Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo. Conceitos Inciais

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1 Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo Conceitos Inciais

2 Conceitos Iniciais Objetivo Esta unidade tem o objetivo de fornecer uma visão geral dos conceitos básicos fundamentais para o entendimento dos demais tópicos de conteúdo, assim como fornecer uma pequena introdução sobre as equações e inequações algébricas que serão tratadas com mais detalhe na segunda unidade; e apresentar uma visão geral da teoria de conjuntos, como subsídio para um melhor entendimento da maneira correta de se entender e tratar classificações múltiplas de elementos, segundo critérios não mutuamente exclusivos. Representações numéricas Nos primórdios da história do homem, a necessidade da contagem inexistia, pois os homens retiravam seu sustento diretamente da natureza, sem acumularem qualquer tipo de posse que não conseguissem carregar consigo. A contagem começou com a sofisticação das atividades humanas, quando o homem progressivamente abandonou as atividades nômades, para fixarse a terra. Com o começo da produção, tornou-se criador de animais domésticos, por exemplo. Desta época remontam também as primeiras formas de calendário, dada a necessidade de registro das fases do ano, correspondentes a épocas mais propícias ao plantio. Com relação à contagem de animais, o pastor, pela manhã, soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde, se algum tinha se extraviado ou acrescentado ao rebanho. Assim eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco. Cada animal correspondia a uma pedra que era posta em um saco de couro, quando ia para o pasto. Quando os animais voltavam do pasto, era feita a operação inversa, isto é, para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, isto 2 Conceitos Iniciais

3 seria notado porque as pedras acabariam dentro do saco antes do final do recolhimento dos animais. Este é um dos primeiros processos analógicos de que se tem notícia: era feita uma analogia entre as pedras e os animais, quando o tratamento de um equivalia ao tratamento do outro. Curiosamente, a palavra cálculo é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha (é só lembrar-se de cálculos renais). Mas outras analogias eram também usadas: nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos etc. A partir daí, a necessidade de se avaliar quantitativamente o espaço habitado levou o homem a desenvolver inúmeros sistemas de contagem e representação numérica, o que nos trouxe aos dias de hoje através de iniciativas de diversos povos: os egípcios, os babilônicos, os chineses, os hindus e os árabes. É do norte da Índia, nos meados do século V, que vem às primeiras referências históricas ao nosso sistema numérico atual, onde surgiram os primeiros símbolos que evoluíram para se transformar nos algarismos arábicos, erroneamente assim designados, embora os árabes tenham tido forte influência na disseminação destes símbolos e do sistema numérico a eles associado. Note que inicialmente o ZERO era uma ideia numérica de difícil concepção e por esta razão representada como um espaço vazio por muitos povos (sem um símbolo a ela associado), o que é comprovado pela inexistência de uma representação para ele em outros sistemas numéricos anteriores, com o sistema romano. A ideia de uma representação para o ZERO e de seu significado é mais recente, associada por muitos ao trabalho de Fibonacci (1175 a 1240): um matemático com vários trabalhos importantes que chegam aos nossos dias e que teria estudado matemática em suas viagens pelo Islã. Mas chega de história e comecemos a considerar as representações numéricas que se é utilizada hoje. 3 Conceitos Iniciais

4 Conjuntos Numéricos 1 Os conjuntos numéricos foram surgindo conforme a necessidade uma de representar quantidades progressivamente mais complexas os sofisticadas. Pela própria sequência de apresentação dos conjuntos numéricos se percebe isto: 1. Conjunto dos Números Naturais É o grupamento de todos os números inteiros positivos, o que inclui a quantidade ZERO. Este conjunto é representado pela letra maiúscula N. Em muitos casos se destaca o conjunto dos números naturais não nulos (que exclui o zero). Neste caso, se coloca um asterisco ao lado da letra N para representar tal conjunto: N*={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 } N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 } 2. Conjunto dos Números Inteiros É o grupamento de todos os números que pertencem ao conjunto N (dos naturais), mais ampliado com as suas respectivas representações negativa. Este conjunto é representado pela letra Z. Z={ -3,-2,-1,0,1,2,3 } O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos 2 de destaque: 1 O conceito de conjunto será tratado mais adiante, ainda nesta unidade. 2 O conceito de subconjunto será tratado mais adiante, nesta unidade. Os inteiros não negativos: todos os números inteiros que não são negativos (inclui o ZERO). Este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais e pode ser representado alternativamente por Z+. Os inteiros não positivos: todos os números inteiros que não são positivos (inclui o ZERO). Pode ser representado alternativamente por Z-. 4 Conceitos Iniciais

