Aplicação da metodologia de Componentes Principais na análise da estrutura a termo de taxa de juros brasileira e no cálculo de Valor em Risco

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1 Francsco Eduardo de Luna e Almeda Santos Aplcação da metodologa de Componentes Prncpas na análse da estrutura a termo de taxa de juros braslera e no cálculo de Valor em Rsco Dssertação de Mestrado Orentador: Eduardo Facó Lemgruber Ph. D. em Fnanças (UCLA, EUA) Unversdade Federal do Ro de Janero Insttuto COPPEAD de Admnstração Abrl de 2005

2 Aplcação da metodologa de Componentes Prncpas na análse da estrutura a termo de taxa de juros braslera e no cálculo de Valor em Rsco Francsco Eduardo de Luna e Almeda Santos Dssertação submetda ao corpo docente do Insttuto de Pós Graduação e Pesqusa em Admnstração COPPEAD, da Unversdade Federal do Ro de Janero UFRJ, como parte dos requstos necessáros para obtenção do grau de mestre em cêncas (M. Sc.). Aprovada por: Eduardo Facó Lemgruber, Ph.D - Orentador (COPPEAD/UFRJ) Eduardo Salby, Ph.D (COPPEAD/UFRJ) João Alberto de Negr, Ph.D (IPEA)

3 Luna, Francsco Aplcação da metodologa de Componentes Prncpas na análse da estrutura a termo de taxa de juros braslera e no cálculo de Valor em Rsco / Francsco Eduardo de Luna e Almeda Santos. Ro de Janero, x, 75 f. Dssertação (Mestrado em Admnstração) Unversdade Federal do Ro de Janero, Insttuto COPPEAD de Admnstração, Orentador: Eduardo Facó Lemgruber.Análse de Componentes Prncpas; 2.Estrutura a Termo de Taxa de Juros; 3.Valor em Rsco; 4.Fnanças Teses. I.Lemgruber, Eduardo (Orent.). II. Unversdade Federal do Ro de Janero. Insttuto COPPEAD de Admnstração. III. Título.

4 v À mnha mãe, Mara Luca, por tudo o que representa em mnha vda e que estará presente em todas as mnhas conqustas. A meu grande pa, Arthur, por ncentvar valores como a educação e o comprometmento, sem os quas não sera possível segur estes camnhos. À mnha nova, Renata, muto em breve esposa, pelo carnho, amor e apoo ncondconas.

5 v AGRADECIMENTOS Ao meu rmão, grande amgo, pelo apoo ntelectual e moral, sempre me encorajando a assumr novos desafos. Ao meu orentador, Eduardo Facó Lemgruber, pela orentação e pelos ensnamentos em aula, sem os quas não sera possível conclur o trabalho. À Dretora do IPEA, em especal a João Alberto De Negr, pelo ncentvo total à execução do trabalho e pela valorzação de seu resultado dentro da nsttução. A todos os amgos do IPEA, pela experênca compartlhada, pelo convívo e pelas novas amzades construídas.

6 v RESUMO Luna, Francsco. Aplcação da metodologa de Componentes Prncpas na análse da estrutura a termo de taxa de juros braslera e no cálculo de Valor em Rsco. Orentador: Eduardo Facó Lemgruber. Insttuto Coppead de Admnstração, Unversdade Federal do Ro de Janero, Ro de Janero, Abrl de Dssertação (Mestrado em Admnstração). A dentfcação dos fatores mas relevantes que afetam títulos de renda fxa fo objeto de estudo de város pesqusadores e partcpantes do mercado fnancero. Este trabalho aplca uma mportante técnca de decomposção em fatores, chamada Análse de Componentes Prncpas (ACP), em dos dervatvos de renda fxa brasleros, a saber: DI Futuro e SWAP DI x Pré. O objetvo é dentfcar os prncpas atrbutos que governam mudanças nos retornos dos títulos acma menconados, fornecendo subsídos à melhora dos métodos de análse de rsco assocados a este tpo de nvestmento. Como em estudos anterores, três componentes prncpas são responsáves pela explcação de parcela maor do que 95% da varação dos dados orgnas. Eles foram assocados a mudanças em nível, nclnação e curvatura da estrutura a termo de taxa de juros braslera. Com base nos resultados anterores, o Valor em Rsco (Value-at-Rsk - VaR), para horzonte de tempo de um da útl, e níves de sgnfcânca de 95%, 97,5% e 99%, foram calculados utlzando a combnação de ACP com a Smulação de Monte Carlo. Para fns de comparação desta metodologa com aquela que é mas empregada, a Analítca ou Rskmetrcs, os ntervalos de confança defndos pelo teste de Kupec (995) servram de base. Ademas, fo empregado um índce geral de desempenho que mostrou valores próxmos, sendo que o melhor deles fo o ACP. Porém, uma vez que o desvo-padrão do índce fo alto e a dversdade de cenáros não era sgnfcatva estatstcamente, os dados obtdos não foram conclusvos no sentdo de apontar a superordade de qualquer dos métodos. A alta sensbldade dos percentuas de falhas em relação ao tamanho da janela de testes torna necessára a realzação de estudos complementares. Palavras-chave: Estrutura a termo de taxa de juros, Análse de Componentes Prncpas, Valor em Rsco.

7 v ABSTRACT Luna, Francsco. Prncpal component analyss appled to the brazlan nterest rate term structure and for the evaluaton of Value-at-Rsk.. Advsor: Eduardo Facó Lemgruber. Insttuto Coppead de Admnstração, Unversdade Federal do Ro de Janero, Ro de Janero, Aprl/2005. Dssertaton (Master n Busness Admnstraton). The dentfcaton of the man factors affectng nterest rate securtes has been researched by several academcs and fnancal practtoners. Ths work apples an mportant technque of factor decomposton, named Prncpal Component Analyss (PCA), n two brazlan nterest rate dervatves: DI Futuro and SWAP DI x Pré. Its objectve s to dentfy the man attrbutes that govern changes n returns, gvng subsdes to the mprovement of the assessment of the rsk assocated wth such type of nvestment. Lke prevous studes, three prncpal components were responsble for more than 95% of the varance of the orgnal data. They were respectvely assocated wth changes n level, nclnaton and curvature of the brazlan nterest rate term structure. Based on the prevous results, the one-day Value-at-Rsk (VaR), wth sgnfcance levels of 95%, 97.5% and 99%, were calculated usng PCA n conjuncton wth Monte Carlo Smulaton. For the purpose of comparng ths method wth the most famous one, named Rskmetrcs, the confdence ntervals defned by Kupec (995) were used. Besdes, a general performance measure was appled whch showed close values, although PCA was slghtly better. However, due to the hgh varance of ths measure, we came to the concluson that no unambguous conclusons have been dentfed. The results were very senstve to the sze of the test wndow what makes t necessary to apply further researches n the subject. Key-words: Interest rate term structure, Prncpal Component Analyss, Value-at- Rsk.

