Observações sobre Controle Hierárquico em Domínio não Cilíndrico

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1 Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Tecnologia Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Observações sobre Controle Hierárquico em Domínio não Cilíndrico por Luciano Cipriano da Silva sob orientação do Prof. Dr. Aldo Trajano Lourêdo Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática - CCT - UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Este trabalho contou com apoio financeiro da CAPES

2 Observações sobre Controle Hierárquico em Domínio não Cilíndrico por Luciano Cipriano da Silva Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática - CCT - UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de Concentração: Matemática Aprovada por: Prof. Dr. Luiz Adauto da Justa Medeiros-UFRJ Prof. Dr. Manuel Antolino Milla Miranda-UEPB Prof. Dr. Aldo Trajano Lourêdo-UEPB Orientador Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Tecnologia Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Fevereiro/13 ii

3 Dedicatória A minha mãe Lúcia e a minha noiva Joseane. iii

4 Agradecimentos Agradeço primeiramente a Deus. Agradeço ao professor doutor Aldo Trajano Lourêdo, por aceitar me orientar nesta dissertação. Agradeço aos professores doutores Luiz Adauto da Justa Medeiros e Manuel Antolino Milla Miranda por aceitarem paricipar da banca avaliadora desta dissertação. Agradeço aos meus colegas do mestrado, pelo companherismo nos estudos. Agradeço aos professores do mestrado, pela dedicação que sempre tiveram com o meu apredizado. Agradeço a CAPES pelo apoio finaceiro que foi fundamental para minha dedicação exclusiva ao mestrado. iv

5 Resumo Neste trabalho estudamos o controle hierárquico, para um sistema parabólico, em um domínio não cilíndrico. O controle hierárquico é um problema que consiste em aproximar, em um tempo fixado, as soluções das equações de estado que temos, (essas soluções dependem de funções chamadas controles), de um estado considerado ideal, através de um sistema de líder, que é o controle independente, e seguidores, que são os controles que dependem da ação do líder. Começamos fazendo uma transformação do problema original para um equivalente em domínio cilíndrico, então estudamos o controle hierárquico deste sistema. Usaremos a estratégia de Stackelberg-Nash, processo no qual, para cada escolha do líder, procuramos por seguidores que satisfaçam um certo problema de minimização, as soluções deste problema formam o que chamamos de Equilíbrio de Nash, resolvido esse problema, trabalhamos para provar que o sistema é aproximadamente controlável usando o líder. Resolvemos ainda um sistema sistema de otimalidade para os seguidores. Palavras chave: Controle hierárquico, estratégia de Stackelberg-Nash, controlabilidade aproximada, sistema de otimalidade. v

6 Abstract We present hierarchic control to a parabolic system in a noncylindrical domain. The hierarchic control is a problem that is how to bring in a fixed time, the solutions of the equations of state we have, (these solutions depend on a functions called controls), a state considered ideal, througha system of leading, independent control, and followers, the leader controls dependents. We start by making a transformation of the original problem to an equivalent cylindrical domain, then do the hierarchic control of this problem. We use the strategy Stackelberg-Nash, a process in which each leader s choice, look for followers to satisfy a minimization problem, the solution of this problem form what we call the Nash equilibrium, solved this problem, work to prove that the approximately system is controllable using the leader. We further resolve to a of optimality for followers. Key words: Hierarchic control, Stackelberg-Nash strategy, approximate controllability, optimality system. vi

7 Conteúdo Introdução Noções preliminares Espaços de Sobolev Espaços L p (, T ; X) Notações e formulação do problema 17.1 Existência e unicidade de solução Existência e unicidade de solução fraca Existência e unicidade de solução forte Equivalência dos problemas Dependência dos controles Formulação do problema e metodologia Controlabilidade Aproximada Funcionais Custo no domínio cilíndrico Controlabilidade Aproximada Existência e Unicidade do Equilíbrio de Nash 56 5 Análise do Sistema de Otimalidade 61 A Resultados Auxiliares 79 Bibliografia 83

8 Introdução O conceito de controle aproximado foi usado pela primeira vez em 199, pelo grande matemático francês Jacques Louis Lions, durante as jornadas Hispano-Francesas sobre controle de sistemas distribuidos. Ele apresentou essa forma de controle para a equação do calor, onde mostrou que ela era uma consequência do Teorema de Hahn- Banach, quando se trabalha com um funcional custo relacionado com o sistema. Mais tarde, em 1994, Lions publicou um artigo entituado Hierarchic Control, onde ele introduziu, pela primeira vez, a idéia de controle hierarquico que é um tipo de controle aproximado com um esquema de um controle "global", chamado líder, e controles "locais", denominados seguidores, que trabalham para aproximar, em um tempo T, a solução do sistema u de um estado ideal u T. Lions faleceu em, mas em 5, J. I. Diaz publicou um trabalho que tinha feito em parceria com Lions, que tratava do controle hierárquico para um sistema distribuido, onde consideraram a existência de um líder v e N seguidores w 1,..., w N, e procederam do seguinte modo: os seguidores, supondo que o líder fez uma escolha v a sua política, buscam encontrar um equilíbrio de Nash para seus funcionais custo. Então, o líder faz a escolha final para o sistema. Este processo é conhecido como estratégia de Stackelberg-Nash. Este trabalho tem como objetivo principal estudar o controle hierárquico usando a estratégia de Stackelgerg-Nash para o mesmo tipo de problema que em [5], mas em domínio não cilíndrico. Cosideramos um aberto conexo Ω R n e defomações por aplicações suaves τ t : Ω Ω t, t T, com isto obtemos um domínio não cilíndrico Q T, o qual é a deformação do cilindro Q T = Ω (, T ). O problema de controle (problema (.3))

9 Introdução. 7 é formulado no domínio Q T, onde denotamos por ˆv e ŵ 1,..., ŵ N, respectivamente, o líder e os seguidores. A solução û do sistema (.3) depende de (x, t) e dos controles ˆv e ŵ 1,..., ŵ N. Esses controles trabalham com o objetivo de fazer a solução se aproximar de um estado ideal, û T, em um tempo T, por meio da estratégia de Stackelberg-Nash. Para resolver esse problema transformamos, através da aplicação τ t, o problema (.3) em um problema equivalente, (.7), em Q T, que é difeomorfo a Q T. As soluções deste problema são denotadas por u e dependem dos pontos de Q T e dos controles transformados v, líder, e w 1,..., w N, seguidores. Então, investigaremos o controle hierárquico, como em [5], usando a estratégia de Stackelberg-Nash, para fazer a solução u se aproximar do estado ideal u T, no tempo T. Nesse método, um ponto importante é resolver o sistema de otimalidade, neste trabalho faremos isto no capítulo 5. Um princípio importante que é usado nesses problemas de controle é o da continuação única, que é o seguinte: se a solução da equação de estado é nula em um cilindro q contido no cilindro Q do R n, então ela é nula no cilindro Q. Esse princípio depende do problema considerado. Usaremos neste trabalho o princípio da continuação única provada em []. No controle hirárquico, devemos provar que o sistema é aproximadamente controlável, isto é fundamental para que a estratégia de Stackelberg-Nash funcione. Para isto, usamos o princípio da continuação única e o Teorema de Hahn-Banach, que é o processo criado por Lions.

