Capítulo 2 - BALANÇOS DE MASSA SEM REAÇÃO QUÍMICA

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1 Capítulo 2 - BALANÇOS DE MASSA SEM REAÇÃO QUÍMICA 2.1 O Conceito de Balanço de Massa O Balanço de Massa (BM) é uma restrição imposta pela natureza.! A lei da conservação de massa nos diz que a massa não pode nem ser criada, nem destruída. Logo, não havendo acúmulo de massa no interior de um equipamento, tem-se ao longo de um determinado intervalo de tempo que: massa total na entrada = massa total na saída e i s j equipamento Fazendo o intervalo de tempo tender a zero, ao invés de quantidades de massa passamos a falar em termos de vazões: vazão mássica total que entra = vazão mássica total que sai Reescrevendo em linguagem matemática, tem-se: n i= 1 m e i = s j = 1 j onde e i é a vazão mássica da corrente de entrada identificada pelo índice i e n o número total de correntes de entrada, ou seja, para o processo representado na figura n = 2. Por outro lado, 47

2 s j é a vazão mássica da corrente de saída, identificada pelo índice j, e m é o número de correntes de saída (no processo da figura m=3). Observe que na elaboração de um BM deve-se definir um sistema (volume de controle), que pode ser um processo completo, um equipamento ou um conjunto de equipamentos. As corrente envolvidas no BM são então aquelas que atravessam as fronteiras do sistema (superfície de controle). Assim o BM nada mais é do que um inventário de um determinado material em relação à um sistema definido. O balanço de massa é fundamental para a análise do projeto de um novo processo, bem como de um processo já existente. 2.2 Algumas Definições Importantes Um sistema é classificado em função da ocorrência de transferência de massa através de sua fronteira em: Aberto há transferência de material através da fronteira do sistema; Fechado não há transferência de material através das fronteiras do sistema, durante o intervalo de tempo de interesse. Analogamente, a operação de um processo pode ser classificada como: Operação em Batelada massa não cruza as fronteiras do processo durante o tempo da batelada. O sistema é alimentado e os produtos são retirados de uma só vez, no início e ao final do tempo de processo, respectivamente. Assim, o processo ao longo da batelada se comporta como um sistema fechado. Normalmente, esta estratégia de operação é usada para produzir pequenas quantidades de especialidades químicas, produtos sazonais ou feitos por encomenda; Operação Contínua há, continuamente, a passagem de massa através das fronteiras do processo através das correntes de entrada e de saída. Desta forma o processo se comporta como um sistema aberto. Esta operação é característica de grandes volumes de produção, como ocorre, por exemplo, no refino do petróleo e na indústria petroquímica; Operação Semi-batelada ou Semi-contínua qualquer processo que não é operado nem em batelada e nem contínuo. Um exemplo deste tipo de processo é aquele onde uma 48

3 massa de líquido é alimentada em um reator e gás é borbulhado durante um certo tempo através do líquido. Ao final, a passagem de gás é interrompida e o líquido retirado do reator. Um processo que opera desta forma é o de cloração de benzeno. A operação de um processo também pode ser classificada conforme o comportamento das variáveis ao longo do tempo: Operação em Regime Estacionário os valores das variáveis de processo (T, P, vazões, concentrações etc) não variam com o tempo em qualquer posição fixa; Operação em Regime Transiente os valores das variáveis variam com o tempo em alguma posição fixa do processo. O processo em batelada tem uma natureza tipicamente transiente, enquanto os processos contínuos operaram normalmente em regime estacionário. O comportamento típico de uma variável de processo ao longo do tempo, de acordo com o tipo de operação, é apresentado nas Figuras e processo real contínuo partida parada Figura Comportamento Típico de uma Variável em um Processo Contínuo 49

4 X Figura Comportamento Típico de uma Variável em um Processo em Batelada t 2.3 Equações Relacionadas ao Balanço de Massa De uma forma geral, um processo pode ser representado pelo esquema a seguir: e i s j processo Pensando em termos do balanço de qualquer grandeza em relação às fronteiras do processo, tem-se entradas consumo geração acúmulo saídas 50

5 O balanço, ou inventário, da grandeza em relação à fronteira definida é dado por: onde, {e} - {s} + {g} - {c} = {a} e quantidade da grandeza que entra através da fronteira do sistema s quantidade da grandeza que sai através da fronteira do sistema g quantidade da grandeza gerada no interior do sistema c quantidade da grandeza consumida no interior do sistema a quantidade da grandeza acumulada no interior do sistema Uma forma alternativa de representar o balanço une em uma única parcela os termos ligados à geração e ao consumo. A equação geral do balanço é então escrita na forma: {e} - {s} + {g} = {a} onde agora o termo {g} representa a quantidade da grandeza gerada no interior do sistema, agora admitindo valor negativo quando houver consumo. Um exemplo corriqueiro onde aplicamos este conceito de balanço no dia a dia é uma conta corrente ou conta de poupança em um banco, na qual a grandeza envolvida é o dinheiro. Nos balanços de massa a grandeza envolvida está relacionada com a quantidade de matéria. Os balanços de massa podem ser efetuados em termos globais ou por componente. Quando baseados nos componentes eles podem ser representados em termos de substâncias (moléculas) ou de átomos. Balanços de Massa: Global Por Componente: - substâncias (moléculas) - átomos Note que os termos que representam a geração ou o consumo de massa no interior do sistema são, por definição, nulos quando se trabalha em termos globais. Na ausência de reações nucleares, estes termos também são nulos em balanços atômicos. 51

6 Seja o processo representado a seguir, onde há uma corrente de entrada e uma de saída, e três componente: A B x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 Sendo A a vazão total (global) da corrente de entrada e B a da corrente de saída, as respectivas composições são representadas pelas frações correspondentes, x i e y i, onde o índice i varia de 1 a 3 identificando os componentes (por uma obrigação de compatibilidade, se as vazões são informadas em termos mássicos as frações devem ser mássicas ou se as vazões forem molares as frações também têm que ser molares). Para este processo, pode-se escrever: Balanço de Massa Global: A - B + {g} = {a} Balanço de Massa por Componente: Componente 1: e 1 - s 1 + g 1 = a 1 Componente 2: e 2 - s 2 + g 2 = a 2 Componente 3: e 3 - s 3 + g 3 = a 3 O termo que representa a geração na equação global {g} é nulo quando se trabalha em termos mássicos (massa não é gerada) e pode ser diferente de zero em termos molares quando há reação química no interior do processo. Convém ainda ressaltar que, nas equações dos balanços por componente, as vazões dos componentes (e i e s i ) estão relacionadas com as vazões totais através das relações: e i = x i A ou s i = y i B. Assim, por exemplo, e 1 = x 1 A ou s 2 = y 2 B. Pode-se então escrever as equações dos balanços por componente, alternativamente, da seguinte forma: Componente 1: A.x 1 - B.y 1 + g 1 = a 1 Componente 2: A.x 2 - B.y 2 + g 2 = a 2 Componente 3: A.x 3 - B.y 3 + g 3 = a 3 52

