Pesquisa Operacional. A Ciência da Decisão

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1 Pesquisa Operacional Aplicações da Programação Linear no Ambiente de Gestão A Ciência da Decisão Uma decisão pode ser classificada em estruturada t se envolver uma série éi de fatores que possam ser quantificados, e logo, equacionados; Pesquisa Operacional é uma ferramenta de apoio à decisão estruturada; Alguns problemas são surpreendentemente equacionáveis!

2 Equacionando um problema Vamos seguir um exemplo de um problema a ser equacionado. É um problema corriqueiro, que já aconteceu com alguns de vocês. O Planejamento Social de um Galinha Considere que você está saindo com duas namoradas: Ana Paula Arósio Scheila Carvalho. 2

3 Qual é a decisão? Se você pudesse, estou certo, planejaria sair com as duas ao mesmo tempo, e a todo tempo, acertei? Mas, sair com as duas ao mesmo tempo não dá. Elas não aceitariam sair com você juntas. Ciumentas! E, sair todo dia também não dá. Você não tem dinheiro i (entre outras coisas) para sair todo dia. Para garantir a sua felicidade, considerando estes problemas desagradáveis, você precisa decidir quantas vezes na semana sair com cada uma! A Decisão! Chamemos assim: x : a quantidade d de vezes por semana que você vai sair com a Ana; x 2 :a quantidade de vezes por semana que você vai sair com a Scheila; 3

4 Variáveis de Decisão O que nós criamos, x e x 2, são as chamadas Variáveis de Decisão; As variáveis de decisão são aqueles valores que representam o cerne do problema, e que podemos escolher decidir) livremente; Veja que, a princípio, você pode sair quantas vezes quiser com Ana Paula e com Scheila. Mas...Problemas Financeiros!!! Entretanto, existe um pequeno problema: Ana é chique e gosta de lugares caros. Uma noite com ela custa R$800,00; Scheila é mais simples, gosta de passeios baratos. Sair com ela custa só R$000,00; Mas a sua semanada é de apenas R$ 8000,00! Como fazer para garantir que você não vai se endividar? 4

5 Garantindo a mesada Se você sai com a Ana x vezes no mês, e cada vez gasta R$.800,00, então você gasta R$.800 x por semana! Fazendo o mesmo raciocínio para Scheila obtemos o seguinte: 800 x x 2 garantia 8000 gasto total da semana gasto disponível por semana Problemas com o relógio As diferenças entre as duas não são apenas no volume de gastos: Scheila é muito agitada. Cada vez que você sai com ela gasta em média 4 horas do seu precioso tempo. Quando sai com Ana, que é mais sossegada, você gasta apenas 2 horas. 5

6 Garantindo os estudos Considere que os seus afazeres escolares só lhe permitem horas de lazer por semana. Usando a notação anterior, como fazer para garantir que não vai extrapolar este tempo? 2x + 4x2 garantia total de horas Tempo livre Pensando em tudo junto: Restrições 2 x + 4 x x x (Horas por semana) (R$ p/ semana) Você já pode se planejar! Decida quantas vezes você vai sair com Ana (x ) ecomscheila (x 2 )! Vamos ver quantas horas e quanto de dinheiro você pobre consumidor gastará em busca de sua felicidade, e depois quanto sobrou! 6

7 Quanto consumo? 2x + 4x2 800 x x2 EXEMPLO: (Horas por semana) 8000 (R$ p/ semana) Saindo 3 vezes com Ana e 2 vezes com Scheila, teremos: x = 3 e 2 x x 2 = 4 horas x 2 = x x Reais O que sobra? horas 4 horas = 6 horas R$ R$ = R$ 600 Outra Situação? 2x + 4x2 800 x x2 Outro EXEMPLO: (Horas por semana) 8000 (R$ p/ semana) Saindo 3 vezes com Ana e 4 vezes com Scheila, teremos: x = 3 e 2 x x 4 = 22 horas x 2 = x x Reais O que sobra? 22 horas 4 horas = -2 horas R$ R$ = -R$ 40 Impossível pelas condições de restrição 7

