UMA ANÁLISE DAS QUESTÕES DE PROBABILIDADE DO EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO (ENEM)

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1 UMA ANÁLISE DAS QUESTÕES DE PROBABILIDADE DO EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO (ENEM) RESUMO Lorí Viali, Dr. PUCRS/UFRGS Mercedes Matte da Silva, Ms. Colégio Farroupilha Comunicação Científica O objetivo deste trabalho é verificar que conceitos estão envolvidos nas questões do novo Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) que envolvem probabilidade. Fazer uma análise das habilidades envolvidas, fazer um contraponto com as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCN+), e se o nível está adequado a alunos do ensino médio que tem pouco ou quase nenhum contato com tais conteúdos durante a vida escolar. A justificativa de tal estudo está em que no novo formato o exame será utilizado pelas universidades, principalmente, as federais como fator de ingresso. PALAVRAS CHAVES: Análise da prova; questões de probabilidade; ensino médio. INTRODUÇÃO A partir de 2009 o ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio) passou por uma reformulação e apresentou uma matriz de referência que envolve eixos cognitivos que devem ser aplicados a todas as áreas do conhecimento. Os cinco eixos cognitivos definidos resumidamente são: o Dominar linguagens o Compreender fenômenos o Enfrentar situações-problemas o Construir argumentação o Elaborar propostas A Matemática e suas tecnologias apresenta uma matriz de referência própria, dividida em sete áreas de competências, as quais expressam-se em 30 habilidades. Vamos destacar aqui aquelas que julgamos relacionadas ao ensino da Probabilidade (MEC/INEP, 2009, p. 5-7). Na competência de área 1 Construir significados para números naturais, inteiros, racionais e reais destacamos as habilidades H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem e H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas. Na competência de área 7 Compreender o caráter aleatório e nãodeterminístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística destacamos as habilidades H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade, H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação e

2 H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade. O ENSINO DE PROBABILIDADE NAS ESCOLAS Nas escolas, em geral, o ensino de probabilidade é bastante superficial, pois após se trabalhar com a combinatória somente é utilizado o conceito clássico de probabilidade. Poucas escolas avançam um pouco mais e trabalham também com a probabilidade da união de dois eventos, com a probabilidade condicionada e com a probabilidade de dois eventos sucessivos. Desta forma não é dado aos alunos a oportunidade de desenvolver certas habilidades para que ele seja competente neste assunto e a todos os outros que possam estar a ele ligados. Existe uma preocupação com o ensino e a aprendizagem da Matemática no sentido de fazer com que o aluno compreenda o que está aprendendo e seja sujeito deste processo. Fala-se em Educação Matemática na tentativa de mostrar novos caminhos para se aprender esta ciência, que não seja através da memorização, repetição exaustiva de modelos de exercícios prontos e de regras ou receitas para solucionar problemas. A Análise de Dados se insere nesta linha de pensamento dentro dos seus três assuntos: Combinatória, Estatística e Probabilidade. Esses assuntos fazem parte de saberes que não dependem de regras e aplicações de modelos prontos, aqui a análise, a compreensão e a contextualização são elementos fundamentais. Nas Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCN+) podemos perceber ideias sobre o aprender, ou seja, Aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e relacionada a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de competências e habilidades que são essencialmente formadoras, à medida que instrumentalizam e estruturam o pensamento do aluno, capacitando-o para compreender e interpretar situações, para se apropriar de linguagens específicas, argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar decisões, generalizar e para muitas outras ações necessárias à sua formação.(pcn +, 2000, p. 111) Enquanto o ENEM apresenta cinco eixos cognitivos, o PCN+ apresenta três eixos estruturadores, nos quais estão inseridos os conteúdos do ensino médio. Os três eixos são: 1. Álgebra: números e funções. 2. Geometria e medidas. 3. Análise de dados. O terceiro tema estruturador tem como objetivo de estudo os conjuntos finitos de dados, que podem ser numéricos ou informações qualitativas, o que dá origem a procedimentos bem distintos daqueles dos demais temas, pela maneira como são feitas as quantificações, usando-se processos de contagem combinatórios, freqüências e medidas estatísticas e probabilidades. Este tema pode ser organizado em três unidades temáticas: Estatística, Contagem e Probabilidade. (PCN+, 2000, p. 126) O PCN+ aponta os conteúdos e habilidades que devem ser desenvolvidos em cada tema. Aqui ressaltamos o referido para o ensino de Probabilidade: Probabilidade: possibilidades; cálculo de probabilidades.