8 v LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS BM&F Bolsa de Mercadoras e Futuros ACP Análse de Componentes Prncpas ETTJ Estrutura a Termo de Taxa de Juros VaR Value-at-Rsk EWMA Exponental Weghted Movng Average DP Desvo-Padrão

9 x LISTA DE ILUSTRAÇÕES Tabela - Relação de vértces para os contratos de DI Futuro que servram de base para a nterpolação por Cubc Splne. Tabela 2 - Relação de vértces para os contratos de SWAP DIxPré que servram de base para a nterpolação por Cubc Splne. Tabela 3 - Teste Dckey-Fuller Aumentado (ADF) para as taxas brutas e suas prmeras dferenças dos vértces dos contratos de DI Futuro referentes ao período de 02/0/2002 até 7/2/2004. Valores crítcos: % (-2,569); 5% (-,940); 0% (-,66). Tabela 4 - Teste Dckey-Fuller Aumentado (ADF) para as taxas brutas e suas prmeras dferenças dos vértces dos contratos de SWAP DI x Pré referentes ao período de 02/0/2002 até 7/2/2004. Valores crítcos: % (-2,569); 5% (-,940); 0% (-,66). Tabela 5 - Matrz de Correlação entre as dferenças de taxas de juros normalzadas dos vértces dos contratos de DI Futuro referentes ao período de 02/0/2002 até 7/2/2004. Tabela 6 - Comunaldade dos vértces em relação ao modelo de fatores resultante da aplcação de ACP sobre os contratos de DI Futuro referentes ao período de 02/0/2002 até 7/2/2004. Tabela 7 - Matrz de Cargas Fatoras de cada vértce em relação a cada fator como resultado da aplcação de ACP sobre os contratos de DI Futuro referentes ao período de 02/0/2002 até 7/2/2004. Tabela 8 - Percentual da Varânca Total Explcada de cada vértce para os três prmeros fatores como resultado da aplcação de ACP sobre os contratos de DI Futuro referentes ao período de 02/0/2002 até 7/2/2004. Tabela 9 - Matrz de Correlação entre as dferenças de taxas de juros normalzadas dos vértces dos contratos de SWAP DIxPré referentes ao período de 02/0/2002 até 7/2/2004. Tabela 0 - Comunaldade dos vértces em relação ao modelo de fatores resultante da aplcação de ACP sobre os contratos de SWAP DIxPré referentes ao período de 02/0/2002 até 7/2/2004. Tabela - Matrz de Cargas Fatoras de cada vértce em relação a cada fator como resultado da aplcação de ACP sobre os contratos de SWAP DIxPré referentes ao período de 02/0/2002 até 7/2/2004.

10 x Tabela 2 - Percentual da Varânca Total Explcada de cada vértce para os três prmeros fatores como resultado da aplcação de ACP sobre os contratos de SWAP DIxPré referentes ao período de 02/0/2002 até 7/2/2004. Tabela 3 Composção das carteras utlzadas no cálculo de VaR. Tabela 4 Estatístcas descrtvas das dferenças dáras de taxas de juros, expressas em percentual, para os contratos de DI Futuro e SWAP DIxPré. Período do amostra: 02/0/2002 até 7/2/2004. Tabela 5 Resultados dos testes de normaldade das dferenças dáras de taxas de juros, expressas em percentual, para os contratos de DI Futuro e SWAP DIxPré. Período do amostra: 02/0/2002 até 7/2/2004. Tabela 6 Percentual de erros observados entre os Valores em Rsco Reas e os Valores em Rsco estmados de acordo com as metodologas Analítca (Desvo-Padrão Hstórco e EWMA) e Smulação de Monte Carlo com ACP através do procedmento de BackTest para as 4 carteras hpotétcas. O Teste fo realzado com retornos dáros correspondentes ao período de 8/03/2003 até 7/2/2004, totalzando 440 observações. Os valores rejetados pelo teste de Kupec estão destacados em negrto. Níves de Confança de 95%, 97,5% e 99%. Horzonte de Tempo: da útl. Janela de testes: 300 das útes. Lambda = 0,94. Número de smulações = 000. Tabela 7 - Percentual de erros observados entre os Valores em Rsco Reas e os Valores em Rsco estmados de acordo com as metodologas Analítca (Desvo-Padrão Hstórco e EWMA) e Smulação de Monte Carlo com ACP através do procedmento de BackTest para as 4 carteras hpotétcas. O Teste fo realzado com retornos dáros correspondentes ao período de 3/05/2002 até 7/2/2004, totalzando 540 observações. Os valores rejetados pelo teste de Kupec estão destacados em negrto. Níves de Confança de 95%, 97,5% e 99%. Horzonte de Tempo: da útl. Janela de testes: 200 das útes. Lamba = 0,94. Número de Smulações = 000. Tabela 8 - Percentual de erros observados entre os Valores em Rsco Reas e os Valores em Rsco estmados de acordo com as metodologas Analítca (Desvo-Padrão Hstórco e EWMA) e Smulação de Monte Carlo com ACP através do procedmento de BackTest para as 4 carteras hpotétcas. O Teste fo realzado com retornos dáros correspondentes ao período de 22/0/2002 até 7/2/2004, totalzando 640 observações.

11 x Os valores rejetados pelo teste de Kupec estão destacados em negrto. Níves de Confança de 95%, 97,5% e 99%. Horzonte de Tempo: da útl. Janela de testes: 00 das útes. Lamba= 0,94. Número de Smulações = 000. Tabela 9 - Índce de desempenho das metodologas de VaR calculadas para as dversas janelas de testes, carteras e níves de sgnfcânca. Fgura - Representação da nterpolação lnear de uma função f(x) entre dos pontos a e b por ntermédo de uma função lnear g(x). Fgura 2 - Representação da dstrbução de Lucros/Perdas de uma cartera aleatóra comparando o VaR calculado em relação ao valor esperado e ao valor corrente da cartera. Fgura 3 - Percentual acumulado de varânca explcada por cada fator após a aplcação de ACP sobre as dferenças de taxas de juros normalzadas dos contratos de DI Futuro referentes ao período de 02/0/2002 até 7/2/2004. Fgura 4 Sensbldade de cada vértce a varações nos três prmeros fatores como resultado da aplcação de ACP sobre os contratos de DI Futuro referentes ao período de 02/0/2002 até 7/2/2004. Fgura 5 - Representação dos Escores Fatoras resultantes da aplcação de ACP sobre os contratos de DI Futuro referentes ao período de 02/0/2002 até 7/2/2004. Fgura 6 - Percentual acumulado de varânca explcada por cada fator após a aplcação de ACP sobre as dferenças de taxas de juros normalzadas dos contratos de SWAP DIxPré referentes ao período de 02/0/2002 até 7/2/2004. Fgura 7 - Sensbldade de cada vértce a varações nos três prmeros fatores como resultado da aplcação de ACP sobre os contratos de SWAP DIxPré referentes ao período de 02/0/2002 até 7/2/2004. Fgura 8 - Representação dos Escores Fatoras resultantes da aplcação de ACP sobre os contratos de SWAP DIxPré referentes ao período de 02/0/2002 até 7/2/2004. Fgura 9 - Evolução do VaR para a cartera no período de 8/03/2003 até 7/2/2004 para as metodologas Analítca (Desvo-Padrão Hstórco e EWMA) e ACP em conjunto com a Smulação de Monte Carlo. Nível de sgnfcânca 5%. Total de observações: 440 das útes.

