que se repete mais vezes é o número 5. Vamos marcar todos eles e depois traçaremos algumas linhas horizontais e verticais aonde o 5 não pode mais aparecer. Observe novamente o 1º quadrante, percebemos que o 5 só pode ser colocado na quadrícula do x ou do y. Como havíamos concluído que o 2 também tem que ocupar uma dessas duas quadrículas, concluímos, então, que há duas possibilidades para os valores de x e y: 1ª) x=2 e y=5 2ª) x=5 e y=2 No 6º quadrante, o 5 só pode ficar na quadrícula do z, logo z=5. A questão pede o valor de xy + z + w e já temos condições de calcular esse valor. Vimos que há duas possibilidades para x e y, e em qualquer uma delas o produto xy será igual a 10 (= 2x5 = 5x2). Aplicando os resultados obtidos, teremos: xy + z + w = = 17 Resposta: Alternativa E. É recomendável que se pratique habitualmente exercícios de Sudoku, pois não basta saber resolver, tem que resolver rápido. Além do mais, o Sudoku é um passatempo interessante e que melhora a qualidade de nosso raciocínio. Prof. Weber Campos 33

34 02. Se hoje é domingo, 5 de maio, que dia da semana cairá 31 de maio? a) Segunda- feira c) Quarta-feira e) Sexta-feira b) Terça-feira d) Quinta-feira Sabemos que o dia da semana (domingo, segunda,..., sábado) se repete a cada 7 dias. Assim, como 5 de maio é domingo, os seguintes dias de maio também serão domingo: à dia 12 (=5+7) de maio é domingo; à dia 19 (=12+7) de maio é domingo; à dia 26 (=19+7) de maio é domingo. Logo, dia 27 é segunda, dia 28 é terça, dia 29 é quarta, dia 30 é quinta e, por fim, dia 31 é sexta-feira. Resposta: Alternativa E. Também poderíamos ter encontrado o dia da semana a partir da diferença entre as datas de 5 de maio e 31 de maio. Como essas datas pertencem ao mesmo mês, basta fazer a diferença entre os números 31 e 5. A diferença é de 26 (=31-5) dias. Depois temos que fazer a divisão de 26 por 7. O resultado dessa divisão é quociente 3 e resto 5. Sabendo que hoje é domingo, concluímos que: - Se fosse resto 0, o dia 31 cairia também no domingo. - Se fosse resto 1, o dia 31 cairia numa segunda. - Se fosse resto 2, o dia 31 cairia numa terça. - Se fosse resto 3, o dia 31 cairia numa quarta. - Se fosse resto 4, o dia 31 cairia numa quinta. Como o resto é 5, o dia 31 cairá numa sexta-feira. (Mesma resposta!) 03. (TRF 3ª Região Analista Judiciário 2007 FCC) Se o dia 08 de março de um certo ano foi uma terça-feira, então o dia 30 de julho desse mesmo ano foi (A) uma quarta-feira. (C) uma sexta-feira. (E) um domingo. (B) uma quinta-feira. (D) um sábado. Temos que calcular a diferença de dias entre as datas 08 de março e 30 de julho. Como essas datas são de meses diferentes, teremos que analisar cada um dos meses envolvidos. Colocamos abaixo os meses de março até julho, e dentro do parêntese o número de dias de cada mês. De 08 Mar (31 dias) Jun (30 dias) Até 30 Jul Abr (30 dias) Mai (31 dias) Agora, calcularemos o número de dias em cada mês, conforme mostrado abaixo: De 08 Mar (31 dias) Þ = 23 dias Abr (30 dias) Þ 30 dias Mai (31 dias) Þ 31 dias Jun (30 dias) Þ 30 dias Até 30 Jul Þ 30 dias dias Prof. Weber Campos 34

35 Logo, há 144 dias entre as datas de 08 de março e 30 de julho. Temos agora que fazer a divisão de 144 por 7. O resultado desta divisão é quociente 20 e resto 4. Sabendo que hoje (8 de março) é terça-feira, concluímos que: - Se fosse resto 0, o dia 30 de julho cairia também numa terça-feira. - Se fosse resto 1, o dia 30 de julho cairia no quarta-feira. - Se fosse resto 2, o dia 30 de julho cairia na quinta-feira. - Se fosse resto 3, o dia 30 de julho cairia na sexta-feira. Como o resto é 4, o dia 30 de julho cairá na sábado. Resposta: Alternativa D. 04. (Oficial de Chancelaria 2009 FCC) Godofredo e Lili aniversariam nos respectivos meses de agosto e setembro, em um mesmo dia da semana. Se o dia do aniversário de Godofredo é o sêxtuplo do dia do de Lili, então a soma das datas em que os dois aniversariam é (A) 21 (C) 7 (E) 28 (B) 14 (D) 35 Por primeiro, usaremos a seguinte informação: O dia do aniversário de Godofredo é o sêxtuplo do dia do de Lili. Iniciando do dia 1 Set, testemos os dias possíveis do nascimento de Lili e também de Godofredo. Vejamos: Lili nasceu dia 1 Set Þ Godofredo nasceu no dia 6 (=6x1) Ago. Lili nasceu dia 2 Set Þ Godofredo nasceu no dia 12 (=6x2) Ago. Lili nasceu dia 3 Set Þ Godofredo nasceu no dia 18 (=6x3) Ago. Lili nasceu dia 4 Set Þ Godofredo nasceu no dia 24 (=6x4) Ago. Lili nasceu dia 5 Set Þ Godofredo nasceu no dia 30 (=6x5) Ago. Pronto! Essas são as possíveis datas de nascimento dos dois. A questão informa ainda que eles nasceram no mesmo dia da semana (domingo ou segunda ou terça...). Deste modo, a diferença de dias entre as datas de nascimento dos dois será divisível por 7, ou seja, a divisão do número de dias (entre as datas de nascimento) e o número 7 apresenta resto zero. Vamos verificar a diferença de dias entre as possíveis datas de nascimento dos dois: 1º) 6 Ago e 1º Set De 6 Ago (31 dias) Até 1 Set Þ 31 6 = 25 dias Þ 1 dia + 26 dias Logo, há 26 dias entre as datas de 6 Ago e 1º Set. O número 26 não é divisível por 7! Daí, devemos descartar estas datas! 2º) 12 Ago e 2 Set De 12 Ago (31 dias) Þ = 19 dias Até 2 Set Þ 2 dias + 21 dias Prof. Weber Campos 35

36 Logo, há 21 dias entre as datas de 12 Ago e 2 Set. O número 21 é divisível por 7! Portanto, encontramos as datas de nascimento do Godofredo e da Lili! Godofredo: dia 12 Ago. Lili: dia 2 Set. A soma das datas em que os dois aniversariam é igual 14 (=12+2). Resposta: Alternativa B. 05. (TCE/PB Assistente-2006-FCC) No vestiário de um hospital há exatamente 30 armários que são usados por exatamente 30 enfermeiros. Curiosamente, certo dia em que todos os armários estavam fechados, tais enfermeiros entraram no vestiário um após o outro, adotando o seguinte procedimento: o primeiro a entrar, abriu todos os armários; o segundo, fechou todos os armários de números pares (2, 4, 6,..., 30) e manteve a situação dos demais; o terceiro, inverteu a situação a cada três armários (3º, 6º, 9º,..., 30º), ou seja, abriu os que estavam fechados e fechou os que estavam abertos, mantendo a situação dos demais; o quarto, inverteu a situação a cada quatro armários (4º, 8º, 12º,..., 28º), mantendo a situação dos demais; e, da mesma forma, ocorreu sucessivamente o procedimento dos demais enfermeiros. Com certeza, após a passagem de todos os enfermeiros pelo vestiário, os armários de números 9, 16 e 28 ficaram, respectivamente, (A) aberto, aberto e fechado. (B) aberto, fechado e aberto. (C) fechado, aberto e aberto. (D) aberto, aberto e aberto. (E) fechado, fechado e fechado. Essa questão já caiu mais de uma vez nas provas da FCC e há um modo bem rápido de chegar à reposta da questão. Vamos ver como é esse modo. Os números que são quadrados perfeitos (aqueles que possuem raiz quadrada exata) possuem um número ímpar de divisores, enquanto todos os demais números inteiros possuem um número par de divisores. Como os armários de numero k são revertidos pelos enfermeiros cujos números são divisores de k (ou seja, o enfermeiro de número k reverte o estado de todos os armários cujos números são múltiplos de k), então teremos os seguinte: è Se o número do armário é um quadrado perfeito (1, 4, 9, 16, 25, 36,...), então ele será revertido um número ímpar de vezes, e ao final das reversões estará de modo diferente de como estava inicialmente. è Se o número do armário NÃO é um quadrado perfeito, então ele será revertido um número par de vezes, e ao final das reversões estará do mesmo modo como estava inicialmente. De forma mais simples e direta: è Apenas os armários cujos números são quadrados perfeitos terão modificado o seu estado inicial. Portanto, sabendo da informação acima, a solução mais rápida seria essa: Armário 9 é quadrado perfeito Þ altera o estado de fechado para aberto. Armário 16 é quadrado perfeito Þ altera o estado de fechado para aberto. Armário 28 NÃO é quadrado perfeito Þ mantém o estado inicial: fechado. Pronto! Mesma resposta: alternativa A. Prof. Weber Campos 36

37 06. (TCE-SP 2003 FCC) As equipes de plantão de um pronto-socorro são sempre compostas por um médico e três enfermeiros. A tabela abaixo mostra as escalas para os plantões em quatro dias consecutivos: Dia Equipe de Plantão Ana Bob Gil Bob Bob Célia Felipe Felipe Célia Eva Davi Ana Davi Felipe Bob Dentre as pessoas citadas na tabela, há dois médicos e cinco enfermeiros. Então, os médicos são (A) Davi e Eva. (B) Bob e Eva. (C) Ana e Felipe. (D) Célia e Gil. (E) Davi e Gil. Há somente dois médicos, e como as alternativas trazem os possíveis nomes destes médicos, então é melhor resolvermos esta questão testando cada uma das alternativas. Tomaremos por base as informações dadas no enunciado: 1) As equipes de plantão são sempre compostas por 1 médico e 3 enfermeiros; 2) Dentre as pessoas citadas na tabela, há 2 médicos e 5 enfermeiros. Teste da alternativa A) Davi e Eva são médicos. Hipótese: Davi e Eva são os médicos! Então, um desses nomes deve sempre estar presente nas equipes de plantão. Mas observe que na equipe de plantão do dia 15, nenhum deles aparece. Portanto, não é verdade que ambos são médicos! Alternativa descartada! Gil Teste da alternativa B) Bob e Eva são médicos. Hipótese: Bob e Eva são os médicos! Na equipe de plantão só pode haver um médico, mas observe que na equipe de plantão do dia 13, aparecem Bob e Eva. Portanto, não é verdade que ambos são médicos! Alternativa descartada! Teste da alternativa C) Ana e Felipe são médicos. Hipótese: Ana e Felipe são os médicos! Na equipe de plantão só pode haver um médico, mas observe que na equipe de plantão do dia 15, aparecem Ana e Felipe. Portanto, não é verdade que ambos são médicos! Alternativa descartada! Teste da alternativa D) Célia e Gil são médicos. Hipótese: Célia e Gil são os médicos! Célia aparece nos plantões do dia 12 e do dia 13, e Gil tira seus plantões em dias diferentes de Célia: dia 14 e dia 15. Logo esta alternativa deve estar correta, mas vamos prosseguir analisando a última alternativa. Teste da alternativa E) Davi e Gil são médicos. Hipótese: Davi e Gil são os médicos! Na equipe de plantão só pode haver um médico, mas observe que na equipe de plantão do dia 14, aparecem Davi e Gil. Portanto, não é verdade que ambos são médicos! Alternativa descartada! Resposta: Alternativa D. Prof. Weber Campos 37

38 07. (TRF/RS 2004 FCC) A tabela seguinte é a de uma operação D definida sobre o conjunto E= {a.b,c,d,e}. D a b c d e a a b c d e b b c d e a c c d e a b d d e a b c e e a b c d Assim, por exemplo, temos: (b D d) D c = e D c = b Nessas condições, se x Î E e d D x = c D (b D e), então x é igual a (A) a (B) b (C) c (D) d (E) e Por primeiro, temos que descobrir o que é essa tal operação D. Observe no enunciado que a operação D é feita sempre entre duas letras, por exemplo: (b D d), (e D c),... E observe a posição do D na tabela: no início da primeira linha e da primeira coluna. D a b c d e a b c d e Sabemos que o D é uma operação entre duas letras. E pela posição do D, sugere-se que uma dessas letras está na primeira linha e a outra na primeira coluna, e o miolo da tabela traria os resultados da operação D. (Quem já usou uma tabela financeira, facilmente deve ter deduzido essa operação D.) Vamos confirmar o que é a operação D por meio da seguinte informação trazida no enunciado: (b D d) D c = e D c = b Dessa expressão, que traz dois sinais de igual, podemos formar duas igualdades: 1) e D c = b 2) (b D d) D c = e D c Vamos entender a igualdade e D c = b. Observe o cruzamento da coluna do e com a linha do c no quadro seguinte: D a b c d e a a b c d e b b c d e a c c d e a b d d e a b c e e a b c d Qual é o resultado do cruzamento? É a letra b! Então a igualdade e D c = b foi verificada! Da igualdade (b D d) D c = e D c, podemos tirar a igualdade (b D d) = e. Vamos entender esta igualdade! Observe o cruzamento da coluna do b com a linha do d no quadro seguinte: D a b c d e a a b c d e b b c d e a c c d e a b d d e a b c e e a b c d Qual é o resultado do cruzamento? É a letra e! Então a igualdade (b D d) = e foi verificada! Quando se diz que xîe, significa que x é uma das letras do conjunto {a, b, c, d, e}. Descobriremos x a partir da igualdade d D x = c D (b D e). Prof. Weber Campos 38

39 Analisaremos o segundo termo da igualdade acima: c D (b D e). Qual é o resultado da operação b D e? Faremos o cruzamento da coluna do b com a linha do e no quadro seguinte: D a b c d e a a b c d e b b c d e a c c d e a b d d e a b c e e a b c d O resultado é a letra a! Logo, b D e = a. Então c D (b D e) simplifica para c D a. E qual é o resultado da operação c D a? Observe o cruzamento da coluna do c com a linha do a no quadro seguinte: D a b c d e a a b c d e b b c d e a c c d e a b d d e a b c e e a b c d O resultado é a letra c! Logo, c D a = c. Portanto, o termo c D (b D e) resulta na letra c. E consequentemente: d D x = c. Qual a letra que substitui o x para que se verifique a igualdade d D x = c? Marcamos no quadro a seguir a coluna do d, e o resultado da igualdade está sombreado no miolo da tabela. D a b c d e a a b c d e b b c d e a c c d e a b d d e a b c e e a b c d A partir da letra c sombreada em vermelho, percorrermos com os olhos, na mesma linha, até a lateral esquerda. Lá, encontraremos a letra que substitui o x. Qual é? É a letra e. Resposta: Alternativa E. Prof. Weber Campos 39

40 ASSOCIAÇÃO LÓGICA 01. (ANEEL 2004 ESAF) Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são atrizes de teatro infantil, e vão participar de uma peça em que representarão, não necessariamente nesta ordem, os papéis de Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e Governanta. Como todas são atrizes versáteis, o diretor da peça realizou um sorteio para determinar a qual delas caberia cada papel. Antes de anunciar o resultado, o diretor reuniu-as e pediu que cada uma desse seu palpite sobre qual havia sido o resultado do sorteio. Disse Fátima: Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa. Disse Beatriz: Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa. Disse Gina: Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha. Disse Sílvia: Acho que eu sou a Princesa. Disse Carla: Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz. Neste ponto, o diretor falou: Todos os palpites estão completamente errados; nenhuma de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio! Um estudante de Lógica, que a tudo assistia, concluiu então, corretamente, que os papéis sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente, a) rainha, bruxa, princesa, fada. b) rainha, princesa, governanta, fada. c) fada, bruxa, governanta, princesa. d) rainha, princesa, bruxa, fada. e) fada, bruxa, rainha, princesa. Sol.: Temos as seguintes pessoas: Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla. Temos os seguintes papéis da peça de teatro: Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e Governanta. São feitas as seguintes afirmações: 1. Disse Fátima: Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa. (Palpites errados!) Daí, é verdade que: Fátima não é a Governanta, e Beatriz não é a Fada, e Sílvia não é a Bruxa, e Carla não é a Princesa! 2. Disse Beatriz: Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa. (Palpites errados!) Daí, é verdade que: Fátima não é a Princesa e Fátima não é a Bruxa! 3. Disse Gina: Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha. (Palpites errados!) Daí, é verdade que: Silvia não é a Governanta e Silvia não é a Rainha! 4. Disse Sílvia: Acho que eu sou a Princesa. (Palpite errado!) Daí, é verdade que: Silvia não é a Princesa! 5. Disse Carla: Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz. (Palpites errados!) Daí, é verdade que: Carla não é a Bruxa e Beatriz não é a Bruxa! A questão pede a associação entre os nomes das pessoas e os respectivos papéis de teatro. Vamos fazer uma tabela relacionando os nomes das pessoas com os respectivos papéis de teatro. Fada Bruxa Rainha Princesa Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Governanta Agora vamos colocar um X nas células da tabela quando houver uma associação correta, e um n quando incorreta. Prof. Weber Campos 40

