Regressão Linear Múltipla

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1 Prof. Lorí Val, Dr. Regressão Lear Múltpla O odelo de regressão lear últpla Itrodução Defção e terologa Iterpretação Estação Iterpretação revstada Qualdade do auste Propredades estatístcas Modelo de Regressão Lear Sples Defção y β0 + β x Maor desvatage: Não é uto adequado para odelar relações Ceters Parbus etre varáves, pos dfclete + u E( u x E( u Outros fatores relevates peraece fxos. 0 Modelo de Regressão Lear Múltpla Auda a ecotrar relações Ceters Parbus etre varáves; Melhora o auste ao dados; Maor flexbldade. Defção e Terologa Sea e,, + varáves populacoas. O obetvo é explcar e fução de,,, sto é, coo se altera se ua ou todas as varáves,, se altera. Probleas Coo ão há ua relação precsa etre e,,, coo levar e cota outros fatores que afeta? Qual a verdadera relação fucoal etre e,,,,? Coo capturar ua relação ceters parbus etre e,,,, (se este for o caso?

2 O Modelo O (MLRM Modelo Lear de Regressão Múltpla é dado pela segute equação: β0 + β + β + L+ β + U Terologa : varável varável de depedete, varável resposta, efeto. regressado, saída, efeto : varáves varável depedetes, explcada, prevsta, varáves explcatvas, varáves de cotrole, predtores, regressores, etradas, causas. U: erro, dstúrbo ou ruído. O tero U represeta: erros de edda; fora fucoal adequada; varabldade erete das varáves evolvdas; outros fatores alé de,, a varável. que afeta Hpóteses Adcoas Sobre U Méda ula E(U 0 Méda codcoal ula E(U,,, E(U 0 O Método dos Míos Quadrados Para estar os parâetros β 0, β,, β da equação de regressão últpla é ecessáro ua aostra da população! {( x,x, K,x, y :,, } K Cosdere ua aostra aleatóra de taaho da população. Supodo que esta aostra satsfaça odelo pode-se escrever: β0 + β + β + L+ β + U Ode a letra refere-se a -ésa observação. o

3 A descrção do odelo de regressão últpla é oralete apresetado de fora atrcal. coo: A equação ateror pode ser escrta Ode: β + U ( x (x β0 U β U β U β U β x U (x Note-se que cada lha da atrz represeta u couto de valores das varações depedetes referetes a ua observação, ao passo cada colua represeta u couto de valores de ua varável depedete as observações aostras. A prera colua de é coposta teraete de valores guas a u. As hpóteses vstas para a regressão lear sples pode ser colocadas a fora atrcal da segute fora: U ~ N ( 0,Σ Ode 0 é u vetor-colua de zeros e Σ é ua atrz x. Ode I é ua atrz-detdade de orde x, co udades a dagoal prcpal e zeros e todo o resto. Σ σ I Os eleetos da atrz são ão estocástcos co valores fxados e aostras repetdas, e a atrz (/( é ão sgular e tal que, para qualquer taaho aostral, seus eleetos são ftos.

4 Estação dos Parâetros Da esa fora que a regressão lear sples os estadores de íos quadrados dos coefcetes de regressão pode ser obtdos, zado a soa dos quadrados dos resíduos, sto é: Φ U ( β0 β L β Dferecado Φ e relação aos parâetros de regressão: β, β,, β, te-se: Φ ( β0 β L β β Φ ( β0 β L β β.. Φ ( β0 β L β β Igualado cada dervada a zero e reagrupado os teros, te-se: β ˆ 0 + β ˆ + + β ˆ Para resolver as equações oras de íos quadrados, escreve-se a prera equação da segute fora: 0 Ode: L e Estação dos Parâetros Substtudo a equação ateror as deas equações, obté-se após alguas splfcações: L L L Ode:,,,..,K ( ( ( ( 4