7 Além das equações que representam o balanço de massa, em função da definição das frações que representam a composição de cada corrente, há duas restrições implícitas: Observe que, como x = 1 e y = 1. i x i ni = e n = n i n i ; x i = ni n = n n = 1. onde n i é o número de moles do componente i na corrente e n é o número total de moles na corrente. Isto prova a validade das duas restrições apresentadas. Cabe também ressaltar que o somatório das gerações e dos acúmulos, computados em relação à cada componente ({g i ) e {a i }), é igual ao valor global correspondente: Σ {g i } = {g} e Σ {a i } = {a}. Em sistemas sem reações químicas os termos ligados à geração são identicamente nulos. Por outro lado, em operações em regime estacionário os termos ligados aos acúmulos são nulos, por definição. Assim, não havendo reação química e considerando operação em regime estacionário, tem-se: Balanço de Massa Global: A - B = 0 Balanço de Massa por Componente: Componente 1: A.x 1 - B.y 1 = 0 Componente 2: A.x 2 - B.y 2 = 0 Componente 3: A.x 3 - B.y 3 = 0 Restrições de Composição: x = 1 e y = 1. i i 53

8 Note então que, nesse problema, com 3 componentes e 2 correntes, sem reação e em regime estacionário, são obtidas as seguintes equações: 1 BM global 3 BM por componente 6 equações 2 Restrições de Composição Modelo matemático do processo Sistema de equações algébricas A solução deste modelo, que estabelece relações entre diversas variáveis, permite a determinação de variáveis antes não especificadas. Desta forma é possível completar o conhecimento do conjunto de parâmetros que descrevem a operação do processo e são pertinentes para avaliações econômicas, análise de controle, cálculos de otimização etc. posteriores. Neste capítulo, serão trabalhos problemas sem a presença de reação química. Em relação ao acúmulo, os termos correspondentes são normalmente representados por expressões diferenciais, o que gera equações diferenciais para representar os balanços. Como ainda não temos conhecimento suficiente de Cálculo para resolver este tipo de equação, nos restringiremos neste curso a problemas em regime estacionário, nos quais, por definição, o acúmulo é nulo Análise do Grau de Liberdade em Sistemas de Equações Neste ponto é interessante relembrar que para resolver um sistema de equações é necessário efetuar uma análise da relação entre as quantidades disponíveis de variáveis (Nv) e de equações independentes (Neq). Esta análise pode ser feita através do grau de liberdade do sistema(g), definido da seguinte forma: G = Nv - Neq. 54

9 De acordo com o valor do grau de liberdade, tem-se: Nv = Neq G = 0 solução única Nv > Neq G > 0 solução indeterminada Nv < Neq G < 0 solução impossível A seguir são apresentados alguns exemplos para uma melhor visualização do conceito de grau de liberdade. Exemplos: #1. 2x - 3y = 1 3x - 4y = 4 2 eqs independentes 2 variáveis G = 0 Solução única para x e y. #2. 2x - 3y = 1 4x - 6y = 2 2 eqs. dependentes 1 eq. independente 2 variáveis G = 1. Havendo um grau de liberdade, o sistema tem infinitas soluções localizadas sobre a reta, definida pela equação independente do sistema. Assim, 2x - 3y = 1 Infinitas Soluções - Pares (x,y) localizados sobre a reta definida pela equação. 55

10 y x Note que nesse caso, o problema terá solução única se uma das duas variáveis (x ou y) for especificada. Assim, para x = 2, da equação 2x - 3y = 1, temos que y = 1. Observe que, ao especificar o valor de um número de variáveis igual ao grau de liberdade do sistema, o conjunto de equações passa a ter solução única. #3. 2x - 3y = 1 3x - 4y = 4 -x + y = 5 3 eqs. dependentes 2 variáveis G = - 1 G < 0 O sistema não tem solução possível, ou seja, há a especificação de um número excessivo de variáveis. Voltando ao exemplo do balanço de massa, note que a combinação das equações dos balanços por componente com as restrições de composição das correntes leva à equação do balanço de massa global. Desta forma, no conjunto de equações que forma o modelo matemático do problema há uma equação dependente, ou seja, o número de equações independentes é igual ao número de equações menos um. Assim, temos neste modelo 5 equações independentes, ou seja: Neq = 5. Em relação ao número de variáveis envolvidas, tem-se: Nv = 8 ( A, B, x 1, x 2, x 3, y 1, y 2, y 3 ) G = 3 56

11 ou seja, devemos especificar, pelo menos, três variáveis para que o problema seja bem formulado. O estudo dos Balanços de Massa neste Curso será efetuado através da solução comentada de exemplos ilustrativos. Os novos conceitos que aparecem nestes exemplos são apresentados de forma destacada, antes da discussão do exemplo Procedimento para a Solução de Problemas Envolvendo Balanços de Massa: Antes de partirmos para o nosso estudo de balanços de massa, apresentamos uma seqüência de etapas que devem ser cumpridas na solução de problemas. Na realidade, esta seqüência serve para orientar a resolução de problemas envolvendo balanços, principalmente para alunos iniciantes nesta arte. Cabe ressaltar que ela não representa uma receita que deva ser seguida eternamente e de forma imutável, pois certamente, com o passar do tempo e aumento do número de exercícios resolvidos, você acabará desenvolvendo a sua forma de resolver estes problemas. 1) Definir o processo e conseqüentemente as fronteiras nas quais o balanço será efetuado construção do fluxograma: diagrama do fluxo de massa; 2) Rotular vazões e composições, identificando assim as variáveis pertinentes; 3) Verificar valores conhecidos e desconhecidos: colocar no fluxograma 4) Definir a base de representação das vazões e composições (mássicas ou molares) e unificar as unidades nas quais estão representadas as variáveis conhecidas; 5) Fazer os balanços convenientes, escrevendo as equações correpondentes: equações do modelo - lembre que ao fazer cálculos o conjunto de equações deve conter somente equações independentes 6) Selecionar base de cálculo geralmente, próprio dado do problema. 57