8 Falta um Objetivo É preciso pensar no objetivo final. O que eu quero, para obter a maior felicidade? Algumas Opções: ª Opção - Sair a maior quantidade de vezes por semana possível; total t de saídas, independentemente de com quem max x + x 2 Outro Objetivo Possível Suponha que você gosta da Scheila duas vezes mais do que gosta da Ana. Assim, você pode criar um índice que representa a sua preferência: A Scheila terá o dobro de saídas max x + 2x 2 8

9 Criamos assim dois modelos diferentes Funções max x + x 2 max x + 2x 2 2x + 4x2 800 x x2 Objetivo x + 4x2 800 x x2, 2 restrições x x 0 Condições de não- x x 0 negatividade, Problemas de Otimização Em problemas reais de otimização busca-se maximizar ou minimizar uma quantidade específica, chamada objetivo, que depende de um número finito de variáveis de entrada. As variáveis de entrada podem ser: Independentes uma das outras Relacionadas umas com as outras por meio de uma ou mais restrições 9

10 Programação Matemática Um problema de programação matemática é um problema de otimização no qual o objetivo e as restrições são expressas como funções matemáticas e relações funcionais Bill Gates entrando na sua história Sensibilizado com a sua procura pela felicidade com as duas namoradas, Bill Gates desenvolveu uma ferramenta de apoio no utilitário Excel do pacote Office, chamada Solver. Com ela você poderá descobrir as quantidades ÓTIMAS de saídas com as suas namoradas. Diga-se, de passagem, que durante a segunda guerra o matemático Dantzig, estudou um problema semelhante ao seu para ser usado na guerra (uma guerra de verdade e não a sua luta de galinha pela conquista de mulheres). A esta área da matemática muito desenvolvida hoje em dia deu-se o nome de Programação Linear (aliás, um programa bem diferente do seu). O que vamos fazer agora é encontrar a solução ótima para a sua felicidade! 0

11 Solver Microsoft Excel Para instalar o recurso Solver, clique em Suplementos no menu Ferramentas e marque a caixa de seleção Solver Clique em OK e o Excel instalará o recurso Solver Após a instalação do suplemento, você poderá executá-lo clicando em Solver no menu Ferramentas. Vamos Otimizar o Primeiro Modelo Funções max x + x 2 max x + 2x 2 2x + 4x2 800 x x2 Objetivo x + 4x2 800 x x2, 2 restrições x x 0 Condições de não- x x 0 negatividade,

12 Resolvendo o modelo pelo Solver Para resolver o problema na planilha, devemos definir: as células para representar as variáveis de decisão, uma célula para representar o valor da função objetivo, e devemos representar também as restrições em células separadas Resolvendo o modelo pelo Solver cont... PRODUTO 2 Ana Paula 3 Scheila 4 5 A B C D E F G H MARGEM DE CONTRIBUIÇÃO UNITÁRIA (Noitada) R$.800,00 R$.000,00 = B3+C3 6 QUANTIDADE REQUERIDA Por SAÍDA Restrições Quantidade Máxima Disponível 7 Ana Paula Scheila 8 Gasto Semanal Disponível (R$) Tempo Livre Disponível (h) Quantidades de Saídas 4 Custo unitário por Saída 5 6 Ana Paula 800 Scheila 000 Informações do Problema A B C D E F G H VARIÁVEIS DE DECISÃO 0,00 Função Objetivo 7 8 Gasto Semanal Disponível (R$) <= Tempo Livre Disponível (h) <= 2 Restrições Coeficientes das variáveis Valores das condições Relação Restrição =SOMARPRODUTO(B8:C8;$B$3:$C$3) =SOMARPRODUTO(B9:C9;$B$3:$C$3) 2

13 Resolvendo o modelo pelo Solver (cont.) Após digitar os valores, clique no menu Ferramentas > Opção Solver... Selecionar a célula da função objetivo (E5) Em Igual a : Escolha a opção Min Na caixa Células variáveis: inserir os valores das variáveis de decisão Resolvendo o modelo pelo Solver (cont.) Na caixa Submeter às restrições: devem ser inseridas as restrições do problema Clique no botão Adicionar e a janela abaixo aparecerá Por último, clique no botão OK Selecione as células contendo a a e a 2ª restrição (E8:E9) Escolha a opção que corresponde ao tipo de restrição Selecione as células que contém a restrição correspondente G8:G9 3

