Aplicação do Algoritmo de Grover para Problemas NP-Completos

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1 Aplicação do Algoritmo de Grover para Problemas NP-Completos Luis Antonio Kowada 1, Celina M.. de Figueiredo 2, Renato Portugal 3, Carlile Lavor 4 1 Universidade Federal Fluminense (IM-UFF) Rua Mário Santos Braga S/N, , Niterói - RJ, Brasil 2 Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE-UFRJ) CP 68511, , Rio de Janeiro - RJ, Brasil 3 Laboratório Nacional de Computação Científica (LNCC) rua Getúlio Vargas 333, , Petrópolis - RJ, Brasil 4 Universidade Estadual de Campinas (IMECC-UNICAMP) CP 665, , Campinas - SP, Brasil Abstract. Although Grover Algorithm has been analyzed in great details, there are problems regarding its utility and implementation. In this paper, we show how Grover algorithm can be used to solve an NP-complete problem with quadratic speed-up over the classical algorithm. Resumo. O algoritmo de Grover tem sido bastante analisado e discutido, mas restam algumas dúvidas quanto a sua utilidade e implementação. Neste texto, mostramos, em detalhes, como o algoritmo de Grover pode ser usado para resolver um problema NP-completo com ganho quadrático em relação aos algoritmos clássicos. 1. Introdução Os dois algoritmos quânticos mais famosos são: algoritmo para fatoração de Shor [Shor 1994] e o algoritmo para busca de Grover [Grover 1997]. No caso do algoritmo de Grover, são comuns alguns questionamentos [Ambainis 24]. Um destes se refere à sua utilidade: "é útil um algoritmo de busca em uma lista não-ordenada, com N elementos com custo computacional O( N)? Não é mais fácil trabalhar classicamente com estruturas de dados especiais, como árvores vermelho-preto [Cormen et al. 21], e realizar a mesma operação com custo da ordem de O(log N)?". E principalmente entre os que estão se iniciando na área, é comum a seguinte indagação: "em uma lista não-ordenada, com N elementos, como é possível encontrar um elemento com O( N) operações? Não é necessário pelo menos N comparações? Será que o oráculo é possível de ser implementado?". Estas questões serão discutidas, através de um exemplo concreto. O algoritmo de Grover foi desenvolvido inicialmente para a busca em uma lista não-ordenada [Grover 1997], mas segundo a opinião de diversos autores, o seu uso mais

2 eficiente não será desta forma, mesmo porque o hardware para isso necessita de Ω(N) chaves quânticas [Ambainis 24, Nielsen and Chuang 2]. A aplicação mais viável seria um ganho quadrático sobre a complexidade de diversas operações computacionais. Mas para quais aplicações se obtém este ganho? E como fazer isto? Neste texto, é mostrado como o algoritmo de Grover pode ser implementado em termos de operadores unitários elementares para um problema NP-completo específico. 2. Problema de busca De um modo geral, todo procedimento computacional pode ser visto como um conjunto de operações aplicadas sobre uma seqüência de bits retornando outra seqüência de bits, conforme modelado por Alan Turing em 1936 [Turing 1936]. Na prática, tanto a entrada quanto a saída possuem um tamanho limitado. Suponha que haja no máximo n bits de entrada e m bits de saída. Neste caso, este procedimento computacional pode ser descrito por uma função f : {, 1} n {, 1} m, sendo que o cálculo de f possui um custo associado ao número de operações necessárias para retornar o resultado para cada entrada possível. Um problema bastante importante em Computação é o seguinte: "Dada uma função f conforme a descrição acima e um valor k, como encontrar uma possível entrada x tal que f(x) = k?". Se a função considerada é bijetora, o problema consiste em avaliar a função inversa f 1 (k). Mas no caso geral, podem haver várias soluções possíveis, sendo que qualquer uma delas é válida. Para se ter uma idéia da importância deste problema, denominado aqui problema de busca, os problemas NP-completos podem ser reduzidos a este. Por exemplo, o problema de decisão 3-Satisfabilidade, mais conhecido como 3-Sat, consiste em, dados um conjunto U de variáveis lógicas e uma coleção C de cláusulas disjuntivas sobre U, cada uma contendo exatamente 3 literais, saber se há uma combinação de valores para as variáveis em U, que satisfaça todas as cláusulas em C [Garey and Johnson 1979]. É fácil construir um procedimento que receba como entrada os valores das variáveis e retorne 1 caso todas as clásulas sejam verdadeiras, e caso contrário. Supondo que haja n variáveis lógicas, este procedimento pode ser visto como uma função f 3sat : {, 1} n {, 1}. A avaliação de f para cada entrada particular é simples, basta substituir os valores das variáveis nas cláusulas correspondentes. O custo da avaliação de f 3sat é proporcional ao número de cláusulas. O número máximo possível de cláusulas diferentes com 3 literais distintos para n variáveis é C n,3 = n(n 1)(n 2) 6 Θ(n 3 ). (1) O problema 3-sat pode ser reduzido a descobrir um valor x tal que f 3sat (x) = 1. Outro campo de aplicação para problemas de busca é a criptografia, mais precisamente a criptoanálise. A criptografia consiste basicamente em codificar uma mensagem X(chamado de texto claro) utilizando uma outra informação k, chamada de chave criptográfica, resultando em texto codificado Y. Para cada valor de k, há uma correspondência de 1-para-1 entre cada mensagem e sua possível codificação, ou seja, a função f k (X) = Y é bijetora. Tanto o cálculo de f quanto da sua inversa é computacionalmente eficiente,

