Lei de Snell generalizada

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1 Revist Brsileir e Ensino e Físic, v. 9, n., p. 5-4, 007) Lei e Snell generliz Generlize Snell s lw) Lúcio Fssrell Função Universie Feerl o Rio Grne, Rio Grne, RS, Brzil Recebio em 7//006; Aceito em 5//007 Neste rtigo euzimos equção crcterístic trjetóri segui por um rio e luz monocromático que se propg num meio com ínice e refrção vriável. Embor ess eução sej inspir ns técnics o cálculo vricionl, el é present e moo elementr e uto-suficiente, utilizno somente conceitos básicos o cálculo iferencil e integrl. Além eução, tmbém nlismos lguns spectos geris equção e iscutimos lguns csos prticulres. Finlmente, mostrmos que equção implic n Lei e Snell pr refrção luz como um cso limite. Plvrs-chve: lei e Snell, princípio e Fermt. In this rticle we euce the chrcteristic eqution for trjectories performe by monocromtic light rys which propgte through meium with vrible refrctive inex. Although our euction ws inspire in techniques from vritionl clculus, it is presente in n elementr n self-contine wy n it uses only bsic concepts of ifferentil n integrl clculus. Besies euction, we nlyse certin generl spects of the eqution n iscuss some specil cses lso. In prticulr, we show tht this eqution les to the Snell s Lw for refrction of light s limiting cse. Keywors: Snell s lw, Fermt s principle.. Introução Os rios e luz que trvessm superfície e seprção entre meios trnsprentes com ínices e refrção iferentes são prcilmente refletios e prcilmente trnsmitios trvés superfície seguno lei reflexão e lei e Snell, às quis poemos r os seguintes enuncios: Lei reflexão: pr um rio e luz que se reflete num superfície suve, o ângulo e inciênci é igul o ângulo e reflexão, meios em relção à norml. Lei e Snell: pr um rio e luz monocromático que trvesse superfície e seprção e ois meios trnsprentes com ínices e refrção η e η, o ângulo o rio inciente θ e o ângulo o rio trnsmitio θ ângulo e refrção), meios com respeito à norml, stisfzem relção E-mil: mtlucio@furg.br. η sin θ ) = η sin θ ). A lei e Snell crcteriz o comportmento os rios luminosos quno eles trvessm superfície que sepr ois meios trnsprentes em termos quntie chm ínice e refrção; pr um luz monocromátic, o ínice e refrção η e um meio é efinio pelo quociente entre velocie c luz no vácuo e velocie v ess luz no meio η = c v. Experimentlmente, verificmos que o ínice e refrção epene tnto substânci que compõe o meio e propgção qunto cor luz i.e., su freqüênci); nturlmente, s crcterístics físics s substâncis e luz eterminm o moo como els intergem; ess epenênci poe ser nlis, ms não é necessári pr escrição s trjetóris os rios e luz, ese que possmos meir os ínices e refrção experimentlmente. A seguir, euziremos um equção iferencil que crcteriz s trjetóris os rios e luz monocromáticos que trvessm meios cujos ínices e refrção sejm vriáveis; ess equção tem lei e Snell A superfície e seprção os meios eve possuir cert regulrie pr que em c ponto el possu um ireção norml bem efini; mtemticmente, ess regulrie é efini pelo conceito e iferencibilie. Ess é um s circunstâncis restritivs pr plicção lei e Snell, ms generlizção iscuti qui não trt esse specto. Copyright by the Sociee Brsileir e Físic. Printe in Brzil.