10 Capítulo 1 Noções preliminares Façamos uma breve introdução da teoria dos espaços de funções usados no decorres deste trabalho. Não provaremos os reultados, apenas citaremos a referência onde as provas estão feitas. 1.1 Espaços de Sobolev Uma exposição completa do que iremos enunciar nesta seção pode ser encontrada em L.A. Medeiros e M.M. Miranda [15]. Definição 1.1. Sejam Ω um subconjunto aberto do R n e f : Ω R uma função contínua. Definimos o suporte de f, e denotamos por supp(f), como o fecho em Ω do conjunto {x Ω; f(x) }. Se este conjunto for um compacto do R n, então dizemos que f possui suporte compacto. Uma n-upla de inteiros não negativos α = (α 1, α,..., α n ) é denominada multiíndice e sua ordem é definida por α = α 1 + α α n. Representamos por D α o operador derivação de ordem α, isto é, D α = α α 1 x 1 α. x... x αn n Se α = (,,..., ) definimos D u como a identidade. Denotamos por L p (Ω), 1 p <, o espaço da funções reais f definidas em Ω com a

11 Capítulo 1. Espaços de Sobolev 9 p-ésima potência integrável no sentido de Lebesgue. Esse é um espaço de Banach com a norma, ( f L p (Ω) = f p dx Ω ) 1 p. Por L (Ω) denotamos o conjuntos das funções essencialmente limitadas em Ω. Este também é um espaço de Banach, com a norma f L (Ω) = sup ess f(x) R. x Ω O espaço L (Ω) é um espaço de Hilbert com o produto interno dado por (f, g) = f(x)g(x)dx. Ω Por L p loc (Ω), 1 p <, denotamos o espaço das funções reais definidas em Ω cuja p-ésima potência é integrável à Lebesgue sobre qualquer conjunto compacto do R n contido em Ω. Denotaremos por C (Ω) o espaço vetorial, com as operações usuais, das funções infinitamente diferenciáveis e com suporte compacto. Definição 1.. Seja Ω um aberto do R n. Uma sequência (φ n ) n N em C (Ω) converge para φ em C (Ω), quando existe um compacto K Ω tal que: i) supp(φ), supp(φ n ) K, n N. ii) Para todo multi-índice α N n, tem-se D α (φ n φ) uniformemente em K Chamamos de Espaço das Funções Testes sobre Ω, representamos por D(Ω), o espaço C (Ω) munido da noção de convergência desta definição. Teorema 1.3. O espaço D(Ω) é denso em L (Ω). Prova. Ver [15]. Definição 1.4. Uma distribuição sobre um aberto Ω R n T : D(Ω) R contínuo no sentido da convergência em D(Ω), isto é, i) T (aφ + bψ) = at (φ) + bt (ψ), a, b R e φ, ψ D(Ω); é um funcional linear ii) se φ n converge para φ em D(Ω), então T (φ n ) converge para T (φ) em R. Denotamos o valor da distribuição T em φ por T, φ. Representamos por D (Ω) conjunto de todas as distribuições sobre Ω. Dizemos que T n T em D (Ω),

12 Capítulo 1. Espaços de Sobolev 1 quando, T n, φ T, φ, em R, φ D(Ω). Lema 1.1 (Du Bois Raymond). Seja u L 1 loc (Ω) tal que u(x)φ(x)dx =, φ D(Ω). Então, u = quase sempre em Ω. Prova. Para a prova ver [15]. Ω Observação 1.1. Segue do Lema de Du Bois Raymond que se u, v L 1 loc (Ω), então T u = T v em D (Ω) se, e somente, se u = v. Desta forma, temos uma correspondência biunívoca entre as distribuições do tipo T u com o espaço L 1 loc (Ω). Exemplo 1 (Distribuição). Seja u L 1 loc (Ω). O funcional T u : D(Ω) R, definido por é uma distribuição. T u, φ = Ω u(x)φ(x)dx A seguir definimos derivada no sentido das distribuições. Definição 1.5. Seja T uma distribuição sobre Ω e α um multi-índice. A derivada D α T de ordem α de T é um funcional D α T : D(Ω) R definido por D α T, φ = ( 1) n T, D α φ. Além disso, D α T é uma distribuição sobre Ω. Observação 1.. Decorre da definição acima que uma distribuição tem derivadas de todas as ordens. Seja Ω um aberto limitado do R n. Se u L p (Ω), com 1 p, sabemos, da observação 1.1 e da definição de derivada distribucional, que u possui derivadas de todas as ordens no sentido das distribuições, mas não é verdade, em geral, que D α u é definida por uma função de L p (Ω), em [14] podemos encontrar a prova desta afirmação. Isto é o que motivou a definição do espaço de funções chamado Espaço de Sobolev. Dado um número inteiro m >, representamos por W m,p (Ω) o espaço vetorial de todas as funções u pertencentes a L p (Ω), tais que para todo α m, temos que

13 Capítulo 1. Espaços de Sobolev 11 a derivada de u no sentido das distribuições D α u, pertence a L p (Ω). Para cada u W m,p (Ω), definimos a norma de u pondo u p W m,p (Ω) = α m Ω 1 p D α u p L p (Ω), quando 1 p < e u W m, (Ω) = α m D α u L (Ω)(Ω), quando p =. Observação 1.3. O espaço de Sobolev W m,p (Ω) é um espaço de Banach. Para p =, representamos W m, (Ω) por H m (Ω). Proposição 1.6. O espaço H m (Ω) munido do produto interno ((u, v)) H m (Ω) = (D α u, D α v) L (Ω) α m é um espaço de Hilbert. Prova. Ver [15]. O fecho de C (Ω) em H m (Ω) é denotado por H m (Ω) e por H m (Ω) o dual topológico de H m (Ω). Denotaremos a norma em H m (Ω) simplesmente por. m e por. para m = 1. No que segue listamos algumas propriedades importantes dos Espaços de Sobolev. Teorema 1.7 (Desigualdade de Poincaré). Seja Ω R n um aberto limitado em alguna direção, digamos pr i (Ω) (a, b), onde pr i (Ω) denota a projeção de Ω na direção i e (a, b) é um intervalo aberto e limitado de R. Então, u L (Ω) (b a) u dx, u H 1 x (Ω). i Ω A prova deste resultado pode ser encontrada em [15]. Nesta mesma referência podemos encontrar a prova do seguinte corolário. Corolário 1.8. Em H m (Ω), com Ω nas condições do Teorema 1.7, as normas u e u (L (Ω)) n = ( α m Ω D α u ) 1 (1.1) são equivalentes.

14 Capítulo 1. Espaços de Sobolev 1 Consideremos espaços de Hilbert V e H, com normas. V e. H, respectivamente, e suponhamos V H. Seja i : V H a injeção canônica de V em H, que a cada elemento de v V fazemos corresponder i(v) = v como um elemento de H. A imersão é contínua quando existe uma constante C >, tal que v H C v V, V. Dizemos que a imersão é compacta quando a imagem de subespaços limitados de V por i são relativamente compactos em H. Lema 1. (Imersões de Sobolev). Seja Ω um aberto regular de R n, m N e 1 p <. Então, para qualquer j N, as imersões abaixo são contínuas. i) Se m < n [ ) p, então W j+m,p (Ω) W j,q np (Ω), q p, ; n mp ii) Se m = n p, então W j+m,p (Ω) W j,q (Ω), q [p, ); iii) Se m > n p, então W j+m,p (Ω) C j (Ω), onde C j (Ω) é o conjunto das funções contínuas limitadas. Prova. Ver [15]. Teorema 1.9 (Rellich-Kondrachov). Suponha que Ω é um aberto limitado de classe C 1, j N. Então temos que as imersões são compactas: i) Se m < n [ p, então W j+m,p (Ω) W j,q (Ω), q 1, np n mp ii) Se m = n p, então W j+m,p (Ω) W j,q (Ω), q [1, ). Prova. Ver [15]. Proposição 1.1. Suponha que Ω é um aberto limitado de classe C 1, j N. Então temos as seguintes imersões: i) Se Ω é limitado e p < n, então W 1,p (Ω) L q (Ω), para, p q np n p ; ii) Se Ω é limitado e p < n, então W 1,p (Ω) L q (Ω), para, 1 q Prova. Ver [15]. ) ; np n p = p Observação 1.4. O número p é conhecido como expoente crítico de Sobolev.

15 Capítulo 1. Espaços L p (, T ; X) 13 Teorema 1.11 (Fórmula de Green). Se u H (Ω), então u u vdx = udx + ν vdx, v H1 (Ω). Ω Prova. Ver [1] Ω Γ Proposição 1.1 (Regra do Produto). Consideremos um aberto Ω R n. u, v W 1,p (Ω) L (Ω) com 1 p, então uv W 1,p (Ω) L (Ω) e Sejam (uv) x i = v u x i + u v x i, i = 1,..., n. Prova. A prova pode ser encontrada em [1]. Pelo Teorema da Representação de Riesz (Teorema A.8), temos a seguinte cadeia de imersões contínuas D(Ω) H(Ω) 1 L (Ω) (L (Ω)) H 1 (Ω) D (Ω) com cada espaço denso no seguinte. 1. Espaços L p (, T ; X) Seja X um espaço de Banach. O espaço das aplicações lineares e contínuas de D(, T ) em X será denotado por D (, T, X), isto é, T D (, T, X), quando T : D(, T ) X é linear e se θ n θ em D(, T ) então T, θ n T, θ em X. Diremos que T n T em D (, T, X) se T n, θ T, θ em X, θ D(, T ). O espaço D (, T, X) munido da convergência acima é denominado espaço das distribuições vetorias de (, T ) com valores em X Observação 1.5. Temos que o conjunto {θξ, θ D(, T ), ξ X} é total em D (, T, X). Também mostra-se que o conjunto {θξ, θ D(, T ), ξ D(Ω)} é denso em D(Ω (, T )) = D(Q). Definição Dizemos que u : (, T ) X é fortemente mensurável quando existir uma sequência de funções simples (φ n ) n N, φ n : (, T ) X tal que φ n (t) u(t) X, quase sempre em (, T ).

