ABORDAGEM DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA NUMA PERSPECTIVA CONCEITUAL E GRÁFICA NO ENSINO MÉDIO

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática ABORDAGEM DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA NUMA PERSPECTIVA CONCEITUAL E GRÁFICA NO ENSINO MÉDIO José Geraldo de Araújo Pereira Belo Horizonte 2010

2 José Geraldo de Araújo Pereira ABORDAGEM DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA NUMA PERSPECTIVA CONCEITUAL E GRÁFICA NO ENSINO MÉDIO Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática. Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares Belo Horizonte 2010

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4 José Geraldo de Araújo Pereira Abordagem das funções exponencial e logarítmica numa perspectiva conceitual e gráfica no ensino médio Dissertação apresentada ao Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática. Prof. Dr. João Bosco Laudares: Orientador (PUC-MINAS) Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda (PUC-MINAS) Prof. Dr. Luiz Carlos Picorelli de Araújo (CEFET-MG) Belo Horizonte, 15 de Junho de 2010

5 AGRADECIMENTOS Para a realização deste trabalho, tive apoio de muitas pessoas e, por isso, agradeço a Deus por tê-las colocado em meu caminho, tornando possível esta pesquisa. Agradeço a minha esposa Vanda e aos meus filhos Henrique e Gabriel, in memorian, pelo apoio, carinho e paciência durante a realização do mestrado. Ao meu orientador, Prof. Dr. João Bosco Laudares, pelos atendimentos e pelas observações realizadas em todo este trabalho. Aos professores Doutores Dimas Felipe de Miranda e Luiz Carlos Picorelli de Araújo, que aceitaram fazer parte da banca examinadora desta pesquisa. Ao corpo docente do mestrado pelos valorosos ensinamentos. À professora Alcione Gonçalves pela colaboração na revisão do texto. Aos amigos, José Carlos Oliveira e Gisele Teixeira Dias, pela motivação dada a esta caminhada, mostrando-me que eu era capaz. A todos os colegas do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais CEFET / MG pelo apoio e pelo incentivo recebido. A todas as pessoas que, de alguma forma, contribuíram para a realização desta pesquisa.

6 RESUMO Esta dissertação tem como finalidade estudar uma abordagem metodológica das Funções Exponencial e Logarítmica numa perspectiva conceitual e gráfica no ensino médio. Foram elaboradas atividades referenciadas em Polya(1995), quanto à resolução de problemas, Friendlander (1995), quanto à interpretação geométrica e, gráfica, e, em Miranda e Laudares (2007), quanto à focalização na compreensão conceitual. Foram elaboradas atividades dentro de uma sequência didática que contemplou problemas das Ciências Biológicas e da Matemática Financeira, com a abordagem do conceito das Funções Exponenciais e Logarítmicas. Para interpretação gráfica, foi utilizado traçado de gráfico, privilegiando a variação de parâmetros das funções, bem como a relação de simetria das duas funções, levando o estudante a entender a inversão das mesmas. Foi utilizado o Software Winplot, no tratamento das translações horizontais e verticais das Funções Exponenciais e Logarítmicas. Para validação das atividades, as mesmas foram aplicadas em turmas do ensino médio-técnico, cujos resultados sinalizaram uma melhor compreensão conceitual com a interpretação dos problemas e do comportamento das funções na análise gráfica. Palavras-chave: Educação Matemática. Funções Exponencial e Logarítmica em abordagem conceitual. Interpretação gráfica das Funções Exponencial e Logarítmica.

7 ABSTRACT This thesis aims to study a methodological approach of Exponential Functions and Logarithmic perspective and conceptual graphics in high school. Were prepared activities referenced in Polya(1995) regarding the resolution of problems, Frienlander(1995) regarding the interpretation and geometric, graphic, and Laudares and Miranda(2007), as the focus on conceptual understanding. Activities were developed within a sequence that included didactic problems of Life Sciences and Financial Mathematics, with the approach of the concept of exponential and logarithmic functions. For graphic interpretation was used track chart, focusing on the variation of parameters of functions and the symmetry relation of the two functions, leading the student to understand the inversion of the same. Winplot Software was used in the treatment of horizontal and vertical translations of exponential and logarithmic functions. To validate the activities, they were applied to classes of high school coach, whose results showed a better conceptual understanding of the problems with interpretation and behavior of functions in the graphical analysis. Key-words: Mathematics Education. Exponential and Logarithmic Functions in conceptual approach. graphical Interpretation of the Exponential and Logarithmic Functions.

8 LISTA DE GRÁFICOS GRÁFICO 1 1ª Atividade...33 GRÁFICO 2 Funções: GRÁFICO 3 Função Exponencial: GRÁFICO 4 Função Exponencial e Logarítmica:.. 42 GRÁFICO 5 Função Logarítmica:...44 GRÁFICO 6 Funções:...48 GRÁFICO 7 Função Exponencial:...48 GRÁFICO 8 Funções do tipo:...50 GRÁFICO 9 Função do tipo:...60 GRÁFICO 10 Função do tipo:...60 GRÁFICO 11 Função do tipo:...60 GRÁFICO 12 Função do tipo:...61 GRÁFICO 13 Função do tipo:...62 GRÁFICO 14 Função do tipo:...62 GRÁFICO 15 Função do tipo:...63 GRÁFICO 16 Função do tipo:...63 GRÁFICO 17 Atividade: 3, GRÁFICO 18 Função do tipo...94 GRÁFICO 19 Função do tipo...95 GRÁFICO 20 Função do tipo...96 GRÁFICO 21 Função do tipo...97 GRÁFICO 22 Função do tipo... 98

9 GRÁFICO 23 Função do tipo...99 GRÁFICO 24 Função do tipo GRÁFICO 25 Função do tipo...100

10 LISTA DE QUADROS QUADRO 1 1ª Atividade QUADRO 2 2ª Atividade QUADRO 3 3ª Atividade QUADRO 4 4ª Atividade QUADRO 5 Síntese das Funções Exponencial e Logarítmica QUADRO 6 5ª Atividade QUADRO 7 6ª Atividade QUADRO 8 Atividade 1.b,c,d QUADRO 9 Atividade 1.f QUADRO 10 atividade 1.f QUADRO 11 Atividade 1.m QUADRO 12 Atividade 1:g, h, i QUADRO 13 Atividade 1:j QUADRO 14 Atividade 1:a,...,h QUADRO 15 Atividade 2.n QUADRO 16 Atividade 2:k QUADRO 17 Atividade 2:u,v QUADRO 18 Atividade 3, QUADRO 19 Atividade

11 QUADRO 20 Atividade QUADRO 21 Atividade QUADRO 22 Atividade 3.1.4: e, f, g. e 3.1.6:e, f, g QUADRO 23 Atividade 3.4.j QUADRO 24 Atividade QUADRO 25 Atividade QUADRO 26 Atividade QUADRO 27 Analise final da atividade QUADRO 28 Analise final da atividade QUADRO 29 Atividade: QUADRO 30 Atividade: QUADRO 31 Identificação das funções da atividade QUADRO 32 Atividade QUADRO 33 Atividade QUADRO 34 Analise das Funções

12 LISTA DE TABELA TABELA 1 1ª Atividade... 31

13 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS CEFET/MG- Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais ed. edição MG- Minas Gerais PCN s- Parâmetros Curriculares Nacionais PUC MG - Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais v. Volume

14 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO Questão Principal Questões Complementares ABORDAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA EM LIVROS DIDÁTICOS E NOS PCN S Livros Didáticos Matemática para o 2º Grau - Nelson Gentil et al. (1992) Matemática: Uma nova Abordagem - Giovanni e Bonjorno (1992) Matemática, Conceitos, Linguagem e Aplicações - Manoel Paiva (2002) Matemática, Ensino Médio - Smole e Diniz (2003) Matemática: Para a Escola de Hoje - Facchini (2006) Matemática - Dante (2008) Análise dos PCN s no Ensino Médio ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES, QUANTO À SEQUÊNCIA DIDÁTICA Apresentação da elaboração das atividades didáticas Primeira Atividade didática Apresentação da Atividade Descrição da Atividade Segunda Atividade didática Apresentação da Atividade Descrição da Atividade Terceira Atividade didática Apresentação da Atividade Descrição da Atividade Quarta Atividade didática Apresentação da Atividade Descrição da Atividade Quinta Atividade Apresentação da Atividade Descrição da Atividade Sexta Atividade didática Apresentação da Atividade Descrição da Atividade ANÁLISE DOS RESULTADOS DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES, QUANTO À SUA VALIDAÇÃO Aplicação Análise das Atividades Primeira Atividade Conteúdo... 65

15 Categorias de Análise Segunda Atividade Conteúdo Categorias de Análise Terceira Atividade Conteúdo Categorias de Análise Quarta Atividade Conteúdo Categorias de Análise Quinta Atividade Conteúdo Categorias de Análise Sexta Atividade Conteúdo Categorias de Análise CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS APÊNDICE APÊNDICE A (ATIVIDADES REFORMULADAS) CADERNO DE ATIVIDADES INVESTIGATIVAS

16 14 1 INTRODUÇÃO Minha atividade no magistério teve início no ano de 1979, quando cursava a 2ª série do IIº grau, no Curso de Eletrotécnica, na Escola Novaerense, em Nova Era/MG, onde lecionava, no período da tarde, aulas de reforço de Matemática para o antigo Iº grau, hoje Ensino Fundamental. Ao término do Curso Técnico, ingressei na Universidade Federal de Viçosa, no Curso de Bacharelado em Matemática, deixando a Área Técnica, e dedicandome à Área da Educação. A partir do 3º período, era monitor de cálculo e exercia a função de bolsista no Departamento de Física. Com o passar dos anos, iniciei na docência. Ao final da minha graduação, retornei à minha cidade Natal, ministrando aulas no Ensino Fundamental e Médio, tanto em instituições de ensino público quanto em escolas particulares, não deixando de fazer os aperfeiçoamentos e as atualizações ofertados nas Instituições de Ensino Federal. Em 1984, ingressei por concurso público no Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais (CEFET/MG), onde pude observar e vivenciar o enfoque dado ao conteúdo de todas as séries do ensino médio, em destaque à 1ª série, diante do estudo das Funções Exponenciais e Logarítmicas. Nesse período, percebi que o estudo de Logaritmo era abordado de forma abstrata, utilizando-se muito a álgebra, para manipulação das propriedades, decorrentes da definição, e a solução de equações através de tábuas Logarítmicas, envolvendo o cálculo de mantissa e característica para números superiores aos da tábua. São constantes as dificuldades apresentadas pelos alunos quanto à abordagem metodológica do estudo das Funções Exponenciais e Logarítmicas, quanto ao tratamento conceitual através de situações-problemas e comportamento gráfico, com as identificações de características tais como: crescimento / decrescimento, simetrias, interseções, condições iniciais e de contorno, procedimentos assintóticos das curvas e taxa de variação, entre outras. A partir dessa análise, iniciei o estudo das Funções Exponencial e Logarítmica e encontrei algumas barreiras, tais como: Como ensinar essas funções

17 15 de forma significativa? Quais os pontos básicos no estudo das funções? Foi a partir dessas indagações que resolvi propor a elaboração e a construção desta pesquisa sob uma perspectiva conceitual e gráfica. Daí a preocupação em focar o estudo das Funções Exponenciais e Logarítmicas, utilizando uma sequência didática que possa mostrar o entendimento da conceituação dessas funções, recorrendo-se, em algumas atividades, a Softwares Matemáticos para o trabalho com gráfico. As atividades elaboradas foram aplicadas aos alunos da 1ª série do Ensino Médio do CEFET/MG, na "Abordagem das funções exponencial e logarítmica numa perspectiva conceitual e gráfica no ensino médio". A proposta desta pesquisa é interpretar matematicamente situações da vida real, de fenômenos nas várias ciências e situações-problemas fora do contexto da matemática. As atividades envolveram funções, dentro de uma atitude reflexiva e crítica, com o auxílio também da construção e da interpretação gráfica. O objetivo geral desta pesquisa é estudar o comportamento gráfico e o conceito das Funções Exponenciais e Logarítmicas, quanto às características que as diferenciam das demais funções, seja pela representação gráfica seja em situações da vida real, nas ciências e na tecnologia, privilegiando o seu tratamento conceitual. Para isso, foram elaborados os seguintes objetivos específicos: - Analisar e discutir os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio, quanto às diversas formas de aplicação, do tratamento conceitual e da representação gráfica das Funções Exponenciais e Logarítmicas. - Verificar, em livros didáticos de Ensino Médio, como é abordada a metodologia da aplicação das Funções Exponencial e Logarítmica em problemas de ciências e em situações da vida real. - Elaborar atividades numa sequência didática que privilegia o entendimento conceitual das Funções Exponenciais e Logarítmicas. - Buscar entendimento das Funções Exponenciais e Logarítmicas através da interpretação e da análise gráfica, com auxílio em algumas atividades de Softwares Matemáticos. A seguir apresentamos as seguintes questões de pesquisa:

18 Questão Principal Como uma sequência didática pode facilitar o entendimento do conceito e a interpretação gráfica das Funções Exponenciais e Logarítmicas? 1.2 Questões Complementares Como os livros didáticos abordam os conceitos das Funções Exponencial e Logarítmica? Que Softwares Matemáticos podem favorecer a aprendizagem das funções, quanto ao seu comportamento gráfico? A dissertação é composta dos cinco capítulos seguintes: No Capítulo 1, apresentamos a introdução. No Capítulo 2, apresentamos uma análise de alguns livros didáticos, usados no ensino médio, destacando o enfoque dado a esta pesquisa, e os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN s) quanto ao conceito de Função e, em particular, as Funções Inversa, Exponencial e Logarítmica. No Capítulo 3, apresentamos as atividades que foram elaboradas nesta pesquisa, seus objetivos e as soluções esperadas, dentro do contexto de uma sequência didática. No Capítulo 4, apresentamos a análise dos resultados da aplicação das atividades, quanto à sua validação, quando foram essas aplicadas para alunos do curso médio-técnico do CEFET/MG No Capítulo 5, considerações finais. Os logaritmos surgiram, no começo do século XVII (BOYER, 1968), como um instrumento auxiliar dos cálculos aritméticos, transformando produtos em somas, quocientes em diferenças, etc. Sua utilidade, desde aquela época até bem recentemente, foi incontestável. Nesse meio tempo, além do seu emprego generalizado para tornar possíveis operações aritméticas complicadas, as funções logarítmicas, juntamente com suas

19 17 inversas, as exponenciais, revelaram-se possuidoras de notáveis propriedades, que as qualificavam como modelos ideais para certos fenômenos de variação, nos quais a grandeza estudada aumenta (ou diminui) com taxa de variação proporcional à quantidade daquela grandeza existente no momento dado. Por isso é que, mesmo com o advento e uso universal das calculadoras, e a consequente perda de interesse nos logaritmos como instrumento de cálculo aritmético, a importância científica dos mesmos não diminui nos dias de hoje. Segundo Corrêa (1989), as aulas que antecedem o estudo de logaritmos têm o objetivo de preparar o terreno para esse estudo, isto é, constituem pré-requisitos importantes para a construção gradativa do conceito e propriedade que envolvem os logaritmos. (CORRÊA, 1989, p.22) Exemplos de problemas, de origem variada, onde surgem logaritmos e exponenciais de forma espontânea, devem ser apresentados aos estudantes a fim de habituá-los com o manuseio de questões relativas ao crescimento exponencial e logaritmo. E, finalmente, a própria conceituação e a interpretação gráfica das Funções Exponencial e Logarítmica devem ser introduzidas de forma bem objetiva. Na visão de Miranda e Laudares (2007), uma das metas principais do ensino de matemática é a focalização na compreensão conceitual. Devemos dar ênfase às estratégias de estudo, as quais se fazem com abordagens variadas, sejam elas descritivas, explicativas e de análise, com diversidade de metodologias do tipo algébrica, numérica ou geométrica, seja também no tratamento do conceito matemático, atrelado às situações problemáticas das ciências e da realidade, fugindo da abstração restrita. Podemos dizer que o primeiro passo, de qualquer investigação é identificar claramente o problema a resolver e, para resolver um problema, é necessário certo conjunto de conhecimentos previamente adquiridos. Num problema matemático perfeitamente formulado, todos os dados e todas as cláusulas da condicionante são essenciais e têm de ser levados em conta. Nos problemas práticos, temos uma grande multiplicidade de dados e de condicionantes; que são tomados em consideração, tantos quanto pudermos, embora sejamos forçados a desprezar alguns.

20 18 Sendo a resolução de problemas uma habilitação prática, somente conseguimos a solução deles se observarmos e imitarmos o que fazem outras pessoas. Dessa forma, só aprendemos a solucionar problemas, resolvendo-os. Polya (1995) enumera as quatro fases de resolução de problemas, como a seguir: Primeiro, compreender o problema, percebendo claramente o que é necessário. Segundo, analisar como os diversos itens estão inter-relacionados, como a incógnita está ligada aos dados, para termos a ideia da resolução, para estabelecermos um plano. Terceiro, executar o plano. Quarto, fazer um retrospecto da resolução completa, revelando-a e discutindo-a. Assim, na elaboração conceitual, Polya (1995) defende a necessidade do raciocínio heurístico, o qual se faz com suporte em todo o capital acumulado de saberes e da sua mobilização, formulando hipóteses e conjecturas. É aquele, segundo o mesmo autor, que não se considera final e rigoroso, mas apenas provisório e plausível. à medida que avança o nosso exame do problema, prevemos com clareza cada vez maior o que deve ser feito para a sua resolução e como isso deve ser feito. Ao resolver um problema matemático, podemos prever, se tivermos sorte, que um certo teorema conhecido poderá ser utilizado, que um certo problema já anteriormente resolvido poderá ser útil, que a volta à definição de um certo problema já anteriormente resolvido poderá ser útil, que a volta à definição de um certo termo técnico poderá ser necessária. Não prevemos essas coisas com certeza, apenas com um certo grau de plausibilidade. (POLYA, 1995, p.130) A iniciação da metodologia de resolução de problemas exige um acúmulo de conhecimentos, denominada por Pozo (1998) de conhecimentos prévios. entendemos que conhecimentos prévios são todos aqueles conhecimentos (corretos ou incorretos) que cada sujeito possui e adquiriu ao longo de sua vida na interação com o mundo que o cerca e com a escola. Esse conjunto de conhecimentos serve para que ele conheça o mundo e os fenômenos que observa ao mesmo tempo em que ajudam a prever e controlar os fatos e acontecimentos futuros. (POZO, 1998, p.87) É natural aparecer matemática no estudo de fenômenos físicos, assim Laudares (2004) acrescenta que nós montamos o fenômeno físico, vamos quantificando e chegamos ao modelo matemático que pode ser uma fórmula, um gráfico. Construído o modelo matemático, nós fazemos a fórmula literalmente para

21 19 termos uma equação geral, a ser usada em um programa de computador. Hoje, com a utilização dos computadores, as tábuas de logaritmos, como instrumento de cálculo, não têm mais valor, mas ainda o estudo de logaritmos é, e continuará sendo, de grande importância. A construção e a análise de esboços gráficos das Funções Exponencial e Logarítmica é uma das grandes oportunidades de fortalecer, na aprendizagem do aluno, a ligação entre Álgebra e Geometria e suas aplicações em Trigonometria. Traçar gráficos de funções é uma atividade fundamental no ensino médio e no aprendizado de matemática, desse modo a interpretação geométrica em, como propõe Friendlander (1995), torna a compreensão mais fácil na obtenção da função inversa e na resolução de equações, inequações exponenciais e logarítmicas. Nesse caso, a resolução gráfica é menos tediosa e mais rápida do que a solução algébrica, utilizando de maneira significativa a habilidade com simetria, reflexão e translação. As representações gráficas são usadas nas ciências, de modo que, com o auxílio de representações geométricas apropriadas, podemos expressar a relação existente entre duas funções em linguagem gráfica, onde uma função pode ser perfeitamente simétrica em relação a um plano vertical, de tal maneira que as duas partes sejam completamente intercambiáveis. Assim, Polya (1995) procura tratar simetricamente o que é simétrico e não destruir arbitrariamente qualquer simetria natural. O estudo das Funções Exponencial e Logarítmica torna-se mais envolvente na medida em que buscamos uma abordagem conceitual e gráfica dentro de várias aplicações no campo da ciência. A estratégia para a implementação dessa nova abordagem está no uso de atividades investigativas. Assim, a fase de discussão é, pois, fundamental para que os alunos, por um lado, ganhem um entendimento mais rico do que significa investigar e, por outro lado, desenvolvam a capacidade de comunicar matematicamente e de refletir sobre seu trabalho, aumentando seu poder de argumentação. Podemos afirmar que, sem a discussão final, se corre o risco de perder o sentido da investigação. (PONTE, 2003). Assim, o professor deve ser consciente de que aprender vai além da memorização, isto é, também reestruturar concepções já existentes. (FERREIRA, 2006).

22 20 Outras pesquisas do estudo do ensino e da aprendizagem das Funções Exponenciais e Logarítmicas foram realizadas, como: Análise do processo de argumentação e prova em relação ao tópico logaritmos, numa coleção de livros didáticos e numa sequência de ensino, de Fernando Tavares da Silva (2007). Uma sequência de ensino para o estudo dos logaritmos, usando a Engenharia Didática, de Ronize Lampert Ferreira (2006), e Uma Sequência de Ensino, usando o Programa Winplot: em busca de uma aprendizagem autônoma do aluno, de Caren Saccol Berlez (2007). Ao final das atividades, faremos uma socialização das ideias dos alunos, contribuindo de modo significativo para o aprendizado da matéria e desenvolvendo o gosto por essa.

23 2 ABORDAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA EM LIVROS DIDÁTICOS E NOS PCN s Livros Didáticos Alguns livros adotados em escola de Ensino Médio foram analisados, sendo que dois desses foram usados nos últimos 7(sete) anos no CEFET/MG, quais sejam: Giovanni e Bonjorno (1992) e Dante (2008). Os critérios usados na análise dos livros foram: linguagem usada pelos autores, o conceito de Função, Função Inversa, Exponencial e Logarítmica, através de uma situação-problema motivadora e a interpretação gráfica Matemática para o 2º Grau - Nelson Gentil et al. (1992) Gentil et al. (1992) não apresentam situações-problemas para iniciar o conceito de função. A definição de Função baseia-se através das representações no diagrama de Venn, comparando os conjuntos e estabelecendo relações entre eles, determinando o domínio, o contradomínio e a imagem. É apresentada uma grande quantidade de exercícios, envolvendo cálculo algébrico. As situações-motivadoras aparecem somente na Função do Iº e IIº graus com aplicações na Física e na Economia, relacionando as variáveis dependentes e independentes, obtendo, assim, uma relação matemática entre elas. O conceito da Função Inversa é apresentado de forma simples nos exercícios propostos, os autores exploram mais a regra prática para determinação de, que é a inversa da função, ao invés da construção gráfica. As Funções Exponencial e Logarítmica são deficitárias quanto aos traçados gráficos. Observa-se que os autores trabalham com equações exponenciais que necessitam do logaritmo como ferramenta para a sua resolução e, além disso, exploram os logaritmos decimais, trabalhando com exercícios de estimativas através

24 22 da interpolação linear. O livro apresenta uma linguagem matemática, sem textos informativos, o que é justificado na fundamentação teórica dada aos logaritmos, observando que os autores exploram bastante a parte algébrica, ao invés de aplicações práticas e resoluções de problemas, usando a interpretação gráfica Matemática: Uma nova Abordagem - Giovanni e Bonjorno (1992) Os autores apresentam a ideia de função, relacionando duas grandezas através de exemplos práticos. A definição de Função Matemática baseia-se de acordo com a linguagem da teoria dos conjuntos, diferenciando os elementos: domínio, contradomínio e imagem, explorando, através de representações gráficas, a situação que, para certos valores de, não possui imagem real. A tipologia das funções é apresentada com certo rigor matemático, revelando que Bonjorno e Giovanni se prendem muito à parte conceitual e algébrica, o que é mostrado na Função Inversa, onde a determinação da inversa é obtida, usando-se a regra de inversão, e não a inversão dos pares ordenados na representação gráfica da inversa. Estes autores não se utilizam de uma situação-problema para introduzir a definição de logaritmo, fazem referência a uma tabela com números naturais relacionando-os com o expoente de dez, desse modo as propriedades operatórias dos logaritmos são bastante exploradas, baseando na definição de logaritmo. Nas Funções Exponenciais e Logarítmicas, os exemplos práticos, usados na introdução, são deixados de lado, enfatizando a parte operacional, utilizando a calculadora científica e as tábuas de logaritmos para o cálculo das características e mantissas. Desse modo, a construção gráfica e as translações gráficas não são abordadas.