12 Exemplo Ilustrativo 01: 1000 kg/h de uma mistura de benzeno e tolueno, que contém 50% de benzeno em massa, são separados por destilação em 2 frações. A vazão mássica na corrente de topo contém 450 kg/h de benzeno e na corrente de fundo há 475 kg/h de tolueno. Calcule as vazões dos componentes, as vazões totais de cada corrente e as frações mássicas e molares dos componentes nas correntes. Solução: B Y b =450kg/h A kg/h z b = 0,5 B kg/h Y b = 450 kg/h Y t = 25 kg/h z t = 0,5 Z b = 500 kg/h Z t = 500 kg/h C X b, X t = 475kg/h C kg/h X b = 50 kg/h X t = 475 kg/h Base de Cálculo: 1000 kg/h na alimentação Equações: Restrição de Composição na corrente A e definição de fração mássica: z b + z t = 1 0,5 + z t = 1 z t = 0,5 Z b = z b * B z b = 0,5*100 z b = 500 kg/h z t = z t * B z t = 0,5*100 z t = 500 kg/h Balanço de Massa por Componente: e = s 58

13 benzeno: Z b = Y b + X b 500 = X b X b = 50 kg/h tolueno: Z t = Y t + X t 500 = Y t Y t = 25 kg/h Assim: B = Y b + Y t = = 475 kg/h C = X b + X t = = 525 kg/h Verificação, utilizando o Balanço de Massa Global: A = B + C 1000 = OK! Note que esse problema envolve poucas equações, sendo então possível resolvê-lo seqüencialmente. Conhecidas as vazões totais e as vazões por componente em cada corrente é possível, a partir da definição de fração, a determinação das frações mássicas de cada componente (w i ) em cada corrente. Lembrando então que: w mi = massa total i = vazão do componente vazão total i corrente A w b = 0,5 e w t = 0,5 corrente B w b = 0,947 e w t = 0,053 corrente C w b = 0,095 e w t = 0,905 Definidas todas as informações na base mássica, pode-se fazer a mudança de base para a molar facilmente, desde que se defina uma quantidade de referência para os cálculos. Lembre-se que a composição de uma mistura não é função da quantidade total da mistura. Assim, essa quantidade de referência pode ser qualquer uma, podendo ser então escolhida de modo a facilitar as contas. Nas tabelas a seguir são mostradas as passagens da base mássica para a molar em todas as correntes. O valor de referência para os cálculos foi arbitrado igual a vazão total de cada corrente. 59

14 Na corrente A: Composto Vazão mássica (kg/h) Massa molecular Vazão Molar (kmol/h) Fração molar benzeno ,41 0,54 tolueno ,44 0, ,85 Na corrente B: Composto Vazão mássica (kg/h) Massa molecular Vazão Molar (kmol/h) Fração molar benzeno ,77 0,955 tolueno ,27 0, ,04 Na corrente C: Composto Vazão mássica (kg/h) Massa molecular Vazão Molar (kmol/h) Fração molar benzeno ,64 0,11 tolueno ,16 0, , Componente Chave ou de Amarração Componente que aparece em um menor número de correntes. Em função desta característica, a equação do balanço de massa deste componente possui menos termos do que as equações para os demais componentes. Este fato implica, em muitas vezes, no aparecimento de somente uma incógnita do problema na equação relativa ao componente chave, permitindo assim a sua imediata determinação. 60

15 Exemplo Ilustrativo 2: O processo de dessalinização de água salgada pode ser conduzido de diversas formas e pode ser utilizado com dois objetivos: produção de sal (NaCl) e produção de água dessalinizada para posterior utilização pela comunidade. A produção de sal (NaCl) a partir da água do mar envolve a concentração da água salgada até a sua saturação, quando inicia a precipitação do sal, que é então separado. Em função das características climáticas no Brasil, aqui este processo é conduzido utilizando energia solar como fonte de energia para o processo de evaporação da água do mar. O local onde ele é conduzido é chamado de salina, sendo praticamente uma atividade artesanal. A produção de água dessalinizada a partir da água do mar é comum nos países do Oriente Médio, onde os recursos hídricos são escassos e há grande disponibilidade de combustíveis fósseis. Com este objetivo, a água do mar é evaporada formando duas correntes: uma de água salgada (salmora), com uma concentração de sal acima da água do mar alimentada, que é retornada ao mar; e outra de vapor livre do sal, que é posteriormente condensado formando a corrente de água dessalinizada. Um esquema simplificado desse processo é mostrado na figura a seguir: Água do Mar Processo de Dessalinização Água Dessalinizada Salmora Considere que a fração mássica de sal na água do mar seja igual a 0,035. Determine a quantidade de água do mar necessária para produzir lb/h de água dessalinizada. Em função de problemas relacionados à corrosão dos equipamentos envolvidos no processo, a fração mássica na salmora descartada está limitada a 0,07. Esquema, com as informações fornecidas: Água do Mar H2Om =? xs = 0,035 xa =? Processo de Dessalinização Salmora H2Os =? ys = 0,07 ya =? Água Dessalinizada H2Od = 1000 lb/ za = 1,0 zs = 0,0 61

16 Balanço de Informações: Solução: Número de incógnitas: 04 Equações: 02 restrições (correntes de água do mar e de salmora); 02 equações do balanço de massa por componente; 01 equação do balanço de massa global; - 01 em função da dependência linear entre as equações de balanço dos componentes e a global; Equações independentes: 04 Grau de liberdade na formulação: G = Ni - Ne = 4-4 = 0 # As frações mássicas restantes são facilmente determinadas através das restrições: Na corrente de água do mar: x a + x s = 1,0 x a + 0,035 = 1,0 x a = 0,965 Na corrente de salmora: y a + y s = 1,0 y a + 0,07 = 1,0 y a = 0,93 # Quantidade necessária de água do mar: Identificando o sal como componente chave neste problemas, temos para o seu balanço de massa: x s. H2Om = y s. H2Os 0,035 H2Om = 0,07 H2Os (1) Do balanço global: H2Om = H2Os + H2Od H2Om = H2Os (2) Resolvendo o sistema formado por (1) e (2): H2Om = lb/h H2Os = lb/h. Observações: i) A equação restante do balanço de massa, não utilizada em função da dependência linear, pode ser empregada para verificar os resultados obtidos: Em relação à água: x a. H2Om = y a. H2Os + z a. H2Od 0,965 x 2000 = 0,93 x x =