41 Devemos ter somente um X em cada linha e também somente um X em cada coluna. Se tivermos, por exemplo, dois X na 1ª coluna, significará que Fátima tem dois papéis. E se não tivermos X nessa coluna, significará que Fátima não tem um papel de teatro. 1º passo: Fátima não é a Governanta, e Beatriz não é a Fada, e Sílvia não é a Bruxa, e Carla não é a Princesa! Marcaremos um n na célula correspondente a Fátima e Governanta, outro n na célula correspondente a Beatriz e Fada, outro n na célula correspondente a Sílvia e Bruxa, e finalmente um n na célula correspondente a Carla e Princesa. Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla n n n n 2º passo: Fátima não é a Princesa e Fátima não é a Bruxa! Marcaremos um n na célula correspondente a Fátima e Princesa, e outro n na célula correspondente a Fátima e Bruxa. Fada Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Bruxa n n Rainha Princesa n n Governanta 3º passo: Silvia não é a Governanta e Silvia não é a Rainha! n Marcaremos um n na célula correspondente a Silvia e Governanta, e outro n na célula correspondente a Silvia e Rainha. n Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada n Bruxa n n Rainha n Princesa n n Governanta n n 4º passo: Silvia não é a Princesa! Marcaremos um n na célula correspondente a Silvia e Princesa. Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada n Bruxa n n Rainha n Princesa n n n Governanta n n Prof. Weber Campos 41

42 5º passo: Carla não é a Bruxa e Beatriz não é a Bruxa! Marcaremos um n na célula correspondente a Carla e Bruxa, e outro n na célula correspondente a Beatriz e Bruxa. Fada Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Bruxa n n n n Rainha Princesa n n n Governanta n n n n 6º passo: Cada linha e coluna devem conter uma célula marcada com X! Assim, marcaremos X na célula vazia da linha (ou coluna) que tem n em todas as outras células. Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada n X Bruxa n n X n n Rainha Princesa n n n Governanta n n Depois, marcaremos n para completar as linhas (ou colunas) que já possui um X. Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada n n n X n Bruxa n n X n n Rainha n n Princesa n n n n Governanta n n n Novamente, marcaremos X na célula vazia da linha (ou coluna) que tem n em todas as outras células. Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada n n n X n Bruxa n n X n n Rainha X n n Princesa n X n n n Governanta n n n Novamente, marcaremos n para completar as linhas (ou colunas) que já possui um X. n Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada n n n X n Bruxa n n X n n Rainha X n n n n Princesa n X n n n Governanta n n n n Prof. Weber Campos 42

43 Novamente, marcaremos X na célula vazia da linha (ou coluna) que tem n em todas as outras células. Conclusão: Resposta: alternativa D. Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada n n n X n Bruxa n n X n n Rainha X n n n n Princesa n X n n n Governanta n n n n X Fátima é a Rainha! Beatriz é a Princesa! Gina é a Bruxa! Sílvia é a Fada! Carla é a Governanta! 02. (AFC 2002 ESAF) Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações: A loura: Não vou à França nem à Espanha. A morena: Meu nome não é Elza nem Sara. A ruiva: Nem eu nem Elza vamos à França. O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que: a) A loura é Sara e vai à Espanha. b) A ruiva é Sara e vai à França. c) A ruiva é Bete e vai à Espanha. d) A morena é Bete e vai à Espanha. e)# A loura é Elza e vai à Alemanha. Sol.: Temos as seguintes amigas: Bete, Elza e Sara. Características de cor de cada uma delas: loura, morena e ruiva. Elas viajaram para os seguintes países: Alemanha, França e Espanha. São feitas as seguintes afirmações verdadeiras: 1. A loura: Não vou à França nem à Espanha. 2. A morena: Meu nome não é Elza nem Sara. 3. A ruiva: Nem eu nem Elza vamos à França. Vamos colocar no cabeçalho da tabela os nomes: loura, morena e ruiva, porque as declarações são feitas a partir desses nomes. Caso optássemos por colocar os nomes das pessoas no cabeçalho, sentiríamos mais dificuldade no preenchimento da tabela. Bete Elza Sara Alemanha França Espanha Loura morena Ruiva 1º passo: A loura: Não vou à França nem à Espanha! Marcaremos um n na célula correspondente a loura e França, e outro n na célula correspondente a loura e Espanha. Prof. Weber Campos 43

44 Bete Elza Sara Alemanha França Espanha Loura morena Ruiva n n Daí, já podemos marcar um X na célula vazia da 1ª coluna da tabela, e consequentemente marcamos n para completar a linha. Bete Elza Sara Loura morena Ruiva Alemanha X n n França Espanha n n 2º passo: A morena: Meu nome não é Elza nem Sara! Marcaremos um n na célula correspondente à morena e Elza, e outro n na célula correspondente a morena e Sara. Bete Elza Sara Loura morena Ruiva Alemanha X n n França Espanha n n Daí, já podemos marcar um X na célula vazia da 2ª coluna, e consequentemente marcamos n para completar a linha. Prof. Weber Campos 44 n n Loura morena Ruiva Bete n X n Elza Sara Alemanha X n n França Espanha n n 3º passo: A ruiva: Nem eu nem Elza vamos à França! Marcamos um n na célula correspondente a ruiva e França, e outro n na célula correspondente a Elza e França (na verdade não temos essa correspondência na tabela, então guarde este resultado). Observe que podemos obter mais uma informação da afirmação acima: A ruiva não é Elza! Assim, marcamos um n na célula correspondente a ruiva e Elza. n n Loura morena Ruiva Bete n X n Elza n n Sara Alemanha X n n França n n Espanha n n

45 Daí, já podemos marcar um X nas células vazias das linhas e colunas, e depois completar com n as células das linhas e colunas que já tem X. E finalmente: Loura morena Ruiva Bete n X n Elza n n Sara n n X Alemanha X n n França n n Espanha n n X Loura morena Ruiva Bete n X n Elza X n n Sara n n X Alemanha X n n França n X n Espanha n n X Conclusão: Da parte superior da tabela, temos: Da parte inferior da tabela, temos: Bete é morena. Elza é loura. Sara é ruiva. A loura vai à Alemanha. A morena vai à França. A ruiva vai à Espanha. Assim, temos que: Bete é morena e vai à França. Elza é loura e vai à Alemanha. Sara é ruiva e vai à Espanha. Resposta: alternativa E. Prof. Weber Campos 45

46 VERDADES & MENTIRAS 01. (Polícia Militar/MA 2006 FCC) Cada um dos três participantes de um torneio de xadrez deu uma informação sobre o que ocorreu no evento. João disse que Carlos foi o 3º colocado; Alberto disse que João foi o 2º colocado e Carlos atribuiu a si mesmo a 2ª colocação. Sabendo que só o primeiro colocado disse a verdade, deve-se concluir que (A) Alberto foi o 1º colocado. (D) Carlos foi o 2º colocado. (B) João foi o 2º colocado. (E)) João foi o 1º colocado. (C) Alberto foi o 3º colocado. Sol.: As declarações de cada um deles foram as seguintes: João disse: Carlos foi o 3 o colocado. Alberto disse: João foi o 2º colocado. Carlos disse: eu fui o 2 a colocado. O enunciado informa que só o primeiro colocado disse a verdade. Formaremos as seguintes hipóteses: 1ª hipótese: Somente João diz a verdade. 2ª hipótese: Somente Alberto diz a verdade. 3ª hipótese: Somente Carlos diz a verdade. 1ª) teste da 1ª hipótese: Somente João diz a verdade! Estabelecida essa hipótese, temos os seguintes resultados: à Como só o 1º colocado disse a verdade, logo: João é o 1º colocado! à Da declaração de João, temos que: Carlos foi o 3 o colocado! Só resta a 2ª colocação para o Alberto! à Alberto disse: João foi o 2 a colocado. Ele está mentindo? Sim! Então, a 1ª hipótese, até o momento, está correta! à Carlos disse: eu fui o 2 a colocado. Ele está mentindo? Sim! Então, a 1ª hipótese está correta! Como não houve conflitos, os resultados encontrados acima são válidos. Daí, a alternativa correta é a letra E. Testaremos mais um hipótese para uma melhor compreensão da resolução. 2ª) teste da 2ª hipótese: Somente Alberto diz a verdade! Estabelecida essa hipótese, temos os seguintes resultados: à Como só o 1º colocado disse a verdade, logo: Alberto é o 1º colocado! à Da declaração de Alberto, temos que: João foi o 2 o colocado! Só resta a 3ª colocação para Carlos! à João disse: Carlos foi o 3 a colocado. Ele está mentindo? Não, ele diz a verdade! Então, a 2ª hipótese deve ser descartada, pois ela pressupõe que a única pessoa que diz a verdade é Alberto. 02. (TCE/PB Agente-2006-FCC) Sobre a mesa de um Agente de Protocolo há três caixas, cada qual pintada com uma das três cores: branca, preta e vermelha. Diariamente, ele usa uma das caixas para colocar apenas os documentos que recebe, outra para colocar apenas os documentos que deve protocolar e a terceira, apenas os que deve encaminhar a outras seções do Tribunal. Certo dia, para brincar com seus colegas, rotulou as três caixas da forma como é mostrado nas figuras abaixo. Prof. Weber Campos 46

47 Se somente um dos rótulos dizia a verdade, então, em tal dia, os documentos recebidos, os que deveriam ser protocolados e os que deveria encaminhar, poderiam estar respectivamente nas caixas (A) vermelha, preta e branca. (B) vermelha, branca e preta. (C) branca, preta e vermelha. (D) branca, vermelha e preta. (E) preta, branca e vermelha. Sol.: Como somente um dos rótulos diz a verdade, formaremos as três hipóteses seguintes: 1ª hipótese: Somente a caixa preta tem o rótulo que diz a verdade. 2ª hipótese: Somente a caixa branca tem o rótulo que diz a verdade. 3ª hipótese: Somente a caixa vermelha tem o rótulo que diz a verdade. à Teste da 1ª hipótese: Somente a caixa preta tem o rótulo que diz a verdade! Estabelecida essa hipótese, temos os seguintes resultados: à Como o rótulo da caixa preta diz a verdade, então temos que: os documentos recebidos estão na caixa vermelha! à Na caixa branca está escrito: os documentos recebidos não estão aqui! Por hipótese: o rótulo mente, logo os documentos recebidos estão na caixa branca! Houve um conflito, pois tínhamos encontrado anteriormente que os documentos recebidos estavam na caixa vermelha. Portanto, devemos descartar a 1ª hipótese. à Teste da 2ª hipótese: Somente a caixa branca tem o rótulo que diz a verdade! Estabelecida essa hipótese, temos os seguintes resultados: à Como o rótulo da caixa branca diz a verdade, então temos que: os documentos recebidos não estão na caixa branca! à Na caixa preta está escrito: os documentos recebidos estão na caixa vermelha! Por hipótese: o rótulo mente, logo os documentos recebidos não estão na caixa vermelha! Como os documentos recebidos não estão na caixa branca e nem na caixa vermelha, logo: os documentos recebidos estão na caixa preta! à Na caixa vermelha está escrito: os documentos recebidos estão aqui! Por hipótese: o rótulo mente, logo os documentos recebidos não estão na caixa vermelha! Isso confirma que não há conflitos na 2ª hipótese. Portanto, a 2ª hipótese é aceitável! E encontramos que: os documentos recebidos estão na caixa preta! A única alternativa que afirma que os documentos recebidos estão na caixa preta é a letra E. Portanto, resposta: Alternativa E! Com as informações dadas no enunciado, não há como encontrar as caixas onde estão os documentos que deveriam ser protocolados e os que deveriam ser encaminhados. Prof. Weber Campos 47

48 03. (Auditor Jaboatão 2006 FCC) Três amigos têm o hábito de almoçar em um certo restaurante no período de segunda à sexta-feira e, em cada um destes dias, pelo menos um deles almoça nesse local. Consultados sobre tal hábito, eles fizeram as seguintes afirmações: Antônio: Não é verdade que vou às terças, quartas ou quintas-feiras. Bento: Não é verdade que vou às quartas ou sextas-feiras. Carlos: Não é verdade que vou às segundas ou terças-feiras. Se somente um deles está mentindo, então o dia da semana em que os três costumam almoçar nesse restaurante é (A) sexta-feira. (B) quinta-feira. (C) quarta-feira. (D) terça-feira. (E) segunda-feira. Sol.: Nas três declarações, aparece o termo Não é verdade que, e ensinamos que ele significa que devemos negar tudo o que vem depois dele. E o que vem depois? Em cada uma das declarações vem uma disjunção. Faremos, então, a negação de cada uma das disjunções. Como? Negando os seus termos e trocando o OU pelo E. Teremos: Antônio: não vou às terças e não vou às quartas e não vou às quintas. Bento: não vou às quartas e não vou às sextas. Carlos: não vou às segundas e não vou às terças. Pelo enunciado, somente um dos amigos mente. Vamos estabelecer hipóteses e depois testá-las. 1ª hipótese: Antônio mente! Marcaremos os dias em que Bento e Carlos não almoçam, de acordo com as suas declarações. Marcados esses dias, nos dias restantes eles devem almoçar! Antônio segunda terça quarta quinta sexta Bento almoça almoça não almoça almoça não almoça Carlos não almoça não almoça almoça almoça almoça A declaração de Antônio foi: Não é verdade que vou às terças, quartas ou quintas. Como ele mente, então é verdade que: vai às terças, quartas ou quintas. Ou seja, Antônio vai nesses três dias, ou dois desses dias, ou em somente um desses dias. Considere que ele vai aos três dias acima, então o quadro completo fica conforme mostrado abaixo: segunda terça quarta quinta sexta Antônio não almoça almoça almoça almoça não almoça Bento almoça almoça não almoça almoça não almoça Carlos não almoça não almoça almoça almoça almoça Essa hipótese atende a exigência do enunciado de que haja pelo menos uma pessoa almoçando todos os dias? Sim! Então, esta hipótese é aceitável. Portanto, encontramos que o mentiroso é Antônio, e que o dia em que os três amigos almoçam juntos é a quinta-feira. (Resposta: Alternativa B!) Analisaremos as hipóteses restantes para que não haja dúvidas. 2ª hipótese: Bento mente! Marcaremos os dias em que Antônio e Carlos não almoçam, de acordo com as suas declarações. Marcados esses dias, nos dias restantes eles devem almoçar! segunda terça quarta quinta sexta Antônio almoça não almoça não almoça não almoça almoça Bento Carlos não almoça não almoça almoça almoça almoça Prof. Weber Campos 48

49 A declaração de Bento foi: Não é verdade que vou às quartas ou sextas-feiras. Como ele mente, então é verdade que: vai às quartas ou sextas-feiras. Ou seja, Bento vai nesses dois dias, ou em somente um desses dias. Considere que ele vai aos dois dias acima, então o quadro completo fica conforme mostrado abaixo: segunda terça quarta quinta sexta Antônio almoça não almoça não almoça não almoça almoça Bento não almoça não almoça almoça não almoça almoça Carlos não almoça não almoça almoça almoça almoça Essa situação atende a exigência do enunciado de que haja pelo menos uma pessoa almoçando todos os dias? Não! Pois na terça ninguém almoça. Então, a 2ª hipótese deve ser descartada. 3ª hipótese: Carlos mente! Marcaremos os dias em que Antônio e Bento não almoçam, de acordo com as suas declarações. Marcados esses dias, nos dias restantes eles devem almoçar! segunda terça quarta quinta sexta Antônio almoça não almoça não almoça não almoça almoça Bento almoça almoça não almoça almoça não almoça Carlos A declaração de Carlos foi: Não é verdade que vou às segundas ou terças-feiras. Como ele mente, então é verdade que: vai às segundas ou terças-feiras. Ou seja, Carlos vai nesses dois dias, ou em somente um desses dias. Considere que ele vai aos dois dias acima, então o quadro completo fica conforme mostrado abaixo: segunda terça quarta quinta sexta Antônio almoça não almoça não almoça não almoça almoça Bento almoça almoça não almoça almoça não almoça Carlos almoça almoça não almoça não almoça não almoça Essa situação atende a exigência do enunciado de que haja pelo menos uma pessoa almoçando todos os dias? Não! Pois na quarta ninguém almoça. Então, a 3ª hipótese deve ser descartada. 04. (AFTN 96 ESAF) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentada no meio". A que está sentada no meio diz: "Eu sou Janete". Finalmente, a que está sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente: a) Janete, Tânia e Angélica d) Angélica, Tânia e Janete b) Janete, Angélica e Tânia e) Tânia, Angélica e Janete c) Angélica, Janete e Tânia Sol.: Temos três amigas: Tânia, Janete e Angélica, que estão sentadas lado a lado em um teatro. Sabemos sobre as três amigas que: 1) Tânia sempre fala a verdade. 2) Janete às vezes fala a verdade. 3) Angélica nunca fala a verdade. Temos as seguintes declarações: 1) A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentada no meio". 2) A que está sentada no meio diz: "Eu sou Janete". 3) A que está sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". Prof. Weber Campos 49