16 Capítulo 1. Espaços L p (, T ; X) 14 Denotaremos por L p (, T, X), 1 p <, ao espaço das (classes de) funções u, definidas em (, T ) com valores em X, que são fortemente mensuráveis e u(t) p X é integrável a Lebesgue. Neste espaço definimos a norma ( u L p (,T,X) = u(t) p X dt ) 1 p. Por L (, T, X) representamos o espaço das (classes de) funções u, definidas em (, T ) com valores em X, que são fortemente mensuráveis e u(t) X possui supremo essencial finito em (, T ), a norma neste espaço é dada por u L (,T,X) = sup ess u(t) X. (1.) <t<t Os espaços L p (, T, X) e L (, T, X) são espaços de Banach com suas respectivas normas. Proposição O espaço L p (, T ; X) é denso em D (, T ; X). Prova. Ver []. Observação 1.6. No caso p = e X um espaço de Hilbert, segue que L (, T, X) é um espaço de Hilbert, cujo produto interno é dado por (u, v) L (,T,X) = Se X é reflexivo, então podemos identificar (u(t), v(t)) X dt. [L p (, T ; X)] = L q (, T ; X ), onde 1 p + 1 q = 1. No caso em que p = 1, identificamos [L 1 (, T ; X)] = L (, T ; X ) Podemos encontrar a prova dessas identidades em []. Observação 1.7. Uma identificação que usaremos bastante é a seguinte: consideremos Ω R n um aberto limitado, T > e Q = Ω (, T ) um cilíndro em R n+1, então, para 1 p < temos L p (, T ; L p (Ω)) = L p (Q). No nosso caso, trabalhamos com p =.

17 Capítulo 1. Espaços L p (, T ; X) 15 Definição Dada T D (, T, X), definimos a derivada de ordem n como sendo a distribuição vetorial sobre (, T ) com valores em X dada por: d n T dt, φ = ( 1) n T, dn φ, φ D(, T ). n dt n Representamos por C([, T ], X) o espaço de Banach das funções u, definidas em [, T ] com valores em X, cuja norma é dada por u = sup u(t) X. Denotaremos por H 1 (, T, X) o espaço de Hilbert H 1 (, T, X) = {u L (, T, X); u L (, T, X), u() = u(t ) = }, munido do produto interno ((u, v)) H 1 (,T,X) = (u(t), v(t)) X dt + (u (t), v (t)) X dt. Identificando L (, T, X) com o seu dual (L (, T, X)), via o Teorema de Riesz, obtemos a seguinte cadeia D(, T, X) H(, 1 T, X) L (, T, X) H 1 (, T, X) D (, T, X), onde (H 1 (, T, X)) = H 1 (, T, X). Proposição Seja u L (, T, X). Então, existe uma única f H 1 (, T, X) que verifica f, θξ = ( u, θ, ξ), θ D(, T ), ξ X Prova. Ver M.M. Miranda [16] ou []. A proposição anterior nos permite identificar u com f. Desse modo, diremos que se u L (, T, X) então u H 1 (, T, X). Proposição Seja X um espaço de Hilbert, então a aplicação u L (, T, X) u H 1 (, T, X) é linear e contínua.

18 Capítulo 1. Espaços L p (, T ; X) 16 Prova. Ver M.M. Miranda [16] ou []. Proposição Suponhamos que u, g L 1 (, T, X). Então, as condições abaixo são equivalentes: i) Existe ξ X, independente de t, tal que u(t) = ξ + (, T ), (u é quase sempre uma primitiva de g); ii) Para cada φ D(, T ) tem-se (g = du dt derivada no sentido das distribuições); iii) Para cada y X, Prova. Ver [13] ou [1]. u(t)φ (t)dt = t g(s)ds quase sempre em g(t)φ(t)dt, d u(t), y = g(t), y no sentido das distribuições. dt Consideremos espaços de Hilbert X e Y, com X Y. Então definimos o espaço W (, T ; X, Y ) = {u L (, T ; X); u L (, T ; Y )}. Este espaço, munido da norma u W (,T ;X,Y ) = u L (,T ;X) + u L (,T ;Y ), é um espaço de Hilbert. Além disso, está imerso continuamente em C ([, T ]; Y ). Então faz sentido avaliar os elementos de W (, T ; X, Y ) em e T. Isto é consequência do seguinte resultado. Teorema Sejam X, Y espaços de Hilbert tal que X Y e u L p (, T, X), u L p (, T, Y ), 1 p, então u C ([, T ]; Y ). Prova. Ver [13] Teorema 1.. Seja 1 p + 1 q = 1. Sejam u [Lq (, T, X)] e v L p (, T, X), então u, v [L q (,T,X)] L p (,T,X) = Prova. Ver [13]. u(t), v(t) X Xdt.

19 Capítulo Notações e formulação do problema Seja Ω R n uma aberto limitado e conexo com fronteira Γ de classe C. Consideremos o cilindro Q T = Ω (, T ), T >, cuja fronteira lateral é Σ = Γ (, T ). Consideremos uma família de aplicações {τ t } t T, onde para cada t, τ t transforma Ω em um aberto Ω t do R n definido por Ω t = {x R n ; x = τ t (y), y Ω}, onde τ é a identidade e então Ω Ω. Os elementos de Ω são os vetores y = (y 1,..., y n ), com y i R, para i = 1,..., n, e os elementos de Ω t são representamos por x = (x 1,..., x n ), x i R, para i = 1,..., n. Definimos o domínio não cilíndrico Q T R n por Q T = {Ω t {t}}. <t<t A fronteira de Ω t é Γ t, e a fronteira lateral de Q T é Σ T definida por Σ T = {Γ t {t}}. Necessitamos das seguintes hipóteses: <t<t τ t é um difeomorfismo de classe C de Ω em Ω t, (.1) τ C 1 ([, T ]; C (Ω, R n )) C ([, T ]; C (Ω, R n )). (.)

20 Capítulo. 18 Onde temos o difeomorfismo τ t : Q T Q T (y, t) (τ t (y), t) = (τ(y, t), t) = (x, t) Sejam O e O 1,... O N subconjuntos abertos, não vazios e dois a dois disjuntos de Ω. Denotaremos por O t e O it, respectivamente, as imagens de O e O i por τ t, para i = 1,..., N. Sendo τ t um difeomorfismo entre Ω e Ω t, então os subconjuntos O t e O it são abertos, não vazios e dois a dois disjuntos em Ω t, i = 1,..., N. Com isto, definimos os seguintes domínios não cilíndricos contidos em Q T : Ô T = {O t {t}}, Ô it = {O it {t}}, para i = 1,..., N. < t < T < t < T Obseve que estes conjuntos são imagens, por τ t, de cilindros em Q T cujas bases são os abertos O, O 1,..., O N. Figura.1: Mudança de domínios Por û = û(x, t) representamos uma função definida em Q T. Denotaremos por χ e χ i, respectivamente, as funções características de Ô e Ôi, para i = 1,..., N. Consideramos ainda a função â = â(x, t) e a função vetorial ˆb = ˆb(x, t) = ( ˆbi (x, t)) 1 i n com as seguintes regularidades: â L ( Q T ), ˆb [L ( Q T )] n. Consideremos o seguinte problema de controle û t û + âû + ˆb N û = ˆv ˆχ + ŵ i ˆχ i em Q T ; û = sobre Σ T ; û() = û em Ω, (.3)