5 Estação dos Parâetros Estação dos Parâetros para Estas equações pode ser resolvdas,,..,. A solução é sples, poré trabalhosa. Se K, sto é, para o caso de duas varáves, te-se: Exeplo U Cosdere os dados coo sedo das varáves: Quatdade vedda de u produto, Preço do produto e Gasto co a dvulgação do produto. Deterar a equação de regressão de e fução de e de. Q (g Preço (R$ Ivesteto (R$ l Ode: , 7 600

6 Etão: ( 400.,7, ( , 7 ( 400.( 0 0, ( (, , 6,78 Ass a equação procurada, será: Ŷ 6,6 -, + 0, Desta fora, ua redução de R$0 o preço do produto, se vesteto e publcdade, auetara as vedas e e aproxadaete g. U aueto a publcdade de 00 l, se alteração o preço, aueta as vedas e g. Exercíco U (Guarat 7.8 A tabela apreseta dados sobre o produto bruto real, trabalho e captal real o setor dustral de Tawa. (a Auste os segutes odelos aos dados da tabela: β + β + β + U t 0 ' l t α + α l + α l + U t 0 t (b Qual odelo oferece elhor auste e por quê? t t t t Ao 98 89,4 8, , 84, , 89, , 7, , 7, , 40, ,7 478, ,9, ,0 66, , 69, ,7 790, ,6 86, , 848, , 87, ,0 999, 97 Exercíco U (Guarat 7.8 Solução do Exercíco U (Guarat 7.8 Ode Produto Bruto real (e lhões de NT $* Trabalho (por l pessoas Captal Real (e lhões dent $ (* Dólares Novos de Tawa Fote: Thoas Pe-Fa Che, Ecooc Growth ad Structural Chage Tawa - 9/97, A Producto Fucto Approach, tese de doutorado ão-publcada, Departaeto de Ecooa, Cetro de Graduação, Cty Uversty of New or, Juho de 976, Tabela II. 6

7 Fora Matrcal As equações oras do étodo dos íos quadrados pode (e deve ser apresetadas e otação atrcal, da segute fora: ' ( ' β ˆ ' Ode: ' 0 A Solução A solução para β ˆ ( ' será, etão: ( ' Exeplo Dos Cosdere os dados coo sedo de três varáves, sedo ua depedete e duas depedetes e. Deterar a equação de regressão de e fução de e de O odelo para este caso será dado por: β0 + β + β + U Substtudo os valores teos: E + E + E + E + E 4 7

8 8 As equações pode ser expressas de fora atrcal, fazedo: e e e e e 4 E Te-se, etão: + e e e e e y A fora atrcal é, etão: y βx + e A solução é dada por: y ( ' ' Ass, para os valores dados, te-se: β ˆ Resolvedo por partes: ' y ' ( ' Os coefcetes serão: 0,,00 0, A equação de regressão, será: 0,. 0,0 Ŷ + Ŷ E Ŷ ( ( Ŷ Na ANOVA a varabldade etoro da éda geral é decoposta e varabldade detro e etre trataetos. Na Aálse de Regressão a varabldade total é decoposta e varabldade sobre a regressão (Explcada e varabldade devdo a regressão (Não- Explcada. Para ostrar esta decoposção vaos partr da segute detdade: Qualdade do Auste

9 Elevado os dos lados ao quadrado, te-se: ( Ŷ ( [ ( ( Ŷ ( Ŷ Mapulado algebrcaete, te-se: + ] ( Ŷ SQT (Soa dos Quadrados Total (TSS Total Su of Squares VT SQT ( SQE (Soa dos Quadrados Explcados ou Austados (ESS Explaed Su of Squares SSR (Soa dos Quadrados dos Resíduos (RSS Resdual Su of Squares VE SQE ( Ŷ VR SQR E ( Ŷ Ass: G.L. ( ( Ŷ + ( Ŷ SQT SQR + SQE - ( Ass, a tabela da ANOVA para a Aálse de Regressão, fca: Fote Regressão Resíduo (Erro Soa dos Quadrados GL Méda dos Quadrados SQE MQESQE/ SQR - MQS SQR/ ( F MQE/MQS 9