5 Os inteiros não negativos e não nulos: equivalente ao conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se por Z*+ Os inteiros não positivos e não nulos: equivalente ao conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-. 3. Conjunto dos Números Racionais É um conjunto que engloba todo e qualquer número que pode ser expresso por uma divisão de números inteiros. A palavra racional, neste caso, está associada a um de seus significados menos usual: fração. Este conjunto é representado pela letra Q. Estes números englobam números decimais finitos e os infinitos periódicos (que repetem uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente). Estes últimos são também conhecidos como dízimas periódicas. Naturalmente, este conjunto engloba os números inteiros por que todos eles podem ser representados por uma fração do tipo: I = A letra I, neste caso, pode ser substituída por qualquer número inteiro. 4. Conjunto dos Números Irracionais Analogamente, este conjunto é formado pelos números que não podem ser representados por uma divisão de números inteiros. Não se deve tomar a palavra irracional como sendo algo insensato ou ilógico, mas sim como algo incapaz de ser expresso exatamente como a razão entre dois números inteiros. Este conjunto é representado pela letra I. I 1 5 Conceitos Iniciais

6 Excelentes exemplos de números irracionais são o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3, ; e todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1, ). 5. Conjunto dos Números Reais É o conjunto formado por todos os conjuntos citados anteriormente, ou mais simplesmente, pela união do conjunto dos racionais com conjunto dos irracionais. Este conjunto é representado pela letra R. Esquematicamente se poderia assim associar os conjuntos numéricos. Figura 1 - Correspondência dos Conjuntos Numéricos Note que a cada nível superior se acrescenta mais elementos aos conjuntos. 6 Conceitos Iniciais

7 Notação Posicional O sistema de numeração posicional é datado do século V, surgido junto com os trabalhos que deram origem aos algarismos que utilizamos hoje. No entanto, este princípio já era, de certa forma, utilizado nos sistemas numéricos egípcios e chineses. A notação (ou valor) posicional é empregada quando atribuímos a cada algarismo um determinado valor, de acordo com a posição relativa que ele ocupa na representação do numeral. Isto significa que, mudando a posição de um algarismo, estaremos alterando o valor por ele representado. A ideia é simples: embora se utilize os mesmos algarismos, os números 34 e 43 têm significado diferente porque seus algarismos mudaram de posição. Na prática, a primeira posição da direita representa a quantidade de unidades envolvida e, a segunda, a quantidade de dezenas = =43 O ZERO surge aqui como importante elemento para representar a ausência de valores em uma determinada posição: 3 centenas+zero dezenas+7 unidades=307 Note que as posições representam potências sucessivas de 10 (10 0 =1, 10 1 =10, 10 2 =100 e assim por diante). Daí se dizer que nosso sistema de numeração usa a base dez, com correspondência direta e natural com os dedos das mãos de um indivíduo normal. 7 Conceitos Iniciais

8 Os sumérios e os babilônios usavam a base sessenta. Este sistema chega até nossos dias através da divisão do círculo em 360 graus, por exemplo. Os romanos preferiam a base doze. Também este sistema chega até hoje com a tradição de se comprar dúzias de frutas nas feiras livres. O sistema de numeração que utilizamos acaba por retratar o velho mais importante ábaco chinês. Em cada posição que um número se encontra seu valor é diferente. Figura 2 - Ábaco Chinês E esta é a razão porque precisamos posicionar adequadamente os algarismos dos números quando fazemos operações de soma ou subtração: para associar corretamente unidades com unidades, dezenas com dezenas e assim sucessivamente. Frações São números que exprimem uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma coisa inteira. O exemplo clássico é a pizza: se dividirmos uma pizza em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza. 8 Conceitos Iniciais

