Órion MEDICINA MATEMÁTICA. (Kairo) NOME: Lista 05 Jundiaí e Maracanã. Nessas condições, α β é igual a. 13π 02. rad 10. 9π 04. rad 10. 7π 05.

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1 Órion MEDICINA MATEMÁTICA (Kairo) NOME: Lista Jundiaí Maracanã ) Na figura a sguir, stão rprsntados o ciclo trigonométrico um triângulo isóscls OAB. Qual das prssõs abaio corrspond à ára do triângulo OAB m função do ângulo α? tg α sn α tgα cos α sn α cos α tgα sn α ) tg α cos α ) O dispositivo d sgurança d um cofr tm o formato da figura abaio, ond as ltras A, B,..., L stão igualmnt spaçadas (o ângulo cntral ntr duas ltras vizinhas é o msmo) a posição inicial da sta, quando o cofr s ncontra fchado, é a indicada. Para abrir o cofr, são ncssárias três opraçõs (o sgrdo), girando o disco mnor (ond a sta stá gravad, d acordo com as sguints instruçõs, a partir da posição indicada: ) no sntido anti-horário ) no sntido horário ) no sntido anti-horário Pod-s, ntão, afirmar corrtamnt qu o cofr srá abrto quando a sta stivr: no ponto médio ntr L A. na posição B. na posição K. m algum ponto ntr J K. ) na posição H. ) A convrsão d capim-lfant m nrgia não polui. Msmo o gás carbônico, CO, mitido durant a quima da biomassa utilizada é mnor do qu o consumido pla gramína durant todo o su crscimnto. Considr, no gráfico, qu α é a mdida do ângulo do stor circular, associado a nrgia hidrlétrica na composição da matriz nrgética nacional atual, qu β é a mdida do ângulo do stor circular, associado a ptrólo, gás carvão na composição da matriz nrgética nacional com a contribuição potncial do capim-lfant. (VARGAS,, p. -). Nssas condiçõs, α β é igual a 7. rad Gab:. rad. rad 9. rad 7. rad ) Considr a figura abaio, na qual a circunfrência tm raio igual a. Nss caso, as mdidas dos ) No ciclo trigonométrico rprsntado na figura, os pontos A B são trmidads d um diâmtro, a mdida do ângulo β é º. Os valors d sn A cos B são, rspctivamnt, ) sgmntos ON, OM AP, corrspondm, rspctivamnt, a sn, sc cot g. cos, sn tg. cos, sc cossc. tg, cossc cos. 6) Na figura indicada, < α<, C é o cntro do círculo, AB tangncia o círculo no ponto A, os pontos B, C D stão alinhados, assim como os pontos A, C E. Uma condição ncssária suficint para qu as duas áras sombradas na figura sjam iguais é ta a = a. tg a = a. tg a = a. a tg a = a. ) tg = a. 7) No início da ra cristã, o astrônomo Cláudio Ptolomu scrvu um livro intitulado Sntais mathmatica (conhcido como o Almagsto), qu influnciou considravlmnt o dsnvolvimnto da trigonomtria nas épocas subsqünts. Utilizando uma circunfrência d raio r = 6, Ptolomu dsnvolvu uma tábua d cordas muito smlhant a uma tábua d snos, na qual a um ângulo θ, tal qu θ º corrspondia a uma mdida chamada corda do ângulo θ (crdθ), igual ao comprimnto do, sgmnto AB, como mostra a figura a sguir. Com bas nstas informaçõs, sndo C o cntro da circunfrência, calcul crd 9º; scrva a prssão qu dtrmina crd θ m função d sn θ. θ Gab: crd 9º = 6 crd θ= sn ) Lia o tto abaio. Qu gigants? diss Sancho Pança. Aquls qu ali vês rspondu o amo d braços tão compridos, qu alguns os têm d quas duas léguas.