10 Coo a regressão sples pode-se defr o coefcete de deteração ou R R SQE SQT SQR SQT R ( ( Ŷ ( ( Ŷ R é ua fução ão decrescete do úero de regressores. Cofore aueta o úero de varáves explcatvas R geralete tabé aueta. Para verfcar sto, basta lebrar que: R VE VT VR VT R ( Ŷ E ( ( Etão VT ( é depedete do úero de varáves o odelo. Mas VR E ( Ŷ depede do úero de varáves depedetes exstetes o odelo. Ass, pelo eos tutvaete, a edda que aueta o úero de varáves, VR deve dur ou ão auetar. Ass R, cofore defdo rá auetar. Desta fora ao se coparar dos odelos de regressão co a esa varável depedete as dferete úero de varáves depedetes, deve-se ter cautela a terpretação de R. 0

11 Ass para coparar dos odelos co úeros dferetes de varáves explcatvas é coveete levar e cota esta dfereça. Para fazer sto defe-se u coefcete de deteração alteratvo, deoado de R austado, da segute fora: R VR /( VT /( Ode úero de parâetros do odelo cludo o tercepto. Esta edda é austada para o úero de g.l. assocados às varações que faze parte do seu cálculo. R ( Ŷ ( Ou ada: ( Ŷ ( ( ( R σˆ S Ode o uerador é a varâca resdual, sto é, ua estatva dos teros erro e o deoador a varâca da varável. R pode ser deterado a partr de R da segute fora: R R Desta fora se exstr apeas ua varável explcatva os dos coefcetes são guas. A partr de, o coefcete austado será sepre eor do que o coefcete ão austado. Observe que se R, etão R tabé será u e se R 0, R poderá ser eor do que se >.

12 Não-Tedecosdade Os estadores de íos quadrados ordáros da regressão lear últpla são ão-tedecosos, sto é: E( E( E( E( 0 β β 0 β β Varâca dos Estadores Três fatores flueca a varâca dos estadores Varâca do erro Varação de Grau de relação varáves explcatvas lear etre as Coo estar σ? Teorea : sob as hpótese á ecoadas, te-se: σˆ S E ( E( σˆ σ ( SQR Varâca dos Estadores por: ode e A varâca dos estadores β Var( β σ SST ( R é dada SST ( ( ˆ SSE R SST ( Teorea de Gauss-Marov Sob as hpóteses (H - (H os estadores de MQO são BLUE (Best Lear Ubased Estators, sto é, são os elhores estadores, o setdo de possuíre eor varâca (aor efcêca, detro da classe dos estadores leares e ão-vesados. Todos os estadores Estadores leares Estadores ão-tedecosos MQO

13 Iferêca e odelos de regressão lear últpla. Dstrbução dos estadores de MQO; Testes de hpóteses sobre u úco parâetro: o teste t; Itervalos de cofaça; Testado restrções leares os parâetros: o teste F. Teorea Sob as hpóteses (H - (H 6 e codcoalete os valores observados das varáves depedetes. Logo ~ N Var( ( β,var( β ~ N ( 0, Testes de Hpóteses Sobre u Úco Parâetro Cosdere o odelo β0 + β + β + L+ β + U Hpóteses sobre o parâetro b pode ser testadas por: β t σˆ Itervalos de Cofaça Da esa fora pode ser crados tervalos de cofaça para os parâetros estados, através das segutes expressões: ± t σˆ Testado Hpóteses Sobre ua Cobação Lear de Parâetros Cosdere a regressão, abaxo, ode sal é salaro, sec é o úero de aos e escola secudára, u é o úero de aos a uversdade e exp é o úero de aos de experêca profssoal. log( sal β + β sec + βu + βexp 0 + U Se quseros verfcar se u ao a as de escola secudára equvale a u ao adcoal a uversdade, qual hpótese devera ser testada? H 0 : β β Coo testar H 0?