50 Considere as seguintes posições no teatro, com as respectivas declarações: ESQUERDA MEIO DIREITA Tânia está no meio! Eu sou Janete! Angélica está no meio! Temos que Tânia sempre fala a verdade. Logo, não pode ser a da esquerda nem pode ser a do meio, restando, assim, a posição direita para Tânia. ESQUERDA MEIO DIREITA Tânia Tânia está no meio! Eu sou Janete! Angélica está no meio! Como Tânia está à direita e sempre fala a verdade, a sua declaração: Angélica está no meio é verdade! Descobrimos, então, a posição da Angélica. E esta declara que ela é Janete. Isto está de acordo com o que é dito no enunciado: Angélica sempre mente! ESQUERDA MEIO Angélica DIREITA Tânia Tânia está no meio! Eu sou Janete! Angélica está no meio! Só resta a posição esquerda, que claramente será ocupada pela única que ainda não tem posição, a Janete. Esta faz a seguinte declaração: Tânia está no meio, e aí descobrimos que também ela mente! Isso não contraria as informações dadas no enunciado: Janete às vezes fala a verdade (ou seja, ela pode mentir!). ESQUERDA Janete MEIO Angélica DIREITA Tânia Tânia está no meio! Eu sou Janete! Angélica está no meio! Portanto, obtemos as seguintes posições para as três amigas: Na esquerda: Janete. No meio: Angélica. Na direita: Tânia. Resposta: alternativa B. 05. (MPU 2004/ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: Você é do tipo M? Alfa responde mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações: Beta: Alfa respondeu que sim. Gama: Beta está mentindo. Delta: Gama está mentindo. Épsilon: Alfa é do tipo M. Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. Sol.: Transcrevamos as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado e as DECLARAÇÕES. Teremos: à INFORMAÇÕES ADICIONAIS: 1º) Os andróides do tipo V sempre dizem a verdade. 2º) Os andróides do tipo M sempre mentem. Prof. Weber Campos 50

51 à DECLARAÇÕES: 1º) Alfa: (resposta não ouvida!) 2º) Beta: Alfa respondeu que sim. 3º) Gama: Beta está mentindo. 4º) Delta: Gama está mentindo. 5º) Épsilon: Alfa é do tipo M. Não é difícil matar a charada neste enunciado. Bastava prestar atenção à pergunta que foi feita ao Alfa. Foi a seguinte: Alfa, você é do tipo M? Ora, o tipo M é o tipo dos mentirosos. Daí, em outras palavras, a pergunta dirigida ao Alfa foi essa: Alfa, você mente? Essa é uma pergunta que, em qualquer caso, só admite uma única resposta: a negação. Pois, se perguntarmos a alguém veraz se ele mente, a resposta será não. Por outro lado, se perguntarmos a alguém mentiroso se ele mente, a resposta será novamente não! Ou seja, a resposta a essa pergunta será sempre não! Foi isso, portanto, que o Alfa respondeu. Teremos: 1º) Alfa: Não sou do tipo M. 2º) Beta: Alfa respondeu que sim. 3º) Gama: Beta está mentindo. 4º) Delta: Gama está mentindo. 5º) Épsilon: Alfa é do tipo M. Agora, vamos analisar a declaração de Beta. O que ele disse? Disse que Alfa respondeu que sim. Beta está dizendo a verdade ou está mentindo? Mentindo! Pois Alfa, conforme já havíamos concluído, respondeu que não! Logo, Beta é mentiroso! Passemos à declaração do Gama. Ele disse que Beta está mentindo. O Gama está correto? Sim! Está dizendo a verdade, uma vez que havíamos concluído que Beta mente. Logo, Gama está dizendo a verdade! Vamos ao Delta: ele diz que Gama está mentindo. Está certo isso? Não! Está errado. Vimos que o Gama é veraz. Logo, Delta é mentiroso! Restaram duas declarações: a do Épsilon e a do Alfa. Épsilon diz que Alfa é mentiroso. Ora, se for verdadeira a declaração do Épsilon, então Épsilon será veraz, e Alfa será mentiroso. Contrariamente, se Épsilon estiver mentindo, então Alfa estará dizendo a verdade. Desse modo, concluímos que, entre Épsilon e Alfa, haverá somente um que mente e somente um que diz a verdade, embora não sabemos quem seja o veraz e o mentiroso. Ora, só queremos saber o número daqueles que dizem a verdade. Logo, concluímos que os verazes são Gama e um segundo andróide, que poderá ser Alfa ou Épsilon, um ou outro. Ou seja, o número de andróides verazes é igual a dois à Resposta: alternativa B. Prof. Weber Campos 51

52 CONJUNTOS 1. TEORIA DOS CONJUNTOS 1) Relações de Pertinência Relacionam elemento com conjunto. E a indicação de que o elemento pertence ou não pertence a um conjunto é feita pelos símbolos: Î (pertence) e Ï (não pertence). Exemplo 1: a) 2 Î {0, 1, 2} b) 4 Ï {0, 1, 2} 2) Relações de Inclusão Relacionam um conjunto com outro conjunto. Temos a seguinte simbologia de inclusão: Ì (está contido), Ë (não está contido), É (contém) e É (não contém). Exemplo 2: a) {2, 5} Ì {0, 1, 2, 5} b) {2, 7} Ë {0, 1, 2, 5} c) {0, 1, 2, 5} É {2, 5} d) {0, 1, 2, 5} {2, 7} É 3) Subconjunto Diz-se que A é subconjunto de B se todo elemento de A é também elemento de B. Exemplo 3: a) {2} é subconjunto de {1, 2, 3} b) {1, 3} é subconjunto de {1, 3, 5} 4) Conjunto das Partes de um Conjunto O conjunto das partes de um conjunto A, simbolizado por P(A), é o conjunto cujos elementos são todos partes (subconjuntos) de A. O número de partes (subconjuntos) de um conjunto A é dado por 2 n, em que n é o número de elementos de A. Exemplo 4: Dado o conjunto A={1, 2, 3}, encontrar o conjunto das partes de A. Como A tem 3 elementos, P(A) terá 8 elementos (=2 3 ). O conjunto P(A) é { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, Æ }. Onde o símbolo Æ representa o conjunto vazio. Este é sempre subconjunto de qualquer conjunto. Prof. Weber Campos 52

53 5) Operações com Conjuntos Considerando os conjuntos A, B e o conjunto-universo U, daremos a definição de cada operação com conjuntos: a) União (È) A união entre dois conjuntos, AÈB, é o conjunto formado pela reunião dos elementos de A e de B. Simbolicamente: AÈB = {x xîa ou xîb}. Exemplo 5: {1, 2, 3} È {2, 5, 8} = {1, 2, 3, 5, 8} (Resposta!) A representação gráfica da união entre dois conjuntos é dada pelo seguinte desenho: U A B b) Interseção (Ç) A intersecção entre dois conjuntos, AÇB, é o conjunto formado pelos elementos que são comuns aos dois conjuntos. Simbolicamente: AÇB = {x xîa e xîb}. Exemplo 6: {1, 2, 3} Ç {2, 5, 8} = {2} (Resposta!) Representação gráfica da intersecção entre dois conjuntos: c) Diferença ( ) A diferença entre dois conjuntos, B A, é o conjunto formado pelos elementos de B que não pertencem a A. Simbolicamente: B A = {x xîb e xïa}. Exemplo 7: {1, 2, 3} {2, 5, 8} = {1, 3} (Resposta!) A representação gráfica da diferença entre dois conjuntos (B-A) é dada pelo seguinte desenho: d) Complementar (') O complementar do conjunto A, simbolizado por A', é o conjunto formado pelos elementos do conjunto universo (U) que não pertencem a A. Simbolicamente: A'={xÎU xïa}. Prof. Weber Campos 53

54 A representação gráfica do complementar do conjunto A é dada pelo seguinte desenho: U A e) Diferença simétrica entre dois conjuntos (D) A diferença simétrica entre dois conjuntos é definida por: ADB = (AÈB) (AÇB). Exemplo 8: Considerando os conjuntos A={1, 2, 3} e B={2, 5, 8}, encontre ADB. (AÈB) = {1, 2, 3} {2, 5, 8} = {1, 2, 3, 5, 8} (AÇB) = {1, 2, 3} {2, 5, 8} = {2} ADB = (AÈB) (AÇB) = {1, 2, 3, 5, 8} {2} = {1, 3, 5, 8} (Resposta!) A representação gráfica da diferença simétrica entre dois conjuntos (ADB) é dada pelo seguinte desenho: f) Fórmula da União Existe uma fórmula que relaciona o número de elementos da união, da intersecção e dos conjuntos individuais. A fórmula é dada por: à n(aèb) = n(a) + n(b) n(açb) Se forem três conjuntos a fórmula será: à n(aèbèc)=n(a)+n(b)+n(c) n(açb) n(açc) n(bçc)+n(açbçc) Exemplo 9: Calcule o número de elementos da união dos conjuntos A e B a partir dos seguintes dados: n(a)=10, n(b)=7, n(açb)=5. Substituiremos os dados na fórmula da união. Teremos: à n(aèb) = n(a)+n(b) n(açb) = à n(aèb) = 12 (Resposta!) Esta não é a única maneira de se chegar à resposta. Fazendo o desenho dos círculos e escrevendo nestes os dados fornecidos, facilmente chegaremos à mesma resposta! Prof. Weber Campos 54

55 Exemplo 10: Considere o diagrama abaixo onde o retângulo representa o conjunto-universo U e os círculos representam os conjuntos A e B. A B U Com base no desenho, determine: a) O conjunto A Sol.: A = {1, 2, 3, 4, 5} e n(a)=5 b) O conjunto B Sol.: B = {4, 5, 6, 7, 8,9} e n(b)=6 c) O número de subconjuntos de A Sol.: 2 n = 2 5 = 32 subconjuntos d) O número de subconjuntos de B Sol.: 2 n = 2 6 = 64 subconjuntos e) A união de A e B Sol.: A È B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} f) A intersecção entre A e B Sol.: A Ç B = {4, 5} g) A diferença A B Sol.: A-B = {1, 2, 3} h) A diferença B A Sol.: B - A = {6, 7, 8, 9} i) O complementar de A Sol.: A' = U - A = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} j) O complementar de B Sol.: B' = U - B = {1, 2, 3, 10, 11, 12, 13} l) Diferença simétrica entre A e B Sol.: ADB = (AÈB) (AÇB) = {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9} Prof. Weber Campos 55

56 QUESTÕES RESOLVIDAS DE CONJUNTOS 01. (TTN 1998 ESAF) Considere dois conjuntos, A e B, tais que A = {4, 8, x, 9, 6} e B = {1, 3, x, 10, y, 6}. Sabendo que a intersecção dos conjuntos A e B é dada pelo conjunto {2, 9, 6}, o valor da expressão y-(3x + 3) é igual a a) -28 b) -19 c) 32 d) 6 e) 0 Sol.: O conjunto resultante da intersecção de A e B é igual a: AÇB={2, 9, 6}. Agora, devemos descobrir os valores de x e de y presentes nos conjuntos A e B. Observe que o número 2 é o primeiro elemento da intersecção entre A e B. Como o número 2 faz parte da intersecção, então ele tem que estar presente nos conjuntos A e B. Mas veja que o elemento 2 não está presente no conjunto A, então devemos fazer x igual a 2. Acabamos, então, de descobrir que x é 2! O número 9 é o segundo elemento da intersecção entre A e B. Como ele faz parte da intersecção, então ele tem que estar presente nos conjuntos A e B. No conjunto A temos o elemento 9, mas no conjunto B não aparece o elemento 9, então devemos fazer y igual a 9. Acabamos de descobrir o valor de y! Encontramos que: x=2 e y=9. O enunciado solicita o valor da expressão y (3x+3), substituindo x e y por 2 e 9, respectivamente, obteremos: à 9 (3.2+3) = 9 (9) = 0 (resposta!) 02. (ANEEL 2006 ESAF) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y - X é igual a: a) 4 d) vazio b) 6 e) 1 c) 8 Sol.: O número de subconjuntos de um dado conjunto é calculado por 2 n, onde n é o número de elementos do conjunto. Como o conjunto X tem 64 subconjuntos, então o número de elementos de X pode ser obtido a partir da igualdade: 2 n =64. Resolvendo, vem: à 2 n =64 à 2 n =2 6 à n=6 Portanto, o conjunto X tem 6 elementos. O conjunto Y tem 256 subconjuntos, então o número de elementos de Y pode ser obtido a partir da igualdade: 2 n =256. Resolvendo, vem: à 2 n =256 à 2 n =2 8 à n=8 Portanto, o conjunto Y tem 8 elementos. Agora, dos conjuntos X e Y sabemos que: à n(x)=6; à n(y)=8; à n(xçy)=2. Vamos lançar esses dados no desenho dos círculos X e Y. X Prof. Weber Campos Y

57 A quantidade 4, dentro do círculo X, foi obtida da diferença entre 6 e 2. E ela significa que há 4 elementos apenas em X. E a quantidade 6, dentro do círculo Y, foi obtida da diferença entre 8 e 2. E ela significa que há 6 elementos apenas em Y. A questão pede o número de elementos do conjunto diferença Y-X. A região dos círculos correspondente a diferença Y-X é a região do círculo Y que está fora da intersecção. E nesta região há 6 elementos. Resposta: Alternativa B! 03. (FCC) Em uma turma de 32 alunos, o número de alunos que praticam futebol é o triplo da quantidade de alunos que só praticam natação. Metade dos alunos dessa turma não pratica nenhum desses dois esportes. A porcentagem dos alunos da turma que praticam somente natação é: a) 10,0% b) 12,5% c) 17,0% d) 22,5% e) 25,0% Sol.: Temos os seguintes dados: à a turma tem 32 alunos; à o número de alunos que praticam futebol é o triplo da quantidade de alunos que só praticam natação; à metade dos alunos dessa turma não pratica nenhum desses dois esportes. Definiremos os seguintes conjuntos: F = conjunto dos alunos que praticam Futebol. N = conjunto dos alunos que praticam Natação. O conjunto universo é formado pela turma de 32 alunos. Turma de 32 alunos F N 3x x 16 Como metade dos alunos dessa turma não praticam nenhum desses esportes, então existem 16 (= 32/2) alunos fora dos círculos. Designamos por x o número de alunos que praticam apenas natação. Logo, o número de alunos que praticam futebol é igual a 3x. Se somarmos a quantidade de pessoas que praticam futebol (círculo azul) com a quantidade de pessoas que não praticam futebol (fora do círculo azul), o resultado deve ser igual ao total de alunos da turma: 32 alunos. Temos que: à Pessoas que praticam futebol = 3x à Pessoas que não praticam futebol = x + 16 Somando as quantidades acima tem que dar 32, então: à 3x + (x + 16) = 32 Resolvendo, vem: Prof. Weber Campos 57

58 à 4x = 16 à x = 4 (logo, 4 praticam apenas natação!) A porcentagem dos alunos da turma que praticam apenas natação é igual a razão entre o número de alunos que praticam apenas natação e o número total de alunos. Assim, teremos: à 4/32 = 1/8 = 0,125 = 12,5% (Resposta: Alternativa B) 04. (ANEEL 2004 ESAF) Em um grupo de 30 crianças, 16 têm olhos azuis e 20 estudam canto. O número de crianças deste grupo que têm olhos azuis e estudam canto é a) exatamente 16. b) no mínimo 6. c) exatamente 10. d) no máximo 6. e) exatamente 6. Sol.: Formaremos dois conjuntos: 1º) O conjunto das crianças de olhos azuis. 2º) O conjunto das crianças que estudam canto. Representaremos esses conjuntos por círculos, e o grupo das 30 crianças por um retângulo, conforme mostrado abaixo: Olhos Azuis 16-x 20-x x Estudam Canto z Designamos por x o número de crianças do grupo que têm olhos azuis e estudam canto. Assim, o número de crianças de olhos azuis que não estudam canto é igual a 16-x. E o número de crianças que estudam canto e não tem olhos azuis é igual a 20-x. E designamos por z o número de crianças do grupo que não têm olhos azuis ou não estudam canto. Somando as regiões do desenho e igualando ao total, formaremos a igualdade: à (16-x) + x + (20-x) + z = 30 Isolando o valor de x: à x = 6 + z O valor de x é dependente do valor de z, e x será mínimo quando z for mínimo, e x será máximo quando z for máximo. O menor valor que z pode assumir é zero, significando que todas as 30 crianças do grupo têm olhos azuis ou estudam canto. O valor de x correspondente a z=0 é igual a: à x = 6 + z = = 6 Esse resultado significa que o número de crianças deste grupo que têm olhos azuis e estudam canto é no mínimo 6. (Resposta: Alternativa B) E qual seria o valor máximo para x? Observe que dentro dos círculos temos duas diferenças: (16-x) e (20-x). Esses valores não podem ser negativos, para tanto o valor de x não pode ser maior do que 16. Portanto, o máximo valor para x é 16! Prof. Weber Campos 58

59 PORCENTAGEM 1. RAZÃO CENTESIMAL é a razão cujo denominador é igual a ,8 Exemplos:,,, Existe ainda outra forma de representar essas razões centesimais: 5 = 5% (cinco por cento) = 50% (cinquenta por cento) = 135% (cento e trinta e cinco por cento) ,8 = 33,8% (trinta e três vírgula oito por cento) 100 Tais razões estão expressas em taxas percentuais. Toda percentagem está associada a um número decimal. Exemplos: 48% = 0,48 ; 0,7% = 0,007 ; 7% = 0,07 ; 70% = 0,7 ; 700% = 7 Observação: A porcentagem, quando escrita na forma de 15%, por exemplo, é chamada de forma percentual, enquanto que seu equivalente 0,15 é dito forma unitária ou decimal. 2. TRANSFORMAÇÃO EM TAXAS PERCENTUAIS Multiplicando-se a taxa (fracionária, decimal...) por 100 e acrescentando-se o símbolo %, obtém-se a taxa percentual. Exemplos: 3 3 a) = 100% = 3 25% = 75% b) = 100% = 66,67% c) = 100% = 5 25% = 125% 4 4 d) 0,374 = 0,374 x 100 % = 37,4% e) 2,50 = 2,50 x 100 % = 250% f) 3 = 3 x 100 % = 300% 3. PORCENTAGEM SOBRE QUANTIDADES Para calcular uma porcentagem de uma quantidade qualquer, basta multiplicá-la pela taxa percentual. Exemplos: a) Quanto é 15% de 300? % 300= 300= 15 3= Prof. Weber Campos 59