12 x Janela de testes: 300 das útes. Lambda = 0,94. Fgura 0 - Evolução do VaR para a cartera 2 no período de 8/03/2003 até 7/2/2004 para as metodologas Analítca (Desvo-Padrão Hstórco e EWMA) e ACP em conjunto com a Smulação de Monte Carlo. Nível de sgnfcânca 2,5%. Total de observações: 440 das útes. Janela de testes: 300 das útes. Lambda = 0,94. Fgura - Evolução do VaR para a cartera 3 no período de 8/03/2003 até 7/2/2004 para as metodologas Analítca (Desvo-Padrão Hstórco e EWMA) e ACP em conjunto com a Smulação de Monte Carlo. Nível de sgnfcânca %. Total de observações: 440 útes. Janela de testes: 300 das útes. Lambda = 0,94. Fgura 2 - Evolução do VaR para a cartera 4 orgnal e modfcada no período de 8/03/2003 até 7/2/2004 para as metodologas Analítca (Desvo-Padrão Hstórco e EWMA) e ACP em conjunto com a Smulação de Monte Carlo. Nível de sgnfcânca: 5%. Total de observações: 440. Janela de testes: 300 das. Lambda = 0,94.

13 x ÍNDICE. Introdução Revsão Bblográfca Análse da ETTJ através de modelos de múltplos fatores Valor em Rsco (VaR) Defnção Crítcas aos Modelos de VaR tradconas Recentes avanços da metodologa de VaR Metodologa Amostra DI Futuro SWAP DI x Pré Interpolação por cubc splne Análse de Componentes Prncpas (ACP) Valor em Rsco (VaR) Metodologa Analítca Método de Smulação de Monte Carlo utlzando ACP Teste de proporção de falhas de Kupec Resultados Estudo da estrutura a termo braslera utlzando ACP DI Futuro SWAP DI x Pré Ressalvas à aplcação de ACP nos contratos de DI Futuro e SWAP DI x Pré Valor em Rsco Evolução do VaR Avalação do VaR através do Teste de Kupec Conclusão Bblografa...72

14 . Introdução A evolução do mercado de taxa de juros no Brasl, que fo acompanhada pela dversfcação e sofstcação de seus nstrumentos, tem mpulsonado os estudos sobre o assunto, gerando a necessdade de emprego de técncas que tornem mas smples seu entendmento. As nsttuções fnanceras, em partcular, têm grande nteresse em obter avanços no assunto para que suas estratégas de munzação e respectvos cálculos de Valor em Rsco (VaR Value at Rsk) sejam mas precsos, áges e smples. Recentemente, houve grandes contrbuções na lteratura para a modelagem de estruturas a termo de taxas de juros. Inúmeras técncas são utlzadas pelos partcpantes do mercado com o objetvo de obter uma estmatva do comportamento futuro do retorno de títulos desta natureza, permtndo, desta forma, uma melhor composção de suas respectvas carteras. Ao contráro das ações, o movmento de preço de títulos de renda fxa é, em boa parte, sstemátco. Portanto, é possível elmnar atrbutos comuns que afetam o rsco de taxa de juros balanceando a cartera com um número reduzdo de atvos de dferentes maturdades. O uso de dervatvos de taxa de juros faclta esta tarefa pela maor efcênca de custos, lqudez e facldade de realzar operações em posção comprada ou vendda. O enorme volume de transações deste tpo de atvo comprova a sua extensa utlzação. O método mas utlzado para proteger posções em renda fxa é a munzação por duraton. A premssa para estmar a sensbldade do valor da cartera é de que ocorrem desvos paralelos no nível de taxa de juros para todas as maturdades. Apesar de smples, o método tem grandes lmtações e pode levar a grandes perdas. O acréscmo da convexdade na modelagem aumenta a precsão da medda. Outras modelagens foram fetas buscando a estmatva de

15 2 componentes, tpcamente adtvos, que respondem por característcas bem defndas nas curvas de juros. A Análse de Componentes Prncpas (ACP) surge como uma alternatva bastante vável. A ACP busca dentfcar componentes prncpas, ou fatores, que afetam determnado conjunto de dados. É um dos métodos pertencentes ao ramo da Estatístca Multvarada, cujo objetvo prncpal é reduzr a dmensonaldade do problema. Para tanto, procede-se a uma transformação de varáves orgnas, de forma que o conjunto resultante seja ortogonal. Entre os dversos métodos de ortogonalzação, este possu uma característca partcular: os componentes prncpas possuem o maor poder explcatvo dentre as opções dsponíves. Isto faz com que seja possível resumr os dados em poucas dmensões, razão pela qual essa técnca fo escolhda. Uma das aplcações mas conhecdas de ACP fo realzada por Ltterman & Schenkman (99) em títulos públcos norte-amercanos. Desde então, dversos autores reproduzram o trabalho em dferentes mercados. A técnca é atualmente um nstrumento poderoso para avalação de rsco de nstrumentos de renda fxa. Alguns fatores foram decsvos para vablzar sua aplcação em títulos brasleros conforme exposto por Varga & Vall (200). A lqudez, por exemplo, é premssa básca para que modelos de prevsão sejam efcazes. A evolução recente do sstema fnancero naconal, especalmente no que se refere à negocação de títulos públcos e dervatvos de renda fxa, estabeleceu novos patamares não só de lqudez como também de efcênca de mercado. O volume de negocação, porém, não era o únco problema a ser superado. A alta volatldade de preços, almentada pelo quadro nflaconáro e alternâncas de polítca econômca, afetava sobremanera a utlzação da ferramenta. Neste sentdo, a establdade da economa facltou, nclusve, a replcação de modelos orgnados em mercados mas maduros cujas taxas de juros nomnas são mas baxas. Outro aspecto mportante é o maor controle das nsttuções fnanceras