21 Capítulo. 19 onde os controles ˆv = ˆv(x, t) e ŵ i = ŵ i (x, t), i = 1,..., N estão localizados, respectivamente, sobre ÔT e ÔiT e tem regularidades ˆv L (ÔT ), ŵ i L (ÔiT ). Agora vamos transformar, por meio do difeomorfismo τ t : Q T Q T, o sistema (.3) em um sistema em Q T. Em Q T as funções de estado u = u(y, t), y Ω, são dadas por u(y, t) = û(τ t (y), t) = û(τ(y, t), t), y Ω, t [, T ]. De modo equivalente, em Q T temos û(x, t) = u(τ 1 t (x), t) = u(τ 1 (x, t), t), x Ω t, t [, T ]. Vamos denotar τ 1 t (x) = τ 1 (x, t) por ϕ t (x) = ϕ(x, t). Com esta notação, para i = 1,..., n, temos û t u ϕ (x, t) = (ϕ(x, t), t) = u t t + u t ( ϕ, onde t = ϕ1 t,..., ϕ ) n, (.4) t e û (x, t) = u (ϕ(x, t), t) = u ϕ, onde ϕ ( ϕ1 =,..., ϕ ) n. (.5) x i x i x i x i x i x i Da igualdade em (.5) obtemos, û (x, t)ˆb i (x, t) = u ϕ (x, t)ˆb i (x, t) = u(τ t (y), t) ϕ j (τ t (y), t)ˆb i (τ t (y), t) x i x i x i e ainda, û (x, t) = x i ( u ϕ y1 x i ( u ϕ y 1 y n ) u ϕ n ϕ1 y n y 1 x i + + u x i y n então, adicionando em i = 1, para i = 1,..., n, ficamos com û = n k,j=1 + u ϕ x i y 1 x i ) ϕ n ϕn + u ϕ n, x i x i y n x i α kj (y, t) ( ) u + u x ϕ, (.6) y k y j

22 Capítulo. onde, e x ϕ = ( x ϕ 1,..., x ϕ n ), com x ϕ j = α kj (y, t) = n n ϕ k x i ϕ j x i (τ t (y), t). ϕ j (τ x t (y), t) i De (.6), usando a regra do produto para derivada, temos û = Agora notando que n k,j=1 y k n k,j=1 ( α kj (y, t) u ) y j α kj y k u y j = u n k,j=1 n k=1 α kj y k α k (y, t) y k, u y j + u x ϕ. onde, e definindo n k=1 ( n α k (y, t) α k1 (y, t) =,..., y k y k k=1 n k=1 ) α kn (y, t) y k a(y, t) = â(τ t (y), t) e b(y, t) = (b 1 (y, t),..., b n (y, t)), com b j (y, t) = ϕ j x i (τ t (y), t)ˆb i (τ t (y), t) + ϕ j t (τ t(y), t) + n k=1 α kj y k (y, t) x ϕ j (τ t (y), t), temos o seguinte sistema u t + A(t)u + a(y, t)u + b(y, t) u = vχ O (,T ) + w i χ Oi (,T ), em Q T u = sobre Σ T u() = u, em Ω, (.7) onde, A(t)u(y, t) = n k,j=1 y k ( α kj (y, t) u ). y j

23 Capítulo. 1 Na observação.1 mais adiante neste trabalho, mostraremos que os sistemas (.3) e (.7) são equivalentes. O operador A(t) está associado a seguite forma bilinear α(u, v) = n k,j=1 Ω α kj u y j v y k dy, u, v H 1 (Ω). Lema.1. A forma bilinear α(u, v) é coerciva em H 1 (Ω) H 1 (Ω). matriz Prova. Sabemos que ϕ t é um difeomorfismo de classe C entre Ω e Ω t, então a é invertível e existe C > tal que Considerando η = Mξ temos então, pelas definições de α kj e M, Logo, Sendo, por (.8), α(u, u) = ( ) ϕj M = x i 1 i,j n M 1 η R n 1 C η R n, η Rn. = = = α(u, u) = Ω Mξ R n C ξ R n, (.8) n k,j=1 n k,j=1 n k,j=1 Ω Ω Ω Ω Ω α kj (y, t) u u dy = y k y j ( ) ( ϕk ϕ j u u x i x i y k y j ( ) ( ϕk u ϕj u x i y k x i y j ) dy = ) dy = (M u, M u)dy, u H 1 (Ω). (M u, M u)dy = M u R ndy C Ω Ω M u R ndy. u R ndy, u H1 (Ω)

24 Capítulo. Existência e unicidade de solução obtemos, α(u, u) C u, u H 1 (Ω), portanto α é coerciva em H 1 (Ω) H 1 (Ω)..1 Existência e unicidade de solução Nesta seção definiremos as soluções fortes e fracas para os sistemas (.3) e (.7). Também provaremos a existência e unicidade das soluções forte e fraca para o sistema (.7) usando o método de Faedo-Galerkin. Depois mostraremos que (.3) e (.7) são, de fato, equivalentes e concluiremos a existência e unicidade de soluções forte e fraca para (.3). Veremos ainda como as soluções dependem dos controles. Definição.1 (Solução Forte para (.3)). Dizemos que função û : Q T R é solução forte do sistema (.3) quando û W (, T ; H(Ω 1 t ) H (Ω t ), L (Ω t )), e û û + âû + ˆb N û = ˆv ˆχ + ŵ i ˆχ i quase sempre em Q T, com û() = û. Definição. (Solução Forte para (.7)). Dizemos que função u : Q T R é solução forte do sistema (.7) quando u W (, T ; H(Ω) 1 H (Ω), L (Ω)), e u + A(t)u + au + b u = vχ O (,T ) + w i χ Oi (,T ) quase sempre em Q T, com u() = u. Definição.3 (Solução Fraca para (.3)). Dizemos que a função û : Q T R é solução fraca do sistema (.3) quando û W (, T ; H(Ω 1 t ), H 1 (Ω t )),

25 Capítulo. Existência e unicidade de solução 3 satisfaz a seguinte identidade integral ( ) û t, ˆξ T dt + ( û, ˆξ)dt + (ˆv ˆχ, ˆξ)dt + (ŵ i ˆχ i, ˆξ)dt, (âû, ˆξ)dt + ˆξ W (, T ; H 1 (Ω t ), L (Ω t )), ˆξ(T ) = ˆξ() =, ( ˆb û, ˆξ)dt = (.9) e û() = û. Definição.4 (Solução Fraca para (.7)). Dizemos que função u : Q T R é solução fraca do sistema (.7) quando u W (, T ; H(Ω), 1 H 1 (Ω)), satisfaz a seguinte identidade integral ( ) u T t, ξ dt + α(u, ξ)dt + (au, ξ)dt + (vχ O (,T ), ξ)dt + (w i χ Oi (,T ), ξ)dt, ξ W (, T ; H 1 (Ω), L (Ω)), ξ(t ) = ξ() =, ( b u, ξ)dt = (.1) e u() = u..1.1 Existência e unicidade de solução fraca. Teorema.5. Se u L (Ω), então o problema (.7) tem uma única solução fraca u e u C ([, T ]; L (Ω)). Prova. Seja f = vχ O (,T ) + w i χ Oi (,T ). Então, das hipóteses sobre v e os w i, i = 1,..., N, temos f L ((, T ), L (Ω)).

26 Capítulo. Existência e unicidade de solução 4 Para demonstrar a existência de solução para (.7) usaremos o método de Faedo- Galerkin. Considere (w l ) l N uma base de H(Ω) 1 ortonormal em L (Ω). Obtemos essa base resolvendo o problema espectral α(w, v) = λ(w, v), v H(Ω). 1 Cada w l é uma autofunção deste problema correspondente a um autovalor λ l. Seja V m = [w 1,..., w m ] o subespaço gerado pelos m primeiros vetores w l. Considere o seguinte problema aproximado: encontrar u m = m g lm (t)w l (y) (.11) l=1 solução do sistema de equações diferenciais ordinárias (u m(t), v) + α(u m (t), v) + (a(t)u m (t), v) + ( b u m (t), v) = (f m, v), v V m, u m =, sobre Σ, (.1) u m (y, ) = u m u, quando m em L (Ω), m onde f m = (f, w l )w l. A convergência acima ocorre devido a densidade dos V m em l=1 L (Ω). Considerando v = w i em (.1), i = 1,..., m, e usando (.11), temos m m m g lm(t)(w l, w i ) + g lm (t)α(w l, w i ) + g lm (t)(a(t)w l, w i )+ l=1 l=1 l=1 m + g lm (t)( b w l, w i ) = (f, w i ), l=1 g lm () = g lm. Logo, para i = 1,..., m, g im(t) + λ i g im (t) + g lm (t)a(t) + g lm () = g lm. m g lm (t)( b w l, w i ) = (f, w i ), l=1 (.13) Observamos que o sistema (.13) é um sistema linear do tipo G m(t) = F (t, G m (t)), G m () = G m, (.14)