9 Na prática, a fração representa a divisão de algo em partes iguais. Então um quarto significa que temos a unidade dividida em quatro partes iguais. O número na parte de cima do traço de fração é chamado de numerador e o número na parte de baixo é chamado de denominador. Note que não há possibilidade de divisão em zero partes. A razão disto é relativamente simples de se explicar. Primeiro se supõe que exista um número igual a uma divisão por ZERO. Por exemplo: Neste caso, N seria este suposto número. Agora, por uma regra simples de tratamento de igualdades, que veremos mais adiante, se pode passar o denominador do lado direito, que divide o valor 10, para o lado esquerdo, multiplicando. Ficaria assim: Mas isto é impossível, porque qualquer número multiplicado por ZERO dá como resultado ZERO. Então, nossa suposição inicial estava errada. Não existe um número que seja o resultado de uma divisão por ZERO. Nós vimos frações com o numerador igual à 1. Mas o que significaria uma fração com numerador diferente de 1? Significaria que temos mais que uma parte daquelas em que originalmente foi dividida a coisa. 9 Conceitos Iniciais

10 Exemplo: significa que temos dois pedaços de uma unidade (a coisa ) que foi originalmente dividida em quatro pedaços iguais. Frações Equivalentes Dá-se o nome de frações equivalentes às frações que representam a mesma parte de um todo, como o próprio nome já indica. As frações equivalentes são produzidas multiplicando-se tanto o numerador, quanto o denominador, por um mesmo número inteiro. Por exemplo: Para se entender a equivalência de frações, recorre-se novamente à nossa pizza. Dividir-se uma pizza em duas partes iguais e se comer uma é equivalente a se dividir a mesma pizza em quatro partes iguais e se comer duas destas partes. Ou se dividir a pizza em oito partes iguais e se comer quatro destas partes. As frações equivalentes também podem ser produzidas dividindo-se tanto o numerador, quanto o denominador, por um mesmo número inteiro. Seria o caso de se considerar a expressão anterior de trás para frente: Neste último caso se diz que estamos simplificando as frações. 10 Conceitos Iniciais

11 MMC - Mínimo Múltiplo Comum O próprio nome que designa o termo explica seu significado. Trata-se do menor múltiplo de dois ou mais números que se pode encontrar. Vamos a um exemplo. Qual o MMC de 6 e 8? Ou seja, qual é o menor múltiplo de 6 e 8 simultaneamente? Neste caso, será 24! Vejam que 24:4=6, assim como 242:3=8. Portanto, o MMC é 24. Vejamos outros exemplos. Tabela 1 Exemplos de MMC Operações com Frações Adição e Subtração de Frações Para tratarmos a adição e a subtração de frações, dividimos as considerações em dois casos: Quando os denominadores de todas as frações envolvidas forem iguais. Neste caso, basta se executar as operações com os numeradores e o resultado final se escrever sobre o denominador comum: 11 Conceitos Iniciais

12 Mas, quando os denominadores são diferentes, se precisa usar de um artifício que faça com que possamos igualar os denominadores e tratar o resultado desta transformação pelo mesmo método do primeiro caso. O que fazemos então é substituir cada uma das frações originais por frações equivalentes (que representam a mesma quantidade), com um denominador igual a um mesmo múltiplo comum a todos os denominadores originais: em geral se usa o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores originais. Vamos a um exemplo: Neste caso, o MMC entre 6 e 4 foi mostrado nos exemplos dados anteriormente. É igual a 12. Então vamos substituir cada fração por uma fração equivalente com denominador igual a 12: Com esta substituição se transforma o problema original em outro, que pode ser tratado pelo primeiro método, já que temos denominadores iguais agora: Não importa quantas frações estejam envolvidas e se temos adições ou subtrações. O método é sempre o mesmo. 12 Conceitos Iniciais