16 3 por parte do Banco Central, tendo em vsta a aplcação das mas recentes versões do Acordo da Basléa. Sendo assm, a facldade no uso e a agldade na nterpretação dos resultados de ACP atrau o nteresse dos partcpantes do mercado que necesstavam de ferramentas com essas característcas. A prmera motvação do presente estudo, portanto, é dentfcar os fatores que explcam a maor parte da varação da Estrutura a Termo de Taxa de Juros (ETTJ). Em complemento, será nvestgado o desempenho do modelo construído a partr destes fatores no gerencamento de rsco. Para tanto, numa prmera etapa, será aplcada a Metodologa de ACP em amostras de dos títulos de bastante lqudez, a saber: DI Futuro e SWAP DI x Pré. A aplcação de ACP produzrá varáves que são combnações lneares das orgnas. As varáves transformadas, que representam os componentes prncpas, são não-observáves, ou seja, não é possível sua medção dreta no mercado. Apesar desta restrção, será possível nterpretá-los de manera que possam ser aprovetadas no gerencamento de rsco. É mportante ressaltar, porém, que não será objeto do presente estudo a assocação dos fatores a varáves de mercado, perfetamente mensuráves, conforme proposto em Ltterman & Schenkman (99). Com base nos dados da prmera etapa, será calculado o VaR de uma cartera hpotétca composta por títulos com dferentes maturdades e posções. O resultado obtdo será, então, comparado ao método de cálculo de VaR mas consagrado: metodologa Analítca, conhecda como sstema RskMetrcs TM, desenvolvdo pelo JP Morgan. Duas meddas de volatldade serão empregadas ao aplcarmos a metodologa Analítca: o desvo-padrão hstórco e o método de alsamento exponencal (EWMA - Exponentally Weghted Movng Average). A comparação será feta através de um procedmento de backtestng cujos valores serão

17 4 analsados em função dos ntervalos estabelecdos pelo Teste de Proporção de Falhas de Kupec. As seções deste estudo estão assm organzadas: o segundo capítulo apresenta a revsão de lteratura, relatando, de forma resumda, os prncpas trabalhos relaconados ao assunto em questão. O detalhamento das metodologas utlzadas para o tratamento dos dados empírcos é contemplado no capítulo 3. Isto englobará não somente os concetos teórcos empregados como também uma explcação dos dados da amostra. A análse da aplcação de ACP e do cálculo de VaR é abordada no capítulo 4. Por fm, o capítulo 5 apresenta as conclusões do trabalho.

18 5 2. Revsão Bblográfca 2.. Análse da ETTJ através de modelos de múltplos fatores Modelos de decomposção em fatores são empregados em estudos empírcos de dversos ramos da cênca, tas como as Fnanças, a Bologa e a Pscologa. O nteresse mútuo é dentfcar padrões no comportamento de varáves. Na realdade, a análse de fatores é um conjunto de técncas, do qual a ACP faz parte, que procura tornar os dados observados de mas fácl nterpretação. Isto é possível através da análse de suas relações, de sorte que se possa reproduzlas em um conjunto menor de varáves. Por consegunte, o objetvo comum é obedecer ao prncípo básco da parcmôna. O trabalho de grande destaque para aplcações em nstrumentos de taxa de juros fo desenvolvdo por Ltterman & Schenkman (99). Bascamente, os autores dentfcam três fatores comuns que respondem por 98% da varabldade dos retornos de títulos norte-amercanos. A amostra consstu de títulos com cupom de dferentes maturdades. Os autores mostraram, porém, como aplcar a metodologa a nstrumentos mas complexos, bastando, para sso, transformá-los em funções dos títulos de cupom zero. A nterpretação dos resultados ndcou que os fatores são responsáves por movmentos no nível, na nclnação e na curvatura da curva de juros. A maor parte da explcação, mas precsamente 89,5%, é atrbuída ao fator nível, o que podera levar à errônea conclusão de que proteger a cartera somente pela duraton sera sufcente. Neste contexto, os autores apresentam exemplos prátcos que comprovam a nefcáca da estratéga de duraton hedge em comparação com o hedge realzado a partr dos três fatores.

19 6 A mesma técnca fo utlzada por Knez, Ltterman & Schekman (994) para examnar taxas de juros de curto prazo para nstrumentos fnanceros mas complexos. Neste estudo, porém, os autores determnaram que seram necessáros quatro fatores para explcar de forma consstente a varação no retorno das carteras utlzadas. A dferença em relação ao estudo anteror é atrbuída à varedade e complexdade dos títulos utlzados (Notas do Tesouro, commercal papers, repurchase agreements, entre outros). Da mesma forma que no artgo anteror, o o. e 2o. fatores correspondem às mudanças de nível e nclnação da curva de juros. O 3o. fator, por sua vez, explca mudanças unformes das taxas dos nstrumentos prvados em relação aos títulos emtdos pelo tesouro amercano capturando, desta forma, uma parcela do rsco de crédto. O 4o. fator está relaconado aos movmentos relatvos entre os commercal papers e os demas títulos prvados. A conclusão é de que a nclusão de títulos de dferente natureza adcona novos rscos (como o de crédto, por exemplo), tornando necessára a reavalação da quantdade de fatores explcatvos. Ambos os trabalhos anterormente ctados utlzaram o excesso de retorno como base para o cálculo dos fatores. O excesso de retorno pode ser defndo como a dferença entre o retorno do título e o taxa de operações compromssadas (overnght repo rate). Já o artgo de Barber e Copper (996) apresentou trabalho de conteúdo semelhante; porém, a metodologa de tratamento da amostra fo dferente. A aplcação de componentes prncpas fo realzada sobre a varação dára das taxas de títulos do tesouro amercano. O prncpal objetvo dos autores era apresentar os benefícos de controlar o rsco de taxa de juros utlzando múltplos fatores. Dado que a correlação entre as mudanças nas taxas de juros não é perfeta para dferentes maturdades, estratégas que utlzam um únco fator não funconam em dversas crcunstâncas, como já afrmado anterormente. À medda que adconamos novos fatores, o poder explcatvo aumenta. Porém, há um aumento na complexdade da munzação, sendo mportante encontrar o equlíbro