60 b) Quanto é 20% de 650? % 650= 650= 2 65= c) Quanto é 12% de 148? % 148= 148= = 17, AUMENTO E REDUÇÃO PERCENTUAL Se um número N sofre um aumento percentual x%, seu novo valor passará a ser: N + x%.n = (1 + x%).n Da mesma forma, se o número N sofre um decréscimo percentual x%, passará a valer: N x%.n = (1 x%).n Exemplo: Um produto que custava R$ 80,00 sofreu um aumento de 15%. Quanto passou a custar? novo preço = (1 + 15%) x 80 = (1 + 0,15) x 80 = 1,15 x 80 = 92,00. Exemplo: Um artigo custa R$ 250,00. Com uma redução de 35% no seu valor, quanto passará a custar? novo preço = (1 35%) x 250 = (1 0,35) x 250 = 0,65 x 250 = 162, TAXAS PERCENTUAIS SUCESSIVAS A fim de estabelecer uma única fórmula para aumentos e descontos sucessivos, podemos definir que aumentos percentuais são taxas percentuais positivas e que reduções (descontos) percentuais são taxas negativas. Desse modo, teremos a fórmula: i 1+ i ) (1+ i ) (1+ i ) K (1+ i ) 1 = ( n - Exemplo: O salário de um jogador de futebol teve três aumentos percentuais num ano: o primeiro de 10%, o segundo de 5% e o terceiro de 20%. Qual foi o aumento percentual de salário obtido pelo jogador nesse ano? i= ( 1+ 10%) (1+ 5%) (1+ 20%) -1 i= ( 1+ 0,1) (1+ 0,05) (1+ 0,2) -1 i= 1,1 1,05 1,2-1 i=1,386-1 à i=0,386= 38,6% Exemplo: O preço de certa mercadoria era de R$ 500,00. Mas nos três primeiros meses do ano, sofreu as seguintes variações mensais: aumento de 30%, em seguida uma redução de 10% e logo depois uma redução de 1%. Qual é o novo preço da mercadoria? A taxa percentual sofrida nesses três meses será de: i= ( 1+ 30%) (1-10%) (1-1%) -1 i= ( 1+ 0,3) (1-0,1) (1-0,01) -1 i= 1,3 0,9 0,99-1 i=1, i= 0,1583 = +15,83% Novo preço da mercadoria = ,83% x 500 = ,15 = 579,15 Prof. Weber Campos 60

61 Exemplo: Num certo mês a inflação foi de 10% e no mês seguinte foi de 20%. Qual é a inflação acumulada nesses dois meses? INF = ( 1+ 10%) (1+ 20%) -1. INF = ( 1+ 0,1) (1+ 0,2) -1 INF = 1,1 1,2-1 INF = 1,32-1= 0,32 = 32% 6. LUCRO E PREJUÍZO O lucro é definido como a diferença entre o valor de venda e o valor de custo (ou compra) e simbolizamos por: L(R$) = V C Quando o valor de venda (V) for maior que o valor de custo (C), o L será positivo, indicando que houve um lucro. Caso contrário, o valor de venda menor que o de custo, teremos um L negativo, indicando que houve prejuízo. A taxa percentual do lucro pode ter como referência o preço de custo ou o preço de venda. As duas fórmulas são apresentadas a seguir: è Taxa percentual do Lucro sobre o Preço de Custo: V -C L= C è Taxa percentual do Lucro sobre o Preço de Venda: V -C L= V Exemplo: Um computador que foi comprado nos EUA pelo equivalente de R$ 1.400,00, será vendido no Brasil com um lucro de 15% sobre o preço de compra. Qual foi o valor de venda do computador no Brasil? Temos os seguintes dados: C = 1400 e L = 15% A fórmula do Lucro sobre o preço de compra é dado por: V -C L= C Vamos substituir os dados na fórmula: % = V 1400 Resolvendo vem: V = 0, V = V =1610,00 (Resposta!) Exemplo: Uma empresa fabrica certo produto a um custo de R$ 250,00. Contudo, o produto não foi bem aceito no mercado e, então, a empresa resolveu vendê-lo pelo preço de R$ 180,00. Qual foi a taxa de prejuízo sobre o preço de venda? Temos os seguintes dados: C = 250 e V = 180 Prof. Weber Campos 61

62 O prejuízo equivale a um lucro negativo. Daí, usaremos a fórmula do Lucro sobre o preço de venda que é dado por: V -C L= V Vamos substituir os dados na fórmula: L = 180 Resolvendo vem: L = = Vamos multiplicar por 100 para encontrar o valor percentual: L = 100% = % = %@-38,89% Portanto, o prejuízo foi de aproximadamente 38,89%. 7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Exemplo: Numa escola de 800 alunos, temos que 60% são meninas. Qual é a quantidade de meninos? Como a quantidade de meninas representa 60% do total, a quantidade de meninos representará 40% do total. Daí, teremos: Número de meninos = 40% de 800 = 0,4 x 800 = 4 x 80 = 320 (Resposta!) Exemplo: Numa urna, 35% das bolas são pretas e as outras 455 são brancas. Quantas bolas há na urna? A porcentagem de bolas brancas na urna é igual a 65% (=100% 35%) do total. Considerando que o total de bolas da urna é X, podemos montar a seguinte equação: 65 % X = 455 Resolvendo vem: X = = = = 7 100= 700 0, Portanto, há 700 bolas na urna. Exemplo: Certo produto passou de R$ 24,00 para R$ 30,00. Qual foi a taxa percentual de aumento? Aumento em reais = = 6,00 A variação percentual pode ser calculada dividindo-se o aumento em dinheiro pelo valor inicial do produto: 6 = 0,25= 25% (Resposta!) 24 Exemplo: O salário de Amarildo é 30% maior que o de Bruno e o salário deste é 20% menor que o de Carlos. A soma dos salários dos três é igual a R$ 5680,00. Qual é o salário de cada um deles? Vamos designar as seguintes letras: A = salário de Amarildo B = salário de Bruno C = salário de Carlos Prof. Weber Campos 62

63 Do enunciado, temos que: à A = B + 30%.B = 1,3.B à B = C 20%.C = 0,8.C Devemos trabalhar apenas com uma letra, para tanto vamos colocar A em função de C. Teremos: à A = 1,3.B = 1,3.(0,8C) = 1,04.C A expressão da soma dos salários é: à A + B + C = 5680 Vamos substituir as letras A e B em função de C: à 1,04C + 0,8C + C = 5680 à 2,84C = 5680 à C = 5680/2,84 à C = 2000 Daí: à A = 1,04.C = 1, = 2080 à B = 0,8.C = 0, = 1600 Portanto, o salário de Amarildo é R$ 2080,00, o de Bruno é R$ 1600,00 e o de Carlos é de R$ 2000,00. Prof. Weber Campos 63

64 EXERCÍCIOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS 01. (TCE/PB 2006 FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças: 1. Três mais nove é igual a doze. 2. Pelé é brasileiro. 3. O jogador de futebol. 4. A idade de Maria. 5. A metade de um número. 6. O triplo de 15 é maior do que 10. É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números (A) 1, 2 e 6. (D) 1, 2, 5 e 6. (B) 2, 3 e 4. (E) 2, 3, 4 e 5. (C) 3, 4 e (TRF 2ª Região 2007 FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças: 1. A terça parte de um número. 2. Jasão é elegante. 3. Mente sã em corpo são. 4. Dois mais dois são Evite o fumo. 6. Trinta e dois centésimos. É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças APENAS os itens de números (A) 1, 4 e 6. (D) 3 e 5. (B) 2, 4 e 5. (E) 2 e 4. (C) 2, 3 e (PM-Bahia 2009 FCC) Define-se sentença como qualquer oração que tem sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação que segue há expressões e sentenças : 1. Tomara que chova. 2. Que horas são? 3. Três vezes dois são cinco. 4. Quarenta e dois detentos. 5. Policiais são confiáveis. 6. Exercícios físicos são saudáveis. De acordo com a definição dada, é correto afirmar que, dos itens da relação acima, são sentenças APENAS os de números A) 1, 3 e 5. D) 4 e 6. B) 2, 3 e 5. E) 5 e 6. C) 3, 5 e (ICMS/SP 2006 FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a (A) I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V. Prof. Weber Campos 64

65 05. (ICMS/SP 2006 FCC) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em II. (x + y)/5 é um número inteiro. III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em É verdade que APENAS (A) I e II são sentenças abertas. (B) I e III são sentenças abertas. (C) II e III são sentenças abertas. (D) I é uma sentença aberta. (E) II é uma sentença aberta. 06. (MRE 2008 CESPE) Julgue os itens a seguir. 1. Considere a seguinte lista de sentenças: I. Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? II. O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX. III. As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y. IV. O barão do Rio Branco foi um diplomata notável. V. Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES. Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma proposição. 07. (SEBRAE-2008/CESPE) Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o seguinte diálogo: (1) Você sabe dividir? perguntou Ana. (2) Claro que sei! respondeu Mauro. (3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? perguntou Ana. (4) O resto é dois. respondeu Mauro, após fazer a conta. A partir das informações e do diálogo acima, julgue os itens que se seguem. 1. A frase indicada por (3) não é uma proposição. 2. A frase (2) é uma proposição. 08. (ICMS/SP 2006 FCC) Considere a proposição Paula estuda, mas não passa no concurso. Nessa proposição, o conectivo lógico é (A) disjunção inclusiva. (B) conjunção. (C) disjunção exclusiva. (D) condicional. (E) bicondicional. 09. (TRT 9ª Região 2004 FCC) Leia atentamente as proposições simples P e Q: P: João foi aprovado no concurso do Tribunal. Q: João foi aprovado em um concurso. Do ponto de vista lógico, uma proposição condicional correta em relação a P e Q é: (A) Se não Q, então P. (B) Se não P, então não Q. (C) Se P, então Q. (D) Se Q, então P. (E) Se P, então não Q. Prof. Weber Campos 65

66 10. (BACEN 2006 FCC) Sejam as proposições: p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central; q: fazer frente ao fluxo positivo. Se p implica em q, então (A) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo. (B) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. (C) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo. (D) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. (E) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo. 11. (TRT-SP Anal Jud 2008 FCC) São dadas as seguintes proposições: - p: Computadores são capazes de processar quaisquer tipos de dados. - q: É possível provar que + 1 =. Se p implica em q, então o fato de (A) ser possível provar que + 1 = é uma condição necessária e suficiente para que os computadores sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados. (B) computadores serem capazes de processar quaisquer tipos de dados não é condição necessária e nem suficiente para que seja possível provar que + 1 =. (C) ser possível provar que + 1 = é uma condição suficiente para que os computadores sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados. (D) computadores serem capazes de processar quaisquer tipos de dados é condição necessária para que seja possível provar que + 1 =. (E) ser possível provar que + 1 = é condição necessária para que os computadores sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados. 12. (MRE 2008 CESPE) Julgue o seguinte item: Item 1. Considerando que A e B simbolizem, respectivamente, as proposições A publicação usa e cita documentos do Itamaraty e O autor envia duas cópias de sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty, então a proposição B A é uma simbolização correta para a proposição Uma condição necessária para que o autor envie duas cópias de sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty é que a publicação use e cite documentos do Itamaraty. 13. (PETROBRAS 2007 CESPE) Julgue o seguinte item: Item 1. A proposição O piloto vencerá a corrida somente se o carro estiver bem preparado pode ser corretamente lida como O carro estar bem preparado é condição necessária para que o piloto vença a corrida. 14. (TRF 1ª Região Técnico Jud 2006 FCC) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo: a) alguns atos não têm causa se não há atos livres. b) Todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres. c) Todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres. d) Todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres. e) Alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa Prof. Weber Campos 66

67 15. (TRT-SP Anal Jud 2008 FCC) Considere as seguintes premissas: "Se todos os homens são sábios, então não há justiça para todos." "Se não há justiça para todos, então todos os homens são sábios." Para que se tenha um argumento válido, é correto concluir que: (A) Todos os homens são sábios se, e somente se, há justiça para todos. (B) Todos os homens são sábios se, e somente se, não há justiça para todos. (C) Todos os homens são sábios e há justiça para todos. (D) Todos os homens são sábios e não há justiça para todos. (E) Todos os homens são sábios se há justiça para todos. 16. (TRT-SP Téc. Jud. Área Administrativa 2008 FCC) Dadas as proposições simples p e q, tais que p é verdadeira e q é falsa, considere as seguintes proposições compostas: (1) p Ù q ; (2) ~p q ; (3) ~(p Ú ~q) ; (4) ~(p q) Quantas dessas proposições compostas são verdadeiras? (A) Nenhuma. (D) Apenas três. (B) Apenas uma. (E) Quatro. (C) Apenas duas. 17. (TRT 9ª Região 2004 FCC) Leia atentamente as proposições P e Q: P: o computador é uma máquina. Q: compete ao cargo de técnico judiciário a construção de computadores. Em relação às duas proposições, é correto afirmar que (A) a proposição composta P ou Q" é verdadeira. (B) a proposição composta P e Q é verdadeira. (C) a negação de P é equivalente à negação de Q. (D) P é equivalente a Q. (E) P implica Q. 18. (Petrobrás 2006 Cesgranrio) Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que as proposições r e s são falsas, assinale a opção que apresenta valor lógico falso nas proposições abaixo. (A) Ør p Ù q (B) (r s) Ù (p Ù q) (C) (s «r) «(p «q) (D) Ø((r p) Ú (s q)) (E) r q «(Øp «r) 19. (Téc Controle Interno RJ 99 ESAF) Dadas as proposições I) ~( = 2 «3 + 4 = 5 ) II) ~( ¹ 4 Ù = 8 ) III) 4 3 ¹ 64 «( = 7 «1 + 1 = 2 ) IV) (2 3 ¹ 8 Ú 4 2 ¹ 4 3 ) V) 3 4 = 81 «~ ( = 3 Ù 5 x 0 = 0) A que tem valor lógico FALSO é a (A) IV (B) V (C) III (D) II (E) I 20. (ICMS/SP 2006 FCC) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições p q? V V F V F V F V F F F F Prof. Weber Campos 67

68 A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é (A) p Ù q (D) p «q (B) p q (E) ~(p Ú q) (C) ~(p q) 21. (Tec da Fazenda Estadual de SP 2010 FCC) Considere as seguintes premissas: p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente. q: O trabalho enobrece. A afirmação Se o trabalho não enobrece, então estudar não é fundamental para crescer profissionalmente é, com certeza, FALSA quando: (A) p é falsa e q é verdadeira. (D) p é falsa e q é falsa. (B) p é verdadeira e q é falsa. (E) p é verdadeira e q é verdadeira. (C) p é falsa ou q é falsa. 22. (TRT-SP Tec Jud 2008 FCC) Considere que são verdadeiras as seguintes premissas: Se o professor adiar a prova, Lulu irá ao cinema. Se o professor não adiar a prova, Lenine irá à Biblioteca. Considerando que, com certeza, o professor adiará a prova, é correto afirmar que a) Lulu e Lenine não irão à Biblioteca b) Lulu e Lenine não irão ao cinema. c) Lulu irá ao cinema. d) Lenine irá à Biblioteca. e) Lulu irá ao cinema e Lenine não irá à Biblioteca. 23. (TCE-SP 2010 FCC) Certo dia, cinco Agentes de um mesmo setor do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo Amarilis, Benivaldo, Corifeu, Divino e Esmeralda foram convocados para uma reunião em que se discutiria a implantação de um novo serviço de telefonia. Após a reunião, alguns funcionários fizeram os seguintes comentários: Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também participou ; Se Divino não participou da reunião, então Corifeu participou ; Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarilis não participou ; Esmeralda não participou da reunião. Considerando que as afirmações contidas nos quatro comentários eram verdadeiras, pode-se concluir com certeza que, além de Esmeralda, não participaram de tal reunião (A) Amarilis e Benivaldo. (B) Amarilis e Divino. (C) Benivaldo e Corifeu. (D) Benivaldo e Divino. (E) Corifeu e Divino. 24. (Metrô-SP 2009 FCC) Entre outros, três enfermeiros Abigail, Benício e Clóvis foram incumbidos de acompanhar um Programa de Vacinação contra o vírus da dengue, a ser executado em uma mesma estação de trens metropolitanos da cidade de São Paulo. Sabedor de que, no dia estipulado para a execução do programa, pelo menos um desses três enfermeiros não havia comparecido ao local designado, o Coordenador do Programa convocou-os a prestar esclarecimentos, ouvindo deles as seguintes declarações: Abigail: Benício faltou e Clóvis faltou. Benício: Clóvis compareceu ou Abigail faltou. Clóvis: Se Benício compareceu, então Abigail faltou. Considerando que as três declarações são falsas, é correto afirmar que, apenas, (A) Abigail faltou. (B) Benício faltou. (C) Clóvis faltou. (D) Abigail e Benício faltaram. (E) Benício e Clóvis faltaram. Prof. Weber Campos 68

