Unidade I 2. Dilatometria. Professor Dr. Edalmy Oliveira de Almeida

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1 Governo do Estado do Rio Grande do Norte Secretaria de Estado da Educação e da ultura - SEE UNIVERSIDADE DO ESADO DO RIO GRANDE DO NORE - UERN Pró-Reitoria de Ensino de Graduação PROEG Home Page: proeg@uernbr UNIDADE: ampus Avançado de Natal Unidade I Dilatometria Professor Dr Edalmy Oliveira de meida

2 Dilatação érmica de Sólidos e íquidos Se analisarmos a estrutura interna de um sólido, podemos entender por que ocorre a dilatação O sólido se distribui ordenadamente, dando origem a uma estrutura de rede cristalina Ocorre, quando a temperatura dos corpos aumenta A agitação também aumenta e faz com que as moléculas se afastam mais e mais, aumentando os espaços entre moléculas Fig 6 A elevação da temperatura acarreta um aumento na distancia média entre os átomos de um sólido Diversos exemplos podem ser citados utilizando a dilatação entre elas podemos ditar o termômetros e termostatos podem ser baseados nas diferenças de dilatação entre os componentes de uma tira bimetálica

3 Fig 6 ira bimetálica, consiste numa tira de latão e numa de aço soldadas Fig 5 Um termômetro que utiliza uma lâmina bimetálica Esta é enrolada em forma de hélice e aperta ou afrouxa o enrolamento quando a temperatura varia DIAAÇÃO: Dilatação inear (em uma dimensão) Dilatação Superficial (em duas dimensões) 3 Dilatação Volumétrica (em três dimensões) 4 Dilatação dos íquidos

4 Dilatação inear: Fig 7 Dilatação linear de um sólido endo em vista que a dilatação de uma barra é diretamente proporcional ao comprimento inicial e diretamente proporcional à variação de temperatura, e que dependendo do material (), onde é uma constante de proporcionalidade denominado coeficiente de dilatação (característico de cada material) chegamos a seguinte conclusão α

5 Outra expressão para a dilatação linear é obtida substituindo por - como mostrado abaixo: Unidades e o significado de α α α ( α ) Isolando-se o termo, na equação tem-se: α Sendo iguais as unidades de e, resta a unidade de, que é (ou F, K ou outras) α km,m,cm,etc km,m,cm,etc Δ α

6 Gráfico da dilatação linear Uma barra de comprimento é levado a partir de, para temperaturas sucessivamente maiores Se anotarmos o comprimento da barra para cada temperatura e colocarmos no diagrama (, ) teremos: α g como g g ogo temos que Fig 8 Gráfico da dilatação linear

7 abela guns oeficientes de Dilatação inear

8 Exemplo 3: Os trilhos de aço de uma ferrovia foram colocadas quando a temperatura era de Que vão deve ser deixado entre as seções dos trilhos para que eles apenas se toquem quando a temperatura subir para 4? As seções têm,mm de comprimento O coeficiente de dilatação linear do aço é x -6 / Dados do problema: i = Δ =? f = 4 = mm α = x -6 / Δ i = f = 4 (mm) x (x 5,5x 5,5m 3 6 m 6 / m) x 6 / (4 (4 ) )

9 Exemplo 4: Um fio de aço, cujo comprimento é de 3 cm e cujo diâmetro d é de, mm, é aquecido a uma temperatura média de 83 e esticado, entre dois suportes rígidos Que tensão se desenvolve no fio quando ele é resfriado para? Dados do Problema: = 3 cm d =, mm F f = 83 i = F Δ = (83 - ) F =? Onde A = πr F E A E A F F = ensão, A = área, E = módulo de young, Δ = variação do comprimento, = comprimento final, OBS: módulo de young para o aço é x 9 N/m

10 ,5,,6 ) (83 / ) (3 m x A m x π A d π A πr A m x x m x α N F N F m m m N m x x x F m x m x m N x m x F 7,3 695,3 9,5,6 3 ) )(9,5 / )( (, alculando Δ, e a área temos alculando a tração F temos

11 Dilatação Superficial Para analise considere uma placa retangular na temperatura inicial área A = a b, sendo a e b dimensões lineares Na temperatura final, a área é A = ab, onde a e b são dimensões lineares nessa temperatura Aplicando a lei da dilatação linear a cada uma das dimensões, vem: a A = a b b b A a = a ( + ) b = b ( + ) Multiplicando membro a membro essas expressões, obtemos: a A ab = a b ( + ) A = A ( + + ) Fig 9 Dilatação superficial

12 Desprezando o termo por ser muito pequeno e fazendo =, vem: Nessa expressão = constitui o coeficiente de dilatação superficial do material de qual é feito a placa A partir da expressão anterior temos que: A A A A βa βa Mas A - A = A é a variação de área sofrida pela placa Assim, A βa Portanto, a dilatação superficial A é diretamente proporcional à área inicial A e à variação de temperatura

13 3 Dilatação volumétrica Para a análise da dilatação volumétrica, de um paralelepípedo em duas temperatura e As dimensões lineares desse sólido são a, b, c na temperatura inicial, passando para a, b, e c quando na temperatura final Os volumes iniciais e finais valem respectivamente: V = a b c ; V = a b c Aplicando a lei da dilatação linear a cada uma das dimensões, vem a b V = a b c c a = a ( + ) b = b ( + ) c = c ( + ) a b V = a b c Fig Dilatação volumétrica c Multiplicando membro a membro as expressões anteriores, obtemos: abc = a b c ( + ) 3 V = V ( )