2 6 Fssrell como um cso limite e por isso poe ser consier su generlizção. Pr ess eução prtimos o princípio e Fermt, que poe ser enuncio ssim: 3 Princípio e Fermt: o cminho percorrio pel luz entre ois pontos é quele que minimiz o tempo e percurso entre toos os possíveis cminhos que ligm esse pontos. N eução lei e Snell generliz 4 present qui, pressupomos somente os conceitos básicos o cálculo iferencil e integrl, embor técnic básic sej típic o cálculo vricionl e envolv lgums sutilezs nlítics inics no texto. 5 Ess eução elementr poe servir como um introução o cálculo vricionl ou como um ilustrção concret e como sus técnics poem ser funments mtemticmente. Tmbém pr fins iáticos, euzimos e moo iferente mesm equção que generliz lei e Snell sem qulquer referênci às técnics o cálculo vricionl. Achmos instrutivo que s us euções sejm comprs. Nturlmente, poe-se ter impressão e que eução lei e Snell prtir o princípio e Fermt ou e qulquer outro princípio) constitu-se num mero preciosismo mtemático n mei em que prece pens substituir um regr por outr. Noutrs plvrs, poe ser interessnte ms tlvez inútil. Entretnto, isso não é ssim num sentio importnte: enqunto lei e Snell é um firmção específic sobre o comportmento luz sob circunstâncis prticulres, o princípio e Fermt é um firmção mis genéric que poe ser us pr esturmos o comportmento luz em circunstâncis menos restritivs - por exemplo, ele poemos euzir tnto lei e Snell qunto lei Reflexão; ms lém isso, e tlvez mis importnte tmbém, o princípio e Fermt poe ser entenio como o cso especil e um princípio físico gerl o qul poemos escrever o comportmento luz bem como outros fenômenos físicos; esse enqurmento e um situção prticulr em concepções mis mpls é um os spectos essenciis o que poemos entener como seno o esenvolvimento o conhecimento científico. Em síntese, poemos izer que eução lei e Snell pelo princípio e Fermt signific um vnço o conhecimento científico porque enqur o fenômeno específico refrção como cso prticulr e um lei mis gerl.. Lei e Snell generliz.. Deução lei e Snell generliz Nest seção vmos euzir prtir o princípio e Fermt lei que etermin s trjetóris percorris por rios e luz monocromáticos em meios com ínices e refrção espcilmente vriáveis; ess lei ssume form e um equção iferencil pr s prmetrizções esss trjetóris. A principl ificule que temos nest eução consiste em exprimir mtemticmente o princípio e Fermt e um moo que possmos computr e comprr o tempo e percurso que gstrim iferentes rios e luz ligno pres e pontos o meio; resolveremos esse problem usno o conceito e vrição e curvs e mitino que o ínice e refrção sej um função suve o que nos permite restringir nosss consierções curvs suves o invés e termos que consierr clsse e tos s curvs contínus Vrição e curvs e um reformulção mtemátic o princípio e Fermt Essencilmente, um vrição e um curv é um outr curv que possui os mesmos pontos inicil e finl. Mis precismente, consiere um curv prmetriz 7 com pontos inicil e finl fixos γ : [, b] R 3, u γ u) = x u), y u), z u)), ) γ ) = p 0, γ b) = p. Pr um um número rel ε R e um curv ω : [, b] R 3 efini no mesmo intervlo que γ e que se nul nos extremos, ω ) = 0 e ω b) = 0, vrição e γ efini pelo pr ω, ε) é curv por γ ω,ε) : [, b] R 3, u γ ω,ε) u) = γ u) + εω u). ) Imeitmente ess efinição, vemos que os pontos inicil e finl vrição coinciem com os pontos inicil e finl curv originl γ ω,ε) ) = p 0, γ ω,ε) b) = p. O primeiro ponto slientr é que to curv σ : [c, ] R 3 ligno os pontos p 0 e p possui um reprmetrizção 8 que é iêntic um vrição e γ; e 3 N vere, o enuncio mis gerl pr o princípio e Fermt substitui conição e tempo mínimo pel conição e tempo extremo - ou sej, minimo, máximo ou sel; pr s circunstâncis que vmos consierr, bst o enuncio mis restrito. 4 Pr eução lei e Snell orinári no âmbito teori eletromgnétic e Mxwell, vej Ref. []. 5 Noss eução é essencilmente equivlente à erivção s equções e Euler-Lgrnge prtir o princípio e Hmilton como present n Ref. [], p iferenç está n situção físic. 6 Suve quer izer infinitmente iferenciável. Dese que o ínice e refrção sej suve, restrição técnic e consierrmos somente curvs suves se justific porque i) qulquer curv contínu poe ser rbitrrimente proxim num certo sentio) por curvs suves e ii) é possível provr que isso nos grnte que curv continu que escreve trjetóri os rios e luz eve ser suve. 7 Observmos que o prâmetro u curv γ não enot o tempo, necessrimente. 8 Vej n seção.. efinição e reprmetrizção.

