Caderno de Matemática Dom Alberto

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1 C iências ontábeis ADMINISTRAÇÃO Caderno de Matemática Dom Alberto Prof: Luciana Andréa Zimmer

2 C1 ZIMMER, Luciana Andrea Caderno de Matemática Dom Alberto / Luciana Andrea Zimmer. Santa Cruz do Sul: Faculdade Dom Alberto, 010. Inclui bibliografia. 1. Administração Teoria. Ciências Contábeis Teoria 3. Matemática Teoria I. ZIMMER, Luciana Andrea II. Faculdade Dom Alberto III. Coordenação de Administração IV. Coordenação de Ciências Contábeis V. Título CDU 658:657(07) Catalogação na publicação: Roberto Carlos Cardoso Bibliotecário CRB10 010/10 Página

3 Apresentação O Curso de Administração da Faculdade Dom Alberto iniciou sua trajetória acadêmica em 004, após a construção de um projeto pautado na importância de possibilitar acesso ao ensino superior de qualidade que, combinado à seriedade na execução de projeto pedagógico, propiciasse uma formação sólida e relacionada às demandas regionais. Considerando esses valores, atividades e ações voltadas ao ensino sólido viabilizaram a qualidade acadêmica e pedagógica das aulas, bem como o aprendizado efetivo dos alunos, o que permitiu o reconhecimento pelo MEC do Curso de Administração em 008. Passados seis anos, o curso mostra crescimento quantitativo e qualitativo, fortalecimento de sua proposta e de consolidação de resultados positivos, como a publicação deste Caderno Dom Alberto, que é o produto do trabalho intelectual, pedagógico e instrutivo desenvolvido pelos professores durante esse período. Este material servirá de guia e de apoio para o estudo atento e sério, para a organização da pesquisa e para o contato inicial de qualidade com as disciplinas que estruturam o curso. A todos os professores que com competência fomentaram o Caderno Dom Alberto, veículo de publicação oficial da produção didáticopedagógica do corpo docente da Faculdade Dom Alberto, um agradecimento especial. Lucas Jost Diretor Geral Página 3

4 PREFÁCIO A arte de ensinar e aprender pressupõe um diálogo entre aqueles que interagem no processo, como alunos e professores. A eles cabe a tarefa de formação, de construção de valores, habilidades, competências necessárias à superação dos desafios. Entre estes se encontra a necessidade de uma formação profissional sólida, capaz de suprir as demandas de mercado, de estabelecer elos entre diversas áreas do saber, de atender às exigências legais de cada área de atuação, etc. Nesse contexto, um dos fatores mais importantes na formação de um profissional é saber discutir diversos temas aos quais se aplicam conhecimentos específicos de cada área, dispondo-se de uma variedade ampla e desafiadora de questões e problemas proporcionada pelas atuais conjunturas. Para que isso se torne possível, além da dedicação daqueles envolvidos no processo de ensino-aprendizagem, é preciso haver suporte pedagógico que dê subsídios ao aprender e ao ensinar. Um suporte que supere a tradicional metodologia expositiva e atenda aos objetivos expressos na proposta pedagógica do curso. Considerando esses pressupostos, a produção desse Caderno Dom Alberto é parte da proposta pedagógica do curso da Faculdade Dom Aberto. Com este veículo, elaborado por docentes da instituição, a faculdade busca apresentar um instrumento de pesquisa, consulta e aprendizagem teóricoprática, reunindo materiais cuja diversidade de abordagens é atualizada e necessária para a formação profissional qualificada dos alunos do curso. Ser um canal de divulgação do material didático produzido por professores da instituição é motivação para continuar investindo da formação qualificada e na produção e disseminação do que se discute, apresenta, reflete, propõe e analisa nas aulas do curso. Espera-se que os leitores apreciem o Caderno Dom Alberto com a mesma satisfação que a Faculdade tem em elaborar esta coletânea. Elvis Martins Diretor Acadêmico de Ensino Página 4

5 Sumário Apresentação Prefácio Plano de Ensino Aula 1 Equações Aula Funções Aula 3 Alguns tipos de função Aula 4 Função linear Aula 5 Restrição orçamentária Aula 6 Exercícios Aula 7 Exercícios Aula 8 Curva de possibilidade de produção Aula 9 Função Contínua Aula 10 Continuação Aula 10 Aula 11 Limites Aula 1 Derivada de uma função Página 5

