UMA HEURÍSTICA PARA O PROBLEMA DE MINIMIZAÇÃO DE LARGURA DE BANDA EM MATRIZES

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1 UMA HEURÍSTICA PARA O PROBLEMA DE MINIMIZAÇÃO DE LARGURA DE BANDA EM MATRIZES Marco Antonio Moreira de Carvalho Instituto Tecnológico de Aeronáutica - ITA Praça Marechal Eduardo Gomes, 50, Vila das Acácias, CEP , São José dos Campos SP mamc@ita.br Nenina Marcia Pereira Junqueira Instituto Tecnológico de Aeronáutica - ITA Praça Marechal Eduardo Gomes, 50, Vila das Acácias, CEP , São José dos Campos SP nenina@resenet.com.br Nei Yoshihiro Soma Instituto Tecnológico de Aeronáutica - ITA Praça Marechal Eduardo Gomes, 50, Vila das Acácias, CEP , São José dos Campos SP soma@ita.br RESUMO Este trabalho apresenta uma heurística para o Problema de Minimização de Largura de Banda em Matrizes. O problema consiste em, através de operações elementares sobre as linhas e colunas de uma matriz esparsa, obter uma estrutura de matriz banda, ou seja, todos os elementos não nulos devem estar contidos em diagonais o mais próximo possível da diagonal principal da matriz. A heurística proposta faz uso de ordenações intercaladas de linhas e colunas, e foi sido projetada para tratar instâncias grandes, simétricas ou assimétricas. Uma quantidade extensiva de experimentos computacionais foi realizada para comparar os resultados obtidos pelo método proposto com o mais conhecido da literatura. PALAVRAS-CHAVE: Otimização Combinatória, Minimização de Largura de Banda em Matrizes, Ordenação, Matrizes. ABSTRACT This paper presents a heuristic for the Matrix Bandwidth Minimization Problem. The problem consists on via elementary row and column operations on a sparse matrix, to obtain a band matrix structure, that is, the nonzero elements are clutched together as close as possible of the matrix s main diagonal. The suggested heuristic is based on intertwined ordering of rows and columns, and it was designed to deal with large instances regardless they are symmetric or asymmetric. An extensive quantity of computational experiments was carried out to compare the suggested heuristic with the most well known method of the literature. KEYWORDS: Combinatorial Optimization, Matrix Bandwidth Minimization on Matrices, Ordering, Matrices. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2886

2 1. Introdução O Problema de Minimização de Largura de Banda em Matrizes (Matrix Bandwidth Minimization) é um problema computacional de grande interesse por ser um subproblema de vários outros problemas computacionais relacionados a matrizes. A complexidade de tais problemas pode ser atenuada, estabelecendo-se estruturas desejadas em matrizes, através da solução do problema em questão. Define-se o problema a partir de uma matriz M quadrada e esparsa, podendo esta ser simétrica ou não. A banda de uma matriz é a banda diagonal que compreende as diagonais que contenham elementos não nulos mais distantes da diagonal principal em ambas as direções. O objetivo é, portanto, minimizar as distâncias de tais diagonais mais afastadas da diagonal principal da matriz à esquerda e à direita. Ao lado esquerdo da diagonal principal denomina-se meia banda esquerda e ao lado direito da diagonal principal denomina-se meia banda direita. A Figura 1 identifica as regiões citadas e ilustra a numeração das diagonais de uma matriz (a) (b) Figura 1 Em (a), destaca-se a meia banda direita (em cinza), a diagonal principal (em negro) e a meia banda esquerda (em branco). Em (b), destaca-se a numeração das diagonais. Matematicamente, seja M uma matriz esparsa, k 1 a meia banda esquerda e k 2 a meia banda direita definidas por: m i,j = 0 se j < i k 1 ou j > 1 + k 2 ; k 1, k 2 > 0. A largura da banda de uma matriz é dada por k 1 + k (em matrizes simétricas, k 1 = k 2 ). Por exemplo, uma matriz diagonal possui largura de banda = 1 (conforme a Figura 1) e uma matriz de largura de banda = 3 é uma matriz triagonal. Uma aplicação comum do Problema de Minimização de Banda em Matrizes é na resolução de sistemas de equações lineares que, segundo estimativas, surgem em 75% dos problemas computacionais (Dahlquist e Bjorck (1974)). Uma matriz que represente um sistema de equações lineares pode ser compactada, já que os elementos não nulos podem ser agrupados, o que permite que operações sejam realizadas apenas sobre a representação compacta, diminuindo a sua complexidade. Modelos de programação matemática facilmente atingem a ordem de milhares de variáveis, o que justifica a utilização de tal compactação. Alguns