3 desde que seja conhecido o valor de k. Um problema fundamental da criptoanálise consiste em, dada a função e o valor codificado Y, encontrar k ou X. á outras variações como a criptografia de chave pública, na qual a chave de codificação é distinta da chave de decodificação, ou codificação usando funções de espalhamento (hash function), que não possuem inversa. Não vamos aprofundar nisto, pois foge do escopo deste trabalho. Mais informações podem ser encontradas, por exemplo, em [Stinson 22, Terada 2]. Caso não seja conhecida nenhuma estrutura ou propriedade interna da função como, por exemplo, distribuição das soluções ou quais são as entradas com mais chance de terem sido escolhidas, a única forma de resolver o problema de busca é percorrendo todo o domínio da função e comparando os resultados. No caso da criptoanálise, este procedimento é conhecido como ataque de força bruta. No caso do problema 3-Sat com n variáveis, há O(2 n ) entradas possíveis e custo de avaliação de cada entrada é O(n 3 ), conforme visto antes. Logo, o procedimento de busca trivial possui complexidade O(2 n n 3 ). Para este problema em particular, existe um procedimento clássico probabilístico que resolve o problema com complexidade Õ(1, 33 n ) [Riege and Rothe 26]. Mas para muitos problemas o melhor procedimento clássico é a busca exaustiva. 3. Método de Grover para busca 3.1. Descrição do algoritmo O algoritmo de Grover foi projetado para encontrar um elemento dentro de uma lista não-ordenada. A seguir, é mostrado como ele pode ser implementado para encontrar um elemento do domínio de uma função, dada uma possível imagem da mesma. e um valor k. Suponha que se tenha um problema de busca definido por uma função f : {, 1} n {, 1} m (2) O procedimento geral do algoritmo de Grover é mostrado no Algoritmo 3.1. O símbolo x significa o inteiro mais próximo de x. O valor que aparece após o símbolo, indica o número de bits que formam este ket. O operador U g será descrito adiante. Algoritmo 3.1 Algoritmo de Grover 1) Preparação do estado inicial: ψ e = n k m 1 1 2) ψ 1 : Superposição de todos os estados da base computacional, no primeiro registrador, necessários para representar o domínio de f e aplicação de adamard no último registrador sobre o estado ψ e. 3) para j 1 até π 4 N faça 4) Aplicação do Oráculo: ψ 2j = U g ψ (2j 1) 5) Inversão sobre a média: ψ 2j+1 = (2 ψ 1 ψ 1 I) ψ 2j 6) fim para 7) Observe o estado do primeiro registrador A partir de f, pode-se construir um procedimento reversível : x k x k f(x), representando o operador XOR aplicado bit-a-bit.