20 7 entre complexdade e poder explcatvo para que a tarefa de munzação seja ágl e, ao mesmo tempo, efcente. No mercado braslero, há dos estudos recentes que também buscaram dentfcar fatores comuns à estrutura a termo de taxa de juros. Em ambos, porém, a metodologa de ACP não fo aplcada para o cálculo de VaR. Slvera & Bessada (2003) aplcaram a metodologa em contratos de DI Futuro e em taxas pré-fxadas mplíctas de Swaps. Os autores dentfcaram três fatores que explcam a maor parte da varabldade do movmento da curva de juros. Sua nterpretação fo dêntca a estudos anterores, correspondendo ao nível, à nclnação e à curvatura da ETTJ. Adconalmente, com o ntuto de explcar o formato da estrutura a termo, fo feta uma análse da conjuntura econômca da época à qual os dados se referam. Varga & Vall (200) também comprovaram que o comportamento da estrutura a termo braslera é muto semelhante ao amercano. Novamente utlzando taxas prefxadas mplíctas em Swaps, obtveram o perfl dos fatores e concluíram novamente que três componentes prncpas são sufcentes. Adconalmente, realzaram uma comparação entre a munzação por duraton em relação a que utlza o modelo de três fatores. A comparação fo feta utlzando uma cartera arbtrára com posções em títulos do tpo zero coupon venddas no curto prazo e compradas no longo prazo. O resultado obtdo reforça as vantagens da utlzação de ACP e sua utldade na prátca de gerênca de rsco. Blss (997) realzou um estudo para averguar a robustez da metodologa de ACP. Contando com um horzonte temporal grande, composto pelo retorno de títulos amercanos de renda fxa sem cupom de 970 até 975, calculou anualmente os parâmetros de ACP e observou que o poder explcatvo se manteve alto e aproxmadamente constante. Dvdndo a amostra em três períodos, o autor calculou os fatores e obteve nterpretação semelhante aos estudos anterores.

21 8 Blss, então, comparou estes resultados com dos modelos de retornos de renda varável bastante utlzados. O Captal Asset Prcng Model (CAPM) parte da premssa de que exste somente um fator comum, o rsco de mercado, que, segundo a concepção teórca orgnal, devera representar todos os atvos transaconáves. Porém, como não é possível obter tal medda, tradconalmente índces aconáros são utlzados em seu lugar. O CAPM tem baxo poder explcatvo, de no máxmo 60%, do retorno de ações ndvduas. O Arbtrage PrcngTheory (APT), por sua vez, emprega um método de análse multvarada. Estudos empírcos mostram, porém, que o número de fatores aumenta com a nclusão de novas ações nvablzando sua utlzação para fns de gerencamento de rsco. A causa da superordade dos modelos de renda fxa é a natureza das varações em taxas de juros, em grande parte atrbuída a componentes sstemátcos, em contraposção às varações específcas de ações e seus dervatvos. A aplcação da metodologa de componentes prncpas apresenta grandes vantagens quando analsamos somente um grupo de dados. Quando se trata de um conjunto de países, porém, o correto é proceder à análse segregada para que, então, seja possível compará-los. Uma adaptação de ACP para aprecação conjunta de dados pertencentes a dferentes grupos fo proposta ncalmente por Fengler, Hardle & Vlla (200) e é chamada de Common Prncpal Components (CPC). A premssa básca do modelo é a de que a sensbldade de varáves de grupos dstntos são as mesmas, podendo haver varações no poder explcatvo entre os grupos. Uma aplcação prátca de CPC fo feta por Scherer & Avellaneda (2000). Os autores do artgo utlzaram como amostra dados dos títulos da dívda de quatro países emergentes: Brasl, Argentna, Méxco e Venezuela. A amostra contemplou os retornos dáros de Brady Bonds negocados no período de Julho/994 até Dezembro/999.

22 9 O objetvo prncpal da pesqusa era verfcar a magntude da correlação entre os títulos dos países, preocupação fundamental de nvestdores e analstas fnanceros. Os resultados dentfcaram três componentes sgnfcatvos. O prmero componente representa a volatldade da regão como um todo e os coefcentes representam as mudanças nas taxas em resposta a choques globas que afetam toda a regão. O segundo componente prncpal, por sua vez, representa o descolamento dos títulos da Venezuela em relação aos demas. O tercero componente prncpal reflete a correlação entre os títulos dos países restantes. O solamento da Venezuela se deveu, bascamente, a três motvos: menor volume de títulos em crculação, menor PIB, quando comparado aos outros países consderados no estudo, e dependênca econômca do petróleo. Um ponto a ser destacado fo a preocupação dos autores em analsar a dnâmca dos componentes prncpas ao longo do tempo. Para tanto, realzaram uma seqüênca de testes utlzando janelas de 20 das. A constatação fo de que o prmero componente, que reflete o rsco regonal, teve volatldade sgnfcatva no período estudado. Esta volatldade pode estar assocada em grande parte aos eventos de mercado que afetaram de forma sgnfcatva a regão, como as crses do Méxco, da Ása, da Rússa e a desvalorzação do Real. A mportante contrbução do artgo, portanto, fo evdencar a dnâmca temporal dos componentes prncpas, sem a qual o rsco de mercado pode ser seramente subestmado. No que se refere a modelos de prevsão, Abad & Novales (2002) examnaram a habldade de extrapolação da curva de juros nerente ao ACP. Para tanto, compararam o desempenho de modelos fatoras e autoregressvos. Para surpresa dos autores, o modelo fatoral apresentou o menor erro. Isto ocorreu apesar da necessdade de geração de uma estmatva adconal: os erros são cumulatvos, uma vez que, em uma etapa prelmnar, são estmados os componentes prncpas para que, somente então, seja efetuado o cálculo das taxas futuras.

23 0 Nos artgos supractados, a aplcação da metodologa possu algumas dferenças mportantes cujas vantagens foram analsadas por Lardc, Praulet & Praulet (200). A partr de dados de cnco países (Bélgca, França, Alemanha, Itála e Reno Undo), o artgo procura responder a algumas dúvdas metodológcas específcas. Em prmero lugar, coloca-se a questão de qual varável deve ser utlzada como base para o modelo de ACP. Os autores baseam seus argumentos sob duas hpóteses: taxas de juros brutas ou dferenças entre taxas. Dado que a correlação dos níves de taxas de juros é sgnfcatva, a presença de uma tendênca na sére temporal das taxas brutas a torna não-estaconára. Por outro lado, suas prmeras dferenças são estaconáras, o que sugere a utlzação das dferenças entre taxas. Ltterman & Schenkman (99) propõem uma 3ª alternatva: o excesso de retorno em relação a uma taxa referencal. Outro ponto mportante é a escolha entre a matrz de varânca-covarânca ou a de correlação. Segundo os autores, a utlzação da prmera ntroduz um vés, uma vez que os componentes prncpas são construídos de forma a refletr o movmento conjunto das taxas sem consderar as volatldades. Os dados ndcam que a utlzação da segunda opção dmnu as nfluêncas de taxas de curto prazo no prmero componente, aumentando o poder explcatvo dos demas fatores. Quando as varáves estão normalzadas, porém, as duas matrzes são dêntcas, o que será o caso do estudo empírco que será mplementado neste estudo. Fnalmente, a seleção de uma freqüênca ótma para a amostra de dados é debatda. A recomendação é de que a amostra seja composta de dados dáros. A méda da varânca dos dados não é nfluencada pela freqüênca; porém, o desvopadrão dmnu quando utlzamos dados dáros.

