Mecânica Muscular. Universidade de Coimbra. Faculdade de Ciências e Tecnologias. Departamento de Física. *Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem*

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1 Universidade de Coimbra Faculdade de Ciências e Tecnologias Departamento de Física *Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem* Mecânica Muscular Trabalho Realizado por: Ana Raquel Saiote Áurea Alexandra Matias Gilberto Serrano de Almeida Helena Catarina Pereira

2 Índice Introdução O Músculo do Ponto de Vista Fisiológico Características gerais do funcionamento do músculo Músculo Esquelético Estrutura Tecido Conjuntivo Fibras Musculares Sarcómeros Miofilamentos de Actina e Miosina Túbulos T e o retículo sarcoplasmático Contracção Muscular Tipos de Contracção Muscular O Ciclo das Pontes Cruzadas Análise Quantitativa da Contracção Muscular Comportamento Microscópico Dinâmica das Pontes Cruzadas Algumas Considerações Implementação do Programa em MATLAB Interpretação do Programa Resultados e Discussão Comportamento Macroscópico Balanço humano de um pêndulo invertido: Será o tamanho da oscilação controlada pela impedância do tornozelo? Implementação do Modelo no Simulink Conclusão Bibliografia APÊNDICE A... I

3 Introdução Introdução As células musculares funcionam de modo a produzir forças responsáveis pelo movimento do corpo, sendo a sua actividade coordenada pelo sistema nervoso de modo a que o tónus muscular e os movimentos coordenados do corpo sejam possíveis. O tecido muscular é altamente especializado de modo a permitir a contracção ou encurtamento forçado. É ele o responsável pelos processos mecânicos do corpo. Há três tipos de tecido muscular: esquelético, liso e cardíaco. Neste trabalho focaremos mais em particular o tecido muscular esquelético. Após uma breve apresentação do tecido muscular do ponto de vista fisiológico/anatómico analisaremos quantitativamente alguns comportamentos do músculo, tendo como apoio o MATLAB e o SIMULINK. Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 3

4 Ponto de Vista Fisiológico 1. O Músculo do Ponto de Vista Fisiológico 1.1 Características gerais do funcionamento do músculo O músculo é um tecido formado por um conjunto de células especializadas capazes, graças à sua contracção e relaxação, de criar movimento tanto do próprio corpo em relação ao ambiente que o cerca, como dos órgãos entre si e dentro dele. O músculo tem quatro características funcionais fundamentais: a) Contractilidade: Designa a capacidade que o músculo tem de se contrair. b) Excitabilidade: O músculo responde à estimulação pelos nervos ou hormonas. c) Expansibilidade: O músculo pode ser estirado até ao seu normal comprimento em repouso e em dado grau para lá desse comprimento. d) Elasticidade: Se os músculos forem estirados, retornam ao seu comprimento em repouso original. Durante a contracção, o músculo encurta voluntariamente mas o alongamento é passivo. Quando se contraem, os músculos movem as estruturas a que estão ligados, mas o movimento oposto exige uma força antagonista e esta é produzida por um outro músculo, pela gravidade ou pela força de um líquido que enche um órgão oco. Os músculos esqueléticos são constituídos por grupos de fibras musculares num arranjo ordenado. Um músculo pequeno pode ser constituído apenas por poucos feixes de fibras, enquanto os músculos maiores do corpo (como, por exemplo, o grande glúteo, que forma o relevo das nádegas) são constituídos por centenas de feixes. Por sua vez, as fibras musculares são formadas por unidades longitudinais ainda mais pequenas chamadas as miofibrilhas, cujas unidades básicas de funcionamento são filamentos microscópicos de actina e miosina (duas proteínas que comandam a contracção). O movimento dos músculos esqueléticos encontra-se sob o controle voluntário do cérebro. Cada fibra muscular é provida de uma terminação nervosa que recebe os impulsos vindos do cérebro. Os impulsos nervosos Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 4

5 Ponto de Vista Fisiológico estimulam o músculo por meio da libertação da acetilcolina, que é um tipo de neurotransmissor. Tal dá início a uma cadeia de fenómenos químicos e eléctricos, em que estão envolvidos os iões de sódio, potássio e cálcio, donde resulta que os filamentos de miosina deslizam sobre os de actina. Este movimento dos filamentos de miosina sobre os de actina faz que o músculo se contraia e, portanto, se encurte. Cada músculo contém um dispositivo receptor formado por fibras nervosas especializadas que registam a força de contracção; outro dispositivo com sede no tendão mede a distensão. A informação recebida por estas fibras é transmitida ao cérebro, o que é vital para dosear a acção muscular. O músculo esquelético mantém-se num estado de contracção parcial, a que se chama tónus muscular. A espasticidade é uma forma de tónus muscular anormalmente aumentado. A actividade do músculo esquelético pode ser afectada por alterações na composição química do líquido que se encontra nos espaços entre as células musculares. Uma descida dos iões de potássio causa uma fraqueza muscular; uma diminuição dos iões de cálcio provoca espasmos musculares. Figura 1 MÚSCULO ESQUELÉTICO O músculo liso está relacionado com os movimentos intrínsecos dos órgãos internos, como o peristaltismo intestinal e as contracções do útero durante o parto. Muitas outras partes do organismo, como os brônquios, a bexiga e as paredes dos vasos sanguíneos, contêm também músculos lisos. O músculo liso é constituído por células fusiformes e compridas. Na maior parte dos órgãos ocos, estas células estão dispostas em duas camadas de feixes com organizações distintas: uma camada longitudinal, exterior, e uma camada circular interior. Contudo, o mecanismo da contracção assenta na Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 5