solvers para programação matemática e bibliotecas numéricas se utilizam da minimização da largura de banda, entre outras técnicas de pré-processamento. Outros exemplos em que a utilização de estrutura de banda em uma matriz é benéfica são o cálculo de inversões, determinantes e a redução Gaussiana, que pode ser aplicada em O(nb 2 ) em matrizes com largura de banda b, o que é muito significativo em relação ao algoritmo geral de complexidade O(n 3 ) quando b << n (Skiena (2008)). Ainda, segundo o mesmo autor, o problema pode ser aplicado a grafos para diminuir a distância de componentes em um circuito e também para minimizar o tempo de busca em sistemas de arquivos, entre outros. O problema é completo em NP, assim como as suas variantes (Papadimitriou (1976)) ainda que cada linha da matriz possua no máximo 3 elementos não nulos (considerando-se m ij, com XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2887

3 i j) segundo Garey et al. (1978), o que aumenta o interesse teórico. Devido às características do problema, é sugerido que métodos heurísticos sejam aplicados para sua solução, uma vez que métodos exatos encontram dificuldades para problemas de tamanhos moderados a grandes (considerando que existem n! permutações de linhas e n! permutações de colunas, em que n denota a dimensão da matriz). O presente trabalho está organizado da seguinte forma: a Seção 2 traz uma revisão dos trabalhos mais recentes encontrados na literatura a respeito do problema, além da descrição de dois métodos clássicos para sua resolução; na Seção 3 a nova heurística proposta é detalhada conceitualmente e também em nível de implementação; a Seção 4 relata os experimentos computacionais realizados, e por fim, na Seção 5 são apresentadas as conclusões sobre o trabalho. 2. Revisão da Literatura O Problema de Minimização da Largura de Banda em Matrizes tem sido pouco abordado recentemente, em comparação às décadas de 60 a 80 quando o problema foi amplamente estudado. Um dos métodos heurísticos mais antigos e mais bem sucedidos para o tratamento do problema é a heurística Cuthill-Mckee (Cuthill e Mckee (1969)), um clássico considerado por alguns autores como efetivamente o primeiro método para o problema (Piñana et al. (2004)). Tratase de uma heurística que, além de rápida e de implementação imediata, apresenta bons resultados. Desenvolvida para problemas simétricos, utiliza-se a representação por grafos em sua abordagem. Uma matriz simétrica pode ser interpretada como uma matriz de incidências, e com base nela o grafo correspondente é construído. Cada vértice representa a linha e coluna de mesmo índice, e as adjacências obedecem ao estabelecido pela matriz. A heurística Cuthill-Mckee consiste na realização de uma busca em largura utilizando-se como critério o vértice de menor grau, ou seja, a busca sempre é iniciada pelo vértice de menor grau, e os vizinhos dos vértices são analisados em ordem não decrescente de grau. Empates são resolvidos a favor do vértice de menor índice. A sequência de vértices obtida determina a sequência das linhas e colunas da matriz na solução. A Figura 2 apresenta um exemplo da execução desta heurística S v ={6, 4, 2, 3, 1, 5} Figura 2 Exemplo da execução da heurística de Cuthill-Mckee. Outro método clássico é o denominado GPS (Gibbs, Poole, e Stockmeyer (1976)) que também utiliza os fundamentos da heurística Cuthill-Mckee, mas utiliza um diâmetro máximo em sua busca. Esta heurística se equipara em termos de solução com a Cuthill-Mckee, porém, é várias vezes mais rápida. Mais recentemente, a abordagem ao problema tem se concentrado fortemente na utilização de metaheurísticas. Uma busca tabu aplicada à representação do problema por grafos é apresentada por Martí et al. (2001), onde a lista de movimentos candidatos inclui vértices críticos, ou seja, aqueles relacionados aos elementos não nulos mais distantes da diagonal principal. O método utiliza apenas um tipo de movimento, a troca de posição entre vértices, que é controlado por um contador de frequência responsável por diversificar a busca. Os experimentos compararam o método proposto com uma implementação de Simulated Annealing e a heurística GPS, utilizando um conjunto de 126 instâncias simétricas de tamanhos de 30 a Os resultados mostraram que a busca tabu obteve os melhores soluções (de 30% a 50% melhores) e tempos de execução maiores XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2888