17 ii) Apesar da simplicidade destes resultados, eles representam o ponto de partida para o dimensionamento dos equipamentos do processo (evaporadores, condensadores, bombas, etc.) e das tubulações, e permitem ainda uma avaliação preliminar dos custos envolvidos no empreendimento. iii) Apesar de não ter sido especificado, o resultado está baseado na produção de lb/h de água dessalinizada. Este dado é chamado de base de cálculo no procedimento de solução. Exemplo Ilustrativo 3: Um experimento sobre a taxa de crescimento de certos micro-organismos requer que se estabeleça um ambiente de ar úmido enriquecido em oxigênio. Três correntes são alimentadas em um evaporador para produzir a corrente com a composição desejada. As três correntes de entrada são: i) Água líquida, alimentada na vazão de 20 cm 3 /min; ii) Ar (21% de O 2 e 79% de N 2, em base molar); iii) Oxigênio puro, com vazão molar igual a (1/5) da vazão do ar. A corrente de saída, no estado gasoso, apresenta 1,5% de H 2 O, em base molar. Calcule as vazões de ar, de oxigênio puro e de produto, bem como a composição do produto. Dados complementares: Densidade da água líquida: ρ = 1 g/cm 3 ; Massa molar da água: M a = 18 g/mol. Esquema, com as informações fornecidas: 20 cm3/min = W mol/min H2O líq. Ar; Q mol/min 0,21 de O2 0,79 de N2 Evaporador Produto; P mol/min 0,015 de H2O x de O2 y de N2 O2 puro; A mol/min Como as unidades dos dados fornecidos não são compatíveis, nesta etapa de sua organização é importante providenciar a sua homogeneização. Isto feito, não há necessidade de preocupação com unidades ao longo dos cálculos e já se sabe qual a unidade dos resultados obtidos. 63

18 Concentrações: Frações molares; Vazões: Vazões molares, em mol/min. Assim, falta representar a vazão da corrente de água líquida em mol/min: W = 20 cm 3 min g cm ρ 3 1 M a mol g = 1,11 mol / min Balanço de Informações: Número de incógnitas: 05 Equações: 01 restrição (corrente de produto); 03 equações do balanço de massa por componente; 01 equação do balanço de massa global; - 01 em função da dependência linear entre as equações de balanço dos componentes e a global; Equações independentes: 04 Grau de liberdade na formulação: G = Ni - Ne = 5-4 = 1 Este grau de liberdade é especificado através da retrição adicional que indica que a vazão de oxigênio puro é (1/5) da vazão de ar. Solução: Este problema envolve balanços de massa em regime estacionário, sem a presença de reação química. desta forma: Balanço global: W + Q + A = P (1) Balanços por componentes: H 2 O: W = 0,015 P (2) N 2 : 0,79 Q = y P (3) Restrição: x + y + 0,015 = 1 (4) Restrição adicional: A = 0,2 Q (5) A equação representativa do balanço de massa do componente O 2 fica para ser utilizada para verificar o resultado. Resolvendo o sistema formado pelas eqs. (1) a (5): P = 74 mol/min; Q = 60,74 mol/min; A = 12,15 mol/min; 64

19 y = 0,65; x = 0,335. Observação: i) Na solução foram utilizadas as equações representativas dos balanços dos componentes H 2 O e N 2, pois eles aparecem em um menor número de correntes. Exemplo Ilustrativo 4: Encontra-se disponível em uma planta de processo uma vazão de mol/h de uma mistura com a seguinte composição: Componentes Identificação % molar Propano A 20 i-butano B 30 i-pentano C 20 n-pentano D 30 Esta mistura deve ser separada em duas frações por destilação. O destilado (corrente de topo) deve conter todo o propano alimentado e 80% do i-pentano, enquanto a fração molar de i-butano deve ser igual a 0,4 nesta corrente. A corrente de fundo deve conter todo o n-pentano alimentado. Com base nas informações fornecidas, calcule o resto das variáveis do processo. Esquema, com as informações fornecidas: Destilado; D =? C Alimentação O F = 1000 mol/h L U za = 0,2 ; Fa = 200 mol N A A/h zb = 0,3 ; Fb = 300 mol B/h zc = 0,2 ; Fc = 200 mol C/h zd = 0,3 ; Fd = 300 mol D/h xa =? ; Da = 200 mol A/h xb = 0,4 ; Db =? xc =? ; Dc = Fc x 0,8 = 1 xd =? ; Dd =? Corrente de Fundo; B =? ya =? ; Ba =? mol A/h yb =? yc =? ; Bb =? ; Bc =? mol B/h mol C yd =? ; Bd = 300 mol D/h 65

20 Não há necessidade de ajuste de unidades. As vazões e as frações estão todas em base molar. A Base de Cálculo é tomada como mol/h de alimentação. A representação das vazões dos componentes é utilizada em função das informações fornecidas. Balanço de Informações: Como as vazões dos componentes são variáveis diretamente relacionadas às vazões globais e às frações molares, F a = F. x a elas são dependêntes destas duas e não há necessidade de envolvê-las na solução do problema. Desta forma, Número de incógnitas: 09 (vazões globais e frações molares); Equações: 02 restrições (destilado e corrente de fundo); 04 equações do balanço de massa por componente; 01 equação do balanço de massa global; - 01 em função da dependência linear entre as equações de balanço dos componentes e a global; Equações independentes: 06 Grau de liberdade na formulação: G = Ni - Ne = 9-6 = 3 Estes graus de liberdade são amarrados através das imposições de que 80% do isobutano e 100% do propano alimentados saiam na corrente de destilado, assim como a totalidade do n-pentano alimentado deva sair pelo fundo. Estas três imposições têm como consequências, respectivamente: x c D = F c. 0,8 x c D = 200 x 0,8 = 160 mol C/h ; F a = D a B a = 0 y a = 0 ; F d = B d D d = 0 x d = 0. Solução: Como a operação é em regime estacionário e não há reação química: Balanço global: F = B + D 1000 = B + D ; (1) Balanços por componentes: A: F a = x a D + y a B 200 = x a D ; (2) 66