69 25. (Analista BACEN 2005 FCC) Aldo, Benê e Caio receberam uma proposta para executar um projeto. A seguir são registradas as declarações dadas pelos três, após a conclusão do projeto: - Aldo: Não é verdade que Benê e Caio executaram o projeto. - Benê: Se Aldo não executou o projeto, então Caio o executou. - Caio: Eu não executei o projeto, mas Aldo ou Benê o executaram. Se somente a afirmação de Benê é falsa, então o projeto foi executado APENAS por (A) Aldo. (C) Caio. (E) Aldo e Caio. (B) Benê. (D) Aldo e Benê. 26. (Câmara dos deputados 2007 FCC) Relativamente a uma mesma prova de um concurso a que se submeteram, três amigos fizeram as seguintes declarações: Ariovaldo: Benício foi reprovado no concurso e Corifeu foi aprovado. Benício: Se Ariovaldo foi reprovado no concurso, então Corifeu também o foi. Corifeu: Eu fui aprovado no concurso, mas pelo menos um dos outros dois não o foi. Admitindo-se que as três declarações são verdadeiras, então (A) Ariovaldo foi o único dos três que foi aprovado no concurso. (B) Benício foi o único dos três que foi aprovado no concurso. (C) Corifeu foi o único dos três que foi aprovado no concurso. (D) Benício foi o único dos três que foi reprovado no concurso. (E) Ariovaldo foi o único dos três que foi reprovado no concurso. NEGAÇÃO 27. Dê a negação de cada uma das proposições abaixo. a) Todos os corvos não são negros. Algum corvo é negro. b) Nenhum gato não sabe pular. Algum gato não sabe pular. c) Algum sapo é príncipe. Nenhum sapo é príncipe. d) Alguma planta não é venenosa. Toda planta é venenosa. 28. (TRT 9ª Região 2004 FCC) A correta negação da proposição "todos os cargos deste concurso são de analista judiciário é: (A) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário. (B) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. (C) existem cargos deste concurso que são de analista judiciário. (D) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário. (E) os cargos deste concurso são ou de analista, ou no judiciário. 29. (Escriturário Banco do Brasil 2011 FCC) Um jornal publicou a seguinte manchete: Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários. Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é: (A) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários. (B) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários. (C) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários. (D) Existem Agências com deficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil. (E) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo. Prof. Weber Campos 69

70 30. (Prominp 2009 Cesgranrio) A negação de Todos os filhos de Maria gostam de quiabo é (A) nenhum dos filhos de Maria gosta de quiabo. (B) nenhum dos filhos de Maria desgosta de quiabo. (C) pelo menos um dos filhos de Maria gosta de quiabo. (D) pelo menos um dos filhos de Maria desgosta de quiabo. (E) alguns filhos de Maria não gostam de quiabo. 31. (Metrô-SP 2010 FCC) A negação da proposição Existem Linhas do Metrô de São Paulo que são ociosas. é: (A) Nenhuma Linha do Metrô de São Paulo é ociosa. (B) Nenhuma Linha ociosa é do Metrô de São Paulo. (C) Nem toda Linha do Metrô de São Paulo é ociosa. (D) Algumas Linhas do Metrô de São Paulo não são ociosas. (E) Toda Linha do Metrô de São Paulo é não ociosa. 32. (Oficial de Justiça TJ-PE 2006 FCC) Considere a afirmação abaixo. Existem funcionários públicos que não são eficientes. Se essa afirmação é FALSA, então é verdade que: (A) nenhum funcionário público é eficiente. (B) nenhuma pessoa eficiente é funcionário público. (C) todo funcionário público é eficiente. (D) nem todos os funcionários públicos são eficientes. (E) todas as pessoas eficientes são funcionários públicos. 33. (TRT 9ª Região 2004 FCC) Em uma declaração ao tribunal, o acusado de um crime diz: "No dia do crime, não fui a lugar nenhum. Quando ouvi a campainha e percebi que era o vendedor, eu disse a ele: - hoje não compro nada. Isso posto, não tenho nada a declarar sobre o crime. Embora a dupla negação seja utilizada com certa freqüência na língua portuguesa como um reforço da negação, do ponto de vista puramente lógico, ela equivale a uma afirmação. Então, do ponto de vista lógico, o acusado afirmou, em relação ao dia do crime, que (A) não foi a lugar algum, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. (B) não foi a lugar algum, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. (C) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. (D) foi a algum lugar, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. (E) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. 34. (Fiscal Recife 2003 ESAF) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 35. (Especialista em Políticas Públicas SP 2009 FCC) A sentença a seguir foi dita pelo chefe da manutenção de determinada indústria durante uma reunião: Não é verdade que todos os funcionários do meu setor deixaram de cumprir a meta de atender a 100% das chamadas dentro do prazo recomendado. Mais tarde, na mesma reunião, os dados apresentados pelos outros setores da indústria mostraram que o chefe da manutenção se equivocara, sendo falsa sua sentença. Nessas condições, é necessário concluir que Prof. Weber Campos 70

71 (A) nenhum funcionário da manutenção conseguiu atende a qualquer chamada dentro do prazo recomendado. (B) pelo menos um funcionário da manutenção não conseguiu atender nenhuma chamada dentro do prazo recomendado. (C) todos os funcionários da manutenção tiveram pelo menos uma chamada que não foi atendida dentro do prazo recomendado. (D) apenas um funcionário da manutenção teve pelo menos uma chamada que não foi atendida dentro do prazo recomendado. (E) 100% das chamadas feitas a funcionários da manutenção deixaram de ser atendidas dentro do prazo recomendado. 36. Dê uma negação para cada uma das proposições abaixo. a) X > Y e Z = W. b) X Y ou Z < W. c) Se o tempo está chuvoso, então não faz calor. d) João é bom médico se e só se estudou muito. 37. (Metrô-SP 2010 FCC) Considere as proposições simples: p: Maly é usuária do Metrô e q: Maly gosta de dirigir automóvel A negação da proposição composta p Ù ~q é: (A) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel. (B) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. (C) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. (D) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de dirigir automóvel. (E) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir automóvel. 38. (ANEEL Analista 2006 ESAF) A negação da afirmação condicional se Ana viajar, Paulo vai viajar é: a) Ana não está viajando e Paulo vai viajar. b) se Ana não viajar, Paulo vai viajar. c) Ana está viajando e Paulo não vai viajar. d) Ana não está viajando e Paulo não vai viajar. e) se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar. 39. (Prominp 2008 Cesgranrio) Sejam p, q e r proposições simples e ~p, ~q e ~r as suas respectivas negações. A negação de (p q) ~r é (A) p q r (D) ~(p q) r (B) p q r (E) ~(p q) ~r (C) (p q) r EQUIVALÊNCIA 40. (ICMS/SP 2006 FCC) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a p q é (A) ~ q ~ p (D) q ~ p (B) ~ q p (E) ~ (q p) (C) ~ p ~ q 41. (TRF 3ª Região 2007 FCC) Se Lucia é pintora, então ela é feliz. Portanto: (A) Se Lucia não é feliz, então ela não é pintora. (B) Se Lucia é feliz, então ela é pintora. (C) Se Lucia é feliz, então ela não é pintora. (D) Se Lucia não é pintora, então ela é feliz. (E) Se Lucia é pintora, então ela não é feliz. Prof. Weber Campos 71

72 42. (Assembléia Legislativa/SP 2010 FCC) Durante uma sessão no plenário da Assembléia Legislativa, o presidente da mesa fez a seguinte declaração, dirigindo- se às galerias da casa: Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas, então eu não darei início à votação. Esta declaração é logicamente equivalente à afirmação (A) se as manifestações desrespeitosas continuarem, então o presidente da mesa começará a votação. (B) se as manifestações desrespeitosas não continuarem, então o presidente da mesa não começará a votação. (C) se o presidente da mesa deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas foram interrompidas. (D) se o presidente da mesa não deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas não foram interrompidas. (E) se as manifestações desrespeitosas forem interrompidas, então o presidente da mesa dará início à votação. 43. (TCE MG 2007 FCC) São dadas as seguintes proposições: (1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente. (2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente. (3) Não é verdade que, Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente. (4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas. É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números (A) 2 e 4 (B) 2 e 3 (C) 2, 3 e 4 (D) 1, 2 e 3 (E) 1, 3 e (ISS São Paulo 2007 FCC) Considere a seguinte proposição: Se um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento, então ele não progride na carreira. Essa proposição é tautologicamente equivalente à proposição: (A) Não é verdade que, ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento. (B) Se um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento, então ele progride na carreira. (C) Não é verdade que, um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento e não progride na carreira. (D) Ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento. (E) Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento e progride na carreira. 45. (TRE-PI Téc Jud 2009 FCC) Um dos novos funcionários de um cartório, responsável por orientar o público, recebeu a seguinte instrução: Se uma pessoa precisar autenticar documentos, encaminhe-a ao setor verde. Considerando que essa instrução é sempre cumprida corretamente, pode-se concluir que, necessariamente, (A) uma pessoa que não precise autenticar documentos nunca é encaminhada ao setor verde. (B) toda pessoa encaminhada ao setor verde precisa autenticar documentos. (C) somente as pessoas que precisam autenticar documentos são encaminhadas ao setor verde. (D) a única função das pessoas que trabalham no setor verde é autenticar documentos. (E) toda pessoa que não é encaminhada ao setor verde não precisa autenticar documentos. Prof. Weber Campos 72

73 46. (TRF 3ª Região Analista Judiciário 2007 FCC) Considere que as sentenças abaixo são verdadeiras. Se a temperatura está abaixo de 5 C, há nevoeiro. Se há nevoeiro, os aviões não decolam. Assim sendo, também é verdadeira a sentença: (A) Se não há nevoeiro, os aviões decolam. (B) Se não há nevoeiro, a temperatura está igual a ou acima de 5 C. (C) Se os aviões não decolam, então há nevoeiro. (D) Se há nevoeiro, então a temperatura está abaixo de 5 C. (E) Se a temperatura está igual a ou acima de 5 C os aviões decolam. 47. (ICMS/SP 2006 FCC) Se p e q são proposições, então a proposição p Ù (~q) é equivalente a (A) ~(p ~q) (B) ~(p q) (C) ~q ~p (D) ~(q ~p) (E) ~(p Ú q) 48. (ICMS/SP 2006 FCC) Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta. (A) As proposições ~(p Ù q) e (~p Ú ~q) não são logicamente equivalentes. (B) A negação da proposição Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom, é a proposição Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom. (C) A proposição ~[ p Ú ~(p Ù q)] é logicamente falsa. (D) A proposição Se está quente, ele usa camiseta, é logicamente equivalente à proposição Não está quente e ele usa camiseta. (E) A proposição Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular é falsa. 49. (Especialista em Políticas Públicas SP 2009 FCC) Um fornecedor do governo apresentou, no mês de abril, um contrato para realização de um serviço que seria pago somente em maio. O contrato trazia a seguinte cláusula: Se o IPCA de abril for menor do que 2%, então os valores constantes no contrato não sofrerão qualquer correção. De acordo com essa cláusula, é correto concluir que, necessariamente, se (A) os valores constantes no contrato sofreram uma correção de 2%, então o IPCA de abril foi, no mínimo, 2%. (B) os valores constantes no contrato sofreram uma correção de 1%, então o IPCA de abril ficou entre 1% e 2%. (C) o IPCA de abril foi 3%, então os valores do contrato sofreram algum tipo de correção. (D) o IPCA de abril foi 1%, então os valores do contrato sofreram correção de, no mínimo, 1%. (E) os valores constantes no contrato não sofreram qualquer correção, então o IPCA de abril foi, no máximo, 1%. TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA 50. (TRT FCC) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza: (A) um silogismo. (D) uma contingência. (B) uma tautologia. (E) uma contradição. (C) uma equivalência. 51. (ICMS/SP 2006 FCC) Considere as afirmações abaixo. I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. II. A proposição (10 < 10 )«(8-3 = 6) é falsa. III. Se p e q são proposições, então a proposição (p q) Ú (~q) é uma tautologia. Prof. Weber Campos 73

74 É verdade o que se afirma APENAS em (A) I. (D) I e II. (B) II. (E) I e III. (C) III. 52. Classifique as proposições abaixo em Tautologia (T), Contradição (C) e Contingência (G): a) (AÙB) (AÚB) b) [AÙ( B)] Ù [( A)ÚB] c) A Ú [A (B Ù ~B)] d) (AÚB) ( A)ÚB e) AÚB «( A)Ù( B) f) (A B) Ù A Ù (C Ú A Ú C) g) [A B] «[( B) ( A)] 53. (ICMS/SP 2006 FCC) Dada a sentença ~(~p Ù q Ù r), complete o espaço com uma e uma só das sentenças simples p, q, r ou a sua negação ~p, ~q ou ~r para que a sentença dada seja uma tautologia. Assinale a opção que responde a essa condição (A) Somente q. (B) Somente p. (C) Somente uma das duas: q ou r. (D) Somente uma das três: ~p, q ou r. (E) Somente uma das três: p, ~q ou ~r. 54. (ICMS/SP 2006 FCC) Seja a sentença ~{[(p q) Ú r] «[ q (~p Ú r)]}. Se considerarmos que p é falsa, então é verdade que (A) essa sentença é uma tautologia. (B) o valor lógico dessa sentença é sempre F. (C) nas linhas da Tabela-Verdade em que p é F, a sentença é V. (D) nas linhas da Tabela-Verdade em que p é F, a sentença é F. (E) faltou informar o valor lógico de q e de r. 55. (ICMS/SP 2006 FCC) Seja a sentença aberta A: (~p Ú p) «e a sentença B: Se o espaço for ocupado por uma...(i)..., a sentença A será uma...(ii).... A sentença B se tornará verdadeira se I e II forem substituídos, respectivamente, por (A) tautologia e contingência. (B) contingência e contingência. (C) contradição e tautologia. (D) contingência e contradição. (E) tautologia e contradição. DIAGRAMAS LÓGICOS 56. (BAHIAGÁS 2010 FCC) Admita as frases seguintes como verdadeiras. I. Existem futebolistas (F) que surfam (S) e alguns desses futebolistas também são tenistas (T). II. Alguns tenistas e futebolistas também jogam vôlei (V). III. Nenhum jogador de vôlei surfa. A representação que admite a veracidade das frases é: Prof. Weber Campos 74

75 57. (TRT 9ª Região 2004 FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos. Admitindose verdadeira a frase "Todos os corruptos são desonestos, é correto concluir que (A) quem não é corrupto é honesto. (B) existem corruptos honestos. (C) alguns honestos podem ser corruptos. (D) existem mais corruptos do que desonestos. (E) existem desonestos que são corruptos. 58. (ICMS São Paulo 97) Todo A é B, e todo C não é B, portanto: a) algum A é C; b) nenhum A é C; c) nenhum A é B; d) algum B é C; e) nenhum B é A; 59. (TRT8 Pará Téc. Jud FCC) Em certo planeta, todos os Aleves são Bleves, todos os Cleves são Bleves, todos os Dleves são Aleves, e todos os Cleves são Dleves. Sobre os habitantes desse planeta, é correto afirmar que (A) Todos os Dleves são Bleves e são Cleves. (B) Todos os Bleves são Cleves e são Dleves. (C) Todos os Aleves são Cleves e são Dleves. (D) Todos os Cleves são Aleves e são Bleves. (E) Todos os Aleves são Dleves e alguns Aleves podem não ser Cleves. 60. (TRE-PI Téc Jud 2009 FCC) Todos os advogados que trabalham numa cidade formaram-se na universidade X. Sabe-se ainda que alguns funcionários da prefeitura dessa cidade são advogados. A partir dessas informações, é correto concluir que, necessariamente, (A) existem funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X. (B) todos os funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X são advogados. (C) todos os advogados formados na universidade X trabalham nessa cidade. (D) dentre todos os habitantes dessa cidade, somente os advogados formaram-se na universidade X. (E) existem funcionários da prefeitura dessa cidade que não se formaram na universidade X. 61. (Prefeitura Municipal de SP 2008 FCC) Considere as seguintes premissas: Todo Físico é inteligente. Todo Físico sabe Matemática. Perseu é inteligente. Levi sabe Matemática. e as conclusões: Prof. Weber Campos 75

76 I. Levi é inteligente. II. Perseu é Físico. III. Existem pessoas que sabem Matemática e são inteligentes. Relativamente a essas conclusões, é correto afirmar que, com certeza, APENAS (A) I é verdadeira. (B) II é verdadeira. (C) III é verdadeira. (D) II é falsa. (E) I é falsa. 62. (TRF 1ª Região Tec Jud FCC 2006) Algum X é Y. Todo X é Z. Logo, (A) algum Z é Y. (D) todo Z é Y. (B) algum X é Z. (E) algum X é Y. (C) todo Z é X. 63. (TJ/PE Tec Jud 2007 FCC) Todas as estrelas são dotadas de luz própria. Nenhum planeta brilha com luz própria. Logo, (A) todos os planetas são estrelas. (B) nenhum planeta é estrela. (C) todas as estrelas são planetas. (D) todos os planetas são planetas. (E) todas as estrelas são estrelas. 64. (TRF 3ª Região Téc. Jud.- Seg. e Transp FCC) Se todos os jaguadartes são momorrengos e todos os momorrengos são cronópios então pode-se concluir que: (A) É possível existir um jaguadarte que não seja momorrengo. (B) É possível existir um momorrengo que não seja jaguadarte. (C) Todos os momorrengos são jaguadartes. (D) É possível existir um jaguadarte que não seja cronópio. (E) Todos os cronópios são jaguadartes. 65. (TCE-SP 2010 FCC) Considere as seguintes afirmações: - Todo escriturário deve ter noções de Matemática. - Alguns funcionários do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo são escriturários. Se as duas afirmações são verdadeiras, então é correto afirmar que: (A) Todo funcionário do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo deve ter noções de Matemática. (B) Se Joaquim tem noções de Matemática, então ele é escriturário. (C) Se Joaquim é funcionário do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo, então ele é escriturário. (D) Se Joaquim é escriturário, então ele é funcionário do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo. (E) Alguns funcionários do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo podem não ter noções de Matemática. 66. (ISS São Paulo 2007 FCC) Considerando os Auditores-Fiscais que, certo mês, estiveram envolvidos no planejamento das atividades de fiscalização de contribuintes, arrecadação e cobrança de impostos, observou-se que: todos os que planejaram a arrecadação de impostos também planejaram a fiscalização de contribuintes; alguns, que planejaram a cobrança de impostos, também planejaram a fiscalização de contribuintes. Com base nas observações feitas, é correto afirmar que, com certeza, Com base nas observações feitas, é correto afirmar que, com certeza, (A) todo Auditor-fiscal que planejou a fiscalização de contribuintes esteve envolvido no planejamento da arrecadação de impostos. (B) se algum Auditor-fiscal esteve envolvido nos planejamentos da arrecadação e da cobrança de impostos, então ele também planejou a fiscalização de contribuintes. Prof. Weber Campos 76