6 Ponto de Vista Fisiológico mesma acção de escorregamento entre a actina e a miosina, como vimos no músculo estriado, ou esquelético. A inervação distribuída ao músculo liso provém do sistema nervoso autónomo, o qual não se encontra sob o controle da nossa consciência. Daí designar-se também por músculo involuntário. Os nervos que provêm do sistema nervoso autónomo penetram no músculo, onde se dividem em muitas ramificações. A libertação do neurotransmissor por estas terminações nervosas inicia o processo que conduz à contracção. Da mesma forma que responde aos neurotransmissores, o músculo liso responde também a várias hormonas, a um estímulo mecânico (como o estiramento de uma fibra muscular) e aos desequilíbrios na composição química do fluido intercelular (por exemplo, alterações do equilíbrio ácidobase). Figura 2 MÙSCULO LISO O músculo cardíaco, também chamado miocárdio, encontra-se unicamente no coração; tem propriedades insólitas que lhe permitem contrairse ritmicamente cerca de vezes por dia para bombear o sangue através do sistema circulatório. O aspecto tecidual do miocárdio assemelha-se ao do músculo estriado. Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 6

7 Ponto de Vista Fisiológico A contracção do músculo cardíaco obedece a estímulos desencadeados pelo sistema nervoso autónomo, por hormonas ou pelo estiramento das suas fibras musculares. Para funcionar como uma bomba eficiente, os músculos do coração devem contrair-se de uma forma rítmica e concatenada. Cada fibra muscular está unida a outras pelas extremidades, percorrendo em cadeia áreas acidentadas, o que permite que as contracções sejam transmitidas rapidamente de uma fibra para a outra. O estímulo para a contracção do miocárdio inicia-se numa pequena área situada na aurícula direita (denominada nódulo sinusal), que comanda um ritmo de contracção regular. Há células no miocárdio especializadas na condução que formam uma rede capaz de transmitir os impulsos nervosos através das fibras do músculo cardíaco, desencadeando a contracção em ambas as aurículas e depois em ambos os ventrículos alternadamente. Figura 3 MÚSCULO CARDÍACO Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 7

8 Ponto de Vista Fisiológico 1.2 Músculo Esquelético Estrutura Os músculos esqueléticos compõem-se de fibras musculares esqueléticas associadas a pequenas quantidades de tecido conjuntivo, vasos sanguíneos e nervos. As fibras musculares desenvolvem-se a partir de células multinucleadas chamadas mioblastos. Estes convertem-se em fibras musculares quando as proteínas contrácteis se acumulam no seu citoplasma. Pouco após a formação dos mioblastos, os nervos crescem para dentro da zona onde aqueles se formam e inervam as fibras musculares em desenvolvimento. O número de fibras musculares esqueléticas mantém-se aproximadamente constante após o nascimento (A hipertrofia dos músculos resulta de um aumento das células musculares) e têm comprimentos que vão de 1 a 40nm e diâmetros de 10 a 100nm. Todas as fibras musculares de um mesmo músculo têm dimensões similares Tecido Conjuntivo Envolvendo cada fibra muscular existe uma lâmina externa composta essencialmente por fibras reticulares. Esta lâmina externa é produzida pela fibra muscular e, quando observada ao microscópio óptico, não se consegue distinguir da membrana celular da fibra muscular, o sarcolema. O endomísio (rede de tecido conjuntivo laxo com muitas fibras reticulares) envolve cada fibra muscular por fora da lâmina externa. Cada feixe de fibras musculares com o seu endomísio é envolvido pelo perimísio (outra camada de tecido conjuntivo) formando-se assim o denominado feixe muscular. Um músculo é constituído por muitos feixes agrupados e rodeados por tecido conjuntivo mais denso, fibroso e colagénico o epimísio que cobre toda a superfície muscular. A fascia separa cada músculo e em alguns casos envolve grupos musculares. O tecido conjuntivo do músculo mantém juntas as células musculares e liga os músculos aos tendões ou insere-os nos ossos. A figura 4 demonstra bem a relação entre as fibras musculares, feixes e tecido conjuntivo associado. Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 8

9 Ponto de Vista Fisiológico Figura 4 ESTRUTURA MUSCULAR ESQUELÉTICA Relação entre as fibras musculares, feixes e tecido conjuntivo associado Fibras Musculares Os múltiplos núcleos de cada fibra muscular encontram-se imediatamente sob o sarcolema, enquanto que a maior parte da fibra está preenchida por miofibrilhas, entre as quais estão alojados outros organelos, como mitocôndrias e grânulos de glicogénio. O citoplasma sem as miofibrilhas chama-se sarcoplasma. As miofibrilhas compõem-se de duas espécies de filamentos proteicos chamados miofilamentos. Os miofilamentos de actina, ou miofilamentos finos, têm aproximadamente 8nm de diâmetro e 1000nm de comprimento, enquanto que os miofilamentos de miosina, ou miofilamentos grossos, têm cerca de 12nm de diâmetro e 1800nm de comprimento. Na figura 5 podemos ver em pormenor a constituição de um músculo. Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 9

10 Ponto de Vista Fisiológico Figura 5 PARTES DE UM MÚSCULO: A - O músculo é composto por feixes musculares compostos por conjuntos de fibras musculares. B - Cada fibra muscular contém miofibrilhas em que se podem ver estrias. C - As miofibrilhas consistem em unidades chamadas sarcómeros. D Cada sarcómero estende-se de uma linha Z à seguinte e consiste essencialmente em miofilamentos de actina e miosina. Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 10