14 Solução Redefa H 0 da segute fora: H 0 : β - β 0 A estatístca do teste será: t σˆ O erro padrão da dfereça dos dos estadores, será: V( V( + V( Cov(, Propredades asstótcas Cosstêca dos estadores Noraldade asstótca Até o oeto fora estudadas as propredades e aostras pequeas dos estadores de íos quadrados. Por exeplo, a propredade de ão- tedecosdade dos estadores de MQO vale para qualquer taaho de aostra. Estas propredades são cohecdas propredades exatas dos estadores. coo Cosstêca O próxo passo é estudar quas são as propredades dos estadores de MQO quado o taaho da aostra cresce. Estas propredades são cohecdadas coo propredades asstótcas. Relebrado que sob as hpóteses de Gauss-Marov Para cada taaho de aostra, o estador probabldade. possu E[ ] ua β dstrbução de 4

15 Cosstêca Coo o estador é ão-tedecoso tedecoso, a éda de cada dstrbução é splesete β. Se o estador for cosstete, a edda que cresce a dstrbução cocetrada e toro da éda. fca as Defção Sea u estador do parâetro β ^ para ua aostra de taaho. será u estador cosstete se, para u úero ε qualquer: l Pr( β > ε 0 ^ ^ Teorea: sob as hpóteses (H - (H 4, os estadores de íos quadrados ordáros são cosstetes. Noraldade Teorea: sob as hpóteses de Gauss- Marov (H a H os estadores de MQO são asstotcaete oras ode: a pl rˆ β ˆ β se( β ˆ D N ( 0, Para os parâetros de clação s é u estador cosstete de σ V(U, para todo ( β ˆ β D σ N 0, a O que acotece quado varáves rrelevates são cluídas o odelo? Cosdere que o odelo abaxo teha sdo especfcado. β + β + β + β 0 + U

16 Cosdere ada que o efeto de e, após a clusão de e o odelo, sea ulo. Isto é: β 0 E( y x E( y x,x β 0,x + β,x x E( y x + β Mas a prátca ão se sabe a pror que β 0. O que acotecerá co os estadores? x,x O que acotece quado varáves relevates ão são cluídas o odelo? Os estadores serão vesados (tedecosos. O vés é geralete chaado de vés de varáves otdas. β + β + β 0 + U Cosdere o segute odelo populacoal: Agora, supoha que o odelo estado a varável ão fo cluída. ~ ~ β0 ~ β ( ( ~ + β Ne sepre se quer testar os coefcetes dvduas da regressão. Pode ser ecessáro e é coveete testar o odelo coo u todo, sto é testar se: H : β β β 0 Este caso pode ser tratado através da aálse de varâca (ANOVA. 0 O odelo de Regressão Múltpla Geral é dado por: β + β + β + +β + U Para testar a hpótese ula de que: H : β β β 0 0 6

17 Isto é, todos os coefcetes são ulos, cotra a alteratva de que e todos são sultaeaete ulos, detera-se: SQE /( F SQR /( A expressão te ua dstrbução F co - e - graus de lberdade. F SQE /( ( SQE SQR /( ( SQR ( SQE ( ( SQT SQE ( ( SQE / SQT ( [ ( SQE / SQT ] ( R ( ( R ( R /( R /( Ode: SSR (Soa dos Quadrados dos Resíduos (RSS Resdual Su of Squares VR SQR E ( Ŷ SQE (Soa dos Quadrados Explcados (ESS Explaed Su of Squares VE SQE ( Ŷ e: G.L. ( ( Ŷ + ( Ŷ SQT SQR + SQE - ( O resultado ateror ostra que F e R vara dretaete. Ass se R 0, etão F é zero. Quato aor o valor de R aor será o valor de F. Desta fora o teste F que é de auste do odelo tabé testa a sgfcâca do coefcete de deteração. 7