6 Centro de Ensino Superior Dom Alberto Plano de Ensino Identificação Curso: Administração/Ciências Contábeis Disciplina: Matemática Carga Horária (horas): 60 Créditos: 4 Semestre: 1º Ementa Funções. Equações de Oferta e Demanda. Ponto de Equilíbrio de Mercado. Funções de Custo, Receita e Lucro. Juros Simples e Compostos como Funções. Limites e Continuidade. Derivadas. Aplicações de Derivadas na Economia (Custo, Receita e Lucro). Integrais Indefinidas e Definidas. Aplicações de Integral na Economia. Objetivos Geral: Desenvolver a capacidade de o aluno utilizar a Matemática Aplicada como instrumento de novas aprendizagens e como meio de interpretação da realidade. Ampliar as capacidades de raciocínio, de resolução de problemas, de comunicação e de rigor, bem como o espírito crítico e a criatividade. Utilizar, com confiança, a resolução de problemas para compreender e investigar conceitos matemáticos aplicados. Incentivar a realização pessoal, o desenvolvimento de atitudes, de autonomia e cooperação e o sentimento de segurança em relação às próprias capacidades matemáticas. Desenvolver atitudes positivas em relação à Matemática Aplicada, como autonomia, confiança quanto às capacidades matemáticas, perseverança na resolução de problemas e prazer no trabalho. Específicos: Levar o aluno a: Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e outras áreas do currículo, tais como funções, limites, derivadas e integrais. Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas do conhecimento e do cotidiano, como equações e aplicações de derivadas na economia. Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades econômicas, financeiras, administrativas, tecnológicas e na interpretação da ciência. Inter-relação da Disciplina Horizontal: Contribuir para o desenvolvimento cognitivo interdisciplinar, promovendo um ensino voltado a uma formação sólida e ampla, tendo como foco principal as exigências da vida social e profissional. Vertical: As aplicações da disciplina são processadas de forma a adaptar o conhecimento teórico a uma situação prática e ajustada à realidade. Competências Gerais Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática Aplicada como instrumento de novas aprendizagens e como meio de interpretação da realidade. Ampliar as capacidades de raciocínio de resolução de problemas, de comunicação e de rigor, bem como o espírito crítico e a criatividade. Utilizar, com confiança, a resolução de problemas para compreender e investigar conceitos matemáticos aplicados. Competências Específicas Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e outras áreas do currículo tais como funções, limites, derivadas e integrais. Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas do conhecimento e do cotidiano, como equações e aplicações de derivadas na economia. Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades econômicas, financeiras, administrativas, tecnológicas e na interpretação da ciência. Habilidades Gerais Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional. Página 6

7 Reconhecer e definir problemas, equacionar soluções, pensar estrategicamente, desenvolver o raciocínio lógico, crítico e criativo diante dos diferentes contextos organizacionais e sociais. Habilidades Específicas Ler, interpretar, reconhecer e resolver problemas sobre funções, limites, derivadas e integrais, visando o desenvolvimento de atitudes de autonomia. PROGRAMA: Conteúdo Programático 1. Funções 1.1. Idéia intuitiva 1.. Conceito matemático 1.3. Função demanda 1.4. Função oferta 1.5. Função utilidade 1.6. Funções de custo 1.7. Função receita 1.8. Função lucro 1.9. Curva do orçamento Curva de possibilidade de produção Outros modelos 1.1. Características das funções. Limites.1. Idéia intuitiva.. Definição.3. Limites de polinômios e funções racionais.4. Limite no infinito.5. Esboço de curvas.6. Problemas 3. Derivadas 3.1. Derivada como medida de inclinação 3.. Derivada como taxa de variação 3.3. Problemas de maximização/minimização 3.4. Regras de derivação 3.5. Aplicações da derivada à economia 4. Noção de integral 4.1. Integral indefinida 4.. Área e integral definida 4.3. Aplicações aos negócios e à economia Estratégias de Ensino e Aprendizagem (metodologias de sala de aula) O planejamento do trabalho em sala de aula é à base da construção do processo de ensino e aprendizagem. Planejando a ação, o professor tem a possibilidade de saber exatamente qual o ponto de partida e o de chegada para cada tema abordado em seu curso. Um planejamento não é um esquema de trabalho rígido, inflexível. Pelo contrário, devem-se levar em conta as situações inesperadas que vão ocorrendo e adaptar ou modificar o que se havia inicialmente previsto, de acordo com suas observações de classe e necessidades dos alunos. Há metas que devem ser estabelecidas e alcançadas, sendo necessário que o professor disponha de um fio condutor para a ação que vai desenvolver e de uma previsão para os resultados dessa ação. Avaliação do Processo de Ensino e Aprendizagem A avaliação do processo de ensino e aprendizagem deve ser realizada de forma contínua, cumulativa e sistemática com o objetivo de diagnosticar a situação da aprendizagem de cada aluno, em relação à programação curricular. Funções básicas: informar sobre o domínio da aprendizagem, indicar os efeitos da metodologia utilizada, revelar conseqüências da atuação docente, informar sobre a adequabilidade de currículos e programas, realizar feedback dos objetivos e planejamentos elaborados, etc. A forma de avaliação será da seguinte maneira: Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional. Página 7

8 1ª Avaliação Peso 8,0 (oito): Prova; Peso,0 (dois): Trabalho referente ao conteúdo ministrado até a 1 a avaliação. ª Avaliação - Peso 8,0 (oito): Prova; - Peso,0 (dois): referente ao Sistema de Provas Eletrônicas SPE (maior nota das duas provas do SPE) Observação: As provas do SPE deverão ser realizas até o dia 30/09/010 (1ª prova SPE) e até o dia 30/11/010 (ª prova SPE), sendo obrigatória a realização de ao menos uma prova. Avaliação Somativa A AFERIÇÃO DO RENDIMENTO ESCOLAR DE CADA DISCIPLINA É FEITA ATRAVÉS DE NOTAS INTEIRAS DE ZERO A DEZ, PERMITINDO-SE A FRAÇÃO DE 5 DÉCIMOS. O aproveitamento escolar é avaliado pelo acompanhamento contínuo do aluno e dos resultados por ele obtidos nas provas, trabalhos, exercícios escolares e outros, e caso necessário, nas provas substitutivas. Dentre os trabalhos escolares de aplicação, há pelo menos uma avaliação escrita em cada disciplina no bimestre. O professor pode submeter os alunos a diversas formas de avaliações, tais como: projetos, seminários, pesquisas bibliográficas e de campo, relatórios, cujos resultados podem culminar com atribuição de uma nota representativa de cada avaliação bimestral. Em qualquer disciplina, os alunos que obtiverem média semestral de aprovação igual ou superior a sete (7,0) e freqüência igual ou superior a setenta e cinco por cento (75%) são considerados aprovados. Após cada semestre, e nos termos do calendário escolar, o aluno poderá requerer junto à Secretaria-Geral, no prazo fixado e a título de recuperação, a realização de uma prova substitutiva, por disciplina, a fim de substituir uma das médias mensais anteriores, ou a que não tenha sido avaliado, e no qual obtiverem como média final de aprovação igual ou superior a cinco (5,0). Sistema de Acompanhamento para a Recuperação da Aprendizagem Serão utilizados como Sistema de Acompanhamento e Nivelamento da turma os Plantões Tira-Dúvidas que são realizados sempre antes de iniciar a disciplina, das 18h30min às 18h50min, na sala de aula. Professor. Laboratórios, visitas técnicas, biblioteca, etc. Recursos Multimídia. Recursos Necessários Humanos Físicos Materiais Bibliografia Básica GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, v. HOFFMANN, Laurence; BRADLEY, Gerald. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática: para os cursos de: economia, administração, ciências contábeis.. ed. São Paulo: Atlas, LEITHOLD, L.. Matemática aplicada à economia e administração.. ed. São Paulo: Harbra, 001. VERAS, Lilia L. Matemática aplicada à economia: Síntese da Teoria. São Paulo: Atlas, Complementar ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookmann, v. AVILA, Geraldo. Cálculo das funções de uma variável. 7. ed. São Paulo: LTC, v. BARBANTI, L. Matemática Superior: um primeiro curso de cálculo. São Paulo: Pioneira, AYRES JUNIOR, Frank; Elliott Mendelson. Cálculo diferencial e integral 3. ed. São Paulo: Pearson, Página 8 Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional.