4 Quando a dimensão do domínio de f é potência de 2, a superposição de todas as entradas possíveis de f, passo 2 do Algoritmo 3.1, pode ser feita através do uso de portas adamard em cada linha do 1 o registrador, conforme mostrado na seção 2.3 de [Portugal et al. 24]. Caso não seja potência de 2, deve-se utilizar a Transformada de Fourier Quântica como descrito em [Lomont 24]. A Proposição 1 indica a quantidade de iterações necessárias para maximizar a probabilidade de sucesso. Proposição 1. [Nielsen and Chuang 2, eq.6.17] Dada uma lista L com N elementos, dos quais t N satisfazem a condição de busca do oráculo, um limite superior para 2 a quantidade estimada de execuções do oráculo para obter um elemento marcado, sem nenhuma medição intermediária, é menor ou igual a. Como habitualmente não é conhecido o número de soluções t, são necessárias O( N) iterações, a menos que se use uma variação do algoritmo de Grover, que se encontra em [Boyer et al. 1998] Aplicação do algoritmo de Grover para problemas de busca O operador possui a mesma ordem de complexidade do procedimento irreversível clássico que calcula f [Bennett 1973]. Na formulação original do algoritmo de Grover [Grover 1997], como também é mostrado em [Portugal et al. 24], é utilizada uma função (chamada aqui de g(x, k), para não confundir com f anteriormente definida) que indica se x é solução do problema ou não. No caso da busca em uma lista, indica se k pertence à lista ou não. Em relação ao problema de busca anteriormente definido, esta função pode ser descrita como: π 4 N t g(x,k) = { 1, se f(x) = k, se f(x) k. (3) A partir desta função, é definido um operador unitário denominado de oráculo de Grover. U g : x k ( 1) g(x,k) x k, (4) O operador U g pode ser construído a partir do operador, de acordo com a Figura 1. Cada linha representa um conjunto de q-bits. A linha superior (1 o registrador) é formada por n = log N q-bits, sendo N o tamanho do domínio de f. Este registrador é utilizado para armazenar os valores de entrada. A linha intermediária (2 o registrador) é o conjunto de q-bits que armazena a saída de f, e a linha inferior é formada por um único q-bit auxiliar. É possível construir o operador (e todo o circuito de Grover) sem este q-bit auxiliar, mas sua presença facilita a compreensão do operador (e do circuito de Grover). Se a entrada for um estado projetado, a porta Z controlada pelo 2 o registrador inverte a amplitude do estado, caso o valor do 2 o registrador seja igual a na saída inferior do operador. A porta Z controlada pode ser implementada através de uma porta Toffoli generalizada com o q-bit alvo no estado 1 2. São omitidos outros q-bits auxiliares cujos valores de saída são iguais aos de entrada.

5 Z Figura 1. Circuito que implementa U g a partir de Aplicação do algoritmo de Grover ao problema das Equações Binárias Quadráticas Nesta seção é mostrado o funcionamento do algoritmo de Grover aplicado a um problema concreto, no caso ao problema das Equações Binárias Quadráticas (EBQ). Seja a função: na qual β e γ são números inteiros. f(x) = x 2 mod β, com x γ, (5) Dados f,γ e um valor α, o problema das Equações Binárias Quadráticas consiste em encontrar um valor x {,...,γ}, tal que f(x) = α. Mesmo que seja conhecida a fatoração de β, este problema é NP-completo, conforme pode ser visto em [Garey and Johnson 1979, Manders and Adleman 1978]. Para implementar o operador que calcula f para várias entradas em superposição, deve-se utilizar apenas portas reversíveis. Um possível operador associado ao problema é : x α x α (x 2 mod β). Este operador é facilmente implementável usando um operador multiplicação modular que possui complexidade O(n log 3 ), sendo que n = log β, usando o algoritmo Karatsuba reversível modular [Kowada et al. 26]. Não se pode utilizar o algoritmo de multiplicação modular, descrito por Vedral, Barenco e Ekert [Vedral et al. 1996], pois este operador permite superposição de estados em apenas um dos operandos. Também não se pode utilizar os procedimentos de exponenciação modular projetados para o algoritmo de fatoração de Shor [Shor 1994], que permitem a superposição de estados apenas para o valor expoente. Na Figura 2, é mostrado o circuito MULT-MOD:(N,a,b, ) (N,a,b,ab mod N), desenvolvido pelos autores, que permite a multiplicação modular com os dois operandos podendo estar em superposição a partir da multiplicação e divisão convencional, cujos circuitos podem ser encontrados em [Kowada 26] ou [Nascimento et al. 26]. Na Figura 3 é mostrado como implementar o operador : x α x α (x 2 mod β) a partir do circuito de multiplicação modular reversível, mostrado na Figura 2. O operador U g é construído de acordo com a Figura 1, com o segundo registrador inicialmente no estado 37. É possível projetar o operador de outras formas, como, por exemplo, : x α x (x 2 α) mod β. Em qualquer uma destas formas de implementar, após uma aplicação da mesma, o segundo registrador terá o valor zero para os estados da base computacional (e apenas para estes) que forem solução do problema. Em ambas as formas de implementação de, o circuito projetado para a busca de um valor α 1 não precisa ser modificado para a pesquisa de um novo valor α 2. O