27 Capítulo. Existência e unicidade de solução 5 onde F (t, G m (t)) = e G m = (g 1m,..., g mm ), (f, w 1 ) λ 1 g 1m (t) a(t)g 1m (t). (f, w m ) λ m g mm (t) a(t)g mm (t) G m = g 1m. g mm. m g lm (t)( b w l, w 1 ) l=1 m g lm (t)( b w l, w m ) l=1 Sendo (.14) um sistema linear de equações diferenciais ordinárias, ele possui uma única solução G m definida em [, T ], portanto existe uma única solução m u m (y, t) = g lm (t)w l (y) l=1 para o problema aproximado definida em [, T ]. Agora vamos obter estimativas que nos permitam fazer a passagem ao limite da sequência (u m ), formada pelas soluções aproximadas. Estimativas Considerando v = u m (t) em (.1) temos (u m (t), u m(t)) + α(u m (t), u m (t)) + (a(t)u m (t), u m (t))+ +( b(t) u m (t), u m (t)) = (f m (t), u m (t)) (.15) Como (u m (t), u m(t)) = 1 d dt u m(t), da equação (.15) obtemos, 1 d dt u m(t) + α(u m (t), u m (t)) = (f m (t), u m (t)) (a(t)u m (t), u m (t)) ( b(t) u m (t), u m (t)), integrando de a t ficamos com 1 u m(t) + t t α(u m (s), u m (s))ds = t (f m (s), u m (s))ds t ( b u m (s))ds + u m (). (a(s)u m (s), u m (s))ds

28 Capítulo. Existência e unicidade de solução 6 Lembremos que a forma bilinear α é coerciva em H 1 (Ω) H 1 (Ω), então, 1 u m(t) + C t u m (s) ds 1 u m + t α(u m (s), u m (s))ds, onde C > é a constante de coercividade de α. Além disso, t t t (f m (s), u m (s))ds (a(s)u m (s), u m (s))ds ( b u m (s))ds + u m() t logo, (f m (s), u m (s)) ds + t 1 u m(t) + C t (a(s)u m (s), u m (s)) ds + t u m (s) ds (a(s)u m (s), u m (s)) ds + t t Observação.1. Notemos que, para todo t vale, pois, daí, t f m (t) f(t), m N, m f m (t) = f m (t), f m (t) = (f(t), w l )w l, f m (t) = l=1 m (f(t), w l ) R l=1 ( b u m (s)) ds + u m(), (f m (s), u m (s)) ds+ ( b u m (s)) ds + u m() m (f(t), w l )w l, l=1 (f(t), w l ) R, então, pela desigualdade de Bessel, obtemos f m (t) (f(t), w l ) R f(t). Portanto, l=1 l=1 f m (t) f(t), m N. Da observação (.1), usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos (f m (t), u m (t)) f m (t) u m (t) f(t) u m (t) f(t) (.16) + u m(t), m N.(.17) Agora, sendo a imersão de H 1 (Ω) em L (Ω) contínua e a L (Ω), denotemos a constante de imersão por C, temos (a(t)u m (t), u m (t)) a u(t) (C a u m (t) ) u m (t)

29 Capítulo. Existência e unicidade de solução 7 daí, sendo (C a u m (t) ) u m (t) C ε a u m (t) + u m(t), ε onde ε >, ficamos com (a(t)u m (t), u m (t)) C ε a u m (t) + u m(t). (.18) ε Como b [L (Ω)] n, temos ( b(t) u m (t), u m (t)) b(t) u m (t) u m (t) b u m (t) u m (t), como, b u m (t) u m (t) ε b u m (t) ε > é o mesmo considerado (.18), obtemos ( b(t) u m (t), u m (t)) ε b u m (t) + u m(t), ε + u m(t). (.19) ε Logo, de (.16)-(.19) ficamos com, t u m (t) + C 1 u m (s) ds t t f(s) ds + C u m (s) ds + u m () (.) com C = 1 + ε > e para ε > suficientemente pequeno temos C 1 = C C a ε b ε > Seja C 3 = min{1, C 1 } >, então C 3 [ u m (t) + t ] u m (s) ds t t f(s) ds + C u m (s) ds + u m (). Como (u m ()) é uma sequência convergente em L (Ω), existe uma constante C 4 >, tal que u m () < C 4, m N, assim, u m (t) + t t t u m (s) ds C 5 + C 5 f(s) ds + C 5 u m (s) ds, (.1)

30 Capítulo. Existência e unicidade de solução 8 onde C 5 = max{ 1 C 3, C C 3, C 4 C 3 } >. De (.1) temos o que implica, t t u m (t) C 5 + C 5 f(s) ds + C 5 u m (s) ds u m (t) C 5 + C 5 f(s) ds + C 5 u m (s) ds (.) logo, como f L (Q T ), aplicando a desigualdade de Gronwall, obtemos ) u m (t) C 5 (1 + f(t) dt Desta desigualdade e de (.1) ficamos também com e C 5T = C T, t [, T ]. (.3) u m (t) dt C T. (.4) Obeservemos que a constante C T > não depende de m. Portanto de (.3) e (.4) temos (u m ) é limitada em L (, T ; L (Ω)) (.5) (u m ) é limitada em L (, T ; H(Ω)) 1 (.6) Passagem ao limite As limitações (.5) e (.6), como feito em Brezis [1] nos permitem obter uma subsequência de (u m ), ainda denotada por (u m ), tal que, respectivamente u m u em L (, T ; L (Ω)); (.7) u m u em L (, T, H(Ω)). 1 (.8) Dado ξ L (, T ; L (Ω)), como a L (Q T ), então aξ L (, T ; L (Ω)), logo por (.6) portanto, (a(t)u m (t), ξ(t))dt = (u(t), a(t)ξ(t))dt = (u m (t), a(t)ξ(t))dt (u(t)a(t), ξ(t))dt (a(t)u m (t), ξ(t))dt (u(t)a(t), ξ(t))dt, ξ L (, T ; L (Ω)) (.9)

31 Capítulo. Existência e unicidade de solução 9 Resulta da convergência (.8) que u m u em [L (, T ; L (Ω))] n, e b [L (, T ; L (Ω))] n, então, analogamente ao caso da função a, obtemos b um b u em L (, T ; L (Ω)), ou seja, ( b(t) u m (t), ξ(t))dt ( b(t) u(t), ξ(t))dt, ξ L (, T ; L (Ω)). (.3) Agora, da convergência (.8), dado ξ L (, T ; H(Ω)), 1 sendo α uma forma bilinear contínua e coerciva sobre H(Ω) 1 H(Ω) 1 temos α(u m (t), ξ(t))dt α(u(t), ξ(t))dt (.31) Considere ξ = wη, onde w H(Ω) 1 e η D(, T ), então ξ L (, T ; H(Ω)) 1 e da convergência (.8) temos (u m(t), w)η(t)dt = (u(t), w)η (t)dt = w H 1 (Ω), η D(, T ). (u m (t), w)η (t)dt (u (t), w)η(t)dt, (.3) Portanto, de (.9)-(.3), obtemos + (u(t), w)η (t)dt + ( b u(t), w)η(t)dt = então, por densidade, temos + (u(t), ξ (t))dt + α(u(t), w)η(t)dt + ( b u(t), ξ(t))dt = (u(t)a(t), w)η(t)dt (f, w)η(t)dt, w H 1 (Ω), η D(, T ). α(u(t), ξ(t))dt + (f, ξ(t))dt, ξ W (, T ; H 1 (Ω), L (Ω)), com ξ() = ξ(t ) =. (u(t)a(t), ξ(t))dt (.33) (.34)

