Cadeias de Markov. ch n M = 0,4 0,2 0,6 0,8. Matriz (diária): M² = 0,28 0,24 0,72 0,76 M 4 = 0,2512 0,2496 0,7488 0,7504. Diagrama (semanal)

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1 ( ) Prova ( ) Prova Semestral (x) Exercícios ( ) Segunda Chamada ( ) Prova Modular ( ) Prova de Recuperação ( ) Prática de Laboratório ( ) Exame Final/Exame de Certificação ( ) Aproveitamento Extraordinário de Estudos Nota: Disciplina: Simulação de Sistemas de Produção Turma: EPR Professor: Milton Data: out / 2014 Aluno (a): Cadeias de Markov Exemplo 1: Chove ou não Suponha que a probabilidade de chover a cada dia depende da situação na véspera: Se hoje chove, a probabilidade de chover amanhã é de 40,0 %, caso contrário, 20,0 %. Sabendo que a previsão é de 30,0% para chover no sábado, apresente: a) a matriz e o diagrama de transição semanal; Matriz (diária): ch n M = 0,4 0,2 0,6 0,8 M² = 0,28 0,24 0,72 0,76 M 4 = 0,2512 0,2496 0,7488 0,7504 Diagrama (semanal) M 6 = 0, , , ,75002 Matriz (semanal): M 7 = 0,2500 0,2500 0,7500 0,7500 b) a probabilidade de chover no domingo e na segunda; Aqui, o português pode dar duas interpretações: i) a probabilidade de chover no domingo e a probabilidade de chover na segunda; V sab = V dom = V seg = 0,3 0,7 0,4 0,2 x 0,3 = 0,26 0,6 0,8 0,7 0,74 0,28 0,24 x 0,3 = 0,252 0,72 0,76 0,7 0,748 = P(dom) = P(seg) ii) a probabilidade de chover no domingo e também na segunda; P (seg dom) = P (seg dom) * P(dom) = 0,4 * 0,26 = 0,1040 Página 1 de 8

2 c) a probabilidade de não chover na terça nem na quarta. V seg = V ter = 0,252 0,748 0,4 0,2 x 0,252 = 0,2504 0,6 0,8 0,748 0,7496 = P(n_ter) P (n_qua n_ter) = P (n_qua n_ter) * P(n_ter) = 0,8 * 0,7496 = 0,5997 Exemplo 2: Subida da ação (depende da véspera) Suponha: 0 = a ação não subiu 1 = a ação subiu. de 0 de 1 0,7000 0,5000 para 0 0,3000 0,5000 para 1 a) apresente o diagrama de transição diária e semanal; M = de 0 de 1 0,7 0,5 p/ 0 0,3 0,5 p/ 1 Diagrama (diário) M 7 = 0,6250 0,6250 0,3750 0,3750 Diagrama (semanal) b) qual a probabilidade da ação subir nos próximos 3 dias? Se hoje subir: P(dia1) = 0,5 e P (dia2 dia1) = P(dia2 dia1)*p(dia1) = P (dia2 dia1) = 0,5 * 0,5= 0,25 P(dia 3 dia2 dia1) = P(dia3 ( dia2 dia1))*p(dia2 dia1) Mas a probabilidade de subir só depende do dia anterior. Então P(dia 3 dia2 dia1) = P(dia3 dia2)*p(dia2 dia1) = 0,5*0,25 = 0,125 Se hoje não subir: P(dia1) = 0,3 e P (dia2 dia1) = P(dia2 dia1)*p(dia1) = P (dia2 dia1) = 0,5 * 0,3= 0,15 P(dia 3 dia2 dia1) = P(dia3 ( dia2 dia1))*p(dia2 dia1) P(dia 3 dia2 dia1) = P(dia3 dia2)*p(dia2 dia1) = 0,5*0,15 = 0,075 Probabilidade total: 0, ,075 = 0,2 Página 2 de 8