3 o Reconhecer o caráter aleatório de fenômenos e eventos naturais, científico tecnológicos ou sociais, compreendendo o significado e a importância da probabilidade como meio de prever resultados. o Quantificar e fazer previsões em situações aplicadas a diferentes áreas do conhecimento e da vida cotidiana que envolvam o pensamento probabilístico. o Identificar em diferentes áreas científicas e outras atividades práticas modelos e problemas que fazem uso de estatísticas e probabilidades. Conforme Portanova, (2005, p.60) os conceitos matemáticos que dizem respeito a conjuntos de dados ganham papel de destaque em todas as áreas do conhecimento que se vêem mergulhado num universo de dados que precisam ser transformados em informações. A maneira como o ENEM e os PCN+ estruturam as competências e as habilidades são diferentes, mas os objetivos são bem semelhantes. OUTROS ESTUDOS Madruga e Mendes, 2008 fizeram um estudo sobre os conteúdos de estatística envolvidos nas avaliações do ENEM. Nesse estudo foram levantados o número de questões envolvendo conteúdos de combinatória, probabilidade e estatística. A tabela elaborada pelas autoras cobre o período de 1998 a De acordo com esses valores (p. 2) o número de questões envolvendo probabilidade no período é da Tabela 1. Ano Questões Fonte: Madruga e Mendes, 2008, p.2. Obs.: O ano de 2008 foi acrescentado pelos autores deste trabalho. Analisando-se a série pode-se perceber que não existe um padrão ou comprometimento no período com questões do assunto. No total foram 14 questões em 11 anos analisados fornecendo uma média de 1,3 questões por prova realizada. Percebe-se uma irregularidade na série com o período de 2002 a 2004 não apresentando uma única questão, enquanto que os dois anos precedentes (2000 e 2001) os exames apresentaram três questões cada sobre o assunto. Parece que, ironicamente, os elaboradores seguiram o próprio conceito e fazendo do aparecimento do assunto uma sequência imprevisível (aleatória). AS QUESTÕES E OS CONCEITOS ENVOLVIDOS As questões abaixo foram retiradas do Caderno 5 (Amarelo) do segundo dia de provas do ENEM de 2009, que foi realizada em 06 de dezembro de Questão 138. Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população dos países desenvolvidos, será um número mais próximo de: a) ½ b) 7/20 c) 8/25 d) 1/5 e) 3/25. Antes de analisarmos o que está envolvido nesta questão, convém apresentar os dados que foram apresentados anteriormente. Assim a resolução

4 da questão envolve o conceito clássico de probabilidade (número de casos favoráveis sobre os possíveis) e, nessa questão, especificamente a leitura dos dados no gráfico apresentado, que é feita diretamente. Texto para as questões 137 e 138. A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos. Nesse caso, a melhor alternativa é a letra (c) 8/25 que produz um valor de 32%. O segundo valor mais próximo seria 7/20, mas ele produz uma aproximação de 35% que está claramente mais distante da ponta final da linha. Assim a resposta aqui é meramente a leitura do gráfico, desde que, é claro, o aluno tenha visto esse conteúdo no ensino médio. Questão 146. O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? a) 2(0,2%) b) 4(0,2%) 2 c) 6(0,2%) 2 (99,8%) 2 d) 4(0,2%) e) 6(0,2%)(99,8%) Aqui o nível de conceituação exigido vai um pouco além daquele da questão anterior. Nesse caso é necessário lidar com as propriedades do conceito de probabilidade e ainda com o conceito de dependência/independência entre eventos. Conhecer o teorema da multiplicação e utilizar conceitos de contagem, especificamente o de combinação, nesse caso. Essa questão tem alguns problemas de formulação. O primeiro deles seria o fato de que o aluno deve entender que o fato de um aparelho ter defeito é