6 MULT DIV DIV MULT MULT-MOD MULT-MOD MULT-MOD a n a b n β n β b 2n 2n n 2n n ab mod β a a b b ab mod β Figura 2. MULT-MOD. Circuito para a multiplicação modular reversível a partir dos circuitos reversíveis da multiplicação e divisão. x x α α (x 2 mod β) Figura 3. Circuito que implementa : x α x α (x 2 mod β) a partir da multiplicação modular. Cada registrador é formado por n bits. A porta C- NOT central representa a aplicação de n C-NOTs distintas onde cada bit do 3 o registrador controla um respectivo bit do 4 o registrador. que difere é o estado inicial do sistema que, em vez de ser ψ e = α 1 1, passa a ser ψ e = α 2 1. A complexidade de portas de é O(n log 3 ), definida pela ordem de complexidade da multiplicação modular. O operador U g possui mesma ordem de complexidade de. Tomando, por exemplo, f(x) = x 2 mod 63 com γ = 15 e α = 37. Isto significa, que se deseja saber se existe x [, 15], tal que f(x) = 37. Considerando que as únicas entradas válidas são as menores do que γ, o número de aplicações necessárias de U g no Algoritmo 3.1 para resolver a função do problema tratado é π 4 γ. No exemplo considerado, a quantidade de entradas é igual a 16, logo são necessárias 3 iterações do algoritmo. Pela Tabela 1, pode-se verificar que o único elemento do domínio de f que satisfaz a condição de busca é x = 1.

7 Tabela 1. tabela com as imagens de f(x) = x 2 mod 63 para x < 16. x f(x) Como todas as entradas da função f são menores do que 16 e as saídas possíveis são menores do que 64, os três registradores principais terão 4, 6 e 1 q-bits, respectivamente. Na Figura 4 é possível visualizar o circuito do algoritmo Grover para o exemplo dado. Para maiores detalhes sobre o circuito referente ao operador Inversão sobre a Média, veja [Portugal et al. 24]. Oráculo U g Inversão sobre a média { { X ii ii X X ii ii X X ii ii X 1 ψ e ψ 1 ψ 2 ψ 3 ψ 4 ψ 5 ψ 6 Figura 4. Circuito que implementa o algoritmo Grover a partir de. No lugar da deve entrar o circuito da Figura 3. O valor da entrada já se refere ao exemplo em concreto (k = 37). O estado inicial é ψ e = (6) Fazendo a superposição de todos os estados da base computacional no primeiro e terceiro registradores (passo 2 do Algoritmo 3.1), tem-se que: ψ 1 = = x= x (7) Aplicando o operador U g, o estado do sistema passa a ser: ψ 2 = 1 4 ( ). (8) Apenas o estado tem a amplitude invertida, pois f(1) = 37. Aparentemente, o segundo registrador não tem seu estado alterado após aplicação de U g, mas, na realidade, há uma mudança durante a aplicação de U g e, em seguida, é