3 Exemplo 3: Ocupação da terra Considere o seguinte diagrama de transição, a cada 5 anos, entre os estados: C = área comercial; I = área industrial; R = área residencial a) apresente a correspondente matriz de transição; b) apresente o diagrama e a matriz de transição para 10 anos; c) se hoje [ C, I, R ] = [ 20,0%, 50,0%, 30,0%], como será em 5 anos? d) como fica o estado c) daqui a 10 anos? Como o exemplo do Resumo Exemplo 4: Estoque Numa loja, a demanda tem média de uma câmara fotográfica por semana. Se no final da semana, o estoque for todo vendido, uma reposição de 3 câmaras é efetuado até o abrir da loja na segunda. a) apresente a matriz e o diagrama de transição semanal (estoque no final da semana); Os possíveis estoques são 0, 1, 2, e 3. Designaremos por P(x), a probabilidade da demanda na semana ser x e por P(x+), a probabilidade da demanda na semana ser x ou mais Matriz: M = de 0 de 1 de 2 de 3 P(3+) P(1+) P(2+) P(3+) p/ 0 P(2) P(0) P(1) P(2) p/ 1 P(1) 0 P(0) P(1) p/ 2 P(0) 0 0 P(0) p/ 3 0,0803 0,6321 0,2642 0, ,1839 0,3679 0,3679 0, ,3679 0,0000 0,3679 0, ,3679 0,0000 0,0000 0, Estas P(x) são dadas por Poisson: P( x) = µ. e x! x µ Diagrama semanal (%) Página 3 de 8

4 b) calcule a matriz de transição para 2, 3 e 4 semanas; M 2 = MxM = M 3 = M 2 xm = M 4 = M 3 xm = 0,2495 0,2833 0,3510 0, ,2854 0,2516 0,3193 0, ,3002 0,2325 0,2325 0, ,1649 0,2325 0,0972 0, ,2930 0,2619 0,2993 0, ,2917 0,2730 0,2854 0, ,2629 0,2753 0,2504 0, ,1524 0,1898 0,1649 0, ,2896 0,2816 0,2839 0, ,2859 0,2848 0,2825 0, ,2606 0,2675 0,2629 0, ,1639 0,1662 0,1707 0, c) acabando esta semana com 2 câmaras, qual o valor esperado para o estoque após duas semanas? M 2 = 0,2495 0,2833 0,3510 0, ,2854 0,2516 0,3193 0, ,3002 0,2325 0,2325 0, ,1649 0,2325 0,0972 0, E = média entre 0, 1, 2 e 3 com pesos de suas probabilidades. E = 0* 0, *0, *0, *0,0972 = 1,1 d) qual o valor esperado para o estoque após 4 semanas? M 4 = 0,2896 0,2816 0,2839 0, ,2859 0,2848 0,2825 0, ,2606 0,2675 0,2629 0, ,1639 0,1662 0,1707 0, ,3 1,3 1,3 1,3 E = média entre 0, 1, 2 e 3 com pesos de suas probabilidades (para cada estoque inicial) Se inicia com 2, por exemplo: E = 0* 0, *0, *0, *0,1707 = 1,3 Com os demais inícios, a resposta é praticamente a mesma (já está quase estabilizado, pois as colunas de M 4 são praticamente iguais) Página 4 de 8

5 e) qual a matriz de transição estável (a longo prazo = M )? Basta resolver o sistema cuja matriz completa é: M - I = a b c d = -0,9197 0,6321 0,2642 0, ,1839-0,6321 0,3679 0, ,3679 0,0000-0,6321 0, ,3679 0,0000 0,0000-0, A solução do sistema é: a = 0,2858; b = 0,2847; c = 0,2631; d = 0,1663. M = 0,2858 0,2858 0,2858 0,2858 0,2847 0,2847 0,2847 0,2847 0,2631 0,2631 0,2631 0,2631 0,1663 0,1663 0,1663 0,1663 Exemplo 5: Ações dependendo de dois dias anteriores Se em dois dias consecutivos a ação sobe, então há 90,0% de probabilidades de subir amanhã. Se a ação subiu hoje, mas não ontem então há 60,0% de probabilidades de subir amanhã. Se a ação subiu ontem, mas não hoje então há 50,0% de probabilidades de subir amanhã. Se a ação não subiu hoje, nem ontem então há só 30,0% de probabilidades de subir amanhã. a) apresente o diagrama e a matriz de transição diária; Indicaremos SS para significar Sobe hoje e Sobe amanhã; NS para significar Não sobe hoje e Sobe amanhã; SN para significar Sobe hoje e Não sobe amanhã; NN para significar Não sobe hoje e Não sobe amanhã. Um dia depois, ficará: SS = Subir amanhã e Subir depois de amanhã; NS para significar Não subir amanhã e Subir depois de amanhã; SN para significar Subir amanhã e Não subir depois de amanhã; NN para significar Não subir amanhã e Não subir depois de amanhã. de SS de NS de SN de NN 0,9 0,6 0 0 p/ SS M = 0 0 0,5 0,3 p/ NS 0,1 0,4 0 0 p/ SN 0 0 0,5 0,7 p/ NN Se Não sobe hoje e Sobe amanhã, a probabilidade de (Subir amanhã e) Subir depois de amanhã é 0,6 Se Sobe hoje e Sobe amanhã, a probabilidade de (Não subir amanhã e) Subir depois é nula b) qual a matriz de transição estável (a longo prazo = M )? Como 4-e) Página 5 de 8