32 Capítulo. Existência e unicidade de solução 3 Notemos que α(u(t), ξ) = A(t)u(t), ξ H 1 (Ω) H 1 (Ω) então, de (.34) temos u (t), ξ = A(t)u(t) a(t)u(t) b(t) u(t) + f, ξ, ξ H 1 (Ω). (.35) Logo, u L (, T ; H 1 (Ω)). (.36) Portanto, como u L (, T ; H 1 (Ω)) e H 1 (Ω) L (Ω) H 1 (Ω), sendo as imersões, além de contínuas, densas, resulta como feito em Lions-Magenes [1]: u C ([, T ]; [H(Ω), 1 H 1 (Ω)] 1 ) = C ([, T ]; L (Ω)). (.37) Convergência dos dados iniciais Consideremos ξ = w(y)η(t), com w H 1 (Ω) e η uma função continuamente diferenciável tal que η(t ) = e η() = 1. Substituindo v por ξ em (.1) e integrando temos + (u m(t), w)η(t)dt + ( b u(t), w)η(t)dt = α(u m (t), w)η(t)dt + então, integrando por partes ficamos com + (u m (t), w)η (t)dt + ( b u m (t), w)η(t)dt = logo, passando ao limite obtemos (f m (t), w)η(t)dt, α(u m (t), w)η(t)dt + (f m (t), w)η(t)dt + (u m (t)a(t), w)η(t)dt (u m (t)a(t), w)η(t)dt (u m (), w)dt, + (u(t), w)η (t)dt + ( b u(t), w)η(t)dt = α(u(t), w)η(t)dt + (f(t), w)η(t)dt + (u(t)a(t), w)η(t)dt (u, w)dt, (.38)

33 Capítulo. Existência e unicidade de solução 31 Por outro lado, observamos que (.33) ainda vale considerando ξ dessa forma, assim + (u(t), w)η (t)dt + ( b u(t), w)η(t)dt = α(u(t), w)η(t)dt + (f(t), w)η(t)dt + Comparando (.38) e (.39), temos (u(t)a(t), w)η(t)dt (u(), w)dt, (.39) (u(), w) = (u, w) (u() u, w) =, como w H 1 (Ω) é arbitrário, por Du Bois Reymond, obtemos Unicidade u() = u quase sempre em Ω. Sejam u e w duas soluções do problema (.7), então como a equação é linear temos que z = u w satisfaz (z (t), ξ(t))dt + α(z(t), ξ(t))dt + (z(t)a(t), ξ(t))dt + ( b z(t), ξ(t))dt =, ξ W (, T ; H (Ω), 1 L (Ω)), com ξ() = ξ(t ) =, z() = (.4) Notemos que z W (, T ; H(Ω), 1 L (Ω)) e z() = z(t ) =, então substituindo em (.4), ξ por z e usando que z (t), z(t) = 1 d dt z(t) temos 1 z(t) + + α(z(t), z(t))dt + ( b z(t), z(t))dt =. (z(t)a(t), z(t))dt (.41) Logo, procedendo de modo análogo a o que fizemos na parte das estimativas, ficamos com sendo, 1 T z(t) + C z(t) dt a z(t) dt + b z(t) z(t) dt, (.4) ( b z(t) b z(t) z(t) = )C z(t) b z(t) C C + C z(t).

34 Capítulo. Existência e unicidade de solução 3 Substituindo em (.4) obtemos então, daí, 1 T z(t) + C z(t) dt ( a + ) b C z(t) dt, z(t) + C z(t) dt ( a + ) b z(t) dt C z(t) ( a + ) b z(t) dt. (.43) C De (.43) e da desigualdade de Gronwall, obtemos z(t), t [, T ]. (.44) Portanto, z(t) = para todo t em [, T ]. Com isto concluímos a demonstração..1. Existência e unicidade de solução forte. No que segue provaremos a existência e unicidade de solução forte para o problema (.7). Teorema.6. Se u H(Ω), 1 então o problema (.7) tem uma única solução forte u. Além disso, u C ([, T ]; H(Ω)). 1 Prova. Na equação (.1), fazendo v = u m(t), lembrando que a solução u m é definida em [, T ], temos u m(t) + α(u m (t), u m(t)) + (a(t)u m (t), u m(t)) + ( b(t) u m (t), u m(t)) = (f m (t), u m(t)) o que implica, u m(t) + α(u m (t), u m(t)) = (f m (t), u m(t)) (a(t)u m (t), u m(t)) ( b(t) u m (t), u m(t)). (.45) Da expressão de α, aplicando a regra do produto temos α(u m (t), u m(t)) = 1 d dt α(u m(t), u m (t)) 1 α (u m (t), u m (t)), (.46)

35 Capítulo. Existência e unicidade de solução 33 onde usamos a notação α (u m (t), u m (t)) = n k,j=1 Ω ( d dt α kj(y, t) ) um (t) Então, substituindo a expressão de (.46) em (.45) ficamos com y j u m (t) dy. y k u m(t) + 1 d dt α(u m(t), u m (t)) = (f m (t), u m(t)) + 1 α (u m (t), u m (t)) (a(t)u m (t), u m(t)) ( b u m (t), u m(t)). (.47) Agora temos usando Cauchy-Schwarz, a observação.1 e a desigualdade elementar, (f m (t), u m(t)) f m (t) u m(t) f u m(t) f + u m(t), (.48) e para ε >, sendo a L (Q T ), b [L (Q T )] n, temos (a(t)u m (t), u m(t)) a u m (t) u m(t) = C a u m (t) u m(t) εc a u m(t) + u m(t) ε ( b(t) u m (t), u m(t)) b(t) u m (t) u m(t) b u m (t) u m (t) u m(t) ε + ε b u m(t), além disso, da expressão de α obtemos, (.49) (.5) α (u m (t), u m (t)) C 1 u m (t), (.51) ( ) onde, C 1 = max 1 j,k n α jk. Logo, usando em (.47) as estimativas (.48)-(.51), para ε > suficientemente pequeno, temos u m(t) + 1 d dt α(u m(t), u m (t)) f + εc a + ε b + 1 u m(t) + ( + C ) u m (t) ε implicado, C u m(t) + d dt α(u m(t), u m (t)) f + C 3 u m (t), (.5) onde ( C = 1 ε(c a + b ) > e C 3 = C ). ε

36 Capítulo. Existência e unicidade de solução 34 Notemos ainda que C < 1, assim de (.5), obtemos C ( u m(t) + d ) dt α(u m(t), u m (t)) f + C 3 u m (t) daí, { onde C 4 = u m(t) + d dt α(u m(t), u m (t)) C 4 f + C 4 u m (t), (.53) 1 C, C 3 f L (Q T ) temos t C } >. Agora integrando de a t, t [, T ], usando (.4) e que u m(s) ds + α(u m (t), u m (t)) C 5 + α(u m (), u m ()), t [, T ], (.54) com C 5 = max{ f, C T } >, portanto, sendo α contínuo e coercivo, segue que t u m(s) ds + C u m (t) C 5 + C 6 u m (), t [, T ], (.55) C 6 > é a constante da continuidade de α. Agora, notemos que no problema aproximado podemos considerar u m () = u m u em H(Ω), 1 então, existe C 7 tal que C 6 u m () C 7, m N. (.56) De (.55) e (.56), existe C 8 > tal que u m(t) ds + u m (t) C 8, independente de m. (.57) Observemos que a constante C 8 ainda depende de T, pois C 5 depende. De (.57) temos (u m) limitada em L (, T ; L (Ω)); (.58) (u m ) limitada em L (, T ; H(Ω)). 1 (.59) Das limitações (.58) e (.59), como feito em Brezis [1], podemos extrair de (u m ) uma subsequência, ainda denotada por (u m ) tal que, u m u em L (, T ; H(Ω)); 1 (.6) u m u em L (, T ; L (Ω)), (.61)

37 Capítulo. Existência e unicidade de solução 35 assim, u W (, T ; H(Ω), 1 L (Ω)). (.6) Considere ξ = wη, com w H(Ω) 1 e η D(, T ), então das convergências em (.6) e (.61), temos (u m(t), w)η(t)dt α(u m (t), w)η(t)dt (u (t), w)η(t)dt, w H 1 (Ω), η D(, T ), (.63) α(u(t), w)η(t)dt, w H 1 (Ω), η D(, T ). (.64) De (.64), lembrando que (A(t)v, w) = α(v, w), v, w H(Ω), 1 obtemos (A(t)u m (t), w)η(t)dt w H 1 (Ω), η D(, T ). (A(t)u(t), w)η(t)dt, (.65) Como a L (Ω) temos de (.6) (u m (t), a(t)w)η(t)dt o que implica, (a(t)u m (t), w)η(t)dt Sendo b [L (Ω)] n e de (.59), obtemos (u(t), a(t)w)η(t)dt, w H 1 (Ω), η D(, T ) (a(t)u(t), w)η(t)dt, w H 1 (Ω), η D(, T ). (.66) u m u, em L (, T ; L (Ω)). Então, ( u m (t), b(t)w)η(t)dt o que implica ( b(t) u m (t), w)η(t)dt w H 1 (Ω), η D(, T ). ( u(t), b(t)w)η(t)dt, w H 1 (Ω), η D(, T ), ( b(t) u(t), w)η(t)dt, (.67)