9 GOLDSTEIN, L.; LAY, D.; SCHENEIDER, D. Matemática aplicada. São Paulo: Bookman, 003. Revistas: Você S/A, Exame, Isto é Periódicos Sites para Consulta Outras Informações Endereço eletrônico de acesso à página do PHL para consulta ao acervo da biblioteca: Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional. Página 9

10 Cronograma de Atividades Aula Consolidação Avaliação Conteúdo Procedimentos Recursos 1ª Apresentação aos alunos do plano de ensino da disciplina. Revisão de conceitos básicos da Matemática. Idéia intuitiva de função. AE QG, DS Conceito matemático de função. ª Atividades Envolvendo Funções matemáticas. Introdução a Modelos aplicados. AE QG, DS 3ª Funções (oferta e demanda). Problemas envolvendo funções. AE QG, DS 4ª Funções (custo, utilidade, lucro). Características de funções. AE QG, DS 5ª Construção de tabelas e gráficos de funções. Plotar gráficos de funções. AE QG, DS 6ª Análise e interpretação de curvas de orçamento e produção. AE QG, DS 7ª Problemas envolvendo outros modelos de funções. AE QG, DS 1 Consolidação 1 1 Avaliação 1 8ª Limites. Idéia intuitiva. Definição. AE QG, DS 9ª Continuidade. Limites de funções. Propriedades algébricas do limites. Limite no infinito. Problemas envolvendo limites. AE QG, DS Derivadas. Conceitos básicos. 10ª Regras de derivação. Problemas utilizando as regras. AE QG, DS 11ª Problemas de maximização / minimização. Trabalho aplicado. AE QG, DS 1ª Aplicações de derivadas a economia. Noções de integral. AE QG, DS 13ª Integral definida e indefinida. Aplicações de integrais aos negócios. AE QG, DS Consolidação Avaliação 3 Avaliação Substitutiva Legenda Código Descrição Código Descrição Código Descrição AE Aula expositiva QG Quadro verde e giz LB Laboratório de informática TG Trabalho em grupo RE Retroprojetor PS Projetor de slides TI Trabalho individual VI Videocassete AP Apostila SE Seminário DS Data Show OU Outros PA Palestra FC Flipchart Página 10 Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional.

11 Aula 1 Matemática Aplicada Profª Luciana Zimmer EQUAÇÕES Uma solução para uma equação em x é um valor de x para a qual a equação é verdadeira. Resolver uma equação em x significa encontrar todos os valores de x para os quais a equação é verdadeira. Isto é, encontrar todas as soluções da equação. Verificação de uma solução: Prove que x = - é uma solução da equação x 3 x + 6 = 0 Equações lineares com uma variável A equação mais básica na álgebra é uma equação linear. Uma equação linear em x é aquela que pode ser escrita na forma ax + b = 0, onde a e b são números reais com a 0. Resolução de uma equação linear: a) ( x 3) + 3(x + 1) = 5x + b) 5y = + y 8 4 Solução de uma equação por meio de gráficos O gráfico da equação y = x -5 pode ser usado para resolver a equação x 5 = 0 Portanto o par ordenado (5/, 0) é a solução de y = x 5, pois sugere que o ponto por onde a reta intercepta o eixo x seja o par ordenado (5/, 0). Equações quadráticas Equações lineares ( ax + b = 0) e equações quadráticas (ax + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a 0) são dois membros da família de equações polinomiais. Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 11

12 Os métodos mais utilizados na resolução de uma equação quadrática são: fatoração e fórmula de Bhaskara. Fórmula de Bhaskara: x = -b ± b - 4ac a Exemplos: Resolva as seguintes equações e represente graficamente: a) -x + 4 = 0 b) x² - x 3 = 0 c) -x +x 1 = 0 Questão Concurso Polícia Federal Num determinado estado, quando um veículo é rebocado por estacionar em local proibido, o motorista paga uma taxa fixa de R$ 76,88 e mais R$ 1,5 por hora de permanência no estacionamento da polícia. Se o valor pago foi de R$101,88 o total de horas que o veículo ficou estacionado na polícia corresponde a: a) 0 b) 1 c) d) 3 e) 4 Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 1