21 B: F b = x b D + y b B 300 = 0,4 D + y b B; (3) D: F d = x d D + y d B 300 = y d B ; (4) Restrições: x a + x b + x c + x d = 1 x a + 0,4 + x c = 1 ; (5) y a + y b + y c + y d = 1 y b + y c + y d = 1 ; (6) Restrição adicional: x c D = 160 ; (7) O sistema acima somente apresenta sete equações, pois as duas restrições que implicam em y a = x d = 0 já estão levadas em conta na definição das expressões. Como de costume, uma das equações representativas dos balanços de massa dos componentes é deixada de lado e pode ser utilizada na verificação do resultado obtido. Resolvendo o sistema formado pelas Eqs. (1) a (7): B = 400 mol/h ; D = 600 mol/h ; x a = 0,33 ; x c = 0,27 ; y b = 0,15 ; y c = 0,1 ; y d = 0,75. Observação: O sistema da forma que está escrito é não-linear. Esta característica contribui para tornar mais complicada a sua solução. Sempre que possível, deve-se procurar formular o modelo utilizando-se equações lineares, pois há métodos sistemáticos e simples para a solução de seus sistemas. A utilização das vazões por componente neste exemplo, como feito no Exemplo Ilustrativo 1, permite a representação do modelo matemático através de um sistema de equações lineares. Nesta abordagem, as frações são substituídas pelas respectivas vazões dos componentes. Como já visto, a relação entre estas variáveis é: A = A i x i, onde A é a vazão total da corrente, A i a vazão do componente na corrente e x i a fração do componente na corrente. Note também que, neste enfoque utilizando as vazões por componentes, as restrições de composição das correntes são escritas na forma: A = A i. 67

22 Desafio: Reescreva o modelo matemático para esta coluna utilizando as vazões por componente, obtendo assim um sistema de equações lineares. Escreva este sistema na forma matricial e resolva-o utilizando cálculo matricial. Dicas/Lembretes: Seja o sistema linear m x n: a a a m1 x x 1 x a a 12 a 22 x... + m2 x 2 2 x a a 1n 2n a x mn Com m = n ele é chamado normal e pode ser escrito na forma matricial: n x n x = n = b = 1 b 2 b m a a... a n1 a a a n a1n a 2n... a nn x1 x 2... x n b1 b 2 =... b n A X = B A matriz A é chamada matriz do sistema. Quando ela tem determinante diferente de zero o sistema tem solução única. Para ordens acima de três, o determinante pode ser determinado pela expressão (Teorema de Laplace): det m m ( A) = aij. Aij = i = 1 j = 1 a ij. A ij Na equação acima, quando o somatório é feito em i (linhas) o valor de j (colunas) deve ser mantido constante e no intervalo 1 j m. Quando ele é feito em j, i é que deve ser mantido constante e 1 i m. Os A ij são os cofatores dos elementos a ij, determinados por: A ij = ( -1) i + j D ij onde D ij são os determinantes das matrizes obtidas ao se retirar a linha i e a coluna j da matriz A. D ij é denominado menor complementar do elemento a ij. Sabendo calcular determinantes, a solução do sistema linear pode ser obtida, por exemplo, utilizando o Teorema de Cramer. Esse teorema dita que a solução de um sistema 68

23 linear normal (representado por uma matriz quadrada A com determinante diferente de zero) é dado por: x i = det A j det (A) na qual A j é a matriz obtida a partir da matriz A com a substituição da coluna i pela coluna dos termos independentes (B) Escalonamento de um Processo Quando as informações sobre o balanço de massa são coerentes, diz-se que elas estão balanceadas ou que o processo encontra-se balanceado. Suponha que 1 kg de benzeno se misture com 1 kg de tolueno, formando uma corrente com 2 kg de mistura com 50% de benzeno e 50% de tolueno, em base mássica, conforme mostrado na figura: 1 kg de benzeno 2 kg de mistura 50% de benzeno 50% de tolueno 1 kg de tolueno Note que a massa de todas as correntes pode ser multiplicada por uma mesmo fator e o processo continua balanceado. O mesmo não é verdade para a composição, que se mantém constante. Como a mudança das unidades que representam a quantidade em cada corrente é feita por uma fator de correção constante, a troca nominal de todas as unidades representativas das quantidades ou vazões de cada corrente também mantém o processo balanceado. Estas características podem ser observadas nas figuras a seguir: 69

24 300 kg de benzeno (x 300) 600 kg de mistura 50% de benzeno 50% de tolueno 300 kg de tolueno 1 lbm/h de benzeno 2 lbm/h de mistura 50% de benzeno 50% de tolueno 1 lbm/h de tolueno Este procedimento de multiplicar todos as correntes de massa por um fator, mantendo a composição constante, é chamado de escalonamento (ou extrapolação) e o fator utilizado é chamado de fator de escala. Em base molar este procedimento somente pode ser aplicado na ausência de reação química. Exemplo Ilustrativo 5: Deseja-se verificar se é economicamente viável um processo para separar mol/h de uma mistura, 60% em benzeno e 40% em tolueno, em base molar. Sabe-se que, para haver lucro, deve-se obter uma quantidade mínima de 540 mol/h de benzeno em uma corrente com 95% de benzeno, em base molar. Em laboratório, 1 mol desta mistura é separada em duas correntes, com características mostrada na figura. Este processo de separação é um processo físico, não havendo reação química entre os compostos nele envolvidos. 70

25 0,5 mol 1 mol 0,6 em benzeno 0,4 em tolueno 0,95 em benzeno 0,05 em tolueno 0,5 mol 0,375 mol de tolueno 0,125 mol de benzeno Solução: Apesar das informações estarem em base molar, como não há reação química no processo, ele pode ser escalonado diretamente com a utilização de um fator de escala. Com um fator de escala igual a ((1200 mol/h)/(1 mol)), obtém-se: 600 mol/h 1200 mol/h 0,6 em benzeno 0,4 em tolueno 0,95 em benzeno 0,05 em tolueno 600 mol/h 0,375 mol de tolueno 0,125 mol de benzeno Na corrente de topo a concentração de benzeno satisfaz a exigência imposta. A quantidade de benzeno nesta corrente é igual a: 600 x 0,95 = 570 mol/h > 540 mol/h. Assim, o processo será econômico. Observação Importante: Agindo desta forma pode parecer que o escalonamento de processos na prática é muito simples. Não é realidade! Esta situação de somente utilizar um fator de escala no escalonamento (ou extrapolação) considera condições ideais, nas quais todas as condições geométricas, cinemáticas e dinâmicas são fielmente reproduzidas nas diferentes escalas. Na prática, esta reprodução de condições nas diversas escalas é praticamente impossível, e a extrapolação de escala é um dos grandes desafios a serem enfrentados. 71