24 2.2. Valor em Rsco (VaR) Defnção Um dos mas mportantes desafos das nsttuções fnanceras consste em medr e avalar a exposção de suas carteras aos rscos de mercado. Órgãos reguladores de dversos países passaram a exgr a adoção de prátcas desse tpo com o objetvo de evtar crses sstêmcas no setor bancáro e salvaguardar os depóstos dos nvestdores. A metodologa mas comum para estmatvas de rsco de mercado é o VaR. Permte a consoldação dos rscos de mercado em um únco valor, o que faclta a exposção para aconstas e nvestdores. O VaR é defndo como a perda máxma esperada no valor de um título ou cartera, dentro de um ntervalo de confança e período especfcados. É o valor monetáro da maor perda que uma determnada cartera pode sofrer como resultado de um movmento adverso nos preços de mercado dos atvos que a compõem, num dado ntervalo de tempo, com determnado grau de confança. O Acordo da Basléa de 988 defnu uma sére de regras que regem as nsttuções fnanceras. Exgu-se, entre outras cosas, a consttução de uma reserva de captal, calculada pela ponderação do rsco dos nstrumentos que compõem a cartera de cada nsttução. Em Janero de 996, fo feta uma emenda sugerndo a adoção de duas prátcas para calcular a reserva de captal: padronzada e modelos nternos. A opção padronzada é a soma do VAR dos fatores de rsco ndvduas. Tendo em vsta que, devdo à correlação entre os fatores, o VAR da cartera pode ser menor do que a soma total, o Comtê da Basléa permtu a adoção de modelos nternos, crados pelas nsttuções fnanceras com o ntuto de elmnar essa defcênca. A opção pelos modelos nternos mplca na multplcação dos valores calculados por um fator (que pode ser de, no máxmo, 3) como proteção contra cenáros mas nstáves não captados pelos dados hstórcos.

25 2 A expansão da utlzação do VaR desencadeou a geração de dferentes metodologas, sendo que a mas conhecda fo crada pelo JP Morgan e é conhecda como Metodologa Analítca. Joron (997) classfca as abordagens báscas para medr o VaR em dos tpos: avalação local (ou local valuaton) e avalação plena (ou full valuaton). A avalação local tem como prncpal representante a Metodologa Analítca, que consdera somente o rsco lnear da expansão de Taylor (o delta ) e utlza a matrz de varânca-covarânca para o cálculo do VaR da cartera. O Comtê da Basléa recomenda que os sstemas nternos dos bancos utlzem uma aproxmação não-lnear, ncorporando fatores de rsco de ordem mas elevada (como o gamma ). A avalação local é mas aproprada para carteras em que as opções não são determnantes. Caso contráro, é necessáro aplcar a avalação plena, que é representada pela Smulação Hstórca, pelo Teste de Estresse e pela Smulação de Monte Carlo. É mportante que se leve em consderação o fato de que essa abordagem é mas trabalhosa em termos computaconas Crítcas aos Modelos de VaR tradconas Os estudos empírcos mostram que a aplcação de métodos dstntos pode resultar em estmatvas dferentes para o VaR. A escolha da melhor opção depende, em grande parte, das restrções mpostas pela exstênca de hpóteses smplfcadoras. A utlzação combnada de metodologas é uma prátca recomendada, pos, assm, é possível comparar o desempenho de cada uma delas. A Metodologa Analítca, por exemplo, assume a lneardade dos fatores de rsco e a dstrbução normal de seus retornos. A hpótese de lneardade mpõe restrções ao seu uso quando a cartera é composta por atvos não-lneares, como

26 3 opções. Neste caso, o resultado do VaR não é confável. Outro problema mportante é a exstênca de caudas grossas na dstrbução dos retornos que, em alguns casos, pode nvablzar a hpótese de normaldade. Um tercero ponto é o rsco de evento, que se refere a crcunstâncas ncomuns que afetam as varáves de mercado e não são capturados por dados hstórcos recentes. Todos os métodos que fazem uso de séres hstórcas estão sujetos a tal crítca. Khndanova & Rachev (2000) argumentam que este tpo de método reflete tão somente os rscos observados, não sendo útes em períodos de transção. Quanto ao Teste de Estresse, que faz parte da categora de avalação plena, a defcênca mas evdente é a subjetvdade nerente ao processo de cração de cenáros. Neste contexto, Marshall & Segel (996) documentaram a exstênca deste rsco de mplementação. Comparando sstemas de rsco que utlzam a mesma metodologa (Analítca) e os mesmos dados (base de dados da RskMetrcs), verfcou-se que os resultados se mostraram bastante sensíves a alterações nas premssas do modelo, confrmando, desta forma, a mportânca desta categora de rsco. Fnalmente, a Smulação de Monte Carlo, por ser mas trabalhosa em termos computaconas, pode não ser sufcentemente rápda para a tomada de decsões. Deve ser utlzada nos casos em que os outros métodos não são recomendados. Khndanova & Rachev (2000) consoldam outras lmtações de natureza prátca para o cálculo do VaR. Em prmero lugar, a hpótese de fxação da cartera durante o horzonte de tempo da análse, o que não acontece na prátca, traz problemas para a extrapolação do VaR. Ademas, a ndsponbldade de base de dados de alguns títulos faz com que, freqüentemente, seja feta uma aproxmação utlzando títulos semelhantes, prejudcando a precsão da medda de rsco. Fnalmente, a escolha errada dentre os processos estocástcos dsponíves para valoração dos títulos é um rsco de modelo que deve ser consderado.

27 Recentes avanços da metodologa de VaR O controle do comportamento do preço do atvo em função de varáves de mercado fo, até recentemente, o prncpal foco de atenção de artgos relaconados ao tema. No entanto, o Acordo da Basléa, ao qual as nsttuções fnanceras têm que se adaptar, trata de rscos adconas, nclusve o de crédto e o operaconal. Portanto, a valoração do rsco agregado recebeu grande mpulso, especalmente com as mas recentes versões do acordo. Este fo foco do artgo de Barnhll & Gleason (2002), que descreve as prncpas melhoras que deveram ser levadas em consderação pelo Novo Acordo da Basléa. Os autores apontam que a prátca atual é avalar o rsco de crédto e de mercado separadamente quando, na prátca, são bastante correlaconados. Isto se traduz em estmatvas ncorretas do rsco total que, por consegunte, faz com que as nsttuções fnanceras se descaptalzem. Os resultados ndcam que o volume de captal exgdo é adequado para bancos de alto (ou baxo) rsco que operam em ambentes de alta (ou baxa) volatldade. Porém, quando a relação de volatldade se nverte, os mesmos bancos são sgnfcatvamente descaptalzados. Propõe-se um modelo alternatvo de smulação que, a partr de dados de volatldade e correlação das prncpas varáves econômcas, gera as projeções de exgênca de captal. O modelo se apóa em dados hstórcos para sua execução, restrção semelhante a que é feta à Metodologa Hstórca de VaR, que parte da premssa de que retornos passados se refletem no futuro. Olvera (200) tratou especfcamente do rsco de crédto que deve ser consderado no preço de SWAPs de Pré X CDI e Dólar X CDI. O autor ressalta a complexdade de obtenção dos valores quando o dervatvo permte alternâncas entre as posções credora e devedora. Tendo como base o rsco de crédto de opções, em que o detentor mantém uma únca posção até o vencmento, o rsco de crédto do SWAP pode ser calculado como um somatóro de opções de nadmplênca da contraparte. Verfcou-se que, no momento da contratação da