13 O mínimo múltiplo comum entre dois números é representado pelo menor valor comum pertencente aos múltiplos dos números. Observe o MMC entre os números 20 e 30: Múltiplos de 20: 0, 20, 40, 60, 80, 100, Múltiplos de 30: 0, 30, 60, 90, 120, 150, O MMC entre 20 e 30 é equivalente a 60, por ser o menor valor numérico que ocorre ao mesmo tempo na lista de múltiplos dos dois números. Outra forma de determinar o MMC entre 20 e 30, ou de qualquer outro conjunto de valores, é através da fatoração, em que devemos escolher os fatores comuns de maior expoente e os fatores não comuns. Observe: Pela definição, se escolheria os fatores 2 e 5 (que são comuns aos dois números), com o maior expoente observado; e o fator 3 (que não é comum aos números). E já que falamos em MMC, vamos conceituar também o máximo divisor comum. O máximo divisor comum (MDC) entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos números. Observe o MDC entre os números 20 e 30: Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, Conceitos Iniciais

14 O maior divisor comum dos números 20 e 30 é 10. Podemos também determinar o MDC entre dois números através da fatoração, em que escolheremos os fatores comuns de menor expoente. Observe o MDC de 20 e 30 utilizando esse método. Pela definição, se escolheria os fatores 2 e 5 (que são comuns aos dois números), com o menor expoente observado. Multiplicação de Frações Multiplicar exige um processo bem mais simples: basta que se multiplique numerador com numerador e denominador com denominador, gerando uma nova fração com os resultados destas multiplicações. Quando julgado oportuno, se pode simplificar o resultado. Vamos ao exemplo: Divisão de Frações Na divisão de frações, podemos tratar a operação como se fosse à multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda. Novamente, podemos simplificar o resultado final. 14 Conceitos Iniciais

15 Comparação de Frações O processo de comparação de frações, para determinar qual a maior também se divide em dois casos, a serem considerados de forma semelhante ao que se fez no caso de adição ou subtração de frações. Se os denominadores das frações comparadas forem iguais, basta que se compare os numeradores: Como os numeradores, neste caso, funcionam como a contagem das partes que temos, fica fácil perceber que 2 partes são menos (menores) que 3 partes, já que estas partes são iguais entre si. No caso de denominadores diferentes, se substitui igualmente as frações originais por frações equivalentes de mesmo denominador e se procede à comparação da mesma forma que no primeiro caso. Porcentagem A porcentagem é de uso frequente em uma grande quantidade de situações, mais comumente envolvendo operações financeiras, sendo usada para calcular juros, expressar índices (por exemplo, de inflação), descontos ou aumentos de preço, multas etc. Na Estatística é utilizada para apresentar dados comparativos de maneira geral. A melhor forma de se entender a porcentagem é dizer que ela representa uma fração com denominador 100, isto é, a porcentagem é uma razão (fração) centesimal. 15 Conceitos Iniciais

16 Os números percentuais possuem representações na forma de fração centesimal e, quando escritos, para se simplificar a apresentação do denominador sempre igual a 110, utilizam-se do símbolo de porcentagem (%). Também podem ser escritos na forma de número decimal. Observe os números a seguir: A passagem do primeiro para o segundo número se deu gerando-se uma fração equivalente a sete vinte e cinco avos com denominador igual a 100 (neste caso, bastaria se multiplicar o numerador e o denominador por 4). Mas, como o denominador é 100, se pode substituir este denominador pelo símbolo de porcentagem. Finalmente, a última representação (dita decimal) é produzida se fazendo a divisão do numerador pelo denominador, em qualquer um dos casos: 7 dividido por 25 ou 28 dividido por 100. Com a porcentagem se introduz um novo significado para as frações: o de proporção. Uma fração (e a porcentagem não deixa de ser uma fração também) pode ser lida como a relação entre duas medidas. Por exemplo, quando um jogador costuma acertar 4 cobranças de pênaltis em 10 tentativas, isto pode ser expresso da seguinte forma: Estabelecido o conceito de porcentagem, podemos proceder às considerações de como se podem resolver problemas envolvendo porcentagens. Mas isto é um caso particular daquilo que é tratado no próximo item. Recgra de Três A regra de três deriva da consideração de um conceito de que já tratamos: as frações equivalentes. 16 Conceitos Iniciais