4 apenas que os da heurística GPS. O método GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure), utilizando reconexão de caminhos (ou path relinking), é aplicado por Piñana et al. (2004) para a minimização de banda em matrizes, utilizando a representação por grafos. O método foi comparado com a heurística GPS (Gibbs, Poole e Stockmeyer (1976)) e com a busca tabu proposta por Martí et al. (2001). Foram utilizadas 113 instâncias simétricas na comparação e concluiu-se que o método GRASP obteve um desempenho levemente superior em relação à busca tabu, mas o tempo de execução é da ordem de milhares de vezes maior do que a heurística GPS. Duas metaheurísticas são propostas por Lim, Rodrigues e Xiao (2006): um algoritmo genético e o node shift method. O algoritmo genético é utilizado em conjunto com um método hillclimbing de forma que, após as aplicações dos operadores do algoritmo genético, o hillclimbing é aplicado à solução corrente, selecionando-se posteriormente os melhores indivíduos para participarem da próxima etapa. O node shift method utiliza grafos para a representação do problema, fazendo com que os vértices críticos para a solução do problema sejam deslocados (na sequência de vértices da solução) para mais próximo dos demais de acordo com uma medida de distância, a fim de reduzir a banda da matriz correspondente. Este método é também aprimorado com a aplicação posterior do método hillclimbing. Os dois métodos foram comparados com duas versões do método GRASP introduzidas por Piñana et al. (2004). As mesmas 113 instâncias de tamanhos de 30 a 1000 descritas anteriormente foram utilizadas nos experimentos. As melhores soluções, e os piores tempos de execução (8 vezes maior que o método mais rápido) foram obtidos pelo node shift method, seguido pela implementação de algoritmo genético, que obteve os melhores tempos de execução. Posteriormente, Lim, Rodrigues e Xiao (2007) propõem um método de ajuste de vértices associado ao hillclimbing, e adicionalmente, uma versão mais rápida do método (com parâmetros auto-ajustáveis) comparável ao método Cuthill-Mckee. O método de ajuste de nós consiste em uma busca em largura (similar ao método Cuthill-Mckee) e um novo arranjo do grafo, em que vértices de maior grau são centralizados em relação a seus vizinhos, ao qual se aplica o método hillclimbing. Através de iterações, várias soluções iniciais são geradas por meio da busca em largura. Os métodos foram comparados com GPS, busca tabu (Martí et al. (2001)) e GRASP com reconexão de caminhos (Piñana et al. (2004)), além de um algoritmo genético e o node shift method (Lim, Rodrigues e Xiao (2006)), utilizando o mesmo conjunto de instâncias do trabalho descrito anteriormente. Exceto pelo algoritmo genético e o node shift method, todos os outros métodos obtiveram desempenhos abaixo do método proposto naquele trabalho. O trabalho de Reid e Scott (2005) é um dos poucos que recentemente trataram a minimização da largura de banda de matrizes assimétricas. Os métodos propostos são na verdade diferentes aplicações da versão reversa (em que o sequenciamento original é invertido) da heurística Cuthill-Mckee (RCM) e adaptações de uma metaheurística descrita anteriormente neste trabalho. O RCM foi aplicado ao grafo bipartido de uma matriz M, ao grafo linha de M e a M+M T (um artifício para simular a simetria na matriz). Também foi proposta uma variação desta heurística, levando em conta informações sobre a banda total da matriz e aplicada diretamente a M. O método node centroid hillclimbing proposto por Lim, Rodrigues e Xiao (2006) também foi adaptado ao caso assimétrico, incluindo informações sobre como a meia banda esquerda e a meia banda direita sofrem modificações diferentes ao longo da execução do método. Todos os métodos foram aplicados a matrizes pré-ordenadas na forma triangular de blocos. Os resultados demonstraram que o método hillclimbing obteve os melhores resultados, sendo superado apenas por uma combinação dos métodos RCM seguido de aplicações do node centroid hillclimbing, o qual também possui uma implementação hillclimbing. Entre as abordagens exatas, cita-se a proposta por Martí, Campos e Piñana (2005), que aplica um algoritmo branch-and-bound ao problema. O trabalho apresenta novas provas e expressões para dois novos limitantes inferiores, além de utilizar o método GRASP proposto por Piñana et al. (2004) para obtenção de limitantes superiores. Novamente, o mesmo conjunto de 113 instâncias simétricas utilizadas nos experimentos reportados nos trabalhos anteriormente descritos foi utilizado, e os resultados obtidos foram comparados aos resultados obtidos pelos dois métodos XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2889