14 Os termos que apresenta e 3 são muito pequenos e podem ser desprezados Assim, fazemos 3 = vem: V V ( γ ) Nessa expressão, = 3 constitui o coeficiente de dilatação volumétrica do material de que é feito o sólido A partir da expressão anterior: V = V + V V - V = V omo V - V = V é a variação de volume sofrido pelo sólido, temos: V γv Portanto, a dilatação volumétrica V é diretamente proporcional ao volume inicial V e à variação de temperatura

15 Exemplo 5: Num dia quente em as Vegas, um caminhão de óleo é carregado com 9785 gal de combustível diesel O tempo está frio e, chegando em Payson, Utah, onde a temperatura estava 4 F mais baixo que em as Vegas, entregou a carga total Quantos galão descarregou? O coeficiente de dilatação volumar do óleo diesel é 9,5 x -4 / e o coeficiente de dilatação linear do aço do caminhão é x -6 / Dados do problema: V = 9785 gal Δ = 4 F V V des V V V des V V DES =? γ = 9,5 x -4 / V Vβ 5 F 9 3

16 alculando a temperatura de F para 5 F alculando a variação de volume temos Por fim o calculo do volume de descarga V V V des des des V V ( ,5gal 46,5) gal V Vβ V (9785gal)(9,5x 4 / )(5 ) V 46,5gal

17 3 Dilatação de um material anisótropo Z Z Y X X Fig Dilatação anisótropico Y Após o aquecimento, o corpo mantém o seu formato original, mas em proporções diferentes, pois os coeficientes de dilatação linear em cada direção não são iguais entre si Identificando-se os coeficientes de dilatações lineares x y, nas direções x, y e z, respectivamente, valem as seguintes relações: V V ( γ ) V γv onde = x + y + z Na dilatação superfícial, verifica-se uma relação semelhante como na dilatação xy: A XY A XY x A XY A ( y XY )

18 Relação entre,, e Sendo o coeficiente de dilatação volumar do líquido e igual a, onde α é o coeficiente de dilatação linear, e que é o coeficiente de dilatação dos líquidos e igual a 3, tem-se 3 ogo temos: 3 5 Dilatação dos íquidos: A dilatação dos líquidos seguem a mesma lei da dilatação dos sólidos Assim, a variação V do volume, líquido é diretamente proporcional ao volume inicial V e a variação de temperatura ocorrida: V γv onde é uma constante denominada coeficiente de dilatação real do líquido cujo unidade é o grau -

19 Ao aquecermos um conjunto de líquido e recipiente, parte do líquido sai pelo ladrão, o volume extravasado mede a dilatação aparente do líquido (ΔV ap ) e não a dilatação real ΔV, pois o recipiente dilatou Sendo conhecido a dilatação do recipiente, podemos determinar a dilatação que realmente sofre o líquido: V V AP V RE A dilatação aparente ΔV ap e a dilatação do recipiente ΔV rec são proporcional ao volume inicial V e à variação de temperatura Δ V γ V V γ V ap ap rec rec Nestas expressões, ap é o coeficiente de dilatação aparente do líquido rec é o coeficiente de dilatação volumétrica do recipiente

20 5 Relação entre os coeficientes omparando as expressões anteriores com a lei da dilatação do líquido, obtemos: rec ap rec ap rec ap rec ap rec ap ou V V V V V V V V

21 Anomalia da água No estado sólido, os átomos de oxigênio, que são muito eletronegativos, unem-se aos átomos de hidrogênio através da ligação denominada ponte de hidrogênio Em conseqüência disso, entre as moléculas, formam-se grandes vazios, aumentando o volume externo (aspecto macroscópico) Fig Dilatação da água Quando a água é aquecida de a 4, as pontes de hidrogênio rompem-se e as moléculas passam a ocupar os vazios antes existentes, provocando, assim, uma contração Portanto, no intervalo de a 4, ocorre, excepcionalmente, uma diminuição no volume Mas, de 4 a, a água dilata-se normalmente

22 Este comportamento da água é a razão por que os lagos congelam de cima para baixo e não do fundo para a superfície Á medida que as camadas da superfície esfriam-se, digamos, de até o ponto de congelamento, elas se tornam mais densas e afundam Fig 3 ago congelado

23 Diagrama de fase da água Pressão (atm) Fig 4 Ponto triplo da água emperatura ( )

24 ista de exercícios do livro Halliday Resnick volume páginas 7 e 8 Questões de números:,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,, 3, 4, 7, 8 e

25 rês barras retas de alumínio, invar e aço, de mesmo comprimento, formam a um triângulo equilátero com articulações nos vértices A que temperatura o ângulo oposto ao lado de invar será de 59,95? cos inv inv inv inv inv inv

26

27 cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos

28 7,7 6 66, , ,46497 cos cos 6 cos 6 cos cos 59, ,95 cos59, Um cubo de alumínio de aresta, cm flutua em mercúrio Se a temperatura subir de 7 para 3 K, quanto afundará o cubo Dado, o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é,8 x -4 / Dados: α alumínio = 3x -6 /