11 Ponto de Vista Fisiológico Sarcómeros Os miofilamentos de actina e miosina organizam-se em unidades altamente ordenadas, denominadas sarcómeros, que se juntam topo a topo para formar as miofibrilhas (ver figura 4 e 5). Figura 6 MICROFOTOGRAFIA ELECTRÓNICA DE UMA FIBRA MUSCULAR ESQUELÉTICA Microfotografia de uma secção longitudinal da fibra muscular esquelética Cada sarcómero estende-se de uma linha Z para a linha Z imediata. Linha Z é uma rede filamentosa de proteínas que forma uma estrutura em forma de disco, que faz a ligação dos miofilamentos de actina (ver figura 6 e 7). Figura 7 -COMPONENTES DE UM SARCÓMERO: A Bandas I e A, zona H e linhas Z e M. B Secções transversais nas regiões indicadas do sarcómero. Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 11

12 Ponto de Vista Fisiológico O arranjo dos miofilamentos de actina e dos miofilamentos de miosina dá à miofibrilha uma aparência em bandas ou estriada quando vista longitudinalmente (ver figura 6). Cada banda I, ou isotrópica (banda clara) inclui uma linha Z e estende-se de cada lado da linha Z para as extremidades dos miofilamentos de miosina. Cada banda A ou anisotrópica (banda escura) estende-se ao comprimento dos miofilamentos de miosina num sarcómero. Os miofilamentos de actina e miosina sobrepõem-se em parte da sua extensão em ambas as extremidades da banda A. No centro de cada banda A está uma pequena banda chamada banda H, onde os miofilamentos de actina e miosina não se sobrepõem e apenas estão presentes miofilamentos de miosina. No meio da zona H encontra-se uma banda escura chamada linha M que consiste em delicados filamentos que se ligam ao centro dos miofilamentos de miosina. A linha M mantém no lugar os miofilamentos de miosina, assim como a linha Z mantém no lugar os miofilamentos de actina Miofilamentos de Actina e Miosina Cada miofilamento de actina é composto por duas cadeias de actina fibrosa (actina F), uma série de moléculas de tropomiosina e de troponina (ver figura 8). Figura 8 ESTRUTURA DA ACTINA E DA MIOSINA: A Os miofilamentos de actina compõem-se de moléculas de actina globular (esferas a lilás), moléculas de tropomiosina filamentosa (cadeias azuis) e moléculas de troponina globular (esferas vermelhas) juntas num único filamento. B Os miofilamentos de miosina compõem-se de muitas moléculas de miosina com a forma de um taco de golfe, cada uma das quais tem uma porção em barra e uma cabeça globular. Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 12

13 Ponto de Vista Fisiológico As duas cadeias de actina F (cada cadeia é um polímero de aproximadamente duzentos monómeros actina G) enrolam-se em dupla hélice que se estende a todo o comprimento do miofilamento de actina. Cada monómero de actina G tem um local específico a que se podem ligar moléculas de miosina durante a contracção muscular. A troponina compõe-se de três subunidades: uma que se liga à actina; a segunda que se liga à tropomiosina e a terceira que se liga a iões cálcio. Os miofilamentos de miosina compõem-se de muitas moléculas alongadas de miosina. Cada molécula tem duas partes e a forma de taco de golfe. As porções cilíndricas estão juntas e dispõem-se paralelamente. A dupla cabeça estende-se lateralmente (ver figura 8 B). Cada miofilamento de miosina consiste em cerca de cem moléculas de miosina dispostas de forma a que cada cinquenta moléculas tem as suas cabeças projectando-se para cada extremidade. A cabeça liga-se à porção cilíndrica da molécula de miosina por uma zona encurvada que se pode dobrar e estreitar durante a contracção. Uma segunda zona curva fica a curta distância da cabeça na porção cilíndrica da molécula de miosina que contêm ATPase (enzima que desdobra a adenosina trifosfato ATP), permitindo libertação de energia, e contêm também uma proteína que liga a cabeça da molécula de miosina a locais específicos das moléculas de actina. A combinação das cabeças de miosina com os locais de ligação das moléculas de actina chama-se ponte Túbulos T e o retículo sarcoplasmático O sarcolema tem, ao longo da sua superfície, muitas invaginações tubulares túbulos T ou transversais túbulos regularmente dispostos e que se projectam para dentro das fibras musculares e que se enrolam em torno dos sarcómeros, na região onde os miofilamentos de actina e miosina se sobrepõem (sistema T ou de túbulos transversais) (ver figura 9). Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 13

14 Ponto de Vista Fisiológico Figura 9 TÚBULOS E RETÍCULO SARCOPLASMÁTICO: Túbulo T e retículo sarcoplasmático de cada lado do túbulo T (tríade). O lúmen de cada túbulo T está preenchido com líquido extracelular. Suspenso no sarcoplasma, entre os túbulos T, está um retículo endoplasmático liso altamente especializado retículo sarcoplasmático. Perto dos túbulos T, o retículo alarga-se de forma a formar cisternas terminais. Um túbulo T e as duas cisternas terminais adjacentes em conjunto denominamse tríade. A membrana do retículo sarcoplasmático transporta activamente iões de cálcio do sarcoplasma para o lúmen, onde os iões cálcio são armazenados em concentrações muito elevadas comparando com o sarcoplasma. Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 14