5 independente de um segundo aparelho ter defeito. Isso não é necessariamente verdadeiro para um processo produtivo. Assim, essa hipótese, deveria fazer parte do enunciado do problema. Uma segunda crítica é que probabilidade não é percentual. É possível expressar uma probabilidade como um percentual, mas isso não deve ser incentivado, especialmente com alunos desse nível de ensino. Assim, além do exercício apresentar a probabilidade como um percentual, as respostas colocam algumas operações que não são definidas para percentuais. Percentagens podem apenas serem somadas ou subtraídas, mas não multiplicadas ou elevadas a uma potência, já que essas operações não apresentam a propriedade do fechamento. Assim as respostas, são potencialmente enganadoras e podem levar o aluno ao erro, pois não são matematicamente corretas, já que fazem uso de operações inexistentes. É claro, que o aluno pode saber que é necessário passar o valor percentual para decimal antes de fazer a operação, mas acho que esse não é o ponto aqui e sim o fato de a questão ao invés de medir as habilidades desejadas acaba sendo um teste para ver que consegue escapar da armadilha montada. Questão 171. A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03,..., 59, 60}, custava R$ 1,50. Disponível em: Acesso em: 7 jul Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente, a) 11/2 vez menor b) 21/2 vez menor c) 4 vezes menor d) 9 vezes menor e) 14 vezes menor. Nesse caso, além do conceito clássico de probabilidade estão envolvidos conceitos de contagem, especialmente o de combinação. A questão não é difícil, mas o enunciado é longo e exige uma leitura cuidadosa. Assim o que está sendo avaliado aqui é, talvez, mais compreensão de texto, do que propriamente conceitos probabilísticos. Questão 179. Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?

6 a) 3 doses b) 4 doses c) 6 doses d) 8 doses e) 10 doses Novamente nessa questão, o candidato deve presumir independência, quando isso deveria ser uma condição do problema. Para resolver o exercício ele deve assumir a hipótese de independência, fato pouco provável, nessa situação. Assim apesar do louvável espírito de aplicação da probabilidade a problemas reais, a situação acaba provocando outros. A mensagem passada é a de que, mesmo pouco prováveis de serem válidas algumas hipóteses necessitam ser feitas para se chegar ao resultado, contrariando o espírito científico, onde devemos respeitar as restrições impostas e confirmar sempre a validade das suposições. Contudo esse não é principal problema aqui. A questão exige a aplicação do algoritmo da união de quatro eventos. Apesar de ele ficar facilitado pelo fato de trabalharmos sempre com o mesmo valor, ele não é trivial. Mesmo no ensino superior raramente se vai além da união de três eventos. Assim é muito pouco provável que algum professor tenha visto esse tipo de situação em aula com seus alunos. CONSIDERAÇÕES FINAIS Os conteúdos de probabilidade foram bem contemplados nessa prova. Quatro questões envolvendo diretamente o assunto. Considerando que a prova de Matemática tem 45 questões, o assunto mereceu quase 10% dos conteúdos de Matemática. Isso é, de fato, um avanço e uma contradição com a formação dos professores. Conforme Viali, (2008 p. 4) disciplinas de probabilidade e estatística em conjunto ocupam menos do que 3% dos currículos dos cursos de Matemática das universidades brasileiras. Em alguns ela nem sequer está presente. O problema foi gerado pela própria legislação educacional que louvadamente se preocupou em colocar e incentivar o ensino de combinatória, estatística e probabilidade no ensino fundamental e médio, mas que, por razões não suspeitadas se esqueceu de colocar esses mesmos conteúdos nas diretrizes curriculares dos cursos de licenciatura em Matemática. Assim criou-se a situação de que o licenciado em matemática deve ensinar esses conteúdos aos seus alunos, mas quem os forma não precisa fazê-lo. REFERÊNCIAS BRASIL.Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e tecnológica. Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Disponível em: CienciasNatureza.pdf Acesso em: 20 fev MADRUGA, Renata Fernandes, MENDES, Clayde Regina. Um olhar sobre os conteúdos de estatística nas avaliações educacionais. ANAIS DO XIII ENCONTRO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA PUC-CAMPINAS. Campinas, Outubro de 2008.

7 MEC/INEP. Matriz de referência para o Exame Nacional do Ensino Médio de p. PORTANOVA, Ruth (org.). Um Currículo de Matemática em Movimento. Porto Alegre: EDIPUCRS, VIALI, Lori. O Ensino de Estatística e Probabilidade nos Cursos de Licenciatura em Matemática. SINAPE (Simpósio Nacional de Probabilidade e Estatística). Estância de São Pedro (SP): 28 de julho a 01 de agosto de 2008.