26 Exemplo Ilustrativo 6: Uma mistura dos compostos A e B, 60% e 40% em base molar, respectivamente, é separada em duas frações. Em uma operação em batelada, são os seguintes os resultados obtidos: 50 mol 100 mol 0,6 em A 0,4 em B 0,95 mol A/mol 0,05 mol B/mol 12,5 mol de A 37,5 mol de B Deseja-se obter a mesma separação em uma operação contínua, com uma alimentação da solução de A e B original a uma vazão de lbmol/h. Esboce o fluxograma do processo contínuo. Solução: As informações solicitadas podem ser obtidas diretamente a partir dos dados da operação em batelada através da utilização do seguinte fator de escala(fe): 1250 lbmol / h FE = = 12, mol lbmol / h mol Assim, obtém-se: 625 lbmol/h 1250 lbmol/h 0,6 em A 0,4 em B 0,95 lbmol A/lbmol 0,05 lbmol B/lbmol 156 lbmol de A/h 469 lbmol de B/h Note que no processo de escalonamento as composições não se alteram. 72

27 Exemplo Ilustrativo 7: Uma solução aquosa de hidróxido de sódio contém 20% em massa de NaOH. Desejase produzir uma solução de NaOH, 8% em massa, através da diluição da corrente a 20% utilizando-se uma corrente de água pura. Com base nas informações fornecidas: i) Calcule as razões (g de H 2 O/g de solução a 20%) e (g de solução produto/g de solução a 20%); ii) Determine as vazões de solução a 20% e de água pura necessárias à produção de 2310 lb m /min de solução a 8%. Esquema, com as informações fornecidas: Adotando como base de cálculo 100g de solução a 20% alimentada no processo: 100 g de solução 0,2 NaOH 0,8 H2O solução produto 0,08 NaOH 0,92 H2O água pura; Q1(g) Balanço de Informações: Número de incógnitas: 02 Equações: 02 equações do balanço de massa por componente; 01 equação do balanço de massa global; - 01 em função da dependência linear entre as equações de balanço dos componentes e a global; Equações independentes: 02 Solução: Note que o NaOH é um componente de amarração neste problema. Assim, o seu balanço de massa fornece: 0,2 x 100 = 0,08 Q2 Q2 = 250 g 73

28 Do balanço de massa global: Q1 = 250 Q1 = 150 g Com as variáveis todas determinadas, pode-se calcular as razões solicitadas, utilizando-se a base de cálculo adotada: g H2O pura 150 R 1 = = = g de solução 20% 100 1,5 g de solução produzida 250 R 2 = = = g de solução 20% 100 2,5 Para determinar as quantidades nas alimentações para a produção de 2310 lb m de solução/min utiliza-se um fator de escala convenientemente definido: FE = 2310 lb m de produto/min 250 g = lb 9,24 m /min g Assim, as correntes na alimentação para a produção desejada serão: # solução a 20%: 100 x 9,24 = 924 lb m /min; # água pura: 150 x 9,24 = 1386 lb m /min. Exemplo Ilustrativo 8: Uma corrente de ar úmido entra em um condensador, no interior do qual 95% do vapor d'água é condensado, formando uma corrente com uma vazão de 225 l/h de água líquida. Calcule a vazão da corrente de gás que deixa o condensador e a sua composição, expressandoa em frações molares. O ar seco pode ser considerado formado por 21% de O 2 e 79% de N 2, em base molar ou volumétrica, e a mistura alimentada no condensador pode ser considerada um gás ideal a uma pressão total de 1 atm abs e 35 C. 74

29 Esquema, com as informações fornecidas: ar úmido CONDENSADOR com n1 (mol/h de ar seco) tem-se 0,21.n1 de O2 0,79.n1 de N2 água n2 (mol/h de H2O) gás n4 (mol/h de O2) n5 (mol/h de N2) n6 (mol/h de H2O 225 l/h => n3 = mol/h (95% da H2O presente na car A única vazão fornecida encontra-se em litros/hora enquanto as informações sobre composições estão em base molar. Por simplicidade, define-se trabalhar na base molar e então, a unidade de trabalho para as vazões pode ser mol/h. Assim, antes de qualquer procedimento, deve-se passar a vazão da corrente de água fornecida para a unidade de trabalho: n3 = 225 ρ H2O 1 M H2O A densidade e a massa molar da água são, respectivamente, 1 g/cm 3 = 1000 g/l e 18 g/mol. Substituindo os valores na expressão, obtém-se: n3 = mol/h. Em função do número de incógnitas no problema, a opção por trabalhar com base nas vazões de componentes nas correntes evita o aparecimento das não linearidades que ocorrem ao se trabalhar com as frações dos componentes sem que se conheça todas as vazões, como já comentado em exemplos anteriores. Desta forma, o sistema de equações originário do balanço de massa será linear. Balanço de Informações: Número de incógnitas: 05 (n 1, n 2, n 4, n 5, n 6 ) Equações: 03 equações do balanço de massa por componente; 01 restrição especial(95% da água da carga em n3) Equações independentes: 04 Note que neste equacionamento, como não estão sendo utilizadas as vazões globais das correntes, o uso das restrições de composição é descartado. Por exemplo, a restrição de composição na corrente de gás que sai do condensador: 75

30 n( gás) = 6 n i i= 4, representa uma equação independente, mas também adiciona ao problema mais uma incógnita, n(gás). Da forma que está colocado, este problema tem grau de liberdade igual a 1. Assim, há a necessidade da especificação de mais uma restrição para que se tenha uma solução única. Um parâmetro que pode ser medido e então especificado é a umidade relativa da corrente de ar úmido alimentada no condensador. A umidade relativa, definida como a razão entre a pressão parcial do vapor d'água presente no ar e a pressão parcial do vapor d'água que satura a mistura nas mesmas condições de pressão total e temperatura, é um parâmetro largamente utilizado para indicar o grau de umidade (concentração de água) no ar úmido. A pressão de vapor d'água que satura a mistura é chamada de pressão de saturação. Quando a pressão parcial do vapor d'água atinge uma valor igual ao da pressão de saturação há a sua condensação. Para uma determinada temperatura, a pressão de saturação da água (pressão de vapor) é obtida por uma expressão na forma (Equação de Antoine): sat ( ) ln P B = A C+ T (8.1) Para a água, com P sat [=] mmhg e T [=] K, as constantes da equação de Antoine, para 284 T 441 K são: A = 18,3036; B = 3816,44 e C = - 46,13 (Himmelblau). Com base no exposto, pode-se então especificar a umidade relativa da corrente de alimentação igual a 80%. Utilizando a Eq.(8.1), obtém-se que a pressão de saturação do vapor d'água a 35 C é de P sat = 41,67 mmhg. Então, a partir da definição da umidade relativa, a pressão parcial do vapor d'água na corrente de alimentação é igual a UR P Psat = H2O H2O ( T) T x 100 ( ) PH2O 80 = x 100 ; 41,67 P H2O = 33,34 mmhg. Como a mistura tem comportamento de gás ideal, pode-se escrever diretamente: n n P = H O P H2O 2 total total n2 n1 + n2 = 33,34 mmhg 760 mmhg 76