2 Olh bm Vossa Mrcê diss o scudiro qu aquilo não são gigants, são moinhos d vnto; os qu parcm braços não são snão as vlas, qu tocadas do vnto fazm trabalhar as mós. Bm s vê rspondu D. Quiot qu não andas corrnt nisto das avnturas; são gigants, são;, s tns mdo, tira-t daí, põ-t m oração nquanto u vou ntrar com ls m fra dsigual batalha. CERVANTES, Migul. Dom Quiot d la Mancha. Tradução Visconds d Castilho Azvdo. São Paulo: Nova Cultural,. Cap. VIII. p Na squência da história d Crvants, D. Quiot arrmtrá contra o moinho d vnto, qubrando a sua lança caindo ao chão, para dsspro d Sancho Pança. Considr, nssa situação ficcional, um moinho d vnto contndo sis vlas (ou pás) iguais, como aprsntado na figura abaio. A vla qu srá atingida pla lança (rticulada na figur, lva sgundos para dar uma volta complta, m sntido antihorário, com vlocidad constant, a partir da posição inicial m TP. Com bas no posto, o mnor tmpo dcorrido até qu D. Quiot acrt, com sua lança, o ponto P da vla a uma altura d m do solo, ants dl compltar uma volta é 7 s. 7, s. s., s. )9 s. 9) Os ângulos (m graus) θ ntr 6 para os quais snθ=cosθ são: º 9º º º º 6º º, 9º º ) 9º, º 7º 6 α α ) O valor da soma sn sn, para todo α R, é igual a n n n= α cosα 79 α α sn sn 79 α α α α α ) cosα 79 ) Considr um arco com trmidad no sgundo quadrant cos =. Então, sn tg é igual a: 6 6 ) O valor d cos 7º - cos 6º é idêntico ao d cos 6º cos 6º cos 6º sn 6º )sn 6º ) O conjunto imagm o príodo d f () = sn () + sn(6) são, rspctivamnt, [, ] [, ] [, ] [, ] )[, ] ) Para qualqur valor d R, é corrto afirmar qu cos - sn é quivalnt a: cos sn cos + sn cos sn ) + sn admit atamnt duas raízs. admit uma única raiz. não admit raízs. - 6) Dtrmin todos os valors α, tais qu a quação (m ) + tgα= admita apnas raízs rais simpls. Gab: Para α - ;, < tgα< <α< 7) Sndo f () = sn + cos + cot g + cossc - tg - sc, ntão f ( / ) val ). ) Dada a função f dfinida por f()= sn()cos()cos(), o valor d f é ) sn sn 9) No intrvalo [, ], a quação = admit o sguint númro d raízs: ) ) Um dtrminado objto d studo é modlado sgundo uma função trigonométrica f, d IR m IR sndo part do su gráfico rprsntado na figura: Usando as informaçõs dadas nss gráfico, pod-s afirmar qu a função f é dfinida por f() = + sn. f é crscnt para todo tal qu [; ]. o conjunto imagm da função f é [; ]. 9 para = f, tm-s < <. ) o príodo d f é. ) O horário do nascr do pôr do sol dpnd d divrsos fators, spcialmnt da latitud do obsrvador do dia do ano (posição da Trra ao longo d sua órbita m torno do Sol). No início do vrão do hmisfério sul, o tmpo m horas, T, ntr o nascr o pôr do sol, para latituds ntr zro graus sul, pod sr calculado aproimadamnt, com rro d alguns minutos, pla função T = +, tg(θ), m qu θ é a latitud do local. Tndo m vista stas informaçõs, no dia qu marca o início do vrão, qual é, aproimadamnt, a difrnça ntr o total d horas d sol na cidad d Porto Algr, cuja latitud é d graus sul, na cidad d Macapá, qu stá sobr a linha do quador? hora minutos hora minutos hora minutos horas minutos ) horas minutos ) Um avião, m procdimnto d pouso, ncontrava-s a 7 m d altitud, no momnto m qu a linha qu liga o trm d pouso ao ponto d toqu formava um ângulo θ com a pista d pouso, conform a ilustração abaio. ) A quação (sn ) (sn ) + 6= admit mais d duas raízs.