17 Existe uma propriedade básica que envolve as frações equivalentes: a multiplicação cruzada de numeradores com denominadores produzirá sempre um mesmo resultado. Vamos ao exemplo: Esta propriedade se verifica sempre, quando temos frações equivalentes. Agora, dá-se o nome de regra de três a um processo de resolução de problemas de quatro valores, dos quais três são conhecidos, onde se pede que seja determinado quarto valor. A resolução desse tipo de problema é muito simples, porque basta que se monte uma estrutura semelhante à comparação de frações equivalentes. E para se entender isto, vamos supor que não se soubesse o valor 12, na comparação anterior, mas que se soubesse que se tratava de uma comparação de frações equivalentes. Neste caso, teríamos: Note-se que, neste caso, podemos dizer que as frações comparadas são equivalentes, ou que existe a mesma proporcionalidade entre os termos à esquerda e à direita da comparação original. Isto para estabelecermos uma ligação com aquilo que foi comentado no final do item anterior, sobre o outro significado que pode ser atribuído às frações. Mas para resolvermos problemas de regra de três, resta antes se estabelecer como a proporção deve ser montada: se direta ou inversamente. 3 Caso haja dúvida com relação ao tratamento dos números para se determinar o valor de x, basta que se consulte a unidade que trata da resolução de equações de 1ª grau. Exemplo 1 Um atleta percorre um 20 km em 2 horas, mantendo o mesmo ritmo, em quanto tempo ele percorrerá 30 km? 17 Conceitos Iniciais

18 Neste caso, devemos perceber (e isto se faz caso a caso) que quanto maior à distância, maior será o tempo necessário para percorrê-la. Assim se tem uma proporcionalidade direta entre a distância e o tempo: quando uma cresce, o outro também cresce. O problema seria montado da seguinte forma: Exemplo 2 Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quanto tempo, dois trabalhadores constroem uma casa? Neste caso, devemos perceber um comportamento diferente entre as medidas (grandezas) envolvidas. Quanto maior a quantidade de trabalhadores, menos tempo se levaria para fazer o serviço. O contrário também seria verdade: quanto menor a quantidade de trabalhadores, mais tempo se levaria para fazer o serviço. Assim se tem uma proporcionalidade inversa entre a quantidade de trabalhadores e o tempo para a execução da obra: quando uma cresce, o outro decresce. O problema seria montado se invertendo as relações, com se segue: A resolução de problemas de regra de três envolve, então, a consideração se temos uma relação direta ou inversa entre as grandezas. Nos casos em que temos apenas duas grandezas envolvidas, classificamos estes problemas como sendo de Regra de Três Simples. 18 Conceitos Iniciais

19 Recgra de Três Composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Para se resolver este problema se sugere um procedimento padrão simples: Monte uma tabela com número de colunas igual à quantidade de grandezas envolvidas; e três linhas a preencher. Na primeira coluna escreva os valores correspondentes à grandeza que se quer determinar. Nas demais colunas, se lançam os valores das outras grandezas, não importando a ordem. Nas duas primeiras linhas se devem transcrever os dados do problema para cada situação apresentada: aquela que serve de base e a nova situação, onde se deseja calcular uma grandeza ainda não determinada. Na terceira linha, a partir da segunda coluna, se anota o tipo de relação entre a grandeza considerada e a grandeza anotada na primeira coluna, isto é, aquela que desejamos determinar. Por fim, se transcreve os números da tabela para um modelo de comparação de frações, onde do lado da esquerda se tem a transcrição direta dos números anotados na primeira coluna e, do lado da direita, a transcrição de uma série de frações correspondentes a casa uma das demais colunas, invertendo-se os valores da tabela, sempre que a relação definida na terceira linha for inversa. Para se entender o processo, vamos a um exemplo. 19 Conceitos Iniciais