25 Matemática, Conceitos, Linguagem e Aplicações - Manoel Paiva (2002) Paiva (2002) introduz o conceito de Função, usando muitos exercícios com dificuldades crescentes, identificando, no sistema de coordenadas cartesianas, os elementos: domínio, contradomínio e imagem. Existem poucas aplicações envolvendo situações reais que possibilitem aos alunos uma interação com o conteúdo. Desse modo, a visão conceitual é vista de forma algébrica, deixando de fazer uma análise gráfica dos exercícios. A Função Inversa é analisada depois dos conteúdos de Funções Exponencial e Logarítmica, fato esse que compromete a relação de inversão entre as funções, mas se prende na análise gráfica para as funções de Iº e IIº graus, dando uma conotação histórica à Função Inversa. Na parte gráfica das Funções Exponenciais e Logarítmicas, existem poucos gráficos, devido à falta de aplicações, enfatizando mais os exercícios algébricos. Desse modo, as translações, envolvendo as mudanças dos parâmetros da base, são deixadas de lado. É um livro bastante teórico, onde as funções são bem definidas, mas a parte gráfica deixa a desejar Matemática, Ensino Médio - Smole e Diniz (2003) As autoras apresentam exemplos práticos, no que diz respeito ao conceito de função. Assim, a definição de função é dada de maneira objetiva, focalizando exemplos da vida real, associando as variáveis em estudo de maneira aplicativa através de um contexto gráfico. A Função Inversa é obtida através do método usual, sem uso de aplicação. O livro consegue abordar os dois lados de um conteúdo, o conceitual, através de exemplos práticos, e as representações gráficas, fato observado na Função Exponencial, onde exercícios de análise gráfica, envolvendo duas funções simultaneamente, são apresentados, buscando sua resolução através do método gráfico.

26 24 Ao definir a Função Logarítmica, as autoras não exploram a função inversa, introduzindo a definição de logaritmo e trabalhando com as propriedades operatórias, seguidas de exemplos e de exercícios de aplicação imediata das propriedades. A parte gráfica, relacionando as Funções Exponenciais e Logarítmicas, não é contemplada, distanciando a relação existente entre as funções, o que é notado pela ausência de gráficos, envolvendo as translações Matemática: Para a Escola de Hoje - Facchini (2006) Facchini (2006) aborda o conceito de função através de exemplo prático e busca, na História da Matemática, a origem da palavra função, relacionando as variáveis em estudo com os valores de dependência e independência. O autor explora nos exercícios muito a parte algébrica, e mostra poucas situações-problemas. Na Função Inversa, a maneira de abordar os pares ordenados é bem explicitada, mostrando a relação que a reta da bissetriz tem em relação às funções, destacando a inversão dos pares ordenados. As definições de exponencial e logaritmo são bastante exploradas antes de se trabalhar com as propriedades. Os exemplos usados nas funções exponenciais e logarítmicas mostram o interesse do autor em trabalhar a parte algébrica com a gráfica, explorando, nos gráficos, os pontos de interseção em relação aos eixos e a simetria entre as funções Matemática - Dante (2008) Dante (2008) inicia o conteúdo de função através de situações-problemas motivadoras, usando exemplos de fácil entendimento, fixando-os através de representações gráficas.

27 25 As análises e as interpretações gráficas foram, em alguns capítulos, a referência do autor, fato este não consolidado no estudo da Função Inversa. A ideia de translação foi usada somente na função quadrática, analisando a variação dos coeficientes: a, b e c, através das representações gráficas, deixando de se estender para as Funções Exponenciais e Logarítmicas. Quanto ao estudo dos logaritmos, existe um rigor desde as definições que são abordadas numa linguagem matemática até o entendimento das propriedades. Desse modo, na aplicação dos logaritmos na resolução de equações exponenciais e de problemas, utiliza-se uma tecnologia moderna (calculadora) em substituição às tábuas logarítmicas. Ao final de cada Capítulo, o autor faz menção à leitura histórica, desde a origem até sua aplicação, aprofundando no estudo das funções, relacionando-as com outras funções. Em suma, nos livros didáticos analisados, percebemos uma exposição da abordagem conceitual e gráfica das funções exponencial e logarítmica sem qualquer preocupação em estabelecer as possíveis conexões entre o conceito e a parte gráfica das funções. Em alguns livros encontramos, situações práticas da vida real. Em alguns livros, percebemos que existem situações-problemas que se propõem à determinação da solução do problema, através de equações, inequações, cálculos de características, mantissas, uso de calculadoras e algumas representações gráficas. Entretanto, procuramos uma metodologia nos livros didáticos envolvendo a parte conceitual e gráfica das funções e suas translações. 2.2 Análise dos PCN s no Ensino Médio A articulação das várias áreas do conhecimento e das disciplinas da área das ciências, partilhando linguagens, procedimentos e contextos, converge para o trabalho educativo da escola como um todo, ao promover competências dos alunos. Para cumprir esses pressupostos, é recomendável, por um lado, promover atividades didáticas, em grupo ou individualmente com os alunos, em que suas preferências e interesses possam se manifestar, contribuindo significativamente para

28 26 a motivação, ou seja, para o desejo de aprender. Por outro lado, isso requer que os conteúdos formativos das muitas disciplinas tenham uma unidade, em termos de contextos comuns e das competências desenvolvidas. Que o jovem possa identificar não no discurso, mas na prática, procedimentos comuns dentro ou fora da sala de aula, utilizando softwares matemáticos que possam fazer essa ligação entre a parte teórica e prática. Ao estudar o conceito de função, deparamos com situações como o fato de que o aluno precisa adquirir o hábito da linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situaçõesproblemas, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática. Tradicionalmente, o ensino de funções estabelece, como pré-requisito, o estudo dos números reais e de conjuntos e suas operações, para depois definir relações e, a partir daí, identificar as funções como particulares relações. Todo esse percurso é, então, abandonado assim que a definição de função é estabelecida, uma vez que, para a análise dos diferentes tipos de funções, ou seja, da sua tipologia, todo o estudo relativo a conjuntos e relações passa ser desnecessário. Assim, o ensino pode ser iniciado diretamente pela noção de função para descrever situações de dependência entre duas grandezas, o que permite o estudo a partir de situações contextualizadas, descritas algébrica e graficamente. Os problemas de aplicação não devem ser deixados para o final de cada tópico abordado, mas devem ser colocados de forma motivadora dentro dos conteúdos de modo que o aluno possa assimilar a ideia e os conceitos de função. A riqueza de situações, envolvendo funções, permite que o ensino se estruture permeado de exemplos do cotidiano, das formas gráficas que a mídia e outras áreas do conhecimento utilizam para descrever fenômenos de dependência entre grandezas. Dentre os vários tipos de funções, enfatizo a Função Inversa, que não é mencionada nos PCN s. É através dela que se consegue estabelecer um parâmetro de ligação entre as Funções Exponenciais e Logarítmicas, levando em consideração aspectos relevantes ao que se refere ao crescimento/decrescimento e à inversão de pares ordenados, elementos que são os geradores para a construção gráfica dessas

29 27 funções. De acordo com os PCN s, as Funções Exponenciais e Logarítmicas são usadas para descrever a variação de duas grandezas em que o crescimento da variável independente é muito rápido, sendo aplicada em áreas do conhecimento como matemática financeira, crescimento de populações e outras. Fato esse que mostra a relação de dependência das funções. A parte operacional da resolução de equações Exponenciais e Logarítmicas e o estudo das propriedades de características e mantissas podem ter sua ênfase diminuída e, até mesmo, podem ser suprimidas, pois os avanços tecnológicos, com o uso de softwares matemáticos, levam os estudantes a resolver e calcular expressões exponenciais e logarítmicas através desses recursos. Desse modo, a ênfase do estudo das diferentes funções deve estar no conceito de função e em suas propriedades em relação às operações, na interpretação de seus gráficos e nas aplicações dessas funções.

30 28 3 ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES, QUANTO À SEQUÊNCIA DIDÁTICA Esta pesquisa de cunho qualitativo, composta por atividades referenciadas em Boyer (1968), Côrrea (1989), Miranda e Laudares (2007), Ferreira (2006), Friendlander e Haddas (1995), Laudares (2004), Polya (1995), Ponte (2003) e Pozo (1998), direciona os alunos a resolverem problemas e interpretar graficamente as Funções Exponenciais e Logarítmicas. A pesquisa também é sustentada nos moldes de uma sequência didática e de uma sequência de conteúdos, em que Zabala (1998) define uma sequência didática: como um conjunto de atividades, estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos educacionais, que tem um princípio e um fim conhecidos tanto pelos professores como pelos alunos. Através dessas concepções, buscaram-se problemas que privilegiam situações reais, incentivando a pesquisa e atividades relacionadas ao surgimento dos logaritmos, contribuindo para a construção e para a compreensão do conceito de logaritmo e sua representação gráfica por parte dos alunos. A sequência didática proposta refere-se a um conjunto de atividades planejadas e encadeadas, com o intuito de facilitar não só a compreensão do conceito das Funções Exponencial e Logarítmica, como também a construção gráfica, permitindo aos alunos a oportunidade de investigar e explorar as situaçõesproblemas de forma autônoma, assumindo a responsabilidade pela sua aprendizagem, proporcionando de forma significativa a aprendizagem dos conteúdos. 3.1 Apresentação da elaboração das atividades didáticas O interesse pelo conteúdo, por parte dos alunos, aumenta a partir do momento em que esses compreendem as ligações do conteúdo a ser estudado num contexto relacionado às suas vivências. Diante desse pensamento, colocaram-se como elemento norteador as seguintes atividades de pesquisa, com as respectivas

31 29 descrições. Foram propostas seis atividades, com níveis de dificuldades crescentes, através de uma sequência didática e de conteúdo, visando a um trabalho investigativo para as Funções Exponenciais e Logarítmicas. A primeira e a segunda atividades exploraram o conceito das funções exponenciais e logarítmicas, dando ênfase à Ciência Biológica e à Matemática Financeira. Nessa atividade, mostramos a relação entre as variáveis dependentes e independentes e o comportamento das curvas. Na terceira e quarta atividades foram abordadas a definição e a interpretação dos coeficientes das funções, analisando as condições dos parâmetros. Na quinta atividade, é explorada a interpretação da função inversa, através de recursos gráficos para sua obtenção. A sexta atividade utiliza um software matemático (Winplot) para esboço de gráficos e deslocamento de curvas (translações). Essa atividade será desenvolvida no laboratório de informática do Campus I. 3.2 Primeira Atividade didática Nessa atividade, foram explorado o conceito da Função Exponencial, dando ênfase à Ciência Biológica (crescimento vegetativo), envolvendo o crescimento de uma planta, em que os alunos deveriam: - Identificar e representar graficamente as variáveis em estudo; - Relacionar e classificar a curva em estudo com as funções já estudadas; - Analisar e descrever a relação entre variáveis definidas; - Formalizar a lei que descreve o fenômeno. A partir dessa análise, pretende-se que os estudantes obtenham as seguintes habilidades: - Reconhecer e interpretar informações relativas a problemas, construindo conjecturas; - Aprender a fazer tratamento de dados com a montagem de tabelas e plotagem gráfica;

32 - Usar a intuição na problematizarão, durante a exploração do problema, e validar as conjecturas levantadas na avaliação dos resultados Apresentação da Atividade Nessa atividade, mostraremos como o conceito da Função Exponencial e Logarítmica, dando ênfase à Ciência Biológica (crescimento vegetativo), envolvendo o crescimento de uma planta, podem ser aplicados pelos alunos. O Quadro 1 a seguir apresenta a primeira atividade. Se a altura de uma planta dobra a cada mês, durante um certo período de sua vida, supondo que sua altura inicial é de 1 cm, então: a) Qual o valor para o instante inicial? b) Qual é a altura da planta ao final do 1º mês e sucessivamente, no final do 2º, até o 10º mês? c) Identifique a variável dependente e independente em estudo e dê nome para elas? d) Construa uma tabela que represente essa situação. e) Plote, no sistema de eixos, os dados da tabela construída, indicando a variável dependente na vertical e a independente na horizontal. f) Una os pontos. g) Interpretando o gráfico, dê um valor aproximado para: a) 2,5 meses. b) 4 meses e 10 dias. c) 5 meses e 20 dias. h) A curva obtida no item f corresponde a uma função a) do Iº grau (cujo gráfico é uma reta). b) do IIº grau (uma parábola). c)uma curva desconhecida. i) As grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais? Justifique? j) O gráfico é uma função crescente ou decrescente? Justifique? k) Repita o gráfico construído no item f e trace uma reta crescente que tangencia a curva a partir do ponto inicial. O que você conclui a respeito do crescimento da reta e da curva? l) Existe um valor extremo num determinado ponto do gráfico (mínimo ou máximo)? m) Formalize, usando as variáveis nomeadas, uma lei de formação que melhor se ajuste ao gráfico. A relação encontrada é denominada Função Exponencial (cujo gráfico é uma exponencial). Quadro 1: 1ª Atividade Fonte: Dados da Pesquisa