5 branch-and-bound de Caprara e Salazar (2004), os quais eram identificados como os melhores até então. A comparação mostrou que o algoritmo branch-and-bound proposto naquele trabalho atingiu o maior número de soluções exatas, os menores gaps absolutos e relativos, além de obter o menor tempo de execução. Para as maiores instâncias (dimensões 500 e 1000), o método foi o único capaz de resolvê-las. 3. O Método Proposto O método proposto, ao contrário do encontrado recentemente na literatura, se vale da estrutura de matriz do problema para sua resolução. Consiste de três etapas de ordenação, aplicando a operação às linhas e colunas, interpretando-as como a representação binária de um número decimal. Anteriormente, um método de ordenação dupla de matrizes também levando em conta a representação binária de números decimais foi proposta por Baumann, Fleischmann e Mutzbauer (2003), e mesmo o método aqui proposto sendo diferente, a sua concepção foi realizada de forma independente de tal trabalho anterior. A seguir, a base conceitual da heurística é apresentada. Inicialmente, as linhas da matriz de entrada são avaliadas e o valor correspondente ao número representado em binário por elas é associado às mesmas, considerando o bit mais à esquerda como mais significativo. As linhas são, então, ordenadas de forma não crescente, de modo a reduzir a meia banda esquerda. A Figura 3 ilustra a matriz original e a aplicação desta primeira etapa = = = = = = = = = = 1 Figura 3 Ilustração da execução da primeira etapa da heurística proposta. Na segunda etapa, todas as linhas acima da primeira diagonal completamente zerada são novamente ordenadas de forma não decrescente, porém, desta vez considerando o bit mais à direita como o mais significativo, de modo a reduzir a meia banda direita. Note que, ordenando somente as linhas acima da primeira diagonal zerada, a redução obtida para a meia banda esquerda na primeira etapa não é prejudicada. A Figura 4 ilustra a segunda etapa = = = = = = Figura 4 Ilustração da execução da segunda etapa da heurística proposta. A linha horizontal tracejada indica o início da primeira diagonal zerada abaixo da diagonal principal, a outra linha tracejada indica tal diagonal. Na etapa final, as colunas são avaliadas, considerando o bit mais acima como mais significativo, e ordenadas de forma não crescente, de modo a reduzir novamente a meia banda direita. As colunas que contém a primeira diagonal zerada abaixo da diagonal principal recebem valores altos, de modo que, quando ordenadas, não alterem a sua posição, a fim de manter a redução obtida para a meia banda esquerda. Esta etapa equivale a ordenar as demais colunas pelo número decimal que elas representam em binário. A Figura 5 ilustra a etapa final. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2890

6 = = = = = = = = = = Figura 5 Ilustração da execução da terceira etapa da heurística proposta. A linha vertical tracejada indica as colunas que contém a primeira diagonal zerada abaixo da diagonal principal, indicada pela segunda linha tracejada. Após a aplicação das três etapas, a solução é obtida e avaliada. O método proposto possui complexidade O(n 2 ) no pior caso, em que n representa a dimensão da matriz. Devido à abordagem utilizada, não se faz distinção de problemas simétricos ou assimétricos, uma vez que não se faz uso deste tipo de informação, tornando isto um diferencial do método proposto. A seguir, alguns detalhes da implementação da heurística são apresentados. 3.1 Implementação O método opera sobre os dados da matriz de entrada, porém, durante o processo de ordenação, a matriz é mantida intacta, e para que se obtenha o efeito de ordenação são utilizados dois vetores auxiliares, que possuem informações sobre cada sequência (linha ou coluna), como o índice e o valor da representação em binário. A ordem das linhas e colunas na solução é determinada pelo valor correspondente dos índices nos vetores auxiliares. O valor das linhas e colunas podem facilmente chegar à ordem de bilhões dependendo do tamanho das matrizes tratadas no caso de se avaliar uma sequência em sua totalidade. Para contornar este problema, optou-se por segmentar a matriz em diferentes níveis durante a avaliação. A partir do primeiro nível, apenas as sequências envolvidas em empates são avaliadas nos próximos níveis, até que se obtenha o desempate ou até que se ateste o empate definitivo. A Figura 6 apresenta a matriz original em (a), e posteriormente em (b), (c) e (d) os três níveis de leitura das linhas, cada um com profundidade 2. A parte tracejada indica a área utilizada para avaliação e a parte mais escura não é utilizada. A profundidade é uma constante definida a priori (a) (b) (c) (d) Figura 6 - Ilustração da leitura das linhas da matriz em diferentes níveis de profundidade. Em (a), a matriz original, e em (b), (c) e (d) os diferentes níveis. As regiões tracejadas indicam a área lida. Este tipo de artifício pode ser utilizado seguramente, uma vez que, em uma comparação de números binários, um único valor não nulo mais ao sentido do bit mais significativo é suficiente para determinação do maior valor, sem a necessidade da leitura de todo o número, apenas de sua porção mais significativa. Para a ordenação dos valores optou-se pelo método bucket sort. De acordo com a profundidade dos níveis (um valor constante), define-se a extensão dos valores possíveis para as sequências e cada valor representará um bucket. A Figura 7 ilustra a aplicação do método ao primeiro nível de uma matriz, considerando-se profundidade 2. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2891

7 = = 1 3 : = 2 2 : = 0 1 : = 2 0 : = 3 Buckets Figura 7 Bucket sort aplicado ao primeiro nível de uma matriz, considerando o bit mais à esquerda como mais significativo. A ordenação é dita parcial devido à informação limitada que se tem sobre cada sequência em cada nível. Para obtenção de informações completas é necessário resolver os empates dentro de cada bucket. Como dito anteriormente, as sequências de valor igual são avaliadas novamente no próximo nível da matriz até que se obtenha um desempate ou um empate definitivo. Os dados sobre a seqüencia, agora em uma lista encadeada dentro do bucket são atualizados para o desempate com o valor no nível atual e verificado quanto ao desempate. Existem vários pequenos casos especiais sobre tais empates, de modo que, em geral, em um mesmo bucket pode haver seqüencias já desempatadas e outras em empates diferentes, o que torna necessária uma ordenação relativa mesmo antes de uma definição total sobre os desempates. Após a solução dos desempates, o conteúdo dos buckets é transferido para o vetor auxiliar apropriado, de acordo com a ordenação necessária. As ordenações do método proposto são realizadas de forma análoga ao apresentado, variando-se apenas a direção e sentido da leitura da matriz quando da avaliação e o sentido da leitura dos buckets, de acordo com ordenação desejada. 4. Experimentos Computacionais Os métodos utilizados nos experimentos computacionais foram codificados em linguagem C sem opções de otimização ativadas, e o parâmetro de profundidade foi definido com valor 10. A implementação da heurística de Cuthill-Mckee foi realizada conforme descrito em Cuthill e Mckee (1969). Foram analisadas matrizes simétricas e assimétricas. As instâncias utilizadas foram geradas aleatoriamente de acordo com o tamanho e densidade desejados. Para cada cruzamento tamanho densidade foram gerados grupos de 100 instâncias para matrizes simétricas e assimétricas. Para a geração de números aleatórios foi utilizado o algoritmo gerador de números pseudo-aleatórios independente de máquina proposto em Schrage (1979). A semente utilizada para a geração dos números é Os experimentos foram realizados em um computador com microprocessador Intel Pentium 4 de 3,20 GHz de freqüência e 1016 MB de memória RAM, sob o sistema operacional Windows XP Professional. Para possibilitar futuras comparações com os resultados obtidos neste trabalho, utilizou-se o benchmark LINPACK, descrito em Dongarra (2008). Para matrizes de dimensões , o resultado obtido é 244,412 MFlop/s. Os resultados são avaliados levando-se em conta a redução média (em %) da largura da banda total em relação à dimensão e densidade das instâncias e o tempo de execução médio (em segundos) necessário para a obtenção dos resultados. Para as matrizes simétricas geradas foi realizada uma comparação entre os resultados obtidos com a aplicação da heurística proposta e a heurística Cuthill-Mckee. Foram analisadas soluções de densidade variando de 1% a 10%, com gradação de 1% e de 10% a 50%, com gradação 10%. Devido ao grande volume de dados, apenas o sumário dos experimentos é reportado a seguir. Os resultados obtidos para matrizes simétricas são apresentados na Tabela 1. Para cada dimensão, os valores da redução obtida e do tempo de execução são médias dos resultados para densidades, conforme descrito anteriormente. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2892