3 Lei e Snell generliz 7 fto, σ possui um reprmetrizção que está efini no mesmo intervlo que γ σ u) := σ c + c ) u ), u [, b]. b Pr ε 0, se efinimos curv ω σ por temos que ω σ u) := λ u) σ u), ε σ = γ ω σ,ε). Consierno os ftos cim, o princípio e Fermt poe ser expresso seguinte mneir: curv γ escreve trjetóri segui por um rio e luz que lig ois pontos p 0 e p se e somente se o tempo gsto pelo rio e luz pr percorrer ess trjetóri é menor ou igul o tempo que seri gsto pelo rio e luz pr percorrer trjetóri e qulquer vrição γ ω,ε), qulquer que sej o pr ω, ε). D um curv σ : [, b] R 3 ligno os pontos p 0 e p, enotmos por T σ) o tempo que um rio e luz lev pr percorrer o cminho escrito por σ; esse tempo e percurso efine um função sobre s vrições e γ: pr c curv ω : [, b] R 3 que se nul nos extremos, efinimos f γ,ω) : R R, f γ,ω) ε) = T γ ω,ε) ). Com ess terminologi, poemos expressr o princípio e Fermt o seguinte moo: curv γ escreve trjetóri segui por um rio e luz que lig ois pontos p 0 e p se e somente função f γ,ω) tem um ponto e mínimo em ε = 0, pr to curv ω que tem o mesmo intervlo e efinição que γ e que se nul nos extremos esse intervlo. Como too ponto e mínimo e um função iferenciável é crítico excluino os pontos extremos o seu intervlo e efinição), se mitimos que f γ,ω) sej iferenciável temos seguinte reformulção mtemátic o princípio e Fermt: curv γ escreve trjetóri segui por um rio e luz que lig ois pontos p 0 e p somente se 9 ε f γ,ω) = 0, 3) ε=0 pr to curv ω que tem o mesmo intervlo e efinição que γ e que se nul nos extremos esse intervlo. Noss eução gor segue us etps: primeiro efinimos um fórmul explícit pr função f γ,ω) e pr su eriv, epois usmos reformulção 3) o rincípo e Fermt pr euzirmos equção iferencil crcterístic os rios e luz.... Fórmuls pr f γ,ω) e su eriv Pr um curv suve σ : [, b] R 3 ligno os pontos p 0 e p, euzimos qui um expressão pr T σ) consierno efinição o ínice e refrção. Nest seção enotmos o tempo por t. Primeirmente, lembrmos que função comprimento e rco é por 0 S u) = u ou, equivlentemente, σ s) s, u [, b], S = σ u) u. 4) Nturlmente, velocie rpiez) e um grnez físic que percorre o cminho escrito pel curv é por v = S t, one t = S. 5) v Por outro lo, velocie luz no ponto σ u) stisfz c v σ u)) = η σ u)). 6) Combinno s fórmuls 4), 5) e 6) obtemos t = c η σ u)) σ u) u. Portnto, o tempo totl e percurso o rio e luz que percorre o cminho escrito por σ é o por T σ) = = c b t b η σ u)) σ u) u. Agor, escreveno curv σ como um vrição e γ, σ = γ ω,ε), temos = c f γ,ω) ε) = T γ + εω) b η γ u) + εω u)) γ u) + εω u) u, ε R. 9 Lembrmos que conição 3) é necessári ms não é suficiente pr crcterizr um ponto e mínimo. 0 Do um pr e vetores V e W, enotmos seu prouto interno por V, W e norm e V por V = V, V ; pr miores etlhes, vie Ref. [3], seção II.4.

