Coordenadas no espaço - 10.º Ano. Num referencial cartesiano Oxyz foi representado o cubo [OEFGDABC] de medida do comprimento da aresta igual a 6.

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1 Coordenadas no espaço - 10.º Ano Condições no espaço I Num referencial cartesiano Oxyz foi representado o cubo [OEFGDABC] de medida do comprimento da aresta igual a 6. De acordo com a figura: a) Indica as coordenadas dos vértices do cubo. b) Escreve uma equação para cada um dos planos que contêm as faces do cubo. c) Escreve uma condição que represente a face [EFBA] do cubo. d) Escreve uma condição que represente a recta OE. Como representar a aresta [OE] do cubo através de uma condição no espaço? d 1 ) E a recta OF? E a aresta [OF] do cubo? d 2 ) E a recta BF? E a aresta [BF] do cubo? e) As coordenadas dos pontos A, B, C e D simétricos dos pontos A, B, C e D, respectivamente, em relação ao plano OEF. f) As coordenadas do ponto B simétrico do ponto B em relação ao eixo Oz. g) As coordenadas do ponto A simétrico do ponto A em relação ao plano yoz. h) As coordenadas do ponto F simétrico do ponto F em relação a Origem do referencial.

2 i) Indica as coordenadas de um ponto H equidistante dos vértices do cubo O e G. Quantas soluções é possível encontrar? j) Indica as coordenadas de um ponto I do eixo das cotas sabendo que o ângulo entre as rectas EO e EI é de 60º. k) Qual a medida do comprimento da diagonal [DF] do cubo? II Num referencial cartesiano Exyz foi representado o cubo [ OEFGDABC] de medida do comprimento da aresta igual a 8. De acordo com a figura: a) Indica as coordenadas dos vértices do cubo. b) Escreve uma equação para cada um dos planos que contêm as faces do cubo. c) Escreve uma condição que represente a face [EFBA] do cubo. d) Escreve uma condição que represente a recta AB. Como representar a aresta [ AB] do cubo através de uma condição no espaço? e) As coordenadas do ponto A simétrico do ponto A em relação ao plano OEF. f) As coordenadas do ponto B simétrico do ponto B em relação ao eixo Ez. g) As coordenadas do ponto C simétrico do ponto C em relação ao plano xez. h) As coordenadas do ponto F simétrico do ponto F em relação a Origem do referencial.

3 i) Indica uma condição que represente o conjunto de pontos do espaço equidistante dos extremos do segmento [ EF]. j) Indica uma condição que represente o conjunto de pontos do espaço pertencentes à secção feita por um corte de um plano perpendicular ao eixo Ex e que contém o ponto médio de [ EO]. k) Indica uma condição que represente o conjunto de pontos do espaço pertencentes a secção feita por um corte de um plano perpendicular ao eixo Ez e que contém o ponto H. l) Indica uma condição que represente o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao ponto E é igual a metade do comprimento do segmento [ EB]. III Num referencial cartesiano Oxyz foi representado o cubo [ ABCDEFGH] de medida do comprimento da aresta igual a 12. O ponto O representa o centro de gravidade do cubo. De acordo com a figura: a) Indica as coordenadas dos pontos X 1, Y 1 e Z 1 pertencentes às faces do cubo. b) Indica as coordenadas dos vértices do cubo. c) Escreve uma equação para cada um dos planos que contêm as faces do cubo. d) Escreve uma condição que represente a face [EFBA] do cubo. e) Escreve uma condição que represente a recta AB. Como representar a aresta [AB] do cubo através de uma condição no espaço?

4 f) As coordenadas dos pontos A, B, C e D simétricos dos pontos A, B, C e D, respectivamente, em relação ao plano HEF. g) As coordenadas do ponto B simétrico do ponto B em relação ao eixo Oz. h) As coordenadas do ponto C simétrico do ponto C em relação ao plano xoz. i) As coordenadas do ponto F simétrico do ponto F em relação a Origem do referencial. j) Indica uma condição que represente o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistante dos extremos do segmento [EF]. k) Verifica que o ponto X 1 pertende ao plano mediador de [AB]. l) Indica uma condição que represente o conjunto de pontos do espaço pertencentes a secção feita por um corte de um plano perpendicular ao eixo Oz e que contém o ponto médio de [FY 1 ]. m) Indica uma condição que represente o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao ponto O é igual ao comprimento do segmento [OZ 1 ].

5 Coordenadas no Espaço (10º ano) Soluções I a) A(6,0,6); B(6,6,6); C(0,6,6); D(0,0,6) E(6,0,0); F(6,6,0); G(0,6,0); O(0,0,0) b) x=6, x=0, y=0, y=6, z=0, z=6 c) x = 6 0 z 6 0 y 6 d) OE: y=0 z=0; [OE]: y = 0 z = 0 0 x 6 D 1 ) OF: x=y z=0; [OF]: x = y z = 0 0 x 6 D 2 ) BF: x=6 y=6; [BF]: x = 6 y = 6 0 z 6 e) A (6,0,-6); B (6,6,-6); C (0,6,-6); D (0,0,-6) f) B (-6,-6,6) g) A (-6,0,6) h) F (-6,-6,0); i) H(0,3,0); uma infinidade de pontos (encontrar-seiam num plano mediador) j) I ( 0,0,6 3 ) k) 6 3 II a) A(0,0,8); B(0,8,8); C(-8,8,8); D(-8,0,8); E(0,0,0); F(0,8,0); G(-8,8,0); O(-8,0,0) b) x=0, x=-8, y=0, y=8, z=0, z=8 c) x = 0 0 z 8 0 y 8 d) AB: x=0 z=8; [AB]: x = 0 z = 0 0 y 8 e) A (0,0,-8) f) B (0,-8,-8) g) C (-8,-8,8) h) F (0,-8,0) i) y = 4 j) x = 4 0 z 8 0 y 8 k) z = 3 8 x 0 0 y 8 l) x + y + z = 128

6 III a) X 1 ( 6,0,0); Y1 (0,6,0); Z 1 (0,0,6) b) A(6,-6,6); B(6,6,6); C(-6,6,6); D(-6,-6,6); E(6,-6,-6); F(6,6,-6); G(-6,6,-6); H(-6,-6,-6) c) x=6, x=-6, y=6, y=-6, z=6, z=-6 d) x = 6 6 z 6 6 y 6 e) x=6 z=6 f) A (6,-6,-18); B (6,6,-18); C (-6,6,-18); D (-6,-6,- 18) g) B (-6,-6,6) h) C (-6,-6,6) i) F (-6,-6,6) j) y = 0 k) O plano mediador de [AB] é y = 0. Como a ordenada de X 1 é 0, ele pertence a esse plano l) z = 3 6 x 6 6 y 6 l) x + y + z = 36

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