13 DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL Consideraremos que o domínio de uma função f, D ( f ), salvo indicação em contrário, é subconjunto de R, formado por todos os valores de x para os quais as operações indicadas nas expressões são possíveis, resultando um número real. Veja alguns casos notáveis: 1º caso: Quando a variável aparece no denominador de uma fração. Condição: O denominador de uma fração deve ser diferente de zero. Exemplo: Determinar o domínio da função f(x) = 3 + x. x 5 º caso: Quando a variável aparece no radicando de um radical de índice par. Condição: O radicando deve ser um número maior ou igual a zero. Exemplo: Determinar o domínio da f(x) = x º caso: Quando a variável aparece no radicando de um radical de índice par e esse radical está no denominador de uma fração. Condição: Este caso é a reunião dos dois primeiros, logo, o radicando deve ser maior que zero. Exemplo: Determinar o domínio da função f(x) = 3. x + EXERCÍCIO: a. Determinar o domínio das seguintes funções: a) f(x) = x³ + x b) f(x) = -3x + 15 c) f(x) = x 1 d) f(x) = x² - 3x + 3x + 4 e) f(x) = x + 1. f) f(x) = x x + 4 x + Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 13

14 Aula Matemática Aplicada Profª Luciana Zimmer FUNÇÕES Na análise de fenômenos econômicos, muitas vezes usamos funções matemáticas para descrevê-los e interpretá-los. Nesse sentido, as funções matemáticas são usadas como ferramentas que auxiliam na resolução de problemas ligados à administração e Contábeis. No exemplo a seguir, temos a distribuição dos preços do quilo do contrafilé no decorrer dos meses do ano de Preço médio do quilo do contrafilé em São Paulo no ano de 003. Mês (t) Jan Fev Mar Abril Maio Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Preço (p) R$ 6,70 6,75 6,80 6,88 6,95 7,01 7,08 7,14 7,0 7,8 7,36 7,45 A cada mês, observamos um preço de carne. Assim, podemos dizer que cada preço, p, está associado a um mês, t, ou ainda que o preço depende do mês que escolhemos. Nesse exemplo, se substituirmos cada mês por um número, podemos entender a relação entre mês e o preço como uma associação entre duas variáveis numéricas; assim temos uma nova tabela: 1. Preço médio do quilo do contrafilé em São Paulo no ano de 003. Mês(t) Preço (p) R$ 6,70 6,75 6,80 6,88 6,95 7,01 7,08 7,14 7,0 7,8 7,36 7,45 Vale ressaltar que, a cada valor de variável mês, temos um único valor da variável preço associado, o que caracteriza uma função matemática ou mais precisamente: A cada valor da grandeza t está associado um único valor da grandeza P, caracterizando P como função de t, o que é indicado por P= f(t). Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 14

15 Nesse contexto, a variável t é chamada de independente e a variável p é chamada de dependente; o conjunto dos valores possíveis para a variável independente é o domínio da função; a imagem da função é o conjunto dos valores da variável dependente que foram associados à variável independente. No exemplo anterior, por meio da tabela, fizemos uma representação numérica da função, que pode ser representada também por meio de um gráfico: 1.1 Preço médio do quilo do contrafilé em São Paulo no ano de 003. As funções também são representadas por fórmulas que relacionam as variáveis. No exemplo dado existe uma fórmula que relacione de maneira exata as variáveis t e P, mas podemos aproximar tal relação com a fórmula: p = 0,0676t + 6,6104 cujo gráfico é representado por uma reta que se aproxima dos pontos já traçados na figura anterior 1.1: Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 15

16 1. Reta que aproxima o preço médio do quilo do contrafilé em São Paulo no ano de 003. Para o traçado da reta no gráfico, o domínio que antes era dado por D(f) = { 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1} foi substituído pelo conjunto dos números reais. EXEMPLOS: 1. Escreva funções, descrevendo os seguintes fatos: a) Receita R de um comerciante que vende a quantidade variável q de mercadorias ao preço unitário de R$ 9,00. b) Salário mensal y de um operário que ganha R$ 70,00 fixos mais R$ 38,00 por hora extra, sabendo que o número x de horas extras varia todo mês. c) Juros (simples) J ganhos por um investidor que emprega R$ 4.000,00 à taxa de 6% ao mês, durante um tempo indeterminado de t meses.. Um operário, que ganha salário variável de acordo com as horas extras que trabalha paga R$ 350,00 de prestação da casa própria, gasta 60% de seu salário em manutenção e poupa o restante. Determine uma expressão matemática para cada uma das funções Consumo e Poupança, isto é, expresse seu consumo C e sua popança S em função de sua renda variável y Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 16

17 3. Um vendedor ambulante compra objetos ao preço unitário de R$ 150,00 e vende cada unidade a R$ 50,00. a) Expresse seu custo diário C em função da quantidade comprada q. b) Expresse sua receita diária R em função da quantidade vendida q, que se supõe igual à quantidade comprada. c) Expresse seu lucro diário em função da quantidade q. d) Qual o lucro do vendedor por unidade vendida (lucro unitário, L u, ou Lucro médio, L m )? 4. Suponha que o mesmo ambulante do exemplo 3 resolveu agora incluir entre seus gastos o custo de sua condução diária que é de R$ 14,00. a) Como ficarão agora as funções Custo, Receita e Lucro do vendedor? 5. Certa máquina foi comprada pelo preço de R$ ,00 (valor nominal) e vendida depois de dez anos (vida útil) por R$ 7.000,00 (valor residual). a) Qual foi a sua depreciação total? E qual a depreciação anual? b) Expresse a depreciação D como função do tempo em anos n. c) Qual o valor da máquina após um ano? Após dois anos? Após três anos? E após dez anos? d) Como seria a expressão que dá o valor V da máquina em função do tempo n? Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 17

