OTIMIZAÇÃO DE PRESETS PARA LAMINADORES A FRIO ESTUDO DE UM CASO 1

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1 OTIMIZAÇÃO DE PRESETS PARA LAMIADORES A FRIO ESTUDO DE UM CASO 1 Carlos Thadeu de Ávla Pres 2 Roberto Moura Sales 3 Mateus Alexandre da Slva 4 Henrque Cezar Ferrera 5 Resumo: O presente trabalho mostra a geração de presets otmzados para um lamnador de tras a fro de 4 caderas recentemente modernzado, localzado na planta da Companha Sderúrgca Paulsta - Cospa. É apresentado um novo enfoque para cálculo de presets baseado no algortmo do fator beta proposta por Guo (1997) e no algortmo de otmzação Smplex proposto por elder e Mead (1965). O algortmo do fator beta fo ncalmente ntroduzdo para ser aplcado em lamnadores de uma cadera, com o objetvo de calcular a redução adequada em cada passe como uma função dos lmtes de redução máxma e mínma especfcados para o passe. Este conceto poderá, da mesma forma, ser aplcado para lamnadores de tras a fro de múltplas caderas, consderando o lmte superor e nferor de redução de cada cadera. O algortmo de otmzação utlzado é o método Smplex proposto por elder e Mead o qual consdera a mnmzação de uma função não lnear, sem a necessdade de determnação de suas dervadas. É apresentado um modelo de função objetvo o qual poderá ser parametrzado vsando à obtenção de maor produtvdade e melhor qualdade das chapas processadas em lamnadores a fro. Palavras-Chave: Lamnador de tras a fro, Otmzação de presets, Algortmo Smplex. 1 Artgo a ser apresentado no VIII Semnáro de Automação de Processos da ABM, 6 a 8 de Outubro de 2004, Belo Horzonte MG Brasl. 2 Sóco da ABM. Engenhero Elétrco, Mestre, Gerênca de Suporte Técnco da Lamnação a Fro da Companha Sderúrgca Paulsta-Cospa, Cubatão SP. carlospres@cospa.com.br. 3 Engenhero Elétrco. Professor Ttular da Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo. roberto@lac.usp.br. 4 Sóco da ABM. Engenhero Metalurgsta, Gerênca de Suporte Técnco da Lamnação a Fro da Companha Sderúrgca Paulsta-Cospa, Cubatão SP. mateusslva@cospa.com.br 5 Engenhero Elétrco e mestrando pela Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo. henrque.ferrera@pol.usp.br. 269

2 1. Introdução A geração de presets para lamnadores a fro tem sdo largamente empregada nos últmos anos em função dos benefícos que os mesmos podem proporconar em termos de qualdade e produtvdade. A mportânca desta geração de presets já fo apontada por Bryant (1973) e tem sdo objeto de dversos trabalhos recentes como em Guo (1997). o presente trabalho serão ncluídos desenvolvmentos recentes relatvos à geração de presets, mplantados no lamnador de tras a fro de 4 caderas da Companha Sderúrgca Paulsta - Cospa, o qual fo totalmente modernzado em A fgura 1 mostra a foto do lamnador e a fgura 2 mostra a arqutetura do sstema de automação mplantado neste lamnador. Fgura 1 - Lamnador de Tras a Fro de 4 caderas da Cospa Fgura 2 - Arqutetura do Lamnador de Tras a Fro da Cospa este trabalho, modelos serão classfcados em duas categoras: modelos estátcos, os quas representam o processo, e modelos dnâmcos, utlzados para controlar o processo (MACALISTER, 1989). O modelo dnâmco e o modelo estátco são funções complementares no qual o prmero ajusta o esquema de reduções e o outro mantém o lamnador neste esquema (BRYAT, 1973). Pensando neste prncípo, é mportante ncar a lamnação com presets calculados próxmos aos valores que o modelo dnâmco utlzará para controlar com precsão a espessura da chapa. Com este objetvo, Guo (1997) propõe uma técnca teratva denomnada 270