18 Decddo etre odelos copettvos A decsão etre u odelo lear ou u odelo log-lear (o lagarto do regressor é ua fução dos logartos dos regressores é ua questão básca a aálse epírca. Para testar: H 0 : Modelo Lear; H : Modelo Log-Lear. Pode-se utlzar o teste MWD. O teste MWD fo proposto por MacKo, Whte e Davdso e evolve as segutes etapas: Estar o odelo lear e deterar os valores Ŷ ; Estar o odelo log-lear e obter os valores l^ ; Obteha Z l Ŷ l^ ; Fazer ua regressão de sobre os valores de e Z otdos coo aca. Reetar H 0 se o coefcete de Z for estatstcaete sgfcatvo através do teste t tradcoal; Obter Z ( at l Regredr o l de sobre os logartos de s e Z. Reetar H se o coefcete de Z for sgfcatvo pelo teste t. l^ O odelo clássco de Regressão Lear é baseado e u couto de hpóteses splfcadoras: É lear os parâetros; Os regressores repetdas; A expectâca dos U é zero; são fxos e aostrages A varâca de U é costate e hoocedástca. Se U ão são autocorrelacoados; Se os são aleatóros eles são depedetes ou ão-correlacoados co U ; O úero de observações ( deve ser aor que o úero de regressoes (; Não há relação lear etre os regressoes, sto é, ultcoleardade; Os teros U são oras. 8

19 Três questões deve ser respoddas: Qual o desvo ío e relação a ua hpótese, para que sto faça dfereça? Coo verfcar se ua hpótese fo, de fato, volada, ua stuação específca? Que correção adotar quado ua ou as hpóteses ão fore verdaderas? O tero ultcoleardade fo cuhado por Ragar Frsch a obra Statstcal Cofluece Aalyss by Meas of Coplete Regresso Systes do Isttuto de Ecooa da Uversdade de Oslo que fo publcada e 94. O tero sgfca a exstêca de ua relação perfeta lear etre alguas ou todas as varáves explcatvas do odelo. Ass para ua regressão que evolva varáves explcatvas:,,,, dreos que exste ua relação lear exata se: λ + λ + λ 0 Ode λ, λ,, λ são costates ão sultaeaete ulos. A déa de ultcoleardade clu ada: λ + λ + λ + V 0 Ode o tero V é estocástco. O tero ultcolear coo defdo clu apeas relacoaeto lear as sto ão exclu outras relações coo por exeplo:. A exstêca da ultcoleardade pefeta tora os coefcetes da regressão deterados e seus erros padrão ftaete grades. Se a ultcoleardade ão for alta (ão perfeta os coefcetes de regressão poderão ser deterados as os erros padrão serão grades. 9

20 Coseqüêcas da ultcoleardade Se as hpóteses do odelo são satsfetas os estadores de MQO dos coefcetes da regressão são MELNV. Pode-se ostrar que eso que as varáves sea altaete coleares os MQO ada até a propredade MELNV. Ass as coseqüêcas prátcas pode ser: As estatvas apresetare grades varâcas e coo resultate ter-se-á: Itevalos de cofaça aores; Algus coefcetes pode ser ão sgfcatvos; O R ada ser alto, eso co coefcetes ão sgfcatvos. Percepção da ultcoleardade Este é u feôeo essecalete aostral, coseqüêca decorrete e boa parte de dados ão-experetas coletados a aora das Cêcas Socas. A segur alguas regras prátcas para detectar sua preseça: U R alto co poucos regressores sgfcatvos; Altas correlações dos a dos etre os regresssores; Ídce de Codção (IC Ídce de Codção coo: O úero de codção é defdo Autovalor Máxo Autovalor Mío O Ídce de Codção (IC é defdo, etão, coo: Autovalor Máxo IC Autovalor Mío Pode-se adotar, etão, a segute regra epírca. Se estver etre 00 e 000 exste ultcoleardade de oderada a forte. Se estver aca de 000 a ultcoleardade é grave. Da esa pode-se utlzar o IC. Se ele estver etre 0 e 0 coleardade oderada a forte e aca de 0 grave. 0