18 6. A receita de uma empresa poderá ser descrita pela função R = , onde x é a quantia gasta em propaganda. x + 5 a) Calcule a receita quando nada é gasto em propaganda. b) Calcule a receita respectivamente, quando o gasto em propaganda for 5, 95 e 995 e faça uma tabela de valores. c) Faça um gráfico cartesiano utilizando os valores da tabela. d) O gráfico faz pensar que existe um valor l que não será ultrapassado pela função. Qual é esse valor (limitante superior)? 7. O valor inicial de um carro é R$ 0.000,00, e a cada ano esse valor é depreciado em R$ 1.50,00. a) Determine uma expressão que relacione o valor do carro em função do número de anos passados após a compra. b) Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial? c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a). Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 18

19 Aula 3 - Matemática Aplicada Profª Luciana Zimmer ALGUNS TIPOS DE FUNÇÃO Função crescente ou decrescente Na função do exemplo anterior, percebemos que, à medida que o número t do mês aumenta, o preço p da carne também aumenta; nesse caso, dizemos que a função é crescente. Tomando como exemplo a demanda, q, de um produto em função de seu preço, p, relacionados pela fórmula q = -p + 10, podemos esboçar o gráfico: 1.3 Demanda de um produto em função de seu preço. Percebemos que, à medida que o preço p aumenta, a demanda q diminui. Nesse caso, dizemos que a função é decrescente. Função Limitada Vamos analisar a função da venda total, v, de um CD, no decorrer dos meses, t, dada pela seguinte expressão: v = ,5t 1.4 Vendas totais aproximadas de um CD após seu lançamento t v Página 19

20 Podemos representar tais valores em um gráfico: CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO De acordo com essa função, as vendas nunca ultrapassam CDs. Como notamos, por maior que seja o valor de t, o valor da função jamais ultrapassa 50. Nesse caso, dizemos que a função é limitada superiormente e que o valor 50 é um limite superior. Podemos dizer que outros valores, como por exemplo, 51, 60, 300 ou 1.000, também são limites superiores, porém chamamos o valor 50 de supremo por ele ser o menor dos limitantes superiores. Agora, analisaremos o custo por unidade, C u, de um eletrodoméstico em função da quantidade, q, produzida, cuja relação é dada por: C u = 40 q + 50 Construa a tabela para os seguintes valores e represente no gráfico: 1.5 Custos unitários para produção de um eletrodoméstico q (unidades) C u (por unidade em R$) Podemos representar tais valores no gráfico: Página 0

21 De acordo com essa função, o custo unitário nunca é menor que 50,00. Na verdade, se calcularmos o custo por unidade para produzir q= unidades, obtemos o custo aproximado de C u = 50,0. Como notamos, por maior que seja o valor q, o valor da função jamais será inferior a 50. Nesse caso, dizemos que a função é limitada inferiormente e que o valor 50 é um limitante inferior. Podemos dizer que outros valores, por exemplo, 49, 40, 30 ou 0, também são limitantes inferiores, porém chamamos o valor 50 de ínfimo por ele ser o maior dos limitantes inferiores. Analise agora, a função do valor, v, de uma ação negociada na bolsa de valores, no decorrer dos meses, t, dada pela expressão, e em seguida construa o gráfico: v = t 6t + 1 t 6t Valores aproximados de cada ação na bolsa de valores t v Podemos representar tais valores no gráfico: Analisando mais atentamente essa função, percebemos que o valor da ação jamais ultrapassa R$ 3,00 e, ao mesmo tempo, nunca é inferior a R$ 1,00. Portanto, temos uma função limitada superiormente e inferiormente, o que nos leva a chamá-la de função limitada. EXEMPLOS PRÁTICOS DE FUNÇÕES: Conta de água = valor a ser pago depende do consumo do mês. Conta de telefone = o valor a ser pago, depende dos minutos falados durante o mês. A venda do mês de um estabelecimento depende dos clientes. Página 1

22 A demanda de um certo produto no mercado depende do preço desse produto. A poluição do ar em uma cidade pode depender do número de veículos nas ruas O valor de uma garrafa de vinho pode depender do ano em que o vinho foi fabricado. Exercícios: 1.O gráfico seguir representa o valor (em R$) de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos meses. Considerando t = 1 o mês de janeiro, t = o mês de fevereiro, e assim sucessivamente, determine: a) O valor da ação nos meses de fevereiro, maio, agosto e novembro. b) Os meses em que a ação vale R$,00. c) Os meses em que a ação assumiu o maior e o menor valor. Determine também os valores nesses meses. d) A média dos valores das ações.. A receita R na venda de q unidades de um produto é dada por R = q. a) Determine a receita quando são vendidas 5, 10, 0 e 40 unidades do produto. b) Quantas unidades foram vendidas, se a receita foi de R$ 50,00? c) Esboce o gráfico da receita. d) A função é crescente ou decrescente? Justifique: e) A função é limitada superiormente? Justifique: 3. O custo C para a produção de q unidades de um produto é dado por C = 3q a) Determine o custo quando são produzidas 0, 5, 10, 15 e 0 unidades. Página

23 b) Esboce o gráfico da função. c) Qual o significado do valor encontrado para C quando q = 0? d) A função é crescente ou decrescente? Justifique. e) A função é limitada superiormente? Em caso afirmativo, qual seria o valor para o supremo? Justifique. 4. As funções seguintes são todas crescentes. Faça tabela e gráfico para cada uma delas a fim de decidir a forma de crescimento (taxas crescentes, constantes ou decrescentes) de cada uma: a) y = x, x 0 b) c) y = x 1, x 0 y = x, x 0 5. Dada a função Produção q P = 10, onde q é a quantidade de um insumo, o que acontece com a produção se a quantidade de insumo for duplicada? Como são então os retornos na produção? Página 3