14 Resolvendo o modelo pelo Solver (cont.) Na janela Parâmetros do Solver, clicando em Opções, aparecerá: Marque as caixas: Presumir modelo linear Presumir não-negativos Depois voltando, clique em OK. Resolvendo o modelo pelo Solver (cont.) Após adicionar todas as restrições, clique no botão Resolver A janela abaixo aparecerá Nesta janela, clique no botão OK Para criar um relatório (planilha) na pasta atual 4

15 Resolvendo o modelo pelo Solver (cont.) Resultados! A B C D E F G H Ana Paula Scheila VARIÁVEIS DE Quantidades de Saídas 2 4 DECISÃO 6 Função Objetivo Gasto Semanal Disponível (R$) <= Tempo Livre Disponível (h) 2 4 <= Restrições Coeficientes das variáveis Valores das condições Relação Restrição Para resolver no Solver... (cont.) (problemas a serem resolvidos em aula!) Uma microempresa produz dois tipos de jogos para adultos e sua capacidade de trabalho é de 50 horas semanais. O jogo A requer 3 horas para ser produzido e propicia um lucro de R$ 30,00, enquanto que o jogo B precisa de 5 horas para ser produzido e acarreta um lucro de R$ 40,00. Quantas unidades de cada jogo devem produzidas semanalmente a fim de maximizar o lucro? Função objetivo: Maximizar Lucro = 30x + 40x 2 Restrições: 3x + 5x 2 50 x 0 ; x 2 0 5

16 Para resolver no Solver... (cont.) (problemas já resolvidos em aula!) Sabe-se que uma pessoa necessita, em sua alimentação diária, de um mínimo de 5 unidades de proteínas e unidades de carboidratos. Supondo que, para satisfazer esta necessidade, ela disponha dos produtos A e B. Um kg do produto A contém 3 unidades de proteínas, 0 unidades de carboidratos e custa R$ 2,00. Um kg do produto B contém 6 unidades de proteínas, 5 unidades de carboidratos e custa R$ 3,00. Que quantidade deve-se comprar de cada produto de modo que as exigências da alimentação sejam satisfeitas a um custo mínimo? Função objetivo: Minimizari i Custo = 2x + 3x 2 Restrições: 3x + 6x 2 5 0x + 5x 2 x 0 ; x 2 0 Para resolver no Solver... (cont.) Um produtor que utilizou recursos de programação linear no planejamento da produção de sua empresa, chegou a seguinte formulação de programação linear que maximizará seu lucro: Função objetivo: Maximizar lucro Lucro = 30a + 350b Restrições: 3a + 4b 2a + 8b 60 a 0 b 0 6

17 Para resolver no Solver... (cont.) Um empreendedor decidiu comercializar barcos. Depois de empregar alguns trabalhadores e de descobrir os preços aos quais venderia os modelos, chegou as seguintes observações: cada modelo comum (A) rende um lucro de R$ 5,00, e cada modelo rápido (B) rende um lucro de R$ 450,00. Um modelo comum requer 40 horas para ser construído e 24 horas para o acabamento. Cada modelo rápido requer 25 horas para construção e 30 horas para o acabamento. Este empreendedor dispõe de 400 horas de trabalho por mês para a construção e 360 horas para o acabamento. Quanto deve produzir de cada um dos modelos? Construa o modelo matemático e encontre a solução para o problema utilizando o método gráfico. Função objetivo: Maximizar lucro Lucro = 5a + 450b Restrições: 40a + 25b a + 30b 360 a 0 b 0 Problema a ser resolvido em aula Uma fábrica de computadores produz 2 modelos de computador: A e B. O modelo A fornece um lucro de R$ 80,00 e B de R$ 300,00. O modelo A requer, na sua produção, um gabinete pequeno e uma unidade de disco. O modelo B requer gabinete grande e 2 unidades de disco. Existem no estoque: 60 unidades do gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e unidades de disco. Pergunta-se: qual deve ser o esquema de produção que maximiza o lucro? Solução: Função objetivo: Maximizar i lucro Lucro = 800x + 000x 2 Restrições: x + 2x 2 x 60 x 2 50 x 0; x 2 0; 7