15 Ponto de Vista Fisiológico 1.3 Contracção Muscular O processo de contracção das fibras musculares esqueléticas envolve a análise de um conjunto de etapas: 1) Excitação da fibra muscular esquelética, envolvendo o desencadear do potencial de acção e a sua propagação ao longo do sarcolema. 2) Acoplamento excitação/contracção, que inclui os processos de transdução da excitação em actividade contráctil. 3) Ciclo das pontes cruzadas, respeitante à formação e ruptura cíclicas dos complexos de actomiosina e à geração de força e de trabalho mecânico. 4) Relaxamento muscular. Na figura seguinte está ilustrada uma hipotética contracção de uma fibra muscular em resposta a um único potencial de acção. Figura 10 -FASES DA CONTRACÇÃO MUSCULAR : Um músculo hipotético entra em contracção. Há uma curta fase de latência, após a aplicação do estímulo, seguida de uma fase de encurtamento e de uma fase de relaxamento O período de tempo entre a aplicação do estímulo ao neurónio motor e o início da contracção é a fase de latência; o tempo durante o qual ocorre a contracção é a fase de encurtamento e o tempo durante o qual ocorre o relaxamento é a fase de relaxamento. A contracção muscular mede-se como uma força, também chamada tensão, podendo chegar a necessitar de um segundo para ocorrer. Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 15

16 Ponto de Vista Fisiológico Tipos de Contracção Muscular Existem vários tipos de contracção podendo-se destacar: 1) Contracções isométricas Nestas contracções não muda o comprimento do músculo. O que aumenta é a quantidade de tensão durante o processo de contracção. São responsáveis pelo comprimento constante dos músculos posturais do corpo. 2) Contracções isotónicas A quantidade de tensão produzida pelo músculo é constante durante a contracção, mas o comprimento do músculo altera-se. 3) Tónus muscular É a tensão constante produzida nos músculos do corpo por um longo período de tempo. 4) Contracções concêntricas São contracções em que o músculo se alonga e encolhe. São semelhantes às contracções isotónicas excepto em que, à medida que o músculo encurta, a tensão produzida por ele aumenta. 5) Contracções excêntricas Contracções em que a tensão é mantida no músculo quando este aumenta de comprimento O Ciclo das Pontes Cruzadas Os miofilamentos de actina e miosina não mudam de comprimento durante a contracção do músculo esquelético. Em vez disso, os miofilamentos de actina e miosina deslizam ao longo uns dos outros de uma forma que leva ao encurtamento do sarcómero. Durante a contracção, formam-se pontes entre as moléculas de actina e as cabeças das moléculas de miosina. As pontes formam-se, deslocam-se, libertam-se e reformam-se de uma forma similar ao remar de um barco. O movimento voluntário das pontes faz com que os miofilamentos de actina em cada extremidade do sarcómero deslizem para além dos miofilamentos de miosina no sentido da zona H. Em consequência, as bandas I e as zonas H tornam-se mais estreitas, mas as bandas A mantêm um comprimento constante (ver figura 11). A zona H pode desaparecer quando os miofilamentos de actina se sobrepõem no centro do sarcómero. Quando os Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 16

17 Ponto de Vista Fisiológico miofilamentos de actina deslizam sobre os miofilamentos de miosina, as linhas Z aproximam-se e o sarcómero encurta-se. Durante o relaxamento, as pontes libertam-se, permitindo que os sarcómeros se estendam. Para isso é necessária a aplicação ao músculo de alguma força, de modo a levar ao alongamento do sarcómero. Esta força é habitualmente produzida por um músculo antagonista ou pela gravidade. Figura 12 ENCURTAMENTO DO SARCÓMERO -Encurtamento do sarcómero consequente da formação das pontes. Durante a contracção, as bandas I (azuis) encurtam mas as bandas A (rosa) não. A zona H (verde) estreita-se ou chega a desaparecer quando os miofilamentos de actina se juntam no centro do sarcómero. Figura 13 DESLIZAMENTO DO MIOFILAMENTO FINO DURANTE A CONTRACÇÃO MUSCULAR Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 17

18 Modelação Matemática 2. Análise Quantitativa da Contracção Muscular Podemos estudar várias propriedades do músculo. No entanto, vamonos debruçar em particular sobre a variação da força de contracção ao longo do tempo e sobre a relação entre a densidade populacional e o deslocamento dos filamentos. Para tal, em vez de utilizarmos directamente as equações diferenciais que descrevem a população de pontes vamos simular em MATLAB o processo que está por trás destas equações. No apêndice A, encontram-se as equações diferenciais que descrevem o modelo das pontes cruzadas. O programa que irá ser desenvolvido vai simular, basicamente, a ligação, o deslizamento e a separação das pontes. Para uma melhor compreensão do programa, faremos primeiramente algumas considerações do comportamento microscópico da dinâmica das pontes cruzadas. Cruzadas 2.1 Comportamento Microscópico Dinâmica das Pontes Algumas Considerações O ciclo das pontes cruzadas é descrito quantitativamente da seguinte forma: 1. Uma ponte está ligada na configuração de equilíbrio, quando não exerce força no filamento fino 2. Considerando x como a deslocação da configuração de equilíbrio medida ao longo do filamento fino, podemos definir a função p(x) que representa a força no filamento fino quando o deslocamento da ponte ligada é x. Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 18