20 Exemplo 3 Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m 3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m 3? Montamos a tabela de seguinte maneira: Tabela 2 Exemplo de regra de Três Composta Note que o preenchimento da terceira linha nada tem a ver com a variação dos valores na coluna em questão. A comparação é genérica com a grandeza da primeira coluna: Quando se tem mais horas para trabalhas, se precisa de menos caminhões: inversa. Quando se tem mais areia a transportas, se precisa de mais caminhões: direta. Por fim, se monta a comparação final: Serão necessários 25 caminhões. 20 Conceitos Iniciais

21 Porcentagem, de novo Os problemas de porcentagem são problemas de regra de três. Mas lembre-se que quando se dá uma porcentagem, dois valores já estão determinados na comparação das frações equivalentes envolvidas, porque a porcentagem é uma fração, onde o denominador é sempre zero. Existem três tipos de problemas básicos envolvendo porcentagens: Pode-se desejar saber a que número corresponde uma porcentagem de um valor básico. Pode-se desejar saber a que valor básico corresponde um número, dada a porcentagem. Pode-se desejar saber a que porcentagem corresponde a relação entre um número e um valor de base. O valor de base corresponde ao termo geral de comparação, que será equivalente ao denominador 100, na porcentagem. Vamos aos exemplos. Exemplo 4 Uma mercadoria é vendida em, no máximo, três prestações mensais e iguais, totalizando o valor de R$ 900,00. Caso seja adquirida à vista, a loja oferece um desconto de 12% sobre o valor a prazo. Qual o preço da mercadoria na compra à vista? Neste caso, temos a seguinte relação: 21 Conceitos Iniciais

22 Note que o valor básico é o preço original da mercadoria, com o que comparamos o desconto praticado. O valor calculado é o desconto. Logo o valor a ser pago é: Exemplo 5 O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um direito do trabalhador com carteira assinada, no qual o empregador é obrigado por lei a depositar em uma conta na Caixa Econômica Federal o valor de 8% do salário bruto do funcionário. Esse dinheiro deverá ser sacado pelo funcionário na ocorrência de demissão sem justa causa. Determine se o depósito efetuado pelo empregador em um determinado mês foi de R$ 96,00, calcule o salário bruto correspondente. Neste caso, temos a seguinte relação: Note que R$ 96,00 correspondem aos 8% depositados e que o valor base (com que o depósito mantém uma relação de 8%) é o que desejamos saber. Exemplo 6 Em uma sala de aula com 52 alunos, 13 utilizam bicicletas como transporte. Expresse em porcentagem a quantidade de alunos que utilizam bicicleta. Neste caso, temos a seguinte relação: Este problema pede a proporcionalidade entre os usuários de bicicleta e a quantidade total de alunos. Pede, então, a porcentagem correspondente a esta relação. 22 Conceitos Iniciais

23 Equações e Inequações A aritmética foi, durante muito tempo, a forma usual que se tinha para resolver problemas numéricos. A aritmética é a parte da matemática que estuda as operações básicas com os números: adição, subtração, multiplicação e divisão. Em certos casos, se podem incluir outras operações, como a exponenciação, vista neste caso como a multiplicação, repetidas vezes, por um mesmo fator. Entretanto, em certas situações esse processo não conseguia resolver determinados problemas. Isto exigiu que se começasse a trabalhar com elementos algébricos, constituindo, assim, as equações que são expressões, escritas em linguagem matemática (álgebra), que representam uma determinada situação problema. Mas não basta conseguir esquematizar um problema com expressões algébricas: é preciso saber tratar (resolver) essas expressões. Para tanto, realizaram-se estudos acerca dos métodos de obtenção da solução das equações e isto é feito através de manipulações aritméticas envolvendo letras (incógnitas). As letras utilizadas nas expressões algébricas possuem a propriedade de representar qualquer número cujo valor ainda não se determinou, ou que pode ser usado na expressão, para calcularmos outro valor, a ele correspondente. Neste último caso, temos aquilo que chamamos coeficiente. Portanto, ao encontrarmos expressões que nos auxiliam a determinar a solução de um número para equações que possuem apenas letras, quer dizer que determinamos um método de obter a solução para qualquer tipo daquela equação. Por exemplo, considere o cálculo de 30% de um número N: 23 Conceitos Iniciais