28 5 operação, o valor é pequeno, podendo aumentar em função das osclações no fator de rsco. Apesar de as smulações terem sdo executadas com a suposção de que hava somente uma contraparte, a metodologa CredtMetrcs permte a elmnação desta restrção. Os avanços recentes nas metodologas de VaR se concentraram tanto na revsão das hpóteses smplfcadoras quanto na melhora do método propramente dto, na qual se enquadram as dversas possbldades de meddas de volatldade. Lemgruber & Ohanan (200), por exemplo, analsam em que grau a metodologa EWMA é adequada para o cálculo de VaR. O objetvo é verfcar até que ponto a hpótese de normaldade da dstrbução dos retornos dos atvos nterfere em seu desempenho. Utlzando dados relatvos às taxas de juros nterbancáras, de cupom cambal e de câmbo, os resultados mostraram que os modelos funconam adequadamente até um nível de sgnfcânca de 5%. Desempenhos runs são obtdos quando este patamar é mas estreto, cuja causa provável é a exstênca de excessva curtose nos dados de entrada, que aumenta a probabldade de eventos extremos em detrmentos dos ntermedáros. Neste contexto, a Teora de Valores Extremos (TVE) é uma alternatva recomendada para estmar o rsco assocado aos altos quants da dstrbução dos retornos. Segundo Mendes (200), nformações a respeto de retornos extremos podem ser extraídas a partr do própro processo gerador. Em outras palavras, apesar de sua ocorrênca ser ocasonal, o que, em prncípo, sugerra a nexstênca de correlação temporal da dstrbução, é possível estmar eventos extremos através do hstórco de retornos. Barcnsk et al (200) questonam a superordade dos métodos da famíla GARCH para estmatvas de volatldade condconal dos retornos. Segundo os autores, o efeto assmetra, termo que descreve o mpacto dferencado de choques postvos e negatvos, não sera bem capturado através do emprego do método. Dos modelos menos restrtvos que, teorcamente se ajustam melhor a

29 6 este efeto, o GJR e o GARCH Exponencal são testados e comparados ao modelo GARCH (,) através de uma base de dados composta por ações de alta lqudez negocadas na Bovespa. A smulação com dados hstórcos ndcou que o desempenho dos modelos fo semelhante, haja vsta que a perda efetva superou o VaR nos mesmos das útes. Os autores ressaltam, porém, que é precptado afrmar que as melhoras não justfcam a adoção de novos modelos porque, em algumas atvdades, até mesmo reduzdas melhoras na estmatva de volatldade podem ter grande efeto no resultado fnal. Donangelo & al (200) averguam o desempenho dos estmadores de volatldade em condções de mercado estáves e de crse. Além das metodologas EWMA e hstórca, a volatldade mplícta em opções fo analsada. O últmo método possu a vantagem de representar a expectatva futura dos agentes fnanceros em relação ao atvo-objeto. A amostra, que conssta de ações preferencas e opções da Telebrás, fo dvdda em três sub-períodos. Para as ações, as três metodologas se mostraram satsfatóras em face do Teste de Proporção de Falhas de Kupec. Porém, no caso das opções, as metodologas falharam nos dos sub-períodos de crse, comprovando a dfculdade de aplcação do VaR para atvos não-lneares no mercado braslero. A pequena dstnção nos resultados, portanto, não mostrou evdêncas da superordade de nenhuma das estmatvas de volatldade. A ressalva dos própros autores é de que um aumento do tamanho da amostra podera prover outras conclusões. O artgo de Khndanova & Rachev (2000) destaca que as meddas atuas não fornecem uma avalação satsfatóra das possíves perdas. Város estudos foram fetos no sentdo de aprmorar as metodologas exstentes. Os autores detalham os mas recentes avanços que, em síntese, aperfeçoaram as hpóteses smplfcadoras das metodologas mas conhecdas. A ncorporação de Componentes Prncpas aos cálculos de VAR fo estudada por alguns acadêmcos e profssonas do mercado fnancero. Frye (997) propõe uma metodologa que smula dversos cenáros, também denomnada Teste de

30 7 Estresse, que afetam o valor dos componentes prncpas. O VAR é a maor perda nos dversos cenáros. A smplfcação é que a dstrbução é suposta normal e a metodologa não é aplcável nos casos em que a função lucro/prejuízo da cartera tem pontos de mínmo nterores. Engelbretch (2003), por sua vez, compara os métodos de VAR para carteras compostas por SWAPs e FRAs. A conclusão é de que a Smulação Hstórca tem o por desempenho. Os resultados melhoram com a aplcação da Smulação de Monte Carlo com decomposção de Cholesky. Porém, a utlzação de componentes prncpas alada à Smulação de Monte Carlo é apontada como uma promssora alternatva. O fato de os códgos de programação serem mas smples é um elemento adconal a ser consderado dado que o gerencamento de rsco é dnâmco exgndo, desta forma, precsão e rapdez por parte dos sstemas de mplementação. Loretan (997) fez estudo semelhante e apontou as stuações em que a metodologa de geração de cenáros de rsco é mas adequada. O autor argumenta que a ACP é aplcável na detecção de fatores de rsco que são funções lneares dos dados. Quando tratamos de produtos com característcas de opção, o cálculo de VAR não deve ser feto através de cenáros utlzando ACP. É mportante salentar que os resultados poderam ser melhorados com o aumento no número de fatores. Em contrapartda, a complexdade e a velocdade de resposta aumentaram. É tarefa do analsta decdr o número ótmo de fatores que torne a análse de rsco precsa e, ao mesmo tempo, ágl. Manoj Sngh (997), por sua vez, apresenta uma metodologa que utlza a smulação de Monte Carlo em conjunto com a metodologa de ACP. O estudo fo aplcado em carteras compostas por títulos do Tesouro amercano e opções cambas. Baseado em trabalhos anterores, o autor parte da premssa de que três fatores são sufcentes para representar o movmento da ETTJ e, a partr dos

31 8 mesmos, é possível obter uma boa estmatva do valor em rsco. O prmero componente prncpal fo modfcado para que refletsse a defnção exata de movmentos paralelos da curva de juros. De acordo com o artgo, uma boa estmatva é o cálculo da méda das varações dáras das taxas para todos os vencmentos. A ACP, portanto, será aplcada sobre a sére temporal em relação a essa méda, de onde são extraídos os dos componentes restantes. É mportante ressaltar, porém, que os novos componentes prncpas não são mas ortogonas, já que exste correlação entre o º. fator e os demas, cujo efeto deve ser levado em consderação na modelagem. Basta, enfm, aplcar a Smulação de Monte Carlo para gerar números aleatóros com dstrbução normal para smular a mudança de valor nos três componentes.