18 Exemplo do Roteiro p. 5 Imaginemos que seja pedido a você, como gestor de uma confecção de roupas, e precisa determinar a melhor forma de produzir a linha Jeans da empresa, neste momento, para que a margem de contribuição total da linha seja a maior possível. Você, juntamente com o setor de contabilidade da empresa, consegue as seguintes informações relevantes. PRODUTO 2 Saia 3 Calça 4 Bermuda A B C D E MARGEM DE CONTRIBUIÇÃO UNITÁRIA R$ 2,00 R$ 4,00 Restrições Quantidade Máxima Disponível 8 9 Espaço Físico (m 2 ) Tecido (m) Horas máquina (hm) Função objetivo: Maximizar lucro Lucro = 2x + 4x 2 + 7x 3 Restrições: 4x + x 2 +2x x + 4x 2 +2x R$ 7,00 x + 2x + 4x QUANTIDADE REQUERIDA PELOS PRODUTOS Saia (a) Calça(b) Bermuda ( c ) x 0; x 2 0; Solução: Solução do Exemplo do Roteiro p. 5 A B C D E F G Saia Calça Bermuda Quantidades 24,3 74,3 464,3 Margem unitária Margem Total 428, , , ,7 Função Objetivo Espaço Físico(m 2 ) <= Tecido (m) <= Horas máquina(hm) <= Coeficientes das variáveis Valores das condições Relação Restrição 8

19 Solução do Exemplo do Roteiro p. 5 A B C D E F G 2 3 Microsoft Excel 2.0 Relatório de resposta Planilha: [MetQuantitatEtapaVvol3.xlsm]ExemploPL.2 Relatório criado: id 0/03/09 8:59: Célula de destino (Máx) Célula Nome Valor original Valor final 8 $E$4 Margem Total 0, , Células ajustáveis Célula Nome Valor original Valor final 3 $B$2 Quantidades d Saia Si 00 0,0 24, $C$2 Quantidades Calça 0,0 74,3 $D$2 Quantidades Bermuda 0,0 464,3 Restrições Célula Nome Valor da célula Fórmula Status Transigência $E$7 Espaço Físico(m2) Função Objetivo 2500 $E$7<=$G$7 Agrupar 0 $E$8 Tecido (m) Função Objetivo 4000 $E$8<=$G$8 Agrupar 0 $E$9 Horas máquina(hm) Função Objetivo 3500 $E$9<=$G$9 Agrupar 0 Atividade A fábrica de brinquedos "Mambel" produz a boneca "Bárbara" para exportação, e a "Soninha", para consumo interno. A boneca Bárbara proporciona uma margem de contribuição unitária de R$ 40,00 por unidade, contra R$ 30,00 da boneca Soninha. Por restrições de material, a fábrica só consegue produzir 400 bonecas por dia (turno de 8 h) independentemente do tipo. Se a Mambel só produzisse Bárbaras, a fábrica poderia fabricar apenas 250 unidades por dia, devido ao seu tempo de produção ser o dobro do da Soninha. A empresa quer otimizar o lucro, ainda que dentro de suas políticas de venda, tenha que produzir pelo menos 00 unidades da boneca Bárbara para exportação. Determine a expressão matemática que representa a função objetivo e indique o tipo de otimização (maximização ou minimização) é desejada pela indústria. Descreva, também, as restrições para o problema e encontre a melhor programação de produção diária pelouso do SOLVER. Solução Variáveis: A = Bárbara (MC unitária 40,00) e B = Soninha (MC unitária 30,00) Função Objetivo: Margem de Contribuição= 40A +30B...Máximo Restrições: A + B <= Restrição de Produção da Fábrica (turno de 8 h) independente do tipo. Agora (xa + yb ) <= 8, isto é, x horas de produção diária de A e y horas de produção diária de B deve totalizar 8 horas. Produzindo apenas "Barbara" temos xa = 8 ou x 250 = 8 x = 0,032. Como x deve ser o dobro de y, temos que y = 0,06 0,032A + 0,06B 8... Restrição da produção diária de cada boneca. A Restrição da política de venda da boneca Bárbara para exportação. 9