8 Tabela 1 - Sumário da comparação entre o método proposto e a heurística Cuthill-Mckee. Dados agrupados por dimensão das matrizes. Redução Obtida (%) Tempo de Execução (s) Dimensão Cuthill- Cuthill- Método Proposto Método Proposto Mckee Mckee ,066 39,134 0, , ,926 26,660 0, , ,650 20,635 0, , ,743 17,030 0, , ,611 14,529 1, , ,014 12,774 3, , ,738 11,408 7, , ,686 10,332 11, , ,798 9,483 20, , ,077 8,754 29, , De acordo com os dados apresentados, para matrizes de dimensões 100 e 200, a heurística Cuthill-Mckee obteve os melhores resultados, cuja média foi altamente influenciada pelos resultados para matrizes mais esparsas. Nota-se que, apesar da diferença de desempenho nas instâncias de menor tamanho, na medida em que o tamanho das instâncias aumenta, a tendência se inverte, com o método proposto apresentando o melhor desempenho, apesar de as distâncias entre as soluções obtidas pelos métodos ser menor. Em 80% de todos os casos testados, o método proposto obteve melhores resultados para redução da banda. As soluções geradas pelo método proposto possuem a característica de manter um desbalanceamento entre a redução obtida para a meia banda esquerda e a meia banda direita. Depois de reduzida a meia banda esquerda, as etapas seguintes não podem alterar tal redução obtida, o que limita a redução da meia banda direita, tornando a redução da primeira sempre maior que a da segunda. Os tempos de execução são muito distantes: o método Cuthill-Mckee se mantém sempre abaixo de 0,1s, enquanto o método proposto possui um tempo de execução centenas de vezes maior para os maiores problemas, chegando a quase 30 segundos em média para os maiores problemas. Apesar da grande diferença em relação ao outro método, o tempo de execução do método proposto é completamente factível na prática. A Tabela 2 apresenta o sumário dos resultados, agrupando os dados pela densidade das matrizes tratadas. Para cada densidade, estão inclusas matrizes de dimensões 100 a Para ambos os métodos, à medida que a densidade aumenta, a redução obtida sofre quedas maiores. Nas instâncias mais esparsas (1% e 2%), a heurística Cuthill-Mckee obtém as melhores soluções em 80% dos casos, principalmente para as menores instâncias, nas quais chega a obter 100% das melhores soluções. A partir de instâncias de densidade 3% a tendência se modifica: o método proposto chega a obter 78% das melhores soluções. Tal comportamento se solidifica na medida em que a densidade das matrizes aumenta. Para as instâncias de tamanhos e densidades excetuando-se os menores casos, o método proposto apresenta o melhor desempenho, chegando a obter 98% das melhores soluções para as instâncias maiores e menos esparsas. Em relação ao tempo de execução, ressalta-se que na medida em que a densidade aumenta, o tempo de execução diminui, o que é explicado pela quantidade de empates em cada densidade das matrizes. Para matrizes muito esparsas, ocorrem muitos empates, exigindo maior tempo de execução para sua decisão, ao passo em que para matrizes menos esparsas, ocorrem menos desempates, e consequentemente, o tempo de execução diminui. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2893

9 Tabela 2 - Sumário da comparação entre o método proposto e a heurística Cuthill-Mckee. Dados agrupados por densidade das matrizes. Redução Obtida (%) Tempo de Execução (s) Densidade Cuthill- Cuthill- Método Proposto Método Proposto Mckee Mckee 1% 43,410 53,635 31, , % 33,186 35,813 21, , % 27,180 27,176 15, , % 23,110 22,061 11, , % 20,024 18,679 8, , % 17,701 16,167 6, , % 15,981 14,351 4, , % 14,530 12,847 3, , % 13,376 11,787 2, , % 12,314 10,804 1, , % 6,908 6,037 0, , % 4,704 4,240 0, , % 3,423 3,106 0, , % 2,587 2,334 0, , Para matrizes assimétricas não é possível comparar o método proposto com a heurística Cuthill-Mckee, uma vez que esta última pode ser aplicada apenas a matrizes simétricas, como descrito anteriormente. Os métodos assimétricos são menos facilmente encontrados na literatura, e um dos poucos, apresentado por Reid e Scott (2005), não descreve em detalhes os métodos utilizados. Os resultados de comparações sobre matrizes assimétricas ainda são preliminares e não são incluídos neste trabalho. A seguir, apresenta-se alguns resultados obtidos para matrizes assimétricas geradas aleatoriamente. Os resultados são utilizados para analisar o comportamento da heurística proposta em relação a tal tipo de matrizes. A Tabela 3 apresenta um sumário de tais experimentos. Para cada dimensão, os