38 Capítulo. Existência e unicidade de solução 36 Agora das convergências (.65)-(.67) e (.63), passando ao limite no problema aproximado ficamos com logo, (u (t), w)η(t)dt + ( b(t) u(t), w)η(t)dt = Desse modo, (u (t), ϕ(t))dt + (A(t)u(t), w)η(t)dt + ( b(t) u(t), ϕ(t))dt = (a(t)u(t), w)η(t)dt + (f(t), w)η(t)dt, w H 1 (Ω), η D(, T ), (.68) (A(t)u(t), ϕ(t))dt + (a(t)u(t), ϕ(t))dt+ (f(t), ϕ(t))dt, ϕ D(Q T ), (.69) Q T (u + A(t)u + au + b u f)ϕdydt =, ϕ D(Q T ), (.7) portanto, do Lema de Du Bois Raymond, segue que u + A(t)u + au + b u = f, em L (, T ; L (Ω)). (.71) Como f u au b u L (, T ; L (Ω)), de (.7) temos então, De (.7) obtemos A(t)u L (, T ; L (Ω)), u L (, T ; H 1 (Ω) H (Ω)) (.7) D(A(t)) = {u; u H 1 (Ω), A(t)u L (Ω)} = H 1 (Ω) H (Ω), logo, como feito em Lions-Magenes [1], temos } D(A 1 (t)) = {u L (Ω); λ (u, w j ) < = H(Ω). 1 ficamos com, ver [1], [D(A(t)), L (Ω)] 1 j=1 = D(A 1 (t)) = H 1 (Ω)

39 Capítulo. Existência e unicidade de solução 37 isto é, portanto, ver [1], [H 1 (Ω) H (Ω), L (Ω)] 1 = H 1 (Ω) u C ([, T ]; H 1 (Ω)). (.73) A prova de que u() = u e a unicidade de solução forte são feitas de modo análogo ao que fizemos na prova do Teorema Equivalência dos problemas Por construção do sistema (.7), u(y, t) é solução forte de (.7) se, e somente se, û(x, t) = û(τ t (y), t) é solução forte de (.3). Além disso, da regularidade de τ t e ϕ t obtemos û L (, T ; H(Ω 1 t )) H (Ω t ) C ([, T ]; H(Ω 1 t )), û L (, T ; L (Ω t )). (.74) Seja ( ) n (τt) i y j i,j=1 a matriz jacobiana da mudança de variável τ t, t T, denotemos o determinante dessa matriz por D t (y) = D(y, t), y Ω, t T, ou simplesmente por D t quando não houver perigo de confusão. A matriz jacobiana de ϕ t, t T, é ( ) n (ϕt ) i y j i,j=1 De (.1) e (.) temos e seu determinante é D(x, t) = D 1 (y, t), x Ω t, t T. ξ W (, T ; H 1 (Ω), L (Ω)) D 1 ˆξ W (, T ; H 1 (Ω t ), L (Ω t )). (.75) Então, usando o teorema da mudança de variáveis, de (.75) temos ( u(y, t) ϕ(τ ) ( ) t(y), t) u(y, t) û(x, t) + ξ(y, t)dy = ˆξ(x, t)dx. (.76) Ω t t Ω t t e mais, Ω [ A(t)u(y, t) n k,j=1 Ω t û(x, t)ˆξ(x, t)dx. ] α kj u(y, t) + u x ϕ(τ t (y), t) ξ(y, t)dy = y k y j (.77)

40 Capítulo. Existência e unicidade de solução 38 Temos também e Ω (a(y, t)u(y, t))ξ(y, t)dy = (â(x, t)û(x, t))ˆξ(x, t)dx Ω t (.78) onde usamos a notação Ω f(y, t)ξ(y, t)dy = ˆf(x, t)ˆξ(x, t)dx, (.79) Ω t ˆf = ˆv ˆχ + ŵ i ˆχ i. (.8) Agora lembrando da definição de b, das igualdades (.76)-(.79) e integrando de a T temos que ocorre ( u t, ξ ) dt + α(u, ξ)dt + (vχ O (,T ), ξ)dt + (au, ξ)dt + (w i χ Oi (,T ), ξ)dt, ξ W (, T ; H 1 (Ω), L (Ω)), ξ(t ) = ξ() =, ( b u, ξ)dt = (.81) se, e somente se, verificamos ( ) û T t, ˆξ dt + (ˆv ˆχ, ˆξ)dt + ( û, ˆξ)dt + (ŵ i ˆχ i, ˆξ)dt, (âû, ˆξ)dt + ˆξ W (, T ; H 1 (Ω t ), L (Ω t )), ˆξ(T ) = ˆξ() =, ( ˆb û, ˆξ)dt = (.8) E mais, u W (, T ; H 1 (Ω), H 1 (Ω)) C ([, T ]; L (Ω)) û W (, T ; H 1 (Ω t ), H 1 (Ω t )) C ([, T ]; L (Ω t )). Com isto verificamos que, de fato, os problemas (.3) e (.7) são equivalentes..1.4 Dependência dos controles Observação.. Da regularidade de τ t, existem constantes positivas K e K 1 tais que < K D(y, t) K 1, (y, t) Ω [, T ],

41 Capítulo. Existência e unicidade de solução 39 em particular, < K D(y, t) K 1, (y, t) Q T. (.83) As soluções fortes de (.3) e (.7) dependem linearmente dos controles ˆv, ŵ 1,..., ŵ N e v, w 1,..., w N, respectivamente. De fato, provaremos esta afirmação para as soluções de (.7), para as soluções de (.3) a prova é análoga. Dadas f 1 = v 1 χ O (,T ) + wi 1 χ Oi (,T ), e f = v χ O (,T ) + wi χ Oi (,T ), sejam u, u 1 e u, respectivamente, as únicas soluções dos sistemas u t + A(t)u + a(y, t)u + b(y, t) u = f 1 + f, em Q T, u = sobre Σ T u() = u 1 + u em Ω, (.84) onde u 1 () = u 1 e u () = u, u 1 t + A(t)u 1 + a(y, t)u 1 + b(y, t) u 1 = f 1, em Q T, u 1 = sobre Σ T u 1 () = u 1 em Ω, e u t + A(t)u + a(y, t)u + b(y, t) u = f, em Q T u = sobre Σ T u () = u em Ω. Como as equações são lineares temos que ũ = u 1 + u também é solução do sistema (.84), então pela unicidade de solução forte temos u = ũ. Além disso, se u é solução de u t + A(t)u + a(y, t)u + b(y, t) u = f em Q T u = sobre Σ T u() = u em Ω, (.85)

42 Capítulo. Existência e unicidade de solução 4 com f = vχ O (,T ) + w i χ Oi (,T ), então, da linearidade da equação e da unicidade de solução para o sistema u t + A(t)u + a(y, t)u + b(y, t) u = λf em Q T u = sobre Σ T u() = λu em Ω, temos que λu é solução do sistema λu + A(t)λu + a(y, t)λu + t b(y, t) λu = λf, em Q T λu = sobre Σ T λu() = u, em Ω. Com isto concluímos que as soluções fortes do sistema (.7) dependem linearmente dos controles v, w 1,..., w N. Observação.3. Podemos supor, sem perda de generalidade que û() =, (u() = ), pois se tivermos û() = û podemos transformar o problema em um equivalente com û =. De fato, considere û() = û e seja ẑ = ẑ(x, t), (x, t) Q T, solução do problema ẑ t ẑ + âẑ + ˆb ẑ =, em QT ẑ = sobre Σ T ẑ() = û, em Ω, então, da linearidade do problema e da unicidade de solução podemos fazer û = ẑ + ˆζ, onde ˆζ é solução do problema ˆζ t ˆζ + âˆζ + ˆb N ˆζ = ˆv ˆχ + ŵ i ˆχ i em Q T, ˆζ = sobre Σ T ˆζ() =, em Ω. Já provamos que as soluções fortes das equações (.3) e (.7) dependem linearmente dos controles ˆv, ŵ 1,..., ŵ N e v, w 1,..., w N, respectivamente. Provemos agora