3 algortmo do fator beta, para a escolha de um conjunto de reduções. o presente trabalho, é proposta uma técnca não teratva para determnação deste fator, mas adequada a cálculos on-lne e que apresenta resultados mas precsos. O termo preset é aqu empregado para desgnar os valores ncas de ajuste das varáves de processo que permtam obter o materal com a qualdade e a produtvdade desejadas (BOLO, 1996). O modelo estátco calcula também os ganhos dos reguladores utlzados pelo modelo dnâmco, tendo, portanto, grande nfluênca sobre o desempenho das malhas de controle do processo de lamnação. O cálculo otmzado de presets proposto neste trabalho é composto de duas etapas. A prmera etapa determna uma dstrbução de reduções entre as caderas de lamnação, função das reduções máxma e mínma defndas para cada cadera. A etapa segunte, chamada de otmzação, consdera a mnmzação de uma função objetvo que contenha os prncpas parâmetros relaconadas à qualdade e produtvdade. É nesta segunda etapa que lamnadores com maores recursos computaconas podem utlzar técncas de otmzação para obter ganhos de qualdade e produtvdade consderáves. o lamnador de tras a fro da Cospa, a prmera etapa de geração de presets é seguda pela etapa de otmzação. a fgura 2, as duas etapas de geração de presets estão caracterzadas pelo tem otmzação de presets do nível 2. a etapa de otmzação, é empregado o algortmo de elder e Mead (1965) o qual otmza os presets mnmzando uma função objetvo composta por parâmetros relaconados à qualdade e produtvdade como força, potênca e tensão. 2. Sstema de Controle do Lamnador de Tras a Fro da Cospa O lamnador de tras a fro da Cospa possu 4 caderas, cada uma delas compreendendo 2 clndros de apoo e 2 clndros de trabalho, estes últmos acoplados a motores de corrente contínua controlados por reguladores dgtas de velocdade e por um sstema de controle de espessura como mostra a fgura 3. Duas cápsulas de aperto hdráulcas, nstaladas no topo de cada cadera, completam o conjunto de redução de cada cadera. Fgura 3 - Modelo dnâmco do Lamnador de Tras a Fro da Cospa a regão de deformação, stuada entre os clndros de trabalho, a chapa passa e sofre redução por efeto de compressão das cápsulas de aperto hdráulco e de tração devdo à tensão exstente entre duas caderas adjacentes. Todo o conjunto é comandado por um sstema de controle, cuja arqutetura é mostrada na fgura 2. Este trabalho está focado nos seguntes objetvos: 271

4 Mínma varação de espessura. Perfl orgnal da chapa nalterado. Máxma velocdade da tra. 3. Estratégas de ajuste de Presets esta seção são detalhadas as etapas de ncalzação e otmzação. Relatvamente à etapa de ncalzação são apresentados o algortmo teratvo de Guo (1997) e um novo algortmo não teratvo. Além da etapa de ncalzação, é brevemente descrto o algortmo de elder e Mead (1965) utlzado na etapa de otmzação Algortmo Iteratvo O algortmo do fator beta proposta por Guo (1997) fo desenvolvda para assegurar que a redução em cada passe, em um lamnador reversível de uma cadera, esteja dentro de lmtes superor e nferor de redução estabelecdo para o passe. Este conceto pode, da mesma forma, ser aplcado para os lamnadores tandem de váras caderas. Uma curva de redução, obedecendo a um padrão randômco, não será adequadamente usada em um algortmo de otmzação. Portanto, uma famíla de curvas de redução pode ser defnda de modo que a redução de cada passe obedeça à segunte equação: r u ( ) rl = β r + 1 β (1) O fator beta é smplesmente um fator de nterpolação entre os lmtes superor e nferor de redução. A redução total, para qualquer esquema de passes dentro da famíla, pode ser calculada por: r t hn = 1 = 1 ( 1 r ) (2) h o = 1 O fator beta pode então ser determnado a partr das equações (1) e (2). A solução desta equação é obtda por Guo (1997) pelo método teratvo de ewton- Raphson, através da segunte expressão para beta: ( n) ( δ β ) ( n+ 1) ( n) = 1 o β = β (3) ( n) ( j δ β ) j = 1 = 1, j Portanto, conhecendo a espessura de entrada e a espessura de saída da chapa, e fxando os valores máxmo e mínmo de redução para cada uma das caderas, a redução deal destas caderas poderá ser calculada pelo fator beta de modo que a curva de redução estará dentro dos lmtes estabelecdos. h h 272

5 A solução de ewton-raphson proposta por Guo (1997) para a determnação do fator β apresenta o nconvenente de ser uma solução teratva, que requer uma aproxmação ncal sufcentemente próxma da solução O algortmo não teratvo O algortmo do fator beta proposto Guo (1997) prevê a determnação de uma famíla de curvas cuja redução em cada passe obedeça à equação (1). Usando a mesma expressão, porém empregando reduções logarítmcas, teremos: = β + 1 u ( β ) l = 1,2,3,4 (4) Onde a redução logarítmca na cadera é dada por: 1 = ln (5) 1 r A redução logarítmca máxma na cadera é dada por: 1 u = ln (6) 1 r u Da mesma forma, a redução logarítmca mínma na cadera é dada por: 1 l = ln (7) 1 r l Consderando a soma destas reduções, teremos: = β u + ( β ) = 1 = 1 1 =1 l (8) Consderando que a redução logarítmca aplcada ao materal ao longo de todo o lamnador é dada por: teremos então: m = β = 1 Resolvendo em relação β, teremos: = m u + l β = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 l (9) (10) m l β = = 1 (11) u l 273