4 8 Fssrell Amitino que poemos erivr com respeito ε sob o sinl e integrção, temos ε f γ,ω) ε) = b c ε {η γ u) + εω u)) γ u) + εω u)} u. 7) Usno regr cei, eriv esse integrno poe ser clcul explicitmente ε {η γ u) + εω u)) γ + εω } = γ + εω ε {η γ + εω)} + η γ + εω) ε {γ + εω } = γ + εω η γ + εω), ω + η γ + εω) γ + εω, ω γ + εω Quno ε = 0, temos ε {η γ + εω) γ + εω } = η γ), ω γ + η γ) γ, ω ε=0 γ. 8) Pr o rgumento que vmos esenvolver, será útil eliminrmos ω ess expressão. Fzemos isso usno seguinte ientie que segue regr cei) Então γ, ω = γ, ω γ, ω. ε {η γ + εω) γ + εω } = ε=0 η γ), ω γ η γ) γ,ω γ + η γ) γ,ω γ. Tmbém será útil moificrmos últim prcel cim, pr obtermos um eriv totl. Usno seguinte ientie que tmbém segue regr cei) η γ) γ, ω γ = η γ) γ, ω γ ) η γ) γ encontrmos ε {η γ + εω) γ + εω } ε=0 = η γ), ω γ,ω η γ) γ = ηγ) γ ) γ, ω + γ η γ) ηγ) η γ) γ,ω γ γ + ) η γ) γ,ω γ ηγ) γ ) γ, ω ). ) γ, ω + Substituino ess expressão n integrl 7), obtemos ε f γ,ω) ε) ε=0 = b c γ η γ) ηγ) ηγ) γ ) γ, ω u+ b + c η γ) ω,γ γ. Como ω ) = ω b) = 0, temos c η γ) ω, γ γ b = 0. Finlmente, concluimos que ε f γ,ω) ε) = ε=0 b γ η γ) ηγ) c ηγ) γ ) γ, ω u. 9)..3. A plicção o princípio e Fermt A fórmul 9) nos permite extrir o princípio e Fermt 3) equção pr trjetóri γ escrit pelo rio e luz ligno os pontos p 0 e p : se γ escreve trjetóri segui pelo rio e luz, então s Eqs. 3) e 9) implicm que b γ η γ) η γ) ) η γ) γ γ, ω u = 0 0) pr to curv ω : [, b] R 3 que se nul nos extremos o intervlo e efinição curv γ; rbitrriee e ω implic n seguinte equção pr γ, à qul chmmos lei e Snell generliz: γ η γ) η γ) ) η γ) γ γ = 0. ) Ess últim implicção poe ser justific pelo rgumento que segue: poemos escolher um curv ω conveniente pr obtermos Eq. ) Eq. 0): sej θ : [, b] R um função suve tl que θ ) = θ b) = 0 e θ u) > 0 u, b). No contexto nálise mtemátic, iferencibilie e f γ,ω) e possibilie e erivr sob o sinl e integrl são ftos que poem ser rigorosmente provos ns circunstâncis em questão. Por exemplo: θ u) = u ) b u).