valores da redução obtida e do tempo de execução são médias dos resultados para densidades de 1% a 50%, como descrito anteriormente. Tabela 3 Sumário dos resultados para matrizes assimétricas. Dados agrupados por dimensão das matrizes. Dimensão Redução Obtida (%) Tempo de Execução (s) ,692 0, ,222 0, ,685 0, ,591 1, ,300 2, ,568 4, ,187 7, ,087 13, ,166 18, ,377 28, Em comparação com os resultados para matrizes simétricas, os valores médios para a redução da largura de banda e para o tempo de execução para matrizes assimétricas são apenas levemente maiores, com uma variação média de 1%, indicando que o método proposto não é afetado quanto ao tipo da matriz, simétrica ou assimétrica. A Tabela 4 apresenta o sumário dos resultados, agrupados por densidade das matrizes. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2894

10 Tabela 4 Sumario dos resultados para matrizes assimétricas. Dados agrupados por densidade das matrizes. Densidad e Redução Obtida (%) Tempo de Execução (s) 1% 45,309 33, % 34,956 20, % 28,586 14, % 24,224 11, % 21,080 8, % 18,631 6, % 16,659 4, % 15,075 3, % 13,849 2, % 12,724 1, % 7,046 0, % 4,766 0, % 3,494 0, % 2,628 0, De maneira similar aos resultados anteriores, há uma grande queda na redução obtida à medida que a densidade aumenta. A tendência da diminuição do tempo de execução de acordo com o aumento da densidade também é mantida. Esta leve diferença média em relação às matrizes simétricas se deve ao fato de que a assimetria implica em desequilíbrio entre as meias bandas esquerda e direita, fazendo com que, em boa parte das instâncias, a aplicação de uma única etapa do método proposto seja suficiente para que haja uma grande redução. Por exemplo, para matrizes em que os elementos não nulos se concentrem na meia banda esquerda, a primeira etapa já é suficiente para que os elementos não nulos mais críticos sejam deslocados para mais próximo da diagonal principal. A Figura 8 apresenta o gráfico para a redução de largura de banda. Figura 8 - Redução da largura de banda para matrizes assimétricas. Conforme ilustrado pela figura acima, existe um padrão na redução de banda. À medida que a densidade dos problemas aumenta, a redução da largura de banda diminui, e esta queda é acentuada entre as densidades 1% e 2% e a partir da densidade 10%. Para densidades acima de 10% XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2895

11 a redução para todos os tamanhos de instâncias se aproxima muito, principalmente aos 50% de densidade. A Figura 9 apresenta o gráfico para os tempos de execução para matrizes. Figura 9 Tempos de execução para matrizes assimétricas. Os tempos de execução também seguem um padrão ao longo do aumento das densidades, independentemente dos tamanhos dos problemas tratados: ocorre uma grande queda a partir da densidade 1%, a qual se suaviza gradativamente, e a partir dos 20% de densidade, os tempos de execução são praticamente iguais, abaixo de 0,1 segundo. De acordo com os dados apresentados, torna-se mais clara a influência dos desempates no tempo de execução. Para os maiores problemas, o tempo de execução chega a atingir os 120 segundos. 5. Conclusão Propôs-se neste trabalho uma heurística para o Problema de Minimização de Largura de Banda em Matrizes, um problema computacional clássico que possui grande impacto, uma vez que surge em vários outros problemas computacionais e está diretamente relacionado com a complexidade dos mesmos. A heurística baseia-se na ordenação de linhas e colunas, atuando diretamente sobre a matriz de entrada, ao contrário do que se encontra na literatura sobre o problema, onde a abordagem por grafos predomina. Outro destaque do método proposto é sua versatilidade em lidar sem distinção com instâncias simétricas e assimétricas, que refletem melhor a aplicação do problema em situações reais. Para a ordenação da matriz utilizou-se o método bucket sort, e para lidar com os altos valores da representação binária pelas linhas e colunas, as matrizes de entrada foram divididas em níveis, evitando-se assim percorrer toda a matriz durante a avaliação. Para a decisão de empates, apenas as sequências envolvidas foram utilizadas no aprofundamento de níveis da matriz, tornando necessário um esquema de ordenação relativa entre sequências desempatadas, empatadas entre si e empatadas em diferentes grupos. Foram realizados experimentos computacionais extensivos a fim de se comparar o desempenho do método proposto em relação ao método clássico Cuthill-Mckee. Observou-se que a heurística apresenta resultados melhores na redução média da largura de banda a partir da densidade de 2% ou para matrizes simétricas com dimensão igual ou superior a 300. Em relação ao tempo de execução, a heurística proposta mostrou-se muito mais lenta em média do que o método comparado, embora não se mostre proibitivo. Para matrizes de pequena dimensão e baixa densidade o método XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2896