77 (C) existe um Auditor-fiscal que esteve envolvido tanto no planejamento da arrecadação de impostos como no da cobrança dos mesmos. (D) existem Auditores-fiscais que estiveram envolvidos no planejamento da arrecadação de impostos e não no da fiscalização de contribuintes. (E) pelo menos um Auditor-fiscal que esteve envolvido no planejamento da cobrança de impostos também planejou a arrecadação dos mesmos. IMPLICAÇÃO LÓGICA 67-A. (TRT8 Pará - Analista Jud FCC) Se Alceu tira férias, então Brenda fica trabalhando. Se Brenda fica trabalhando, então Clóvis chega mais tarde ao trabalho. Se Clóvis chega mais tarde ao trabalho, então Dalva falta ao trabalho. Sabendo-se que Dalva não faltou ao trabalho, é correto concluir que (A) Alceu não tira férias e Clóvis chega mais tarde ao trabalho. (B) Brenda não fica trabalhando e Clóvis chega mais tarde ao trabalho. (C) Clóvis não chega mais tarde ao trabalho e Alceu não tira férias. (D) Brenda fica trabalhando e Clóvis chega mais tarde ao trabalho. (E) Alceu tira férias e Brenda fica trabalhando. 67-B. (IPEA 2004 FCC) Quando não vejo Lucia, não passeio ou fico deprimido. Quando chove, não passeio e fico deprimido. Quando não faz calor e passeio, não vejo Lucia. Quando não chove e estou deprimido, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje (A) vejo Lucia, e não estou deprimido, e não chove, e faz calor. (B) não vejo Lucia, e estou deprimido, e chove, e faz calor. (C) não vejo Lucia, e estou deprimido, e não chove, e não faz calor. (D) vejo Lucia, e não estou deprimido, e chove, e faz calor. (E) vejo Lucia, e estou deprimido, e não chove, e faz calor. 68. (TRF 3ª Região Téc. Jud FCC) Se Rodolfo é mais alto que Guilherme, então Heloisa e Flávia têm a mesma altura. Se Heloisa e Flávia têm a mesma altura, então Alexandre é mais baixo que Guilherme. Se Alexandre é mais baixo que Guilherme, Rodolfo é mais alto que Heloisa. Ora, Rodolfo não é mais alto que Heloisa. Logo: (A) Rodolfo não é mais alto que Guilherme, e Heloisa e Flávia não têm a mesma altura. (B) Rodolfo é mais alto que Guilherme, e Heloisa e Flávia têm a mesma altura. (C) Rodolfo não é mais alto que Flávia, e Alexandre é mais baixo que Guilherme. (D) Rodolfo e Alexandre são mais baixos que Guilherme. (E) Rodolfo é mais alto que Guilherme, e Alexandre é mais baixo que Heloísa. 69. (TJ-PE Anal Jud 2007 FCC) Se Rasputin não tivesse existido, Lenin também não existiria. Lenin existiu. Logo, (A) Lenin e Rasputin não existiram. (B) Lenin não existiu. (C) Rasputin existiu. (D) Rasputin não existiu. (E) Lenin existiu. 70. (TJ/PE Tec Jud 2007 FCC) Aquele policial cometeu homicídio. Mas centenas de outros policiais cometeram homicídios, se aquele policial cometeu. Logo, (A) centenas de outros policiais não cometeram homicídios. (B) aquele policial não cometeu homicídio. (C) aquele policial cometeu homicídio. (D) nenhum policial cometeu homicídio. (E) centenas de outros policiais cometeram homicídios. Prof. Weber Campos 77

78 71. (MPU Controle Interno 2004 ESAF) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio, a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo. b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo. e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo. 72. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo: a) Pedro é português e Frederico é francês b) Pedro é português e Alberto é alemão c) Pedro não é português e Alberto é alemão d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês 73. (Delegado Pol Civil-PE 2006 IPAD) Cleyton têm três filhos: Felipe, João e Gerson. Um deles torce pelo Santa Cruz, o outro pelo Náutico e o terceiro pelo Sport. Sabe-se que: 1) João torce pelo Náutico ou Gerson torce pelo Náutico; 2) Felipe torce pelo Santa Cruz ou Gerson torce pelo Santa Cruz; 3) Felipe torce pelo Náutico ou João torce pelo Sport, mas não ocorrem as duas opções simultaneamente; 4) Gerson torce pelo Sport ou João torce pelo Sport. Os times de Felipe, João e Gerson são, respectivamente: A) Sport, Santa Cruz e Náutico. D) Náutico, Santa Cruz e Sport. B) Santa Cruz, Náutico e Sport. E) Sport, Náutico e Santa Cruz. C) Santa Cruz, Sport e Náutico. 74. (TRF4 Analista Jud FCC) Considere que as seguintes proposições são verdadeiras: 1. Se um Analista é competente, então ele não deixa de fazer planejamento. 2. Se um Analista é eficiente, então ele tem a confiança de seus subordinados. 3. Nenhum Analista incompetente tem a confiança de seus subordinados. De acordo com essas proposições, com certeza é verdade que: (A) Se um Analista deixa de fazer planejamento, então ele não é eficiente. (B) Se um Analista não é eficiente, então ele não deixa de fazer planejamento. (C) Se um Analista tem a confiança de seus subordinados, então ele é eficiente. (D) Se um Analista tem a confiança de seus subordinados, então ele é incompetente. (E) Se um Analista não é eficiente, então ele não tem a confiança de seus subordinados. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 75. (TRT22-Piauí Analista Judiciário 2010 FCC) Considere um argumento composto pelas seguintes premissas: Se a inflação não é controlada, então não há projetos de desenvolvimento. Se a inflação é controlada, então o povo vive melhor. O povo não vive melhor. Considerando que todas as três premissas são verdadeiras, então, uma conclusão que tornaria o argumento válido é: (A) A inflação é controlada. (B) Não há projetos de desenvolvimento. (C) A inflação é controlada ou há projetos de desenvolvimento. (D) O povo vive melhor e a inflação não é controlada. (E) Se a inflação não é controlada e não há projetos de desenvolvimento, então o povo vive melhor. Prof. Weber Campos 78

79 76. (TRT-9ª Região 2004 FCC) Observe a construção de um argumento: Premissas: Todos os cachorros têm asas. Todos os animais de asas são aquáticos. Existem gatos que são cachorros. Conclusão: Existem gatos que são aquáticos. Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão C, é correto dizer que: (A) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro. (B) A não é válido, P e C são falsos. (C) A é válido, P e C são falsos. (D) A é válido, P ou C são verdadeiros. (E) A é válido se P é verdadeiro e C é falso. 77. (ICMS-SP 2006 FCC) Considere os argumentos abaixo: Argumento Premissas Conclusão I a, a b b II ~a, a b ~b III ~b, a b ~a IV b, a b a Indicando-se os argumentos legítimos por L e os ilegítimos por I, obtêm-se, na ordem dada, (A) L, I, L, I. (D) L, L, I, L. (B) I, L, I, L (E) L, L, L, L. (C) I, I, I, I. 78. (ISS São Paulo 2007 FCC) Considere o argumento seguinte: Se o controle de tributos é eficiente e é exercida a repressão à sonegação fiscal, então a arrecadação aumenta. Ou as penalidades aos sonegadores não são aplicadas ou o controle de tributos é ineficiente. É exercida a repressão à sonegação fiscal. Logo, se as penalidades aos sonegadores são aplicadas, então a arrecadação aumenta. Se para verificar a validade desse argumento for usada uma tabela-verdade, qual deverá ser o seu número de linhas? (A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 32 (E) 64 SENTENÇA ABERTA 79. (TRT 9ª região 2004 FCC) Admita que, a cada dia, um processo seja arquivado em um fórum. Uma proposição aberta, com x sendo um número natural, equivalente à sentença interrogativa em quantas semanas são arquivados mais de 210 processos nesse fórum? é: a) 210x > 7 b) 210x = 7 c) 7 + x = 210 d) 7x = 210 e) 7x > (CESPE) Julgue os seguintes itens. 1. Se Q é o conjunto dos números racionais, então a proposição ($x)(xîq)(x 2 +x-1 = 0) é julgada como V. 2. Se N é o conjunto dos números inteiros, então a proposição ("x)(xîn)(x 2 > 0) é julgada como V. 3. A proposição Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 é verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}. Prof. Weber Campos 79

80 4. Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for a propriedade x é funcionário do INSS, então é falsa a sentença "xp(x). (Onde x é um elemento qualquer do conjunto U). 5. Considere-se que U seja o conjunto dos funcionários do INSS, P(x) seja a propriedade x é funcionário do INSS e Q(x) seja a propriedade x tem mais de 35 anos de idade. Desse modo, é correto afirmar que duas das formas apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposição Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade. (i) "x(se Q(x) então P(x)) (ii) "x(p(x) ou Q(x)) (iii) "x(se P(x) então Q(x)) QUESTÕES DE SEQUÊNCIAS LÓGICAS EXERCÍCIOS DE PROBLEMAS LÓGICOS 81. (DNOCS 2010 FCC) Os termos da sequência (12, 15, 9, 18, 21, 15, 30, 33, 27, 54, 57,...) são sucessivamente obtidos através de uma lei de formação. Se x e y são, respectivamente, o décimo terceiro e o décimo quarto termos dessa sequência, então: (A) x. y = 1530 (B)) y = x + 3 (C) x = y + 3 (D) y = 2x (E) x / y = 33 / (MP/SE 2010 FCC) Considere que os termos da sucessão seguinte são obtidos segundo determinado padrão. (112, 1 114, , , ,... ) A soma dos dígitos que compõem o décimo termo dessa sequência é um número (A) quadrado perfeito. (B) divisível por 4. (C)) múltiplo de 6. (D) ímpar. (E) primo. 83. (BAHIAGÁS 2010 FCC) Observe a sequência que foi criada com uma lógica matemática: 7; 29; quarenta; 8; 11; vinte; 3; 31; trinta; 5; 73; oitenta; 6; 52;... A palavra que completa o espaço é: (A) noventa. (B)) sessenta. (C) trinta. (D) vinte. (E) dez. Prof. Weber Campos 80

81 84. (TRF 4ª 2010 FCC) Considere que os números dispostos em cada linha e em cada coluna da seguinte malha quadriculada devem obedecer a determinado padrão. Entre as células seguintes, aquelas que completam corretamente a malha é (A) (B) (C) (D) (E)) 85. (TC/SP 2010 FCC) Considere que os números inteiros e positivos que aparecem no quadro abaixo foram dispostos segundo determinado critério. Completando corretamente esse quadro de acordo com tal critério, a soma dos números que estão faltando é (A)) maior que 19. (B) 19. (C) 16. (D) 14. (E) menor que (TRT 24ª 2011 FCC) A tabela abaixo apresenta os múltiplos positivos de 3 dispostos segundo determinado padrão: Caso esse padrão seja mantido indefinidamente, com certeza o número 462 pertencerá à (A) primeira coluna. (D)) quarta coluna. (B) segunda coluna. (E) quinta coluna. (C) terceira coluna. Prof. Weber Campos 81

82 87. (TC/SP 2010 FCC) Considere que os números inteiros que aparecem na tabela abaixo foram dispostos segundo determinado padrão. Se esse padrão fosse mantido indefinidamente, qual dos números seguintes com certeza NÃO estaria nessa tabela? (A) 585 (B) 623 (C)) 745 (D) 816 (E) (SEFAZ-SP 2010 FCC) Considere que as seguintes sentenças são verdadeiras: 6 * 8 = 20 4 * 11 = * 5 = * 10 = * 27 = 235 De acordo com o padrão estabelecido para a operação *, é verdade que: (A) 6 * 15 = 28. (B) 15 * 15 = 47. (C)) 43 * 66 = 152. (D) 66 * 37 = 180. (E) 76 * 108 = (MP/RS 2010 FCC) Considere as progressões aritméticas: P: (237, 231, 225, 219,...) e Q: (4, 9, 14, 19,...). O menor valor de n para o qual o elemento da sequência Q localizado na posição n é maior do que o elemento da sequência P também localizado na posição n é igual a (A) 26. (B) 25. (C) 24. (D)) 23. (E) 22. Prof. Weber Campos 82

83 90. (TRT 8ª Pará - Analista Jud FCC) Observe o padrão da sequência de contas: Mantido o mesmo padrão, o número de algarismos 1 da conta 100 é (A) 1. (D) 100. (B) 50. (E)) 950. (C) (TRT 24ª 2011 FCC) São dados cinco conjuntos, cada qual com quatro palavras, três das quais têm uma relação entre si e uma única que nada tem a ver com as outras: X : {cão, gato, galo, cavalo} Y : {Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá} Z : {abacaxi, limão, chocolate, morango} T : {violino, flauta, harpa, guitarra} U : {Aline, Maria, Alfredo, Denise} Em X, Y, Z, T e U, as palavras que nada têm a ver com as demais são, respectivamente: (A)) galo, Canadá, chocolate, flauta e Alfredo. (B) galo, Bolívia, abacaxi, guitarra e Alfredo. (C) cão, Canadá, morango, flauta e Denise. (D) cavalo, Argentina, chocolate, harpa e Aline. (E) gato, Canadá, limão, guitarra e Maria. 92. (SEFAZ-SP 2010 FCC) A sucessão de palavras seguintes obedece a um padrão lógico: TÓRAX AMIGÁVEL SABIÁ VALENTÃO CÔNICA AÉREO FICTÍCIO De acordo com o padrão estabelecido, uma palavra que poderia dar continuidade a essa sucessão é: (A)) FÁCIL. (B) FILANTROPIA. (C) SOPA. (D) GELADO. (E) ARREBALDE. 93. (TC/SP 2010 FCC) A seguinte sequência de palavras foi escrita obedecendo a um padrão lógico: PATA REALIDADE TUCUPI VOTO? Considerando que o alfabeto é o oficial, a palavra que, de acordo com o padrão estabelecido, poderia substituir o ponto de interrogação é (A) QUALIDADE. (B) SADIA. (C) WAFFLE. (D)) XAMPU. (E) YESTERDAY. Prof. Weber Campos 83

CURSO TROPA DE ELITE BATALHA FINAL AGENTE PENITENCIÁRIO/MG

CURSO TROPA DE ELITE BATALHA FINAL AGENTE PENITENCIÁRIO/MG CURSO TROPA DE ELITE BATALHA FINAL AGENTE PENITENCIÁRIO/MG RACIOCÍNIO LÓGICO (1ª Parte: Lógica Proposicional) (webercampos@gmail.com) 2012 Copyright. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados

Leia mais

Raciocínio lógico matemático: proposições, conectivos, equivalência e implicação lógica, argumentos válidos. PART 01

Raciocínio lógico matemático: proposições, conectivos, equivalência e implicação lógica, argumentos válidos. PART 01 Raciocínio lógico matemático: proposições, conectivos, equivalência e implicação lógica, argumentos válidos. PART 01 PROPOSIÇÕES Denomina-se proposição a toda frase declarativa, expressa em palavras ou

Leia mais

n. 19 QUANTIFICADOR UNIVERSAL QUANTIFICADOR EXISTENCIAL QUANTIFICADOR EXISTENCIAL DE UNICIDADE SENTENÇAS ABERTAS

n. 19 QUANTIFICADOR UNIVERSAL QUANTIFICADOR EXISTENCIAL QUANTIFICADOR EXISTENCIAL DE UNICIDADE SENTENÇAS ABERTAS n. 19 QUANTIFICADOR UNIVERSAL QUANTIFICADOR EXISTENCIAL QUANTIFICADOR EXISTENCIAL DE UNICIDADE SENTENÇAS ABERTAS As sentenças em que não é possível atribuir valor lógico verdadeiro ou falso, porque isso

Leia mais

Introdução ao Raciocínio Lógico

Introdução ao Raciocínio Lógico Introdução ao Raciocínio Lógico 1. PROPOSIÇÃO Denomina-se proposição a toda frase declarativa, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto,

Leia mais

Raciocínio Lógico. Negação da Conjunção e Disjunção Inclusiva (Lei de Morgan) Professor Edgar Abreu.

Raciocínio Lógico. Negação da Conjunção e Disjunção Inclusiva (Lei de Morgan) Professor Edgar Abreu. Raciocínio Lógico Negação da Conjunção e Disjunção Inclusiva (Lei de Morgan) Professor Edgar Abreu www.acasadoconcurseiro.com.br Raciocínio Lógico NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Agora vamos aprender

Leia mais

MATEMÁTICA Questões comentadas Daniela Arboite

MATEMÁTICA Questões comentadas Daniela Arboite MATEMÁTICA Questões comentadas Daniela Arboite TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. É vedada a reprodução total ou parcial deste material, por qualquer meio ou processo. A violação de direitos autorais é punível

Leia mais

AULA DEMONSTRATIVA. 1. APRESENTAÇÃO QUESTÕES Lista com os exercícios abordados na aula de hoje... 14

AULA DEMONSTRATIVA. 1. APRESENTAÇÃO QUESTÕES Lista com os exercícios abordados na aula de hoje... 14 AULA DEMONSTRATIVA 1. APRESENTAÇÃO... 2 2. QUESTÕES... 2 3. Lista com os exercícios abordados na aula de hoje... 14 Concurso: Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento (MAPA). Cargo: AGENTE DE

Leia mais

BIZU PARA POLÍCIA FEDERAL PROFESSOR: GUILHERME NEVES

BIZU PARA POLÍCIA FEDERAL PROFESSOR: GUILHERME NEVES Olá, pessoal! Meu nome é Guilherme Neves e estou ministrando o curso de Raciocínio Lógico para o concurso da Polícia Federal que será realizado pelo CESPE-UnB. Vamos, de uma maneira sucinta, fazer uma

Leia mais

Fundamentos da Lógica I

Fundamentos da Lógica I Fundamentos da Lógica I O conceito mais elementar no estudo da lógica primeiro a ser visto é o de Proposição. Trata-se, tão somente, de uma sentença algo que será declarado por meio de palavras ou de símbolos

Leia mais

Vimos que a todo o argumento corresponde uma estrutura. Por exemplo ao argumento. Se a Lua é cúbica, então os humanos voam.