24 Matemática Aplicada Aula 4 Profª Luciana Zimmer FUNÇÃO LINEAR Leia atentamente e responda às questões que estão após o caso abaixo. Observe que todas as informações para respondê-las estão no texto do caso. Um lava-jato de automóveis tem como único serviço uma lavagem simples, pela qual cobra R$ 1,00(PV Preço de Venda). Cada lavagem gasta em média R$ 3,00 de produtos de limpeza. As contas de água e luz tem média mensal de R$ 350,00 somadas. A empresa tem 3 funcionários, recebendo cada um deles R$ 60,00 fixos mais R$ 1,00 por cada carro lavado. As obrigações sociais ficam em 40%. O prédio da empresa é alugado, pelo qual o proprietário paga R$ 50,00 por mês. Não há mais custos consideráveis. O faturamento bruto, ou receita bruta (R) de uma empresa é a soma total de suas vendas e recebimentos. Não confunda jamais lucro. Pode-se dizer a grosso modo que a receita bruta é o dinheiro que entra no caixa; Obrigações sociais são despesas oriundas dos valores pagos pelos salários (FGTS, INSS,..), além de férias e 13º salário. Elas incidem também sobre remunerações variáveis, ou seja, sobre as comissões; Responda: a) Qual a receita total do lava-jato se lavar num mês apenas 10 carros? b) Qual a receita total do lava-jato se lavar 50 carros no mês? c) Qual a expressão pode representar a receita total para um número qualquer de carros lavados? d) Qual o Custo Fixo mensal da empresa? e) Qual o Custo Variável de um carro lavado? f) Qual o Custo Variável da empresa se lavar apenas 10 carros? g) Qual o Custo Variável da empresa se lavar 50 carros? h) Qual a expressão pode representar o custo variável para um número qualquer de carros lavados? Página 4

25 i) Qual a expressão pode representar o Custo Total da empresa para um número qualquer de carros lavados? j) Qual o lucro bruto da empresa se lavar 50 carros no mês? k) Qual o lucro bruto da empresa se lavar 3 carros no mês? l) De cada carro lavado, tirando os custos variáveis, quanto sobra? Esta sobra é lucro? m) Agora tente explicar o resultado da letra k? Página 5

26 Aula 5 Matemática Aplicada Profª Luciana Zimmer CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO Restrição orçamentária Supondo que uma empreiteira deseja comprar areia e pedra para fazer um calçamento e disponha de R$ Sabendo que o metro cúbico de areia custa R$ 50,00 e o metro cúbico de pedra custa R$ 40,00, podemos obter uma expressão matemática que relacione os possíveis valores e quantidades de areia e pedra a serem compradas utilizando o orçamento R$ 1.000,00. Sendo x a quantidade de areia a ser comprada então, o valor a ser gasto com areia será 50x. De modo análogo, sendo y a quantidade de pedra a ser comprada então, o valor a ser gasto com pedras será 40y. A restrição orçamentária para a compra de dois produtos A e B, de acordo com o orçamento determinado, é dada pela expressão: Valor gasto com A + Valor gasto com B = Orçamento Neste caso a restrição orçamentária para a compra de areia poderá ser dada por: 50x + 40y = 1000 Para essa expressão, dizemos que a dependência entre x e y foi dada de forma implícita. Podemos explicitar tal dependência isolando x ou y, obtendo então: X = -0,8y + 0 ou y = -1,5x + 5 Em todas as expressões, a dependência é linear, o que caracteriza a função de 1º grau. Para a obtenção do gráfico da restrição orçamentária, é interessante determinar os pontos em que a reta corta o eixo x fazendo y = 0 (em qualquer uma das expressões anteriores)por exemplo: 50x = x = 1000 x = 0 Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 6

27 Obtendo o ponto em que a reta corta o eixo y fazendo x = 0 ( em qualquer uma das expressões anteriores); por exemplo: y = y = 1000 y = 5 Esses dois pontos representam opções extremas de compra pois, se y=0, não é comprada pedra e, portanto, gasta-se todo o orçamento com x = 0m 3 de areia; entretanto, se x = 0, não é comprada areia, gastando-se o orçamento com y = 5 m 3 de pedra. Interpretando o gráfico: Pontos abaixo da reta correspondem a quantidades que, quando compradas, determinam um custo abaixo do orçamento. O ponto A = (8;7) resulta em um gasto de R$ 680,00. Para pontos na reta correspondem a quantidades que, quando compradas, determinam um custo igual ao orçamento. O ponto B = (8; 15) resulta em um gasto R$ 1.000,00. Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 7

28 Pontos acima da reta correspondem a quantidades que, quando compradas, determinam um custo acima do orçamento. O ponto C = (8;) resulta em um gasto de R$ 1.80,00. Caracterização geral de uma função de 1º grau Definição: uma função de 1º grau é dada por y = f(x) = mx + b, com m 0, onde m é chamado de coeficiente angular, ou taxa de variação média ou simplesmente taxa de variação da variável dependente, y, em relação à variável independente, x, e pode ser calculado pela razão m = variação em y = y ou m = f(x 1 + x ) f(x 1 ) variação em x x x graficamente, m dá a inclinação da reta que representa a função. b é chamado de coeficiente linear e pode ser obtido fazendo x = 0, e é o ponto onde a reta corta o eixo y. Graficamente, podemos observar os componentes do coeficiente angular e o coeficiente linear: Se m > 0, temos uma taxa de variação positiva, logo a função é crescente e a reta será inclinada positivamente. Se m < 0, temos uma taxa de variação negativa, logo a função é decrescente e a reta é inclinada negativamente. Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 8