12 Cuthill-Mckee apresentou resultados muito superiores em relação à redução de banda, e o inverso ocorreu para matrizes de maior dimensão e maior densidade. Resultados iniciais para matrizes assimétricas também foram apresentados, os quais descrevem um leve aumento na redução de banda e tempo de execução, também indicando que o método proposto não é fortemente influenciado pelo tipo das matrizes tratadas. De maneira geral, a heurística proposta obtém reduções muito significativas para a meia banda esquerda, fazendo com que a redução média da largura da banda obtenha bons valores. Contudo, a minimização da meia banda direita é dificultada, uma vez que se optou por preservar a redução obtida para a meia banda esquerda não realizando operações que degradassem a solução. Desta forma, a estratégia utilizada para a redução da meia banda direita não atingiu a mesma performance obtida pela redução da meia banda esquerda, constituindo um ponto fraco para o método proposto. O tempo de execução é fortemente influenciado pela quantidade de empates quando da ordenação pelo método bucket sort, obtendo os piores valores para as menores densidades, condição na qual ocorre a maior incidência de empates. Apesar dos bons resultados, novas estratégias podem ser aplicadas para a minimização da meia banda direita. Sugere-se a realização de operações adicionais, tanto em linhas quanto em colunas, que degradem a solução temporariamente a fim de obter-se uma melhor solução. Outra sugestão é a realização de um pré-processamento dos dados de entrada a fim de obter uma estrutura que facilite a operação da heurística proposta, como por exemplo, concentrar os elementos não nulos da matriz em suas extremidades paralelas à diagonal principal. Experimentos adicionais envolvendo métodos aplicados a instâncias assimétricas também serão realizados, bem como experimentos envolvendo métodos exatos, a fim de se medir a distância das soluções obtidas. 6. Referências Baumann, M., Fleischmann, P. e Mutzbauer, O. (2003), Double Ordering and Fill-In for the LU Factorization. SIAM J. Matrix Anal. Appl., Vol. 25, N. 3, Caprara, A. e Salazar, J. J. (2004), Laying out sparse graphs with provably minimum bandwidth. INFORMS Journal on Computing. Vol. 17, N. 3, Cuthill, E. e Mckee, J. (1969), Reducing the bandwidth of sparse symmetric matrices. Proceedings of the 24th ACM national conference Dahlquist, G. e Bjorck, A. (1974), Numerical Methods. Prentice-Hall, Englewood Cliffs NJ. Dongarra, J. J. Performance of various computers using standard linear equations software. CS University of Manchester ( 08, Garey, M., Graham, R., Johnson, D. e Knuth, D. (1978), Complexity results for bandwidth minimization. SIAM J. Appl. Math., 34: , Gibbs, N. E., Poole, W. G. e Stockmeyer, P. K. (1976), An algorithm for reducing the bandwidth and prole of sparse matrix. SIAM Journal on Numerical Analysis. 13 (2). pp Lim, A., Rodrigues, B. e Xiao, F. (2007), A fast algorithm for bandwidth minimization. International Journal on Artificial Intelligence Tools. Vol. 16, No. 3, Lim, A., Rodrigues, B. e Xiao, F. (2006), Heuristics for matrix bandwidth reduction. European Journal of Operational Research, vol. 174, Martí, R., Laguna, M., Glover, F. e Campos, V. (2001), Reducing the bandwidth of a sparse matrix with tabu search. European Journal of Operational Research, 135, pp Papadimitriou, C. (1976), The NP-completeness of the bandwidth minimization problem. Computing, 16: Piñana, E., Plana, I., Campos V. e Martí, R. (2004), GRASP and path relinking for the matrix bandwidth minimization. European Journal of Operational Research, 153, Reid, J. K. e Scott, A. Reducing the total bandwidth of a sparse unsymmetric matrix. RAL-TR Council for the Central Laboratory of the Research Council. Oxfordshire. 2005, Schrage, L. (1979), A more portable fortran random number generator. ACM Transactions on Mathematical Software. Vol. 2, n. 2. Skiena, S. S. The algorithm design manual. 2nd ed. Springer-Verlag, Londres XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2897

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