19 Modelação Matemática 3. Em geral, diferentes pontes têm diferentes valores de x. Como tal, define-se a função densidade de população, u( x) dx que representa a fracção de pontes ligadas com um deslocamento x tal que x 2 x1 x x. 1 x 2 4. A força total exercida pelo músculo é a soma das forças exercidas pelas diversas pontes, sendo dada por P n0 p( x). u( x). dx onde n0 representa o número de pontes. Outras considerações devem ser tidas em conta: 5. A população de pontes está num estado estacionário 6. Todas as pontes formam as suas ligações para uma configuração x=a> 0 (deslocação positiva) 7. São definidas duas constantes e. Sendo a primeira a probabilidade, por unidade de tempo, para a ligação das pontes e a segunda, a probabilidade, por unidade de tempo, para a separação das pontes Implementação do Programa em MATLAB %nome do ficheiro: pontescruzadas.m %unidades: %comprimento:nm=nanómetros (nano=10^-9) %tempo:s=segundos %velocidade:nm/s %força:pn=piconewtons (pico=10^-12;newton=kg m/s^2) clear all clf global p1 GAMMA; %constantes em p(x) global Tinicial V; %constantes em v(t) n0=10000 %número de pontes cruzadas alpha=14 % /s probabilidade por unidade de tempo de ligação beta=126 % /s probabilidade por unidade de tempo de separação klokmax=3000 %número total de intervalos de tempo dt=0.01/(alpha+beta) % s duração do intervalo Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 19

20 Modelação Matemática A=5 % nm deslocação da recém-ligada ponte cruzada %constantes usadas em p(x) p1=4 %pn GAMMA=0.322 %/nm %teste da função p(x) para garantir que p(0)=0 %para o intervalo de 10*eps, onde eps é a precisão da máquina if abs(p(0)/p(a))>10*eps error('p(0) não é zero') end %constantes usadas na função v(t) Tinicial=10/(alpha+beta) % tempo a que a acção se inicia V=500 %nm/s velocidade de encolhimento para t>tinicial %todas as pontes cruzadas estão inicialmente separadas a=zeros(1,n0); x=zeros(1,n0); %número de porções para a função densidade populacional nbins=round(sqrt(n0*alpha/(alpha+beta))); % for klok=1:klokmax %loop sobre intervalos de tempo t=klok*dt; %tempo corrente dx=-v(t)*dt; %alteração em meiocomprimento do sarcómero x(find(a))=x(find(a))+dx; %desloca apenas pontes cruzadas ligadas prob=(beta*dt)*a+(alpha*dt)*(1-a); %probabilidade de mudança de estado change=rand(1,n0)<prob; %decide qual ponte cruzada muda de estado a=xor(change,a); %altera o estado dessas pontes cruzadas x(find(a&change))=a; %para pontes recémligadas, define x=a x(find(~a))=0; %para todas as pontes separadas, define x=0 %Armazenar resultados para futura graficação: Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 20

21 Modelação Matemática tsave(klok)=t; Usave(klok)=sum(a)/n0; Psave(klok)=sum(p(x)); P=Psave(klok) end figure(1) subplot(2,1,1),plot(tsave,usave) subplot(2,1,2),plot(tsave,psave) figure(2) [u,xc]=popdens(x,a,nbins); populacional plot(xc,u,'*') populacional %tempo corrente %fracção anexada %força %escreve força no ecrã %avalia a densidade %grafica a densidade -Ficheiros Auxiliares Foi necessário definir três funções auxiliares: function vv=v(t) %nome do ficheiro v.m %velocidade de encurtamento no instante t %contracção isométrica para t<tinicial %velocidade de encurtamento V para t>tinicial global Tinicial V; if (t<tinicial) vv=0 else vv=v; end function [u,xc]=popdens(x,a,nbins) %nome do ficheiro popdens.m %determinaçao da função densidade populacional de pontes ligadas Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 21

22 Modelação Matemática %variaveis de entrada % x=vector de deslocação das pontes % a=vector dos estados das pontes (0=separadas 1=ligadas) % nbins=numero de porções %variaveis de saida % xc=vector de centros de porções (igualmente espaçados) % u=vector de densidade populacional de pontes cruzadas n0=length(x); %numero total de pontes cruzadas Nabridges=length(x(find(a))) %numero de pontes ligadas %nabridges=numero de pontes ligadas em cada porção; %xc=centro das porções: [nabridges,xc]=hist(x(find(a)),nbins); %normalizaçao nabridges para determinar densidade populacional das pontes xstep=xc(2)-xc(1);u=(nabridges/nabridges)/xstep; function pp=p(x) %nome do ficheiro p.m %força da ponte em função da sua deslocação %x e vector de deslocação da ponte %pp=p(x) e o vector das forças correspondentes global p1 GAMMA; pp=p1*(exp(gamma*x)-1); Interpretação do Programa Primeiramente, os parâmetros são inicializados. Este programa utiliza nanómetros (nm) como unidade de comprimento, segundos (s) como unidade temporal, nanómetros por segundo (nm/s) como unidade de velocidade e piconewtons (pn) como unidade de força. Consideramos como modelo meio sarcómero contendo n 0 pontes cruzadas. O número de pontes por meio sarcómero, não tem um valor Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 22