5 Lei e Snell generliz 9 Sej ω u) := { } θ u) γ η γ) ηγ) ηγ) γ ) Então, ω é um curv suve efini em [, b] que se nul nos extremos e stisfz γ η γ) η γ) u ) η γ) γ γ, ω 0 Fzeno ω = ω n Eq. 0), o fto integrl ser nul e o integrno ser não-negtivo, poemos concluir que o integrno o prouto interno) eve ser nulo; pel efinição e ω, isso implic iretmente n Eq. )... Análise mtemátic lei e Snell generliz Primeirmente nlisremos os spectos mtemáticos lei e Snell generliz: su invriânci sob reprmetrizções, o cso prticulr em que o ínice e refrção vri num únic ireção e o limite no qul obtemos lei e Snell originl; epois fremos um nálise qulittiv, comprno nosss expecttivs com s plotgens.... Invriânci sob reprmetrizções Inicilmente, lembrmos o conceito e reprmetrizção: 3 Definição D um curv prmetriz suve γ : I R 3, reprmetrizção efini pel função suve g : J I é curv γ g : J R 3 por γ g v) := γ g v)), v J. Dizemos que reprmetrizção é regulr quno eriv função g nunc se nul e g é um função bijetiv). Denotmos o prâmetro curv γ por u e o prâmetro curv γ g por v. Nesse cso, u = g v) e γ g v) = γ u). Usno regr cei, obtemos s seguintes expressões pr velocie e celerção curv reprmetriz γ g v = g γ v u, γ g v = g v γ u + ) g γ v u. Pr simplificr notção, enotmos eriv em relção v por um ponto e eriv em relção. u por um linh ; então, s ienties cim se reuzem γ g = ġγ ; γ g = gγ + ġ γ. Agor, poemos verificr que Eq. ) é invrinte sob reprmetrizções regulres, i.e.: reprmetrizção γ g stisfz Eq. ) se e somente se curv originl γ tmbém stisfz ). Pr provr isso, primeirmente clculmos v η γg ) γ g ) = ) η γ) v ġ γ = ) η γ) v ġ γ + ġ v = g ) η γ) η γ) ġ) γ + γ. Então γ g η γ g ) η γ) γ g γ g ) η γ) γ g = v γ g ġ γ η γ) η γ) gγ + ġ γ ) + = ġ { ġ γ g η γ) ġ) γ ġγ η γ) γ γ η γ) η γ) ) ġγ ) η γ) γ ) } η γ) γ γ. Sob conição e que reprmetrizço é regulr eriv ġ nunc se nul), ess ientie implic que γ g stisfz Eq. ) se e somente se γ tmbém stisfz. A invriânci Eq. ) sob reprmetrizções, li o fto e que sempre poemos reprmetrizr um curv pelo comprimento e rco, 4 implic que ess equção é equivlente o seguinte sistem e equções η γ) γ + η γ), γ γ = η γ) ) γ =. Poemos izer que invriânci Eq. ) sob reprmetrizções é um propriee necessári pr que ess equção poss crcterizr s trjetóris seguis pelos rios e luz; rzão ess necessie vem o fto o prâmetro u não ter significo físico intrínseco, poeno ser rbitrrimente escolhio, o que está relciono com o fto e γ u) não necessrimente representr velocie rpiez) luz no ponto γ u). Lembrmos que ess velocie é pelo vlor o ínice e refrção nesse ponto, η γ u)). 3 Pr miores etlhes sobre curvs e conceitos relcionos, sugerimos o cp. II Ref. [3]. 4 Lembrmos que um curv prmetriz pelo comprimento e rco possui propriee crcterístic e que o móulo su velocie é constnte e igul à unie; pr ver etlhes sobre reprmetrizção pelo comprimento e rco vej Ref. [3], p