29 Obtenção da função de 1º grau Exemplo1: Um operário tem seu salário dado por um valor fixo mais uma parte variável que é diretamente proporcional ao número de horas extras trabalhadas. Sabe-se que em um mês em que são feitas 1 horas extras, o salário é de R$ 840,00, e que em um mês em que são feitas 0 horas extras, o salário é de R$ Obtenha a relação que dá o salário em função das horas extras. Exemplo : Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos (5,3) e (15,10) Exercícios: 1. Determinar a equação da reta que passa pelos pontos A (-1; -) e B (5 ; ).. Dada a reta que tem a equação 3x + 4y = 7, determine sua declividade. 3. Determine à equação da reta de coeficiente angular igual a - e que intercepta o eixo y no ponto A (0; -3). 4. Seja y a percentagem da população mundial que vive em regiões urbanas x anos após De acordo com dados publicados recentemente, y tem sido uma função linear de x desde A percentagem da população mundial que vive em regiões urbanas era de 39,5 em 1980 e 45, em a) Determine y como função de x. Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 9

30 b) Determine a percentagem da população mundial que viveu em regiões urbanas no ano c) Determine o ano em que 50% da população mundial estará vivendo em regiões urbanas. d) Em quanto à percentagem da população mundial que vive em áreas urbanas aumenta a cada 5 anos? 5. Uma dona de casa deseja comprar legumes e frutas e dispõe de R$4,00. Sabe-se que o preço médio por quilo de legumes é de R$ 3,00 e por quilo de frutas é de R$ 4,00. a) Obtenha a expressão da restrição orçamentária. b) Represente graficamente a expressão obtida no item anterior. c) Obtenha a expressão que determina a quantidade de frutas em função da quantidade de legumes comprada. d) Obtenha a expressão que determina a quantidade de legumes em função da quantidade de frutas compradas. Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 30

31 Aula 6 Matemática Aplicada Profª Luciana Zimmer EXERCÍCIOS 1. Um produtor verificou que o custo unitário (ou custo médio) de fabricação de um produto varia com a quantidade, sendo tanto menor quanto maior era a quantidade fabricada. A função pode ser expressa na forma C me = q a) Calcule C me (1), C me (10), C me (0), C me (30), C me (40) e C me (100), faça uma tabela e o gráfico da função. b) A função tem limite inferior? Qual?. Um comerciante verificou que a demanda de certo produto depende de seu preço, de acordo com a seguinte tabela: p q a) Faça o gráfico cartesiano da função Demanda a partir dessa tabela. b) Determine a expressão matemática da função na forma q = f(p) e depois p = f(q). 3. O valor inicial de um carro é R$ 0.000,00, e a cada ano esse valor é depreciado em R$ 1.50,00. a) Determine uma expressão que relacione o valor do carro em função do número de anos passados após a compra. b) Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial? c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a). Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 31

32 4. Um comerciante compra objetos ao preço unitário de R$ 4,00, gasta em sua condução diária R$ 60,00 e vende cada unidade a R$ 7,00. a) Expresse seu custo diário C em função da quantidade comprada q. Expresse também sua receita R em função da quantidade vendida q, que se supões igual a quantidade comprada. Além disso, expresse seu lucro diário L em função da quantidade q. b) Esboce, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das funções de seu custo diário C e de sua receita R, determinando e indicando o Break-even point. Qual o significado desse ponto? c) Esboce o gráfico da função Lucro L e indique qual(is) quantidade(s) que proporciona(m) lucro positivo e lucro negativo. d) Podemos obter as funções Custo Médio, C me e Lucro Médio, L me, dividindo a função do custo e lucro pela quantidade. Então, obtenha a função C me e L me e esboce seus respectivos gráficos, indicando se existirem limitantes superior ou inferior. 5. O custo fixo mensal de uma empresa é R$ ,00, o preço unitário de venda é R$ 8,00 e o custo variável por unidade é R$ 6,00. a) Obtenha a função lucro mensal. b) Obtenha a função lucro líquido mensal, sabendo que o imposto de renda é 30% do lucro. 6. Sabendo que a margem de contribuição por unidade é R$ 3,00, o preço de venda é R$ 10,00 e o custo fixo é R$ 150,00 por dia, obtenha: a) A função receita. b) A função custo total diário. c) O ponto de nivelamento. d) A função lucro diário. e) A quantidade que deverá ser vendida para que haja um lucro de R$ 180,00 por dia. Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 3

33 Aula 7 Matemática Aplicada Profª Luciana Zimmer EXERCÍCIOS 1. Um produtor verificou que o custo unitário (ou custo médio) de fabricação de um produto varia com a quantidade, sendo tanto menor quanto maior era a quantidade fabricada. A função pode ser expressa na forma C me = q a) Calcule C me (1), C me (10), C me (0), C me (30), C me (40) e C me (100), faça uma tabela e o gráfico da função. b) A função tem limite inferior? Qual?. Um comerciante verificou que a demanda de certo produto depende de seu preço, de acordo com a seguinte tabela: p q a) Faça o gráfico cartesiano da função Demanda a partir dessa tabela. b) Determine a expressão matemática da função na forma q = f(p) e depois p = f(q). 3. O valor inicial de um carro é R$ 0.000,00, e a cada ano esse valor é depreciado em R$ 1.50,00. a) Determine uma expressão que relacione o valor do carro em função do número de anos passados após a compra. b) Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial? c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a). Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 33