21 Ua hpótese portate do odelo clássco de regressão lear é a de que a varâca de cada tero resdual (U é costate e gual a σ. ou Hoo (gual scedastcdade (dspersão, E ( U σ,,, Alteratvaete a hooscedastcdade pode ser expressa por: V ( / x σ A heteroscedastcdade é, etão dada por: V ( / x σ Algus causas da heteroscedastcdade pode ser: Stuações de apredzage e erro; Aueto de reda co aueto da lberdade de escolha de coo dspor a reda; Melhora as téccas de coleta de dados, eos erros, eor varabldade; A heteroscedastcdade é as cou quado os dados são proveetes de cortes de séres teporas. O que acotece co os estadores dos MQO e co suas varâcas a preseça de heteroscedastcdade? Vaos supor o odelo de Regressão Lear Sples: α + β + U e que: E( U σ A clação da lha de regressão é dada por: S b S

22 Neste caso, a varâca do estador será dada por: ( σ V ( b [ ( ] Se σ σ, etão a expressão aca fcará reduzda ao caso usual. Neste caso o estador MQO cotua lear e ão tedecoso, as ão será as de varâca ía. Ele ão é efcete, pos ão leva e cosderação a foração de que para cada x a varâca de é dferete. Para obter u estador efcete é precso fazer uso do étodo dos MQG. MQG (Míos Quadrados Geeralzados O MQO ão leva e cota as dferetes varabldades dos resíduos, coferdo a esa portâca para cada observação. O MQG leva e cota explctaete tal foração e por sto é capaz de produzr estadores efcetes a preseça de heteroscedastcdade. Detectado a Heterocedastcdade Coo saber se exste heteroscedastcdade os dados? Não exste u étodo seguro co valores aostras. Coo, e geral, só exste u para cada, dectetar a preseça de heroscedastcdade ão é sples. A aora dos étodos se basea o exae dos resíduos. Testes foras Teste de Par; Teste de Gleser; Teste de Speara de correlação da orde; Teste de Goldfeld-Quadt; Teste de Breusch-Paga-Godfrey; Teste Geral de Heteroscedastcdade de Whte; Meddas Corretvas As eddas corretvas deve levar e cota as duas segutes stuações: Quado as varabldades resíduas fore cohecdas e Quado elas ão fore cohecdas.

23 Se as varabldades resduas fore cohecdas etão deve-se utlzar o Método dos Míos Quadrados Geeralzados ou Poderados, ode a poderação é dada por: w σ Se as varabldades resduas ão fore cohecdas pode-se adotar os segutes procedetos: Varâcas e erros-padrão cosstetes e heteroscedastcdade segudo Whte; Hpóteses plausíves a respeto do padrão de heteroscedastcdade; Ua hpótese portate do odelo clássco de regressão lear é a de que ão exste autocorrelação ou correlação seral etre os resíduos U. No etato, a correlação pode ocorrer, etão deve-se respoder: Qual a sua atureza? Quas as coseqüêcas teórcas e prátcas? Coo corrgr o problea quado ele ocorre? A Natureza O tero autocorrelação pode ser eteddo coo a correlação etre os teros de observações o tepo [séres teporas} ou espacas [dados de corte]. No odelo clássco a suposção é de que: E(U U 0 se Isto é, u dado resíduo ão é fluecado por u outro dado resíduo.