24 A equação resultante determina como, a partir do valor de um número N se pode calcular 30% deste valor. Veja que x é a incógnita, ou seja, o valor que queremos determinar e, neste caso, N é um coeficiente dessa equação, que representa qualquer número que seja fornecido. Resolver uma equação consiste em realizar uma sequência de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar as raízes da equação, isto é, o(s) valor(es) que deve(m) ser atribuído(s) às letras envolvidas, para que a equação seja coerente, matematicamente falando. Por exemplo: A manipulação desta equação nos deve levar a conclusão de que o valor de x que a torna coerente matematicamente falando, é 3. Para gerarmos equações equivalentes, podemos proceder de duas maneiras básicas: Adicionando ou subtraindo de ambos os lados (membros) duma equação a mesma quantidade. Multiplicando ou dividindo ambos os lados (membros) de uma equação por uma quantidade diferente de zero. Resolver uma equação é, finalmente, proceder a uma série de operações que gerem sucessivas equações equivalentes, para, ao final, se ter a letra que representa a incógnita cujo valor se quer determinar, isolada em um dos lados da equação e, do outro, um valor numérico que dá solução ao nosso problema. Resolver equações envolve treino e atenção, mas o processo é simples. Vamos a um exemplo: 24 Conceitos Iniciais

25 Para começarmos a manipulação, podemos multiplicar ambos os lados por 6, o que fará com que os denominadores sumam. Na prática, se multiplica pelo MMC dos denominadores existentes. A seguir, se retira o equivalente a um dos termos onde x aparece, dos dois lados da equação. Isto fará com que apenas um lado passe a ter termos com a incógnita x. O próximo passo é se deixar apenas o termo com o x do lado da esquerda, se somando 1 aos dois lados. Por fim, dividem-se os dois lados por 4, o que faz com que a incógnita fique sozinha do lado da direita. Inequações Inequações são sentenças matemáticas abertas, isto é, sem um valor definido, expressas Por agora, por uma desigualdade entre duas expressões algébricas. Na prática, uma inequação é equivalente a uma equação onde se substitui o sinal da igualdade por sinais de desigualdade, a saber: Maior: > 25 Conceitos Iniciais

26 Menor: < Maior ou igual: >= Menor ou igual: <= Diferente: O processo de resolução de equações é equivalente ao processo de resolução das equações, com uma única diferença: quando multiplicamos ou dividimos ambos os lados da inequação por um valor negativo a relação se inverte: Maior vira menor. Menor vira maior. Maior ou igual vira menor ou igual. Menor ou igual vira maior ou igual. A relação diferente é a única que não se altera. Isto se deve ao fato de que a relação entre números com sinais invertidos também se inverte: 2 < 5 mas -2 > -5 Vamos a um exemplo: 26 Conceitos Iniciais

27 A solução da inequação foi encontrada utilizando-se a mesma técnica usada para as equações, como afirmamos originalmente. Vejamos outro exemplo: Neste caso, ao final dividimos ambos os lados por um número negativo (-2) e, por esta razão, a relação se inverteu. Dízimas Periódicas Há frações que não possuem representações decimais exatas. Por exemplo: Quando há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, ao final de um número, dá-se o nome a este tipo de número de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. As dízimas periódicas são indicadas pela colocação de três pontos à direita do número, como no exemplo acima. Numa dízima periódica, o algarismo (ou algarismos) que se repete infinitamente, constitui o que se chama de período dessa dízima. E é possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. Existem diversos procedimentos para que se determine a geratriz da dízima periódica. Eis uma 27 Conceitos Iniciais

28 sequência que permite isto. Acha-se o múltiplo de 10 que alinha a dízima periódica com o número original. Na prática será um múltiplo que tenha tantos zeros quantos são os algarismos que constituem o período da dízima. O numerador será igual ao número original multiplicado por aquela potencia, subtraído pelo seu valor original. O denominador será igual à potência encontrada subtraída de 1. Finalmente, se no numerador se tiver um número com casas decimais, multiplicam-se o numerador e o denominador por 10 até que as casas decimais desapareçam do numerador. Vamos a um exemplo. Considere a dízima 23, O período da dízima é 34: esta é a sequência de algarismos que se repetem indefinidamente. Então o múltiplo de 10 que usaremos é 100: 2 zeros correspondendo aos dois algarismos de 34. A geratriz ficaria assim: Mas, como no numerador restam casas decimais, se deve multiplicar numerador e denominador por 10 até as casas decimais desaparecerem. 28 Conceitos Iniciais