3 Para a atrrissagm, o piloto programou o ponto d toqu do trm d pouso com o solo para m após a cabcira da pista, indicada por C na figura. Sabndo qu sn ( θ ) =, qu o ponto P é a projção vrtical do trm d pouso no solo, a distância, m mtros, do ponto P ao ponto C corrspond a 7 )7 ) A ilustração a sguir é part do gráfico da função = a.sn (b) + c, com a, b c sndo constants rais. A função tm príodo passa plos pontos com coordnadas (,) (/,). Dtrmin a, b c indiqu (a + b +. Gab: 6 ) Sja S = log(tgº) + log(tgº) + log(tgº) + K + log(tgº) + log(tg9º ). Calculando a soma, S é igual a log log ) vint cinco andars, sndo dz d garagns. Hoj é dnominado Edifício Praça da Bandira. Suponha qu cada andar tm mtros d altura um carro d bombiro tnha s posicionado m frnt ao prédio incndiado. S a inclinação máima da scada é o su tamanho máimo é 6m, qual srá o último andar alcançado pla scada? (Imagm disponívl m: Acsso m: //.) º Andar. 7º Andar. º Andar. º Andar. )º Andar. ) A, B C são quadrados congrunts d lado igual a m um msmo plano. Na situação inicial, os três quadrados stão dispostos d forma qu dois adjacnts possum um lado m comum outro sobr a rta r. Na situação final, os quadrados A C prmancm na msma posição inicial, o quadrado B é rposicionado, conform indica a figura. ) Ao studar as funçõs trigonométricas, os matmáticos indianos (c. -6 d.c.) costumavam usar o concito d mia-corda rlacionado ao ângulo cntral. A figura abaio, por mplo, rprsnta uma corda AB m um círculo d raio r sua mia-corda AM = AB. Considrando o ângulo α = A Ô C, A mnor distância da rta r a um vértic do quadrado B é.... ). α, os indianos chamavam o sgmnto OM d koja do ângulo α, ou sja, OM = koja (α). Além disso, dnominavam o sgmnto AM d ja do ângulo α o sgmnto MC d ukramaja d α. Com bas nstas informaçõs, sndo r = ja (α) =,6, calcul ukramaja (α). Gab: ukramaja (α) =,. 6) No dia primiro d janiro d, ocorrrá a crimônia d poss do( novo( Prsidnt( da Rpública. Um dos atos solns dsta crimônia é a subida da rampa do Palácio do Planalto, sd do govrno brasiliro qu pod sr vista na Figura. 9) D um ponto A, situado no msmo nívl da bas d uma torr, o ângulo d lvação do topo da torr é d. D um ponto B, situado na msma vrtical d A m acima, o ângulo d lvação do topo da torr é d º. Qual a altura da torr? Dados: us as aproimaçõs tg,6 tg,. m m m m ) 6m ) Quanto ao arco.º, é corrto afirmar. Prtnc ao sgundo quadrant tm como côngruo o ângulo d º Prtnc ao primiro quadrant tm como côngruo o ângulo d 7º Prtnc ao trciro quadrant tm como côngruo o ângulo d 9º Prtnc ao quarto quadrant tm como côngruo o ângulo d º ) Prtnc ao trciro quadrant tm como côngruo o ângulo d 9º Figura : Palácio do Planalto (Disponívl m: PG, acsso m //.) Suponha qu ssa rampa possua uma lvação d º m rlação à sua bas uma altura d m. Então o( novo( Chf d Estado, ao subir toda a rampa prsidncial, prcorrrá uma distância d: 6 m + m 6 m 6 + 6m ) m 7) O Edifício Jolma tornou-s conhcido nacional intrnacionalmnt quando, m fvriro d 97, um incêndio provocou a mort d pssoas. Foi inaugurado m 97 continha )A sqüência,,,,...,,..., n cos possui trmos maiors do qu,6. Portanto, =. =. =. = 6. ) =. ) O valor d sn + tg, com = é igual a: + ) ) O mnor valor não ngativo côngruo ao arco d rad 7 rad 9 rad rad rad é igual: ) rad cossc6º scº ) Sndo A=, ntão o valor d A é igual a: cot gº