20 Solver em ação!!! A B C D E F G Bárbara Soninha Quantidades 00,0 300,0 Margem unitária Margem Total 4.000, , ,00 Função Objetivo Produção Total 400,0 <= 400 Produção Bárbara 0,032 0,06 8,0 <= 8 Produção Bárbara 0 00,0 >= 00 Coeficientes das variáveis Valores das condições Relação Restrição Atividade 2 Uma empresa decidiu investir $2 milhões na compra de máquinas para fabricação de diferentes tipos de placas para uma nova geração de aparelhos celulares. Três modelos de máquinas estão sendo avaliados. O número total de operadores disponíveis no mercado local é de 00. Cada operador trabalha um turno de 6h, e todas as máquinas devem operar nos três turnos de produção da empresa. Informações adicionais referentes às máquinas estão indicadas na tabela, a seguir. Descreva a função objetivo e restrições para o problema, determinando, em seguida, quantas máquinas de cada modelo a empresa deve ser adquirir, para que o número de placas fabricadas, por dia, seja maximizado? Função Objetivo: Nº de Placas Fabricadas = 8*[(55*A)+(55*B)+(50*C)...Máximo Restrições: *A *B *C <= Restrição do Investimento. 6*A + 6*B + 3*C <= Restrição do nº total de operadores. A>=0 ; B>=0 ; C >=0... Restrição da quantidade de máquinas em produção. A= número ; B = número ; C = número... Restrição da quantidade de máquinas ser número inteiro.

21 Solver em ação!!! A B C D E F G 3 A B C 4 Quantidades/Máquina 0,0 0,0 3,0 5 Turnos 3,0 3,0 3,0 6 Placas/hora Total de Placas Produzidas 9.900,0 0,0.700, ,0 8 Função Objetivo Investimento ,00 <= Operadores ,0 <= 00 Quantidades de peças a produzir 0 0 0,0 >= ,0 >= ,0 >= 0 Arredondamento 0 0 0,0 núm número 0 0 0,0 núm número 0 0 3,0 núm número Coeficientes das variáveis Valores das condições Relação Restrição Atividade 3 Um Banco está delineando sua política de crédito para o próximo trimestre deste ano. Um total de 2 milhões será alocado às várias modalidades de empréstimo que ele pretende conceder. Sendo uma instituição de atendimento pleno, é obrigado a atender a uma clientela diversifi cada. A tabela, a seguir, prevê as modalidades de empréstimos praticadas pelo Banco, as taxas de juro por ele cobradas, e a possibilidade de inadimplência, medida em probabilidade, com base em históricos anteriores. Toda inadimplência é assumida como irrecuperável e não produz retorno. Em função da concorrência, é preciso que, pelo menos, 40% do total disponível seja destinado a empréstimos agrícolas e comerciais. Para apoiar a indústria da construção civil na região, os empréstimos para compra de imóveis devem ser, pelo menos, metade do total alocado para empréstimos pessoais e compra de carro. A presidência do Banco deseja incluir na sua política de empréstimos a condição de que a razão entre o total da inadimplência em todos os empréstimos e o total emprestado não exceda 0,06. Formule um modelo de programação linear para otimizar a política de crédito do Banco, equacionando o problema por meio de uma função objetivo e das restrições. Busque para o banco a melhor solução usando o SOLVER. Função Objetivo: Retorno= (0,5 Pe + 0,5 CA + 0, CI + 0,0 Ag + 0,09 Com)...Máximo Restrições: Pe + CA + CI + Ag + Com = Restrição do total alocado a empréstimos pelo Banco Ag + Com >= 0,4 * ( )...Restrição de Empréstimos Agrícolas e Comerciais. CI >= 0,5 (Pe + CA)... Restrição de apoio a indústria da construção civil na região. (0,0 Pe + 0,08 CA + 0,04 CI + 0,06 Ag + 0,03 Com) <= 0,06 * ( )... Restrição da Inandimplência. 2