24 Causas da Autocorrelação Iérca ou rgdez. Séres coo PNB, Ídces de Preços, Produção, Eprego e Deseprego são cíclcas; Vés de especfcação: varáves excluídas. Vés de especfcação: fora fucoal correta; Feôeo da Tea de Araha. A oferta de produtos agrícolas reflete u feôeo deoado de Tea de Araha, e que a oferta reage ao preço coo ua defasage de u período de tepo, pos as decsões relatvas à oferta leva u certo tepo para sere pleetadas. Estatvas por MQO co Autocorrelação Defasages. E ua regressão de sére teporal do cosuo sobre a reda, ão é raro verfcar que o cosuo o período correte depede, etre outras cosas, do cosuo o período ateror; Mapulações de dados. Dados trestras agregados de édas de dados esas; O que ocorre co os estadores de MQO se E(U U 0 (para e as deas hpóteses fore atdas? Neste caso os estadores, a exeplo, do caso heteroscedástco, são ada leares e ão tedecosos. No etato sua varâca será afetada. Neste caso eles ão as terão varâca ía, sto é, eles ão serão efcetes. Aqu, tabé, a exeplo da heteroscedastcdade pode-se ecotrar u estador que sea efcete. Para sto será ecessáro utlzar MQG Míos Quadrados Geeralzados, que corpora qualquer foração adcoal que tveros através da trasforação das varáves. 4

25 Detectado a Autocorrelação A autocorrelação é u problea potecalete séro e eddas corretvas deve ser toadas. Etretato, calete, é ecessáro, verfcar se ela exste. Algus testes para detectar a autocorrelação. Método Gráfco. Represetar grafcaete os resíduos (U t e os resíduos padrozados (U t /s; Teste das carreras ou de Geary. O teste d de Durb-Watso Meddas Corretvas Quado a estrutura da autocorrelação é cohecda utlzar a trasforação de Pras-Wste e a Equação de Dfereça Geeralzada ou de Quase-Dfereça. Quado o autocorrelação ão é cohecda. Ebora sples de aplcar a regressão de dfereça geeralzada é geralete dfícl de rodar, pos, a prátca, poucas vezes se cohece o valor de ρ. Por sto fora crados étodos alteratvos. Método da prera dfereça. Para aplcá-lo é ecessáro fazer o teste de Bereblutt-Webb de que ρ. O processo teratvo de Cochrae- Orcutt para estar ρ. O étodo de Cochrae-Orcutt e duas etapas. É ua versão abrevada do processo teratvo. Método de Durb e duas etapas para estar ρ.

26 PARK, R. E. Estato wth Heteroscedastc Error Ters. Ecooetrca. v. 4,. 4, Out de 966. p GLEJSER, H. A New Test for Heteroscedastcty. Joural of the Aerca Statstcal Assocato. v. 64, 969. p. 6-. GOLDFELD, S. M., QUANDT, R. E. Nolear Methods of Ecooetrcs. Aesterdã: North- Hollad, 97. BREUSCH, T., PAGAN, A. A Sple Test for Heteroscedastcty ad Rado Coeffcet Varato. Ecooetrca. v. 47, 979. p GODFRE, L. Testg for Multplcatve Heteroscedastcty. Joral of Ecooetrcs. v. 8, 978. p WHITE, H. A Heteroscedastcty Cosstet Covarace Matrx Estator ad a Drect Test of Heteroscedastcty. Ecooetrca. v. 48, 980. p GEAR, R. C. Relatve Effcecy of Cout of Sg Chages for Assessg Resdual Autoregresso Least Squares Regresso. Boetra, v. 7, 970. P. -7. DURBIN, J., WATSON, G. S. Testg for Seral Correlato Least-Squares Regresso. Boetra. v. 8, 9. p BERENBLUTT, I. I., WEBB, G. I. A New Test for Autocorrelated Errors the Lear Regresso Model. Joural of the Royal Statstcal Socety. Sére B, v.,., 97. P. -0. COCHRANE, D. ORCUTT, G. H. Applcato of Least Squares Regressos to Relatoshps Cotag Autocorrelated Error Ters. Joural of the Royal Statstcal Socety. v. 44, 949. P. -6. DURBIN, J. Estato of Paraeters Te-Seres Regresso Models. Joural of the Royal Statstcal Socety. Sére B. v., 960. p

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