6 0 Fssrell.3. Cso em que o ínice e refrção vri num únic ireção Vmos consierr gor um meio no qul o ínice e refrção vri pens num ireção. Nesse cso, trjetóri e um rio e luz eve ser pln e então escolhemos o sistem e coorens crtesins com o eixo-x prlelo o griente o ínice e refrção e o eixo-z perpeniculr o plno etermino trjetóri o rio e luz - conforme Fig., one inicmos ireção o griente o ínice e refrção e orientção os eixos crtesinos. Figur - Eixos crtesinos e ireção o griente o ínice e refrção. Com isso, o ínice e refrção o meio exprime-se como um função cooren x: η = η x). A curv γ que escreve trjetóri segui pelo rio e luz no meio poe ser ientific com o gráfico e um função y = y x). Então, omitino cooren z, poemos escrever e γ x) = x, y x)) γ =, y ), γ = 0, y ), η = η x) η = η, 0). Pr substituirmos n Eq. ), clculmos ) η γ) γ = η, γ γ η γ) γ, γ γ 3/ Então, Eq. ) implic que = η γ) γ η γ) y y γ 3/. 0 = γ η γ) η γ) ) η γ) γ γ = γ η, 0) 0, η γ) ) γ y ) η γ) γ η γ) y y, y ). γ 3/ Ess equção vetoril é equivlente o sistem e equções iferenciis orináris ) γ η η γ) γ η γ) y y = 0 3) γ 3/ ) η γ) η γ) γ y + γ η γ) y y y = 0 4) γ 3/ Substituino A) em B), obtemos η γ) y + γ η y = 0. Diviino ess equção por η γ) e usno que γ = + y ), obtemos equção y + η x) y + y ) 3) = 0. 5) η x) A Eq. 5) poe ser resolvi explicitmente como poe ser verifico por substituição iret) 5 : x y x) = u, 6) η u) one é um constnte e integrção que eve ser fix por um conição inicil sobre eriv y num ponto rbitrário. Nturlmente, solução cim só fz sentio nos pontos one η x) > 0; quno o prâmetro está fixo, conição η x) = 0 etermin o ponto trjetóri one o rio e luz eix e se propgr por refrção; como n situção consier o ínice e refrção não vri n ireção o eixo-y, nesse ponto trjetóri o rio e luz pss se propgr n ireção o eixo-y observmos isso ns plotgens s Figs. 4, 5, e D lei e Snell generliz pr lei e Snell orinári Agor, consiere ois meios com ínices e refrção constntes η e η em contto por um superfície pln e seprção. Escolheno convenientemente um sistem e coorens crtesins, poemos ientificr ess superfície e seprção com plno x = 0 e nlisr propgção e um rio e luz contio no plno z = 0. Nesss conições, trjetóri o rio e luz é um curv n form γ x) = x, y x)) e poemos supor, sem per e generlie, que y 0) = 0. Nesse cso, ireção norml à superfície e seprção é igul o eixo-x e os ângulos e inciênci θ e refrção θ que trjetóri fz com ess ireção são crcterizos por tn θ ) = lim x 0 y x), tn θ ) = lim x 0+ y x), one n notção o limite os símbolos 0+ e 0 inicm o limite tomo à esquer e à ireit o zero, 5 A equção pr y é o tipo Bernoulli e poe ser resolvi recorreno-se um técnic prão; epois, integrno solução equção stisfeit pel eriv, obtemos solução explícit pr y.