43 Capítulo. Existência e unicidade de solução 41 que as soluções fortes û de (.3) e u de (.7), t T, dependem continuamente dos controles ˆv, ŵ 1,..., ŵ N e v, w 1,..., w N, respectivamente. De fato, sejam (f m ), com f m = v m χ O (,T ) + w im χ O (,T ), uma sequência de controles para (.7) e (u m ) a sequência de soluções, onde u m é solução de (.7) correspondente a f m. Suponha que f m = v m χ O (,T ) + w im χ O (,T ) f = vχ O (,T ) + w i χ O (,T ), (.86) em L (Q T ), quando m então, seja u a solução do sistema (.7) com controle f. Considere z m = u m u e g m = f m f, e pela observação.3 podemos supor u m = u =, então z m = u m u =. Logo, procedendo de modo análogo ao que foi feito para obter a desigualdade (.1) obtemos z m (t) + z m (t) dt C onde C > é uma constante. Então, z m (t) C e da desigualdade de Gronwall obtemos g m (t) dt + C z m (t) C T ( Logo, desta desigualdade e de (.86) obtemos z m (t), De (.87) e (.88) obtemos Portanto, g m (t) dt + C ) g m (t) dt. z m (t) dt z m (t) dt, (.87) z m (t) dt, m. (.88) z m (t) dt, m. (.89) u m u, em L (, T, H 1 (Ω)), quando m. De modo análogo, usando a mudança de variáveis τ t, obtemos que se ( ˆf m ), com ˆf m = ˆv m hˆχ+ ŵ im ˆχ i, uma sequência de controles para (.3) e (û m ) a sequência de soluções,

44 Capítulo. Formulação do problema e metodologia 4 onde û m é solução de (.3) correspondente a ˆf m com û m () = û m =. Então supondo temos ˆf m = ˆv m hˆχ + ŵ im ˆχ i ˆf = ˆv ˆχ + ŵ i ˆχ i, em L ( Q T ) û m û, em L (, T, H(Ω 1 t )), m. Do que foi feito nesta seção temos que, para qualquer escolha dos controles ˆv, ŵ 1,..., ŵ N, podemos escrever a correspondente solução û, (com û = ), em um tempo t como û(t) = Ŝ(t)ˆv + Ŝ i (t)ŵ i, t T, (.9) onde Ŝ e Ŝi, i = 1,..., N, são operadores lineares e contínuos dos controles. Para t = T, escrevemos û(t ) = L ˆv + L i ŵ i, (.91) onde L e L i, i = 1,..., N, são operadores lineares e contínuos dos controles. De modo análogo, escrevemos u(t) = S (t)v + S i (t)w i, t T, (.9) com S e S i, i = 1,..., N, operadores lineares e contínuos dos controles. Para t = T, escrevemos u(t ) = L v + L i w i, (.93) com L e L i, i = 1,..., N, são operadores lineares e contínuos dos controles v, w 1,..., w N, onde u é a solução forte para (.7) correspondendo a esses controles com condição inicial u() = u =.. Formulação do problema e metodologia Como o próprio nome da seção já sugere, agora vamos explicar qual é o tipo de problema de controle que vamos resolver e qual o método usado.

45 Capítulo. Formulação do problema e metodologia 43 Como a solução û do sistema (.3) depende de ˆv, ŵ 1,..., ŵ N, algumas vezes usaremos a notação û = û(x, t, ˆv, ŵ 1,..., ŵ N ). Controle Hierárquico foi o nome dado por J.-L. Lions a um tipo de controle que se baseia num esquema de líder e seguidores. Mais explicitamente, o controle ˆv faz sua escolha independentemente dos outros controles, por isto, chamamos ˆv de líder, já os controles ŵ 1,..., ŵ N fazem sua escolha dependo da escolha de ˆv e são chamados seguidores. Muitas vezes para enfatizar a dependência dos seguidores escrevemos ŵ 1 (ˆv),..., ŵ N (ˆv). Para localizar a ação dos seguidores, introduzimos as funções ˆρ i : Ω R, i = 1,..., N dadas por onde Ĝi é uma região próxima de onde ŵ i atua. ˆρ i (x), ˆρ i (x) = 1 em Ĝi Ω, (.94) Os controles devem trabalhar no sentido de fazer com que û(x, T ), onde û é a solução da equação (.3), se aproxime de um estado ideal û T (x). Para i = 1,..., N definimos os seguintes funcionais custos ĵ i (ˆv, ŵ 1,..., ŵ N ) = 1 ŵ i (x, t) Rdxdt + α i O it ˆρ i[û(x, T, ˆv, ŵ) û T (x)] L (Ω T ) (.95), onde, denotamos ŵ = ŵ 1,..., ŵ N e, para i = 1,..., N, α i > são constantes. Observação.4. Da existência, unicidade e regularidade da solução û de (.3), os funcionais ĵ i, i = 1,..., N, estão bem definidos. Após o líder ter feito uma escolha ˆv em sua estratégia, lembrando que as escolhas do líder são independentes, os seguidores buscam encontrar um Equilíbrio de Nash para os funcionais custo ĵ 1,..., ĵ N, isto é, buscam controles ŵ 1,..., ŵ N de ˆv que minimizem simultaneamente seus custos. controles ŵ 1 (v),..., ŵ N (v), satisfazendo dependendo Ou seja, trabalham para obter ĵ i (ˆv, ŵ 1,..., ŵ i 1, ŵ i, ŵ i+1,..., ŵ N ) ĵ i (ˆv, ŵ 1,..., ŵ i 1, w i, ŵ i+1,..., ŵ N ), (.96) para todo w i L (ÔiT ). Em outras palavras, supondo que o líder tenha feito uma escolha ˆv, os seguidores fazem escolhas ŵ 1 (v),..., ŵ N (v) tais que ĵ i (ˆv, ŵ 1,..., ŵ i 1, ŵ i, ŵ i+1,..., ŵ N ) = inf ĵ i (ˆv, ŵ 1,..., ŵ i 1, w i, ŵ i+1,..., ŵ N ). w L (ÔiT )

46 Capítulo. Formulação do problema e metodologia 44 Uma vez obtido o Equilíbrio de Nash ŵ(v) = (ŵ 1 (v),..., ŵ N (v)), para cada controle ˆv, o líder trabalha para que u(x, T, ˆv, ŵ(v)) se aproxime do estado ideal u T (x). O que é possível, como veremos adiante, desde que o sistema seja aproximadamente controlável. Este processo é chamado de Estratégia de Stackelberg-Nash. Segue então, dois pontos que devemos mostrar: (i) Existência de um único equilíbrio de Nash para os funcionais custo ĵ 1,..., ĵ N ; (ii) Supondo que existe um equilíbrio de Nash, quando ˆv varia em L (Ô) o conjunto das funções û(x, T, ˆv, ŵ(v)), onde û(x, t, ˆv, ŵ) é solução forte do sistema (.3), é denso em L (Ω T ). Observe que o ponto (ii) nos permite aproximar u T. Essas questões já foram resolvidas por Diaz e Lions em [5] no caso do domínio cilíndrico. Mostraremos, nos próximos capítulos, através da mudança de variáveis τ t os pontos (i) e (ii) no caso não cilíndrico.

47 Capítulo 3 Controlabilidade Aproximada Transformamos o sistema (.3) no sistema equivalente (.7), neste capítulo provaremos que o sistema (.3) é aproximadamente controlável, provando que o sistema (.7) é aproximadamente controlável. Neste sentido precisamos antes definir e provar algumas propriedades dos funcionais custo em Q T. 3.1 Funcionais Custo no domínio cilíndrico Nesta seção iremos definir os funcionais custos no domínio cilíndrico Q T. Observaremos que as propriedades que provaremos para os funcionais custo em Q T também valem para ĵ 1,..., ĵ N. Usando o Teorema da Mudança de Variáveis, para i = 1,..., N, obtemos 1 T ŵ i (x, t) Rdxdt = 1 ŵ i (τ t (y), t) O it Rdxdt = τ t(o i ) = 1 D t (y) w i (y, t) Rdydt O i e, analogamente, α i ˆρ i(x)[û(x, T, ˆv, ŵ) û T (x)] L (Ω T ) = α i ˆρ i (x)[û(x, T, ˆv, ŵ) û T (x)] Rdx = Ω T = α i D t (y) ρ i (y)[u(y, T, v, w) u T (y)] Rdy, onde ρ i (y) = ˆρ i (τ t (y)) = ˆρ i (x). Ω