6 Exemplo 6: Investimento em propaganda Existe no mercado as empresas de bebidas A, B, C e Outras que venderam respectivamente 240, 180, 120 e 60 mil caixas neste trimestre. A empresa C resolve lançar uma nova marca com preço equivalente aos concorrentes, acompanhada de uma forte divulgação que produzirá a matriz de transição trimestral: de A de B de C de Outras 0,7000 0,1000 0,0200 0,2000 p/ A 0,1000 0,8000 0,0300 0,2000 p/ B 0,1000 0,0500 0,9000 0,2000 p/ C 0,1000 0,0500 0,0500 0,4000 p/ Outras O aumento de 1% na participação do mercado no trimestre representará um lucro de R$ 2 milhões no período. Até quanto a empresa pode pagar mensalmente pela divulgação nos próximos 12 meses pra valer a pena esta mudança? A condição inicial é V 0 = 12 meses depois: (4 trimestres) V 4 = 240/600 0,4 180/600 0,3 120/600 = 0,2 60/600 0,1 0,4 0,2397 M*M*M*M* 0,3 = 0,2996 0,2 0,3624 0,1 0,0983 C cresce 16,2% R$ 32,5 milhões (12m) R$ 2,7 milhões/mês Exemplo 7: Política de manutenção corretiva Uma máquina pode assumir os estados: Estados Condição 0 operação normal 1 operação com baixa perda de produção 2 operação com alta perda de produção 3 inoperante Historicamente, temos que a matriz de transição mensal de estados (antes da correção) é dada por: de 0 de 1 de 2 de p/ 0 7/8 3/4 0 0 p/ 1 1/16 1/8 1/2 0 p/ 2 1/16 1/8 1/2 1 p/ 3 As possíveis ações, prejuízos e custos são dados na tabela: Política do Estado Ação p/ Estado (até o fim do mês) Gasto Prejuízo semanal a 1 substituir manutenção b 1 nada c 2 substituir d 2 manutenção e 2 nada f 3 substituir manutenção nada Obs.: Tanto a manutenção como a substituição demoram uma semana. Qual a política ideal de manutenção corretiva a longo prazo? Página 6 de 8

7 Se faz Vale a pena? s não há necessidade 0 m não adianta (não melhora) n só s??( talvez) m não adianta (continua 1) s s I - decisão n??( talvez) s m não faz sentido (subs. na cond.1 e manut. na 2) s n não faz sentido (subs. na cond.1 e nada na 2) s??( talvez) 2 m??( talvez) n s ii- decisão n??( talvez) n m iii- decisão n n iv- decisão s só 3 m não pode n não pode Resumindo, o que podemos fazer (pode valer a pena) é: Decisão Política Ação i a, c, f substituir nos estados 3, 2 e 1 ii b, c, f só substituir nos estados 3 e 2 iii b, d, f substituir no estado 3 e manutenção no 2 iv b, e, f só substituir no estado 3 Política R$ / mês a b c d e f Agora, com base na matriz inicial (sem nada), montamos a matriz de cada decisão. de 0 de 1 de 2 de 3 T = p/ 0 0,875 0, p/ 1 0,0625 0,125 0,5 0 p/ 2 0,0625 0,125 0,5 1 p/ 3 Estas probabilidades são trocadas por 0 (quando não acontece) ou por 1 (quando acontece). Sit. Sol. Sistema p/ M In. Sist. Custo T_i = p R$mil p*$ 0, , , , , , ,625 0, , , , , ,1875 VE = 3,000 De cada matriz, achamos a estável M. Ela dá a probabilidade da máquina ficar em cada situação. Mas cada situação requer um gasto. Então, calculamos o Valor Esperado = VE = média dos gastos com pesos dados pelas respectivas probabilidades. Sistema p/ M Sit. Sol. Custo Página 7 de 8

8 In. Sist. R$ mil T_ii = ,875 0, ,875-0, , ,0625 0, ,0625 0, , ,6364 0,0625 0, ,0625 0, , , , ,5455 VE = 1,727 T_iii = ,875 0, ,875-0, , ,0625 0, ,0625 0, , ,7143 0,0625 0, ,0625 0, , , , ,5714 VE = 1,667 T_iv = ,875 0, ,875-0, , ,0625 0,125 0,5 0 0,0625 0,125-0, , ,5385 0,0625 0,125 0,5 0 0,0625 0,125 0, , , , ,9231 VE = 1,923 Página 8 de 8