7 Lei e Snell generliz respectivmente. Ness situção, o ínice e refrção tem form e um função escontínu o tipo Hevisie { η, x 0 η x) = η, x > 0. Esse ínice o tipo Hevisie poe ser proximo por ínices e refrção suves 6 efinios pr k > 0 { η, x 0 η k x) = η + η η ) e /kx, x > 0. Fisicmente, poemos esperr que trnsmissão luz pel superfície e seprção poss ser suficientemente bem escrit por soluções Eq. 5) pr um ínice e refrção η k x) com k > 0 suficientemente grne vej n Fig. plotgem os gráficos esses ínices e refrção pr k =, 5, 0, 00 com η = e η =. É imeito verificr que vlem os limites e e lim η k x) = η, x 0 lim η k x) = η, x 0+ lim η k x) = η se x < 0, k lim η k x) = η se x > 0. k one s conições iniciis implicm que constnte eve stisfzer tn θ ) = η = η sin θ ). A inclinção tngente y k x) num ponto x é por y k x) =. η k x) Portnto, temos os limites lim k y k x) = lim k y k x) = η, x < 0 e η, x > 0. O ângulo e refrção θ eve stisfzer conição limite tn θ ) = lim lim x 0+ k y k x) = η. Desenvolveno ess ientie obtemos η sin θ ) =. Comprno s us ienties cim envolveno constnte obtemos lei e Snell orinári η sin θ ) = n sin θ ). Figur - Gráficos e ínices e refrção. O eixo-x inic profunie e o eixo-y inic os vlores os ínices e refrção η e η k, pr k =, 5, 0 e 00. Assim, sej y k x) solução Eq. 5) pr o ínice e refrção η k x) com conições iniciis y k 0) = 0 e y k 0) = tn θ ), i.e. y k x) = x 0 u, η k u) 4. Análise qulittiv As figurs seguir 7 mostrm plotgens numérics e soluções Eq. 5) pr ínices e refrção prticulres e conições iniciis y 0) = 0 e y 0) = cso em que o rio e luz pss n origem o sistem e coorens com ângulo e inciênci nesse ponto igul π/4). Poemos observr que s plotgens conformmse às nosss expecttivs qunto às trjetóris os rios e luz. N Fig. 3 temos plotgem trjetóri segui por um rio e luz num meio one o ínice e refrção é o pel função η x) = + x. Como o ínice e refrção ument com profunie, espermos que trjetóri o rio e luz tenh um inclinção ecrescente. Com s evis ptções, observmos esse fenômeno com os rios e luz o sol quno ele está se pono, embor o ínice e refrção o r pr um comprimento e on qulquer não epen profunie seguno expressão cim nesse cso, profunie é pel penetrção n tmosfer Terr). Pr um nálise etlh o fenômeno o envermelhmento o céu no pôr o sol, vej Ref. []. 6 Observmos que não é imeito verificr que η k é um função suve, ms isso poe ser rigorosmente provo; vie seção VII.4 Ref. [3]. 7 Observe que s plotgens não estão em escl.

8 Fssrell Figur 3 - Trjetóri o rio e luz num meio com ínice e refrção η x) = + x. Ns Figs. 4 e 5 temos plotgens pr s trjetóris seguis por rios e luz em meios com ínices e refrção que são, respectivmente, Figur 5 - Trjetóri o rio e luz num meio com ínice e refrção η 3 x) = + e x/00. Ns Figs. 6 e 7 temos plotgens pr s trjetóris seguis por rios e luz em meios com ínices e refrção que são, respectivmente, e η x) = + e x/0, η 3 x) = + e x/00. Nesses csos, observmos que s trjetóris os rios e luz têm inclinções crescentes, fstno-se ireção o griente o ínice e refrção; isso é o que poemos esperr com bse n lei e Snell orinári, que prevê que os rios e luz se fstm norml quno pssm e um meio com ínice e refrção mior pr um meio com ínice e refrção menor; tmbém está e coro com ess lei iferenç ns curvturs, mior no cso corresponente η o que no cso corresponente η 3, pois lei e Snell implic que, pr um ângulo e inciênci fixo, um ínice e refrção mior implic num ângulo e refrção menor. Embor o rio e luz penetre mis profunmente no meio com ínice η 3 o que no meio com ínice η, em mbos os csos, s trjetóris terminm em pontos one s inclinções tornm-se verticis, inicno que os rios e luz pssm se propgr n ireção o eixo-y. e η 4 x) =.5 + sin x), η 5 x) =.5 + sin x). 3 Como os ínices e refrção oscilm em torno o vlor,5, espermos que s trjetóris os rios e luz tenhm inclinções que tmbém oscilem, umentno e iminuino lterntivmente e coro com o umento ou ecréscimo os ínices e refrção. No cso corresponente η 4, observmos que trjetóri termin em um ponto one inclinção torn-se verticl, inicno que o rio e luz pss se propgr n ireção o eixoy; isso não contece no cso e η 5, cuj mplitue e oscilção é menor o que mplitue e oscilção e η 4. Figur 4 - Trjetóri o rio e luz num meio com ínice e refrção η x) = + e x/0. Figur 6 - Trjetóri o rio e luz num meio com ínice e refrção η 4 x) =.5 + sin x).