33 Descrição da Atividade O problema em Ciências Biológicas, apresentado na primeira atividade, objetiva obter uma relação, a partir de uma análise gráfica, que relaciona duas variáveis em estudo: a variável dependente altura, com unidade de medida em cm, e a variável independe tempo, em meses. Na resolução dessa atividade, esperamos que os alunos façam a construção de uma tabela de valores, envolvendo as variáveis como ponto de partida. O primeiro questionamento foi a identificação da variável dependente e da independente. Como os alunos já tinham cursado o ensino fundamental, esperávamos que todas as duplas conseguissem construir a tabela da altura em relação ao tempo, isto é,, e traçar o gráfico correspondente, conforme a Tabela 1 seguinte: TABELA 1 1ª Atividade Fonte: Dados da pesquisa (meses) (altura) A partir da Tabela 1 preenchida, os estudantes iriam plotar os pontos no sistema de eixos, indicando os valores de meses) na horizontal e de (cm) na vertical, formando os pares ordenados, obtendo uma curva desconhecida, para os mesmos, conforme esboço do Gráfico 1 a seguir:

34 32 Gráfico 1: 1ª Atividade Fonte: Dados da Pesquisa Os pares ordenados obtidos na tabela anterior configuram pontos na região do primeiro quadrante, mostrando a existência de uma relação entre as grandezas envolvidas, ou seja, à medida que o tempo aumenta, existe uma correspondência com a altura, que cresce na forma de uma potência de dois. Dessa maneira, as duas grandezas não são grandezas proporcionais. Segundo Dante (2008) duas grandezas são proporcionais (ou diretamente proporcionais) se para cada valor de de uma delas corresponde um valor de bem definido na outra satisfazendo: a) Quanto maior for, maior será, ou seja: Se e, então implica. b) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de, então, então o valor correspondente de será dobrado, triplicado, etc., ou seja: Se, então para todo A correspondência que satisfaz essas duas condições chama-se proporcionalidade. (DANTE, 2008, p.67) Entretanto, no problema estudado, não há proporcionalidade entre as grandezas envolvidas. Diante da análise gráfica dos pares ordenados, gerados pelos valores inteiros do tempo e da altura, unindo os pontos e obtendo uma curva contínua, outros pontos pertencentes à curva podem ser avaliados e determinados, usando uma

35 representação fracionária que estima, no eixo vertical, os valores correspondentes para a altura, sendo dado um valor de (me.: meses. d.: dias) como: 33 Através dessas representações, pretendíamos buscar as habilidades dos estudantes, na determinação dos valores aproximados da altura, no eixo vertical, supondo que os alunos tinham um conhecimento prévio, adquirido no ensino fundamental, das operações de potenciação e radiciação. O uso da calculadora científica facilitou a determinação dos valores aproximados da altura. A tabela formada pelo tempo e pela altura mostra uma relação de dependência entre as grandezas, ou seja, à medida que os valores do tempo aumentam, através de uma variação linear na razão de um para um, a altura também aumenta, mediante um acréscimo multiplicativo, não linear, na razão de duas unidades, isto é:. Após o traçado do gráfico, pediu-se para analisar as grandezas definidas quanto ao seu comportamento, se crescentes ou decrescentes, se proporcionais. A modelagem de uma situação de fenômenos físicos, interpretados na sua variação, e o modelo podem ser expressos por uma equação ou um gráfico. Assim, com descrição da situação física, procura-se a descrição matemática na tentativa de relacionar as variáveis, usando tabelas, gráficos ou fórmulas de modo a resolver a situação-problema e trazer o entendimento da lei definidora. Espera-se que o aluno obtenha, através desta atividade, a relação matemática da forma, chamada de função exponencial, onde a variável, representa o tempo, e,, a altura em metros, obtida a partir da construção gráfica de uma situação-problema.

36 Segunda Atividade didática Essa atividade envolve os conceitos das Funções Exponencial e Logarítmica, dando ênfase à interpretação e à resolução de um problema de juro composto, na Matemática Financeira, onde os estudantes deveriam: - Identificar e representar graficamente as variáveis e os parâmetros em estudo; - Relacionar e classificar a curva em estudo com as funções já estudadas; - Formalizar a lei que descreve o fenômeno. A partir dessa análise, pretende-se que os estudantes obtenham as seguintes habilidades: - Reconhecer e interpretar informações relativas ao problema; - Montar e representar graficamente as tabelas; - Desenvolver e prever resultados; - Identificar situações de crescimento e decrescimento, máximo ou mínimo Apresentação da Atividade Nessa atividade, mostraremos como os conceitos das Funções Exponencial e Logarítmica, dando ênfase à interpretação e à resolução de um problema de juro composto na Matemática Financeira, podem ser aplicados pelos alunos.

37 35 O Quadro 2 a seguir apresenta a segunda atividade. Uma pessoa deposita em um banco a quantia de R$10.000,00 durante 10 anos, a uma taxa de 12% ao ano e podendo sacar a qualquer momento, isto é, o capital mais juros: denominado de Montante. Mediante informações prestadas pela instituição Financeira, o valor a ser resgatado em qualquer instante obedece a seguinte lei de formação:, onde as variáveis correspondem ao montante, o capital empregado, a taxa unitária e o tempo da aplicação. Analisando os dados da situação financeira, responda: a) Verifique se na lei de formação há 04(quatro) grandezas, duas variáveis e dois parâmetros. b) Identifique a variável independente? c) Identifique a variável dependente? d) Qual é o valor do capital inicial? e) Qual o capital aproximado a receber (capital acumulado) no final do 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 10º ano? f) E ao fim de t anos? g) No item f, ao escrever a fórmula, encontra-se uma relação envolvendo quantas grandezas? Quais letras as representam? h) Que condição devemos impor a? Justifique? i) Construa uma tabela, que represente a situação de item e. As outras grandezas são constantes? j) Plote no sistema de eixos os dados da tabela construída, indicando a variável independente na horizontal e dependente na vertical, e una os pontos. k) A curva obtida no item j corresponde a que tipo de uma função? l) Construa uma nova tabela, invertendo os pares ordenados do item i. m) Plote no sistema de eixos os pares obtidos, com as novas coordenadas, e una os pontos, traçando o gráfico. n) Repita os dois gráficos obtidos, num mesmo sistema de eixos. o) Trace a bissetriz do Iº quadrante. p) Tome 05(cinco) pontos dessa bissetriz, e trace retas perpendiculares à bissetriz, até interceptar as curvas. q) O que você pode conclui em relação às duas curvas? r) Formalize usando as variáveis nomeadas uma lei de formação que melhor se ajusta ao gráfico. A relação encontrada é a função Exponencial, e o gráfico cujas coordenadas foram mudadas de posição define uma nova função, a função Logarítmica, denominada curva logarítmica.

38 s) Como se comportam os valores das funções? Crescem ou decrescem? t) Qual curva cresce mais rapidamente com o tempo aumentando? u) Se a sua dívida cresce exponencialmente e os seus rendimentos com o Logaritmo. O que você pode concluir? v) Se a sua dívida cresce como o logaritmo e os seus rendimentos como a Exponencial. O que você pode concluir? Quadro 2: 2ª Atividade Fonte: Dados da Pesquisa Descrição da Atividade Diz-se que há um "juro composto" quando o juro ganho por certo capital, ao fim de um período de tempo, fica depositado, acrescentando o capital inicial e passando, portanto, a ganhar juro. O investidor, no fim do segundo ano, receberá, portanto, "juro do juro", além do juro do capital, gerando o montante. Inicialmente, a expressão do montante, admite quatro grandezas, representadas pelas letras: C (Capital), i (Taxa unitária), t (Período de tempo) e M (Montante). Essas grandezas desempenham um papel importante dentro do contexto financeiro, pois a relação obtida mostra a correspondência entre a variável independente,, e a variável dependente,, considerando as outras grandezas como parâmetros. Nesse problema, e são dados por valores fixos na aplicação financeira, logo o capital (R$10 000,00) reproduzirá os respectivos montantes no fim de cada ano. Esses valores podem ser obtidos de maneira simples, como: multiplicando o montante de cada ano pelo fator de 1,12 ou usando uma calculadora científica, gerando os valores: Através da representação gráfica dos pontos, as grandezas tempo e montante proporcionam uma lei de formação tipo exponencial da primeira atividade, ou seja,. A curva formada pelos pares ordenados é uma curva exponencial.

39 37 Os pares ordenados, obtidos na relação, representam uma função crescente, devido ao aumento nos valores do tempo e do montante. Dessa forma, todos os pontos da curva pertencem ao Iº quadrante, com coordenadas positivas. Desse modo, ao invertemos os pares ordenados, esses continuaram a pertencer à região do Iº quadrante. De acordo com Lima (2006): dois pontos P, Q no plano dizem-se simétricos em relação a uma reta r nesse plano quando r é a reta mediatriz do segmento PQ. Logo duas figuras dizem-se simétricas em relação à reta quando cada ponto de uma delas é o simétrico da outra em relação a essa reta. (LIMA, 2006, p.188) A curva obtida com a inversão dos pares ordenados é uma função decrescente. Desse modo, a nova função gera uma curva desconhecida proveniente da dívida, assim os gráficos apresentados representam de forma simétrica a relação entre as curvas exponenciais e logarítmicas, geradas pelo rendimento (lucro) e a dívida (prejuízo). Portanto, o lento crescimento dos logaritmos fica evidenciado na curva obtida dos pares ordenados inversos que contrasta com o rápido rendimento da curva exponencial. A construção de um novo modelo, através da situação-problema, possibilita aos alunos a retomada do conceito de Função Exponencial, bem como a construção de um novo modelo matemático referente à situação-problema e a análise gráfica da solução, definindo uma nova função denominada Logarítmica. 3.4 Terceira Atividade didática Nessa atividade, serão exploradas a definição e a interpretação dos coeficientes das Funções Exponencial e Logarítmica, com base (, onde os alunos deveriam: - Efetuar e representar cálculos numéricos; - Determinar pares ordenados e representar graficamente as tabelas; - Relacionar e classificar a curva em estudo com as Funções Exponenciais e Logarítmicas, na base maior que um;

40 38 - Formalizar a lei que descreve a situação em estudo. A partir dessa análise, pretende-se que os estudantes obtenham as seguintes habilidades: - Reconhecer e interpretar as funções; - Desenvolver a capacidade de analisar, interpretar, prever e generalizar resultados Apresentação da Atividade Nessa atividade, mostraremos a definição e a interpretação dos coeficientes das Funções Exponencial e Logarítmica, com base (. O quadro 3 a seguir apresenta a terceira atividade. 1) Dada a função, complete a tabela seguinte: X Y Inverta os pares ordenados e complete a nova tabela. X Y A tabela formada define uma nova função, é igual ao logaritmo de na base 2, isto é, 1.1. Considere a função, complete a tabela seguinte de acordo com os valores da base. a = 2 a = 3 a = 4 X Y Y Y 1.2. Plote os valores da tabela acima num sistema de eixos Interpretando o gráfico, responda. a) Dê o domínio e a imagem das funções, usando a notação de intervalos. b) Verifique se há intersecção com os eixos. Em caso afirmativo, determine os pares ordenados.