31 n 2 = 0,042 n1 (8.2) A Eq.(8.2) é a representação matemática da restrição imposta pela especificação de 80% para a umidade relativa na corrente de alimentação. Solução: Em função da organização dada aos dados anteriormente, são utilizados para a solução os balanços por componente, além das restrições impostas. Desta forma: Balanços por componentes: H 2 O: n2 = n6 (8.3) N 2 : 0,79 n1 = n5 (8.4) O 2 : 0,21 n1 = n6 (8.5) Restrições: i) n3 = 0,95 n2 (8.6) ii) n2 = 0,042 n1 (8.2) Resolvendo o sistema linear, formado pelas Eqs. (8.2) a (8.6), obtém-se: n1 = n2 = n4 = n5 = n6 = Desafio Computacional: As condições ambientes podem apresentar variação sensíveis ao longo do ano, e mesmo durante um único dia. Considerando que o condensador continue operando nas mesmas condições, analise o comportamento da composição da corrente de gás na saída se a umidade relativa do ar alimentado variar de 50% a 100%. Represente graficamente os resultados obtidos Alguns Equipamentos Típicos da Indústria de Processos Nos processos químicos há um grande número de equipamentos que operam com base em diversos conceitos físicos e físico-químicos. A seguir são apresentados alguns equipamentos mais comuns, nos quais o balanço de massa fornece informações importantes Divisor de Corrente: Não é propriamente um equipamento. Representa um ponto na tubulação onde há divisão da vazão de uma corrente (à montante do divisor) em duas ou mais correntes (à 77

32 jusante do divisor). Como não ocorre nenhum processo físico ou químico neste ponto, a composição das novas correntes é igual a da corrente à montante do divisor. No caso de haver divisão em duas correntes, a distribuição da vazão entre as correntes à jusante do divisor é descrita por um fator α, que pode ser definido na forma: F F F F 2 & = α = 1 α com 0 α 1 As vazões F i são especificadas na Figura O valor de α é definido pelo controle operacional da planta, ou seja, um agente externo especifica o seu valor. A relação desse valor com os parâmetros operacionais serão estudos em Mecânica dos Fluidos Ponto de Mistura: Ponto onde há a simples união (mistura) de duas ou mais correntes. Como não ocorre nenhum processo físico ou químico neste ponto, a vazão e a composição da corrente à jusante do ponto de mistura são determinadas pelo balanço de massa no ponto de mistura. Na Figura é apresentado um esquema de um ponto de mistura com duas correntes à montante. F2; xi F1; xi D F3; xi Região à montante do divisor (D) Região à jusante divisor ( Figura Divisor de Corrente com a Formação de Duas Correntes à Jusante 78

33 F1; xi M F3; wi F2; yi Região à montante do misturador (M) Região à jusante misturador ( Figura Ponto de Mistura de Duas Correntes Do balanço de massa global no ponto da Figura : F 1 + F 2 = F 3. Do balanço de massa por componente, para o componente i: x i F 1 + y i F 2 = w i F Tambor de Flash Tambor mantido em condições de temperatura e/ou de pressão diferentes da temperatura e/ou da pressão da corrente nele alimentada. Esta diferença de condições operacionais é imposta com o objetivo de vaporizar parcialmente a corrente de entrada, que normalmente encontra-se no estado líquido, separando-a em duas correntes: uma vapor e outra líquida. A causa principal desta vaporização parcial neste equipamento é uma despressurização, ou seja, a pressão na corrente que entre no tambor é maior do que a pressão no seu interior. Assim, o fluido ao entrar no Tambor de Flash passa por uma "expansão". Nesta vaporização parcial, os componentes não vaporizam nas mesmas proporções em que estão presentes no líquido. Os componentes mais voláteis têm uma maior tendência para vaporizar, causando em situações onde o processo de mudança de fase não é completo uma maior concentração dos componentes mais voláteis na fase vapor e dos menos voláteis na fase líquida. Este fato pode ser observado na Figura X.1, onde é mostrado um processo envolvendo 79

34 uma corrente (F), no estado líquido, formada de iguais quantidades molares de etano e butano. Os resultados na Figura X.1 deixam claro que se o Flash for utilizado com objetivo de separação, ele somente é efetivo se a vaporização for parcial, situação na qual as concentrações das correntes de saída são diferentes da concentração da corrente original. Após a expansão, no interior do tambor de flash há um processo físico de equilíbrio entre as fases vapor e líquida, formadas e mantidas em contato no seu interior. Sabe-se da prática, que sempre que duas fases distintas são colocadas em contato elas tendem a entrar em equilíbrio. Esta condição de equilíbrio dita algumas relações entre as variáveis que descrevem os estados das fases presentes. mais tarde, no curso de Termodinâmica, você irá estudar este fenômeno com mais detalhes. No momento, o que nos interessa é saber que as composições das fases que deixam o tambor de flash devem obedecer uma relação de equilíbrio, que pode ser representada da forma mais simples pela expressão: y i = K i x i, (3.1) onde y i é a fração molar do componente i na fase vapor, que forma a corrente V; x i é a fração molar do componente i na fase líquida, que forma a corrente L; e K i é uma constante de equilíbrio, com valores distintos para cada componente i. F 0,5 C2H6 0,5 C4H10 V L 0,8 C2H6 0,2 C4H10 0,3 C2H6 0,7 C4H10 Tambor de Flash Vaporização Parcial F 0,5 C2H6 0,5 C4H10 V 0,5 C2H6 0,5 C4H10 L = 0 Tambor de Flash Vaporização Total Figura X.1 - Processo de Flash 80