9 Lei e Snell generliz 3 Pr obtermos equção iferencil stisfeit pel função y x),consiermos lei e Snell num fix verticl infinitesimlmente estreit, com lrgur infinitesiml x conforme ilustr Fig. 8. Figur 7 - Trjetóri o rio e luz num meio com ínice e refrção η 5 x) =.5 + sin x) Conclusão Deuzimos usno o princípio e Fermt um generlizção lei e Snell pr meios trnsprentes com ínice e refrção vriável n form e um equção iferencil pr s trjetóris e rios e luz monocromáticos, Eq. ). Anlismos consistênci mtemátic ess equção, obtemos lei e Snell originl como um cso limite e iscutimos comptibilie s previsões teórics com nosss expecttivs pel nálise s plotgens s trjetóris prevists teoricmente pr lguns csos prticulres. 6. Apênice Outr eução lei e Snell generliz Nest seção, euziremos equção iferencil que crcteriz trjetóri e um rio e luz monocromático usno um técnic iferente quel us nteriormente: qui, el é obti própri lei e Snell orinári. A ientie s equções obtis pels iferentes técnics corrobor correção os resultos. Embor sej possível trblhr no cso gerl, pelo bem simplicie vmos nos restringir às circunstâncis seção.3 que trt situção biimensionl; com notção ess seção, o ínice e refrção epene pens cooren x que serve e prâmetro curv γ que escreve trjetóri percorri pelo rio e luz; o ângulo θ x) entre ret tngente à trjetóri o rio e luz no ponto x 0, y x 0 )) e o eixo-x stisfz tn θ x)) = y x). Figur 8 - Lei e Snell infinitesiml. Nesse cso, temos seguinte proximção evio à lei e Snell orinári sin θ x)) η x) sin θ x + x)) η x + x). 7) Desenvolveno os ftores o lo ireito ess proximção té primeir orem em x obtemos sin θ x + x)) η x + x) ] [ [ sin θ x) + cos θ x) θ x x η x) + η x x = sin θ x) η x) + sin θ x) η x x+ cos θ x) η x) θ η x + cos θ x) x x ] θ x x). Substituino n ientie proxim 7) obtemos sin θ x) η θ x + cos θ x) η x) x x x+ cos θ x) η θ x x x) 0. Diviino to equção por cos θ x)) x obtemos tn θ x) θ η + η x) x x + η θ x 0. x x No limite x 0 terceir prcel ess som se nul e espermos que) proximção torne-se um igule ext Agor, usno que tn θ x) η θ + η x) = 0. 8) x x y x) = tn θ x)) e θ x) = rctn y x)), euzimos pel regr cei que 8 8 Lembrmos eriv função rco tngente: u rctn u) = + u. θ x = + y ) y.

10 4 Fssrell Finlmente, obtemos equção que generliz lei e Snell n situção consier y + η y + y ) 3) = 0. 9) η x) x Ess equção é iêntic à Eq. 5), obti como cso prticulr Eq. ) n seção.3. Isso corrobor correção Eq. ) como equção crcterístic s curvs que escrevem s trjetóris seguis pelos rios e luz. Referêncis [] A.E. Motter, Rev. Brs. Ens. Fís. 9, ). [] H. Golstein, Clssicl Mechnics Aison-Wesley, Reing, 980), n e. [3] E.L. Lim, Curso e Análise Instituto e Mtemátic Pur e Aplic, São Pulo, 98), v., 4 e.