23 Modelação Matemática standard, visto que este vai depender da área seccional do músculo e, consequentemente vai variar de músculo para músculo. O valor usado, n 0 =1000, foi escolhido apenas por conveniência. Tornase simultaneamente, uma boa amostra de pontes sendo suficientemente pequena para não ser afectada por ruído. As variáveis (probabilidade de ligação por unidade de tempo), (probabilidade de separação por unidade de tempo), klokmax (número total de intervalos de tempo), dt (duração do intervalo de tempo), A (deslocamento das pontes assim que se ligam), bem como as constantes p 1 e tomaram os valores anteriores também por uma questão de conveniência e de, coerência com a realidade. O programa começa imediatamente por testar a função p(x) através do ciclo if, assegurando que p(0)=0 (isto é, se não houver força não há deslocamento). Posteriormente e, após a definição dos parâmetros T inicial e V encurtamento consideramos que todas as pontes estão inicialmente separadas. Para um dado instante, cada ponte pode estar num dos dois estados, ligada ou desligada. Vai-se denominar o estado da ponte i através da variável a(i). Quando a ponte está desligada a(i) é igual a zero e, quando a ponte está ligada a(i) é igual a um. Uma ponte ligada tem um deslocamento x(i) desde a sua configuração de equilíbrio. Quando x(i)>0 a ponte exerce uma força positiva tendendo a encolher o músculo. Quando x(i)<0 a ponte exerce uma força negativa oposta ao encurtamento. Quando x(i)=0 a ponte não exerce força, podendo estar desligada. Seguidamente vem o ciclo principal. No inicio deste loop, o tempo corrente é avaliado e a mudança no comprimento dx é alterado através da função v(t)-função auxiliar, que será discutida mais à frente. Agregado a este loop sobre os intervalos de tempo surge também um loop sobre as pontes. Este loop é uma versão vectorial e faz uso de duas importantes funções. A função find aplicada a um vector devolve a lista de índices dos elementos não nulos do vector. Na nossa situação, find(a) devolve uma lista de índices de todas as pontes ligadas. Esta lista vai endereçar essas pontes e, consequentemente, vai permitir que apenas estas se desloquem através do comando x(find(a))=xfind(a)+dx. Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 23

24 Modelação Matemática Após isso, a linha prob=(beta*dt)*a+(alpha+dt)*(1-a) vai avaliar a probabilidade de mudança de estado no tempo corrente, para todas as pontes. Esta probabilidade será ou beta*dt se a ponte está ligada no início do intervalo de tempo ou alpha*dt se a ponte está desligada. Posteriormente é gerada uma lista de números aleatórios através da função rand (1,n0) e, consequentemente é criada uma matriz de números independentes com uma linha e n 0 colunas. Esses números aleatórios são então comparados elemento por elemento, com a probabilidade de mudança de estado correspondente. A operação a<b em MATLAB produz um resultado numérico: 1 se a<b, e, 0 se a b. A linha change=rand(1,n0)<prob decide mudar o estado de todas as pontes cruzadas de uma só vez (mas com uma decisão independente para cada uma delas) e guardar os resultados com o valor 1 nos elementos da função change correspondentes às pontes cruzadas que realmente mudaram de estado durante o intervalo de tempo corrente e com valor 0 nos elementos de change correspondentes às pontes cruzadas que mantiveram o seu estado no intervalo de tempo corrente. A função change é então usada para fazer a actualização da função a, guardando as mudanças de estado que ocorreram. O truque aqui é usar uma função do MATLAB xor, onde xor(a,b) é 1 se a ou b, mas não os dois ao mesmo tempo e, onde é 0 para as outras situações. Se as funções change e a só podem tomar valores entre 0 e 1 então, a=xor(change,a), na realidade altera o estado de a se change igual a 1 e mantém o estado de a se change é igual a 0. No nosso caso, change e a são vectores (do mesmo tamanho) e, a comparação é feita elemento a elemento. Finalmente, com o estado das pontes cruzadas actualizado temos que nos recordar de colocar o deslocamento das recém-ligadas pontes cruzadas igual a A e, temos que estabelecer o deslocamento das recém-desligadas pontes cruzadas igual a zero. Podemos localizar as recém ligadas pontes cruzadas com a expressão find(change&a) e, podemos localizar todas as pontes desligadas com a expressão find(~a). Aqui, & significa AND e ~ significa NOT. Assim, Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 24

25 Modelação Matemática executamos os comandos x(find(a&change))=a e x(find(~a))=0 para estabelecer o deslocamento dessas pontes cruzadas em particular (aquelas que mudaram de estado). O deslocamento das outras pontes cruzadas (que não mudaram de estado) foi actualizado anteriormente. Após todas as pontes serem processadas e analisadas desta forma, são armazenados alguns dados importantes (tempo, fracção de pontes ligadas, força). Quando o loop sobre o tempo é completo, o programa termina obtendose três gráficos diferentes. O primeiro relaciona a densidade populacional com o tempo, o segundo a força com o tempo e o terceiro, a densidade populacional com o deslocamento x. Este programa vai recorrer às funções auxiliares descritas na secção A função v(t) descreve a velocidade de encurtamento no instante t. Considera-se um exemplo simples, no qual v(t)=0 antes de T inicial e v(t)=v para t>t inicial. Esta situação vai simular um músculo que tem um comprimento fixo (isometria) antes de um determinado tempo e, depois, pode contrair mas a uma velocidade controlada. O objectivo desta fase isométrica é permitir que a população de pontes equilibre até à fracção de equilíbrio de pontes ligadas (relembramos que começamos com todas as pontes desequilibradas). A função p(x) dá-nos a força gerada por uma ponte ligada cuja deslocação é x. Temos grande liberdade na descrição da função p(x), contudo a expressão utilizada para a definir foi a obtida no apêndice A. A única restrição que a função tem que satisfazer é p(0)=0, pois temos que garantir que as pontes separadas não geram qualquer força. A função popdens vai gerar a função densidade de população, definida anteriormente. Esta função vai contar quantas pontes ligadas existem por cada porção, sendo o número de porções escolhido aleatoriamente pelo utilizador Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 25