35 Mais tarde, nos seus estudos de Termodinâmica, você verá como os valores de K i na Eq.(3.1) podem ser previstos a partir das variáveis que definem o sistema(pressão, temperatura e composições). Formas mais gerais para representar esta relação de equilíbrio serão estudas naquela ocasião, bem como serão mostrados critérios que permitirão uma previsão da "capacidade" do Tambor de Flash realizar uma certa separação desejada. Com estes conhecimentos mais avançados, você ainda será capaz de prever quais deverão ser a temperatura e a pressão no interior do tambor para uma determinada separação especificada. Na Figura X.2 são mostradas as variáveis relevantes para o balanço de massa em um Tambor de Flash. Se considerarmos as constantes de equilíbrio K i conhecidas e um processo envolvendo n componentes, um balanço de informações indica que: Número de incógnitas: 3n + 3 Equações: n equações do balanço de massa por componente; 01 equação do balanço de massa global; 03 restrições em relações as composições; n relações de equilíbrio (Eq. (3.1)); - 01 em função da dependência linear entre as equações de balanço dos componentes e a global; Equações independentes: 2n + 3 Graus de Liberdade: (3n + 1) (2n + 1) = n V F zi yi L xi Figura X.2: Tambor de Flash 81

36 Alguns problemas na Engenharia Química recebem nomes especiais não só pela freqüência em que elas aparecem mais também pela sua importância no projeto e análise de equipamentos e de processos químicos. Um exemplo é o chamado problema de simulação. A nível de equipamento, um problema é dito de simulação quando são fornecidos todas as variáveis que especificam o estado das correntes de entrada e as que especificam as condições operacionais no interior do equipamento, e deve-se calcular as variáveis que definem o estado das correntes de saída. A simulação de um Tanque de Flash é exemplificada na Figura X.3. Neste caso, a composição (z i ) da corrente de entrada, com n componentes, é conhecida, bem como a sua vazão global. As condições operacionais no interior do equipamento ditam os valores dos K i, que também são considerados conhecidos. Do balanço das informações disponíveis: Número de incógnitas: 2n + 2 Equações: n equações do balanço de massa por componente; 01 equação do balanço de massa global; 02 restrições em relações as composições; n relações de equilíbrio (Eq. (3.1)); - 01 em função da dependência linear entre as equações de balanço dos componentes e a global; Equações independentes: 2n + 2 ; podemos verificar que o problema de simulação apresenta grau de liberdade igual a zero, ou seja, tem resposta única. V =? F zi Ki yi = L =? xi =? Figura X.3 - Problema de Simulação de um Tanque de Flash 82

37 Colunas de Destilação Como observado anteriormente, a separação completa de uma mistura é muito difícil em um único tambor de flash. Uma possibilidade então é colocar um conjunto de tambores em série. Assim, são obtidas melhores separações. Esta idéia de vários flashes em série é utilizada nas colunas de destilação. Estas colunas são equipamentos nos quais podemos considerar a presença de diversas regiões, independentes e ligadas em série, de contato líquido-vapor, que funcionam como vários flashes. Em sua operação, via de regra, é alimentada uma corrente de uma mistura líquida em sua lateral e em seu interior há uma corrente gasosa, rica nos elementos mais voláteis, escoando na direção ascendente, e uma corrente líquida, rica nos componente menos voláteis, escoando na direção descendente. Em sua parte superior (topo da coluna) é retirada esta corrente gasosa e resfriada em um condensador (equipamento onde há condensação de vapores). Parte do condensado formado sai como produto de topo e a parte complementar é retornada a coluna para dar início a corrente líquida que escoa no sentido descendente. Na base da coluna ocorre o inverso, ou seja, parte do líquido que chega é retirado como produto de fundo e a outra parte passa através de um equipamento que fornece calor (este equipamento tem o nome especial de refervedor), vaporizando este líquido, que é então realimentado na coluna, dando origem a corrente de vapor ascendente. Desta forma, tendo como objetivo somente o balanço de massa, uma coluna de destilação é muito parecida com o tambor de flash: há uma corrente de alimentação e duas de saída: (i) uma no topo, rica nos componentes não voláteis e (ii) uma no fundo, rica nos componentes não voláteis. Como esta distribuição de componentes nas correntes ocorre, não é mais função de uma única relação de equilíbrio. Você, ao longo do curso de Operações Unitárias vai aprender como utilizar as relações de equilíbrio no projeto das colunas de destilação. Neste primeiro curso, ao lidarmos com colunas de destilação, nos restringiremos a utilização de equações diretamente ligadas aos balanços de massa. 83

38 Na figura X.4 é mostrado um esquema básico de uma coluna de destilação e as principais correntes envolvidas. Produt o de topo Alimentaçã o Produto de fundo Figura X.4 Esquema Básico de uma Coluna de Destilação Extratores O extrator é um equipamento onde uma corrente, normalmente pura, chamada de solvente, é colocada em contato com uma mistura com objetivo de retirar, preferencialmente, um dos componentes desta mistura. São então formadas duas correntes: uma formada por uma solução envolvendo o solvente e as substâncias extraídas, chamada de extrato, e outra composta do material restante da mistura original, chamada de rafinado. Um exemplo clássico de extração ocorre na preparação do café. A mistura original é representada pelo pó de café e a água quente desempenha o papel de solvente. Está água quente entra em contato com o pó do café, retirando preferencialmente substâncias que conferem o sabor e aroma ao líquido obtido, que é o extrato. O pó restante, agora sem as substâncias de interesse, representa o rafinado. 84

39 Solução Solvent e Extrato r Decantado r Extrat o Rafinad o Figura X.5 Esquema Básico de um Extrator, formado por um etapa de Extração propriamente dita e uma Etapa de Separação 2.7 Balanços Envolvendo Múltiplas Unidades Na prática os processo têm várias unidades e é importante em uma primeira análise obter a vazão e principais parâmetros das correntes que unem estes equipamentos. Assim, uma análise preliminar do tamanho dos equipamentos e, consequentemente, de seu desempenho e custo pode ser efetuada. Esse tipo de análise é importante em uma primeira estimativa da viabilidade econômica do processo. Foi visto que balanços são efetuados em volumes de controle, que são arbitrariamente definidos em função da conveniência dos cálculos a serem efetuados.. Então, em um problema envolvendo vários equipamentos, a diferença para os problemas com um único equipamento é a possibilidade de definição de diversos volumes de controle e assim de diversos conjuntos de equações. Seja o exemplo da Figura 2.7.1, onde há um ponto de mistura, um divisor de correntes e dois equipamentos. As correntes A 1, A 2 e A 3 são correntes de entrada no processo; e as correntes P 1, P 2 e P 3 são correntes de saída. Um volume de controle envolvendo todo o 85