22 Solver em ação!!! A B C D E F G H I 5 Pe CA CI Ag Com 6 Volume de Empréstimo 0, , , , ,00 7 Função Objetivo , Agrícola e Comerciais ,00 >= Compra de Imóveis 0,5 0, ,00 >= 0 Disponibilidade para Alocação ,0 = Inadimplência 7.000,0 <= Coeficientes das variáveis Valores das condições Relação Restrição Atividade 4 O setor de telemarketing de uma empresa de cartão de crédito necessita da seguinte quantidade mínima de funcionários trabalhando no setor, por dia: Cada funcionário trabalha 5 dias consecutivos, os e tem 2 dias de folga, e pode começar em qualquer dia da semana. Cada funcionário recebe $00,00 por semana. Se trabalhar aos sábados, recebe um extra de $5,00, e se for aos domingos, um extra de $0,00. Formule um modelo de programação linear, de forma a minimizar a quantidade de funcionários que irá trabalhar em cada uma das 7 escalas montadas para atender à empresa. Descreva, para isso, a função objetivo do problema com suas respectivas restrições. Função Objetivo: Custo = (30 Dom + Seg + Ter + Qua + Qui + Sex + 25 Sab)...Mínimo Restrições: Dom + Seg + Ter + Qua + Qui >= 8...Restrição de Quantidade Mínima de Funcionários. Seg + Ter + Qua + Qui + Sex >= 30 Ter + Qua + Qui + Sex + Sab >= 30 Dom + Qua + Qui + Sex + Sab >= Dom + Seg + Qui + Sex + Sab >= 5 Dom + Seg + Ter + Sex + Sab >= 7 Dom + Seg + Ter + Qua + Sab >= 24 22

23 Solver em ação!!! A B C D E F G H I J K Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab Escalas inicando em: Função Objetivo 675,0 Restrições Escala iniciando em: Dia de Trabalho Dom >= 8 Seg >= 30 Ter >= 30 Qua 0 0 >= Qui >= 5 Sex >= 7 Sab >= Coeficientes das variáveis Valores das condições Relação Restrição Atividade 5 Em uma fazenda, deseja-se fazer 2 toneladas de ração com o menor custo possível. De acordo com as recomendações do veterinário dos animais da fazenda, a ração deve conter: 8% de proteína, um mínimo de 0% de fibra e, por fim, cada kg de ração deve ter entre.0 e calorias. Para fazer a ração, estão disponíveis quatro ingredientes cujas características técnicoeconômicas estão mostradas, a seguir: Outro fator importante é que a ração deve ter em sua Proteínas Fibras Calorias/kg Custo/kg composição um mínimo de 25% de milho e, no máximo, 8% de soja. Equacione o problema definido a função objetivo e as restrições, e indique para a fazenda quanto deverá ser utilizado de cada ingrediente para que o custo seja mínimo. DICA: trabalhe as unidades das equações em quilogramas, para facilitar. Cevada 7,% 7,0% 848 0,43 Aveia 8,0% 2,0% 785 0,36 Soja 9,3% 2,0% 08 0,57 Milho 29,4% 6,0% 470 0,32 Função Objetivo: Custo = 0,43 Cevada + 0,36 Aveia + 0,57 Soja + 0,32 Milho...Mínimo Restrições: Cevada + Aveia + Soja + Milho = kg... Restrição de Quantidade Total de Ração. 0,07 Cevada + 0,08 Aveia + 0,093 Soja + 0,294 Milho = 8% de 2 ton... Restrição de Proteína 0,07 Cevada + 0,2 Aveia + 0,2 Soja + 0,6 MIlho >= 0% de 2 ton... Restrição de Fibras 848 Cevada Aveia + 08 Soja Milho >=.0 * Quantidade Mínima de Calorias 848 Cevada Aveia + 08 Soja Milho <= * Quantidade Máxima Calorias Milho >= 25% de kg Soja <= 8% de kg 23

24 Solver em ação!!! A B C D E F G H Cevada Aveia Soja Milho 0, ,52 0, ,48 Função Objetivo R$ 4.095,70 Restrições Quantidade Total de Ração = Proteínas 2.60 = 2.60 Fibras.664 >=.0 Mínima de Calorias >= Máxima de Calorias <= Porcentagem de Milho >= Porcentagem de Soja <= 2.60 Coeficientes das variáveis Valores das condições Relação Restrição Atividade Avaliação à Distância Função A B C D E F G H I J Loja Animais de Estimação Coeficiente das Variáveis Objetivo x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6,5 2, Variáveis 2,00 3,33 0,00 0,00 0,00 0,00 Z= 7 Restrições Coeficientes das Variáveis Constantes Nº x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 LHS RHS , , , , , , , , ,0 0 24

25 Atividade Avaliação à Distância A B C D E F G H KIA Ltda. Coeficiente das Variáveis Função Objetivo x 5 x 2 0 x 3 9 x Variáveis Z= R$ , Coeficientes das Variáveis Restrições Constantes Nº x x 2 x 3 x 4 LHS RHS , , ,0 = , , , , ,7 0 25