26 Modelação Matemática Resultados e Discussão Obtiveram-se os seguintes gráficos: Gráfico1-Variação dadensidadepopulacional e daforça de uma contracção ao longo do tempo. Como se pode verificar, à medida que a contracção de inicia, o número de células musculares recrutadas para executar a ligação/separação vai aumentando até que atinge um plateau que corresponderá ao número máximo de células que se podem envolver no processo. No segundo gráfico verifica-se que numa fase inicial a força aumenta até um valor elevado, num período de tempo que corresponderá à ligação, e diminui abruptamente quando deixa de haver ligação. Simplesmente não é zero porque devido ao elevado número de células envolvidas há sempre algumas que ficam ligadas e isso contribui para que a força nunca se anule, e temos que considerar a possibilidade de nestas células que foram experimentadas estarem células antagonistas, que executam força no sentido contrário. Todo este espaço de tempo corresponde a uma contracção. Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 26

27 Modelação Matemática Gráfico 2 -Variação da densidade populacional em função da sua deslocação. Neste gráfico verifica-se que só para x positivos é que a acção da população se verifica significativamente. Isto é explicado porque no programa se considera que assim que uma ponte cruzada se liga há uma deslocação de 5nm. Claro que só contribuem para essa deslocação as que estão ligadas. Quando não há ligação não há deslocamento, não há contracção, podendo-se até considerar que na parte negativa a população não é negativa pois alguma dela estará envolvida num processo de distensão que conduziria a uma deslocação negativa. Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 27

28 Modelação Matemática 2.2 Comportamento Macroscópico Como é do senso comum, o nosso corpo efectua inúmeros movimentos diariamente. Estudemos então um exemplo em particular Balanço humano de um pêndulo invertido: Será o tamanho da oscilação controlada pela impedância do tornozelo? Usando a musculatura do tornozelo, indivíduos foram balançados num grande pêndulo invertido. O equilíbrio do pêndulo é instável e oscilações quase regulares foram observadas tal como se estivesse firmemente em pé. Figura 14 MECANISMO DO PENDULO INVERTIDO Duas questões importantes são colocadas: Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 28

29 Modelação Matemática - Podem indivíduos alterar sistematicamente o tamanho da oscilação em resposta a uma instrução e avaliação do feedback visual? Se sim, coloca-se uma outra questão: -Será que os indivíduos diminuem o tamanho da oscilação por aumento da impedância do tornozelo ou por algum mecanismo alternativo? Resultados mostraram que os sujeitos podem reduzir significativamente o tamanho da oscilação do pêndulo dando uma total atenção a esse objectivo. Com feedback visual o tamanho da oscilação pode ser minimizado significativamente, mais do que sem feedback visual. Na mudança do tamanho da oscilação a frequência das oscilações não variou. Resultados também revelaram que a impedância do tornozelo e a cocontracção muscular não foram significativamente alteradas quando o tamanho da oscilação foi diminuindo. Como a impedância do tornozelo e a frequência da oscilação não variam, quando o tamanho da oscilação diminui isso implica que não há alteração na rigidez ou viscosidade do tornozelo. O aumento da impedância do tornozelo, rigidez ou viscosidade não são os únicos métodos pelos quais o tamanho da oscilação pode ser reduzido. A redução na inércia de torção através de um processo preditivo que gere um amortecimento activo pode reduzir o tamanho da oscilação sem alterar a impedância do tornozelo e é plausível dados os resultados. Tal estratégia envolvendo reconhecimento do movimento e geração de uma resposta motora correcta pode requerer níveis mais altos de controlo do que alterando a impedância do tornozelo, alterando reflexos ou o ganho feedforward (feedback por retroacção positiva). Para representar este processo, convém salientar que o pêndulo é modelado através da seguinte equação diferencial de segunda ordem: 2 d d I b K 2 dt dt sen tt T tornozelo onde I é a inércia, b o factor de viscosidade e K tt a torção de oscilação gravitacional por unidade angular. Consideraram-se os seguintes valores: I=62.6 Kg.m 2 ; b=0.061 N.m.s.deg -1 e K tt =10.3 N.m.deg -1. Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 29

30 Modelação Matemática é o ângulo que o pêndulo faz com a vertical e T tornozelo é a torção do tornozelo. Este é modelado considerando a existência de rigidez, viscosidade e ruído através da seguinte equação: d T tornozelo k( 0 ) B dt em que k e B são a rigidez e a viscosidade do tornozelo, respectivamente e 0 é o ângulo inicial. O ruído é representado por. Vamos considerar k=850+k tt =1440 N.m.rad -1 =25.1 N.m.deg -1 e B=300 N.m.s.rad -1 =6.11 N.m.s.deg Implementação do Modelo no Simulink Obteve-se o seguinte gráfico: Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 30

31 Modelação Matemática Gráfico 3 -Variação do ângulo de torção com o tempo No instante inicial verificamos que a inclinação é negativa sendo aproximadamente -75º. À medida que o tempo avança o ângulo de torção aumenta atingindo um máximo em 60º. Depois volta a diminuir até um mínimo de -45º.Este processo repete-se ciclicamente. Destes resultados podemos inferir que a concentração num dado objectivo (neste caso, na diminuição do ângulo de torção) é suficiente para que o objectivo se cumpra, uma vez que após se partir de um ângulo de -75º só volta a diminuir até -45º o que denota uma diminuição do ângulo de torção. Note-se que o sinal menos (-) deve ser desprezado uma vez que apenas representa o sentido da torção. O indivíduo ao concentrar-se consegue assim travar o movimento muscular. Partindo do feedback visual, que é processado no cérebro e transmitido por resposta neuronal aos músculos, este consegue aumentar a resposta à torção e consequentemente diminuir o respectivo ângulo. Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 31