41 39 c) As funções são crescentes ou decrescentes? d) Tome alguns valores para e, a partir deles, trace segmentos paralelos ao eixo e una estes segmentos. e) O que podemos afirmar em relação à inclinação das curvas? f) Examine o comportamento do gráfico para e. g) Generalize uma condição para a base, verificando o crescimento de seus valores de modo que a função seja crescente Preencha a tabela seguinte, invertendo os pares ordenados da função, obtendo a tabela da função. a = 2 a = 3 a = 4 X Y X Y X Y 1.5. Plote, num mesmo sistema de eixos, os valores da tabela construída e responda às questões a seguir, interpretando o gráfico. a) Dê o domínio e a imagem das funções, usando a notação de intervalos. b) Verifique se há intersecção com os eixos. Em caso afirmativo, determine os pares ordenados. c) As funções são crescentes ou decrescentes? d) Tome alguns valores fixos para e, a partir deles, trace segmentos paralelos ao eixo e una estes segmentos. e) O que podemos afirmar em relação à inclinação das curvas? f) Observando os valores de para crescendo, tendendo a (+) infinito, o que se pode concluir para? A função possui um máximo? g) Observando os valores de para decrescendo, tendendo a (-) infinito, o que se pode concluir para? A função possui um mínimo? h) Generalize uma condição para a base, verificando o crescimento de seus valores de modo que a função seja crescente. Quadro 3: 3ª Atividade Fonte: Dados da pesquisa Descrição da Atividade Inicialmente foi definida a função Exponencial de base 2 (dois), isto é,, de modo a se obter uma tabela de valores, envolvendo as variáveis representativas e. De acordo com Caraça (2003): uma igualdade como, em que figura igualado a uma expressão analítica em, contém uma lei matemática ligando as duas variáveis; essa lei matemática define a correspondência, que existe entre e e faz,

42 40 portanto, que seja função de. (CARAÇA, 2003, p.123) A partir da função exponencial definida acima, pretendemos construir uma tabela que relacionasse os valores da variável independente,, com os respectivos valores da variável dependente,, formando os respectivos pares ordenados. Desse modo, os pontos de coordenadas e seriam simétricos relativamente à reta, mostrando que os gráficos das funções e são simétricos e obtidos um do outro por reflexão na reta. Gráfico 2: Funções:. Fonte: Dados da Pesquisa Através da função, de base igual a dois, outras tabelas podem ser elaboradas a partir da mudança dos valores positivos da base, gerando a relação, de base. Os valores de inteiros facilitam os cálculos. Para valores não inteiros de, o estudante poderá usar a calculadora. A variação nos valores da base, considerando, na função, tem como princípio mostrar que à medida que a base aumenta, as curvas ficam cada vez mais assintóticas em relação ao eixo das abscissas.

43 41 Gráfico 3: Função Exponencial: Fonte: Dados da pesquisa Tomando pontos fixos de cada figura, os estudantes podem observar, através dos gráficos, que as áreas correspondentes às faixas de mesma base aumentam à medida que caminhamos no sentido positivo do eixo dos. Isso quer dizer que a inclinação do gráfico da função deve crescer com. A partir dessa análise, Lima (2006) define a Função Exponencial da seguinte maneira: seja um número real positivo, que suporemos sempre diferente de 1(um). A função exponencial de base,, indicada pela notação, deve ser definida de modo a ter as seguintes propriedades, para quaisquer :, quando e, quando. (LIMA, 2006, p.178) Desse modo, para todo número real positivo, diferente de 1 (um), a função exponencial é sempre positiva, ou seja, a função não possui um valor máximo, mas tende a um comportamento assintótico próximo de 0 (zero) no domínio dado, logo a sua inversa é definida como, conforme a figura seguinte.

44 42 y x Gráfico 4 : Função Exponencial e Logarítmica: Fonte: Dados da Pesquisa Segundo Lima (2006): para todo número real positivo, a função exponencial ;, é uma correspondência biunívoca entre e, crescente se, decrescente se,..., a inversa da Função Exponencial de base é a função, que associa a cada número real positivo o número real, chamado o logaritmo de na base. (LIMA, 2006, p.190). A dificuldade em determinar os logaritmos de números reais positivos, usando a relação, leva-nos a transformar a expressão numa função potência do tipo, cujos cálculos envolvem somente a potenciação. A formação dos novos pares ordenados, obtidos pela inversão dos mesmos, originará uma nova curva, cuja função dada é, ou seja, y é igual ao logaritmo de, na base, mostrando a facilidade dos estudantes em trabalhar com a função logarítmica, a partir dessa transformação. Pode-se associar a Função Exponencial à sua inversa, ou seja, a Função Logarítmica. Ao refletirmos o gráfico da função crescente,, definida de, em torno da reta, encontra-se uma função crescente do tipo, definida de. Esperamos que os estudantes observassem que os gráficos da curva,, com a base, variando entre 2, 3 e 4, são curvas logarítmicas, contidas

45 43 no primeiro e quarto quadrante, interceptando o eixo no ponto, e que assume valores positivos para e valores negativos para. Além disso, a relação,, com, é uma função crescente cujo gráfico deve apresentar inclinação decrescente, na medida em que a base aumenta. Desse modo, tomando pontos fixos de cada figura, pode-se observar, através dos traçados gráficos, que as áreas correspondentes às faixas de mesma base aumentam à medida que caminhamos no sentido positivo do eixo dos. Isso quer dizer que a inclinação do gráfico da função deve decrescer com Gráfico 5: Função Logarítmica Fonte: Dados da Pesquisa No final da 3ª atividade foi solicitada, aos estudantes a análise dos valores dos parâmetros que não definem uma Função Exponencial.

46 44 1) Se, temos. Complete a tabela e responda: X Y O gráfico da função acima corresponde a uma reta (constante), a uma parábola, ou a uma exponencial? 2) Se, temos. Complete a tabela e responda: X Y Existem pontos em que a função não está definida? 3) Se, temos. Complete a tabela e responda: X Y Existem pontos discretos? 3.5 Quarta Atividade didática Nessa atividade foram exploradas a definição e a interpretação dos coeficientes das Funções Exponencial e Logarítmica, com base (, onde

47 45 os alunos deveriam: - Efetuar e representar cálculos numéricos; - Determinar pares ordenados e representar graficamente as tabelas; - Relacionar e classificar a curva em estudo com as Funções Exponenciais e Logarítmicas, na base maior que um; - Formalizar a lei que descreve a situação em estudo. A partir dessa análise, pretende-se que os estudantes obtenham as seguintes habilidades: - Reconhecer e interpretar as funções; - Desenvolver a capacidade de analisar, interpretar, prever e generalizar resultados Apresentação da Atividade Nessa atividade, mostraremos a definição e a interpretação dos coeficientes das Funções Exponencial e Logarítmica, com base (. O Quadro 4 a seguir apresenta a quarta atividade.

48 46 1) Dada a função, complete a tabela seguinte: X Y Inverta os pares ordenados e complete a nova tabela. X Y A tabela formada define uma nova função, é igual ao logaritmo de na base 1/2, isto é, Considere a função, complete a tabela seguinte de acordo com os valores da base. a = 1/2 a = 1/3 a = 1/4 X Y Y Y 1.2. Plote os valores da tabela acima num sistema de eixos Interpretando o gráfico, responda. a) Dê o domínio e a imagem das funções, usando a notação de intervalos. b) Verifique se há intersecção com os eixos. Em caso afirmativo, determine os pares ordenados. c) As funções são crescentes ou decrescentes? d) Tome alguns valores fixos para, e a partir deles trace segmentos paralelos ao eixo e una estes segmentos. e) O que podemos afirmar em relação à inclinação das curvas? f) Examine o comportamento do gráfico para e. g) Generalize uma condição para a base, verificando o decrescimento de seus valores de modo que a função seja decrescente Preencha a tabela seguinte, invertendo os pares ordenados da função, obtendo a tabela da função. a = 1/2 a = 1/3 a =1/4 X Y X Y X Y 1.5. Plote, num mesmo sistema de eixos, os valores da tabela construída e responda às questões a seguir, interpretando o gráfico. a) Dê o domínio e a imagem das funções, usando a notação de intervalos. b) Verifique se há intersecção com os eixos. Em caso afirmativo, determine os pares ordenados. c) As funções são crescentes ou decrescentes? d) Tome alguns valores fixos para e, a partir deles, trace segmentos paralelos ao eixo e una estes segmentos. e) O que podemos afirmar em relação à inclinação das curvas?

49 47 f) Observando os valores de para crescendo, tendendo a (+) infinito, o que se pode concluir para? A função possui um máximo? g) Observando os valores de para decrescendo, tendendo a (-) infinito, o que se pode concluir para? A função possui um mínimo? h) Generalize uma condição para a base, verificando o decrescimento de seus valores de modo que a função seja decrescente. Quadro 4: 4ª Atividade Fonte: Dados da Pesquisa Descrição da Atividade Inicialmente, foi definida a Função Exponencial de base 1/2 (meio), isto é,, de modo a se obter uma tabela de valores envolvendo as variáveis representativas e. A partir da Função Exponencial definida, acima, pretendemos construir uma tabela que relacionasse os valores da variável independente com os respectivos valores da variável dependente, formando os respectivos pares ordenados Desse modo, os pontos de coordenadas e seriam simétricos relativamente à reta, mostrando que os gráficos das funções e são simétricos e obtidos um do outro por reflexão na reta.

50 48 Gráfico 6 : Funções: Fonte: Dados da Pesquisa Através da função, de base igual a meio, outras tabelas podem ser elaboradas a partir da mudança dos valores positivos da base, gerando a relação, de base. Desse modo, a conveniência de usarmos valores inteiros, na variável independente, dispensará o uso da calculadora, mostrando as habilidades dos estudantes em expressar os resultados das potências, seja na forma de números inteiros seja na forma de números fracionários. A variação nos valores da base, considerando, na função, tem como princípio mostrar que, à medida que a base diminui, as curvas ficam cada vez mais assintóticas em relação ao eixo das abscissas. Gráfico 7: Função Exponencial Fonte: Dados da Pesquisa

51 49 Tomando pontos fixos de cada figura, podemos observar, através dos traçados gráficos, que as áreas correspondentes às faixas de mesma base diminuem à medida que caminhamos no sentido positivo do eixo dos. Isso quer dizer que a inclinação do gráfico da função deve decrescer com. Desse modo, para todo número real positivo, diferente de 1 (um), a Função Exponencial é sempre positiva, ou seja, a função não possui um valor máximo, mas admite um valor mínimo próximo de 0 (zero) no domínio dado, conforme gráfico anterior, logo a sua inversa é definida como, conforme o gráfico seguinte. A dificuldade em determinar os logaritmos de números reais positivos, usando a relação,, leva-nos a transformar a expressão,, numa função potência do tipo, cujos cálculos envolvem somente a potenciação. A formação dos novos pares ordenados, obtidos pela inversão dos mesmos, originará uma nova curva, cuja função dada é ou seja, é igual ao logaritmo de na base (meio), mostrando a facilidade dos estudantes em trabalhar com a Função Logarítmica. A partir dessa transformação, podemos associar a Função Exponencial à sua inversa, ou seja, a Função Logarítmica. Ao refletirmos o gráfico da função, em torno da reta, encontra-se uma função decrescente do tipo, definida como Espera-se que os estudantes observem que os gráficos da curva, com a base, variando entre:, são curvas logarítmicas, contidas no primeiro e no quarto quadrante, interceptando o eixo no ponto, e que assumindo valores negativos para e valores positivos para. Além disso, a relação,, com, é uma função decrescente, cujo gráfico deve apresentar inclinação crescente, à medida que a base aumenta. Desse modo, tomando pontos fixos de cada figura, podemos observar, através dos traçados gráficos, que as áreas correspondentes às faixas de mesma base diminuem à medida que caminhamos no sentido positivo do eixo dos. Isso quer dizer que a inclinação do gráfico da função deve crescer com.

52 50 Gráfico 8 : Funções do tipo: Fonte: Dados da Pesquisa No final da 4ª atividade, foi solicitado um quadro-síntese das Funções Exponencial e Logarítmica com a variação dos parâmetros definidoras da Função Exponencial. Função Exponencial: Base Domínio Imagem Crescente ou Decrescente Função Logarítmica: Base Domínio Imagem Crescente ou Decrescente Quadro 5: Síntese das Funções Exponencial e Logarítmica Fonte: Dados da Pesquisa

53 Quinta Atividade Nessa atividade foram explorados a interpretação gráfica e o comportamento das Funções Exponencial e Logarítmica como funções inversas, onde os alunos deveriam: - Identificar as Funções Exponenciais e Logarítmicas nas bases: e ; - Relacionar e classificar as curvas em estudos; - Formalizar a lei que descreve o comportamento das funções. A partir dessa análise, pretende-se que os estudantes obtenham as seguintes habilidades: - Diferenciar as funções nas respectivas bases; - Construir e traçar retas a partir, de segmentos formados, tomando-se dois pontos nas curvas dadas; - Analisar e prever resultados Apresentação da Atividade Nessa atividade, mostraremos a interpretação gráfica e o comportamento das Funções Exponencial e Logarítmica como funções inversas. O quadro 6 a seguir apresenta a quinta atividade. 1) Dados os gráficos das funções:,,,, e.