4 ) ) Dtrmin o valor do o trmo da sqüência (cos o, cos 6 o, cos 9 o, cos o,...). 6) A prssão cotg() + cossc() pod sr scrita como: cos( ) + sn() [cos () + sn()] tg() cotg() cos()sn() sn() ) [cos() + sn ()] sn() 7) O radar é um dos dispositivos mais usados para coibir o csso d vlocidad nas vias d trânsito. O su princípio d funcionamnto é basado no fito Dopplr das ondas ltromagnéticas rfltidas plo carro m movimnto. Considr qu a vlocidad mdida por um radar foi V m = 7 km/h para um carro qu s aproimava do aparlho. Quando um carro não s mov dirtamnt na dirção do radar, é prciso fazr uma corrção da vlocidad mdida plo aparlho (V m ) para obtr a vlocidad ral do vículo (V r ). Essa corrção pod sr calculada a partir da fórmula V m = V r cos(α), m qu α é o ângulo formado ntr a dirção d tráfgo da rua o sgmnto d rta qu liga o radar ao ponto da via qu l mira. Suponha qu o radar tnha sido instalado a uma distância d m do cntro da faia na qual o carro trafgava, tnha dtctado a vlocidad do carro quando st stava a m d distância, como mostra a figura abaio. S o radar dtctou qu o carro trafgava a 7 km/h, sua vlocidad ral ra igual a 66, km/h. 7 km/h. 6 km/h. / km/h. sn cos ) cos ) Obsrv a figura a sguir, m qu stão indicadas as mdidas dos lados do triângulo maior alguns dos ângulos. O sno do ângulo indicado por α na figura val: + + ) ) Um obsrvador d,m d altura vê o ponto mais alto d uma torr sgundo um ângulo d º m rlação ao plano horizontal qu passa plos sus olhos. Caminhando m m dirção à torr, passa a vê-la sob ângulo d º, como stá rprsntado no squma abaio. Sabndo qu o sno d º é igual a, qu o cossno d º é igual a,9, a altura h da torr m rlação ao solo é d, aproimadamnt: m; m; m; m; )6 m. ) Na figura a sguir, stão rprsntadas parts dos gráficos das funçõs f()= sn g()= cos. ) S os númros rais α β, com α +β=, α β, maimizam a soma sn α+ snβ, ntão α é igual a 7 ) 9) A prssão quivalnt a: sc( ) +, tal qu sc( ) para todo, é sc() sn. - tg (). ) - sn ) Assinal a opção qu indica a soma dos lmntos d A B, sndo: k A= k = sn : k=, (k+ ) B= k = sn : k=, ( + ) / ) ( + ) / ) Sabndo qu sn a cosa=, o sn a srá igual a: ) ) O dtrminant cos sn sn é igual a: A partir dos gráficos, é corrto concluir qu a mnor solução positiva da quação cos( sn) = val aproimadamnt,.,.,.,. ), 6. 6) Da trigonomtria sab-s qu quaisqur qu sjam os númros rais p q, p+ q p q sn p+ sn q= sn Logo, a prssão cos sn 9 é idêntica a: sn + sn (sn 6 + sn ) (sn + sn ) (sn 6 + sn ) ) (sn + sn ) 7) Sabndo qu cot g=, o valor da tg é igual a: ) ) O valor da tangnt do ângulo d 7º é igual a