29 Esta é a geratriz da dízima. Para se conferir o resultado, basta se calcular o resultado da divisão de por Exercícios de Fixação 1. Efetue as seguintes operações com frações: 2. Resolva os seguintes problemas de regra de três: a. 10 funcionários escavam um túnel de 100 metros de extensão em 30 horas. Quantos funcionários serão necessários para escavar um túnel de 200 metros em 20 horas? b. Em uma liquidação, 3 vendedores vendem 50 pares de sapato em 6 horas de trabalho. Assumindo que houvesse clientes esperando, quantos pares seriam vendidos se fossem 6 vendedores trabalhando por 12 horas? 29 Conceitos Iniciais

30 c. Em um salão de beleza, 2 funcionários atendem 10 clientes em 3 horas. Quantos funcionários conseguiriam atender 80 clientes, em 12 horas? d. Em 5 dias, 10 motoboys entregam 3000 livros. Se houvesse a necessidade de entrega de 9000 livros, em 10 dias, quantos motoboys deveriam ser contratados? e. Estima-se que, em uma agência dos Correios, um grupo de 6 funcionários igualmente eficientes atenda 100 clientes em 45 minutos. Nessa situação, se outros 4 funcionários, com a mesma eficiência dos primeiros, forem adicionados ao grupo, então essas 100 pessoas serão atendidas em quanto tempo? 3. Resolva os seguintes problemas de porcentagem: a. 23% de 250. b. 0,12% de 60. c. Qual a porcentagem correspondente a R$ 30 em R$ 220? d. Se um desconto de 15% sobre uma compra resultou na economia de R$ 200, qual o valor original da compra? 4. Numa loja, um determinado produto é vendido com descontos de 15% ou de 20% sobre o preço de tabela, dependendo da condição de pagamento. Sabe-se que a diferença entre o preço obtido após o desconto de 15% e o preço obtido após o desconto de 20% é de R$ 120,00. Nesse caso, qual é o preço de tabela? 4. Resolva as equações e inequações: a. 18x 43 = 65 b. 23x 16 = 14 17x c. 7x 2 = -4x + 5 d. 2x + 1 <= x + 6 e. 2 3x >= x Conceitos Iniciais

31 Respostas dos Exercícios de Fixação 1. Frações: 2. Regra de três: a. 30 funcionários. b. 200 pares. c. 4 funcionários. d. 5 motoboys deveriam ser contratados, porque a necessidade total seria de 15 motoboys. e. 27 minutos. 31 Conceitos Iniciais

32 3. Porcentagem: a. 57,5. b. 0,072. Note que a porcentagem pode ser um número não inteiro. Procede-se da mesma forma, neste caso, usando-se o número fornecido dividido por 100. c. 13,64%. d. R$ 1.333,33 e. R$ 2.400,00. Note que R$ 120,00 correspondem a 5% do preço, já que é a diferença entre 20% e 15%. 4. Equações e inequações: a. 6 b. ¾ ou 0,75 c. 7/11 d. x <= 5 e. x <= Conceitos Iniciais

33 Bibiografia IEZZI, G. Fundamentos da Matemática Elementar, São Paulo, IEZZI, G. et al. Matemática, São Paulo, SILVA, S. M. D. Matemática Básica Para Cursos Superiores, São Paulo, ZOLD, H. H. N.; CORRÊA, S. Novíssimo Curso Vestibular, São Paulo, I e II, Conceitos Iniciais

34 Este documento é de uso exclusivo da Universidade Anhembi Morumbi, está protegido pelas leis de Direito Autoral e não deve ser copiado, divulgado ou utilizado para outros fins que não os pretendidos pelo autor ou por ele expressamente autorizados. 34 Conceitos Iniciais