54 52 y A B C D E F x Relacione as curvas indicadas pelas letras no gráfico às suas funções: ( ),,,,,. 2) Dado os gráficos das funções:,,,, e. M y P N x R S T

55 53 Relacione as curvas indicadas pelas letras no gráfico às suas funções:.,, e 3) Analisando os gráficos das seguintes funções e, responda: y x a) Determine 2 (dois) pares ordenados de uma das curvas. b) Inverta os pares ordenados do item a, e verificando se eles pertencem a outra curva. c) Trace segmentos de reta, unindo os pontos dos pares ordenados aos seus respectivos inversos. d) Marque, usando uma régua, os pontos médios desses segmentos. e) Una os pontos médios, e obtenha uma curva (reta). f) A reta passa pela origem? g) Determine a equação que melhor representa a curva (reta). h) A reta obtida pertence a qual bissetor? : chamado de bissetor ímpar ou : chamado de bissetor par. i) Existe simetria entre as curvas? j) Determine o domínio e o contra-domínio das funções representadas no gráfico. k) Sabendo que a troca do domínio de uma função pelo contradomínio da outra é exigência de obtenção da inversa. Isso acontece? l) Formalize uma expressão para a função analisada e sua inversa (domínio, contradomínio, lei de formação). 4) Analisando os gráficos das seguintes funções e, responda:

56 54 y x a) Determine 2 (dois) pares ordenados de uma das curvas. b) Inverta os pares ordenados do item a, verificando se eles pertencem a outra curva. c) Trace segmentos de reta, unindo os pontos dos pares ordenados aos seus respectivos inversos. d) Marque, usando uma régua os pontos médios desses segmentos. e) Una os pontos médios, e obtenha uma curva (reta). f) A reta passa pela origem? g) Determine a equação que melhor representa a curva (reta). h) A reta obtida pertence a qual bissetor? : chamado de bissetor ímpar ou : chamado de bissetor par. i) Existe simetria entre as curvas? j) Determine o domínio e o contra-domínio das funções representadas no gráfico. k) Sabendo que a troca do domínio de uma função pelo contradomínio da outra é exigência de obtenção da inversa. Isso acontece? m) Formalize uma expressão para a função analisada e sua inversa (domínio, contradomínio, lei de formação). Associe as Funções Exponenciais e suas respectivas inversas (Funções Logarítmicas) as respectivas bases 2, 3, 4, 1/2, 1/3 e 1/4 às letras no gráfico seguinte.

57 55 y A B C D E F M N P x R S T Quadro 6: 5ª Atividade Fonte: Dados da Pesquisa Descrição da Atividade Essa atividade tem o intuito de aperfeiçoar os conhecimentos das funções analisadas nas atividades anteriores, relacionando as Funções Exponencial e Logarítmica de mesma base como inversas uma da outra, de modo que o estudante percebesse a simetria entre as curvas em relação à reta, como eixo de simetria. A partir do esboço dos gráficos das Funções Exponencial e Logarítmica de base, os estudantes deveriam relacionar os gráficos às suas respectivas funções, num mesmo sistema de eixos. Inicialmente, foram tomados dois pontos de coordenadas pertencentes a uma das curvas, de modo a verificar se as inversões dos seus pares ordenados estariam associadas aos pontos da outra curva, ou seja, os valores de e ficam invertidos. Daí o porquê de inverter por e por.

58 56 Unindo os pontos de aos seus inversos, vários segmentos de reta paralelos podem ser determinados. Desse modo, ao tomarmos os pontos médios desses segmentos, deseja-se obter dos estudantes uma reta que passa pela origem, cuja equação seja, onde os pontos e sejam simétricos, pois possuem a mesma distância em relação à bissetriz do primeiro quadrante e que os gráficos de e sejam simétricos em relação a essa bissetriz. Considerando que o ponto pertence à Função Exponencial, assim é ponto da Função Logarítmica. Desse modo, as funções que possuem gráficos simétricos, em relação à reta, são funções inversas uma da outra. Assim, a função representada por, será a inversa da função e vice-versa. Conforme Paiva (2002), "uma função é invertível se, e somente se, sua relação inversa de em também é função. As funções são chamadas de funções inversas entre si". (PAIVA, 2002, p.209) Assim, para definirmos a inversa de uma função é preciso que cada da imagem de seja imagem de um único de seu domínio. De acordo com Ávila (1995), "uma função com domínio e imagem, isto é,. Diz-se que é invertível se cada elemento provém de um único elemento em." (ÁVILA, 1995, p.81) Através dos gráficos analisados, esperamos que os alunos constatem que o domínio da Função Exponencial é o conjunto dos números reais e a imagem é o conjunto dos números reais positivos e, para a Função Logarítmica, tem-se que o domínio é o conjunto dos números reais positivos e a imagem é o conjunto dos números reais; o domínio da função exponencial é o conjunto imagem da Função logarítmica e vice- versa. Por fim, duas funções que possuem gráficos simétricos em relação à reta são funções inversas uma da outra. Desse modo, as relações e descrevem as situações estudadas, estabelecendo uma relação entre o gráfico da Função Exponencial e de sua inversa, a Função Logarítmica, bem como a relação entre as definições dessas duas funções.

59 Sexta Atividade didática Nessa atividade, foi explorada a construção gráfica (translações: horizontais e verticais) das Funções Exponencial e Logarítmica, utilizando um Software Matemático Winplot, onde os alunos deveriam: - Construir gráficos das funções Exponencial e Logarítmica, utilizando o Winplot, com a variação paramétrica; - Determinar o domínio e o conjunto imagem dessas funções; - Construir as translações horizontais e verticais dos seus gráficos. A partir dessa análise, pretende-se que os estudantes obtenham as seguintes habilidades: - Trabalhar com recursos de informática; - Manusear o Winplot, gerando a variação das funções Apresentação da Atividade Nessa atividade, mostraremos como foi explorada a construção gráfica (translações: horizontais e verticais) das Funções Exponencial e Logarítmica, utilizando um Software Matemático Winplot.

60 58 O Quadro 7 a seguir apresenta a sexta atividade. Considere a Função Exponencial, definida por. Com o auxílio do Winplot, analise as translações horizontais e verticais nas funções a seguir. 1) Seja a função:. Considere a) Plote, num mesmo sistema de eixos, os gráficos para o valor de e. b) Usando a notação de intervalo, determine a imagem. c) Determine os pontos em que as curvas cortam os eixos coordenados. d) Quando x diminui, o que acontece com as curvas? e) Quando x aumenta, o que acontece com as curvas? f) Existe um valor de, para o qual o gráfico das funções se aproximam? g) O que você pode afirmar para a expressão h) Nas funções acima há uma translação horizontal ou vertical em relação a? Nos próximos enunciados, foi solicitada a mesma interpretação, referente às questões. Já nos itens g e h são definidas de acordo com o tipo de função, variando os parâmetros nas translações: 1) Verticais: 2) Horizontais: No apêndice é mostrado a atividade completa. Quadro 7: 6ª Atividade Fonte: Dados da Pesquisa

61 Descrição da Atividade O Winplot, basicamente, é um programa feito para plotar gráficos de funções de uma ou duas variáveis. Ele é um programa pode ser obtido da internet, gratuitamente, sem a preocupação com pagamento de direitos autorais, com outras vantagens: é de fácil uso, ocupa pouca memória do computador e o seu manuseio é de fácil entendimento. Inicialmente, apresentamos aos alunos uma versão do Winplot, de modo que pudessem instalar em seus computadores. A partir dessa experiência com o programa, foi destinada uma aula teórica para explicar alguns comandos e, a seguir, utilizou-se o Laboratório de Informática do Campus I do CEFET/MG, para que os alunos, trabalhando em duplas, desenvolvessem as atividades. Nas atividades anteriores, foram desenvolvidas as habilidades dos estudantes, no que se refere aos conceitos, às definições, às condições de parâmetros, à inversão e à construção gráfica das Funções Exponencial e Logarítmica do tipo: e, para. A partir desse instante, um esboço simples das curvas foi traçado sem dificuldades. Com o auxílio do Winplot, esperávamos que os alunos realizassem uma análise gráfica do comportamento da extensão da Função Exponencial, através dos esboços dos diversos gráficos e de sua movimentação. Esse fato seria determinante para a aprendizagem da Função Logarítmica, de modo a contribuir para a aprendizagem de outras funções, identificando, o domínio, a imagem, o comportamento das curvas, em relação aos eixos coordenados, e as translações de modo que as duplas pudessem trabalhar com escalas diferentes nos eixos cartesianos, possibilitando uma melhor visualização das curvas. Bezerra e Jota (1994) afirmam que: a partir do gráfico de uma função é possível construir diretamente os gráficos das funções do tipo e, dessa maneira o gráfico de uma função da forma pode ser construído a partir do gráfico de deslocando esse último na direção vertical. Tal deslocamento é chamado translação do gráfico de. (BEZERRA; JOTA, 1994, p.73)

62 60 Através da extensão, pretendemos que os alunos abstraiam dos gráficos a ideia de domínio e de imagem, mostrando que o domínio independe do valor de, e a imagem, definida no conjunto dos números reais positivos, seria constante, ou seja,. Ao adicionarmos uma constante ao expoente da função, as curvas são assintóticas em relação ao eixo das abscissas, no sentido da direita para a esquerda, quando, e vice-versa quando, e, à medida que diminuia, para, e aumentava, para a imagem das curvas tendem a (0) zero, de modo que os deslocamentos das curvas em relação ao eixo das abscissas seriam provenientes da variação da constante, deslocando as curvas para baixo e vice-versa, mostrando que existe interseção das curvas em relação ao eixo das ordenadas. Analisando as condições da base, esperamos que os estudantes verificassem que, para, os gráficos se deslocavam da esquerda para a direita e viceversa, para, mostrando que as curvas são também assintóticas em relação ao eixo das abscissas, gerando uma translação horizontal da extensão em relação à função. y = 2^(x+k); <= x <= Gráfico 9: Função do tipo: Fonte: Dados da Pesquisa

63 61 y = (1/2)^(x+k); <= x <= Gráfico 10: Função do tipo: Fonte: Dados da Pesquisa De maneira semelhante à extensão apresenta o domínio contido no intervalo e imagens idênticas em relação à curva, pois elas se mantêm constantes, devido ao acréscimo da constante a variável e as curvas interceptam o eixo das abscissas no ponto. As curvas admitem um comportamento assintótico em relação às retas de equações, no sentido da direita para a esquerda, para as bases e, existindo uma translação horizontal da extensão em relação à curva do tipo. y = log(2,x+k); <= x <= Gráfico 11: Função do tipo: Fonte: Dados da Pesquisa

64 62 y = log(1/2,x+k); <= x <= Gráfico 12: Função do tipo: Fonte: Dados da Pesquisa Ao analisarmos a extensão, esperamos que os alunos percebessem que o domínio independe do valor de, ou seja,. E a adição de uma constante a função deverá alterar o conjunto imagem, no intervalo de, de modo que as curvas desloquem para cima se e para baixo se, mostrando o comportamento assintótico das curvas em relação à reta de equação, no sentido da esquerda para a direita, quando e, vice-versa, quando. As curvas obtidas mostram que existe um ponto de interseção em relação ao eixo das ordenadas da forma, gerando uma translação vertical da extensão em relação à curva do tipo. y = k+2^x; <= x <= Gráfico 13: Função do tipo: Fonte: Dados da Pesquisa

65 63 y = k+(1/2)^x; <= x <= Gráfico 14: Função do tipo: Fonte: Dados da Pesquisa Analisando a extensão, deseja-se que os estudantes percebam que o domínio independe do valor de, ou seja,, e a adição de uma constante a função altera o conjunto imagem, na respectiva base. Ao variarmos o parâmetro, as curvas deslocam-se da direita para a esquerda, gerando um comportamento assintótico em relação ao eixo das ordenadas. y = k+log(2,x); <= x <= Gráfico 15: Função do tipo: Fonte: Dados da Pesquisa

66 64 As curvas obtidas mostram que existe um ponto de interseção, em relação ao eixo das abscissas, tornando-se assintóticas em relação ao eixo das ordenadas, gerando uma translação vertical da extensão em relação à curva do tipo. y = k+log(1/2,x); <= x <= Gráfico 16: Função do tipo: Fonte: Dados da Pesquisa Conforme, o gráfico de admite uma translação vertical unidades, para cima ou para baixo, quando comparado ao gráfico da função. Para o gráfico de, temos uma translação horizontal em relação ao gráfico de, para a esquerda ou para a direita.