6 Conhecdo o valor de β, determnaremos agora o valor da redução logarítmca em cada cadera, através da equação: = β + 1 u ( β ) l (12) Determnados os valores de redução logarítmca das caderas, poderemos encontrar os valores de redução convenconal, utlzando a expressão a segur: r 1 = 1 (13) exp Para determnarmos as espessuras na saída das caderas, faremos: h + 1 = 1 ( r ) h (14) Assm, fcam determnadas todas as reduções nas caderas e, como conseqüênca, as espessuras nas zonas localzadas entre as caderas. A fgura 4 é um exemplo do algortmo não-teratvo do fator beta, consderando materal com espessura de entrada de 3.00 mm e espessura de saída de 0.91 mm. Este conjunto de reduções deverá representar os vértces ncas do smplex de otmzação descrto a segur e age como um ponto de referênca para a geração dos demas vértces deste algortmo (WALTERS, 1991). TCM reductons 3.00 mm entry x 0.91 mm ext thckness Reductons % 50,0 45,0 40,0 35,0 30,0 25,0 20,0 15,0 10,0 5,0 0,0 43,0 43,0 40,0 34,0 31,9 29,1 16,0 9,0 7,0 7,0 4,8 1, Stands Fgura 4 - Curva de redução para materal 3.00 x 0.91 mm 3.3. Algortmo de Otmzação: O método Smplex de elder e Mead O método Smplex, ncalmente proposto por elder e Mead (1965), consdera a mnmzação de uma função não lnear de n varáves, sem a necessdade de determnação de suas dervadas. O passo de mnmzação é varável e se adapta à função. Em (WALTERS, 1991) pode ser encontrada uma descrção detalhada dos movmentos do smplex de passo varável. Dado o valor ncal y da função, são provocadas perturbações nas varáves x e calculados os novos valores desta função, correspondentes a cada perturbação, como mostra a fgura 5. São então determnados os valores x W, x e x B para os quas a função y atnge o valor máxmo y W, o segundo maor valor y, e o valor mínmo y B, 274

7 respectvamente. O valor médo, ou centróde x P, é determnado a partr da méda de todos os pontos x, com a exceção de x W. A cada estágo do processo, x W será substtuído por um novo valor. Três operações são possíves - reflexão, contração e expansão. Fgura 5 - Movmentos do algortmo Smplex de passo varável Reflexão - A reflexão do ponto x W, em relação ao ponto x P, é conhecda como x R. Se y R estver entre y B e y W, então x W será substtuído por x R e será dado níco a um novo processo. Expansão - Se y R < y B, sto é, a reflexão produzu um novo mínmo, então será feta uma expansão de x R para x E em relação à x P. Se y E < y B, então x W será substtuído por x E e será rencado o processo. Mas se y E > y B, a expansão falhou e x W deverá ser substtuído por x R antes do reníco do processo. Contração - Se na reflexão de x W para x R obtém-se y R > y B para todo W, então defne-se o novo x W como sendo o antgo x W ou o x R (aquele que tver o menor valor de y) Função Objetvo A função objetvo aqu consderada segue a estrutura proposta em (WALTERS, 1991), a qual consste de uma função exponencal dada por: d = exp[ ( ' j y j ) n ] (15) onde exp é a função exponencal, n é um número postvo (0<n<,não necessaramente ntero), y j é uma transformada lnear da varável de saída, y j, tal que y j =-1 quando y j é gual ao lmte nferor especfcado, y j-, e y j =+1 quando y j é gual ao lmte superor especfcado, y j+, sto é: ( y j + + y j ) y j ' y = 2 j (16) ( y y ) j + 2 O valor de y j mede o quão afastado y j se encontra do valor deal, sto é, quão afastado y j se encontra do ponto médo entre os valores máxmo e mínmo j 275