Vimos que a todo o argumento corresponde uma estrutura. Por exemplo ao argumento. Se a Lua é cúbica, então os humanos voam. Matemática Discreta ESTiG\IPB 2012/13 Cap1 Lógica pg 10 Lógica formal (continuação) Vamos a partir de agora falar de lógica formal, em particular da Lógica Proposicional e da Lógica de Predicados. Todos

Leia mais

Argumentação em Matemática período Prof. Lenimar N. Andrade. 1 de setembro de 2009

Argumentação em Matemática período Prof. Lenimar N. Andrade. 1 de setembro de 2009 Noções de Lógica Matemática 2 a parte Argumentação em Matemática período 2009.2 Prof. Lenimar N. Andrade 1 de setembro de 2009 Sumário 1 Condicional 1 2 Bicondicional 2 3 Recíprocas e contrapositivas 2

Leia mais

Gestão Empresarial Prof. Ânderson Vieira

Gestão Empresarial Prof. Ânderson Vieira NOÇÕES DE LÓGICA Gestão Empresarial Prof. Ânderson ieira A maioria do texto apresentado neste arquivo é do livro Fundamentos de Matemática Elementar, ol. 1, Gelson Iezzi e Carlos Murakami (eja [1]). Algumas

Leia mais

1 TEORIA DOS CONJUNTOS

1 TEORIA DOS CONJUNTOS 1 TEORIA DOS CONJUNTOS Definição de Conjunto: um conjunto é uma coleção de zero ou mais objetos distintos, chamados elementos do conjunto, os quais não possuem qualquer ordem associada. Em outras palavras,

Leia mais

Prof. Weber Campos

Prof. Weber Campos MPU RACIOCÍNIO LÓGICO - Lógica Sentencial - Lógica de Argumentação - Lógica de Primeira Ordem Prof. Weber Campos webercampos@gmail.com ÍNDICE 1. LÓGICA PROPOSICIONAL ARGUMENTAÇÃO 1ª ORDEM 3 Proposição

Leia mais

Atenção: Esse conectivo transmite a ideia de e / ou e não apenas a de exclusão como muitas pessoas imaginam.

Atenção: Esse conectivo transmite a ideia de e / ou e não apenas a de exclusão como muitas pessoas imaginam. CONCEITO DE PROPOSIÇÃO É todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem uma ideia de sentido completo e que, além disso, pode ser julgado como verdadeiro (V) ou falso (F). NÃO SÃO PROPOSIÇÕES Frases

Leia mais

MD Lógica de Proposições Quantificadas Cálculo de Predicados 1

MD Lógica de Proposições Quantificadas Cálculo de Predicados 1 Lógica de Proposições Quantificadas Cálculo de Predicados Antonio Alfredo Ferreira Loureiro loureiro@dcc.ufmg.br http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro MD Lógica de Proposições Quantificadas Cálculo de Predicados

Leia mais

CAPÍTULO I. Lógica Proposicional

CAPÍTULO I. Lógica Proposicional Lógica Proposicional CAPÍTULO I Lógica Proposicional Sumário: 1. Lógica proposicional 2. Proposição 2.1. Negação da proposição 2.2. Dupla negação 2.3. Proposição simples e composta 3. Princípios 4. Classificação

Leia mais

RACIOCÍNIO LÓGICO PARA IBGE Aula 02 Parte 1 Prof. Guilherme Neves

RACIOCÍNIO LÓGICO PARA IBGE Aula 02 Parte 1 Prof. Guilherme Neves Olá! Antes de começarmos o assunto desta aula, vamos resolver algumas questões da FGV referentes aos assuntos da aula passada. 01. (Pref. de Osasco 2014/FGV) Marcos afirmou: Todos os medicamentos que estão

Leia mais

GRATUITO RACIOCÍNIO LÓGICO - EBSERH. Professor Paulo Henrique PH Aula /

GRATUITO RACIOCÍNIO LÓGICO - EBSERH. Professor Paulo Henrique PH Aula / 1 www.romulopassos.com.br / www.questoesnasaude.com.br GRATUITO RACIOCÍNIO LÓGICO - EBSERH Professor Paulo Henrique PH Aula 02 R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 1 2 www.romulopassos.com.br

Leia mais

Unidade: Proposições Logicamente Equivalentes. Unidade I:

Unidade: Proposições Logicamente Equivalentes. Unidade I: Unidade: Proposições Logicamente Equivalentes Unidade I: 0 Unidade: Proposições Logicamente Equivalentes Nesta unidade, veremos a partir de nossos estudos em tabelas-verdade as proposições logicamente

Leia mais

Raciocínio Lógico. Números. Professor Edgar Abreu.

Raciocínio Lógico. Números. Professor Edgar Abreu. Raciocínio Lógico Números Professor Edgar Abreu www.acasadoconcurseiro.com.br Raciocínio Lógico QUESTÕES ENVOLVENDO SEQUÊNCIA DE NÚMEROS É comum aparecer em provas de concurso questões envolvendo sequências

Leia mais

Unidade II. A notação de que a proposição P (p, q, r,...) implica a proposição Q (p, q, r,...) por:

Unidade II. A notação de que a proposição P (p, q, r,...) implica a proposição Q (p, q, r,...) por: LÓGICA Objetivos Apresentar regras e estruturas adicionais sobre o uso de proposições. Conceituar implicação lógica, tautologias, e as propriedade sobre proposições. Apresentar os fundamentos da dedução,

Leia mais

Campos Sales (CE),

Campos Sales (CE), UNIERSIDADE REGIONAL DO CARIRI URCA PRÓ-REITORIA DE ENSINO E GRADUAÇÃO PROGRAD UNIDADE DESCENTRALIZADA DE CAMPOS SALES CAMPI CARIRI OESTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DISCIPLINA: Tópicos de Matemática SEMESTRE:

Leia mais

Material Extra Aula 6 Raciocínio Lógico Prof. Edgar Abreu

Material Extra Aula 6 Raciocínio Lógico Prof. Edgar Abreu Auditor Fiscal Material Extra Aula 6 Raciocínio Lógico Prof. Edgar Abreu Raciocínio Lógico SILOGISMO Silogismo Categórico é uma forma de raciocínio lógico na qual há duas premissas e uma conclusão distinta

Leia mais

GRATUITO RACIOCÍNIO LÓGICO - EBSERH. Professor Paulo Henrique PH Aula /

GRATUITO RACIOCÍNIO LÓGICO - EBSERH. Professor Paulo Henrique PH Aula / 1 www.romulopassos.com.br / www.questoesnasaude.com.br GRATUITO RACIOCÍNIO LÓGICO - EBSERH Professor Paulo Henrique PH Aula 03 R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 1 2 www.romulopassos.com.br

Leia mais

Lógica em Computação. .: Calculo Proposicional :. Prof. Luís Rodrigo

Lógica em Computação. .: Calculo Proposicional :. Prof. Luís Rodrigo .: Calculo Proposicional :. Prof. Luís Rodrigo {} [/] Proposição e Conectivos Proposição Simples Uma proposição simples (ou enunciado, ou sentença), é uma declaração que exprime um pensamento com sentido

Leia mais

Tema I Introdução à lógica bivalente e à teoria de conjuntos

Tema I Introdução à lógica bivalente e à teoria de conjuntos Tema I Introdução à lógica bivalente e à teoria de conjuntos Unidade 1 Proposições Páginas 13 a 9 1. a) 3 é uma designação. b) 3 = 6 é uma proposição. c) é o único número primo par é uma proposição. d)

Leia mais

A Linguagem dos Teoremas - Parte II. Tópicos Adicionais. Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antônio Caminha Muniz Neto

A Linguagem dos Teoremas - Parte II. Tópicos Adicionais. Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antônio Caminha Muniz Neto Material Teórico - Módulo de INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA A Linguagem dos Teoremas - Parte II Tópicos Adicionais Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antônio Caminha Muniz Neto 12 de maio

Leia mais

AULA 1 Frases, proposições e sentenças 3. AULA 2 Conectivos lógicos e tabelas-verdade 5. AULA 3 Negação de proposições 8

AULA 1 Frases, proposições e sentenças 3. AULA 2 Conectivos lógicos e tabelas-verdade 5. AULA 3 Negação de proposições 8 Índice AULA 1 Frases, proposições e sentenças 3 AULA 2 Conectivos lógicos e tabelas-verdade 5 AULA 3 Negação de proposições 8 AULA 4 Tautologia, contradição, contingência e equivalência 11 AULA 5 Argumentação

Leia mais

n. 6 Equivalências Lógicas logicamente equivalente a uma proposição Q (p, q, r, ), se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas.

n. 6 Equivalências Lógicas logicamente equivalente a uma proposição Q (p, q, r, ), se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas. n. 6 Equivalências Lógicas A equivalência lógica trata de evidenciar que é possível expressar a mesma sentença de maneiras distintas, preservando, o significado lógico original. Def.: Diz-se que uma proposição

Leia mais

Expandindo o Vocabulário. Tópicos Adicionais. Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antônio Caminha Muniz Neto. 12 de junho de 2019

Expandindo o Vocabulário. Tópicos Adicionais. Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antônio Caminha Muniz Neto. 12 de junho de 2019 Material Teórico - Módulo de INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA Expandindo o Vocabulário Tópicos Adicionais Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antônio Caminha Muniz Neto 12 de junho de 2019

Leia mais

PROFESSOR : ALEXANDRE PORTELA MATÉRIA: RACIOCÍNIO LÓGICO ASSUNTO: LÓGICA QUALITATIVA

PROFESSOR : ALEXANDRE PORTELA MATÉRIA: RACIOCÍNIO LÓGICO ASSUNTO: LÓGICA QUALITATIVA PROFESSOR : ALEXANDRE PORTELA MATÉRIA: RACIOCÍNIO LÓGICO ASSUNTO: LÓGICA QUALITATIVA 1)RELAÇÃO ENTRE PESSOAS,LUGARES,OBJETOS E EVENTOS: - Nesse tipo de associação vamos correlacionar pessoas aos seus lugares,

Leia mais

RECEITA FEDERAL ANALISTA

RECEITA FEDERAL ANALISTA SENTENÇAS OU PROPOSIÇÕES São os elementos que expressam uma idéia, mesmo que absurda. Estudaremos apenas as proposições declarativas, que podem ser classificadas ou só como verdadeiras (V), ou só como

Leia mais

Lógica Proposicional Parte I. Raquel de Souza Francisco Bravo 11 de outubro de 2016

Lógica Proposicional Parte I. Raquel de Souza Francisco Bravo   11 de outubro de 2016 Lógica Proposicional Parte I e-mail: raquel@ic.uff.br 11 de outubro de 2016 Lógica Matemática Cáculo Proposicional Uma aventura de Alice Alice, ao entrar na floresta, perdeu a noção dos dias da semana.

Leia mais

LÓGICA PROPOSICIONAL

LÓGICA PROPOSICIONAL FACULDADE PITÁGORAS Curso Superior em Tecnologia Redes de Computadores e Banco de dados Matemática Computacional Prof. Ulisses Cotta Cavalca LÓGICA PROPOSICIONAL Belo Horizonte/MG

Leia mais

Anotações LÓGICA PROPOSICIONAL DEFEITOS DO RACIOCÍNIO HUMANO PROPOSIÇÕES RICARDO ALEXANDRE - CURSOS ON-LINE RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 01 DEFINIÇÃO

Anotações LÓGICA PROPOSICIONAL DEFEITOS DO RACIOCÍNIO HUMANO PROPOSIÇÕES RICARDO ALEXANDRE - CURSOS ON-LINE RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 01 DEFINIÇÃO RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 01 LÓGICA PROPOSICIONAL DEFINIÇÃO A Lógica estuda o pensamento como ele deveria ser, sem a influência de erros ou falácias. As falácias em torno do raciocínio humano se devem a atalhos

Leia mais

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO SENTENÇAS OU PROPOSIÇÕES MODIICADORES São os elementos que expressam uma idéia, mesmo que absurda. Estudaremos apenas as proposições declarativas, que podem ser classificadas ou só como verdadeiras (),

Leia mais

Questões de Concursos Aula 02 CEF RACIOCÍNIO LÓGICO. Prof. Fabrício Biazotto

Questões de Concursos Aula 02 CEF RACIOCÍNIO LÓGICO. Prof. Fabrício Biazotto Questões de Concursos Aula 02 CEF RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Fabrício Biazotto Raciocínio Lógico 1. Considere as afirmações: I. A camisa é azul ou a gravata é branca. II. Ou o sapato é marrom ou a camisa

Leia mais

Sumário. Os Enigmas de Sherazade I Ele fala a verdade ou mente? I I Um truque com os números... 14

Sumário. Os Enigmas de Sherazade I Ele fala a verdade ou mente? I I Um truque com os números... 14 Sumário Os Enigmas de Sherazade... 13 I Ele fala a verdade ou mente?... 13 I I Um truque com os números... 14 Capítulo 1 Lógica de Primeira Ordem-Proposicional... 15 Estruturas Lógicas... 15 I Sentenças...

Leia mais

4 a Parte Lógica Formal Aspectos Introdutórios Resumo Teórico

4 a Parte Lógica Formal Aspectos Introdutórios Resumo Teórico Registro CMI 40616 Aula Proposição 4 a Parte Lógica Formal Aspectos Introdutórios Resumo Teórico Toda proposição é uma frase mas nem toda frase é uma proposição; uma frase é uma proposição apenas quando

Leia mais

Matéria: Raciocínio Lógico Concurso: Auditor Tributário ISS Gramado 2019 Professor: Alex Lira

Matéria: Raciocínio Lógico Concurso: Auditor Tributário ISS Gramado 2019 Professor: Alex Lira Concurso: Professor: Alex Lira Prova comentada: Auditor Tributário ISS GRAMADO 2019 Raciocínio Lógico SUMÁRIO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO PREVISTO NO EDITAL... 3 QUESTÕES COMENTADAS... 3 LISTA DE QUESTÕES...

Leia mais

PC Polícia Civil do Estado de São Paulo PAPILOSCOPISTA

PC Polícia Civil do Estado de São Paulo PAPILOSCOPISTA PC Polícia Civil do Estado de São Paulo PAPILOSCOPISTA Concurso Público 2016 Conteúdo Teoria dos conjuntos. Razão e proporção. Grandezas proporcionais. Porcentagem. Regras de três simples. Conjuntos numéricos

Leia mais

Universidade Aberta do Brasil - UFPB Virtual Curso de Licenciatura em Matemática

Universidade Aberta do Brasil - UFPB Virtual Curso de Licenciatura em Matemática Universidade Aberta do Brasil - UFPB Virtual Curso de Licenciatura em Matemática Argumentação em Matemática Prof. Lenimar Nunes de Andrade e-mail: numerufpb@gmail.com ou lenimar@mat.ufpb.br versão 1.0

Leia mais

Proposições. Belo Horizonte é uma cidade do sul do Brasil = 4. A Terra gira em torno de si mesma. 5 < 3

Proposições. Belo Horizonte é uma cidade do sul do Brasil = 4. A Terra gira em torno de si mesma. 5 < 3 Proposições Lógicas Proposições O principal conceito usado nos estudos da lógica matemática é o de uma proposição. Uma proposição é essencialmente uma afirmação, transmite pensamentos completos, afirmando

Leia mais

Apresentação do curso

Apresentação do curso Folha 1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Apresentação do curso Parte 1 Parte 1 Matemática Básica 1 Parte 1 Matemática Básica

Leia mais

Lógica Formal. Matemática Discreta. Prof Marcelo Maraschin de Souza

Lógica Formal. Matemática Discreta. Prof Marcelo Maraschin de Souza Lógica Formal Matemática Discreta Prof Marcelo Maraschin de Souza Implicação As proposições podem ser combinadas na forma se proposição 1, então proposição 2 Essa proposição composta é denotada por Seja

Leia mais

Matemática Básica I Notas de aula - versão

Matemática Básica I Notas de aula - versão 1 - Departamento de Matemática Aplicada (GMA) Matemática Básica I Notas de aula - versão 3 2011-1 Marlene Dieguez Fernandez Observações preliminares A disciplina Matemática Básica I é oferecida no mesmo

Leia mais

INSTITUTO FEDERAL FARROUPILHA CÂMPUS ALEGRETE

INSTITUTO FEDERAL FARROUPILHA CÂMPUS ALEGRETE 1 1. LÓGICA SETENCIAL E DE PRIMEIRA Conceito de proposição ORDEM Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, seja este verdadeiro ou falso.