67 4 ANÁLISE DOS RESULTADOS DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES, QUANTO À SUA VALIDAÇÃO Aplicação As atividades foram aplicadas em turmas de Ensino Médio-Técnico Profissional do CEFET/MG, com duração de 1 hora e 30 minutos cada, tanto para os turnos diurno e noturno, com um contingente de 36 alunos. A sua execução foi realizada em duplas, visando maior interação entre eles, proporcionando, assim, uma vasta discussão das perguntas a serem respondidas por eles, sem a interferência do professor Análise das Atividades A análise da pesquisa ocorrerá de forma qualitativa, através de uma interpretação, a posteriori, de uma sessão de atividades, cujo conjunto de resultados que se pode tirar de sua exploração pode ajudar na melhoria dos conhecimentos didáticos que se têm sobre as condições da transmissão do saber. 4.2 Primeira Atividade Conteúdo Exploração do conceito da Função Exponencial, dando ênfase à interpretação e à resolução de um problema de crescimento vegetativo nas ciências biológicas.

68 Categorias de Análise a) Desenvolvimento de cálculos (tabelas) As tabelas construídas mostraram uma compreensão bastante significativa, tanto no aspecto de identificação das variáveis, quanto no desenvolvimento envolvendo cálculos de medidas. Os cálculos apresentados mostraram as diferentes técnicas de raciocínios, utilizadas pelas duplas de estudantes. Sem o uso da calculadora, a partir dos resultados obtidos, percebe-se que 5% dos alunos ainda utilizam a ideia de linearidade, ou dobro, e 95% associaram à ideia de potência. Quadro 8: Atividade 1.b,c,d Fonte: Dados da Pesquisa

69 67 b) Interpretação dos conceitos Os alunos souberam interpretar os conceitos inerentes à atividade, mostrando uma conduta uniforme no desenvolvimento das unidades de medidas e na utilização de variáveis dependentes e independentes propícias ao fenômeno estudado. A construção da lei de formação, através da descoberta guiada, mostrou um domínio preponderante das duplas, diante da análise dos resultados obtidos nas tabelas e dos traçados gráficos, destacando que os alunos absorveram a ideia do conceito da Função Exponencial. c) Traçados dos gráficos Os gráficos obtidos mostraram pontos relevantes, tanto no seu esboço, quanto na sua construção. Alguns alunos não possuem em mente o que é esboçar um gráfico, num espaço de papel, e não sabem dimensioná-lo. Para eles, só existe uma escala de 1 em 1 cm ou de meio em meio. A partir dessa observação, alguns gráficos mostraram que grande parte dos alunos entende a linearidade entre os pontos marcados num sistema de coordenadas cartesianas.

70 68 Quadro 9: Atividade 1.f Fonte: Dados da Pesquisa d) Análise dos gráficos A interpretação gráfica mostrou pontos relevantes, mostrando as dificuldades encontradas pelas duplas ao fazerem a leitura do gráfico. Na análise dos gráficos traçados, os alunos não conseguiram expressar corretamente os valores aproximados da altura da planta no problema de crescimento vegetativo, o que demonstrou que a construção gráfica é um ponto decisivo para a interpretação de valores exatos e aproximados. Devido aos fatores de construção, a leitura de alguns gráficos ficou comprometida para alguns. Outros estudantes conseguiram mostrar como um gráfico pode determinar os valores aproximados, pois numa tabela geralmente são usados números inteiros, relacionando as imagens num intervalo.

71 69 Quadro 10: atividade 1.f Fonte: Dados da Pesquisa A partir da visualização gráfica, podem ser determinados valores aproximados sem o uso da calculadora, o que ocorreu em algumas atividades. A interpretação gráfica traz o entendimento do fenômeno, proporcionando ao aluno sua captação e transposição das ideias da linguagem gráfica para a linguagem escrita. e) Formalização da Função Exponencial Diante da ideia de linearidade, algumas duplas expressaram a lei de formação como uma função do Iº grau, utilizando a ideia de dobro, outras duplas conseguiram generalizar a expressão correta, como exponencial.

72 70 Quadro 11: Atividade 1.m Fonte: Dados da Pesquisa A construção da lei de formação, através de descoberta guiada, mostrou um domínio preponderante das duplas, através dos resultados obtidos nas tabelas e dos traçados gráficos, destacando que os alunos absorveram a ideia do conceito da Função Exponencial. f) Descrição da linguagem A linguagem usada nas respostas revelou o entendimento das grandezas envolvidas, mostrando de forma objetiva a compreensão com o problema em estudo. Quadro 12: Atividade 1:g, h, i Fonte: Dados da Pesquisa

73 71 g) Interpretação do problema O problema apresentado mostrou como é possível associar conceitos da vida real, transformando-os em modelos matemáticos, o que mostra o relato de uma dupla, A reta gera um crescimento na forma de uma progressão aritmética, e a curva desconhecida gera um crescimento exponencial na forma de uma progressão geométrica. (Fala de aluno do Iº ano) Quadro 13: Atividade 1:j Fonte: Dados da Pesquisa 4.3 Segunda Atividade Conteúdo Exploração do conceito das Funções Exponencial e Logarítmica, dando ênfase à interpretação e à resolução de um problema de juro composto na Matemática Financeira.

74 Categorias de Análise a) Interpretação dos parâmetros e das variáveis Nessa atividade, foi solicitado mais um item para estudo quanto à variação dos parâmetros. A interpretação do problema proporcionou uma discussão bastante significativa, destacando as possíveis diferenças entre parâmetro e variável. Através da identificação das variáveis dependente e independente, e dos parâmetros em estudo, o problema pôde ser equacionado algebricamente. A análise do parâmetro i (taxa) mostrou que as duplas tinham pouca habilidade em trabalhar com a taxa unitária, de modo a obter a expressão final para o cálculo do M (montante), considerando-se M como variável dependente e t como variável independente. Na expressão final do montante, as duplas souberam identificar as variáveis dependente (M) e independente (, e os parâmetros em estudo, mostrando que o problema foi entendido, o que resultou no sucesso na aplicação na atividade no uso da sequência didática. a) Desenvolvimento de cálculos (tabelas). Os cálculos mostraram as dificuldades dos alunos em trabalhar com percentagem. Através dessa análise, a utilização da calculadora gerou uma simplificação nas operações que poderiam ser resolvidas de maneira simples, minimizando o esforço mental. A partir da compreensão do problema, tanto no aspecto de identificação das variáveis quanto nos cálculos, os alunos tiveram mais habilidades em demonstrar os seus entendimentos, tanto na parte conceitual quanto na gráfica. As tabelas construídas mostraram algumas dificuldades encontradas pelos alunos, tanto no aspecto de formalizar a expressão do montante, quanto no desenvolvimento dos cálculos, considerando os valores não exatos, na medida em que os anos se passavam.

75 73 A construção das tabelas mostrou a compreensão do uso das variáveis, tanto na forma direta quanto na inversão dos pares ordenados, onde os alunos souberam interpretar os conceitos inerentes à atividade, mostrando habilidade no desenvolvimento. Quadro 14: Atividade 1:a,...,h. Fonte: Dados da Pesquisa b) interpretação dos conceitos Os alunos souberam interpretar os conceitos inerentes à atividade, mostrando uma facilidade no desenvolvimento das unidades de medidas e na utilização de variáveis dependentes e independentes propícias ao fenômeno estudado. A construção da lei de formação apresentou um domínio preponderante, mostrando, através dos cálculos, que não ofereceu dificuldade para os alunos. O que nos leva a concluir que eles dominaram o conceito de Função Exponencial. c) Traçados dos gráficos

76 74 Os alunos esboçaram os gráficos dentro das formalidades, melhorando a sua estética, tanto na utilização de escalas, quanto no traçado das curvas, em relação à atividade. A inversão dos valores, nos pares ordenados, formados pelo tempo (t) e o montante (M), dificultou um pouco a representação gráfica, motivo esse que revelou algumas dificuldades para as duplas na aplicação de escalas para dimensionamento de eixos no plano cartesiano. Trata-se de uma proposição para o entendimento de logaritmo, mas, para os estudantes, não foi mencionado o conceito de logaritmo. Essa inversão foi trabalhada na atividade. Superada essa etapa, observou-se que a construção do gráfico trouxe um entendimento contínuo na parte de interpretação e no crescimento e decrescimento da função montante, em reação ao tempo. Os gráficos obtidos mostraram pontos relevantes, tanto no seu esboço, quanto na sua construção, o que levou os alunos a não mais entender somente a linearidade gráfica. Quadro 15: Atividade 2.n Fonte: Dados da Pesquisa

77 75 O traçado da bissetriz fez compreender a simetria que existe entre as curvas obtidas e as relações estabelecidas entre a Função Exponencial e a Função Logarítmica. d) Análise dos gráficos O esboço de alguns gráficos ainda mostrou a ideia de linearidade, identificando a discrepância dos valores do montante que estavam na faixa de R$10 000,00 e R$40 000,00, e o tempo, entre zero e 10 (dez) anos, revelando que os valores das variáveis estabeleciam uma relação bem desproporcional. As outras duplas utilizaram o recurso do dimensionamento gráfico para traçar a curva exponencial e a sua inversa, a curva logaritímica, revelando a aprendizagem ocorrida na atividade 01, criando escalas de valores aproximados para o montante dentro de intervalos pré-estabelecidos, ou seja, a cada R$5 000,00, corresponderia a 1 cm, e o tempo de 01(um) em 01(um) cm. Quadro 16: Atividade 2:k Fonte: Dados da Pesquisa

78 76 e) Formalização da Função Exponencial Através da expressão final do montante,, com a variável, variando de acordo com o tempo (anos), ou seja, quanto maior o tempo, maior será o montante. A análise revelou de forma objetiva os valores simétricos para valores do montante e do tempo na aplicação de certo capital, mostrando a relação entre as duas curvas. f) Descrição da linguagem A linguagem utilizada pelas duplas foi clara e precisa, mostrando o entendimento e o emprego das notações usadas na distinção entre variáveis e parâmetros, o que deixou claro nas respostas dadas às perguntas realizadas. g) Interpretação do problema O problema apresentado mostrou como é possível associar conceitos e situações da vida real, com a matematização de fenômenos. As perguntas apresentadas nas atividades foram de grande relevância para a compreensão do conceito e da representação gráfica. Alguns alunos se destacaram, mostrando, em seus relatos, a concepção e o entendimento das Funções Exponenciais e Logarítmicas, diante do problema apresentado de capitalização que é um problema prático da vida real.

79 77 Quadro 17: Atividade 2:u,v. Fonte: Dados da Pesquisa 4.4 Terceira Atividade Conteúdo Nessa atividade, foram exploradas a definição e a interpretação dos coeficientes das Funções Exponenciais e Logarítmicas, com base (a): a > Categorias de Análise a) Cálculo da tabela As tabelas foram preenchidas de acordo com as funções. Na Função Exponencial, o desenvolvimento das potências mostrou a compreensão e o entendimento dos cálculos, envolvendo expoentes negativos, reproduzindo resultados fracionários, e quando foram utilizadas as bases que variaram de dois a

80 78 quatro. Gráfico 18: Atividade 3, 3.1. Fonte: Dados da Pesquisa A construção das tabelas de base 2, 3 e 4 proporcionou a inversão dos pares ordenados de forma correta da Função Exponencial para a Logarítmica, cuja lei de formação resultou na Função Logarítmica, onde variou com a mesma base da exponencial, isto é, 2, 3 e 4.

81 79 Quadro 19: Atividade 3.4. Fonte: Dados da Pesquisa Alguns alunos associaram, além da inversão dos pares ordenados, a definição de logaritmos, como, reforçando ainda mais a compreensão e o desenvolvimento das tabelas preenchidas. b) Traçado e interpretação dos gráficos. O esboço gráfico mostrou a ideia de representação de uma curva, onde alguns valores fracionários foram desprezados devido ao conhecimento prévio das curvas nas atividades anteriores, justificando a visualização gráfica das curvas exponenciais e logarítmicas.

82 80 Quadro 20: Atividade 3.3. Fonte: Dados da Pesquisa Analisando os gráficos para o campo de definição do domínio e o contra-domínio ficou bem evidenciado: para a função exponencial, é de para, e a função logarítmica, de para. Quadro 21: Atividade 3.6. Fonte: Dados da Pesquisa Diante das análises feitas pelos gráficos, constatou-se que houve uma compreensão do significado da interseção com os eixos e a ideia de crescimento e

83 decrescimento das funções, e também da proporcionalidade ocorrida nos valores numéricos das tabelas. 81 c) Análise de cada parâmetro. As variações das inclinações das curvas, obtidas através da variação dos valores da base, foram bem explicadas, revelando que os alunos souberam associar as ideias de crescimento e decrescimento, com as mudanças dos parâmetros da base. d) Comportamento das funções: máximo, mínimo. Através das imagens das funções: e, as mesmas têm um comportamento de crescimento ou decrescimento, dependendo dos valores de, isto é, uma tendência para o valor zero ou infinito; análise essa que prepara os estudantes para as noções de limites e interpretações de curvas assintóticas.