8 especfcados, em undades de dstânca entre estes valores lmtes e o valor deal (valor nomnal). Como varáves y j,, j=1,2,3, são utlzadas força, tensão e potênca. 4. Resultados prncpas O algortmo do fator beta permte que se calculem os presets de qualquer lamnador tandem, sendo necessáro somente fornecer as reduções máxma e mínma de cada cadera. Com o conhecmento do analsta de processo, será possível desta manera fornecer condções acetáves de redução e, no caso de haver uma etapa posteror de otmzação teratva, dar condções ncas mas adequadas para este algortmo. as tabelas 1 e 2 são mostradas as reduções ncas propostas para um lamnador de tras a fro, consderando materal com espessura de entrada 3.00 mm de e saída 0.91 mm, utlzando o algortmo do fator beta com solução teratva e com solução não teratva. As reduções máxmas e mínmas, em porcentagem, estabelecdas para as caderas do lamnador foram: Reduções máxmas = [43% 43% 40% 7%] Reduções mínmas = [16% 9% 7% 1%] Tabela 1 - Valores de reduções utlzando solução teratva. Solução teratva, beta = 0.669, terações = 124 Zona Espessura Redução Red. Total Tabela 2 - Valores de reduções utlzando solução não teratva. Solução não teratva, beta = Zona Espessura Redução Red. Total Embora os valores obtdos nas Tabelas 1 e 2, para as reduções em cada cadera sejam bastante parecdos, são comuns stuações em que certas condções ncas dadas para o algortmo teratvo produzem valores nadequados em um número lmtado de terações. 276

9 5. Conclusões O trabalho mostra a geração em duas etapas de presets otmzados para um lamnador de tras a fro de quatro caderas recentemente modernzado, localzado na planta da Companha Sderúrgca Paulsta. Para a geração dos presets ncas, fo utlzado o algortmo teratvo do fator beta proposto por Guo (1997) e modfcado pelos autores, para uma forma não teratva de cálculo. a fase segunte de otmzação, fo utlzado o algortmo Smplex de passo varável proposto por elder e Mead (1965), que mostrou ser perfetamente adequado para a aplcação on lne, pos é rápdo e converge satsfatoramente bem, desde que seja escolhda a função objetvo adequada. Esta função deverá, portanto, levar em consderação e dar o devdo peso às varáves do processo que afetam a qualdade e a produtvdade do lamnador. o caso específco do lamnador de tras a fro da Cospa fo consderada potênca como fator predomnante para a produtvdade e força e tensão, para a qualdade. 6. omenclatura h = espessura fnal. h 0 = espessura ncal. n = número de terações. = número total de caderas. = número da cadera. r = redução convenconal na cadera. r t = redução convenconal total no Lamnador. = redução logartmo na cadera. m = redução logartmo total no Lamnador. r l = redução convenconal mínma na cadera. r u = redução convenconal máxma na cadera. l = redução logartmo mínma na cadera. u = redução logartmo máxma na cadera. β = Fator beta δ = 1 - r Referêncas GUO, R. M., Applcaton of PC LA for a level 2 setup model of a sngle-stand reversng mll. Iron and Steel Engneer, pp , August BRYAT, G.F., Automaton of Tandem Mlls. The Iron and Steel Insttute, WALTERS, F.H., PARKER, L.R., MORGA, S.L., DEMIG, S.. Sequental Smplex Optmzaton. CRC Press, Boca Raton, FL, MACALISTER, A. F., Modelng and adaptve technques for rollng mll automaton. Iron and Steel Engneer, pp , December ELDER, J. A., MEAD R., A smplex method for functon mnmzaton. Computer Journal, 7, pp , BOLO P. L., Corum Tandem Cold Mll Setup Model: Cospa Implementaton. Davy-Clecm, 1996, (Documento Interno K Cospa). 277

10 PRESETS OPTIMIZATIO FOR TADEM COLD MILLS A CASE STUDY 1 Carlos Thadeu de Ávla Pres 2 Roberto Moura Sales 3 Mateus Alexandre da Slva 4 Henrque Cezar Ferrera 5 Abstract: A new approach to presets calculaton for a tandem cold mll s proposed based on the beta factor algorthm ntroduced by Guo. Ths theory was frst developed to be appled n a sngle stand cold mll, n order to calculate the optmzed reducton of each pass as a functon of the upper and lower lmts of reductons specfed for that pass. Ths concept can be appled, n the same manner, to a tandem cold mll, consderng the upper and lower lmts of reducton of each stand.the optmzaton algorthm used s the Smplex method proposed by elder and Mead whch consders the mnmzaton of a non lnear functon wthout the need to fnd ts derved. An objectve functon model s presented whch can be parametrzed, amng to reach maxmum productvty and better qualty of the cols processed n the rollng mll. The proposed approach was mplemented n the four stand tandem cold mll at a Brazlan company - Cospa Key-word: Cold mll; Set-up model; Presets optmzaton. 1 Paper to be presented on 8 th Semnar on Process Automaton of Brazlan Socety for Metallurgcal and Materals (ABM), Belo Horzonte, MG, Brazl, October, 6 th to 8 th ABM member. Electrcal Engneer, MSc, Tandem Cold Mll Cospa. carlospres@cospa.com.br 3 Electrcal Engneer, Professor, Telecommuncaton and control Engneerng Department - Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo. 4 ABM member. Metallugst Engneer, Tandem Cold Mll Cospa. mateusslva@cospa.com.br 5 Electrcal Engnner, Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo. 278