32 9 3. Metodologa 3.. Amostra Com o ntuto de averguar, fo organzada uma sére hstórca da curva de juros utlzando dos dervatvos de alta lqudez no mercado: DI Futuro e SWAP DI x Pré. Ambos são coletados e dsponblzados pela Bolsa de Mercadoras e Futuros (BM&F). A amostra de DI Futuro nca-se em 02/0/2002 e termna em 7/2/2004, totalzando 740 observações com nove (9) vértces, ou prazos para o vencmento, que estão relaconados na Tabela. Tabela Relação de vértces para os contratos de DI Futuro que servram de base para a nterpolação por Cubc Splne. Vencmento (das útes) A amostra de SWAP DI x Pré nca-se em 02/0/2002 e termna em 7/2/2004, totalzando 740 observações com doze (2) vértces, ou prazos para o vencmento, que estão relaconados na Tabela 2. Tabela 2 Relação de vértces para os contratos de SWAP DIxPré que servram de base para a nterpolação por Cubc Splne. Vencmento (das corrdos) A escolha dos vértces obedeceu a crtéros de lqudez. Incalmente, verfcou-se que vnte (20) contratos correspondam ao percentl 5% da dstrbução do volume de negócos de cada dervatvo. Utlzando este crtéro, foram excluídas da amostra as observações cujo volume de negócos era menor do que o valor

33 20 acma estabelecdo. Da amostra resultante, o passo segunte fo a dentfcação dos vértces de maor lqudez, cujo resultado é apresentado nas tabelas e 2. A ressalva é que o vencmento dos contratos era varável, tornando necessára a nterpolação dos dados, o que fo feto através da técnca de Cubc Splne, detalhada na seção 3.2. As possíves mplcações da nterpolação são relatadas na seção 4.3. Na seqüênca, estão descrtas as prncpas característcas dos dervatvos que compõem a amostra DI Futuro DI Futuro é um dervatvo cujo objeto de negocação é a taxa de juros efetva até o vencmento do contrato, defnda pela BM&F como a acumulação das taxas dáras de DI no período compreenddo entre a data de negocação, nclusve, e o últmo da de negocação, nclusve. O ajuste é feto daramente com base em preço defndo pela Bolsa até o valor de , na data de vencmento SWAP DI x Pré São acordos frmados entre duas partes nos quas está prevsta uma troca de fluxos de caxa no futuro. O SWAP DI x Pré é um mecansmo de troca de modaldades de taxas de juros em que um fluxo de caxa flutuante se transforma em fxo e vce-versa. A BM&F nforma, através do Boletm Dáro, nformações dos contratos negocados. No caso do SWAP DI x Pré, a Taxa Méda de SWAP é dsponblzada. A obtenção desta taxa segue alguns passos, descrtos na seqüênca. Para maores detalhes, ver especfcação do Contrato Futuro de Taxa Méda de Depóstos Interfnanceros de Um Da dsponível no ste da BM&F (

34 2 Em prmero lugar, as prncpas nsttuções fnanceras fornecem as taxas de bd e ask por prazo negocado. De posse destas nformações, a BM&F calcula a méda entre bd e ask para cada prazo, exclundo da amostra as taxas médas máxma e mínma de cada prazo. Fnalmente, calcula-se a méda smples dos dados restantes da amostra, obtendo, assm, o valor fnal da Taxa Méda de SWAP Interpolação por cubc splne Para obter a estrutura a termo para os prazos defndos no trabalho, fo necessáro nterpolar as taxas de juros para os prazos em que não hava títulos dsponíves, não houve negocação ou a lqudez era muto pequena. A nterpolação lnear é o método mas utlzado entre os pratcantes do mercado braslero. Bascamente, é uma lnha que se ajusta a dos pontos e é dada pela fórmula abaxo: b x x a y = f ( a) + f ( b), onde f(a) e f(b) são os valores da função a ser b a b a nterpolada em x=a e x=b respectvamente. Observando a fgura, podemos ver que o erro da nterpolação depende da segunda dervada da função orgnal (f(x)).

35 22 Fgura Representação da nterpolação lnear de uma função f(x) entre dos pontos a e b por ntermédo de uma função lnear g(x). Portanto, há casos em que a nterpolação lnear pode não ser uma boa aproxmação. A nterpolação por cubc splne, ou c-splne, fo escolhda para a execução do trabalho por adconar um polnômo de 3º. Grau, o que melhora a aproxmação da função nterpoladora à função orgnal y = a ( x x ) + b ( x x ) + c ( x x ) + d () Fazendo com que a segunda dervada vare lnearmente entre um valor y t e y t+, chegamos à segunte expressão: 2 A nterpolação por splne cúbco é dferente da proposta Rskmetrcs. O Mapeamento Rskmetrcs Tradconal propunha a nterpolação lnear enquanto que versões mas recentes sugerem alguns aprmoramentos deste método.

36 23 ' ' ' = y D Cy y B y A y, onde x x h h B B D h A A C A B h x x A = = = = = , ) ( 6 ) ( 6,, (2) Com base na equação, é possível calcular o valor de y para qualquer valor de x. Porém, é necessáro obtermos antes os valores da segunda dervada de y, o que é possível mpondo que a prmera dervada seja contínua. Desta forma, chegamos à segunte fórmula para o c-splne: '' 6 '' 3 '' = = h y y h y y y h y h h y h (3) Impõem-se algumas restrções para resolver o sstema de equações lneares. No presente estudo, aplcaremos o c-splne natural, que é obtdo fazendo y e y n guas a zero. Além dsso, cada valor y depende apenas de seus vznhos ±. Com sso, podemos calcular y e substtuí-lo na equação para obter o valor de y. Gyorgy Varga (2000) testou ambos os métodos para a estrutura a termo braslera e verfcou a superordade do c-splne, assm denomnado a partr de agora. Fo elaborado um programa em Vsual Basc para realzar a nterpolação de acordo com as premssas estabelecdas pela metodologa e para os vértces nformados nas Tabelas e 2.