84 82 Quadro 22: Atividade 3.1.4: e, f, g. e 3.1.6: e, f, g. Fonte: Dados da Pesquisa A determinação desses valores está associada ao domínio e ao contradomínio, onde as imagens das curvas definidas, dentro dos intervalos, caracterizam uma tangência em relação aos eixos, isto é, um intervalo aberto se for usada a notação de intervalo. e) Generalização O crescimento das Funções Exponenciais e Logarítmicas está relacionado ao valor da base, ou seja, para base maior que um, as funções são crescentes. Algumas duplas não se prenderam a essa informação, buscando outra maneira de expressar a generalização das funções:, e, destacando situações de proporcionalidades.

85 83 Quadro 23: Atividade 3.4.j. Fonte: Dados da Pesquisa 4.5 Quarta Atividade Conteúdo Nessa atividade foram exploradas a definição e a interpretação dos coeficientes das Funções Exponenciais e Logarítmicas, com base (a): 0 < a < Categorias de Análise a) Cálculo da tabela As tabelas foram preenchidas de forma correta, revelando o conhecimento e

86 as habilidades dos alunos em trabalhar com expoente fracionário, tanto na forma exponencial quanto na logarítmica. 84 Quadro 24: Atividade 4. Fonte: Dados da Pesquisa Com o decorrer das atividades, os alunos assimilaram cada vez mais a ideia de pares ordenados e a obtenção da inversão de seus valores, caracterizando a inversão das Funções Exponenciais e Logarítmicas. Por esse motivo, a construção da tabela da Função Logarítmica ficou mais evidenciada, mostrando organização e compreensão dos cálculos desenvolvidos. Quadro 25: Atividade 4.3. Fonte: Dados da Pesquisa

87 85 b) Traçado e interpretação dos gráficos. A tabela construída gerou valores inteiros e fracionários que dificultavam sua representação. Diante dessa situação, algumas duplas se espelharam no traçado da curva da exponencial e da logarítmica, desprezando alguns valores não inteiros. Outras usaram uma escala de crescimento de acordo com o crescimento do denominador. Na representação gráfica de alguns pontos, houve dificuldade em unir os pontos que tinham, como coordenadas, valores fracionários e os pontos pareciam não definir uma curva contínua. Esse motivo levou algumas duplas a cometerem erros no traçado final, uma vez que as curvas não apresentaram um bom traçado. Quadro 26. Atividade Fonte: Dados da Pesquisa Analisando os gráficos para o campo de definição do domínio e do contra- domínio ficou bem evidenciado: para a Função Exponencial, foi de e, e a Função Logarítmica, de e. Desse modo o domínio de uma função corresponde à imagem da outra função, justificando a ideia de função inversa, onde o domínio de uma função é a imagem da sua inversa.

88 86 c) Análise do parâmetro. O parâmetro, analisado na Função Exponencial,, mereceu destaque em três situações. 1) Se, temos a função constante, essa situação abordada não apresentou problemas, pois os alunos souberam calcular e analisar essa função, que reproduziu um valor constante. Algumas duplas já conheciam essa função desde o ensino fundamental. 2) Se, nesse caso, houve alguns erros, alguns alunos persistiam no cálculo que zero, elevado a um número negativo, reproduzia o mesmo resultado que zero elevado a um número positivo. 3) Se, temos, onde os resultados das potências foram os valores inteiros de -1 e 1 valores discretos, cuja representação são pontos isolados. Quadro 27. Analise final da atividade 3. Fonte: Dados da Pesquisa De maneira análoga, à função logarítmica, além de ser a inversa da Função Exponencial, tinha algumas restrições, que chamamos de condições de

89 87 existências, como:, e ou A compreensão das análises gráficas contribuiu para o entendimento das condições que as bases das Funções Exponenciais e Logarítmicas podem assumir, desse modo se, as funções, e, com são crescentes e, em, as funções, e, com são decrescentes. d) comportamento das funções: máximo, mínimo. O esboço gráfico revelou que as funções não admitiam um valor mínimo ou máximo, devido ao fato de elas possuírem uma relação assintótica em relação a um dos eixos. e) Generalização Ao finalizar a quarta atividade, os alunos expressaram de forma correta a condição para a base, tanto para Funções Exponenciais quanto para as Logarítmicas. A percepção que as duplas tiveram, a respeito do parâmetro, mostrou o quanto os estudantes entenderam a relação que existia entre as bases e o crescimento / decrescimento das funções, conforme o quadro seguinte. Decrescente Crescente Decrescente Crescente Quadro 28. Analise final da atividade 4. Fonte: Dados da Pesquisa

90 Quinta Atividade Conteúdo Nessa atividade, foram explorados a interpretação gráfica e o comportamento das Funções Exponenciais e Logarítmicas como funções inversas Categorias de Análise a) Interpretação das funções Foram analisadas duas situações: na primeira, as duplas relacionaram as curvas às suas leis de formação, mostrando a compreensão dos alunos para as funções exponenciais e logarítmicas, nas bases: e depois para. Quadro 29: Atividade: 5.1. Fonte: Dados da Pesquisa

91 89 Na segunda, os alunos identificaram os gráficos traçados num único sistema cartesiano às suas respectivas funções, mostrando as diferenças existentes nas Funções Exponenciais e Logarítmicas em relação às bases dadas. Quadro 30: Atividade: 5.2. Fonte: Dados da Pesquisa Quadro 31: Identificação das funções da atividade 5. Fonte: Dados da Pesquisa

92 90 b) Construção do eixo de simetria, utilizando o gráfico das funções inversas Para obter a função inversa, os estudantes buscam recursos na álgebra, o que proporciona um processo árduo, em alguns casos, através de uma sequência didática como: isola-se a variável dependente, trocam-se as variáveis de posição, ou seja, quem é vira, e vice-versa, finalmente escreve-se em função de. Diante dessa situação, como traçar o gráfico de uma inversa sem usar o procedimento algébrico? Por esse motivo, foi sugerida uma sequência didática, utilizando a geometria, de modo a justificar o método da inversão de uma função, passando por caminhos que despertassem o entendimento algébrico da função inversa. Inicialmente, as duplas associaram os pares ordenados das funções:, na base: e, na base:, aos pares inversos, formados pela troca das coordenadas cartesianas, pertencentes às curvas das funções:, e. A partir dessa analise, os pontos dos pares ordenados obtidos, determinaram vários segmentos de reta paralelos, onde a união de todos os pontos médios determinava uma reta contendo a origem, gerando o eixo de simetria. Quadro 32: Atividade 5.3. Fonte: Dados da Pesquisa

93 91 A sequência de passos, estabelecidos na atividade, cada vez mais despertava grande interesse das duplas, o que era justificado nas respostas e comprovado nos traçados gráficos, usando a geometria plana. Quadro 33: Atividade 5.3. Fonte: Dados da Pesquisa No item i, proposto na análise gráfica, a afirmativa que existe simetria entre as curvas foi objetiva, revelando que, num plano, a simetria de duas figuras em relação a uma reta pode ser entendida intuitivamente da seguinte forma: dobrando o plano, em relação à reta, pertencente ao bissetor ímpar, tais figuras coincidem uma sobre a outra. A formalização das ideias mostrou o quanto eles estavam atentos às perguntas, pois, pelas respostas, notamos que houve interação da análise das figuras com as questões levantadas. Através desses procedimentos, os alunos compreenderam e souberam relacionar as funções quanto à sua inversa, revelando a importância do método gráfico para obtenção e para compreensão da função inversa.

94 92 Quadro 34: Analise das Funções. Fonte: Dados da Pesquisa c) Generalização Os estudantes verificaram que os pontos de coordenadas pertencem à curva da função,, de base, assim os pontos de coordenadas pertencem a curva da função inversa,, em relação à reta, justificando a simetria das curvas em relação à reta. De maneira análoga à função,, de base, gerou a função inversa. Através das análises feitas, as funções: são simétricas em relação à reta o contra-domínio da sua inversa., justificando que o domínio de uma função é 4.7 Sexta Atividade Conteúdo Nessa atividade, foi explorada a construção gráfica (translações: horizontais e verticais) das Funções Exponencial e Logarítmica, utilizando um software matemático (Winplot).

95 Categorias de Análise 1) Interpretação dos termos: e, para a Translação Vertical, utilizando as bases: a) Função Exponencial A partir da Função Exponencial, cuja base é sempre positiva, isto é, qualquer que seja, tem-se logo o conjunto imagem de é. Os alunos em duplas analisaram uma extensão da Função Exponencial do tipo: e. Ao analisar a situação, e,, as duplas constataram que a variação do parâmetro transladava a curva de unidades, deslocando para cima ou para baixo em relação à curva do tipo:. Gráfico 18: Função do tipo: Fonte: Dados da Pesquisa

96 94 Os estudantes detectaram que, quando diminuia, as curvas se aproximavam do valor de, e para, tendendo a mais infinito, as curvas se tornavam cada vez mais paralelas entre si, e o conjunto imagem definido de. Através da recursividade, do Winplot, as duplas constataram que as translações, geradas na função exponencial do tipo, determinavam o par ordenado, logo a Função Exponencial, e admitia uma translação vertical, em relação a função, acrescida de unidades para cima ou para baixo. De modo semelhante, a função exponencial, e apresentava uma translação vertical e, no instante que o valor de aumentava, as curvas se aproximavam do valor de, tornando-se paralelas entre si. Gráfico 19: Função do tipo: Fonte: Dados da Pesquisa Através da leitura gráfica, as duplas perceberam que a imagem estava definida no intervalo de e o par ordenado era o ponto de interseção das curvas com o eixo das ordenadas (eixo y).

97 95 b) Função Logarítmica Como é inversível, as curvas traçadas no Winplot mostraram uma semelhança com a Função Exponencial analisada anteriormente. Por esse motivo, a função logarítmica e assumia valores positivos para o seu domínio, fato esse comprovado graficamente pelos estudantes. Gráfico 20: Função do tipo: Fonte: Dados da Pesquisa Nas considerações feitas pelas duplas, as curvas interceptavam o eixo horizontal, determinando os pontos de interseções, assim a variação do valor da constante, proporcionava uma aproximação das curvas em relação ao eixo vertical e, na medida em que os valores de aumentavam, as curvas tendiam a um valor ( infinito, dependendo do comportamento da base, ou seja, se, o valor da imagem tendia para (+ e, se, para (-

98 96 Gráfico 21: Função do tipo: Fonte: Dados da Pesquisa Outra observação apontada foi que a translação vertical não modificava o domínio da função. Portanto, as Funções Exponenciais e Logarítmicas, de bases, admitem uma translação vertical em relação às funções e, devido à adição de uma constante nas funções. 2) Interpretação dos termos: e, para a Translação Horizontal, utilizando as bases:. a) Função Exponencial A função exponencial, com, isto é, qualquer que seja, tem-se, diante dessa observação, os alunos analisaram a seguinte extensão do tipo:. Inicialmente, as curvas interceptavam o eixo vertical, em pontos distintos, e o deslocamento das curvas, para a cima ou para baixo, estava associado ao aumento ou à diminuição do parâmetro, em relação à curva do tipo.

99 97 As analises feitas no gráfico revelaram que: a.1) Na base, se o valor de diminuía, as curvas se aproximavam da reta horizontal, ou seja, os valores da imagem tendiam a zero e, à medida em que aumentava, as curvaturas (os estudantes desconheciam o termo curvatura, declarando sobre a abertura, ou a inclinação das curvas) das curvas aumentavam na medida em que o parâmetro diminuía, de modo que os valores das imagens das curvas tendiam ao infinito. Gráfico 22: Função do tipo: Fonte: Dados da Pesquisa a.2) Na base se o valor de aumenta, as curvas se aproximam da reta horizontal, ou seja, as curvas tendiam ao valor 0 (zero), à medida em que diminuía, as curvaturas das curvas aumentavam à medida em que o parâmetro aumentava, e os valores das imagens das curvas tendem ao infinito.

100 98 Gráfico 23: Função do tipo: Fonte: Dados da Pesquisa b) Função Logarítmica Como as considerações feitas para a Função Exponencial se assemelham à Função Logarítmica do tipo:, os intervalos e correspondem ao domínio e o ponto de interseção. Outra colocação feita pelos estudantes mostrou que, quando os valores de aumentavam, as curvas se afunilavam cada vez mais a um valor fixo positivo e, quando diminuía, as curvas tornavam-se assintóticas. Os alunos desconheciam esta terminologia matemática, expressando que as curvas tendiam a ficar paralelas às retas verticais de equação.