34 4. Um comerciante compra objetos ao preço unitário de R$ 4,00, gasta em sua condução diária R$ 60,00 e vende cada unidade a R$ 7,00. a) Expresse seu custo diário C em função da quantidade comprada q. Expresse também sua receita R em função da quantidade vendida q, que se supões igual a quantidade comprada. Além disso, expresse seu lucro diário L em função da quantidade q. b) Esboce, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das funções de seu custo diário C e de sua receita R, determinando e indicando o Break-even point. Qual o significado desse ponto? c) Esboce o gráfico da função Lucro L e indique qual(is) quantidade(s) que proporciona(m) lucro positivo e lucro negativo. d) Podemos obter as funções Custo Médio, C me e Lucro Médio, L me, dividindo a função do custo e lucro pela quantidade. Então, obtenha a função C me e L me e esboce seus respectivos gráficos, indicando se existirem limitantes superior ou inferior. 5. O custo fixo mensal de uma empresa é R$ ,00, o preço unitário de venda é R$ 8,00 e o custo variável por unidade é R$ 6,00. a) Obtenha a função lucro mensal. b) Obtenha a função lucro líquido mensal, sabendo que o imposto de renda é 30% do lucro. 6. Sabendo que a margem de contribuição por unidade é R$ 3,00, o preço de venda é R$ 10,00 e o custo fixo é R$ 150,00 por dia, obtenha: a) A função receita. b) A função custo total diário. c) O ponto de nivelamento. d) A função lucro diário. e) A quantidade que deverá ser vendida para que haja um lucro de R$ 180,00 por dia. Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 34

35 Aula 8 Matemática Aplicada Profª Luciana Zimmer CURVA DE POSSIBILIDADE DE PRODUÇÃO ou CURVA DE TRANSFORMAÇÃO DE PRODUÇÃO Suponha-se que a prefeitura de certa cidade disponha de determinada verba para aplicar em construção civil. Poderá pavimentar ruas ou construir casas populares. Se optar por pavimentação de ruas, terá o suficiente para 150 km. Se optar por casas populares, poderá construir 300 casas. Poderá ainda escolher outros planos, optando por pavimentar menos do que 150 km de ruas e construir algumas casas com os recursos que sobrarem. Quanto menos ruas pavimentar, mais casas poderá construir. Esta curva é chamada de CURVA DE POSSIBILIDADE DE PRODUÇÃO ou CURVA DE TRANSFORMAÇÃO DE PRODUÇÃO, ( e é o nome que se dá ao gráfico que representa as combinações possíveis entre as quantidades x e y de dois produtos fabricados por uma firma que usa os mesmos recursos de produção, que são naturalmente limitados. O aumento na quantidade produzida do primeiro produto acarreta redução da quantidade produzida do segundo produto ). Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 35

36 A forma da curva, semelhante a um arco de parábola, suscita uma indagação: existirá uma função do tipo y = ax² + bx + c que se aproxime dos dados dessa tabela? Se existe, qual é? Para responder a essa indagação, é preciso determinar os três valores de a, b e c da função e para isso escolhem-se três valores da tabela. Por comodidade, pode-se escolher (0, 300), (150, 0) e mais um, por exemplo, (90, 180), que é o mais central. Tem-se então o sistema: a.0² + b.0 +c =300 a.150² +b.150 +c = 0 a.90² + 90.b + c = 180 Cuja solução é: a = -1, b+ -1 e c = Então a curva procurada é y = -x² - x + 300, onde x representa km de ruas pavimentadas e y é o número de casas 90 3 construídas. Então apenas uma quantidade finita de recursos que são usados na produção de uma quantidade limitada de produto. Exercícios: 1. Duas pessoas A e B investiram em ações de diferentes companhias, que foram compradas ap preço unitário de R$1,00. As ações adquiridas por A subiram segundo a função V 1 = 0,1x + 1 e as adquiridas por B caíram nos primeiros meses para depois subirem. Sua variação de valor pode ser descrita pela função V = 0,1x² - 0,4x + 1, em que x é o tempo em meses, a partir da data da compra das ações. a) Determine os valores V 1 e V de cada uma dessas ações, no fim de cada um dos seis primeiros meses e faça uma tabela. Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 36

37 b) Trace os gráficos das duas funções no mesmo sistema de eixo. c) Faça um comentário sobre os dois investimentos, dizendo qual foi a melhor aplicação.. Em uma certa plantação, a produção P, de feijão depende da quantidade, q, de fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa por P = - 3q + 90q Considerando nessa lavoura a produção medida em kg e a quantidade de fertilizantes em g/m, faça um esboço do gráfico, comente os significados dos principais pontos, determine a quantidade de fertilizante para que a produção seja máxima, bem como a produção máxima. 3. O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por E = t 8t + 10, onde o consumo E é dado em kwh e ao tempo associa-se t = 0 a janeiro, t = 1 a fevereiro, e assim sucessivamente: a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195 kwh. b) Qual o consumo mensal médio para o primeiro ano? c) Com base nos dados obtidos no item anterior, esboce o gráfico. 4. O preço da garrafa de vinho varia de acordo com a relação p = -q + 400, onde q representa a quantidade de garrafas comercializadas. Sabendo que a receita R é dada pela relação R = p x q: a) Obtenha a função receita e esboce o gráfico, indicando os principais pontos. b) Qual a quantidade de garrafas a ser comercializada para que a receita seja máxima? Qual a receita máxima? c) Para quais quantidades comercializadas a receita é crescente? E decrescente? Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional. Rua Ramiro Barcelos, 89, Centro - Santa Cruz do Sul RS - CEP Site: Página 37