8 restituído o valor original. Como U g = (U f I 1)(I n C n Z)( I 1 ), então, U g x k = (U f I 1)(I n C n Z) x k f(x), (9) sendo que C n Z é a porta Z controlada negativamente e I n é o operador identidade aplicados em n q-bits. Isto implica em que, após a execução de, o segundo registrador passa a guardar k f(x) para cada valor de x. Aplicando em seguida a porta Z controlada, a amplitude dos estados, nos quais o valor no segundo registrador é igual a zero, é invertida. No exemplo considerado, isto acontece apenas com o estado 1, que passa a ser 1, já que 37 f(1) =. Aplicando de forma reversa (último operador de U g ), o valor no segundo registrador passa a ser novamente 37 para todas as entradas. O sinal da amplitude permanece negativo para o estado cujo valor no primeiro registrador é 1 e positivo para os demais estados. O estado ψ 2 pode ser reescrito como: ψ 2 = x= x = ψ (1) Calculando ψ 2 ψ 1, tem-se: ψ 2 ψ 1 = 1 16 (16 2) = 7 8. (11) Aplicando a inversão sobre a média, o estado global passa a ser: ψ 3 = (2 ψ 1 ψ 1 I) ψ 2 = (2 ψ 1 ψ 2 ψ 1 ψ 2 = 14 ψ 8 1 ψ 2 = 7 ψ 4 1 ψ = x= x x=,x 1 x ). = 1 4 (3 4 (12) A amplitude do estado procurado passa de 1 11 para, depois da primeira rodada do algoritmo de Grover. Com isso, a chance deste elemento ser lido é ψ 3 1, 37, 2 = ( )2 = 47, 26%. Na segunda rodada, faz-se novamente a inversão do elemento procurado no algoritmo de Grover, obtendo-se ( ) ψ 4 = x (13) x=,x 1 Como ψ 4 ψ 1 = 1( ) = média, tem-se: = , invertendo o estado anterior sobre a ψ 5 = (2 ψ 1 ψ 1 I) ψ 4 = (2 ψ 1 ψ 4 ψ 1 ψ 4 = 17 ψ 16 1 ψ 4 = x=,x 1 x ). (14)

9 A chance de medição do elemento procurado depois desta rodada é, aproximadamente, 9,8%. Depois da terceira rodada do algoritmo de Grover, o produto escalar ψ 6 ψ 1 = e a amplitude do estado procurado passa para. Com isso, a probabilidade deste elemento ser lido é de aproximadamente 96%. Não adianta aplicar outras rodadas, pois a amplitude da projeção do estado ψ 8 = U g ψ 7 sobre o estado ψ 1 é negativa ( 13 ), assim, a amplitude do estado procurado 256 começa a diminuir caso sejam aplicadas mais iterações do algoritmo. 4. Conclusão Neste artigo, é proposto um circuito completo para resolver um problema NPcompleto a partir de operadores unitários básicos, usando o algoritmo de Grover. O problema considerado é das Equações Binárias Quadráticas, mas as idéias servem para a resolução de outros problemas. Além do circuito, é mostrado passo-a-passo a evolução do estado do sistema durante a execução do algoritmo para um exemplo em particular, esclarecendo dúvidas quanto ao funcionamento do algoritmo de Grover e de sua implementação para obter ganho quadrático em relação aos procedimentos clássicos. Agradecimentos Os autores agradecem às agências de fomento FAPESP, FAPERJ e CNPq pelo auxílio prestado e também agradecem aos revisores pela leitura cuidadosa deste trabalho. Em particular, através de um revisor, tomamos conhecimento de uma dissertação de mestrado [Oliveira 27], cujo tema é relacionado com o presente trabalho. Referências Ambainis, A. (24). Quantum search algorithms. ACM SIGACT News, 35(2): Bennett, C.. (1973). The logical reversibility of computation. IBM J. Res. Develop., 17: Boyer, M., Brassard, G., øyer, P., and Tapp, A. (1998). searching. Fortschritte Der Physik. Cormen, T.., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., and Stein, C. (21). Algorithms. MIT Press, 2nd edition. Tight bounds on quantum Introduction to Garey, M. R. and Johnson, D. S. (1979). Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. Freeman. Grover, L. K. (1997). Quantum mechanics helps in searching for a needle in a haystack. Physical Review Letters, 79: Kowada, L. A. B., Portugal, R., and de Figueiredo, C. M.. (26). Reversible Karatsuba s algorithm. Journal of Universal Computer Science, 12(5): Kowada, L. A. B. (26). Construção de Algoritmos Reversíveis e Quânticos. PhD thesis, COPPE-Universidade Federal do Rio de Janeiro. Lomont, C. (24). A quantum fourier transform algorithm. quantph/446.

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