Leia mais

1. Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa

1. Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa Raciocínio Lógico Lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das relações formais entre as proposições. DEFINIÇÃO: Proposição: conjunto

Leia mais

Lógica. Fernando Fontes. Universidade do Minho. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 1 / 65

Lógica. Fernando Fontes. Universidade do Minho. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 1 / 65 Lógica Fernando Fontes Universidade do Minho Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 1 / 65 Outline 1 Introdução 2 Implicações e Equivalências Lógicas 3 Mapas de Karnaugh 4 Lógica de Predicados

Leia mais

Introdução à Lógica Matemática

Introdução à Lógica Matemática Introdução à Lógica Matemática Disciplina fundamental sobre a qual se fundamenta a Matemática Uma linguagem matemática Paradoxos 1) Paradoxo do mentiroso (A) Esta frase é falsa. A sentença (A) é verdadeira

Leia mais

TABELA VERDADE. por: André Aparecido da Silva. Disponível em:

TABELA VERDADE. por: André Aparecido da Silva. Disponível em: TABELA VERDADE por: André Aparecido da Silva Disponível em: http://www.oxnar.com.br/aulas/logica Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s, etc). São outros exemplos

Leia mais

Prof. Weber Campos webercampos@gmail.com. 2012 Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.

Prof. Weber Campos webercampos@gmail.com. 2012 Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor. TJ AMAZONAS Raciocínio Lógico 2ª PARTE: PROBLEMAS LÓGICOS webercampos@gmail.com 2012 Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor. SEQUÊNCIAS LÓGICAS 01. Determinar em cada

Leia mais

Proposições simples e compostas

Proposições simples e compostas Revisão Lógica Proposições simples e compostas Uma proposição é simples quando declara algo sem o uso de conectivos. Exemplos de proposições simples: p : O número 2 é primo. (V) q : 15 : 3 = 6 (F) r :

Leia mais

RACIOCÍNIO LÓGICO LÓGICA PROPOSICIONAL

RACIOCÍNIO LÓGICO LÓGICA PROPOSICIONAL RACIOCÍNIO LÓGICO LÓGICA PROPOSICIONAL Atualizado em 12/11/2015 LÓGICA PROPOSICIONAL Lógica é a ciência que estuda as leis do pensamento e a arte de aplicá-las corretamente na investigação e demonstração

Leia mais

Não sou o melhor, sei disso, mas faço o melhor que posso!! RANILDO LOPES

Não sou o melhor, sei disso, mas faço o melhor que posso!! RANILDO LOPES Lógica Matemática e Computacional Não sou o melhor, sei disso, mas faço o melhor que posso!! RANILDO LOPES 2. Conceitos Preliminares 2.1. Sentença, Verdade e Proposição Cálculo Proposicional Como primeira

Leia mais

Lógica. Cálculo Proposicional. Introdução

Lógica. Cálculo Proposicional. Introdução Lógica Cálculo Proposicional Introdução Lógica - Definição Formalização de alguma linguagem Sintaxe Especificação precisa das expressões legais Semântica Significado das expressões Dedução Provê regras

Leia mais

Raciocínio Lógico (Professor Uendel)

Raciocínio Lógico (Professor Uendel) Raciocínio Lógico (Professor Uendel) Material (02); SEFAZ; JULHO DE 2017 (Álgebra das Proposições) PROPOSIÇÕES EQUIVALENTES P Q Lê se: P é LOGICAMENTE equivalent e a Q São proposições cujas tabelas-verdade

Leia mais

Prof. Tiago Semprebom, Dr. Eng. 09 de abril de 2013

Prof. Tiago Semprebom, Dr. Eng. 09 de abril de 2013 Lógica Clássica e Lógica Simbólica Prof. Tiago Semprebom, Dr. Eng. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Santa Catarina - Campus São José tisemp@ifsc.edu.br 09 de abril de 2013 Prof. Tiago

Leia mais

AULA 01: Lógica (Parte 1)

AULA 01: Lógica (Parte 1) AULA 01: Lógica (Parte 1) Raciocínio Lógico p/ M. Cidades (NM) SUMÁRIO PÁGINA 1. Conceitos Básicos de Lógica 1 2. Tautologia, Contradição e Contingência 22 3. Implicação Lógica 28 4. Equivalência Lógica

Leia mais

ATA/TO AOCP Resolução: Inicialmente, representaremos o que foi dado pelo enunciado:

ATA/TO AOCP Resolução: Inicialmente, representaremos o que foi dado pelo enunciado: ATA/TO AOCP - 2012 01. Considere três conjuntos finitos X, Y e Z. Sabendo que I. X Y tem 16 elementos; II. X Z tem 7 elementos e III. X Y Z tem 2 elementos. O número de elementos de (Y U Z) X é (A) 2.

Leia mais

Lógica formal. A) Sentenças I) Expressão II) Subdivisão 1. Aberta 2. Fechada III) Representação IV) Simbolização 1. Simples 2.

Lógica formal. A) Sentenças I) Expressão II) Subdivisão 1. Aberta 2. Fechada III) Representação IV) Simbolização 1. Simples 2. Lógica formal A) Sentenças I) Expressão II) Subdivisão 1. Aberta 2. Fechada III) Representação I) Simbolização 1. Simples 2. Composta B)Leis do pensamento I) Princípio da Identidade II) Principio do não-contraditório

Leia mais

CASA TRIBUNAIS RACIOCÍNIO LÓGICO

CASA TRIBUNAIS RACIOCÍNIO LÓGICO CASA TRIBUNAIS RACIOCÍNIO LÓGICO Quantificadores Prof. Bruno Villar www.acasadoconcurseiro.com.br Raciocínio Lógico QUANTIFICADORES Definição: É um termo utilizado para quantificar uma expressão. Os quantificadores

Leia mais

Raciocínio Lógico. Matemático. Lógica Proposicional

Raciocínio Lógico. Matemático. Lógica Proposicional Raciocínio Lógico Matemático Lógica Proposicional Proposições Lógicas Denomina-se proposição toda frase declarativa, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro

Leia mais

RACIOCÍNIO LÓGICO. Quantas dessas proposições compostas são FALSAS? a) Nenhuma. b) Apenas uma. c) Apenas duas. d) Apenas três. e) Quatro.

RACIOCÍNIO LÓGICO. Quantas dessas proposições compostas são FALSAS? a) Nenhuma. b) Apenas uma. c) Apenas duas. d) Apenas três. e) Quatro. RACIOCÍNIO LÓGICO 01. Uma proposição é uma sentença fechada que possui sentido completo e à qual se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso. Qual das sentenças apresentadas abaixo se trata de

Leia mais

OBS.1: As palavras Se e então podem estar ocultas na. Proposição

OBS.1: As palavras Se e então podem estar ocultas na. Proposição RACIOCÍNIO LÓGICO PRO. IGOR BRASIL 1) Proposição: Observação!!! Não são proposições 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 2) Conectivos São utilizados em proposições.» O conectivo e é conhecido por, representado pelo símbolo

Leia mais

Demonstrações Matemáticas Parte 2

Demonstrações Matemáticas Parte 2 Demonstrações Matemáticas Parte 2 Nessa aula, veremos aquele que, talvez, é o mais importante método de demonstração: a prova por redução ao absurdo. Também veremos um método bastante simples para desprovar

Leia mais

Raciocínio Lógico Matemático. Pré Prova TST

Raciocínio Lógico Matemático. Pré Prova TST Raciocínio Lógico Matemático Pré Prova TST # DICA 1 # LEMBRAR-SE DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS ELEMENTARES Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4,... } Números Inteiros Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...

Leia mais

Rodada #01 Raciocínio Lógico

Rodada #01 Raciocínio Lógico Rodada #01 Raciocínio Lógico Professor Guilherme Neves Assuntos da Rodada RACIOCÍNIO LÓGICO: Conjuntos e suas operações. Números naturais, inteiros, racionais e reais e suas operações. Representação na

Leia mais

Aula demonstrativa Apresentação... 2 Negação de proposições quantificadas Relação das questões comentadas Gabaritos...

Aula demonstrativa Apresentação... 2 Negação de proposições quantificadas Relação das questões comentadas Gabaritos... Aula demonstrativa Apresentação... 2 Negação de proposições quantificadas... 10 Relação das questões comentadas... 14 Gabaritos... 15 1 Apresentação Olá, pessoal! Tudo bem com vocês? Esta é a aula demonstrativa

Leia mais

ANALISANDO O EDITAL RELAÇÕES ARBITRARIAS SEQUENCIAS RACIOCINIO. MATEMATICA BASICA..

ANALISANDO O EDITAL RELAÇÕES ARBITRARIAS SEQUENCIAS RACIOCINIO. MATEMATICA BASICA.. ANALISANDO O EDITAL RELAÇÕES ARBITRARIAS SEQUENCIAS RACIOCINIO. MATEMATICA BASICA.. ASSOCIAÇÕES LOGICAS 1) Três Agentes Administrativos - Almir, Noronha e Creuza - trabalham no Departamento Nacional de

Leia mais

Rodada #01 Raciocínio Lógico

Rodada #01 Raciocínio Lógico Rodada #01 Raciocínio Lógico Professor Guilherme Neves Assuntos da Rodada MATEMÁTICA 1. Operações com números reais. 2. Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum. 3. Razão e proporção. 4. Porcentagem.

Leia mais

UNIP Ciência da Computação Prof. Gerson Pastre de Oliveira

UNIP Ciência da Computação Prof. Gerson Pastre de Oliveira Aula 6 Lógica Matemática Álgebra das proposições e método dedutivo As operações lógicas sobre as proposições possuem uma série de propriedades que podem ser aplicadas, considerando os conectivos inseridos

Leia mais

LÓGICA MATEMÁTICA. Quando a precedência não estiver explicitada através de parênteses, a ordem é a seguinte: RELEMBRANDO 23/02/2016

LÓGICA MATEMÁTICA. Quando a precedência não estiver explicitada através de parênteses, a ordem é a seguinte: RELEMBRANDO 23/02/2016 LÓGICA MATEMÁTICA Prof. Esp. Fabiano Taguchi fabianotaguchi@gmail.com http://fabianotaguchi.wordpress.com RELEMBRANDO Quando a precedência não estiver explicitada através de parênteses, a ordem é a seguinte:

Leia mais

Introdução à Logica Computacional. Aula: Lógica Proposicional - Sintaxe e Representação

Introdução à Logica Computacional. Aula: Lógica Proposicional - Sintaxe e Representação Introdução à Logica Computacional Aula: Lógica Proposicional - Sintaxe e Representação Agenda Resolução de exercício da aula 1 Definições Proposição simples Conectivos Proposição composta Sintaxe Exercício

Leia mais

Lógica Texto 7. Texto 7. 1 Negação de enunciados atômicos Exercício resolvido Negação de enunciados moleculares 5

Lógica Texto 7. Texto 7. 1 Negação de enunciados atômicos Exercício resolvido Negação de enunciados moleculares 5 Lógica para Ciência da Computação I Lógica Matemática Texto 7 Negação e simplificação de enunciados Sumário 1 Negação de enunciados atômicos 2 1.1 Observações................................ 2 1.2 Exercício

Leia mais

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/81 1 - LÓGICA E MÉTODOS DE PROVA 1.1) Lógica Proposicional

Leia mais

Nome: Data: Semestre: Curso: TADS Disciplina: Matemática Aplicada à Computação Professor: Shalimar Villar. Noções de Lógica

Nome: Data: Semestre: Curso: TADS Disciplina: Matemática Aplicada à Computação Professor: Shalimar Villar. Noções de Lógica Nome: Data: Semestre: Curso: TADS Disciplina: Matemática Aplicada à Computação Professor: Shalimar Villar Noções de Lógica Proposição: É uma sentença declarativa, seja ela expressa de forma afirmativa

Leia mais

Raciocínio Lógico Matemático

Raciocínio Lógico Matemático Raciocínio Lógico Matemático Cap. 4 - Implicação Lógica Implicação Lógica Antes de iniciar a leitura deste capítulo, verifique se de fato os capítulos anteriores ficaram claros e retome os tópicos abordados

Leia mais

Expoente 10 Dossiê do Professor 2

Expoente 10 Dossiê do Professor 2 Expoente 0 Dossiê do Professor Tema I Introdução à lógica bivalente e à teoria de conjuntos Unidade Proposições Páginas a 9. a) é uma designação. b) = 6 é uma proposição. c) é o único número primo par

Leia mais

Apresentação do curso

Apresentação do curso Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Apresentação do curso Parte 1 Parte 1 Matemática Básica 1 Parte 1 Matemática Básica 2 Conteúdo

Leia mais

(Questões de provas resolvidas e comentadas) Carlos R. Torrente

(Questões de provas resolvidas e comentadas) Carlos R. Torrente (Questões de provas resolvidas e comentadas) Carlos R. Torrente Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Torrente, Carlos Roberto Raciocínio lógico

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS CCA/ UFES Departamento de Engenharia Rural. Lista de exercícios 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS CCA/ UFES Departamento de Engenharia Rural. Lista de exercícios 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS CCA/ UFES Departamento de Engenharia Rural Disciplina: Lógica Computacional I Professora: Juliana Pinheiro Campos Data: 25/08/2011 Lista

Leia mais

Lógica Proposicional (cont.)

Lógica Proposicional (cont.) Lógica Proposicional (cont.) Conectivos lógicos Conjunção (e: ^) Disjunção (ou: v) Negação (não : ~) Condicional (se...então: ) Bicondicional (se somente se: ) 1 Negação de um proposição composta Negar

Leia mais

Bases Matemáticas. Aula 1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática. Prof. Rodrigo Hausen. 24 de junho de 2014

Bases Matemáticas. Aula 1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática. Prof. Rodrigo Hausen. 24 de junho de 2014 Aula 1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática Prof. Rodrigo Hausen 24 de junho de 2014 Definição Uma proposição é uma sentença declarativa que é verdadeira ou falsa, mas não simultaneamente ambas.

Leia mais

Matemática Computacional

Matemática Computacional Matemática Computacional SLIDE 1I Professor Júlio Cesar da Silva juliocesar@eloquium.com.br site: http://eloquium.com.br/ twitter: @profjuliocsilva facebook: https://www.facebook.com/paginaeloquium Google+:

Leia mais

Lógica e Matemática Discreta

Lógica e Matemática Discreta Lógica e Matemática Discreta Teoria Elementar dos Conjuntos Prof Clezio 04 de Junho de 2010 Curso de Ciência da Computação Noções básicas Um conjunto designa-se geralmente por uma letra latina maiúscula:

Leia mais

Unidade II LÓGICA. Profa. Adriane Paulieli Colossetti

Unidade II LÓGICA. Profa. Adriane Paulieli Colossetti Unidade II LÓGICA Profa. Adriane Paulieli Colossetti Relações de implicação e equivalência Implicação lógica Dadas as proposições compostas p e q, diz-se que ocorre uma implicação lógica entre p e q quando

Leia mais

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/53 1 - LÓGICA E MÉTODOS DE PROVA 1.1) Lógica Proposicional

Leia mais

3 Cálculo Proposicional

3 Cálculo Proposicional 3 Cálculo Proposicional O Cálculo Proposicional é um dos tópicos fundamentais da Lógica e consiste essencialmente da formalização das relações entre sentenças (ou proposições), de nidas como sendo frases

Leia mais

MATEMÁTICA 3 MÓDULO 1. Lógica. Professor Renato Madeira

MATEMÁTICA 3 MÓDULO 1. Lógica. Professor Renato Madeira MATEMÁTICA 3 Professor Renato Madeira MÓDULO 1 Lógica SUMÁRIO 1. Proosição. Negação 3. Conectivos 4. Condicionais 4.1. Relação de imlicação 4.. Relação de equivalência 5. Álgebra das roosições 6. Quantificadores

Leia mais

APOSTILA DE LÓGICA. # Conceitos iniciais INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE

APOSTILA DE LÓGICA. # Conceitos iniciais INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE INSTITUTO EDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE CÂMPUS APODI Sítio Lagoa do Clementino, nº 999, RN 233, Km 2, Apodi/RN, 59700-971. one (084) 4005.0765 E-mail: gabin.ap@ifrn.edu.br

Leia mais

Aula 1 Teoria com resolução de questões FGV

Aula 1 Teoria com resolução de questões FGV Aula 1 Teoria com resolução de questões FGV AULA 01 Olá futuro servidor do TRT 12, Meu nome é Fabio Paredes, sou professor de Raciocínio Lógico Matemático e terei o prazer de ajudá-los nesta árdua missão

Leia mais

Ao utilizarmos os dados do problema para chegarmos a uma conclusão, estamos usando o raciocínio lógico.

Ao utilizarmos os dados do problema para chegarmos a uma conclusão, estamos usando o raciocínio lógico. CENTRO UNVERSITÁRIO UNA NOÇÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO Professor: Rodrigo Eustáquio Borges A disciplina Lógica Matemática tem como objetivo capacitar o aluno a reconhecer e aplicar os conceitos fundamentais

Leia mais

RACIOCÍNIO LÓGICO TEORIA 86 EXERCÍCIOS POR ASSUNTOS RESOLVIDOS E QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS. Edição junho 2017

RACIOCÍNIO LÓGICO TEORIA 86 EXERCÍCIOS POR ASSUNTOS RESOLVIDOS E QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS. Edição junho 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO TEORIA 86 EXERCÍCIOS POR ASSUNTOS RESOLVIDOS E QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS Edição junho 2017 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. É vedada a reprodução total ou parcial deste material, por

Leia mais

Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental

Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes Nono Ano do Ensino Funcamental Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio

Leia mais

Raciocínio Lógico Parte 2 Prof. Dudan

Raciocínio Lógico Parte 2 Prof. Dudan Agente + Escrivão de Polícia Raciocínio Lógico Parte 2 Prof. Dudan Raciocínio Lógico 1. INTRODUÇÃO A RACIOCÍNIO LÓGICO A Lógica tem, por objeto de estudo, as leis gerais do pensamento e as formas de aplicar

Leia mais