5 6 + + ) 6 9) 6) Sabndo-s qu é: 6 6 sn cos = 6, podmos afirmar qu sn() ) 6 sn sn cot g 7) O dtrminant da matriz cos cos é sn tg sn + cos sn ) (sn + cos) A quação do tmpo é a função qu md a difrnça, ao longo d um ano, ntr os tmpos lidos a partir d um rlógio d sol d um rlógio convncional. Ela pod sr aproimada pla função = f (B) = 9,7 sn( B) - 7, cos(b) -, sn(b) sndo B= (n ) / 6 n o númro do dia, isto é, n = para d janiro, n = para d janiro, assim por diant. ) Na figura, A Dˆ B é rto, BÂC = α, CÂD = β, AC= dm BC= dm. Sabndo qu cos( α +β) =, o valor d snα é.... ) 6 9) O valor d tg º + tgº é: o sn 7 sn 7º o cos7 o cos7 É corrto afirmar qu: f (B) = 9,7 sn( B) - 7, cos(b) -,7 sn( B) f (B) = 9,7 sn(b) - 7, cos(b) -, sn(b) f (B) = [9,7 sn(b) - 7,] cos(b) -,(B) f (B) = 9,7 [ (cos(b)) ], sn(b) - 7, cos(b) ) f (B) =,7 sn( B) - 7, cos(b) ) S sn (º) =, ntão o valor d sn(º ) + tg(º ) é.... ) Sabndo-s qu sn() + cos() = k, com k lr, ntão o valor d sn(), m trmos d k, é k. k +. k +. k. ) k. ) Dado sn θ =, º < θ< 9º. O valor d sn(θ ) é ) S sn ( α +β) + sn( α β) = m cos( α +β) cos( α β) = n, m m qu < α, β<, ntão pod-s afirmar qu quival a: n cosβ snα tgβ cot gβ sn α cosβ ) O valor do produto sn.cos é igual a: ) ) A prssão trigonométrica dada por sn é uma idntidad trigonométrica com o trmo: cos cos sn sn ) sn + cos 6) Na figura, o triângulo ABC é quilátro d lado, ACDE, AFGB BHIC são quadrados. A ára do polígono DEFGHI val ) + 6) O para-brisa frontal d um carro tm formato plano rtangular, mdindo, m d comprimnto por m d altura. Os limpadors d para-brisa dss carro funcionam no sistma oposto, ou sja, contêm duas palhtas idênticas, fiadas nos cantos infriors do para-brisa, como mostra a figura. Ao srm acionadas, as palhtas fazm um movimnto m sntido circular para limpar o vidro. Considr qu as pontas das palhtas ficam rnts uma da outra ao passarm plo ponto A, m qu o mnor ângulo formado ntr as palhtas é θ, tal qu cos θ =,. Tndo m vista sts dados, o tamanho da palhta é, m mtros,,,9,, ), 6) Paulo Marta stão brincando d jogar dardos. O alvo é um disco circular d cntro O. Paulo joga um dardo, qu ating o alvo num ponto, qu vamos dnotar por P; m sguida, Marta joga outro dardo, qu ating um ponto dnotado por M, conform figura. Sabndo-s qu a distância do ponto P ao cntro O do alvo é PO= cm, qu a distância d P a M é PM= cm qu o ângulo PÔM md º, a distância, m cntímtros, do ponto M ao cntro O é ).

6 6) Dtrmin os valors d m d modo qu s vrifiqum simultanamnt as igualdads m+ sc = m+ tg = Gab: m = m = 6) O valor d ( tg o + cotg o ).sn o é: / / ) 6) S sn - cos = /, o valor d sn.cos é igual a : /6 / / / )/ 66) Um ângulo tm sua trmidad no º quadrant su sno val /. A tangnt dss ângulo é: / / / )/ 67) Simplificar = cos6+ cos sn 6 sn h() = L cos () h() = L sn () h() = L sn () h() = L cos () ) h() = L cos () Gab: Y = cotg 6) Um stor circular d raio cm tm arco d comprimnto cm. Então a sua ára é: cm cm cm cm )cm 69) Assinal o gráfico qu rprsnta a função ral dfinida por = - sn. a- b- / / / / - c- / / d / / - / / TEXTO: - Comum à qustão: 7 Tals, um aluno do Curso d Matmática, dpois d trminar o smstr com êito, rsolvu viajar para a Europa. 7) Ao visitar o Panton, m Paris, Tals conhcu o Pêndulo d Foucault. O squma abaio indica a posição do pêndulo fiado a uma hast horizontal, num crto instant. Sndo L o su comprimnto o ângulo m rlação a sua posição d quilíbrio, ntão a altura h do pêndulo m rlação à hast horizontal é prssa pla função