32 Conclusão Conclusão O nosso corpo é composto por centenas de músculos, desde o coração (músculo cardíaco), até aos intestinos (músculo liso). No entanto, o tipo de músculo mais estudado é o músculo esquelético. A sua unidade estrutural é o sarcómero que encurta ou distende dependendo da fase da contracção em que se encontra. A contracção pode ser compreendida microscopicamente, através do mecanismo das pontes cruzadas. Este foi estudado através de um programa em MATLAB que nos permitiu verificar que à medida que a contracção se inicia, o número de células musculares recrutadas para executar a ligação/separação vai aumentando até que atinge um plateau, ou seja, existe um número máximo de células que se pode envolver no processo. Devido ao elevado número de células envolvidas, há sempre algumas que ficam ligadas e isso contribui para que a força nunca se anule. Temos que considerar a possibilidade de nestas células estarem células antagonistas, que executam força no sentido contrário. Como um dos objectivos do trabalho era utilizar o simulink, estudamos macroscopicamente o movimento do tornozelo tendo em conta a sua viscosidade, rigidez e impedância. O simulink é uma ferramenta essencial para este estudo, pois o processo de oscilação do indivíduo é dado por equações diferenciais, tendo sido possível concluir que se o indivíduo se concentrar consegue travar o movimento muscular visto que o movimento dos músculos esqueléticos encontra-se sob o controle voluntário do cérebro. Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 32

33 Bibliografia Bibliografia BERNE, M. Robert e outros Fisiologia (2000); 4ª edição; Guana bara Koogan S.A.; Rio de Janeiro; ; pps CORREIA, Pedro Pezarat Anatomofisiologia (1999); 1ª edição; Faculdade de Motricidade Humana; Cruz Quebrada; ; pps: Enciclopédia de Medicina, Selecções do Reader s Digest (1992), 2º volume, 1ª edição; Lisboa; ; pps: HOPPENSTEAD, Frank C e outro - Modeling and Simulation in Medicine and the Life Sciences, 2ª edição; Springer; ; pps: LIMA, J.J. Pedroso de - Biofísica Médica (2003), 1ª edição; Imprensa da Universidade de Coimbra; Coimbra; ; pps: McMAHON, Thomas A. - Muscles, Reflexes and Locomotion; 1ª edição, Princeton University Press; Lawrenceville; ; pps: SEELEY, Stephens - Anatomia&Fisiologia; 3ª edição; Lusodidacta; Lisboa; ; pps: Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem 33

34 APÊNDICE

35 Apêndice A APÊNDICE A As pontes ligadas movem-se com o filamento fino. Uma ponte ligada satisfaz a equação dx dt v (1) onde v é a velocidade de encurtamento do filamento fino relativamente ao filamento grosso. A taxa à qual as pontes se quebram é proporcional ao número de pontes ligadas denotando-se a constante de proporcionalidade por (constante de taxa de separação). Se tivermos em atenção às pontes que têm x num intervalo particular (x 1,x 2 ), então o número de pontes (por meio sarcómero) é x 2 n u( x). dx (2) 0 x e a taxa à qual estas pontes se quebram A taxa total de separação é n 0 U. 1 x 2 n u( x). dx (3) 0 x 1 Agora podemos derivar uma equação para a densidade de população de pontes, u(x). Como as pontes se formam para x=a e movem-se por deslizamento na direcção decrescente de x, temos u(x)=0 para x>a. Consideremos a população de pontes que têm deslocamento x no intervalo x 0 <x<a, em que x 0 é qualquer valor de x tal que x 0 <A. Novas pontes integram esta população pelo processo de ligação que ocorre à taxa n (1 0 U ). As pontes deixam de estar integradas neste intervalo quando: 1) Se quebram à taxa A x n u( x) (4) 0 0 2) Deslizam através da menor condição fronteira, em x=x 0. A taxa deste processo é dada por vn u( 0 ), em que v é a velocidade de deslizamento 0 x e n u( 0 ) é a densidade de pontes em x=x0. 0 x Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem I

36 Apêndice A Fazendo um balanço com as três taxas que considerámos. Isto dá-nos a seguinte equação: A ( 1 U ) u( x) dx vu( x0 ) (5) x 0 Para obtermos a equação diferencial, diferenciamos a equação anterior em ordem a x 0, resultando du 0 u( x0 ) v( )( x0 ) (6) dx Como x 0 pode ter qualquer valor de x, esta equação diferencial pode ser escrita como du v dx u (7) As soluções desta equação são do tipo u( x) u( A)exp( ( x A) / v) (8) A constante u(a) ainda não está determinada. Note-se que (8) só se aplica quando x<a. Quando x>a, temos u(x)=0. Para determinar u(a): Integrando (8): ( 1 U ) vu( A) (9) U A u( x) dx vu( A) /. (10) Resolvendo (9) e (10) como um par de equações com duas incógnitas vem: U (11) ' Portanto, para x<a, e u(x)=0 se x>a. u ( A) (12) v ( ) exp( ( x A) / v) u ( x) (13) v( ) Maio 2005 Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem II