INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS ELÉTRICOS. Principais elementos de circuito e suas equações descritivas
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- Milton Campos Neiva
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1 Capítulo 2 INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS ELÉTRICOS Nesta aula serão apresentados os modelos que descrevem os principais componentes dos circuitos elétricos e os conceitos a eles associados, bem como as leis fundamentais que governam tais circuitos. Na parte final, estudos de casos são apresentados a fim de ilustrar a aplicação dos conceitos e leis. Leis básicas de circuitos elétricos O funcionamento de qualquer circuito elétrico pode ser analisado aplicando-se dois tipos de equações: Equações descritivas: que descrevem o comportamento individual dos elementos de circuito; Leis de Kirchhoff: que descrevem as relações entre os elementos de circuito. As equações de ambos os tipos são normalmente escritas em termos das variáveis tensão e corrente, sendo que as equações descritivas expressas desse modo são conhecidas como características v-i. Cada componente de um circuito elétrico possui uma característica v-i que o identifica plenamente. Note que essa característica corresponde a um modelo abstrato do componente físico real, cujo funcionamento pode ser bem complicado. Freqüentemente, a característica é expressa por meio de um gráfico e, nesse caso, recebe o nome de curva característica. Principais elementos de circuito e suas equações descritivas Os elementos de circuito têm, em geral, a forma de bipolos, ou seja, são dispositivos que apresentam dois terminais. Nesse caso, as características v-i de um bipolo referem-se à tensão entre seus terminais e à corrente que o atravessa, como ilustra a figura abaixo. Copyright_2001_ALMorelatoFranca. 16
2 Dependendo da profundidade da análise que se deseja fazer, os bipolos podem ser representados por equações descritivas mais simples ou mais detalhadas. No que se segue, os principais bipolos serão descritos através de modelos aproximados, porém suficientes para retratar a essência de seu comportamento elétrico. Fonte de tensão As fontes de tensão têm curvas características como as mostradas na figura abaixo. Uma fonte ideal mantém constante sua tensão independentemente do valor da corrente fornecida. Uma fonte real, porém, sempre apresentam uma diminuição da tensão à medida que a corrente fornecida cresce. Uma fonte real pode ser representada pelo modelo expresso pela equação descritiva E o - ri, onde r representa uma resistência interna (suposta constante na figura) responsável pela queda da tensão da fonte proporcional à corrente fornecida, dando origem à curva característica mostrada na figura. O nível da queda de tensão em função da corrente de uma fonte pode ser quantificada através de um parâmetro chamado regulação de tensão, definido como: Portanto, a regulação indica a variação porcentual da tensão da fonte, desde a situação a vazio (sem carga) até a situação de plena carga, em relação à condição de plena carga. Se a variação é pequena, diz-se que a fonte tem uma boa regulação. Observe que uma fonte ideal tem regulação nula. Os símbolos normalmente utilizados para representar as fontes de tensão nos circuitos são: Copyright_2001_ALMorelatoFranca. 17
3 Fonte de corrente Uma fonte de corrente é uma fonte que fornece um valor constante de corrente independentemente do nível de tensão entre seus terminais. Sua curva característica e o símbolo utilizado para representá-la nos circuitos são mostrados em seguida. Resistor e lei de Ohm A equação descritiva dos resistores lineares é a conhecida lei de Ohm: Em um condutor, a razão entre a tensão aplicada e a corrente que circula é uma constante, chamada resistência elétrica : A lei de Ohm foi descoberta experimentalmente pelo físico alemão George S. Ohm em 1826, embora a história registre que o químico inglês Henry Cavendish descobriu (mas não divulgou!) a mesma lei por volta de Em homenagem a George Ohm a unidade de resistência é chamada de ohm (símbolo ). Portanto 1 ohm é a resistência oferecida à passagem de uma corrente de 1 ampere produzida por uma tensão de 1 volt. Todo componente de um circuito elétrico que obedece à lei de Ohm é chamado de resistor ôhmico ou resistor linear, pois sua curva característica v-i é uma reta. Entretanto, existem resistores que não são ôhmicos, por exemplo as lâmpadas comuns incandescentes, cuja curva característica v-i é não-linear:, em que varia entre 1,7 e 1,9. A figura abaixo mostra o símbolo normalmente usado para representar resistores ôhmicos, bem como as curvas características de um resistor ôhmico e de uma lâmpada incandescente. Observe que a resistência é dada pela tangente à curva e, no caso da lâmpada, a resistência vai aumentando à medida que a tensão de alimentação vai crescendo até atingir o valor nominal, devido ao aumento da temperatura no filamento. Copyright_2001_ALMorelatoFranca. 18
4 Para complementar, observe na figura em seguida a curva característica de uma lâmpada incandescente de 127 V, 60 W obtida experimentalmente em laboratório. A propósito, por que as lâmpadas incandescentes quase sempre costumam queimar no instante em que se liga o interruptor para acendê-las? Pense nisso. Indutor e lei de Faraday Todo dispositivo que produz um fluxo magnético a partir de uma corrente elétrica é chamado de indutor, como ilustra a figura abaixo. Freqüentemente, utilizam-se núcleos de material ferromagnético para aumentar a magnitude e a densidade do fluxo. Copyright_2001_ALMorelatoFranca. 19
5 Um indutor é linear se o fluxo magnético é diretamente proporcional à corrente, ou seja weber. A constante de proporcionalidade L é chamada indutância, cuja unidade é denominada henry (símbolo H) em homenagem ao físico americano Joseph Henry ( ). A figura em seguida mostra o símbolo usado para representar um indutor nos circuitos elétricos e a curva característica também chamados bobinas ou enrolamentos. de um indutor linear. Os indutores são Para expressar a equação descritiva de um indutor linear em termos das variáveis tensão e corrente é necessário aplicar a lei de Faraday. Essa lei foi descoberta experimentalmente pelo físico inglês Michael Faraday, em 1831, e pode ser enunciada simplificadamente como segue: Todo condutor atravessado pelas linhas de força de um campo magnético variável sofre a indução de uma tensão proporcional à variação do fluxo que o enlaça. O significado da lei de Faraday pode ser compreendido com a ajuda da experiência ilustrada na figura abaixo. Observe que, quando o imã vai se aproximando da bobina, as linhas de força do campo magnético vão cortando cada vez mais as espiras condutoras (fluxo variável), gerando uma tensão nos terminais da bobina. Fechando-se o circuito com um amperímetro, este indicará uma corrente fluindo. O importante é a variação do fluxo que enlaça o condutor. Como não há contato direto entre o imã e a bobina, diz-se que a tensão é induzida e daí vem o nome lei de indução de Faraday. Como será percebido ao longo deste curso, essa lei é Copyright_2001_ALMorelatoFranca. 20
6 essencial para se compreender como funcionam os geradores, transformadores e motores elétricos, não constituindo exagero afirmar que, sem a lei de Faraday, seria impossível utilizar energia elétrica como fazemos nos dias de hoje. Usando-se o conceito de derivada, a lei de Faraday pode ser expressa por: em que representa o fluxo magnético que enlaça todas as espiras da bobina. Combinando-se a lei de Faraday com a equação equação descritiva de um indutor linear:, sendo L constante, chega-se à Capacitor Todo dispositivo que armazena carga elétrica de forma condensada é chamado de capacitor, como está ilustrado na figura abaixo. Os capacitores também podem ser chamados condensadores, nome que, embora apropriado, está fora de moda. Um capacitor é linear se a carga elétrica armazenada é diretamente proporcional à tensão em seus terminais, ou seja q = Cv coulomb. A constante de proporcionalidade C é chamada capacitância, cuja unidade é denominada farad (símbolo F) em homenagem ao físico inglês Michael Faraday ( ). A ordem de grandeza das capacitâncias normalmente encontradas na prática é microfarad, ou seja,. A figura abaixo mostra o símbolo usado para representar um capacitor nos circuitos elétricos e a curva característica q-v de um capacitor linear. Copyright_2001_ALMorelatoFranca. 21
7 A equação descritiva de um capacitor em termos de tensão e corrente pode obtida derivando-se a equação q=cv em relação ao tempo: Lembrando que dq/dt corresponde à corrente no capacitor, tem-se a equação descritiva de um capacitor linear: Diodo e tiristor Nem todos os componentes de um circuito elétrico podem ser representados por modelos lineares. É o caso de diodos e tiristores, que são elementos de circuito construídos com material semicondutor e apresentam uma característica v-i essencialmente não-linear. Diodos e tiristores são dispositivos essenciais para a construção de retificadores (convertem tensão alternada em contínua) e inversores (convertem tensão contínua em alternada), que têm grande utilização em carregadores de baterias (automóvel, celular, calculadora), galvanoplastia (banhos eletroquímicos), equipamentos no-break, controle de velocidade em motores elétricos e transmissão de energia a longa distância em corrente contínua. Diodo é um dispositivo que pode ser modelado como uma chave ideal que abre ou fecha dependendo da tensão aplicada em seus terminais, conforme ilustra a figura abaixo. Copyright_2001_ALMorelatoFranca. 22
8 Esse comportamento pode ser entendido observando-se a sua curva característica v-i: se uma tensão V AC positiva é aplicada entre o anodo (A) e o catodo (C) diz-se que o diodo está em estado de condução, podendo ser representado por uma chave fechada ideal, desprezando-se a pequena queda de tensão entre seus terminais; quando a tensão V AC for negativa o diodo entra em estado de bloqueio, ou seja, não circula corrente e o modelo corresponde a uma chave aberta. A tensão negativa (reversa) não pode ser exageradamente grande, pois provocará a ruptura do material semicondutor (avalanche). Tiristor é um dispositivo semicondutor com três terminais. Além dos terminais anodo e catodo, os tiristores possuem um terceiro terminal chamado gatilho (G), cuja finalidade é permitir o controle de seu funcionamento através da aplicação externa de um pulso de tensão, conforme ilustrado na figura abaixo. A curva característica típica de um tiristor indica que este somente entrará em estado de condução se duas condições forem obedecidas: existir uma tensão V AC positiva (não muito grande) entre seus terminais e for aplicado um pulso de tensão no gatilho. Nesse caso, o tiristor pode ser modelado por uma chave fechada ideal, desprezando-se a queda de tensão. Para um tiristor entrar em estado de bloqueio (representado por uma chave aberta) duas outras condições são necessárias: a tensão V AC deve ser negativa e a corrente de condução (que passa no tiristor) deve ser pequena (menor que um valor mínimo especificado pelo fabricante). Existem ainda tiristores (tipo GTO) que, estando conduzindo, podem ser bloqueados por meio de um outro pulso externo no gatilho, permitindo assim maior controle na operação. Leis de Kirchhoff Além das equações que descrevem cada componente, para se resolver um circuito elétrico é necessário dispor de equações que relacionem os vários componentes entre si, ou seja, que descrevam a topologia do circuito. Isso é feito através das leis de Kirchhoff, enunciadas pelo físico de origem russa Gustav Kirchhoff em As leis de Kirchhoff são extremamente gerais, valendo para qualquer tipo de circuito desde que seus componentes possam ser representados por bipolos com parâmetros concentrados, quer dizer, resistências, indutâncias ou capacitâncias não são distribuídas ao longo do Copyright_2001_ALMorelatoFranca. 23
9 componente como acontece em linhas de transmissão. Antes de enunciar as leis é conveniente estabelecer as seguintes definições: bipolo: elemento de circuito com dois terminais. nó: ponto de conexão de dois ou mais bipolos. malha: caminho fechado que parte de um nó e retorna a ele próprio, sem passar mais de uma vez pelo mesmo nó. Lei dos Nós (1a. lei de Kirchhoff) : Em qualquer nó a soma algébrica das correntes é zero. Por convenção, considera-se como positiva uma corrente entrando em um nó e negativa quando saindo. Lei das Malhas (2a. lei de Kirchhoff) : Em qualquer malha a soma algébrica das tensões é zero. Para estabelecer o sinal de uma tensão costuma-se usar a seguinte convenção: (a) atribui-se a cada bipolo uma polaridade arbitrária; (b) a cada malha associa-se um sentido de percurso arbitrário; (c) o sinal da tensão no bipolo é positivo se o sentido de percurso sair pelo terminal positivo do bipolo e negativo se sair pelo terminal negativo. O exemplo abaixo ilustra a aplicação da lei das malhas. No circuito da figura existem três malhas, resultando nas seguintes equações: Copyright_2001_ALMorelatoFranca. 24
10 Observe que a equação da malha III é a soma das equações das malhas I e II, não sendo, portanto independente. Pode-se mostrar que em um circuito com b bipolos e n nós existem b-n+1 equações independentes envolvendo tensões. Associação em série e paralelo Dois bipolos estão em série quando são atravessados pela mesma corrente e estão em paralelo quando seus terminais apresentarem a mesma tensão. Como conseqüência direta das leis de Kirchhoff e das respectivas equações descritivas, as associações em série e paralelo de resistores, indutores e capacitores obedecem às relações que se seguem: Resistores: Indutores: Capacitores: Copyright_2001_ALMorelatoFranca. 25
11 A propósito, existem outras maneiras de conectar bipolos que não sejam em série ou paralelo? Pense nisso. Estudo de caso: fonte contínua com carga resistiva Considere a situação mostrada na figura abaixo, na qual uma fonte de energia elétrica (turbina+gerador) alimenta duas cargas (aquecedor e forno), ligadas em paralelo, através de uma linha de transmissão curta: Imagine que o gerador é um dínamo, ou seja, fornece uma tensão contínua de 220 V. Deseja-se então obter: (a) A corrente fornecida pelo gerador e as correntes entregues ao aquecedor e forno; (b) As tensões no aquecedor e forno; (c) A queda de tensão na linha; (d) A potência instantânea fornecida pelo gerador. Esse problema pode ser resolvido através do circuito equivalente (modelo abstrato) mostrado na figura abaixo, no qual o gerador é representado como uma fonte ideal de tensão, enquanto que aquecedor, forno e linha de transmissao são representados como resistores ôhmicos. A fonte enxerga um resistor equivalente cuja resistência é dada por: Copyright_2001_ALMorelatoFranca. 26
12 Portanto a corrente fornecida pelo gerador é dada pela lei de Ohm: A queda de tensão na linha de transmissão é obtida, fazendo: Desse modo, as tensões no aquecedor e forno são: E as correntes entregues ao aquecedor e forno ficam: Finalmente, a potência instantânea fornecida pelo gerador é dada por: Observe que a potência instantânea é constante, como mostra a figura abaixo, pois somente tensões e correntes contínuas estão envolvidas. Estudo de caso: fonte alternada senoidal com carga resistiva Considere agora o mesmo problema anterior com uma única modificação: o dínamo foi substituído por um alternador, ou seja, um gerador de tensão alternada senoidal expressa Copyright_2001_ALMorelatoFranca. 27
13 pela equação figura abaixo: V. O circuito equivalente do problema é mostrado na Do mesmo modo, o alternador enxerga um resistor equivalente de 2,2 fornecida por ele será: e a corrente Note que a tensão e a corrente do alternador estão em fase, ou seja, não existe diferença de fase entre as formas de onda senoidais. A queda de tensão na linha de transmissão é: Pela lei das malhas, as tensões no aquecedor e forno são: E as correntes entregues ao aquecedor e forno ficam: Com a potência instantânea fornecida pelo gerador acontece agora algo interessante: Lembrando que expressa por:, a potência instantânea pode ser Copyright_2001_ALMorelatoFranca. 28
14 cujo gráfico está mostrado na figura que se segue. Note que a potência fornecida não é mais constante, mas sim pulsante, com o dobro da freqüência da tensão do alternador e apresentando valor médio em um período igual a W. A propósito, o que os dois casos apresentados têm em comum? E o que eles têm de diferente? Pense nisso. Estudo de caso: fonte alternada senoidal com carga indutiva Considere um gerador de tensão alternada senoidal (alternador) alimentando um forno de indução existente em uma instalação industrial através de uma linha de transmissão, conforme ilustrado na figura abaixo. O problema é obter a corrente e a potência instantânea fornecidas pelo gerador. Fornos de indução são equipamentos usados na purificação de ligas metálicas e podem ser modelados simplificadamente por um resistor em série com um indutor. Associando-se as resistências da linha e do forno, a instalação pode ser representada pelo circuito equivalente mostrado abaixo, assumindo resistor e indutor lineares. Copyright_2001_ALMorelatoFranca. 29
15 Considerando o alternador como uma fonte ideal de tensão descrita por V e aplicando a 2a. lei de Kirchhoff no circuito, obtém-se: Lembrando da equação descritiva de resistores e de indutores lineares, pode-se escrever a seguinte equação diferencial: Como se vê, a obtenção da corrente fornecida pelo alternador, i(t), corresponde à solução de uma equação diferencial linear de 1a. ordem com entrada forçada senoidal. Isso vai sempre acontecer quando existirem indutores ou capacitores no circuito, pois as suas equações descritivas envolvem derivadas. A propósito, quando estava fazendo os cursos de Cálculo você imaginava que um dia iria usar aquilo? Pois é. Como se está somente interessado no comportamento do circuito em regime permanente, deve-se obter uma solução particular para a equação diferencial, ignorando-se a solução da equação homogênea, que descreve o comportamento transitório suposto já transcorrido. Como se sabe, a solução particular correspondente a uma entrada senoidal que tem a forma geral: Essa forma pode sempre ser expressa de forma equivalente como: desde que Copyright_2001_ALMorelatoFranca. 30
16 A solução obtida permite concluir que a corrente tem a mesma forma de onda senoidal e a mesma freqüência apresentadas pela fonte, porém está defasada de um ângulo em relação à tensão da fonte. A figura abaixo ilustra o fato. Esse comportamento sempre ocorrerá quando existirem indutores ou capacitores no circuito devido às respectivas equações descritivas. A propósito, qual das duas formas de onda, tensão ou corrente, está na frente (adiantada) ou atrás (atrasada)? Pense nisso. Falta obter a amplitude I p e a fase da corrente. Isso pode ser feito substituindo-se a solução particular na equação diferencial e identificando os termos membro a membro, após utilização das identidades trigonométricas. e : Para se calcular a potência instantânea fornecida pelo alternador à carga, aplica-se a definição: Com ajuda das identidades trigonométricas, e instantânea em uma forma mais conveniente:, pode-se exprimir a potência Copyright_2001_ALMorelatoFranca. 31
17 cujo gráfico está mostrado na figura abaixo. Note que a potência fornecida é pulsante como no caso puramente resistivo, com o dobro da frequência da tensão do alternador. Mas o fato mais interessante é que, embora apresentando valor médio positivo em um período, a curva da potência tem uma parte negativa em alguns instantes! A origem desse estranho fenômeno é a defasagem entre tensão e corrente alternadas (reveja o estudo de caso com carga resistiva) e pode ser interpretado da seguinte maneira: convenciona-se associar o sinal positivo à potência fornecida por um alternador (a chamada convenção de gerador); portanto, se a potência é momentaneamente negativa, isso significa que o alternador está recebendo potência da carga nesse intervalo. Esse comportamento, que tem importantes implicações práticas, como se verá mais tarde. vai sempre acontecer quando existirem no circuito indutores ou capacitores, devido à sua propriedade de armazenar energia. Copyright_2001_ALMorelatoFranca. 32
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